Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
SIMMEC/EMMCOMP 2014
XI Simpósio de Mecânica Computacional
II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional
Juiz De Fora, MG, 28-30 de Maio De 2014
ANÁLISE ELÁSTICA LINEAR DE ELEMENTOS PLANOS
ENRIJECIDOS COM FIBRAS ATRAVÉS DE UM ACOPLAMENTO
MEC-MEF
Luiz Antonio dos Reis, Leandro Palermo Júnior
[email protected], [email protected]
Universidade Estadual de Campinas – Faculdade de Engenharia Civil UNICAMP/FEC
Av. Albert Einstein, 951, Caixa Postal: 6021, CEP 13083-852 Campinas, SP
Resumo. A análise elástica linear de elementos planos (Estado Plano de Tensão Generalizado)
enrijecidos com elementos lineares (barras) é estudada neste trabalho fazendo-se um
acoplamento entre elementos modelados com o Método dos Elementos de Contorno (MEC) e
com o Método dos Elementos Finitos (MEF). As fibras são modeladas pelo MEF com elementos
lineares de três graus de liberdade por nó. Os elementos planos são modelados pelo MEC com
elementos isoparamétricos lineares no perímetro. É permitido o uso de sub-regiões com
objetivo de generalizar o tratamento do meio elástico. Tendo em conta estes aspectos da
formulação desenvolvida, alguns exemplos são apresentados para avaliação de seu
desempenho nos problemas de engenharia.
Palavras-Chave: Elementos de Contorno, Elementos Finitos, Mínimos
Quadrados, Acoplamento MEC/MEF
mailto:[email protected]
Análise Elástica Linear de Elementos Planos Enrijecidos com Fibras Através de um Acoplamento MEC-MEF
SIMMEC/EMMCOMP 2014
XI Simpósio de Mecânica Computacional e II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional
ABMEC, Juiz de Fora, MG, 28-30 de maio de 2014
1 INTRODUÇÃO
Na engenharia, os problemas físicos são formulados através de um conjunto de equações
diferenciais, onde a solução analítica somente é possível em alguns casos mais simples e os
métodos numéricos são empregados na maior parte dos casos.
O método dos elementos finitos e o método dos elementos de contorno são muito
importantes, dentre os vários métodos numéricos empregados na resolução de problemas de
engenharia, e seu acoplamento é estudado por muitos pesquisadores.
O método dos elementos finitos (MEF), inicialmente proposto nos trabalhos de Argyris
(1960), Adini e Clough (1961), Melosh (1961) e outros, tem como ideia básica a divisão do
domínio do problema em um número finito de subdomínios, denominados de elementos finitos,
que são interligados através de pontos nodais.
Atualmente, o MEF encontra-se em um estágio bastante avançado, constituindo-se no
método numérico mais utilizado para solução dos mais variados problemas de engenharia de
forma que, tem se mostrado como uma boa opção de cálculo, principalmente nos problemas
com domínios finitos, não homogêneos, anisotrópicos e, também, em análise não linear do
comportamento estrutural.
O método dos elementos de contorno (MEC) é um dos métodos numéricos com aplicações
computacionais mais recentes em relação ao MEF. Cabe observar que a técnica das equações
integrais de contorno para solução dos problemas de engenharia é antiga, e Brebbia (1978a e
1978b), dentre outros pesquisadores, foi dos que empregou o método das equações integrais de
contorno associada a metodologia para tratamento numérico usada no MEF para resolver
problemas de engenharia.
O MEC se apresenta como uma boa opção de cálculo em problemas de domínios infinitos,
semi-infinitos e regiões de grande concentração de tensões, entretanto, sua utilização na análise
de problemas de engenharia pode ser muito ampliada sem for desenvolvida uma técnica
eficiente para combinação com outros métodos numéricos, em particular o MEF.
Na Engenharia a inclusão de um elemento linear elástico em domínios planos é uma prática
bastante comum, podendo-se citar os elementos de fundação inseridos no solo. Estes elementos
elásticos podem ser rígidos ou flexíveis e conferem ao domínio que são inseridos a propriedade
de anisotropia.
O estudo de problemas de domínios enrijecidos não é novo e, recentemente, foi estudado
por Wutzow (2003), Botta (2003), Silva (2010), dentre outros.
Neste trabalho, o elemento linear elástico é modelado através do MEF considerando
aproximação diferente para forças para permitir sua combinação com o MEC. O acoplamento
MEC/MEF é obtido unindo-se as equações dos dois modelos com a imposição da
compatibilidade de deslocamentos e equilíbrio de forças. A formulação considera uma união
perfeita entre os dois meios, onde as reações da barra são consideradas como uma linha de
cargas sobre o domínio plano. Dois exemplos são apresentados para mostrar a eficiência da
técnica utilizada.
Reis, L.A., Palermo Junior, L.
SIMMEC/EMMCOMP 2014
XI Simpósio de Mecânica Computacional e II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional
ABMEC, Juiz de Fora, MG, 28-30 de maio de 2014
2 EQUAÇÕES BÁSICAS
Serão apresentadas as equações empregadas nos tratamentos do MEF e MEC para
domínios planos e para os elementos lineares, respectivamente.
2.1 Método dos Elementos de Contorno
Em um corpo deformável com domínio Ω e um contorno Γ, para um ponto qualquer 𝑠, a equação integral de contorno para equação diferencial do problema plano é dada por:
𝑐𝑖𝑗(𝑠)𝑢𝑖 = ∫ 𝑢𝑖𝑗∗
Γ× 𝑃𝑗𝑑Γ − ∫ 𝑃𝑖𝑗
∗Γ
× 𝑢𝑗𝑑Γ + ∫ 𝑢𝑖𝑗∗
Ω× 𝑏𝑗𝑑Ω (1)
Tendo em conta a solução de problemas planos, a solução para carga unitária em domínio
planos, análoga à de Kelvin, Love (1984) para problemas tridimensionais.
O vetor de forças de domínio bj se aplicado em uma área que tende a uma linha se
transforma em uma linha de cargas 𝑓𝑗 que atua ao longo de uma linha Γ𝑓, observando que as
direções das linhas de cargas estão contidas no plano do problema e são positivas se coincidem
com os sentidos dos eixos xj, sendo assim a Eq.(1) pode ser escrita:
𝑐𝑖𝑗(𝑠)𝑢𝑖 = ∫ 𝑢𝑖𝑗∗
Γ× 𝑃𝑗𝑑Γ − ∫ 𝑃𝑖𝑗
∗Γ
× 𝑢𝑗𝑑Γ + ∫ 𝑓𝑗Γ𝑓× 𝑢𝑖𝑗
∗ 𝑑Γ𝑓 (2)
A equação integral de contorno, Eq.(2), é empregada na solução pelo Método dos
Elementos de Contorno. Após as integrações nos elementos de contorno, a equação integral é
transformada em equações algébricas lineares. As integrais que aparecem na Eq.(2) podem ser
tratadas numericamente ou analiticamente. Neste trabalho, foram empregadas integrações
numéricas quando o ponto de colocação situava-se fora do elemento e integrações analíticas em
caso contrário. Reis(2014).
O sistema de equações obtido pelo tratamento com o MEC, incluindo o efeito das linhas de
carga, é dado por:
[𝐶]{𝑈} = [𝐻]{𝑈} + [𝐺]{𝑃} + [𝑆]{𝑓} (3)
2.2 Método dos Elementos Finitos
O método dos elementos finitos (MEF) é baseado no método de Rayleigh-Ritz com a
divisão do domínio de integração em um número finito de elementos chamados de elementos
finitos. Neste trabalho foi considerado para o elemento com três graus de liberdade por nó,
possibilitando avaliar deslocamentos horizontais, verticais e giro. Adicionalmente, a
possibilidade das fibras chegarem até o contorno foi permitida, bem como a junção dessas com
outros elementos MEF externos também foi contemplado. Seja o elemento de barra com
modulo de Elasticidade E, área A e Inercia I, considerado neste trabalho que é mostrado na
Fig.1.
Análise Elástica Linear de Elementos Planos Enrijecidos com Fibras Através de um Acoplamento MEC-MEF
SIMMEC/EMMCOMP 2014
XI Simpósio de Mecânica Computacional e II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional
ABMEC, Juiz de Fora, MG, 28-30 de maio de 2014
Figura 1. Elemento finito com quatro nós por barra
Admite-se variação de terceiro grau para deslocamento axial e variação de sétimo grau para
o deslocamento transversal ao eixo da barra.
O vetor de forças nodais pode ser constituído, Fig.1, de um carregamento distribuído
linearmente no sentido axial e outro no sentido transversal ao eixo da barra.
Assim a Matriz de rigidez do elemento de barra é dada da seguinte forma:
𝐻𝑓 = [𝐾1 𝐾2𝐾3 𝐾4
] (4)
onde os valores de K1 , K2 , K3 e K4 podem ser expressos por:
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EA
L
EAL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EA
L
EA
K
385
45198
44
65610
6160
148959
56
123930
44
6561
154
1771470
308
10935
16
21870
005
5400
40
1896160
148959
308
109350
385
6157
28
25170
56
12393
16
21870
28
2517
7
45390
0040
18900
10
37
22
2323
22
2323
1
(5)
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EA
L
EAL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EA
L
EA
K
385
4131
7
7290
6160
490617
616
1640250
154
6561
28
109350
616
164025
1232
7676370
0020
2700
40
2976160
6893
14
1650
385
4131
154
65610
14
165
112
135750
7
729
28
109350
0040
1300
20
27
22
2323
22
2323
2
(6)
Reis, L.A., Palermo Junior, L.
SIMMEC/EMMCOMP 2014
XI Simpósio de Mecânica Computacional e II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional
ABMEC, Juiz de Fora, MG, 28-30 de maio de 2014
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EA
L
EAL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EA
L
EA
K
385
4131
154
65610
6160
6893
14
1650
7
729
28
109350
14
165
112
135750
0020
2700
40
136160
490617
616
1640250
385
4131
7
7290
616
164025
1232
7676370
154
6561
28
109350
0040
29700
20
27
22
2323
22
2323
3
(7)
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EA
L
EAL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EA
L
EA
K
385
6157
28
25170
6160
148959
308
109350
28
2517
7
45390
56
12393
16
21870
0010
3700
40
1896160
148959
56
123930
385
45198
44
65610
308
10935
16
21870
44
6561
154
1771470
0040
18900
5
54
22
2323
22
2323
4
(8)
Matricialmente , para o carregamento nas duas direções , tem-se a seguinte representação
transposta:
224
L1
560
670
560
L9
1120
2430
1120
L9
560
810
840
L1
160
30
00120
L1300
10
L300
40
L300
60
L1840
L1
160
30
1120
L9
560
810
560
L9
1120
2430
224
L1
560
670
0060
L100
40
L300
10
L300
120
L13
Gf T (9)
Resolvendo-se uma estrutura pelo método dos elementos finitos, obtém-se a seguinte
equação:
[𝐻𝑓]{𝑢} = [𝐺𝑓]{𝑓} (10)
3 ACOPLAMENTO MEC-MEF
A consideração de um domínio plano enrijecido com uma barra é feita através de uma
imposição de compatibilidade de deslocamento e equilíbrio de forças, ou seja:
𝑈𝑐 − 𝑈𝑓 = 0
𝑓𝑐 + 𝑓𝑓 = 0 (11)
onde 𝑈𝑐 e 𝑓𝑐 são respectivamente os deslocamentos e as forças que aparecem nas
equações do elemento de contorno e 𝑈𝑓 e 𝑓𝑓 São respectivamente os deslocamentos e as forças da barra enrijecedora. As forças que aparecem no domínio plano tem sinal oposto as
Análise Elástica Linear de Elementos Planos Enrijecidos com Fibras Através de um Acoplamento MEC-MEF
SIMMEC/EMMCOMP 2014
XI Simpósio de Mecânica Computacional e II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional
ABMEC, Juiz de Fora, MG, 28-30 de maio de 2014
forças da barra, agindo assim como forças de reação. Para o problema discretizado a Eq.(11)
fica:
{ 𝑓𝑐} = -{𝑓𝑓} = { f }
{ 𝑈𝑐 } = {𝑈𝑓} = { u } (12)
Para o problema tratado, ou seja, elemento plano enrijecido com fibras, a reação das fibras
sobre a matriz equivale a uma linha de carga de acordo com a Fig.2.
Figura 2. Esquema onde é visualizado a linha de carga e a barra rígida
O sistema de equações é composto pelas equações algébricas de deslocamentos do método
dos elementos de contorno escritas para os pontos do contorno Eq.(13), pelas equações
algébricas de deslocamentos do método dos elementos de contorno escritas para os pontos
internos de interface Eq.(14) e pelas equações de deslocamentos dos métodos dos elementos
finitos da barra enrijecedora Eq.(15) , como segue:
[𝐻𝑐]{𝑈𝑐} = [𝐺𝑐]{𝑃𝑐} + [𝑆]{𝑓𝐼} (13)
{𝑈𝐼} = −[𝐻𝑐]{𝑈𝑐} + [𝐺𝑐]{𝑃𝑐} + [𝑆]{𝑓𝐼} (14)
[𝐻𝑓]{𝑈𝐼} = −[𝐺𝑓]{𝑓} (15)
Nas Eq.(13), Eq.(14) e Eq.(15) os índices sobrescritos “ 𝑐 ”, “𝑓 ” e “ 𝐼 ” representam
respectivamente contorno, barra enrijecedora e interface. As matrizes 𝐻𝑐, 𝐺𝑐 e 𝑆 representam
as matrizes de influência de integração, a matriz 𝐻𝑓 é a matriz de rigidez da barra e 𝐺𝑓 a matriz
que se multiplicada pelo vetor de forças distribuídas 𝑓, fornece o vetor de cargas nodais.
Na Fig.3 está mostrado o esquema de colocação dos pontos internos, para realizar a
compatibilidade de deslocamentos no acoplamento e que de modo diferente de Botta (2003) os
pontos das extremidades não são deslocados para o interior.
Reis, L.A., Palermo Junior, L.
SIMMEC/EMMCOMP 2014
XI Simpósio de Mecânica Computacional e II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional
ABMEC, Juiz de Fora, MG, 28-30 de maio de 2014
Figura 3. Nós internos para deslocamentos no MEC.
3.1 Regularização pela Técnica dos Mínimos Quadrados
Observando o sistema de equações a ser resolvido as variáveis incógnitas são: 𝑈𝑐 , 𝑃𝑐 , 𝑈𝐼
e 𝑓 , observa-se no entanto que existem mais variáveis 𝑈𝐼 do que forças 𝑓 ,onde a causa disto é a adoção de diferentes graus para os polinômios aproximadores.
O número de número de variáveis de cada vetor é:
{𝑓} = 2 × (𝑛𝑏𝑎𝑟 + 1)
{𝑈} = 3 × (3 × 𝑛𝑏𝑎𝑟) + 1
onde, 𝑛𝑏𝑎𝑟 é o número de barras de elemento finito.
Para que o problema possa ter solução, aplica-se a técnica dos mínimos quadrados. Como
o número de equações é maior que o número de incógnitas é necessário reduzi-las a um número
conveniente para que o sistema seja resolvível. A técnica dos mínimos quadrados consiste em
reduzir no número de equações e minimizando os erros. Para tanto, neste trabalho, bastou
multiplicar a Eq.(14) pela matriz [𝑆] Transposta que ficou de acordo com a Eq.(16) abaixo.
[𝑆𝑇]{𝑈𝐼} = −[𝑆𝑇][𝐻𝐶]{𝑈𝑐} + [𝑆𝑇][𝐺𝑐]{𝑃𝑐} + [𝑆𝑇][𝑆]{𝑓𝐼} (16)
Para o caso de haver mais de uma barra enrijcedora, a matriz [𝑆𝑇] será multiplicada pelo
vetor {𝑈𝐼} considerando todos os nós da interface, mesmo que as barras não sejam continuas.
As Equações (13) , Eq.(15) e Eq (16) podem ser escritas de forma matricial, ficando:
pcGSG
U
f
U
HG
SSSHS
SHCT
c
i
C
FF
TTCT
c
00
0
(17)
Para o sistema (17) já foi imposto a condição de contorno.
Análise Elástica Linear de Elementos Planos Enrijecidos com Fibras Através de um Acoplamento MEC-MEF
SIMMEC/EMMCOMP 2014
XI Simpósio de Mecânica Computacional e II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional
ABMEC, Juiz de Fora, MG, 28-30 de maio de 2014
4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
Para demonstrar o emprego do modelo acima descrito, são apresentados dois exemplos
para verificar a performance e a precisão da combinação MEC/MEF para um problema
bidimensional reforçado com fibras.
4.1 Tirante Reforçado com enrijecedores
O primeiro exemplo é mostrado para verificar a capacidade da formulação na analise da
distribuição das tensões de cisalhamento ao longo da interface da ligação barra matriz em um
teste de arrancamento clássico. Na Fig. 4, uma barra é parcialmente imersa em um bloco. Assim,
uma pequena parte da barra não está imerso para permitir a aplicação das forças de tração.
Os dados geométricos escolhidas para realizar esta análise é dada na Fig. 4 .
Figura 4. Tirante enrijecido proposto no primeiro exemplo.
Os deslocamentos são prescritos iguais a zero ao longo da lateral vertical esquerda do
domínio, enquanto que na extremidade oposta, a carga é aplicada prescrevendo, na barra , um
deslocamento de 0,5 cm para a direita. A extremidade direita do domínio é livre para se mover .
As propriedades elásticas assumidos para esta análise são:
Elemento Plano: módulo de Young, Eep = 30.000,00 kN/cm2 , relação de Poisson ν = 0,0 ,
Elemento enrijecedor : Ef = 21.000,00 kN/cm2 , Af = 1 cm2.
Foram considerado 160 elementos finitos para representar o enrijecedor e sessenta
elementos lineares foram definidas para aproximar os valores de limite do dominio. Os
resultados obtidos em termos de deslocamentos são mostrados na Fig. 5 (a) em conjunto com a
solução obtida por Botta (2003), Fig. 5 (b).
Reis, L.A., Palermo Junior, L.
SIMMEC/EMMCOMP 2014
XI Simpósio de Mecânica Computacional e II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional
ABMEC, Juiz de Fora, MG, 28-30 de maio de 2014
(a) (b)
Figura 5. (a) Deslocamentos na direção do eixo x da barra. (b)Deslocamentos na direção do eixo x da
barra obtidos por Botta(2003).
A solução numérica é completado pelos resultados apresentados na Fig. 6 (a) , onde as
forças de interface são exibidos .
(a) (b)
Figura 6. (a) Forças na direção do eixo x, de superfície nas barras. (b) Forças na direção do eixo x, de
superfície nas barras obtidos por Botta(2003).
4.2 Viga engastada submetida a uma carga distribuída na face superior
reforçada com um enrijecedor em sua face inferior.
Este exemplo mostra a capacidade da formulação na análise de tensões ao longo da
interface fibra-matriz. Na Fig.7, uma viga biengastada está sendo solicitada na face superior
por um carregamento uniformemente distribuído. Uma barra enrijecedora foi colocada na parte
inferior reforçando a viga.
Os dados geométricos e físicos da estrutura bem como as condições de contorno estão
apresentados na Fig. 7.
Análise Elástica Linear de Elementos Planos Enrijecidos com Fibras Através de um Acoplamento MEC-MEF
SIMMEC/EMMCOMP 2014
XI Simpósio de Mecânica Computacional e II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional
ABMEC, Juiz de Fora, MG, 28-30 de maio de 2014
Figura 7. Dimensões e condições de contorno impostos no segundo exemplo.
Foi considerado 160 elementos finitos para representar o elemento enrijecedor e 120
elementos lineares para aproximar o contorno do domínio.
Os resultados apresentados por Wutzow(2003) e utilizados neste trabalho o enrijecedor foi
modelado por MEC, sedo assim os resultados são obtidos para o contorno do elemento e
apresentados considerando a parte superior da viga chamada de lado A, a parte inferior chamada
de lado B e os valores medianos chamados de valores condensados.
Quando se utiliza MEF para modelar o elemento enrijecedor, como neste trabalho, se
obtém somente os valores medianos.
Os resultados podem ser observados nas figuras:
(a) (b)
Figura 8. (a) Deslocamentos na direção do eixo x. (b) Deslocamentos na direção do eixo x obtidos por
Wutzow(2003).
Reis, L.A., Palermo Junior, L.
SIMMEC/EMMCOMP 2014
XI Simpósio de Mecânica Computacional e II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional
ABMEC, Juiz de Fora, MG, 28-30 de maio de 2014
(a) (b)
Figura 9. (a) Deslocamentos na direção do eixo y. (b) Deslocamentos na direção do eixo y obtidos por
Wutzow (2003).
(a) (b)
Figura 10. (a) Forças de superfície na direção do eixo x. (b) Forças de superfície na direção x obtidas por
Wutzow(2003)
(a) (b)
Figura 11. (a) Forças de superfície na direção do eixo y. (b) Forças de superfície na direção y obtidas por
Wutzow(2003).
Análise Elástica Linear de Elementos Planos Enrijecidos com Fibras Através de um Acoplamento MEC-MEF
SIMMEC/EMMCOMP 2014
XI Simpósio de Mecânica Computacional e II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional
ABMEC, Juiz de Fora, MG, 28-30 de maio de 2014
(a) (b)
Figura 12. (a) Rotação na barra erijecedora. (b) Rotação na barra enrijecedora, obtido por
Wutzow(2003)
5 CONCLUSÃO
Conforme se observa nos exemplos, a regularização proposta por mínimos quadrados se
apresenta bastante eficiente na resposta suavizadas em termos de forças de superfície.
Entretanto para que isto ocorra as fibras devem ser bem discretizadas.
Como se pode ver no primeiro exemplo, a presente formulação mostra resultados muito
estáveis com uma curva suave e compatível com os resultados apresentados por Botta (2003)
No segundo exemplo, os resultados obtidos forma muito próximos ao de Wutzow (2003)
que fez a análise utilizando somente elementos de contorno e acoplando sub-regiões.
6 AGRADECIMENTO ESPECIAL
Os autores expressam seu reconhecimento ao professor Wilson. S. Venturini (in memoriam)
que foi quem sugeriu a proposta deste trabalho. Os resultados obtidos mostraram uma
formulação com boa estabilidade para solução dos problemas de engenharia.
Reis, L.A., Palermo Junior, L.
SIMMEC/EMMCOMP 2014
XI Simpósio de Mecânica Computacional e II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional
ABMEC, Juiz de Fora, MG, 28-30 de maio de 2014
REFERENCIAS
Adini, A., Clough, R.W., 1961, “Analysis of Plate Bending by the Finite Element Method”.
Report National Science Foundation, Grant 973337.
Assan, A.E., 1999, “Método dos Elementos Finitos, Primeiros Passos”. Unicamp, Campinas,
Brasil, 1ª Edição.
Brebbia, C.A.; Georgiou, P.; 1980; “Combination of Boundary and Finite Elements for
Elastostatics”. Appl. Math. Modeling, V.3, P. 212-220.
Botta, A.S.; 2003; “Método dos Elementos de Contorno para Análise de Corpos Danificados
com Ênfase no Fenômeno da Localização de Deformações”. Tese (Doutorado) - Escola de
Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo, São Carlos - Sp.
Botta, A. S.; Venturini, W. S.; 2003; “Reinforced 2d Domain Analysis Using BEM and
Regularized BEM/FEM Combination.”
Coda, H.B.;1993; “Análise Tridimensional Transiente de Estruturas pela Combinação entre o
Método dos Elementos de Contorno e o Método dos Elementos Finitos”. São Carlos. Tese
(Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade De São Paulo.
Coda, H.B.; Greco, M.; 2004 “A Simple FEM Formulation for Large Deflection 2d Frame
Analysis Based on Position Description”. Computer Methods In Applied Mechanics
And Engineering, V.193, P.3541-3557.
Ferro, N.C.P.; 1993; “Uma Combinação MEC/MEF para Análise de Fundações Enrijecidas
por Estacas”. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos,
Universidade de São Paulo.
Foltran, C.E.; 1999; “Análise de Problemas Planos em Regime Elasto-Plástico pelo Método
dos Elementos de Contorno”. Campinas. Dissertação (Mestrado) – Faculdade de Engenharia
Civil, Universidade Estadual de Campinas.
Leite, L.G.S.; Coda, H.B.; Venturini, W.S.; 2003; “Two-Dimensional Solids Reinforced by
Thin Bars Using the Boundary Element Method”. Engineering Analysis With Boundary
Elements, V. 27, Pp. 193-201.
Paiva, J. B.; Aliabadi, M. H. ; 2004; “Bending Moments at Interfaces of Thin Zoned Plates
With Discrete Thickness by the Boundary Element Method”. Engineering Analysis With
Boundary Elements, 28:747-751.
Reis, .L.A; 2014,“ Acoplamento MEC-MEF para análise de pórtico linear sobre base elástica”. Dissertação (Mestrado). Faculdade de Engenharia Civil, Universidade Estadual de
Campinas, no prelo.
Análise Elástica Linear de Elementos Planos Enrijecidos com Fibras Através de um Acoplamento MEC-MEF
SIMMEC/EMMCOMP 2014
XI Simpósio de Mecânica Computacional e II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional
ABMEC, Juiz de Fora, MG, 28-30 de maio de 2014
Telles, J.C.F.; Brebbia, C.A.; 1979; “On the Application of the Boundary Element Method to
Plasticity”. Appl. Math. Modelling, V.3, P.466-470.
Venturini, W.S.; 1984; “Boundary Element Method In Geomechanics”. Springer-Verlag.
(Lecture Notes In Engineering).
Venturini, W.S. ; Brebbia, C.A.; 1983; “Some Applications Of The Boundary Element
Method In Geomechanics”. Int. J. Num. Anal. Meth. Geomech., V.7, P.419-434.
Wutzow, W. W. ; 2003; “Formulação do Método dos Elementos de Contorno para Análise de
Chapas Com Enrijecedores”. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos-
Universidade de São Paulo, São Carlos.