Análisis de propuestas de evaluación en las aulas de

Grupo de Trabajo sobre Estándares y Evaluación (GTEE/PREAL) - Instituto de Evaluación Educativa (IEE, Uruguay)

Análisis de propuestas de evaluación en las aulas de América LatinaMatemáticaAdición y sustracción: significado y relaciones

Las situaciones de suma y resta ponen en juego, en sus formasbásicas, tres cantidades: una cantidad inicial sobre la cual se apli-ca una transformación -positiva o negativa- y una cantidad final pro-ducto de la transformación de la primera. En general son situacio-nes que se presentan en los primeros grados de la escolaridad,dándose por supuesto que en estos niveles se "enseñan" la sumay la resta y en los grados siguientes estas sólo se aplican pararesolver situaciones más complejas que involucran otras operacio-nes o números mayores. La idea que subyace a estas prácticases la de que el tamaño de los números en juego agrega dificultad.Por otro lado, la suma y la resta se presentan como dos operacio-

nes "inversas" en las que siempre se opera una sola transfor-mación. Sin embargo, si bien se pueden establecer varioscasos diferentes que se combinan de manera que una cantidadopera sobre otra obteniendo una tercera cantidad como resulta-do, pueden plantearse situaciones en las que el alumno debahacer un cálculo relacional tal que, aun cuando la situación semodelice con una suma, deba resolverse con una resta y vice-versa. Esto depende del lugar que ocupa la incógnita en la situa-ción. La escuela, generalmente, presenta la incógnita en el resul-tado de la transformación. Sin embargo también puede plantear-se la incógnita en la cantidad inicial o en la transformación.

La misma dificultad se presenta en esta propuesta que exige trabajar con expresionesdecimales. Ambas nos hacen reflexionar sobre cómo dos situaciones que parecentotalmente diferentes por el contexto en el que se presentan son, por su estructura, elmismo problema, pues deben usarse los mismos procedimientos para resolverlas.Hemos visto que las situaciones en las que se pregunta el estado final pueden comple-jizarse poniendo la incógnita en el estado inicial, como en los casos anteriores, o en lapropia transformación. Por ejemplo, la situación anterior se podría haber planteado así:

Manolo tenía 45 soles. Hizo unas compras y ahora tiene 21,42 soles. ¿Cuánto gastó en sus compras?.

Esta actividad propuesta del maestro Giovanni Arias tiene como objetivo la relaciónentre operaciones. El alumno debe tener en cuenta que conoce la cantidad final dedinero obtenida por una venta y que esta cantidad implica $80 menos que el precioinicial. Por lo tanto, debe plantearse que, si al precio inicial se le quita la pérdida,encontrará el precio final. La situación, que puede modelizarse como una resta en laque se desconoce el minuendo, se resuelve con una suma, puesto que el alumnodebe considerar que los $430 finales son el resultado de haber perdido $80. Paraobtener el precio inicial, debe sumar ambas cantidades, es decir, recomponer elminuendo. Contrariamente a lo habitual, la incógnita no está en el resultado de latransformación (en el estado final), sino en el estado inicial.

■■ Perú

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Esta es una nueva situación con el mismo objetivo y de igual estructura que la anterior,solo que con una transformación negativa. La incógnita se encuentra también en elestado inicial. Si bien se modeliza con una resta: a -1318 = 12517, el alumno deberealizar una suma para resolverla. La variación del lugar de la incógnita complejizaestas situaciones y enfrenta al alumno con las relaciones que se pueden establecerentre ambas operaciones.

Esta propuesta, planteada en un contexto intramatemático, constituye otro ejemplo delo dicho respecto de la anterior.

■■ El Salvador

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Las situaciones analizadas pueden revestir mayor complejidad cuando, por ejemplo, seaplica al estado inicial una composición de transformaciones, es decir, sucesivas trans-formaciones de igual o distinto signo.

Es esta situación el alumno debe considerar la cantidad inicial para aplicar sobre ellauna transformación positiva y otra negativa.

En el caso de arriba el alumno debe averiguar el estado final aplicando una composi-ción de transformaciones al estado inicial, de las que una es positiva y la otra negativa

En estas dos tareas pro-puestas, en cambio, lacomposición es de trans-formaciones negativas,por lo que el estudiantepuede resolverlas efec-tuando dos restas sucesi-vas o una suma que com-ponga las transformacio-nes, antes de efectuar laresta. En ambos casos sepregunta el estado final.

■■ Perú

■■ El Salvador

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En esta otra situación se combinan los dos tipos de variaciones expuestas anterior-mente, puesto que hay una composición de transformaciones negativas y la incógnitaes el estado inicial.El alumno debe, en primer término, componer cada una de las transformaciones, yaque cada una de ellas está dada en función de las anteriores. Una vez resuelto esteaspecto, debe tener en cuenta que, a pesar de que las tres transformaciones son nega-tivas, debe efectuar una suma para obtener el total de agua perdida. Si bien hasta aquíya se presenta al estudiante una dificultad importante, se agrega una nueva dificultad: lavariación del lugar de la incógnita. Es decir, el alumno cuenta con lo que queda en eldepósito (estado final) y la transformación, debiendo calcular la cantidad o estado inicial.

En este otro caso, el alumno conoce el precio de venta (estado final) y la ganancia(transformación) por lo que debe buscar el precio de compra (estado inicial). La situa-ción podría modelizarse como: a + 13.500 = 50.000, por lo que para hallar el datofaltante, se debe realizar una resta. Es decir, la situación se modeliza con una sumapero se resuelve con una resta.

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Finalmente, esta actividad enfrenta al alumno con un cálculo relacional, ya que en algu-nos casos se pregunta por el estado inicial y en otros por la transformación.Lo que dice Pablo se podría modelizar ¿? + 58 = 168. Para resolver la situación, el alum-no debe efectuar una resta. De esta manera pueden establecerse las relaciones entresuma y resta por las cuales una suma origina siempre dos restas, ya que si restamos a lasuma uno de los sumandos, obtendremos el otro.Lo que dice Carla enfrenta al alumno con un planteo del tipo: ¿? - 75 = 340, caso inversoal anterior, puesto que si bien se modeliza con una resta, debe resolverse con una suma.Nuevamente se ponen en juego las relaciones entre estas dos operaciones. Lo que sebusca en este caso es la recomposición del minuendo o situación inicial, para lo cual esnecesario reunir sustraendo y diferencia.Plantear lo que dice Ana es más complejo, pues pone en juego más de una operación:¿? X 3 + 80 = 440. En este caso nuevamente el alumno debe restar a la suma uno delos sumandos para obtener el restante. Se dice que ese número es el resultado deuna multiplicación, por lo que es necesario aplicar la división por el mismo número porel que se ha multiplicado para obtener el número buscado. Así, se ponen de manifiestolas relaciones suma-resta y también multiplicación-división.Estas relaciones, que es imprescindible analizar, se toman aquí en una actividad perti-nente que abre muchas posibilidades a la exploración y justificación por parte de losalumnos. Podemos apreciar entonces cómo los problemas aditivos deben recorrerse alo largo del ciclo escolar con objetivos diferentes a los efectos de transitar por distin-tos significados y diferentes niveles de complejidad. Del mismo modo, estos planteospermitirán a los alumnos construir las relaciones entre suma y resta.

■■ Uruguay

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