UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOSKA FAKULTETA

ANJA TISOVEC

DOLZINA LOKA V RAVNINSKI p-METRIKI

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2016

UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOSKA FAKULTETA

DVOPREDMETNI UCITELJ MATEMATIKA-RACUNALNISTVO

ANJA TISOVEC

Mentor: IZR. PROF. DR. MARKO SLAPAR

DOLZINA LOKA V RAVNINSKI p-METRIKI

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2016

Na koncu vsake poti je prav, da se ozremo nazaj in se spomnimo svojih sopotnikov.V prvi vrsti iskrena hvala dr. Marku Slaparju za mentorstvo in strokovno vodenje.Hvala lektorici Mojci in sestricni Sanji za pomoc pri koncnih popravkih mojega diplomskegadela.Najvecja zahvala pa vsem mojim za podporo, energijo, cas in spodbude, ki so vedno prisle vpravem trenutku.

Povzetek

V diplomski nalogi se ukvarjamo z racunanjem dolzine loka v ravninski p-metriki. Najprejdefiniramo metriko kot funkcijo merjenja razdalje in si ogledamo nekaj konkretnih osnovnihprimerov metrik ter nadaljujemo s predstavitvijo nekaj splosno znanih izracunov razdalje vevklidskem prostoru. Spoznamo taksi metriko, maksimum metriko in bolj splosno p-metriko.Vsako od navedenih metrik utemeljimo s pomocjo stirih aksiomov metrike in obravnavamonekaj osnovnih lastnosti p-metrike. V drugem in hkrati glavnem delu diplomskega delapredstavimo nacine racunanja dolzine loka v prej navedenih metrikah v ravnini z metodoaproksimacije.

Kljucne besede: evklidska metrika, taksi metrika, maksimum metrika, p-metrika, dolzinaloka

Abstract

In this diploma thesis, we show how to calculate the ark length of a plane curve in theplanar p-metric. We first give some basic concrete examples of metrics and then continuewith presenting the standard distance functions in Euclidian spaces. We get familiar with thetaxicab metric, maximum metric and the more general p-metric. We show that each of themsatisfies the four axioms of metric functions and present some basic properties of p-metrics.In the second and main part of our diploma thesis, we show how to calculate the arc length ofa curve in all these different metrics in the plane, using the geodesic approximation method.

Key words: Euclidian metric, taxicab metric, maximum metric, p-metric, arc length

Kazalo

Poglavje 1. Uvod 1

Poglavje 2. Metrika 32.1. Definicija metrike 32.2. Evklidska metrika 52.3. Taksi metrika 52.4. Maksimum metrika 72.5. Druzina p-metrik 8

Poglavje 3. Dolzina loka 133.1. Definicija dolzine loka v ravninskih metrikah 133.2. Dolzina loka v evklidski metriki 153.3. Dolzina loka v taksi metriki 173.4. Dolzina loka v maksimum metriki 203.5. Dolzina loka v splosni p-metriki 22

Poglavje 4. Sklep 23

Literatura 25

POGLAVJE 1

Uvod

Matematika se je zacela pred vec tisoc leti na obmocju velikih civilizacij. Razlogi za razvoj sobili razlicni: za potrebe poljedeljstva se je morala razviti astronomija, drzavniki so morali napremisljen nacin med ljudstvo razdeliti zaloge hrane, pobirali so davke. Eden izmed mnogihrazlogov je bilo tudi merjenje parcel, za kar so morali dodobra razviti geometrijo in s temtudi merjenje razdalje. Evklid je ze 300 pr.n.st. zasnoval to, kar danes poznamo pod pojmomevklidska geometrija.

Se pa v dolocenih situacijah zgodi, da je smiselno pri resevanju problemov uporabiti drugacnevrste merjenja razdalj in s tem tudi drugacne geometrije. Eden od takih primerov je mer-jenje razdalj v moderno zasnovanih mestih, kjer se ulice sekajo pravokotno. V tem primerunajkrajsa pot med dvema mestoma ni vec daljica, ki ti dve tocki povezuje, temvec lomljenacrta, ki je vzporedna z osema. Taksnemu nacinu merjenja razdalje v ravnini recemo taksimetrika, geometriji, ki jo porodi pa taksi geometrija.

S tem, ko v evklidski prostor vpeljemo nov nacin merjenja razdalje, drugace obravnavamotudi geometrijske koncepte, ki jih merjenje razdalje porodi. To so na primer dolzine lo-kov, ploscine oziroma volumni mnozic, pa tudi razne ukrivljenosti. V diplomskem delu bomoobravnavali predvsem problem merjenja razdalje v ravnini ob uporabi razlicnih metrik. Osre-dotocili se bomo torej na merjenje dolzine loka v ravnini.

Za zacetek se bomo ozrli na matematicne koncepte, ki nam bodo v pomoc pri razumeva-nju tematike. Koncepte povezane z metriko bomo podrobneje pojasnili v prvem poglavju.Pogledali si bomo nekaj razlicnih primerov merjenj razdalj v evklidskem prostoru in pokazalinekatere lastnosti posameznih metrik. Tako bomo predstavili nekaj splosno znanih racunanjrazdalje - od tistih, ki jih poznamo ze vse od osnovne sole, pa vse do zelo realnih situacij,s katerimi se vsakodnevno srecujejo taksisti v vecjih svetovnih mestih. Omenili bomo tudinacin merjenja razdalje, ki ni tako vsakdanji - maksimum metriko. Vse te metrike lahkoobravnavamo kot posebne primere druzine p-metrik.

1

POGLAVJE 2

Metrika

V tem poglavju bomo predstavili nekatere osnovne pojme o metricnih prostorih in razlicnemetrike na evklidskih prostorih. Splosna teorija je v tem poglavju povzeta po [1], [2] in [3].

2.1. Definicija metrike

Metrika je matematicna funkcija, ki nam definira razdaljo med dvema elementoma iz izbranemnozice. Od tako definirane razdalje pricakujemo dolocene lastnosti. Te so zajete v naslednjidefiniciji metrike.

Definicija 2.1. Naj bo X neprazna mnozica. Realni funkciji d : X × X → R, ki slikaiz mnozice urejenih parov v realna stevila, pravimo metrika ali funkcija razdalje, ce zadostinaslednjim stirim aksiomom

(1) za vsak x, y iz X velja d(x, y) ≥ 0(2) d(x, y) = 0 natanko tedaj, ko je x = y.(3) za vsak x, y iz X velja d(x, y) = d(y, x).(4) za vsak x, y, z iz X velja d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

Ce funkcija d ne zadosti drugemu aksiomu iz definicije, zadosca pa vsem ostalim, je d pse-udometrika. Pogoji iz definicije so za nas precej naravne lastnosti, ki jih pricakujemo odpojma razdalja. Ob preverjanju aksiomov metrike imamo pogosto najvec dela z zadnjim, kiga imenujemo tudi trikotniska neenakost. Intuitivno nam trikotniska neenakost pove, da borazdalja daljsa, ce ne gremo neposredno od tocke x do tocke z, temvec na nasi poti obiscemose tocko y.

Opomba 2.2. Prvo lastnost definicije metrike lahko v resnici izpeljemo iz ostalih treh, saj zavsaka x, y iz X velja

2d(x, y) = d(x, y) + d(y, x) ≥ d(x, x) = 0

in zato d(x, y) ≥ 0. Naceloma je prvi aksiom v definiciji metrike torej nepotreben, ga papogosto vseeno zapisemo zaradi preglednosti.

Poglejmo si nekaj preprostih primerov metrik.

Primer 2.3. Naj bo X poljubna neprazna mnozica in funkcija d : X × X → R definiranakot

d(x, y) =

{0 ; x = y

1 ; sicer

3

4 2. METRIKA

Prve tri lastnosti iz definicije metrike so ocitne. V nadaljevanju navajamo se trikotniskoneenakost.Ce velja x = z, potem je d(x, z) = 0, in trikotniska enakost velja.Ce je x 6= z in je bodisi x = y bodisi y = z, je d(x, z) = d(x, y) + d(y, z) = 1.Ce pa so si vse tri tocke razlicne, je 1 = d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) = 2. Sledi 1 ≤ 2.

Vsako mnozico torej lahko opremimo z neko metriko. Metriko iz primera 2.3 imenujemotrivialna metrika.

Primer 2.4. Verjetno je najbolj znan in najbolj preprost netrivialen primer metrike obicajnarazalja na realni osi, torej

d(x, y) = |x− y|.

Primer 2.5. Naj bo d poljubna metrika na mnozici X in definirajmo

d′(x, y) =

{d(x, y) ; d(x, y) ≤ 1

1 ; d(x, y) > 1.

Hitro lahko preverimo, da je d′ prav tako metrika na X. Edino kar ni ocitno je trikotniskaneenakost. Preverimo torej, ali metrika d′ ustreza tudi cetrtemu aksiomu.Naj bodo x, y, z ∈ X poljubne tocke. Ce velja d(x, y) ≤ 1, d(x, z) ≤ 1 in d(y, z) ≤ 1,trikotniska enakost za d′ velja, saj je v tem primeru d = d′. Ce je d(x, z) > 1, potem je levastran trikotniske neenakosti za d′ enako 1. Ce je katera koli izmed vrednosti d(x, y) oziromad(y, z) vecja od 1, je desna stran vecja ali enaka 1. Ce pa sta obe vrednosti manjsi ali enaki1, pa trikotniska neenakost za d′ takoj sledi iz trikotniske enakosti za d.

Ta primer nam pokaze, da lahko vsako metriko spremenimo tako, da bo postala omejena, neda bi spremenili, kako se metrika obnasa pri tockah, ki so si blizu.

2.3. TAKSI METRIKA 5

2.2. Evklidska metrika

Zacnimo z evklidsko metriko, ki jo vsi dobro poznamo. Pri razumevanju pa si pomagajmo ssliko 1.

Slika 1. Evklidska razdalja

Definicija 2.6. Evklidska metrika ali evklidska razdalja je premocrtna razdalja med dvematockama v evklidskem prostoru. Ce sta x in y tocki v Rn in velja x = (x1, x2, . . . , xn) tery = (y1, y2, . . . , yn), potem je

d2(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2 =

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2.

• Ena dimenzija (n=1).: Evklidska razdalja med dvema tockama na realni osi je absolutnavrednost razlike numericne vrednosti obeh tock. Torej je razdalja d med tockama x in ypodana kot

d2(x, y) =√

(x− y)2 = |x− y| .

• Dve dimenziji (n=2).: V evklidski ravnini, kjer sta x in y podana kot x = (x1, x2) iny = (y1, y2), je razdalja d podana s Pitagorovim izrekom:

d2(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2.

2.3. Taksi metrika

Preden zacnemo s formalnimi definicijami merjenja razdalje v taksi geometriji, si najprejoglejmo kako taksna geometrija sploh izgleda.

Predstavljajmo si, da se znajdemo na zelezniski postaji na Manhattnu (tocka x). Namenjenismo v tamkajsnjo opero (tocka y), zanima pa nas, kako najhitreje priti tja. Torej nas zanima

6 2. METRIKA

H

Slika 2. Prikaz razdalje med x in y v taksi metriki

razdalja med zeleznisko postajo in opero. Seveda bi na cilj najhitreje prispeli z letalom,vendar to zal ni mogoce. Odlocimo se, da bomo potovali kar pes. Znacilnost Manhattna soulice in ceste, ki se med seboj pravokotno sekajo. Do cilja lahko torej potujemo po razlicnihpoteh (slika 2), vendar pa po vseh enako hitro (ker se odpravimo pes, nas prometne konicemed potovanjem ne ovirajo). [4]

Ideja taksi metrike izhaja iz zelje po definiranju nove oblike ne-evklidske geometrije z zacetka20. stoletja. Prvi je novo obliko geometrije nakazal nemski matematik in fizik HermanMinkowski (slika 3).

Slika 3. Hermann Minkowski (1864 - 1909)

Vendar pa Minkowski ni uporabljal poimenovanja ”taksi metrika”. Tega je skoval Karl Men-ger leta 1952, ko je v okviru geometrijske razstave v Muzeju znanosti in industrije v Chicaguizdelal tudi knjizico, kjer je prvic uporabil izraz ”taksi metrika”. Danes to vrsto merjenjarazdalje poznamo tudi kot urbano metriko. [5]

2.4. MAKSIMUM METRIKA 7

Vec si lahko preberemo v knjigi ”Taxicab Geometry: An Adventure in Non-Euclidean Geo-metry”, Eugene Krause, 1975.

Definicija 2.7. Taksi metrika (znana tudi kot Manhattan razdalja), je definirana kot raz-dalja med tockama x = (x1, x2, . . . , xn) in y = (y1, y2, . . . , yn) v n-dimenzionalnem realnemprostoru Rn s fiksnim koordinatnim sistemom. Natancneje: kot vsota dolzin projekcij daljicemed tockama na koordinatni osi. Ali formalno

d1(x, y) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|+ · · ·+ |xn − yn| =n∑i=1

|xi − yi| .

Trikotniska neenakost za taksi metriko sledi direktno iz trikotniske neenakosti za obicajnoabsolutno vrednost. Ostali aksiomi so prav tako ocitni.

• Ena dimenzija (n=1): Na premici je taxi metrika enaka kar obicajni razdalji

d1(x, y) = |x− y| .

• Dve dimenziji (n=2): V evklidski ravnini, kjer sta x in y podana kot x = (x1, x2) in y =(y1, y2), bi taksi metriko zapisali kot

d1(x, y) = |x1 − y1|+ |x2 − y2| .

Pri sahu se v skladu s taksi metriko pomika trdnjava, ki se premika le vzporedno s koordina-tnima osema, in lovec, ki se pomika le po diagonalnih poljih iste barve (njegovi koordinatniosi sta torej rotirani pod kotom 45). [6]

2.4. Maksimum metrika

Definicija 2.8. Maksimum metrika je v prostoru Rn definirana kot razdalja med dvematockama x = (x1, ..., xn) in y = (y1, ..., yn) s pravilom

d∞(x, y) = max{|x1 − y1|, ..., |xn − yn|} = maxi=1,...,n

|xi − yi| .

Prve tri lastnosti metrike so ocitno izpolnjene. Poglejmo si se trikotnisko neenakost.Naj bodo x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) in z = (z1, . . . , zn) poljubne tocke iz Rn. Ker privsakem k ∈ {1, . . . , n} velja |xk − zk| ≤ |xk − yk|+ |yk − zk|, sledi

maxi=1,...,n

|xi − zi| ≤ maxi=1,...,n

(|xi − yi|+ |yi − zi|)

≤ maxi=1,...,n

|xi − yi|+ maxi=1,...,n

|yi − zi| .

• Ena dimenzija (n=1): Maksimum metrika med dvema tockama na realni osi je pravzapravenaka evklidski metriki v eni dimenziji. Torej je razdalja d∞ med tockama x in y podanakot

d∞(x, y) = |x− y| .

8 2. METRIKA

• Dve dimenziji (n=2): V ravnini R2, kjer sta tocki x in y definirani kot x = (x1, x2) in y =(y1, y2), maksimum metrika predstavlja najvecjo izmed vertikalne ali horizontalne razdalje(glej sliko 4):

d∞(x, y) = max {|y1 − x1| , |y2 − x2|}.

Slika 4. Maksimum metrika v ravnini

Oglejmo si primer izracuna razdalj po metrikah, ki smo jih spoznali do sedaj. Opazili bomo,da se razdalje med dvema tockama v razlicnih metrikah precej razlikujejo.

Primer 2.9. V ravnini R2 lezita tocki A(6, 1) in B(2, 4). Kako dalec sta ena od druge, cemerimo z:

- evklidsko metriko: d2((6, 1), (2, 4)) =√

(6− 2)2 + (1− 4)2 =√

25 = 5,

- taksi metriko: d1((6, 1), (2, 4)) = |6− 2|+ |1− 4| = 4 + 3 = 7,

- maksimum metriko d∞((6, 1), (2, 4)) = max{|6− 2| , |1− 4|} = max{4, 3} = 4.

Takoj tudi opazimo, da d∞ ≤ d2 ≤ d1. Seveda ta neenakost velja povsem splosno, kar lahkohitro zaznamo.

2.5. Druzina p-metrik

Vse tri metrike, ki smo jih vpeljali zgoraj, so posebni primeri tako imenovanih p-metrik.

2.5. DRUZINA P-METRIK 9

Definicija 2.10. Naj bosta x = (x1, ..., xn) in y = (y1, ..., yn) tocki v prostoru Rn. Metrikadp med tema tockama je za 1 ≤ p <∞ definirana s predpisom

dp(x, y) = p√|x1 − y1|p + |x2 − y2|p + · · ·+ |xn − yn|p = p

√√√√ n∑i=1

|xi − yi|p.

V primeru, da je p =∞, dp postane maksimum metrika.

• Ena dimenzija (n=1): Vsaka p-metrika med dvema tockama na realni osi je enaka obicajnievklidski metriki v eni dimenziji

d∞(x, y) = |x− y| .

• Dve dimenziji (n=2): V ravnini R2, kjer sta tocki x in y definirani kot x = (x1, x2) iny = (y1, y2), je p-metrika enaka

dp(x, y) = p

√|x1 − y1|p + |x2 − y2|p.

S pomocjo vira [1], dokazimo, da je predstavljena druzina res druzina metrik. Dokaz bo slediliz naslednje trditve.

Trditev 2.11 (Neenakost Minkovskega). : Naj bodo x1, . . . , xn in y1, . . . , yn nenegativnastevila in p ≥ 1. Potem velja(

n∑i=1

(xi + yi)p

)1/p

≤

(n∑i=1

xpi

)1/p

+

(n∑i=1

ypi

)1/p

.

Dokaz. Naj bo (x1, . . . , xn) = a(v1, . . . , vn) in (y1, . . . , yn) = b(w1, . . . , wn), pri cemer je

a =

(n∑i=1

xpi

)1/p

, b =

(n∑i=1

ypi

)1/p

, in zaton∑i=1

vpi = 1 tern∑i=1

wpi = 1. Ker je u 7→ |u|p konveksna

funkcija za p ≥ 1, za vsak i ∈ {1, . . . , n} velja

(tvi + (1− t)wi)p ≤ tvpi + (1− t)wpiin zato

n∑i=1

(tvi + (1− t)wi)p ≤n∑i=1

(tvpi + (1− t)wpi ) = 1.

Ce vstavimo t = aa+b

, dobimo

1

(a+ b)p

n∑i=1

(xi + yi)p ≤ 1

oziroma (n∑i=1

(xi + yi)p

)≤

( n∑i=1

xpi

)1/p

+

(n∑i=1

ypi

)1/pp

.

�

10 2. METRIKA

Izrek 2.12. Za 1 ≤ p <∞ je dp metrika na Rn.

Dokaz. Kot obicajno, je zares potrebno dokazati le trikotnisko neenakost, saj so ostalelastnost ocitne. Dokaz trikotniske neenakosti je direktna posledica neenakosti Minkowskega:

dp(x, y) + dp(y, z) =

(n∑i=1

|xi − yi|p)1/p

+

(n∑i=1

|yi − zi|p)1/p

≥

(n∑i=1

(|xi − yi|+ |yi − zi|)p)1/p

≥

(n∑i=1

|xi − zi|p)1/p

= dp(x, z).

�

Poglejmo si, da se razdalja med tockama zmanjsuje, ce povecujemo parameter p v druzinip-metrik.

Trditev 2.13. Naj bo p ≥ q ≥ 1 in x = (x1, . . . , xn) ter y = (y1, . . . , yn) poljubni tocki izRn. Potem je dp(x, y) ≤ dq(x, y).

Dokaz. Predpostavimo, da x 6= y in za vsak i ∈ {1, . . . , n}, oznacimo zi = |xi−yi|dq(x,y)

. Potem

za vsak i velja 0 ≤ zi ≤ 1 in zaton∑i=1

zpi ≤n∑i=1

zqi

oziroma1

(dq(x, y))p

n∑i=1

|xi − yi|p ≤1

(dq(x, y))q

n∑i=1

|xi − yi|q = 1,

kar pa ravno pomeni, da je dp(x, y) ≤ dq(x, y). �

Oznaka d∞ za maksimum metriko se tako dobro vklopi v naso druzino p-metrik. Vrednostidp(x, y) se priblizujejo vrednosti d∞(x, y).

Trditev 2.14. Naj bosta x = (x1, . . . , xn) in y = (y1, . . . , yn) poljubni tocki iz Rn. Potemvelja

limp→∞

dp(x, y) = d∞(x, y).

Dokaz. Naj bo d = d∞(x, y) = maxi=1,...,n |xi − yi| in zi = |xi−yi|d

. Potem je

dp(x, y) =

(n∑i=1

|xi − yi|p)1/p

= d

(n∑i=1

zpi

)1/p

.

2.5. DRUZINA P-METRIK 11

Ker za vsak i velja zi ≤ 1, pri cemer je vsaj za en tak i vrednost zi = 1, je

1 ≤

(n∑i=1

zpi

)1/p

≤ n1/p

in zato

limp→∞

(n∑i=1

zpi

)1/p

= 1

in s temlimp→∞

dp(x, y) = d = d∞(x, y).

�

Druzino p-metrik smo definirali le za 1 ≤ p < ∞ in posebej za p = ∞. Kaj pa se zgodi vprimeru, ko je p < 1? Hitro lahko ugotovimo, da v primeru p ≤ 1 funkcija dp ne zadoscatrikotniski neenakosti. Poglejmo si to v primeru dveh dimenzij (n = 2).Naj bo x = (1, 0), y = (0, 0) in z = (0, 1). Potem je dp(x, y) = dp(y, z) = 1 in dp(x, z) = 21/p.V primeru, ko je p < 1, je torej dp(x, z) > 2 ≥ dp(x, y) + dp(y, z). Nekoliko bolj geometrijskobi lahko opazili, da je trikotniska neenakost za funkcije dp pravzaprav posledica konveksnostienotske krogle s srediscem v izhodiscu koordinatnega sistema. Torej mnozice

Kp(0; 1) = {x ∈ Rn, dp(0, x) ≤ 1}.V primeru, ko je p ≥ 1, je ta mnozica konveksna, ce je p < 1 pa ni konveksna. Slika 5 namprikazuje mnozico K2/3 v primeru n = 2.

Slika 5. Astroida s formulo |x|2/3 + |y|2/3 = 1

POGLAVJE 3

Dolzina loka

V tem poglavju bomo predstavili, kako lahko izracunamo dolzino loka (krivulje) v R2 vrazlicnih metrikah, ki smo jih predstavili v prvem poglavju. Razen nekoliko bolj splosneobravnave v naslednjem razdelku, se bomo v tem poglavju omejili na racunanje dolzine lokagrafa funkcije f : [a, b]→ R v ravnini in ne bomo obravnavali povsem splosnih krivulj v R2.Seveda bralec lahko zlahka posplosi izracune na primer bolj splosnih krivulj.

3.1. Definicija dolzine loka v ravninskih metrikah

Naj bo d : R×R neka metrika in s : [a, b]→ R2 poljubna zvezna preslikava. V nadaljevanju sebomo ukvarjali predvsem z ravninskimi p-metrikami, tako da si zveznost lahko predstavljamokar kot obicajno zveznost. V primeru bolj splosne metrike d pa je smiselno predpostaviti, da jepreslikava zvezna kot preslikava v metricni prostor (R2, d). Kasneje bomo seveda predpostavilikaj vec od preslikave s. Obicajno bomo predpostavili zvezno odvedljivost.

Dolzino slike preslikave s ne moremo izmeriti kar z ravnilom. Zato postopamo s pomocjometode aproksimacije. Na intervalu [a, b] si izberemo koncno mnogo tock a = x0 < x1 <· · · < xn−1 < xn = b. Torej si izberemo delitev D intervala [a, b]. Tako dobimo n + 1 tockna loku s, in sicer T0 = s(x0), T1 = s(x1) . . . , Tn = s(xn). Razdalja med dvema sosednjimatockama Tk−1 in Tk je v nasem primeru seveda odvisna od izbrane metrike d, in je enakad(Tk−1, Tk). Definirajmo

λ(s,D) =n∑k=1

d(Tk−1, Tk)

kot aproksimacijo dolzine loka pri dani delitvi D.

Trditev 3.1. Naj bosta D = {x0, x1, . . . .xn} in D′ = {x′0, x′1, . . . .x′m} dve delitvi intervala[a, b], pri cemer je D ⊂ D′ (recemo, da je delitev D′ bolj fina od delitve D). Potem velja

λ(s,D′) ≥ λ(s,D).

Dokaz. Dokaz je direktna poslednica trikotniske neenakosti. �

Zgornja trditev nam pove, da nam finejse delitve naceloma povecajo vrednost aproksimacijedolzine loka. V kolikor so aproksmacije omejene z neko vrednostjo, lahko definiramo dolzinoloka.

Definicija 3.2. Naj bo s : [a, b]→ (R2, d) zvezna preslikava. Ce obstaja supremum

l(s) = supDλ(s,D)

13

14 3. DOLZINA LOKA

recemo, da ima preslikava s koncno dolzino l(s). Ce supremum ne obstaja, recemo, da imapreslikava s neskoncno dolzino.

Seveda se lahko zgodi, da je dolzina loka neskoncna, ce smo od s predpostavili le zveznost.Kasneje bomo videli, da je v primeru, ko je s zvezno odvedljiva in imamo opravka z eno odp-metrik, dolzina loka vedno koncna.

Trditev 3.3. Naj bo s : [a, b]→ (R2, d) zvezna. Naj bo c ∈ (a, b) in definirajmo s1 = s|[a,c] :[a, c] → (R2, d) ter s2 = s|[c,b] : [c, b] → (R2, d). Potem ima s koncno dolzino natanko tedaj,ko imata s1 in s2 koncno dolzino. Velja

l(s) = l(s1) + l(s2).

Dokaz. Pri dokazovanju trditve 3.3, se bomo oprli na [1] in trditev 3.1.Vzemimo poljubno delitev D1 intervala [a, c], poljubno delitev D2 intervala [c, b] in naj bostas1 in s2 pripadajoca loka. Jasno je, da pri zdruzitvi teh dveh delitev dobimo novo delitevD = D1 ∪D2 intervala [a, b].Ocitno je vsota aproksimacij dolzin loka pri delitvah D1 in D2 enaka aproksimaciji dolzineloka pri delitvi D in kvecjemu enaka dolzini celotnega loka.

λ(s1, D1) + λ(s2, D2) = λ(s,D) ≤ l(s)

Ker je λ(s1, D1) ≤ l(s)− λ(s2, D2) za katerokoli delitev D1 intervala [a,c], je tudi

l(s1) ≤ l(s)− λ(s2, D2).

Tako dobimo λ(s2, D2) ≤ l(s) + l(s1). Ker to velja tudi za vsako delitev D2 intervala [c, b],je tudi l(s2) ≤ l(s)− l(s1) oziroma

l(s1) + l(s2) ≤ l(s).

Vzemimo sedaj poljubno delitev D intervala [a, b]. Naj bo D′ finejsa delitev od delitveD ∪ (a, c, b). Potem je D′ = D1 ∪ D2 za neko delitev D1 intervala [a, c] in neko delitev D2

intervala [c, b]. Po trditvi 3.1 velja

λ(s,D) ≤ λ(s,D′) = λ(s1, D1) + λ(s2, D2) ≤ l(s1) + l(s2).

Ker to velja za vsako delitev D, je tudi l(s) ≤ l(s1) + l(s2). �

3.2. DOLZINA LOKA V EVKLIDSKI METRIKI 15

3.2. Dolzina loka v evklidski metriki

Za zacetek si poglejmo racunanje dolzine loka v obicajni evklidski razdalji.

Slika 6. Aproksimacija v metriki d2

Kot lahko opazimo, smo na sliki 6 graf funkcije f aproksimirali s poligonsko crto, dolocenoz n = 9 tockami (T0, T1, . . . , T8) na grafu. V splosnem vzamemo poljubno delitev D ={x0, x1, . . . , xn; 0 = x0 < x1 < · · · < xn = b} in tako dobimo n + 1 tock Ti = (xi, f(xi))na grafu funkcije f . Vsaka od dolzin delov poligonske crte je enaka evklidski razdalji medtockama Ti−1 in Ti.

|Ti−1, Ti| =√

(xi − xi−1)2 + (yi − yi−1)2

=√

(xi − xi−1)2 + (f(xi)− f(xi−1))2

Ce od funkcije f predpostavimo, da je zvezno odvedljiva, lahko uporabimo Lagrangeov izrek

Izrek 3.4 (Lagrangeov izrek). Naj bo funkcija f : [a, b] → R zvezna na [a, b] in odvedljivana (a, b). Potem obstaja ξ ∈ (a, b), da velja:

f(b)− f(a) = f ′(ξ)(b− a)

in formulo preoblikujemo v

16 3. DOLZINA LOKA

|Ti−1, Ti| =√

(xi − xi−1)2 + (f(xi)− f(xi−1))2

=√

(xi − xi−1)2 + (f ′(ξi)(xi − xi−1))2

=√

(xi − xi−1)2 + f ′(ξi)2(xi − xi−1)2

= (xi − xi−1)√

1 + f ′(ξi)2.

Dolzina aproksimacije pri delitvi D je potem

l2(f,D) =n∑i=1

|Ti−1, Ti| =n∑i=1

(xi − xi−1)√

1 + f ′(ξi)2,

kjer so ξi neke tocke na intervalih [xi−1, xi]. To je ravno Riemannova vrsta za funkcijo√1 + f ′(x)2 za to delitev D in izbiro tock ξ1, . . . , ξn intervala [a, b]. Kot vemo, je Riemannov

integral definiran kot posplosena limita Riemannovih vsot, ko delitve intervala delamo vsebolj fine (dolzino najdaljsega podintervala posljemo proti 0). Ker smo predpostavili, da jefunkcija f zvezno odveljiva, Riemannov integral omenjene korenske funkcije na [a, b] obstaja.Zato obstaja tudi l2(f) = supD l2(f,D) in velja

l2(f) =

∫ b

a

√1 + f ′(x)2dx.

Oglejmo si primer.

Primer 3.5. Poisci dolzino krivulje f(x) = x3

6+ 1

2xna intervalu x ∈ [1, 2] v metriki d2.

Pomagaj si s sliko 7 (Vir [7]).

Slika 7. Funkcija f(x) = x3

6+ 1

2xna intervalu x ∈ [1, 2]

3.3. DOLZINA LOKA V TAKSI METRIKI 17

l =

∫ b

a

√1 + f ′(x)2dx

=

∫ 2

1

√1 + ((

x3

6+

1

2x)′)2dx =

∫ 2

1

√1 + (

x2

2− 1

2x2))2dx

=

∫ 2

1

√1 +

x4

4+

1

4x4− 1

2dx =

∫ 2

1

√x4

4+

1

4x4+

1

2dx

=

∫ 2

1

√(x2

2+

1

2x2)2dx =

∫ 2

1

(x2

2+

1

2x2)dx

= (x3

6− 1

2x)∣∣∣21

= (8

6− 1

4)− (

1

6− 1

2)

=17

12

Sedaj pa si oglejmo se izracun dolzine loka v drugih, ne tako intuitivnih metrikah.

3.3. Dolzina loka v taksi metriki

Kot prej bomo tudi tokrat uporabili metodo aproksimacije. Pomagali si bomo s sliko 8 (Vir[8]).

Slika 8. Aproksimacija v metriki d1

Predpostavimo zopet, da je f : [a, b] → R zvezno odvedljiva, D = {x0, x1, . . . , xn; a = x0 <x1 < · · · < xn = b} neka delitev intervala [a, b] in Ti = (xi, f(xi)) pripadajoce tocke na grafufunkcije f . V primeru d1 metrike je razdalja med Ti−1 in Ti enaka evklidski dolzini lomljenecrte, ki tocki povezuje in je vzporedna koordinatnima osema, torej

18 3. DOLZINA LOKA

d1(Ti−1, Ti) = |xi − xi−1|+ |yi − yi−1|= |xi − xi−1|+ |f(xi)− f(xi−1)|= |xi − xi−1|+ |f ′(ε)(xi − xi−1)|= |xi − xi−1|+ |f ′(ε)||(xi − xi−1)|= |xi − xi−1|(1 + |f ′(ε)|).

Dolzina aproksimacije pri delitvi D je tako

l1(f,D) =n∑i=1

d1(Ti−1, Ti) =n∑i=1

(xi − xi−1)|1 + f ′(ξi)|,

kjer so ξi neke tocke na intervalih [xi−1, xi]. Podobno kot prej tudi tokrat dobimo formulo zaizracun dolzine grafa v d1 metriki

l1(f) =

∫ b

a

(1 + |f ′(x)|)dx.

Na tem mestu je vredno omeniti posebnost obravnavane metrike. Med tem ko je v evklidskimetriki le ravna crta tista, ki minimizira razdaljo med dvema tockama, v taksi metriki vsakanarascajoca oziroma padajoca funkcija minimizira razdaljo med svojima krajiscima (glej sliko9).

Slika 9. Enakost razdalj razlicnih krivulj v metriki d1

Izrek 3.6. Naj bo funkcija f : [a, b]→ R narascajoca (oz. padajoca) in zvezna na intervalu[a, b]. Potem je dolzina loka funkcije f nad [a, b] enaka

l = (b− a) + |f(b)− f(a)|.

3.3. DOLZINA LOKA V TAKSI METRIKI 19

Dokaz. Naj bo f narascajoca zvezna funkcija na [a, b] in D = {x0, x1, . . . , xn; a = x0 <x1 < · · · < xn = b} poljubna delitev. Potem je

l1(f,D) =n∑i=1

d1(Ti−1, Ti) =n∑i=1

(xi − xi−1 + f(xi)− f(xi−1) = (b− a) + f(b)− f(a).

Podobno pokazemo za padajoco funkcijo. �

Oglejmo si primer racunanja dolzine loka v metriki d1.

Primer 3.7. Zaradi nazornosti in primerjave dolzin v razlicnih metrikah, uporabimo kar istiprimer, kot pri metriki d2. Poiscimo torej dolzino grafa funkcije f(x) = x3

6+ 1

2xna intervalu

x ∈ [1, 2] v metriki d1. Pomagaj si s sliko 7 (Vir [7]).

l =

∫ b

a

(1 + |f ′(x)|)dx

=

∫ 2

1

(1 + |x2

2− 1

2x2|)dx

Ko si ogledamo graf odvoda dane funkcije v absolutni vrednosti (glej sliko 10), lahko vidimo,da nas v danih mejah (od x = 1 do x = 2) zanima le pozitivna vrednost odvoda.

Slika 10. Graf odvoda dane funkcije v absolutni vrednosti

Sledi torej:

20 3. DOLZINA LOKA

l =

∫ 2

1

(1 +x2

2− 1

2x2)dx

=

∫ 2

1

1dx+

∫ 2

1

(x2

2− 1

2x2)dx

= x∣∣∣21

+ (x3

6− 1

2x)∣∣∣21

= (2− 1) + ((8

6+

1

4)− (

1

6+

1

2))

=23

12.

Opomba 3.8. Ce se ozremo nazaj, opazimo, da je dolzina loka iste funkcije v metriki d1 vecjaod dolzine loka v metriki d2. Seveda neenakost

l1(f) ≥ l2(f)

velja povsem splosno, saj je d1 ≥ d2. Hitro se lahko tudi prepricamo, da enakost velja le vprimeru poligonskih crt, ki so vzporedne z osema, v vseh ostalih primerih krivulj pa veljastroga neenakost.

3.4. Dolzina loka v maksimum metriki

Tudi pri izracunu dolzine loka v maksimum metriki postopamo analogno kot do sedaj.Najprej zopet predpostavimo, da je f : [a, b] → R zvezno odvedljiva, izberemo delitev Dintervala [a, b] in pripadajoce tocke na grafu. V primeru maksimum metrike je razdalja medtockama Ti−1 in Ti enaka najvecji izmed vertikalne in horizontalne dolzine lomljene crte, kitocki povezuje in je vzporedna osema, torej

d∞(Ti−1, Ti) = maxi=1,...,n

{|xi − xi−1| , |yi − yi−1|}

= maxi=1,...,n

{|xi − xi−1| , |f(xi)− f(xi−1)|}

= maxi=1,...,n

{|xi − xi−1|, |f ′(ε)(xi − xi−1)|}

= maxi=1,...,n

{|xi − xi−1|, |f ′(ε)||(xi − xi−1)|}

= |xi − xi−1| maxi=1,...,n

{1, |f ′(ε)|}.

Kot v prejsnjih dveh metrikah je tudi v tem primeru dolzina aproksimacije pri delitvi D

l∞(f,D) =n∑i=1

d∞(Ti−1, Ti) =n∑i=1

(|xi − xi−1|) maxi=1,...,n

{1, |f ′(ξi)|}

3.4. DOLZINA LOKA V MAKSIMUM METRIKI 21

kjer so ξi tocke intervalov [xi−1, xi]. Tako dobimo formulo za izracun dolzine grafa v d∞metriki

l∞(f) =

∫ b

a

max{1, |f ′(x)|}dx.

Oglejmo si sedaj se primer izracuna dolzine loka v maksimum metriki.

Primer 3.9. Izracunaj dolzini grafov funkcije f(x) = sin(x) in g(x) = 0 na intervalu x ∈[0, 2π] v metriki d∞.

l =

∫ b

a

max{1, |f ′(x)|}dx

=

∫ 2π

0

max{1, cos(x)}dx

=

∫ 2π

0

1dx

= x∣∣∣20π

= 2π

l =

∫ b

a

max{1, |g′(x)|}dx

=

∫ 2π

0

max{1, 0}dxdx

=

∫ 2π

0

1dx

= x∣∣∣20π

= 2π

Opomba 3.10. Opazimo, da imata dve zelo razlicni funkciji na nekem intervalu isto dolzinoloka. Spomnimo se, da se nam je to zgodilo tudi v taksi metriki.Izkaze se, da imamo lahko v primeru d1 in d∞ vec razlicnih geodetk med dvema tockama vravnini. Razlog za ta pojav je dejstvo, da enotska krogla tako v d1 kot tudi v d∞ ni strogokonveksna (Glej sliki 11 in 12).

22 3. DOLZINA LOKA

Slika 11. Enotska krogla v metriki d1

Slika 12. Enotska krogla v metriki d∞

3.5. Dolzina loka v splosni p-metriki

Poglejmo si sedaj splosen primer p-metrike. Po izvedbi povsem analognega postopka kot vzgornjih dveh primerih se izkaze, da je dolzina grafa zvezno odvedljive funkcije f : [a, b]→ Rv omenjeni metriki enaka

lp(f) =

∫ b

a

p√

1 + |f ′(x)|pdx.

POGLAVJE 4

Sklep

V diplomskem delu smo raziskovali ravninske metrike in se osredotocili na merjenje dolzineodsekov krivulj. Zaceli smo s ponovitvijo osnovnih pojmov metrike. Sledila je predstavitevbolj ali manj znanih metrik, ki jih lahko uporabimo v ravnini. Za vsako predstavljeno metrikosmo si pogledali tudi nacin racunanja razdalje med dvema tockama, tako v splosnem kot tudiv eni in dveh dimenzijah. Na konkretnem primeru smo videli, da se razdalje v ravnini meddvema fiksnima tockama med metrikami razlikujejo. Konec drugega poglavja smo spoznalise druzino p-metrik in nekaj lastnosti, ki veljajo zanjo. Razlozili smo, zakaj za p < 1 funkcijadp ni metrika.

V nadaljevanju smo z metodo aproksimacije izpeljali izracun dolzine loka na intervalu funk-cije v vseh prej navedenih metrikah. Pri nekaterih metrikah smo ugotovili, da imata lahkodve razlicni funkciji nad istim intervalom isto dolzino loka.

23

Literatura

[1] Vrabec J. Metricni prostori. Ljubljana, Drustvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, 1990.

[2] Metric and Topological Spaces, T. W. Korner (17.8.2015). Spletni naslov:https://www.dpmms.cam.ac.uk/ twk/Top.pdf

[3] Lipschutz S. Theory and problems of General Topology. New York, Schaum publishing company, 1965.

[4] Taxi!, Joe Malkevitch (17.3.2016). Spletni naslov: http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-taxi

[5] History / Applications (14.5.2014). Spletni naslov: http://taxicabgeometry.altervista.org/general/history.html

[6] The Nature of Length, Area, and Volume in Taxicab Geometry, P. K. Thompson (14.1.2011). Spletninaslov: https://arxiv.org/pdf/1101.2922.pdf

[7] Arc Length of a Curve, B. Simmons (7.7.2016). Spletni naslov:http://www.mathwords.com/a/arc length of a curve.htm

[8] Arc Length (14.5.2014). Spletni naslov: http://taxicabgeometry.altervista.org/measures/arc length.html

[9] Hermann Minkowski (11.5.2016). Spletni naslov:http://www.thefamouspeople.com/profiles/images/hermann-minkowski-2.jpg

25