Embed Size (px)
Citation preview
ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FOKAL EĞRİLER VE YÜZEYLER ÜZERİNE
Fatma GÖKÇELİK
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA 2012
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Yüksek LisansTezi
FOKAL EGRILER VE YÜZEYLER ÜZERINE
Fatma GÖKÇELIK
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danısman: Doç. Dr. F. Nejat EKMEKCI
Bu tez altıbölümden olusmaktadır.
Ilk bölüm giris kısmına ayrılmıstır.
Ikinci bölümde, sonraki bölümlerde kullanacagımız bazıtemel tanımlara ve teorem-
lere yer verilmistir.
Üçüncü bölümde, (n+ 1)−boyutlu Öklid uzayında fokal egrilerle ilgili karakteri-zasyonlar verilmistir.
Dördüncü bölümde, (n+1)−boyutlu Minkowski uzayında fokal egriler incelenmistir.
Besinci bölümde, 3−boyutlu Öklid uzayında fokal yüzeylerin ve genellestirilmis fokalyüzeylerin tanımlarıverilmistir.
Son bölümde ise, fokal egrilerin serit egrilikleri hesaplanmıstır. Ayrıca, yüzey
üzerindeki bir egrinin fokal egrisinin, hangi durumlarda yüzeyin fokal yüzeyi üzerinde
bulundugu arastırılarak bununla ilgili karakterizasyonlar verilmistir.
Haziran 2012, 80 sayfa
Anahtar Kelimeler : Fokal egriler, Fokal egrilikler, Fokal yüzeyler.
i
ABSTRACT
Master Thesis
ON FOCAL CURVES AND SURFACES
Fatma GÖKÇELIK
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. F. Nejat EKMEKCI
This thesis consists of six chapters.
In the first chapter is devoted to the introduction.
The second chapter, some fundamental concepts and theorems which are going to
be used in the following parts were explained.
In the third chapter, the characterizations of the focal curves in (n+1)−dimensionalEuclidean space En+1 are given.
In the fourth chapter, focal curves in (n + 1)−dimensional Minkowski space En+11
are investigated.
In the fifth chapter, the definitions of focal surfaces and generalized focal surfaces in
3−dimensional Euclidean space are given.
In the last chapter, strip curvatures of the focal curves are calculated. Even, inves-
tigated the most question "When focal curve of the curve lies on the focal surface of
the surface which the curve lies?".
June 2012, 80 pages
Key Words: Focal curves, Focal curvatures, Focal surfaces.
ii
TESEKKÜR
Bu çalısma konusunda, çalısmalarım boyunca yakın ilgi ve yardımlarınıesirgemeyen
hocam, Sayın Doç. Dr. F. Nejat EKMEKCI (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’ye
en içten saygıve minnetlerimi sunarım.
Yüksek lisans egitimime basladıgım andan itibaren benden destegini esirgemeyen
Sayın Prof. Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’ya, Sayın Yrd.
Doç. Dr. Ismail GÖK (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’e ve haftalık seminerler-
imizde benimle birlikte olan arkadaslarıma en içten tesekkürlerimi sunarım.
Bu tez TÜBITAK tarafından desteklenmistir. TÜBITAK’a en içten tesekkürlerimi
sunarım.
Hayatımın tüm asamalarında beni yalnız bırakmayan ve destekleyen aileme, dost-
larıma sonsuz tesekkürler ederim.
Fatma GÖKÇELIK
Ankara, Haziran 2012
iii
IÇINDEKILER
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (i)
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii)
TESEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (iii)
SIMGELER DIZINI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (v)
SEKILLER DIZINI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (vi)
1. GIRIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. TEMEL KAVRAMLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1 Egriler Teorisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. En+1 DE FOKAL EGRILER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1 Giris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 En+1 de Bir Egrinin Fokal Egrisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 En+1 de Fokal Egrinin Frenet Çatısı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4. En+11 MINKOWSKI UZAYINDA FOKAL EGRILER . . . . 28
4.1 En+11 Minkowski Uzayında Temel Tanımlar ve Kavramlar 28
4.2 En+11 Minkowski Uzayında Fokal Egriler . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 En+11 Minkowski Uzayında Fokal Egrinin Frenet Çatısı . . 40
5. E3 DE FOKAL YÜZEYLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1 E3 de Yüzey ile Ilgili Temel Tanımlar ve Kavramlar . . . . . 44
5.2 E3 de Fokal Yüzeyler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 Genellestirilmis Fokal Yüzeyler . 53
6. E3 DE FOKAL EGRILER IÇIN EGRI-YÜZEY ÇATISI . 64
6.1 Giris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2 Fokal Egri Için Egri-Yüzey Ikilisinin Egrilikleri . . . . . . . . . 68
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
ÖZGEÇMIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
iv
SIMGELER VE KISALTMALAR DIZINI
M Manifold
χ(M) M cümlesinin teget vektör alanlarının uzayı
TPM M cümlesinin P noktasındaki teget vektör alanlarının uzayı
En+1 (n+ 1)−boyutlu Öklid uzayEn+11 (n+ 1)−boyutlu Minkowski uzayı
α Egri
Cα α egrisinin fokal egrisi
ci α egrisinin i−inci fokal egrilik fonksiyonumi α egrisinin i−inci fokal egrilik fonksiyonuκ α egrisinin 1. egriligi
τ α egrisinin 2. egriligi (torsiyonu)
a(s) Oskülatör kürenin merkezi
r(s) Oskülatör kürenin yarıçapı
‖, ‖ Norm
X Regüler yüzey
Y Fokal yüzey
N X yüzeyinin birim normal vektör alanı
NY Y fokal yüzeyin birim normal vektör alanı
E,F,G X yüzeyinin I. temel form katsayıları
l,m, n X yüzeyinin II. temel form katsayıları
E∗, F ∗, G∗ Y fokal yüzeyin I. temel form katsayıları
l∗,m∗, n∗ Y fokal yüzeyin II. temel form katsayıları
k1 X yüzeyinin 1. asli egriligi
k2 X yüzeyinin 2. asli egriligi
M Regüler yüzey
M M yüzeyinin fokal yüzeyi
v
vi
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 3.1 γ eğrisi ve γ eğrisinin evolüt eğrisi γ ........................................................ 12
Şekil 3.2 Helis eğrisi (kalın) ve onun Fokal eğrisi (ince) ............................................... 17
Şekil 3.3 Çemberin kaustik eğrisi olarak elips eğrisi .................................................... 18
Şekil 3.4 Çemberin kaustik eğrisi olarak hiperbol eğrisi ............................................. 19
Şekil 3.5 Doğrunun kaustik eğrisi olarak parabol eğrisi ............................................... 19
Şekil 5.1 Fokal noktalar ................................................................................................. 51
Şekil 5.2 Yüzey ile Fokal yüzeyleri .............................................................................. 52
Şekil 5.3 Koni ve koninin Fokal yüzeyleri .................................................................... 62
Şekil 6.1 Eğri-yüzey çatısı ............................................................................................. 64
Şekil 6.2.a Helikoid ve α eğrisi b Helikoidin Fokal yüzeyi ve
αC eğrisi .......................................................................................................... 75
1. GIRIS
Egriler, günlük yasantımızın vazgeçilmez bir parçasıdır. Onlar sayesinde birçok bil-
giye kolaylıkla ulasırız. Örnegin; kalp grafisi çekilirken kalbimizin düzenli çalısıp
çalısmadıgıegrilerle anlasılır. Ayrıca, temel yapıtasımız olan hücrelerin içinde bu-
lunan DNA molekülü de helis egrisi adınıverdigimiz egrilerden olusmaktadır. Daha
birçok canlının yapısında ve dogada egriler vardır. Yasam için bu kadar önemli olan
bir kavram, bütün bilim dallarının ilgisini çektigi gibi matematigin de ilgisini çek-
mistir ve bilim adamlarıegrilerin özelliklerini incelemek için uzun yıllar çalısmalar
yapmıslardır; fakat bazıproblemlere cevap aranırken egrilerin özelliklerini tespit et-
mek zorlasır, bu yüzden egriye arkadas olan egrilerle ingilenilmistir. Bu arkadas
egrilerden bir tanesi de Fokal egriler olarak karsımıza çıkar. Fokal egri, egrinin her
noktasındaki oskülatör kürelerin merkezlerinin geometrik yeri olarak tanımlanmıstır.
Ayrıca, Fokal egriler egrinin zarf egrisi olan evolüt egrisi olarak da düsünülebilir. Bu
sayede, Fokal egrilerden yararlanarak egrinin birçok özelligini bilmek mümkündür.
Örnegin, Fokal egrinin hız vektörünün kritik noktalarıbize egrinin eksenleri kestigi
noktayı, bir baska deyisle, köse noktalarınıverir.
Fizikte optik geometri alanında da Fokal egriler önemlidir. Bunu incelemelerinin
en önemli sebebi, canlıların göz yapısında da bir odak noktasının bulunmasıdır.
Dolayısıyla, en iyi görüntüyü alabilmek, kırılan ısık ısınlarınıbir noktada toplamakla
mümkündür. Bu nokta da odak (Fokal) noktasıolacagından, bu noktanın egriden
veya yüzeyden ne kadar uzaklıkta oldugunu bilmek önemlidir.
Bu alanda birçok çalısma yapılmıstır ve bu çalısmalardan bazılarısunlardır:
Hacısalihoglu (1980), n çift ve n ≥ 4 olmak üzere, (n+ 1)-boyutlu Öklid uzayındaki
bir egrinin Fokal egrisinin, Fokal egrilikleri ile genel helis olma sartınıvermistir.
Hagen vd. (1991), Fokal yüzeylerin dogruların kongrüanslarıolarak bilinen yüzeyler
olmasıözelliginden yararlanarak, dogru kongrüanslarınıilk defa görüntüleme alanında
1
tanımlamıslardır.
Hagen ve Hahmann (1992), ilk kez Fokal yüzeyleri genellestirmislerdir.
Vargas (2005), bir egrinin köse noktalarının o egrinin oskülatör hiperküresinin yarı-
çapının kritik noktalarıoldugunu söyleyerek, Fokal egrilerden ve onların Fokal egri-
liklerinden yararlanarak egrilerde köse kavramına farklıbir bakıs açısısaglamıstır.
Özdemir (2008), doktora çalısmasında Fokal egriler ve Fokal yüzeylerin karakteri-
zasyonunu n−boyutlu Öklid uzayında vermistir.
Arslan vd. (2010), çizgili yüzeylerin dayanak egrisini Fokal egri seçerek açılabilir
yüzeyler için karakterizasyonlar elde etmislerdir.
Körpınar ve Turhan (2011), çalısmalarında katıhareketlerin Lorentz grubunda space-
like biharmonik genel helislerin Fokal egrilerini incelemislerdir. Fokal egrilikleri kul-
lanarak, biharmonik genel helisleri karakterize etmislerdir. Hatta, Fokal egri-
lerden yararlanarak açılabilir yüzeylerin özel türü için parametrik denklemler elde
etmisledir.
Iki parametreli yüzeyler için de benzer düsüncelerden hareketle Fokal yüzey kavramı
düsünülmüstür ve Fokal yüzeyler; verilen yüzeyin parametre egrilerinden, yüzeyin
normali dogrultusunda, asli egriliklerin çarpmaya göre tersi kadar uzaklıkta bulunan
noktaların geometrik yeri olarak tanımlanmıstır.
2
Biz de bu çalısmalardan yararlanarak Fokal yüzeylerin geometrisi ve Fokal egrinin
özellikleri üzerinde durduk ve bunlar için yeni sonuçlar ve formüller elde ettik.
Ayrıca, bu alanda yapılan çalısmalar çogunlukla egrinin bir noktasında kurulan
Frenet çatısıyardımıyla elde edilmistir, fakat; geometride, fizikte ve benzeri bilim
dallarında karsılasılan bazıproblemlerin çözümleri için Öklid dısı(Öklid olmayan)
geometrilere ihtiyaç duyuldugundan biz de tez çalısmamızda egriler için Minkowski
uzayındaki çatıyıkullanarak, bazısonuçlar ve karakterizasyonlar elde ettik.
Yüzeyler konusunda, 3−boyutlu Öklid uzayında Fokal yüzeylerin ve genellesti-
rilmis Fokal yüzeyin tanımlarını vererek; genellestirilmis Fokal yüzeyin birinci ve
ikinci temel form katsayılarını, üretildigi yüzeyin birinci ve ikinci temel form kat-
sayılarınıkullanarak hesapladık. Dahası, verilen bir yüzey üzerinde alınan egrinin
Fokal egrisinin, verilen yüzeyin Fokal yüzeyi üzerinde bulunma sartınıarastırdık ve
bununla ilgili karakterizasyonlar verdik. Son bölümde ise, Fokal egrinin serit egri-
liklerini hesapladık.
3
2. TEMEL KAVRAMLAR
Tanım 2.1 (Topoloji): X bir cümle olsun. X in alt cümlelerinin bir koleksiyonu
τ olsun. τ koleksiyonu
i) X , ∅ ∈ τ ,
ii) ∀ A1, A2 ∈ τ ⇒ A1 ∩ A2 ∈ τ ,
iii) Ai ∈ τ , i ∈ I,⋃i∈IAi ∈ τ
önermelerini dogrularsa τ cümlesine, X üzerinde bir topolojidir denir
(Hacısalihoglu 2000).
Tanım 2.2 (Topolojik uzay): BirX cümlesi ve üzerindeki τ topolojisinden olusan
(X, τ) ikilisine bir topolojik uzay denir (Hacısalihoglu 2000).
Tanım 2.3 (Hausdorffuzayı): (X, τ) bir topolojik uzay olsun. X in P ve Q gibi
farklı iki noktaları için, X de, sırası ile, P ve Q noktalarını içine alan AP ve AQ
açık alt cümleleri AP ∩ AQ = ∅ olacak biçimde bulunabilirse X topolojik uzayına
bir Hausdorff uzayıdenir (Hacısalihoglu 2000).
Tanım 2.4 (Homeomorfizim): X ve Y birer topolojik uzay olsunlar. Bir
f : X → Y
fonksiyonu sürekli ise ve bu fonksiyonun tersi f−1 var ve sürekli ise f ye X den Y
ye bir homeomorfizim veya topolojik dönüsüm denir (Hacısalihoglu 2000).
Tanım 2.5 (Topolojik manifold): M bir topolojik uzay olsun. M için asagıdaki
önermeler dogru ise M bir n−boyutlu topolojik manifolddur denir.
M1) M bir Hausdorff uzayıdır.
M2) M nin her bir açık alt cümlesi En e veya En nin bir açık alt cümlesine homeo-
morftur.
M3) M sayılabilir çoklukta açık cümlelerle örtülebilir (Hacısalihoglu 2000).
4
Tanım 2.6 (Harita): M bir topolojik manifold olsun. P ∈M noktasının M deki
bir açık komsulugu, En in bir U açık alt cümlesine homeomorf olarak alınabilir. Bu
homeomorfizimi
ψ : U → V
ile gösterelim. (U, ψ) ikilisine M nin P noktasındaki bir haritası veya koordinat
komsulugu denir (Hacısalihoglu 2000).
Tanım 2.7 (Atlas): M bir topolojik n−manifold ve M nin bir açık örtüsü {Uα}
olsun. Uα açık cümlelerinin α indislerinin cümlesi A olmak üzere {Uα} örtüsü için
{Uα}α∈A yazılır. En de Uα ya bir ψα homeomorfizimi altında homeomorf olan bir
açık cümle Uα olsun. Böylece ortaya çıkan (Uα, ψα) haritalarının {(Uα, ψα)}α∈Akoleksiyonuna bir atlas (koordinat komsulugu sistemi) denir (Hacısalihoglu 2000).
Tanım 2.8 (Diferensiyellenebilir yapı): Bir topolojik n−manifold M ve M nin
bir atlasıS = {(Uα, ψα)}α∈A olsun. Eger S atlasıiçin, Wα ∩Wβ 6= ∅ olmak üzere,
∀α, β ∈ A ya karsılık φαβ ve φβα fonksiyonlarıCk sınıfından diferensiyellenebilir
iseler S ye Ck sınıfından diferensiyellenebilirdir denir. S atlasıM üzerinde Ck
sınıfından oldugu zaman S ye M üzerinde Ck sınıfından diferensiyellenebilir yapı
denir (Hacısalihoglu 2000).
Tanım 2.9 (Afin Uzay): A bos olmayan bir cümle, V de F cismi üzerinde bir
vektör uzayıolsun. Bir
ψ : A× A→ V
dönüsümü ∀P,Q,R ∈ A için
(P,Q)→ ψ(P,Q) =−→PQ
seklinde tanımlansın. Eger, asagıdaki iki aksiyom saglanıyorsa A ya V ile birlestir-
ilmis bir afin uzay denir (Hacısalihoglu 1983).
5
Tanım 2.10 (Reel iç çarpım uzayı): R reel sayılar cismi ve V de bir vektör uzayı
olmak üzere, V de bir
〈, 〉 : V × V → R
∀v, w ∈ V için
(v, w)→ 〈, 〉 (v, w) = 〈v, w〉 ∈ R
iç çarpım fonksiyonu tanımlanabilirse, V vektör uzayına iç çarpım uzayıdenir
(Hacısalihoglu 1975).
Tanım 2.11 (Öklid uzayı): n boyutlu bir reel iç çarpım uzayıV olmak üzere, V
ile birlestirilmis bir A afin uzayına, Öklid uzayıdenir ve En ile gösterilir
(Hacısalihoglu 1980).
Tanım 2.12 (Standart iç çarpım): n boyutlu Öklid uzayıEn de
∀x = (x1, x2, ..., xn) , y = (y1, y2, ..., yn) ∈ En için
〈x, y〉 =n∑i=1
xiyi
seklinde tanımlanan fonksiyona standart iç çarpım veya Öklid iç çarpımı denir
(Hacısalihoglu 2000).
Tanım 2.13 (Norm): n boyutlu Öklid uzayıEn de
∀x = (x1, x2, ..., xn) ∈ En için
‖x‖ =√〈x, x〉
seklinde tanımlanan fonksiyona x vektörünün normu denir (Hacısalihoglu 2000).
6
Tanım 2.14 (Vektörel çarpım): 3 boyutlu Öklid uzayıE3 de
∀x = (x1, x2, x3) , y = (y1, y2, y3) ∈ E3 için Öklid vektörel çarpımı
x× y = (x2y3 − y2x3,x3y1 − y3x1,x1y2 − y1x2)
seklinde tanımlanır (Hacısalihoglu 2000).
7
2.1 Egriler Teorisi
Tanım 2.1.1 (Egri): I, R nin bir açık aralıgıolmak üzere, α : I → En+1 biçiminde
C∞ sınıfından bir α dönüsümüne, En+1 uzayıiçinde bir egri denir
(Sabuncuoglu 2004).
Tanım 2.1.2 (Diferensiyellenebilir egri): M bir C∞ manifold ve I ⊆ R bir açık
aralık olsun.
α : I →M ⊆ En+1
dönüsümü diferensiyellenebilir ise α ya M üzerinde diferensiyellenebilir egri denir
(Hacısalihoglu 1980).
Tanım 2.1.3 En+1 de bir M egrisi (I, α) koordinat komsulugu ile verilsin.
α : I → En+1 fonksiyonunun Öklidiyen koordinat fonksiyonlarıα1, α2, ..., αn olmak
üzere
α = (α1, α2, ..., αn+1), α(t) ∈M
ve
α′(t) = (
∂α1
∂t,∂α2
∂t, ...,
∂αn+1
∂t)
dır. α′(t) tanjant vektörüne, M egrisinin t ∈ I parametre degerine karsılık gelen
α(t) noktasında, (I, α) koordinat komsuluguna göre hız vektörü denir
(Hacısalihoglu 2000).
Tanım 2.1.4 En+1 de bir M egrisi (I, α) koordinat komsulugu ile verilmis olsun.
Eger ∀s ∈ I için, ∥∥∥α′(s)∥∥∥ = 1
ise M egrisi (I, α) ya göre birim hızlı egridir denir. Bu durumda, egrinin s ∈ I
parametresine yay-parametresi adıverilir (Hacısalihoglu 2000).
8
Tanım 2.1.5 Her noktasındaki hız vektörü sıfırdan farklıolan egriye regüler egri
denir (Hacısalihoglu 2000).
Tanım 2.1.6M ⊂ En+1 egrisi (I, α) koordinat komsulugu ile verilsin. Bu durumda,
Ψ ={α′, α′′, ..., α
(r)}sistemi lineer bagımsız ve ∀α(k)
, k > r, için;
α(k) ∈ Sp {Ψ}
olmak üzere, Ψ den elde edilen {T,N1, ..., Nr−1} ortonormal sistemine, M egrisinin
Serret-Frenet r-ayaklıalanıve m ∈ M için {T (m), N1(m), ..., Nr−1(m)} ye ise m ∈
M noktasındaki Serret-Frenet r−ayaklısıdenir. Herbir T ve Ni, 1 ≤ i ≤ r − 1,
vektörlerine de Serret-Frenet vektör alanıadıverilir (Hacısalihoglu 2000).
Özel Hal: n = 3 özel halinde, E3, 3−boyutlu Öklid uzayında Frenet 2−ayaklısıve
Frenet 3−ayaklısıelde edilebilir. Bu özel halde;M egrisi (I, α) koordinat komsulugu
ile verilmis ise s ∈ I yay-parametresi olmak üzere,
~T (s) = α′(s) , α
′(s) =
dα
ds(2.1)
~N(s) =α′′(s)
‖α′′(s)‖~B(s) = ~T (s) ∧ ~N(s)
dir.Böylece,{~T (s), ~N(s), ~B(s)
}sistemi, α(s) noktasında,M egrisinin Frenet 3−ayaklısıdır
(Hacısalihoglu 2000).
Teorem 2.1.1 M ⊂ E3 egrisi (I, α) koordinat komsulugu ile verilsin. t ∈ I için
α(t) noktasındaki Frenet 3−ayaklısı,{~T (s), ~N(s), ~B(s)
}ise
9
~T (t) =α(t)
‖α(t)‖ , α(t) =dα
dt(2.2)
~N(t) = ~B(t) ∧ ~T (t)
~B(t) =α(t) ∧ α(t)
‖α(t) ∧ α(t)‖
dir (Hacısalihoglu 2000).
Tanım 2.1.7 M ⊂ En+1 egrisi (I, α) koordinat komsulugu ile verilsin. s ∈ I
ya karsılık gelen α(s) noktasındaki Frenet r−ayaklısı{T = N0, N1, ..., Nr−1} olsun.
Buna göre,
ki : I → R , 1 ≤ i < r (2.3)
s→ ki(s) =⟨N ′i−1(s), Ni(s)
⟩seklinde tanımlıki fonksiyonunaM egrisinin i−yinci egrilik fonksiyonu ve s ∈ I için
ki(s) reel sayısına da α(s) noktasında M nin i−yinci egriligi denir
(Hacısalihoglu 2000).
Teorem 2.1.2 M ⊂ En+1 egrisi (I, α) koordinat komsulugu ile verilsin. s ∈ I yay
parametresi olmak üzere, α(s) noktasındaki i−yinci egriligi ki(s) ve Frenet
(n+ 1)−ayaklısı{~T (s), ~N1(s), ..., ~Nn(s)
}ise;
~T ′(s) = k1(s) ~N1(s) (2.4)
~N ′i(s) = −ki(s) ~Ni(s) + ki+1(s) ~Ni+1(s), 1 ≤ i < n+ 1
~N ′n(s) = −kn(s) ~Nn−1(s)
dir (Hacısalihoglu 2000).
10
Tanım 2.1.9 α : I ⊂ R → En+1 birim hızlıegri olsun. Eger α egrisinin yüksek
mertebeden türevleri α′(s), α
′′(s), ..., α
(n−1)(s) lineer bagımsız ise α ya cenerik egri
(ya da (n− 1)−oskülatör metrebeli egri) denir (Vargas 2005).
Tanım 2.1.10 α : I ⊂ R → En+1 birim hızlıegri olsun. p = α(s0) noktasında
egrinin yüksek mertebeden türevleri α′, ..., α(n−1) lineer bagımsız iken, α′, ..., α(n−1)
, α(n) lineer bagımlı ise p noktasına α egrisinin düzlestirme noktasıdenir (Vargas
2001).
Tanım 2.1.11 Bir M ⊂ En+1 egrisi ile bir Q ∈ M noktasıverilsin. M egrisi ile
Q ∈ M nin bir komsulugunda sonsuz yakın (p+ 2) noktasıM ile ortak olan ve
(p+ 1)−oskülatör düzlemde kalan Sp, p−hiperküresine M nin Q ∈M noktasındaki
oskülatör p−küresi denir (Hacısalihoglu 2000).
Teorem 2.1.3 α egrisinin oskülatör hiperdüzlemi {T (s), N1(s), ..., Nn−1(s)} tarafın-
dan üretilir. Burada ~Nn(s) vektörü α egrisinin s noktasındaki binormal vektör
alanıdır. α egrisinin s noktasındaki oskülatör küresi tektir (Hacısalihoglu 2000).
11
3. En+1 DE FOKAL EGRILER
3.1 Giris
Bu bölümde (n + 1)−boyutlu Öklid uzayında Fokal egriler için yapılan çalısmaları
verecegiz.
En+1 de α : I ⊂ R → En+1 egrisinin Fokal egrisi, egrinin her noktasındaki os-
külatör kürelerinin merkezlerinden olusmaktadır. Baska bir deyisle, En+1 de Fokal
egri, egrinin normal dogrularının zarfıdır. Hatta, Fokal egri α egrisinin evolüt egrisi
olarak da düsünülebilir. Fizikte, Fokal egri, α egrisinin odak noktalarının geometrik
yeri olarak tanımlıdır. Egrinin odak noktaları ise, egri boyunca normal dogrular
dogrultusunda, 1κuzaklıktaki noktalardır (Sekil 3.1).
Sekil 3.1 γ egrisi ve γ egrisinin evolüt egrisi γ
12
Teorem 3.1.1 M ⊂ En+1 egrisi (I, α) atlasıile verilsin. M nin Frenet
(n+1)−ayaklıalanı{~T = ~N0, ~N1, ~N2, ..., ~Nn
}ve ci−egrilik fonksiyonlarıda {c1, c2, ..., cn}
olsun. O zaman, α(s0) = Q ∈ M noktasının bir komsulugunda M ile sonsuz yakın
p+ 2 ortak noktasıolan bir p−kürenin (Sp nin) merkezi a ∈ En+1 ise
⟨a− α(s0), ~Ni(s0)
⟩= ci(s0) , 0 ≤ i ≤ p+ 1 (3.1)
dir (Hacısalihoglu 2000).
Teorem 3.1.2 M ⊂ En+1 egrisi (I, α) atlasıile verilsin. M nin Frenet
(n+1)−ayaklıalanı{T = N0, N1, N2, ..., Nn} ve ci−egrilik fonksiyonlarıda {c1, c2, ..., cn}
olsun. O zaman, α(s0) = Q ∈M noktasının bir komnsulugunda M ile sonsuz yakın
p+ 2 ortak noktasıolan Sp, p−kürelerinin merkezleri
α(s0) =
p∑i=0
ci(s0) ~Ni(s0)
noktasından geçen ve Sp {Np+1(s0), ..., Nn(s0)} uzayıile eslesen hiperdüzlem
üzerindedir (Hacısalihoglu 2000).
Tanım 3.1.1 α egrisinin oskülatör kürelerinin merkezleri α egrisinin Cα(s) Fokal
egrisini olusturur. Bu egriler Fuster vd. (1999) tarafından
Cα(s) = α(s) +n∑i=0
mi(s)Ni(s) (3.2)
seklinde bir parametrelendirme ile ifade edildi ve bunlara α egrisinin genellestirilmis
evolütü adıverildi. Buradami fonksiyonlarıci lere karsılık gelir ve bunlar α egrisinin
i-inci Fokal egrilik fonksiyonlarıolarak adlandırılır. Bu egriler n = 2 hali için H. H.
Hacısalihoglu tarafından ele alınmıstır (Hacısalihoglu 1980).
13
Teorem 3.1.3 α : I ⊂ R → En+1 egrisinin Fokal egrisi Cα : I ⊂ R → En+1
Cα(s) = α(s) +n∑i=0
ciNi olmak üzere; ci katsayılarıasagıdaki esitlikleri saglar:
c0(s) = 0 (3.3)
c1(s) =1
k1(s)
c′i−1(s) = ki(s)ci(s)− ki−1(s)ci−2(s), 2 ≤ i ≤ n
c′n(s) = −kn(s)cn−1(s)
(Hacısalihoglu 2000).
Ispat: α egrisinin Fokal egrisi, α nın s0 noktasındaki sonsuz yakın (n + 2)−ortak
noktasıbulunan oskülatör kürelerin merkezlerinin geometrik yeri olmasından yarar-
lanılarak hesaplanır. Egri ile kürenin s0 noktasında sonsuz yakın (n + 2) ortak
noktasının bulunması demek, asagıda tanımlanan yarıçap fonksiyonunun (n + 1)
mertebeden türevinin sıfır olması demektir. s0 noktasındaki oskülatör kürelerin
merkezleri a(s) ve yarıçaplarır olmak üzere;
f : I ⊂ R→ R
s → f(s) = ‖a(s)− α(s)‖2 − r2
fonksiyonunu gözönüne alırsak; α egrisinin s0 noktasında oskülatör küre ile sonsuz
yakın (n+ 2)−ortak noktasının bulunması
f(s) |s=s0 = f ′(s) |s=s0 = ... = f (n+1)(s) |s=s0 = 0 ve f (n+2)(s) |s=s0 6= 0 (3.4)
ifadesi ile esdegerdir. Ayrıca, oskülatör kürenin yarıçap vektörü, egrinin çatısıcinsin-
den asagıdaki sekilde ifade edilebilir.
a(s)− α(s) =
n∑i=0
ci(s)Ni(s) (3.5)
Burada ci ler reel degerli fonksiyonlardır.
14
(3.4) denkleminden ve Frenet formüllerinden;
f(s) = 0 ise 〈a(s)− α(s), a(s)− α(s)〉 = r2
f ′(s) = 0 ise 〈T (s), a(s)− α(s)〉 = 0
(3.5) denkleminden c0(s) = 0 oldugu görülür. f ′′(s) = 0 ise
〈T ′(s), a(s)− α(s)〉 − 〈T (s), T (s)〉 = 0
Frenet formüllerinden
〈k1(s)N1(s), a(s)− α(s)〉 = 1
〈N1(s), a(s)− α(s)〉 =1
k1(s)
elde edilir. (3.5) denkleminden c1(s) = 1k1(s)
oldugu görülür. f ′′′(s) = 0 ise
〈N ′1(s), a(s)− α(s)〉 − 〈N1(s), T (s)〉 = (1
k1(s))′ = c′1(s)
Frenet formüllerinden ve (3.5) denklemlerinden,
〈−k1(s)T (s) + k2(s)N2(s), a(s)− α(s)〉 = c′1(s)
−k1(s)c0(s) + k2(s)c2(s) = c′1(s)
c′1(s) = k2(s)c2(s)
elde edilir. Benzer sekilde islemlere devam edilirse f (i)(s) = 0 ise
c′i−1(s) = −ki−1(s)ci−2(s) + ki(s)ci(s)
elde edilir. Son olarak da f (n+1)(s) = 0 ise
c′n(s) = −kn(s)cn−1(s)
elde edilir. Dolayısıyla ispat tamamlanır.
15
Simdi de, En+1 de yapılan bu çalısmaların 3−boyutlu Öklid uzayındaki karsılıklarını
verelim.
Tanım 3.1.2 M ⊂ E3 egrisiyle m ∈M noktasında sonsuz yakın dört noktasıortak
olan küreye, M nin m ∈ M noktasındaki oskülatör küresi veya egrilik küresi adı
verilir (Hacısalihoglu 2000).
Tanım 3.1.3 M ⊂ E3 egrisiyle m ∈M noktasında sonsuz yakın dört noktasıortak
olan küreye, M nin m ∈ M noktasındaki oskülatör küresi veya egrilik küresi adı
verilir (Hacısalihoglu 2000).
Teorem 3.1.4 M ⊂ E3 egrisi (I, α) koordinat komsulugu ile verilsin. α(s) nok-
tasında oskülatör küre merkezi a ise
a = α(s) + c1(s)N1(s) + c2(s)N2(s)
dir. Burada {T (s), N1(s), N2(s)} , α(s) noktasındaki Frenet 3−ayaklısıve
c1(s) =1
k1(s), c2(s) =
c′1(s)
k2(s)
dir (Hacısalihoglu 2000).
Sonuç 3.1.1M ⊂ E3 egrisi (I, α) koordinat komsulugu ile verilsin. α(s) noktasında
oskülatör kürenin yarıçapır ise
r = (c21 + c2
2)12 =
√(1
k1
)2
+
((1
k1
)′1
k2
)2
dir (Hacısalihoglu 2000).
16
Örnek 3.1.1 Helis egrisi α : I ⊂ R→ E3 , α(s) = (r cos(ωs), r sin(ωs), hωs) , s ∈ R
ile verilsin. Burada r > 0, h ∈ R ve ω = 1/(r2 + h2)1/2 yay sabiti olmak üzere helis
egrisinin oskülatör küresinin merkezi ve yarıçapıasagıdaki gibidir;
m(s) = ((−h2/r
)cos(ωs),
(−h2/r
)sin(ωs), hωs) ve R(s) = (r2 + h2)/r.
Böylece bir helisin oskülatör kürelerinin merkezlerinden geçen egri yine bir helis
üzerindedir (Malkowsky vd. 2001).
Sekil 3.2 Helis egrisi (kalın) ve onun Fokal egrisi (ince)
17
3.2 En+1 de Bir Egrinin Fokal Egrisi
Bu bölümde kaustik egriler ve Fokal egriler arasındaki iliskiyi verecegiz. Ayrıca,
Fokal egrilerle ilgili yapılmıs çalısmalara deginecegiz.
Kaustik egriler ilk kez 1682 yılında Tschirnhausen tarafından tanımlanıp, çalısılmıstır.
Daha sonra Huygens, Quetelet, Lagrange ve Cayley gibi bilim adamlarıda bu alanda
çalısmalarda bulunmuslardır (Yates 1974).
Kaustik egri, genellikle Fizik bölümünde optik geometri alanında kullanılan bir te-
rimdir. Kaustik egriyi ısık kaynagından saçılan, ısık ısınlarının zarfıolarak tanım-
lamıslardır. Simdi de, bu kavramıgeometrik açıdan anlayabilmek için E2 de, düzlem
geometride, birkaç örnege bakalım. E2 de, sabit bir çemberi ve sabit bir F (ısık kay-
nagını) noktasınıalırsak, F noktasının, çemberin iç bölgesinde olmasıdurumunda,
F, ısık kaynagından saçılan ısık ısınlarının olusturdugu kaustik egri elips egrisidir ve
F noktasıda elips egrisinin odak noktasıdır. Ayrıca, F noktasının çemberin merkezi
olan O noktasına göre simetrigi elips egrisinin ikinci odak noktasınıverir (Sekil 3.3).
Sekil 3.3 Çemberin kaustik egrisi olarak elips egrisi
F noktasının çemberin dısında olmasıdurumunda asagıdaki sekilde görüldügü gibi
kaustik egri hiperbol egrisi olur. Yine aynısekilde F noktasıhiperbolün odak nok-
tasıdır ve F noktasının çemberin merkezine göre simetrigi hiperbol egrisinin ikinci
18
odak noktasınıverir (Sekil 3.4).
Sekil 3.4 Çemberin kaustik egrisi olarak hiperbol egrisi
Yukarıda yaptıgımız islemlere benzer olarak sabit F noktasıve sabit bir dogru alır-
sak, F noktasından yansıyan ısınların zarfıbize parabol egrisini verir (Sekil 3.5).
Sekil 3.5 Dogrunun kaustik egrisi olarak parabol egrisi
2−boyutlu Öklid uzayındaki kaustik egrileri, (n+ 1)−boyutlu Öklid uzayına Vargas
asagıdaki sekilde genellemistir. Ayrıca, M ⊂ En+1 alt manifoldun normal çizgi-
lerinin bir ailesinin zarfınıo alt manifoldun Fokal kümesi veya kaustigi olarak ad-
landırmıstır.
19
Tanım 3.2.1 α : R → En+1 , regüler egri ve F : En+1 × R → R reel degerli
fonksiyonlarının (n+ 1)−parametreli bir ailesi olup
F (x, s) =1
2‖x− α(s)‖2
ile verilsin. Böylece F ailesinin kaustigi
{x ∈ Rn+1 |∃s ∈ R, F ′x(s) = 0 ve F ′′x (s) = 0
}ile verilir (Vargas 2005).
Önerme 3.2.1 F (x, s) = 12‖x− α(s)‖2 ailesinin kaustigi α : R → En+1 egrisinin
Fokal kümesine karsılık gelir (Vargas 2005).
Teorem 3.2.1 α : I ⊂ R → En+1 egrisinin Cα : I ⊂ R → En+1 Fokal egrisinin hız
vektör alanı, α egrisinin binormal vektör alanıolan Nn(s) dogrultusundadır
(Fuster vd. 1999).
Ispat: α egrisinin Fokal egrisini
Cα(s) = α(s) +
n∑i=1
ci(s)Ni(s) (3.6)
seklinde tanımlamıstık. (3.6) denkleminden s ye göre türev alırsak
C ′α(s) = T (s) +
n∑i=1
[c′i(s)Ni(s) + ci(s)N′i(s)]
20
Frenet formüllerinden
= T (s) +
n∑i=1
[c′i(s)Ni(s) + ci(s)(−ki(s)Ni−1(s) + ki+1(s)Ni+1(s))
= T (s) + c′1(s)N1(s)− c1(s)k1(s)N0(s) + c1(s)k2(s)N2(s)
+c′2(s)N2(s)− c2(s)k2(s)N1(s) + c2(s)k3(s)N3(s)
+c′3(s)N3(s)− c3(s)k3(s)N2(s) + c3(s)k4(s)N4(s)
...
+c′n−1(s)Nn−1(s)− cn−1(s)kn−1(s)Nn−2(s) + cn−1(s)kn(s)Nn(s)
+c′n(s)Nn(s)− cn(s)kn(s)Nn−1(s)
= (1− k1(s)c1(s))T (s) + (c′1(s)− k2(s)c2(s))N1(s)
+(c′2(s) + k2(s)c1(s)− k3(s)c3(s))N2(s)
+(c′3(s) + k3(s)c2(s)− k4(s)c4(s))N3(s)
...
+(c′n−1(s)− cn(s)kn(s) + cn−2(s)kn−1(s))Nn−1(s)
+(c′n(s) + cn−1(s)kn(s))Nn(s)
bulunur ve (3.1.3) deki esitliklerden
C ′α(s) = (c′n(s) + cn−1(s)kn(s))Nn(s) (3.7)
elde edilir.
Asagıdaki önerme ile birlikte α egrisinin Fokal egrilikleri ile Frenet egrilikleri arasın-
daki bagıntıverilmistir.
21
Önerme 3.2.2 α : R → En+1 birim hızlı cenerik bir egri olmak üzere ki ve ci
sırasıyla α nın Frenet ve Fokal egriligi olsun. Bu takdirde
ki =c1c′1 + c2c
′2 + · · ·+ ci−1c
′i−1
ci−1ci; i ≥ 2 (3.8)
dir (Hacısalihoglu 1980).
Önerme 3.2.3 En+1 de s yay parametresi ile verilen α egrisinin Fokal egrilikleri,
cn 6= 0 için asagıdaki Frenet denklemlerini saglar:
1
c′1
c′2...
c′n−2
c′n−1
c′n −(R2n)′
2cn
=
0 k1 0 · · · 0 0 0
−k1 0 k2 · · · 0 0 0
0 −k2 0 · · · 0 0 0...
......
......
...
0 0 0 · · · 0 kn−1 0
0 0 0 · · · −kn−1 0 kn
0 0 0 · · · 0 −kn 0
0
c1
c2
...
cn−2
cn−1
cn
(3.9)
Ispat: Bu teoremin ispatıTeorem 3.2.1 de verilen esitliklerden kolayca görülebilir.
Son bileseni elde etmek için C ′α(s) = (c′n(s)+cn−1(s)kn(s))Nn(s) esitligini kullanalım.
Eger, α egrisi R yarıçaplı küre üzerinde bulunuyorsa, bu küre aynı zamanda α
egrisinin bütün noktalarındaki oskülatör küredir. O halde ‖Cα(s)− α(s)‖2 = R2
diyebiliriz. Buradan
〈Cα(s)− α(s), Cα(s)− α(s)〉 = R2
yazılabilir ve son esitlikten s ye göre türev alırsak
2 〈C ′α(s)− T (s), Cα(s)− α(s)〉 = (R2)′
〈C ′α(s), Cα(s)− α(s)〉 − 〈T (s), Cα(s)− α(s)〉 =(R2)′
2
22
(3.3) esitliginden 〈T (s), Cα(s)− α(s)〉 = 0 oldugundan
〈C ′α(s), Cα(s)− α(s)〉 =(R2)′
2
elde edilir. C ′α(s) = (c′n(s) + cn−1(s)kn(s))Nn(s) esitligini yerine yazarsak
(c′n(s) + cn−1(s)kn(s)) 〈Nn(s), Cα(s)− α(s)〉 =(R2)′
2
(c′n(s) + cn−1(s)kn(s))cn(s) =(R2)′
2
elde edilir. Buradan gereken düzenlemeler yapıldıgında cn(s) 6= 0 için
c′n(s) =(R2)′
2cn(s)− cn−1(s)kn(s)
sonucuna ulasılır. Dolayısıyla (3.9) daki matris esitligi elde edilir.
Fokal egriden yararlanarak, α egrisinin eksenleri kestigi noktalarıyani egrinin köse
noktalarınıbulabiliriz. Cα Fokal egrisinin hız vektörünün kritik noktalarıbize α
egrisinin köse noktalarını verir. Bunlara ek olarak Vargas 2004 yılında yapmıs
oldugu çalısmada bu köse kavramına yeni bir bakıs açısısaglayarak, egrinin Dar-
boux kösesini Fokal egriler yardımıyla tanımlamıstır. Bu bölümde köse kavramıyla
ilgili tanım ve teoremlere deginecegiz.
Tanım 3.2.2 (Köse noktası): C ′α(s) = 0 için s noktasıα egrisinin köse noktasıdır
(Fuster vd. 1999).
Teorem 3.2.2 n ≥ 1 olmak üzere En+1 de α : I ⊂ R → En+1 birim hızlıegrisinin
bir noktasının köse noktasıolabilmesi için gerek ve yeter sart o noktada
c′n(s) + cn−1(s)kn(s) = 0
esitliginin saglanmasıdır (Vargas 2001).
23
Ispat: Teorem 3.2.1 den C ′α(s) = (c′n(s) + cn−1(s)kn(s))Nn(s) bulmustuk.
Tanım 3.2.2 den s noktasının köse noktası olabilmesi için C ′α(s) = 0 olmalıdır.
Buradan, c′n(s) + cn−1(s)kn(s) = 0 elde edilir.
Sonuç 3.2.1 n ≥ 1 olmak üzere En+1 de birim hızlıbir egrinin küresel olmasıiçin
gerek ve yeter sart
c′n(s) + cn−1(s)kn(s) = 0
olmasıdır (Vargas 2001).
Sonuç 3.2.2 α : I ⊂ R → En+1 egrisinin Fokal egrisi Cα olsun. Cα egrisinin hız
vektörü sıfıra esitse α egrisi küresel egrinin bir parçasıolur.
Ispat: α egrisinin oskülatör hiperküresinin yarıçapıR olmak üzere
〈Cα(s)− α(s), Cα(s)− α(s)〉 = R2
dır. Buradan
2cn(s)(cn−1(s)kn(s) + c′n(s)) = (R2)′
elde etmistik. cn(s) 6= 0 olmasıhalinde
c′n(s) + cn−1(s)kn(s) =(R2)′
2cn(s)
olur. C ′α(s) = (c′n(s) + cn−1(s)kn(s))Nn(s) = 0 ise (R2)′
2cn(s)= 0 oldugundan
(R2)′ = 0 dır. Buradan R sabittir. α egrisinin oskülatör hiperkürelerinin yarıçapı
sabit oldugundan α egrisi küreseldir.
24
Teorem 3.2.3 α : I ⊂ R→ En+1 cenerik egrisinin Fokal egrisi Cα olsun. Eger, Cα
egrisi 2−düzlemsel (yani C ′α, C ′′α, C ′′′α vektörleri lineer bagımlı) ise
i ) kn−1(s) = 0
ii ) kn(s) = 0
ya da
iii ) C ′α(s) = 0 dır. Yani α küreseldir. (Özdemir 2008).
Ispat: Cα , α egrisinin Fokal egrisi oldugundan C ′α(s) = (c′n(s)+cn−1(s)kn(s))Nn(s)
dir. c′n(s) + cn−1(s)kn(s) ifadesini A ile gösterirsek
C ′α(s) = ANn(s)
C ′′α(s) = A′Nn(s)− Akn(s)Nn−1(s)
C ′′′α (s) = (A′′ + Ak2n(s))Nn(s) + (−2kn(s)A′ − k′n(s)A)Nn−1(s)
+(−kn−1(s)kn(s)A)Nn−2(s)
= BNn(s) + CNn−1(s) +DNn−2(s)
bulunur. Buradan, Cα Fokal egrisi 2−düzlemsel bir egri oldugundan,∣∣∣∣∣∣∣∣∣A 0 0
A′ −Akn(s) 0
B C D
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
−DA2kn(s) = k2n(s)kn−1(s)A3 = 0
dır. Böylece, k2n(s)kn−1(s)(c′n(s)+cn(s)kn−1(s)) = 0 denkleminden ispat tamamlanır.
25
3.3 En+1 de Fokal Egrinin Frenet Çatısı
Düzlestirme noktaları bulunmayan cenerik bir α : I ⊂ R → En+1, s → α(s)
egrisinin k1, ..., kn Frenet egrilikleri ve {T,N1, ..., Nn} Frenet çatısıolsun. α(s) nok-
tasının köse noktasıolmasın. (c′n + cn−1kn)(s) in isareti ε(s) ve 1 ≤ k ≤ n olmak
üzere (−1)kε(s)kn(s) in isareti δ(s) olsun. α egrisinin köse olmayan α(s) noktasında
asagıdaki ifadeler geçerlidir.
i) Cα nın Cα(s) noktasındaki{T , N1, ..., Nn
}Frenet çatısıiyi tanımlıdır ve
T =(c′n + cn−1kn)
|c′n + cn−1kn|Nn = εNn (3.10)
Nk = δkNn−k
Nn = ±T
dir.
ii) Cα nın Öklid egrilikleri K1, ..., Kn olmak üzere
K1
|kn|=
K2
|kn−1|= ... =
Kn
|k1|=
1
|c′n + cn−1kn|
burada Kn nin isareti, ±T de seçilen isaretin δn katıdır yani ya Kn = +δn ya da
Kn = −δn dir. Böylece Cα egrisinin Cα(s) noktasındaki Frenet matrisi
1
|c′n + cn−1kn|
0 |kn| 0 · · · 0 0 0
− |kn| 0 kn−1 · · · 0 0 0
0 −kn−1 0 · · · 0 0 0...
......
......
...
0 0 0 · · · 0 k2 0
0 0 0 · · · −k2 0 ∓δnk1
0 0 0 · · · 0 ±δnk1 0
dir (Vargas 2005).
26
Teorem 3.3.1 α : R→ En+1 düzlestirme noktalarıolmayan cenerik bir egri olsun.
α egrisi n−inci mertebeden genel helis ise Cα egrisi de aynımertebeden genel bir
helistir (Vargas 2005).
27
4. En+11 MIKOWSKI UZAYINDA FOKAL EGRILER
Bu bölümde (n+ 1)−boyutlu Öklid uzayında yapılan çalısmaları, (n+ 1)−boyutlu
Minkowski uzayında tekrarlayacagız.
4.1 En+11 Minkowski Uzayında Temel Tanımlar ve Kavramlar
Tanım 4.1.1 En+1 üzerinde x = (x1, x2, ..., xn+1), y = (y1, y2, ..., yn+1) olmak üzere
〈, 〉 : En+1 × En+1 → R
(x , y) → 〈x, y〉 = −x1y1 +n+1∑i=2
xiyi
ile tanımlanan simetrik, bilineer ve non-dejenere dönüsümeEn+1 üzerinde Minkowski
metrigi denir ve En+11 = {En+1, 〈, 〉} ikilisine de (n + 1)−boyutlu Minkowski uzayı
adıverilir (Balgetir 2002).
Tanım 4.1.2 ∀x ∈ En+11 olsun. Eger,
〈x, x〉 > 0 veya x = 0 ise x e spacelike vektör,
〈x, x〉 < 0 ise x e timelike vektör,
x 6= 0 iken 〈x, x〉 = 0 ise x e lightlike (null) vektör,
denir (O’Neill 1983).
Tanım 4.1.3 ∀x ∈ En+11 için x vektörünün normu
‖x‖ =√|〈x, x〉|
biçiminde tanımlanır (O’Neill 1983).
28
Lemma 4.1.1 x, y, z ∈ E31 olsun. x× y ile gösterilen vektör eger,
〈x× y, z〉 = det(x, y, z)
sartınısaglarsa bu vektöre x ile y nin Lorentz anlamında vektörel çarpımıadıverilir.
Burada x = (x1, x2,x3) ve y = (y1, y2, y3) olmak üzere
x× y =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣−~e1 ~e2 ~e3
x1 x2 x3
y1 y2 y3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (x3y2 − x2y3, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1)
dir (O’Neill 1983).
Tanım 4.1.4 I, R nin bir açıgıve M bir Minkowski manifoldu olmak üzere
α : I ⊂ R→M
diferensiyellenebilir dönüsümlere egri adıverilir (O’Neill 1983).
Tanım 4.1.5 M bir Lorentz manifoldu ve α : I ⊂ R→M bir egri olsun.α egrisinin
teget vektör alanıT olmak üzere
i) g(T, T ) > 0 ise α egrisine spacelike egri,
ii) g(T, T ) < 0 ise α egrisine timelike egri,
iii) g(T, T ) = 0 ve T 6= 0 ise α egrisine lightlike (null) egri
denir. Egrinin bir özel hali olan dogru gözönüne alınırsa; dogrunun dogrultman
vektörü spacelike ise dogru spacelike dogru, dogrultman vektörü timelike ise dogru
timelike dogru, dogrultman vektör lightlike (null) ise dogru lightlike (null) dogrudur
29
(O’Neill 1983).
Teorem 4.1.1 En+11 (n ≥ 3) bir Minkowski uzayıve α : I ⊂ R → En+1
1 de difer-
ensiyellenebilir bir egri olsun. Egrinin herhangi bir noktasındaki Frenet vektörleri
{T = N0, N1, N2, ..., Nn} ve εi−1 = g(Ni−1, Ni−1) olmak üzere, Frenet vektörleri ve
türevleri arasındaki iliski asagıdaki gibidir:
~T ′(s) = k1(s) ~N1(s) (4.1)
~N ′i(s) = −εi−1εiki(s) ~Ni−1(s) + ki+1(s) ~Ni+1(s), 1 ≤ i < n
~N ′n(s) = −εn−1εnkn(s) ~Nn−1(s)
(Ekmekci ve Ilarslan 1998).
30
4.2 En+11 Minkowski Uzayında Fokal Egriler
Bu bölümde, null olmayan (non-null) egrilerin Fokal egrilerini, (n + 1)−boyutlu
Minkowski uzayında inceleyecegiz.
Tanım 4.2.1 α egrisinin oskülatör kürelerinin merkezleri α egrisinin Cα(s) Fokal
egrisini olusturur. (n+ 1)−boyutlu Minkowski uzayında Fokal egriyi
Cα(s) = α(s) +n∑i=0
mi(s)Ni(s)
seklinde bir parametrelendirme ile ifade edelim. Burada mi fonksiyonlarıα egrisinin
i-inci Fokal egrilik fonksiyonlarıdır.
Teorem 4.2.1 α : I ⊂ R → En+11 lightlike olmayan egrinin Fokal egrisi Cα : I ⊂
R → En+1 , Cα(s) = α(s) +n∑i=0
ciNi olmak üzere; ci katsayılarıasagıdaki esitlikleri
saglar:
c0(s) = 0, (4.2)
ε1c1(s) =ε0
k1(s),
εi−1c′i−1(s) = εiki(s)ci(s)− εi−1ki−1(s)ci−2(s), 2 ≤ i ≤ n.
Ispat: α egrisinin Fokal egrisi, α nın s0 noktasındaki sonsuz yakın (n + 2)−ortak
noktasıbulunan oskülatör kürelerin merkezlerinin geometrik yeri olmasından yarar-
lanılarak hesaplanır. Egri ile kürenin s0 noktasında sonsuz yakın (n + 2) ortak
noktasının bulundugundan; s0 noktasındaki oskülatör kürelerin merkezleri a(s) ve
yarıçaplarır olmak üzere;
f : I ⊂ R→ R
s → f(s) = ‖a(s)− α(s)‖2 − r2
31
fonksiyonunu gözönüne alırsak; α egrisinin s0 noktasında oskülatör küre ile sonsuz
yakın (n+ 2)−ortak noktasının bulunması
f(s) |s=s0 = f ′(s) |s=s0 = ... = f (n+1)(s) |s=s0 = 0 ve f (n+2)(s) |s=s0 6= 0 (4.3)
ifadesi ile esdegerdir. Ayrıca, oskülatör kürenin yarıçap vektörü, egrinin çatısıcinsin-
den asagıdaki sekilde ifade edilebilir.
a(s)− α(s) =
n∑i=0
ci(s)Ni(s) (4.4)
Burada ci ler reel degerli fonksiyonlardır.
f(s) = 0 ise 〈a(s)− α(s), a(s)− α(s)〉 = r2
dir. Yukarıdaki esitligin s parametresine göre türevini alırsak,
f ′(s) = 0 ise 〈T (s), a(s)− α(s)〉 = 0
ise (4.4) denkleminden c0(s) = 0 oldugu görülür. f ′′(s) = 0 ise
〈T ′(s), a(s)− α(s)〉 − 〈T (s), T (s)〉 = 0
dir. (4.1) denklemlerinden,
〈k1(s)N1(s), a(s)− α(s)〉 = ε0
〈N1(s), a(s)− α(s)〉 =ε0
k1(s)
elde edilir. Ayrıca, (4.4) denkleminden ε1c1(s) = ε0k1(s)
oldugu görülür. f ′′′(s) = 0 ise
〈N ′1(s), a(s)− α(s)〉 − 〈N1(s), T (s)〉 = (ε0
k1(s))′ = ε1c
′1(s)
32
dir. (4.1) denklemlerinden,
〈−ε0ε1k1(s)T (s) + k2(s)N2(s), a(s)− α(s)〉 = ε1c′1(s)
−ε0ε1k1(s)c0(s) + k2(s)c2(s) = ε1c′1(s)
ε1c′1(s) = ε2k2(s)c2(s)
elde edilir.Benzer sekilde islemlere devam edilirse f (i+1)(s) = 0 ise
εi−1c′i−1(s) = εiki(s)ci(s)− εi−1ki−1(s)ci−2(s), 3 ≤ i ≤ n
elde edilir. Dolayısıyla ispat tamamlanır.
Teorem 4.2.2 α : I ⊂ R → En+11 egrisinin Cα : I ⊂ R → En+1
1 Fokal egrisinin hız
vektör alanı, α egrisinin son Frenet vektör alanıolan Nn(s) dogrultusundadır ve
C ′α(s) = (c′n(s) + cn−1(s)kn(s))Nn(s) (4.5)
saglanır.
Ispat: α egrisinin Fokal egrisini
Cα(s) = α(s) +n∑i=0
ci(s)Ni(s) (4.6)
seklinde tanımlamıstık. c0(s) = 0 oldugundan ve (4.6) denkleminden s ye göre türev
33
alırsak
C ′α(s) = T (s) +n∑i=1
[c′i(s)Ni(s) + ci(s)N′i(s)] Frenet formüllerinden
= T (s) +
n∑i=1
[c′i(s)Ni(s) + ci(s)(−εi−1εiki(s)Ni−1(s) + ki+1(s)Ni+1(s))
= T (s) + c′1(s)N1(s) + c1(s)[−ε0ε1k1(s)N0(s) + k2(s)N2(s)]
+c′2(s)N2(s) + c2(s)[−ε1ε2k2(s)N1(s) + k3(s)N3(s)]
+c′3(s)N3(s) + c3(s)[−ε2ε3k3(s)N2(s) + k4(s)N4(s)]
...
+c′n−1(s)Nn−1(s) + cn−1(s)[−εn−2εn−1kn−1(s)Nn−2(s) + kn(s)Nn(s)]
+c′n(s)Nn(s)− εn−1εncn(s)kn(s)Nn−1(s)
Yukarıdaki esitligi Frenet vektörlerine göre düzenlersek
= [1− ε0ε1k1(s)c1(s)]T (s) + [c′1(s)− ε1ε2k2(s)c2(s)]N1(s)
+[c′2(s) + k2(s)c1(s)− ε2ε3k3(s)c3(s)]N2(s)
+[c′3(s) + k3(s)c2(s)− ε3ε4k4(s)c4(s)]N3(s)
...
+[c′n−1(s) + kn−1(s)cn−2(s)− εn−1εnkn(s)cn(s)]Nn−1(s)
+[c′n(s) + kn(s)cn−1(s)]Nn(s)
elde edilir. (4.2) deki esitliklerden C ′α(s) = [c′n(s) + cn−1(s)kn(s)]Nn(s) elde edilir.
34
Teorem 4.2.3 En+11 de s yay parametresi ile verilen α egrisinin Fokal egrilikleri,
cn 6= 0 için asagıdaki Frenet denklemlerini saglar:
1
c′1
c′2...
c′n−2
c′n−1
c′n−(r2)′
2εncn(s)
=
0 ε0ε1k1 0 · · · 0 0 0
−k1 0 ε1ε2k2 · · · 0 0 0
0 −k2 0 · · · 0 0 0...
.
.
....
.
.
....
.
.
.
0 0 0 · · · 0 εn−2εn−1kn−1 0
0 0 0 · · · −kn−1 0 εn−1εnkn
0 0 0 · · · 0 −kn 0
c0
c1
c2
.
.
.
cn−2
cn−1
cn
Ispat: Bu teoremin ispatı (4.2) de verilen esitliklerden kolayca görülebilir. Son
bileseni elde etmek için C ′α(s) = (c′n(s)+cn−1(s)kn(s))Nn(s) esitligini ve f(s) = 0 ise
〈a(s)− α(s), a(s)− α(s)〉 = r2 ifadesini kullanalım. O halde ‖Cα(s)− α(s)‖2 = r2
diyebiliriz. Buradan
〈Cα(s)− α(s), Cα(s)− α(s)〉 = r2
s ye göre türev alırsak
2 〈C ′α(s)− T (s), Cα(s)− α(s)〉 = (r2)′
〈C ′α(s), Cα(s)− α(s)〉 − 〈T (s), Cα(s)− α(s)〉 =(r2)′
2
(4.2) esitliginden 〈T (s), Cα(s)− α(s)〉 = 0 oldugundan
〈C ′α(s), Cα(s)− α(s)〉 =(r2)′
2
elde edilir. Teorem 4.2.2 deki C ′α(s) = (c′n(s) + cn−1(s)kn(s))Nn(s) esitligini yerine
yazarsak
(c′n(s) + cn−1(s)kn(s)) 〈Nn(s), Cα(s)− α(s)〉 =(r2)′
2
[c′n(s) + cn−1(s)kn(s)]εncn(s) =(r2)′
2
35
elde edilir. Buradan gereken düzenlemeler yapıldıgında cn(s) 6= 0 için
c′n(s) =(r2)′
2εncn(s)− cn−1(s)kn(s)
sonucuna ulasılır. Eger, α egrisi r yarıçaplı küre üzerinde bulunuyorsa, bu küre
aynızamanda α egrisinin bütün noktalarındaki oskülatör küredir, yani bu da r nin
sabit bir reel sayıolmasıdemektir buradan c′n(s) = −cn−1(s)kn(s) esitligi saglanır.
Böylece, istenilen matris esitligi elde edilir.
En+11 deki egriler için köse kavramınıtanımlayalım.
Tanım 4.2.2 C ′α(s) = 0 için s noktasıα egrisinin köse noktasıdır.
Teorem 4.2.4 n ≥ 1 olmak üzere En+11 de α : I ⊂ R → En+1
1 birim hızlıegrisinin
bir noktasının köse noktasıolabilmesi için gerek ve yeter sart söz konusu noktada
c′n(s) + cn−1(s)kn(s) = 0
esitliginin saglanmasıdır.
Ispat: (4.5) esitliginden C ′α(s) = (c′n(s) + cn−1(s)kn(s))Nn(s) bulmustuk. Tanım
4.2.2 den s noktasının köse noktasıolabilmesi için C ′α(s) = 0 olmalıdır. Buradan,
Nn(s) 6= 0 oldgundan c′n(s) + cn−1(s)kn(s) = 0 olmalıdır.
36
Sonuç 4.2.1 n ≥ 1 olmak üzere En+11 de birim hızlıbir egrinin küresel olmasıiçin
gerek ve yeter sart
c′n(s) + cn−1(s)kn(s) = 0
olmasıdır.
Sonuç 4.2.2 α : I ⊂ R → En+11 egrisinin Fokal egrisi Cα olsun. Cα egrisinin hız
vektörü sıfıra esitse α egrisi küresel egrinin bir parçasıolur.
Ispat: α egrisinin oskülatör hiperküresinin yarıçapır olmak üzere
〈Cα(s)− α(s), Cα(s)− α(s)〉 = r2
dır. Buradan
2cn(s)(cn−1(s)kn(s) + c′n(s)) = (r2)′
elde etmistik. cn(s) 6= 0 olmasıhalinde
c′n(s) + cn−1(s)kn(s) =(r2)′
2cn(s)
olur. C ′α(s) = (c′n(s)+cn−1(s)kn(s))Nn(s) = 0 ise (r2)′
2cn(s)= 0 oldugundan (r2)′ = 0 dır.
Buradan r sabittir. α egrisinin oskülatör hiperkürelerinin yarıçapısabit oldugunda
α egrisi küreseldir.
Teorem 4.2.5 α ⊂ En+11 regüler egrisinin Fokal egrisi Cα olsun. Eger, Cα egrisi
2−düzlemsel (yani C ′α, C ′′α, C ′′′α vektörleri lineer bagımlı) ise
i ) kn−1(s) = 0,
ii ) kn(s) = 0,
ya da
iii ) C ′α(s) = 0 dır. Yani α küreseldir.
Ispat: Cα , α egrisinin Fokal egrisi oldugundan C ′α(s) = (c′n(s)+cn−1(s)kn(s))Nn(s)
37
dir. c′n(s) + cn−1(s)kn(s) ifadesini A ile gösterirsek
C ′α(s) = ANn(s)
C ′′α(s) = A′Nn(s)− εn−1εnAkn(s)Nn−1(s)
C ′′′α (s) = (A′′ − Aεn−1εnk2n(s))Nn(s) + (−2εn−1εnkn(s)A′ − εn−1εnk
′n(s)A)Nn−1(s)
+(−εn−2εnkn−1(s)kn(s)A)Nn−2(s)
= BNn(s) + CNn−1(s) +DNn−2(s)
bulunur. Buradan, Cα Fokal egrisi 2−düzlemsel bir egri oldugundan,
∣∣∣∣∣∣∣∣∣A 0 0
A′ −εn−1εnAkn(s) 0
B C D
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
εn−1εnDA2kn(s) = −εn−1εn−2k
2n(s)kn−1(s)A3 = 0
dır. εn−1εn 6= 0 oldugundan k2n(s)kn−1(s)(c′n(s) + cn(s)kn−1(s))3 = 0 denkleminden
ispat tamamlanmıs olur.
Önerme 4.2.1 α : I ⊂ R→ En+11 birim hızlı, non-lightlike ve cenerik bir egri olmak
üzere ki ve ci sırasıyla α egrisinin Frenet ve Fokal egrilikleri olsun. Bu durumda
εiki =ε1c1c
′1 + ε2c2c
′2 + · · ·+ εi−1ci−1c
′i−1
ci−1ci, 1 < i < n+ 1
ve
ε1k1 =ε0
c1
dir.
38
Ispat: Ispat için Teorem 4.2.3 deki esitlikler kullanılacaktır. Buradan
ε1k1 =ε0
c1
ε2k2 =ε1c′1
c2
=ε1c1c
′1
c1c2
ε3k3 =ε2c′2 + ε2k2c1
c3
=ε2c2c
′2 + ε1c1c
′1
c2c3
...
εiki =εi−1ci−1c
′i−1 + · · ·+ ε2c2c
′2 + ε1c1c
′1
ci−1ci
denklemlerinin saglandıgıkolayca görülebilir. Böylece ispat tamamlanır.
39
4.3 En+11 Minkowski Uzayında Fokal Egrinin Frenet Çatısı
Bu bölümdeEn+11 de verilen bir α non-lightlike egrisinin Fokal egrisi olanCα egrisinin
Frenet vektörlerini hesaplayacagız.
α : I ⊂ R → En+11 , cenerik, birim hızlı ve non-lightlike egri olsun. α egrisinin
Öklid egrilik fonksiyonlarının cümlesi {k1, k2, . . . , kn} ve Frenet vektörlerinin cümlesi
{T,N1, . . . , Nn} olsun. α ⊂ En+11 egrisinin Fokal egrisi Cα : I ⊂ R → En+1
1 olmak
üzere; Cα egrisinin Öklid egrilikleri ve Frenet çatısı sırasıyla,{k1, k2, . . . , kn
}ve{
T , N1, . . . , Nn
}seklinde gösterilsin. Cα egrisinin Frenet vektörleri ile α egrisinin
Frenet vektörleri arasındaki iliskiyi hesaplayalım.
{C ′α, C
′′α, . . . , C
(n+1)α
}cümlesi için Gram—Schmidt metodunu kullanarak
{T , N1, . . . , Nn
}ortonormal cümleyi olusturalım. Bunun için ilk olarak
{C ′α, C
′′α, . . . , C
(n+1)α
}cüm-
lesinden, {E1, E2, . . . , En+1} ortogonal cümleyi olusturalım daha sonra bu cümledeki
vektörleri normlayarak istedigimiz{T , N1, . . . , Nn
}Frenet çatısınıelde edelim.
(4.2.4) denkleminden asagıdaki esitligi yazabiliriz.
C ′α(s) = (c′n(s) + cn−1(s)kn(s))Nn(s)
= ANn(s).
Yukarıdaki esitligin s e baglıtürevini alırsak,
C ′′α(s) = A′Nn(s)− Aεn−1εnkn(s)Nn−1(s)
= A′Nn(s) +BNn−1(s)
40
elde ederiz. tekrar yukarıdaki esitligin s parametresine göre türevini alırsak,
C ′′′α (s) = A′′Nn(s) + A′N ′n(s) +B′Nn−1(s) +BN ′n−1(s)
= (A′′ + knB)Nn + (B′ − A′εn−1εnkn(s))Nn−1(s)
+(−Bεn−2εn−1kn−1(s))Nn−2(s)
= CNn +DNn−1 + ENn−2
E1 = C ′α(s) = ANn(s)
E2 = C ′′α(s)− 〈C′′α, E1〉
〈E1, E1〉E1
= A′Nn − Aεn−1εnkn(s)Nn−1(s)− A′Nn
= −Aεn−1εnkn(s)Nn−1(s)
= BNn−1(s)
E3 = C ′′′α (s)− 〈C′′′α , E2〉〈E2, E2〉
E2 −〈C ′′′α , E1〉〈E1, E1〉
E1
= CNn +DNn−1 + ENn−2 − CNn −DNn−1
= ENn−2
Benzer sekilde k = i için
Ei = FNn−(i−1)
elde edilir. Bu {Ei}i=1,...,n+1 ortogonal vektörlerin cümlesini normlayarak{Ni
}i=1,...,n+1
41
ortonormal vektörler cümlesini elde edelim.
T =E1
‖E1‖,
N1 =E2
‖E2‖,
...
Ni =Ei+1
‖Ei+1‖...
Nn =En+1
‖En+1‖
Buradan
T (s) = Nn(s)
N1(s) = Nn−1(s)
...
Nn(s) = T (s)
elde edilir.
Cα egrisinin Öklid egrilikleri{k1, k2, . . . , kn
}olmak üzere (2.3) de verilen Öklid
egrilik fonksiyonlarıtanımından ve (4.1) deki esitliklerden yararlanılarak asagıdaki
42
esitlikler elde edilir.
k1(s) =⟨T ′(s), N1(s)
⟩= 〈N ′n(s), Nn−1(s)〉
= 〈−εn−1εnkn(s)Nn−1(s), Nn−1(s)〉
= −εn−1εnkn(s).
k2(s) =⟨N ′1(s), N2(s)
⟩=
⟨N ′n−1(s), Nn−2(s)
⟩= 〈−εn−2εn−1kn−1(s)Nn−2(s) + kn(s)Nn(s), Nn−2(s)〉
= −εn−2εn−1kn−1(s).
Benzer sekilde devam edilirse,
kn(s) =⟨N ′n−1(s), Nn(s)
⟩= 〈N ′1(s), T (s)〉
= 〈−ε0ε1k1(s)T (s) + k2(s)N2(s), T (s)〉
= −ε0ε1k1(s)
elde edilir.
43
5. E3 DE FOKAL YÜZEYLER
5.1 E3 de Yüzey ile Ilgili Temel Tanımlar ve Kavramlar
Tanım 5.1.1 U , E2 de bir açık alt cümle olmak üzere X : U → E3
X(u, v) = (x1(u, v), x2(u, v), x3(u, v))
biçiminde tanımlanan diferensiyellenebilir dönüsümüne E3 de bir yama, lokal yüzey
veya iki parametreli yüzey denir (Gray 1993).
Tanım 5.1.2 F : En → Em bir dönüsüm olsun. Eger, ~vP ∈ TEn(P ) ise F∗ |P (~vP ) ∈
TEm(F (P )) de Em in t → F (P + t~v) egrisinin t = 0 noktasındaki hız vektörü
olsun. Böylece seklinde tanımlı F∗ |P : TEn(P ) → TEm(F (P )) fonksiyonuna F
fonksiyonunun P ∈ En noktasındaki türev dönüsümü denir (Hacısalihoglu 2000).
Tanım 5.1.3 F : En → Em dönüsümünün türev dönüsümü P ∈ En için F∗ |Polsun. Sırasıyla, TEn(P ) ve TEm(F (P )) nin
Φ =
{∂
∂x1
|P ,∂
∂x2
|P , . . . ,∂
∂xn|P},Ψ =
{∂
∂y1
∣∣∣F (P ) , ∂
∂y2
∣∣∣F (P ) , . . . , ∂
∂ym
∣∣∣F (P )}
standart bazlarıiçin, F∗ |P dönüsümüne karsılık gelen matris J(F, P ) ile gösterilir
ve bu matrise, F dönüsümünün P noktasındaki Jakobien matrisi denir
(Hacısalihoglu 1983).
Sonuç 5.1.1 X : U → E3 regüler yamasıverilsin. Bu takdirde asagıdakiler birbirine
denktir;
44
i) Xu(u0, v0) ve Xv(u0, v0) lineer bagımsızdır.
ii) det(〈Xu, Xu〉 〈Xu, Xv〉
〈Xv, Xu〉 〈Xv, Xv〉) her (u0, v0) noktasında sıfırdan farklıdır.
iii) Her (u0, v0) noktasında J(x) Jakobien matrisinin rankı2 ye esittir (Gray 1993).
Tanım 5.1.4 ∀(u, v) ∈ U için J(x)(u, v) Jakobien matrisinin rankı2 iseX : U → E3
yamasına regüler yama denir. X(u1, v1) = X(u2, v2) u1 = u2, v1 = v2 ise X yaması
injektiftir (Gray 1993).
Tanım 5.1.5 X : U → X(U) ⊂ E3 bir lokal yüzey ve (u0, v0) ∈ U sabit olsun. u→
X(u, v0) ve v → X(u0, v) egrilerine, sırasıyla, X in u−parametre ve v−parametre
egrileri denir (Gray 1993).
Tanım 5.1.6 M ⊂ En bir alt cümle olsun. Eger M nin her P ∈ M noktasıiçin,
P yi içeren bir V komsulugu var ve bir X : U ⊂ E2 → V ∩M ⊂ E3 dönüsümü
asagıdaki özellikleri saglarsa, M ye bir regüler yüzey denir.
i) X diferensiyellenebilirdir,
ii) X : U → V ∩M bir homeomorfizimdir,
iii) X : U →M dönüsümü bir regüler lokal yüzeydir (Gray 1993).
45
Tanım 5.1.7 En de bir regüler yüzeyM ve P ∈M olsun, eger α(0) = P, α′(0) = ~vP
ve α(t) ∈M (a < t < b) olacak sekilde bir α : U → En egrisi varsa, ~vP ∈ TEn(P ) ye
M nin P noktasındaki tanjant vektörü denir (Gray 1993).
Tanım 5.1.8 Bir X : U → E3 injektif yamasıiçin Xu × Xv sıfırdan farklıolacak
biçimde (u, v) ∈ U noktalarında birim normal vektör alanıveya yüzeyin normali;
N(u, v) =Xu ×Xv
‖Xu ×Xv‖(u, v) (5.1)
esitligi ile tanımlanır (Gray 1993).
Tanım 5.1.9 X : U → En bir lokal yüzey olsun.E = 〈Xu, Xu〉
F = 〈Xu, Xv〉
G = 〈Xv, Xv〉
(5.2)
seklinde tanımlansın. Buna göre ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 ifadesine X in
Riemann metrigi ya da birinci esas formu denir. e, f, g fonksiyonlarına ise X in
ikinci temel formunun katsayılarıdenir (Gray 1993).
Tanım 5.1.10 M bir regüler yüzey ve M nin P ∈ M noktasındaki yüzey normali
U olsun. ~vP ile M nin P noktasındaki tanjant vektörü gösterilmek üzere
S(~vP ) = −D~vP (U) (5.3)
seklinde tanımlıS dönüsümüne M yüzeyinin sekil operatörü denir (Gray 1993).
46
Tanım 5.1.11 X : U → En bir lokal yüzey olsun.
l =⟨Xuu, ~N(u, v)
⟩, (5.4)
m =⟨Xuv, ~N(u, v)
⟩,
n =⟨Xvv, ~N(u, v)
⟩seklinde tanımlansın. Buna göre ldu2 + 2mdudv + ndv2 ifadesine X in ikinci temel
formu denir. E,F,G fonksiyonlarına ise X in birinci temel formunun katsayıları
denir (Hacısalihoglu 1980).
Tanım 5.1.12 (Asli egrilik dogrultusu): En de bir hiperyüzeyM veM nin sekil
operatörü S olsun. M yüzeyinin bir P noktasına karsılık gelen S |P nin karakteristik
degerleri M yüzeyinin bu noktada iki asli egrilikleri olarak adlandırılır. Asli egri-
liklere karsılık gelen ve karakteristik vektör denen vektörlerin belirttigi dogrultulara
da M nin bu P noktasındaki asli egrilik dogrultularıdenir (Gray 1993).
Tanım 5.1.13 (Gauss egriligi): En de bir hiperyüzeyM veM nin P noktasındaki
sekil operatörü S |P olmak üzere,
K : M → R (5.5)
P → K(P ) = detS(P )
seklinde tanımlanan fonksiyona M yüzeyinin Gauss egriligi denir
(Hacısalihoglu 1980).
Tanım 5.1.14 (Ortalama egrilik): En de bir hiperyüzey M ve M nin P nok-
tasındaki sekil operatörü S |P olmak üzere,
H : M → R (5.6)
P → H(P ) = Iz(S(P ))
47
seklinde tanımlanan fonksiyona M yüzeyinin ortalama egriligi denir
(Hacısalihoglu 1980).
Tanım 5.1.15 (Minimal yüzey): Öklid uzayında her noktada ortalama egrilik
fonksiyonu sıfır (H = 0) olan yüzeylere minimal yüzey denir. Bir baska ifadeyle aynı
sınırlara sahip olan yüzeyler arasında en küçük alanlıyüzeye minimal yüzey denir
(Gray 1998).
Tanım 5.1.16 (Umbilik ve flat nokta): En in bir hiperyüzeyi M olsun. P ∈M
noktasındaki M nin sekil operatörü matris S olamk üzere,
i) ∃λ ∈ R için, S = λIn−1 ise P noktasına M nin bir umbilik (göbek) noktasıdenir.
i) S = 0 seklinde S bir sıfır dönüsümü ise P noktasına M nin bir düzlemsel (flat)
noktasıdır denir (Hacısalihoglu 1980).
Tanım 5.1.17 (Egrilik çizgisi): En de bir hiperyüzeyM veM üzerinde bir egri α
olsun. α egrisinin tegete vektör alanıT veM nin sekil operatörü S olmak üzere, eger
T vektör alanıα egrisi boyunca S nin karakteristik vektörlerine karsılık geliyorsa α
egrisine M üzerinde bir egrilik çizgisidir denir (Hacısalihoglu 1980).
Tanım 5.1.18 (Asli yüzey): Eger bir yüzeyin parametre egrileri egrilik çizgisi ise,
bu yüzeye asli yüzey adıverilir (Gray 1993).
Teorem 5.1.1 X : U → E3 regüler bir yama olsun. O zamanX in S sekil operatörü
{Xu, Xv} bazıcinsinden, −S(Xu) = Nu = fF−eGEG−F 2Xu + eF−fE
EG−F 2Xv
−S(Xv) = Nv = gF−fGEG−F 2Xu + fF−gE
EG−F 2Xv
(5.7)
seklinde hesaplanır. Burada, sırasıyla, E,F,G ve l,m, n ile X in birinci ve ikinci
temel form katsayılarıgösterilmektedir (Hacısalihoglu 1980).
48
Ispat: X regüler ve {Xu, Xv} sistemi lineer bagımsız oldugundan a11, a12, a21, a22
fonksiyonlarıiçin
−S(Xu) = Nu = a11Xu + a12Xv
−S(Xv) = Nv = a21Xu + a22Xv
(5.8)
seklinde yazılabilir. (5.8) deki esitlikler Xu ve Xv vektörleriyle iç çarpıma tabi
tutulursa
−e = a11E + a12F
−f = a11F + a12G = a21E + a22F
−g = a21F + a22G
elde edilir. Son estliklerin matrisel gösterimi asagıdaki gibi verilebilir:
−
e f
f g
=
a11 a12
a21 a22
E F
F G
seklinde ifade edilir. Böylece
a11 a12
a21 a22
= −
e f
f g
E F
F G
−1
olur. Basit bir hesaplama ile
a11 a12
a21 a22
= − 1EG−F 2
eG− fF −eF + fE
fG− gF −fF + gE
elde edilir. Buradan
49
a11 = fF−eGEG−F 2 , a12 = eF−fE
EG−F 2
a21 = gF−fGEG−F 2 , a12 = fF−gE
EG−F 2
bulunur. Bu ifadeler (5.8) denkleminde yerine yazılırsa (5.7) denklemindeki esitlikler
elde edilir.
Teorem 5.1.2 En in bir hiperyüzeyi M olsun. XP ve YP , M nin bir P noktasında,
farklıasli egriliklerine karsılık gelen asli dogrultular belirtir iseler XP ve YP ortogo-
naldir (Hacısalihoglu 2000).
Teorem 5.1.3 Bir X : U → E3 lokal yüzeyinin asli lokal yüzey olmasıiçin gerek ve
yeter sart F = f = 0 olmasıdır (Gray 1993).
Teorem 5.1.4 X : U → E3 regüler bir yama olsun. X in Gauss ve ortalama
egrilikleri sırasıyla;
K =eg − f 2
EG− F 2ve H =
eG− 2fF + gE
2(EG− F 2)(5.9)
dır (Gray 1993).
Teorem 5.1.5 X : U → E3 regüler bir yama olsun. X in asli egrilikleri k1 ve k2
olmak üzere
k1 = H +√H2 −K ve k2 = H −
√H2 −K (5.10)
dir (Hacısalihoglu 1980).
Lemma 5.1.1 M ⊂ E3 regüler yüzeyinin bir vP tanjant vektörü asli vektör olması
için gerek ve yeter sart S(vP )×vP = 0 olmasıdır. BöyleceM üzerinde bir α egrisinin
egrilik çizgisi olmasıiçin gerek ve yeter sart S(α′)× α′ = 0 olmasıdır (Gray 1993).
50
5.2 E3 de Fokal Yüzeyler
Fokal yüzeyler dogruların kongrüansları olarak bilinen yüzeylerdir. Dogru kon-
grüanslarıilk kez Hagen vd. tarafından (1991) yılında görünteleme alanında tanım-
lanmıstır. E3 de bir yüzeyi X(u, v) olmak üzere vektör degerli bir fonksiyon olarak
tanımlayalım. Ayrıca N(u, v) vektörü de yüzey üzerinde birim normal vektör olsun.
Bununla birlikte E(u, v) birim vektörler kümesi olmak üzere dogru kongrüansı
C(u, v, z) = X(u, v) + zE(u, v)
ile tanımlanır. Her bir (u, v) için yukarıda verilen denklem kongrüansın bir dogrusunu
belirtir ve üreteç olarak adlandırılır. Burada z noktasıisaretli uzaklıktır. Ayrıca C
nin üreteç üzerinde iki özel (reel,sanal ya da birim) nokta vardır. Bu noktalar Fokal
noktalar olarak adlandırılır. Bu noktalar üreteçli oskülatör noktalardır. Bu nedenle
Fokal yüzey, Fokal noktaların geometrik yeri olarak tanımlanır.
Sekil 5.1 Fokal Noktalar
Genel olarak iki Fokal yüzey vardır. Eger, E(u, v) = N(u, v) ise C = CN birim
normal kongrüansıdır. Böylece CN Fokal yüzeyinin parametrik gösterimi;
Yi(u, v) = X(u, v) + k−1i (u, v)N(u, v) , i = 1, 2
dir.
51
Burada k1 ve k2 fonksiyonlarıX(u, v) yüzeyinin asli egrilik fonksiyonlarıdır (Hagen
ve Hahmann 1992).
X(u, v) yüzeyi üzerindeki bir X(u0, v0) noktasındaki normal kesit egrisinin egrilik
merkezi bu noktadaki normal vektörünün belli bir katına karsılık gelir. Bu parçanın
ekstrem degerleri iki asli dogrultunun egriliklerinin merkezidir. Bu iki nokta Fokal
noktalara karsılık gelir. Bu nedenle dogru kongrüansıiki yüzeye degen dogruların
kümesi olarak düsünülür. Bu iki yüzey ise dogru kongrüansının Fokal yüzeyidir.
Sekil 5.2 Yüzey ile Fokal Yüzeyleri
Küre yüzeyinin Fokal yüzeyleri bir noktrada dejenere olur. Dupin yüzeylerinin Fokal
yüzeyleri egrilere dejenere olan yüzeylerdir (Hagen ve Hahmann 1992).
52
5.3 Genellestirilmis Fokal Yüzeyler
Genellestirilmis Fokal yüzeyler ilk kez Hagen ve Hahmann tarafından tanımlan-
mıstır.Verilen bir E(u, v) birim vektörü için
C(u, v) = X(u, v) +D(u, v)E(u, v)
formunda bir dogru kongrüansı tanımlanır. Burada D(u, v); X(u, v) ile E(u, v)
arasındaki uzaklıktır. Eger E(u, v) = N(u, v) ise bu takdirde C bir normal kon-
grüanstır. Eger D(u, v) = k−11 (u, v) veya D(u, v) = k−1
2 (u, v) alınırsa Fokal yüzeyi
elde edilir ve bu yüzeyCF (u, v) parametrelendirilmesiyle verilen özel bir kongrüanstır.
Böylece
C(u, v) = X(u, v) + k−1i (u, v)N(u, v) , i = 1, 2
dir.
Tanım 5.3.1 X(u, v) regüler bir yüzey olmak üzere
Y (u, v) = X(u, v) + f(k1, k2)N(u, v) (5.11)
biçiminde tanımlanan yüzeyeX(u, v) nin genellestirilmis Fokal yüzeyi denir. Burada
N, X yamasının birim normal vektörüdür ve f ise k1, k2 asli egrilik fonksiyonlarına
baglıreel degerli bir fonksiyondur (Hagen ve Hahmann 1991).
Teorem 5.3.1 X(u, v) parametre egrileri ortogonal olan regüler bir yüzey ve bu
yüzeyin genellestirilmis Fokal yüzeyi Y (u, v) olmak üzere; Y (u, v) yüzeyinin birinci
temel formunun katsayılarıolan E∗, F ∗, G∗ asagıdaki esitlikleri saglar:
53
E∗ = E − 2fl + f 2u + f 2 ‖Nu‖2 (5.12)
F ∗ = −2fm+ fufv + f 2 〈Nu, Nv〉
G∗ = G− 2fn+ f 2v + f 2 ‖Nv‖2
burada E,F,G ve l,m, n, sırasıyla, X(u, v) yüzeyinin birinci ve ikinci temel formu-
nun katsayılarıdır.
Ispat: X(u, v) yüzeyinin genellestirilmis Fokal yüzeyi (5.11) denkleminden Y (u, v) =
X(u, v) +f(k1, k2)N(u, v) seklinde yazılabilir. Bu denklemin u ve v parametrelerine
göre türevleri
Yu(u, v) = Xu(u, v) + fuN + fNu (5.13)
Yv(u, v) = Xv(u, v) + fvN + fNv
seklindedir. (5.2) deki denklemlerden
E∗ = 〈Yu, Yu〉
= 〈Xu + fuN + fNu, Xu + fuN + fNu〉
= 〈Xu, Xu〉+ 2f 2u + f 〈Nu, Xu〉+ f 2 ‖Nu‖2
= E − 2fl + f 2u + f 2 ‖Nu‖2 ,
F ∗ = 〈Yu, Yv〉
= 〈Xu + fuN + fNu, Xv + fvN + fNv〉
= 〈Xu, Xv〉+ 2f 〈Xu, Nv〉+ fufv + f 2 〈Nu, Nv〉
X(u, v) yüzeyinin parametre egrileri birbirine dik oldugundan 〈Xu, Xv〉 = 0 yazılır.
54
Dolayısıyla
F ∗ = −2fm+ fufv + f 2 〈Nu, Nv〉
olarak hesaplanır.
G∗ = 〈Yv, Yv〉
= 〈Xv + fvN + fNv, Xv + fvN + fNv〉
= 〈Xv, Xv〉+ 2f 〈Xv, Nv〉+ f 2v + f 2 〈Nv, Nv〉
= G− 2fn+ f 2v + f 2 ‖Nv‖2 .
Buradan (5.12) deki esitliklerin saglandıgıgörülür, böylece ispat tamamlanır.
Teorem 5.3.2 X(u, v) parametre egrileri ortogonal olan regüler bir yüzey olsun. Bu
yüzeyin birim normal vektör alanıN(u, v) ve genellestirilmis Fokal yüzeyi Y (u, v)
olmak üzere; Y (u, v) yüzeyinin birim normal vektör alanı
NY (u, v) =1
B
[AN − 1
Aλ1Xv +
1
Aλ2Xu +
1
Aλ3Xvv +
1
Aλ4Xuv
](5.14)
seklindedir. Burada A = ‖Xu ×Xv‖ , B = ‖Yu × Yv‖ , λ1 = (fE)v + fufm+ ffvl+
1Af 2 det(Xuu, Xv, Xuv), λ2 = − (fG)u + fufn − ffvm + 1
Af 2 det(Xuu, Xv, Xuv) +
det(Xu, Xuv, Xvv), λ3 = −fE + f 2l, λ4 = −f 2m dir.
Ispat: X(u, v) yüzeyinin genellestirilmis Fokal yüzeyi Y (u, v) = X(u, v)+f(k1, k2)N(u, v)
idi. Y (u, v) Fokal yüzeyinin birim normal vektör alanınıNY (u, v) ile gösterirsek
(5.1.1) esitliginden
NY (u, v) =Yu × Yv‖Yu × Yv‖
(u, v) (5.15)
yazabiliriz. (5.13) deki esitliklerden
Yu × Yv = (Xu + fuN + fNu)× (Xv + fvN + fNv)
55
yazılır. Vektörel çarpımın dagılma özelliginden
Yu × Yv = (Xu ×Xv) + fv(Xu ×N) + f(Xu ×Nv) (5.16)
+fu(N ×Xv) + fufv(N ×N) + fuf(N ×Nv)
+f(Nu ×Xv) + ffv(Nu ×N) + f 2(Nu ×Nv)
dır. Buradan yapılan islemler sonucu
Xu ×Xv = AN,
Xu ×N = −EAXv,
Xu ×Nv = − 1
A[Ev2Xv +
Gu
2Xu + EXvv],
N ×Xv = −GAXu,
N ×Nv =1
A[−mXv + nXu],
Nu ×Xv = − 1
A[Gu
2Xu +
Ev2Xv +GXuu],
Nu ×N = − 1
A[−lXv +mXu],
Nu ×Nv =1
A2[− det(Xuu, Xv, Xuv)Xv + (det(Xuu, Xv, Xvv) + det(Xu, Xvu, Xvv))Xu
+lAXvv −mAXuv],
seklinde hesaplanır. Bu esitlikler (5.16) denkleminde yerine konulur ve Xu, Xv, Xvv,
Xuv vektör alanlarına göre düzenlenirse (5.14) denklemi elde edilir.
Teorem 5.3.3 X(u, v) parametre egrileri ortogonal olan regüler bir yüzey ve bu
yüzeyin genellestirilmis Fokal yüzeyi Y (u, v) olmak üzere; Y (u, v) yüzeyinin ikinci
temel formunun katsayılarıolan l∗,m∗, n∗ asagıdaki esitlikleri saglar:
l∗ = a1l + a2m+ a3n+ a4 (5.17)
m∗ = b1l + b2m+ b3n+ b4
n∗ = c1m+ c2n+ c3
56
burada l,m, n, X(u, v) yüzeyinin ikinci temel formunun katsayılarıdır.
Ispat: X(u, v) yüzeyinin genellestirilmis Fokal yüzeyi (5.11) denkleminden
Y (u, v) = X(u, v) + f(k1, k2)N(u, v) seklinde yazılabilir. Y (u, v) Fokal yüzeyinin
birim normal vektör alanı(5.14) esitliginden
NY (u, v) =1
B
[AN − 1
Aλ1Xv +
1
Aλ2Xu +
1
Aλ3Xvv +
1
Aλ4Xuv
](5.18)
dir. (5.4) denkleminden Y (u, v) Fokal yüzeyinin ikinci temel formunun katsayıları,
l∗ = 〈NY , Yuu〉 (5.19)
m∗ = 〈NY , Yuv〉
n∗ = 〈NY , Yvv〉
yazılabileceginden (5.13) denkleminden u ve v parametrelerine göre türev alınırsa
Yuu, Yuv, Yvv vektörleri asagıdaki sekilde
Yuu(u, v) = Xuu(u, v) + fuuN + 2fuNu + fNuu, (5.20)
Yuv(u, v) = Xuv(u, v) + fuvN + fuNv + fvNu + fNuv,
Yvv(u, v) = Xvv(u, v) + fvvN + 2fvNv + fNvv
57
elde edilir. Buradan,
l∗ = 〈NY , Yuu〉
=
⟨1B
[AN − 1
Aλ1Xv + 1
Aλ2Xu + 1
Aλ3Xvv + 1
Aλ4Xuv
],
Xuu + fuuN + 2fuNu + fNuu
⟩
= (A
B− 2λ1
AB)l + (
2λ1
ABfu +
λ4
ABfuu)m+ (
λ3
ABfuu)n
+(A
Bfuu +
A
Bf 〈N,Nuu〉 −
λ1
AB〈Xv, Xuu〉 −
λ1
ABf 〈Xv, Nuu〉
+λ2
2ABEu +
λ2
ABf 〈Xu, Nuu〉+
λ3
AB〈Xvv, Xuu〉+
2λ3
ABfu 〈Nu, Xvv〉
+λ3
ABf 〈Xvv, Nuu〉+
λ4
AB〈Xuv, Xuu〉+
2λ4
ABfu 〈Xuv, Nu〉+
λ4
ABf 〈Xuv, Nuu〉)
m∗ = 〈NY , Yuv〉
=
⟨1B
[AN − 1
Aλ1Xv + 1
Aλ2Xu + 1
Aλ3Xvv + 1
Aλ4Xuv
],
Xuv + fuvN + fuNv + fvNu + fNuv
⟩
= (−2λ2
ABfv +
λ4
ABfvv)m+ (
A
B+
2λ1
ABfv +
λ3
ABfvv)n
+(A
Bfvv +
A
Bf 〈N,Nvv〉 −
λ1
2ABGv −
λ1
ABf 〈Xv, Nvv〉
− λ2
2ABGu +
λ2
ABf 〈Xu, Nvv〉+
λ3
AB‖Xvv‖2 +
2λ3
ABfv 〈Nv, Xvv〉
+λ3
ABf 〈Xvv, Nvv〉+
λ4
AB〈Xuv, Xvv〉+
2λ4
ABfv 〈Xuv, Nv〉+
λ4
ABf 〈Xuv, Nvv〉)
58
n∗ = 〈NY , Yvv〉
=
⟨1B
[AN − 1
Aλ1Xv + 1
Aλ2Xu + 1
Aλ3Xvv + 1
Aλ4Xuv
],
Xvv + fvvN + 2fvNv + fNvv
⟩
= (− λ2
ABfv)l + (
A
B+
λ1
ABfv −
λ2
ABfu +
λ4
ABfuv)m+ (
λ1
ABfu +
λ3
ABfuv)n
+(A
Bfuv +
A
Bf 〈N,Nuv〉 −
λ1
2ABGu −
λ1
ABf 〈Xv, Nuv〉
+λ2
2ABEv +
λ2
ABf 〈Xu, Nuv〉+
λ3
AB〈Xvv, Xuv〉+
λ3
ABfu 〈Nv, Xvv〉
+λ3
ABfv 〈Xvv, Nu〉+
λ3
ABf 〈Xvv, Nuv〉+
λ4
AB‖Xuv‖2 +
λ4
ABfu 〈Xuv, Nv〉
+λ4
ABfv 〈Xuv, Nu〉+
λ4
ABf 〈Xuv, Nuv〉)
elde edilir.
Örnek 5.3.1 X(u, v) = (u cos v, u sin v, au) ,a ∈ R koni yüzeyinin Fokal yüzeyinin
I. ve II. temel form katsayılarınıhesaplayalım.
Çözüm: X(u, v) yüzeyinin parametre egrileri
Xu = (cos v, sin v, a),
Xv = (−u sin v, u cos v, 0)
dir. X(u, v) yüzeyinin normal vektör alanıN(u, v) = Xu×Xv‖Xu×Xv‖(u, v) oldugundan
Xu ×Xv =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣. . .
cos v sin v a
−u sin v u cos v 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−au cos v,−au sin v, u),
59
‖Xu ×Xv‖ = u√a2 + 1
N(u, v) =1√
a2 + 1(−a cos v,−a sin v, 1)
dir. Koni yüzeyinin birinci temel formunun katsayıları
E = 〈Xu, Xu〉 = 1 + a2,
F = 〈Xu, Xv〉 = 0,
G = 〈Xv, Xv〉 = u2
olarak hesaplanır. Ayrıca ikinci temel formunun katsayıları
l = 〈Xuu, N〉 = 0,
m = 〈Xuv, N〉 = 0,
n = 〈Xvv, N〉 =au√a2 + 1
.
(5.9) denklemindeki esitliklerden koni yüzeyinin ortalama ve Gauss egriligi, sırasıyla,
K = 0 ve H = a2u√a2+1
bulunur. (5.10) denklemindeki esitliklerden de k1 = au√a2+1
ve k2 = 0 bulunur.
X(u, v) yüzeyinin genellestirilmis Fokal yüzeyi
Y (u, v) = X(u, v) + f(k1, k2)N(u, v)
= (u cos v, u sin v, au) + f(k1, k2)1√
a2 + 1(−a cos v,−a sin v, 1)
= ((u− af√a2 + 1
) cos v, (u− af√a2 + 1
) sin v, au+f√a2 + 1
)
dir. (5.18) denkleminden Y (u, v) yüzeyinin birim normal vektör alanıu− af√a2+1
< 0
iken
NY (u, v) =1√
a2 + f 2u + 1
((a+fu√a2 + 1
) cos v, (a+fu√a2 + 1
) sin v,afu√a2 + 1
− 1)
olarak hesaplanır. (5.12) ve (5.17) denklemlerinden genellestirilmis Fokal yüzeyin
60
birinci ve ikinci temel formunun katsayıları, sırasıyla
E∗ = 1 + a2 + f 2u ,
F ∗ = 0,
G∗ = (u− af√a2 + 1
)2,
ve
l∗ = −√
1 + a2√a2 + f 2
u + 1fuu,
m∗ = 0,
n∗ = − 1√a2 + f 2
u + 1(u− af√
a2 + 1)(a+
fu√a2 + 1
)
dir. Ayrıca bu yüzeyin Gauss ve ortalama egrilikleri de, sırasıyla,
K∗ =l∗n∗ −m∗2E∗G∗ − F ∗2 =
√a2 + 1(a+ fu√
a2+1)
(a2 + f 2u + 1)2 (u− af√
a2+1),
H∗ =l∗G∗ − 2m∗F ∗ + n∗E∗
2(E∗G∗ − F ∗2)= −
√a2 + 1
(a2 + f 2u + 1)
32
fuu +(a+ fu√
a2+1)
(a2 + f 2u + 1)
12 (u− af√
a2+1).
61
Sekil 5.3 Koni ve koninin Fokal yüzeyleri
62
Sonuç 5.3.1 Koni yüzeyi açılabilir yüzey iken, koninin genellestirilmis Fokal yüzeyi
açılabilir yüzey degildir.
Ispat: Yukarıda verilen örnek bu sonucu ispatlar.
63
6. E3 DE FOKAL EGRILER IÇIN EGRI-YÜZEY ÇATISI
6.1 Giris
Tanım 6.1.1 E3 de bir M yüzeyi içinde birim hızlıbir α : I ⊂ R → M egrisi
verilsin. Yüzeyin birim dik vektör alanıZ olsun. s ∈ I için, α(s) = p diyelim. α
egrisinin birim teget vektör alanıT olmak üzere,
(Z ◦ α)× T = Y (6.1)
esitligiyle tanımlanan Y vektör alanınıgöz önüne alalım. Vektörel çarpımın özellik-
lerinden dolayı,
{T (s), Y (s), (Z ◦ α)(s)}
kümesi Tp(E3) uzayının ortonormal bir tabanıolur. Bu tabana, egri-yüzey çatısı,
(α,M) ikilisine de egri-yüzey ikilisi denir (Sabuncuoglu 2001).
Sekil 6.1 Egri-yüzey çatısı
Tanım 6.1.2 α : I ⊂ R→M birim hızlıbir egri ve α(s) = p olsun.
tr(s) = −〈(Z ◦ α)′(s), Y (s)〉 (6.2)
64
esitligiyle belirli tr(s) sayısına, (α,M) egri-yüzey ikilisinin p noktasındaki jeodezik
burulmasıdenir (Sabuncuoglu 2001).
Tanım 6.1.3 α : I ⊂ R→M birim hızlıbir egri ve α(s) = p olsun.
κn(s) = 〈(Z ◦ α)′(s), T (s)〉 (6.3)
esitligiyle belirli κn(s) sayısına, (α,M) egri-yüzey ikilisinin p noktasındaki normal
egriligi denir (Sabuncuoglu 2001).
Tanım 6.1.4 α : I ⊂ R→M birim hızlıbir egri ve α(s) = p olsun.
κg(s) = 〈α′′(s), Y (s)〉 (6.4)
esitligiyle belirli κg(s) sayısına, (α,M) egri-yüzey ikilisinin p noktasındaki jeodezik
egriligi denir (Sabuncuoglu 2001).
Tanım 6.1.5 α : I ⊂ R→ M birim hızlıbir egri olmak üzere, tr, κn, κg fonksiyon-
larına, (α,M) egri-yüzey ikilisinin egrilikleri denir (Sabuncuoglu 2001).
Teorem 6.1.1 (α,M) egri-yüzey ikilisinin egrilikleri tr, κn, κg olduguna göre,
T ′ = κgY + κn(Z ◦ α) (6.5)
Y ′ = −κgT + tr(Z ◦ α)
(Z ◦ α)′ = −κnT − trY
dir (Sabuncuoglu 2001).
tr, κn, κg fonksiyonları, α egrisinin tanımlandıgıI aralıgından R ye giden fonksiyon-
lardır. Bu fonksiyonlar egriye ve yüzeye baglıdır. Baska bir deyisle, egrinin yüzey
içindeki konumuna baglıdır.
65
α egrisinin Frenet vektör alanlarınıT,N,B ile gösterirsek, s ∈ I için, Z(α(s)), B(s),
N(s), Y (s) vektörlerinin dördü de T (s) vektörüne dik oldugundan, bu dört vektör
düzlemseldir (Sekil 6.1). Z(α(s)) vektörü ile B(s) vektörünün belirttigi yönlü açının
ölçüsü θ(s) olsun. Buradan egrinin Frenet çatısı ile egri-yüzey çatısı arasındaki
iliskiyi su sekilde ifade edebiliriz:T
Y
Z
=
1 0 0
0 cos θ sin θ
0 − sin θ cos θ
T
N
B
. (6.6)
Teorem 6.1.2 Z(α(s)) vektörü ile B(s) vektörünün belirttigi yönlü açının ölçüsü
θ(s) olduguna göre
tr(s) = τ(s) + θ′(s) (6.7)
κn(s) = −κ(s) sin θ(s)
κg(s) = κ(s) cos θ(s)
dır (Sabuncuoglu 2001).
Tanım 6.1.6 M, E3 uzayında bir yüzey ve α : I ⊂ R → M reüler bir egri olsun.
Her s ∈ I için, α′(s) hız vektörü, α(s) noktasında M yüzeyinin bir egrilik vektörü
ise α egrisine, M yüzeyi içinde bir egrilik çizgisi veya bas egri denir
(Sabuncuoglu 2001).
Teorem 6.1.3 α, M yüzeyi içinde regüler bir egri ve Z, M yüzeyinin birim dik
vektör alanıolsun. α egrisinin egrilik çizgisi olmasıiçin, {(Z ◦ α)′, α′} cümlesinin
lineer bagımlıolmasıgerekir ve yeter (Sabuncuoglu 2001).
66
Tanım 6.1.7 M, E3 uzayında bir yüzey ve α : I ⊂ R → M reüler bir egri olsun.
Her s ∈ I için, α′(s) hız vektörü, α(s) noktasında M yüzeyinin bir asimptotik
vektörü ise α egrisine, M yüzeyi içinde bir asimptotik egri denir (Sabuncuoglu
2001).
Teorem 6.1.4 α, M yüzeyi içinde regüler bir egri ve Z, M yüzeyinin birim dik
vektör alanıolsun. α egrisinin asimptotik egri olmasıiçin, 〈(Z ◦ α)′, α′〉 = 0 olması
gerekir ve yeter (Sabuncuoglu 2001).
Tanım 6.1.8 M, E3 uzayında bir yüzey ve α : I ⊂ R → M bir egri olmak üzere,
M yüzeyinin birim dik vektör alanıZ olsun. α′′ vektör alanıile Z ◦ α vektör alanı
lineer bagımlıise, α egrisine,M yüzeyi içinde bir jeodezik egri denir (Sabuncuoglu
2001).
Teorem 6.1.5 α, M yüzeyi içinde bir jeodezik egri ise hız vektör alanının uzunlugu
sabittir ve egrinin N vektör alanı, Z ◦ α vektör alanına paraleldir (Sabuncuoglu
2001).
Teorem 6.1.6 α : I →M regüler egrinin bir egrilik çizgisi olmasıiçin, tr = 0 olması
gerekir ve yeter (Sabuncuoglu 2001).
Teorem 6.1.7 α : I → M regüler egrinin bir asimptotik egri olmasıiçin, κn = 0
olmasıgerekir ve yeter (Sabuncuoglu 2001).
Teorem 6.1.8 α : I →M regüler egrinin bir jeodezik egri olmasıiçin, κg = 0 olması
gerekir ve yeter (Sabuncuoglu 2001).
67
6.2 Fokal Egrinin Egri-Yüzey Ikilisinin Egrilikleri
Düzlestirme noktalarıbulunmayan cenerik bir α : R→ E3, s→ α(s) egrisinin k1, k2
Frenet egrilikleri ve {T,N,B} Frenet çatısıolsun. α egrisinin Fokal egrisi olan Cαegrisinin Cα(s) noktasındaki
{T , N , B
}Frenet çatısıiyi tanımlıdır ve
T (s) = B(s) (6.8)
N(s) = −N(s)
B(s) = T (s)
dir. α egrisinin bulundugu yüzey üzerindeki egri-yüzey çatısıolan {T, Y, Z ◦ α} ile
α egrisinin Frenet çatısıolan {T,N,B} arasındaki bagıntı
(Z ◦ α)(s) = − sin θN(s) + cos θB(s) (6.9)
su sekilde verilebilir. Yüzeyin normali Z ◦α, egrinin normal düzleminde bulundugu
için bu bagıntıyıverebiliriz.
Aynıdurumu, M yüzeyinin Fokal yüzeyi olan M ile α egrisinin Fokal egrisi olan Cα
egrisi arasında da düsünebiliriz. Dolayısıyla
Z(Cα(s)) = − sinϕN(s) + cosϕB(s) (6.10)
yazılabilir. Buradan (Cα, M) egri-yüzey ikilisinin çatısınıolusturalım.
Y (s) = Z(Cα(s))× T (6.11)
= (− sinϕN(s) + cosϕB(s))× T
= sinϕB(s) + cosϕN(s).
68
Dolayısıyla, (Cα, M) egri-yüzey ikilisinin çatısı{T , Y (s), Z(α(s))
}ve (6.8) deki den-
klemlerle birlikte asagıdaki sekilde ifade edilebilir:T (s) = B(s)
Z(Cα(s)) = sinϕN(s) + cosϕT (s)
Y (s) = sinϕT (s)− cosϕN(s).
(6.12)
(Cα, M) egri-yüzey ikilisinin egriliklerini hesaplarsak;
κg(s) =⟨T ′(s), Y (s)
⟩(6.13)
= 〈B′(s), sinϕT (s)− cosϕN(s)〉
= 〈−τ(s)N(s), sinϕT (s)− cosϕN(s)〉
= τ(s) cosϕ,
κn(s) =⟨T ′(s), Z(Cα(s))
⟩(6.14)
= 〈B′(s), sinϕN(s) + cosϕT (s)〉
= 〈−τ(s)N(s), sinϕN(s) + cosϕT (s)〉
= −τ(s) sinϕ,
69
tr(s) = −⟨Z ′(Cα(s)), Y (s)
⟩(6.15)
= −〈[sinϕN(s) + cosϕT (s)]′, sinϕT (s)− cosϕN(s)〉
= −⟨ τ ′(s) cosϕN(s)+ sinϕ(−κ(s)T (s) + τ(s)B(s))
−τ ′(s) sinϕT (s)+ cosϕ(κ(s)N(s)),
sinϕT (s)− cosϕN(s)
⟩
= −⟨ (τ ′(s) + κ(s)) sinϕT (s)
+(τ ′(s) + κ(s)) cosϕN(s) + τ(s) sinϕB(s),
sinϕT (s)− cosϕN(s)
⟩
= ϕ′(s) + κ(s)
olarak bulunur.
70
Teorem 6.2.1 α : I → M regüler egrisinin Öklid egriliklerinin egri-yüzey ikilisinin
egrilikleri cinsinden ifadesi
κ2(s) = κ2n(s) + κ2
g(s),
τ(s) = tr(s) +κ′n(s)κg(s)− κn(s)κ′g(s)
κ2n(s) + κ2
g(s)
dir (Sabuncuoglu 2001).
Teorem 6.2.2 α : I → M regüler egrisinin Fokal egrisi olan Cα : I → M egrisinin
{κ, τ} Öklid egriliklerinin (Cα, M) ikilisinin {κn, κg, tr} egri-yüzey egrilikleri cinsin-
den ifadesi asagıdaki sekildedir:
κ2(s) = κ2n(s) + κ2
g(s), (6.16)
τ(s) = tr(s) +κ′n(s)κg(s)− κn(s)κ′g(s)
κ2n(s) + κ2
g(s)
dir.
Ispat: (Cα, M) ikilisinin egri-yüzey çatısından Y (s) = sinϕB(s) + cosϕN(s) idi.
(6.13) ve (6.15) denklemlerinden cosϕ = κg(s)
τ(s)ve sinϕ = − κn(s)
τ(s)oldugundan
Y (s) = − κn(s)
τ(s)T (s)− κg(s)
τ(s)N(s)
yazılabilir. Son denklemde Y vektör alanının s parametresine göre türevini alıp
düzenlersek,
Y ′(s) = −[(1
τ)′κn +
1
τκ′n −
κ
τκg]T − [(
1
τ)′κg +
1
τκ′g −
κ
τκn]N − κgB. (6.17)
Ayrıca, (6.5) denklemlerinden
Y ′(s) = −κg(s)T (s) + tr(s)Z(Cα(s))
71
dir. Son denklemde Z(Cα(s)) = sinϕN(s) + cosϕT (s) ifadesi yerine konulursa,
Y ′(s) = −κg(s)T (s) + tr(s)(sinϕN(s) + cosϕT (s)) (6.18)
= −κg(s)B(s) + tr(s)(−κn(s)
τ(s))N(s) + tr(s)
κg(s)
τ(s)T (s)
elde edilir. (6.17) denklemi ile (6.18) denkleminin katsayılarıesitlenirse
−(1
τ(s))′κn(s)− 1
τ(s)κ′n(s) +
κ(s)
τ(s)κg(s) = tr(s)
κg(s)
τ(s)
−(1
τ(s))′κg(s)−
1
τ(s)κ′g(s) +
κ(s)
τ(s)κn(s) = −tr(s)
κn(s)
τ(s)
bulunur. Bu esitliklerden gerekli islemler yapılarak,
κ(s) = τ(s) = tr(s) +κ′n(s)κg(s)− κn(s)κ′g(s)
κ2n(s) + κ2
g(s)
ve
τ 2(s) = κ2(s) = κ2n(s) + κ2
g(s)
elde edilir.
Teorem 6.2.3 M(u, v) yüzeyinin genellestirilmis Fokal yüzeyi
M(u, v) = M(u, v) + f(k1, k2)N(u, v) olsun. α : I ⊂ R → M egrisinin Fokal egrisi
Cα : I ⊂ R→ M olsun. Cα egrisinin M yüzeyi üzerinde olmasıiçin
f 2 = c21 + c2
2 (6.19)
saglanmalıdır. Burada c1, c2 reel degerli fonksiyonlarıα egrisinin Fokal egrilikleridir.
Ispat: Hipotezden, M(u, v) yüzeyinin genellestirilmis Fokal yüzeyini
M(u, v) = M(u, v) + f(k1, k2)N(u, v) seklinde alalım. E3 de α egrisinin Fokal egrisi
Cα(s) = α(s) +1
κ(s)N(s) +
(1
κ(s)
)′1
τ(s)B(s)
seklinde verilir. Burada α egrisininM yüzeyi üzerinde oldugunu biliyoruz. O halde,
72
Cα egrisinin M yüzeyi üzerinde bulunabilmesi için
1
κ(s)N(s) +
(1
κ(s)
)′1
τ(s)B(s) = f(k1, k2)N(u, v) (6.20)
olmalıdır. (6.9) denkleminden, M yüzeyinin birim normal vektörü
(Z ◦ α)(s) = − sin θN(s) + cos θB(s)
seklinde yazılabilir. Burada θ açısı, yüzeyin birim normal vektör alanıN(u, v) ile
α egrisinin binormal vektörü B(s) arasındaki açıdır. Son esitlik (6.20) denkleminde
N(u, v) yerine yazılırsa
1
κ(s)N(s) +
(1
κ(s)
)′1
τ(s)B(s) = f(k1, k2) (− sin θN(s) + cos θB(s))
elde edilir. Dolayısıyla,
1
κ(s)= −f sin θ ve
(1
κ(s)
)′1
τ(s)= f cos θ
dır. Gerekli islemler yapıldıgında
θ = −arc tan
(c1
c2
)
ya da
f 2 = c21 + c2
2
bulunur. Burada c1 = 1κ(s)
ve c2 =(
1κ(s)
)′1τ(s)
dir.
Sonuç 6.2.1 M(u, v) yüzeyinin Fokal yüzeyi M(u, v) = M(u, v) + 1k1N(u, v) olsun.
α : I ⊂ R→M egrisinin Fokal egrisi Cα : I ⊂ R→ M olsun. Cα egrisinin M yüzeyi
üzerinde olmasıiçin
κ(s) = e
∫τ(s) tan θds+c
(6.21)
saglanmalıdır. Burada κ, τ fonksiyonları, sırasıyla, α egrisinin birinci egriligi ve
73
torsiyonudur.
Ispat: Teorem 6.2.3 ün ispatında f(k1, k2) = 1k1alınırsa, κ(s) = e
∫τ(s) tan θds+c
kolaylıkla elde edilir.
Örnek 6.2.1 M(u, v) = (u cos v, u sin v, v) helikoidal yüzeyi verilsin. Bu yüzey
üzerinde α(s) = (cos s√2, sin s√
2, s√
2) egrisini alalım. Helikoidal yüzeyin birim normal
vektörü
N(u, v) =1√
1 + u2(sin v,− cos v, u)
olarak hesaplanır. Ayrıca helikoidal yüzeyin birinci asli egriligi k1 = H +√H2 −K
(K ve H, sırasıyla, M yüzeyinin Gauss ve ortalama egriligi) esitliginden
k1 =1
1 + u2
elde edilir.
α egrisinin Fokal egrisini Cα(s) = α(s) + 1κ(s)
N(s) +(
1κ(s)
)′1τ(s)
B(s) alalım. α
egrisinin Frenet vektörleri
T (s) = (− 1√2
sins√2,
1√2
coss√2,
1√2
),
N(s) = (− coss√2,− sin
s√2, 0),
B(s) = (1√2
sins√2,− 1√
2cos
s√2,
1√2
)
olarak hesaplanır. Buradan α egrisinin birinci egriligi κ(s) = 12ve torsiyonu
τ(s) = 1√2dir.
74
Dolayısıyla,
Cα(s) = ((1−√
2) coss√2, (1−
√2) sin
s√2,s√2
)
bulunur. α egrisi Teorem (6.2.3) deki sartısagladıgından Cα egrisi, M yüzeyinin
Fokal yüzeyi olan M(u, v) = (u cos v, u sin v, v) +√
1 + u2(sin v,− cos v, u) yüzeyi
üzerindedir. Bu örnegin sekillerle ifadesi Sekil 2.a, b’deki gibi verilebilir.
Sekil 6.2.a Helikoid ve α egrisi, b Helikoidin Fokal yüzeyi ve Cα egrisi
75
KAYNAKLAR
Balgetir, H. 2002. Lorentz Uzayda Genellestirilmis Null Scrollar, Doktora Tezi,
F. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü.
Alegre, P., Arslan, K., Carriazo, A., Murathan, C. and Öztürk, G. 2010. Some
Special Types of Developable Ruled Surface, Hacettepe Journal of Math.
and Statistics Volume 39 (3), 319-325.
Ekmekci, N. ve Ilarslan, K. 1998. Higher Curvatures of a regular curve in Lorentzian
space, J. of Inst. of Math & Comp. Sci., 11 (2), 97-102.
Erdogan, E. 1986. Curvature Matrices and Darboux Matrices of Motions Along
a Curve, Commun. Fac. Sci. Univ. Ank. V. 35, 35-44.
Gray, A. 1993. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, CRS Press,
Inc.
Hacısalihoglu, H. H. 1980. Diferensiyel Geometri, Inönü Üniversitesi Fen-Edebiyat
Fakültesi Yayınları, No. 2.
Hagen, H., Pottman, H., Divivier, A. 1991. Visualization Functions on a Surface,
Journal of Visualization and Animation, Vol. 2, pp. 52-58.
Hagen, H., Hahmann, S. 1992. Generalized Focal Surfaces: A New Method for
Surface Interrogation IEEE.
Körpınar, T., Turhan, E. 2011. Special type of developable surfaces in terms of
focal curves of spacelike biharmonic general helices with timelike normal
in the Lorentzian E(2), International Journal of the Physical Sciences Vol.
6 (28), pp. 6495 - 6499.
76
Liu, H. 1999. Translation Surfaces With Constant Mean Curvature in 3-Dimensional
Spaces, Journal of Geometry, p. 141-149.
Malkowsky, E., Velickovic, V. 2001. Some Geometric Properties of Screw Sur-
faces and Exponential Cones, Proceedings of 10th Congres of Yugoslav
Math., Belgrade, pp. 395-399.
Monterde, J. 2004. Curves with Constant Curvature Ratios.
Nomizu, K. 1978. Kinematics and Differential Geometry of Submanifolds, Tohoku
Math. Journ.30, pp. 623-637.
O’Neill, B. 1983. Semi-Riemannian Geometry, Academic Press, New York.
Özdemir, B. 2008. En de Fokal Egriler ve Fokal Yüzeylerin Bir Karakterizasyonu,
Doktora Tezi.
Romero-Fuster, M. C., Sanabria-Codesal E. 1999. Generalized Evolutes, Vertices
and Conformal Invariants of Curves in Rn+1, Indoy. Mathem., N. S., 10
(2), pp. 297-305.
Sabuncuoglu, A. 2001. Diferensiyel Geometri, Nobel Yayınevi, Ankara, 593 sayfa.
Vargas, R. 2004. 4-Vertex Theorems, Sturm Theory and Lagrangian Singularities,
Mathematical Physics, Geometry and Analysis, 7, pp. 223-237.
Vargas, R. 2005. On Vertices, Focal Curvatures and Differential Geometry of Space
Curves, Bull Braz. Math. Soc., Vol. 36, Number 3.
Vargas, R. 2004. On Singularities, ‘Perestroikas’and Differential Geometry of Space
Curves, L’Enseigement Mathematique, 50, pp. 69-101.
77
Vargas, R. 2001. Singularities Symplectiques et de Contact en Geometrie
Differentielle des Courbes et des Surfaces, P.H.D. Thesis.
Yates, R. C. 1974. Curves and Their Properties, Library of Congress Catalog Card
Number: 74-10222, Printed in the UNited States of America, p. 245.
78
ÖZGEÇMIS
AdıSoyadı : Fatma GÖKÇELIK
Dogum Yeri : Ankara
Dogum Tarihi : 10.06.1988
Medeni Hali : Bekar
YabancıDili : Ingilizce
Egitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise : Etimesgut Lisesi (2005)
Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (Eylül 2010)
Yüksek Lisans :Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı (Temmuz 2012)
79
Yayınları(SCI ve diger)
1. Gökçelik, F. (with Bozkurt, Z., Gök, I., Ekmekci, F. N., Yaylı, Y.) Parallel
Transport Frame in Euclidean 4−space E4(Prepared to Submitted).
2. Gökçelik, F. (with Gök, I., Ekmekci, F. N., Yaylı, Y.) On Inclined Curves
According to Parallel Transport Frame in E4 (Prepared to Submitted).
KatıldıgıSempozyum ve Seminerler
1. IX. Geometri Sempozyumu, “Conformal Maps in Lorentz Space”
adlıposter sunulmustur (6-10 Haziran 2011).
2. IX. Geometri Sempozyumu, “Curves in Hyperbolic Space and Characterizations”
adlıposter sunulmustur (6-10 Haziran 2011).
3. ICCES Special Symposium on Meshless & Other Novel Computational Methods
Zonguldak, Turkey, September 6-10,2011, “V-i Slant Helix
in n- Euclidean Space”adlıçalısma sunulmustur.
4. ICCES Special Symposium on Meshless & Other Novel Computational Methods
Zonguldak, Turkey, September 6-10,2011, “Quaternionic Slant Helix
In Semi-Euclidean Space E 2-4”adlıçalısma sunulmustur.
5. Matematik Teknoloji Bulusması, Çankaya Üniversitesi, 24 Mayıs 2012.
ÇalıstıgıKurum/Kurumlar ve Yıl
1. Necmettin Erbakan Üniversitesi Fen Fakültesi
Matematik Bölümü Arastırma Görevlisi (2011− 2012)
2. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi
Matematik Bölümü Arastırma Görevlisi (2012− ...)
80
