Análisis Matemático · 2011-03-19 · Análisis Matemático Unidad 7 SUCESIONES Una sucesión es un conjunto ordenado de términos en el que puede establecerse una correspondencia

Análisis Matemático

Unidad 7

SUCESIONES

Una sucesión es un conjunto ordenado de términos en el que puede establecerse una

correspondencia entre los elementos de la sucesión y la sucesión de números naturales.

Por ejemplo:

Podemos simbolizar esta sucesión como

Esto significa que cada término de la sucesión de obtiene reemplazando n por la sucesión de

números naturales.

Hay dos tipos de sucesiones especiales:

Sucesiones Aritméticas

En las sucesiones aritméticas cada término se obtiene sumándole al anterior una cifra fija denominada

“razón” o “diferencia”.

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Por ejemplo:

7, 10, 13, 16, 19…

En esta sucesión cada término se obtiene sumándole 3 al anterior.

Los elementos de la sucesión son:

primer término (en nuestro caso, 7)

: diferencia o razón (3 en este ejemplo)

número de términos

término enésimo.

La fórmula para obtener cualquier término de la sucesión es:

Por ejemplo, si en la sucesión que pusimos como ejemplo queremos calcular el

vigésimo término.

Sucesiones geométricas

En este tipo de sucesiones, cada término se obtiene al multiplicar el anterior por una cifra fija

denominada “razón”

Por ejemplo:

En este caso cada término se obtiene multiplicando al anterior por 4.

La fórmula para obtener cualquier término es:



Siendo q la razón de la sucesión.

Suma de términos

Para calcular la suma de los n primeros términos de una sucesión utilizamos las siguientes fórmulas:

Sucesiones aritméticas

Sucesiones geométricas

Algunos ejemplos de resolución de ejercicios

1) De una sucesión aritmética se conoce:

Calcular:

a) La razón.

b) La suma de los primeros 25 términos.

a) Escribimos la fórmula del término enésimo, y a partir de allí despejamos la razón:



b) Para calcular la suma de los primeros 25 términos, calculamos primero y luego la suma

2) En una sucesión aritmética el tercer término es -2 y el séptimo término es 18. Calcular la suma de los

primeros 11 términos.

Nuestros datos son:

Para calcular la diferencia, armaremos una “sub-sucesión”

Tomaremos al - 2 como primer término y al 18 como término quinto:

Entonces:

Ahora calculamos y volviendo a la sucesión original.



3) En una sucesión geométrica y Calcular:

a) La razón

b) la suma de los primeros 12 términos.

a)

b)

4) En una sucesión geométrica y . Calcular el número de términos.

A partir de la fórmula del término enésimo debemos despejar n.



84) El alquiler de un auto cuesta $420 el primer día y $250 cada uno de los días

subsiguientes.

a) ¿Cuál es el costo de 16 días de alquiler?

b) Si se abonaron $3170 ¿durante cuánto tiempo se alquiló el automóvil?

85) En una sucesión aritmética de 12 términos, el primero es 8 y la suma de todos los

términos es -36. Calcular la diferencia.

86) Calcular el décimo término de una sucesión aritmética cuyo segundo y cuarto

término son, respectivamente, y 1.

87) Calcular el séptimo término de una sucesión geométrica de razón positiva que tiene

por tercero y quinto término, respectivamente, y -6.

88) En una programación geométrica de 11 términos y razón 2, la suma de todos los



términos es 4094. Calcular el primer término.

89) En una sucesión geométrica de 7 términos, el primero es 6000 y el último 0,006.

Calcular la suma de todos los términos.

90) Seis hermanos reciben un legado. El mayor recibe $320.000 el segundo $480.000

y así sucesivamente en sucesión geométrica. ¿Cuántos de ellos se vuelven millonarios

gracias a la herencia?

91) En una sucesión geométrica y . Calcular la suma de los primero 5

términos.

92) Un banco ofrece el 2% de interés mensual para depósitos a plazo fijo de 30 días.

Si se depositan $50.000, y llamamos Mn al monto obtenido luego de n meses:

a) Calcular: i) M8 ii) Mn

b) Comprobar que Mn es una progresión geométrica y calcular su razón

c) ¿Cuántos meses debe estar depositado el dinero para obtener un monto superior a

$90.000?



CLASIFICACIÓN DE LAS SUCESIONES

Sucesiones convergentes

Una sucesión es convergente cuando su término general tiene límite finito.

Por ejemplo, consideramos la sucesión cuyo término general es:

Por lo tanto es una sucesión convergente

Sucesiones divergentes

Un sucesión es divergente si

Por ejemplo

Entonces es divergente



Sucesiones oscilantes

Una sucesión es oscilante si no tiene límite infinito ni finito.

Por ejemplo:

Su desarrollo es: -1, 1, -1, 1, -1…

Es decir que cuando n tiende a infinito, la sucesión no tiende a un solo valor, por lo tanto no

tiene límite en el infinito.

93) Clasificar las siguientes sucesiones:



SERIES NUMÉRICAS

Podemos definir a una serie numérica como la suma de los términos de una sucesión.

Clasificación de las series

Series convergentes

Una serie es convergente cuando la suma de sus términos tiende a un valor finito.

Series divergentes

Una serie es divergente cuando la suma de sus términos tiende a infinito.

Series oscilantes

Una serie es oscilante cuando la suma de sus términos no tiende a un valor único.

Condición necesaria de convergencia

Si la serie converge, entonces:

Esta es una condición necesaria pero no suficiente.

Es decir que si el límite es distinto de cero, la serie diverge, pero si el límite es igual a cero,

no podemos afirmar nada.

Para saber si la serie efectivamente converge, debemos probarlo mediante alguno de los criterios de

convergencia.



Criterios de convergencia para series de término no negativos

1) Criterio de D’ Alembert

Calculamos el siguiente límite

Si , la serie converge.

Si , la serie diverge.

Si , no podemos afirmar nada sobre el compartimiento de la serie.

Ejemplo

, por lo tanto la serie converge.

94) Determinar la convergencia de las siguientes series mediante el criterio de D’

Alembert.

a)

b)



c)

d)

e)

f)

2) Criterio de la raíz de Cauchy

Calculamos

Al igual que en el criterio de D’ Alembert

Si converge

Si diverge

Si No se puede determinar el comportamiento de la sucesión.

Ejemplo:

, por lo tanto la serie diverge.



a)

b)

c)

d)

e)

3) Criterio de comparación

Para analizar el comportamiento de una serie , calculamos

Siendo una serie de comportamiento conocido. Si este límite da como resultado un número finito

distinto de cero, entonces tiene el mismo comportamiento que

Las series de comportamiento conocido que se utilizan para comparar son:

a) Serie armónica

La serie armónica es divergente.

b) Serie armónica generalizada

Se simboliza como



95) Determinar la convergencia de las siguientes series mediante el criterio de Cauchy.



c) Serie geométrica

Se simboliza como



Si , la serie es oscilante

Ejemplo

Analizar el comportamiento de la serie

Esta serie es “parecida” a

Esta es una serie geométrica de razón , menor que uno, es decir que converge.

Calculamos

Como el resultado es un número finito distinto de cero, podemos afirmar que ambas series tienen el

mismo comportamiento.

Entonces:

converge



comparación.

a)

b)

c)

d)

e)

Series alternadas

Las series alternadas son aquellas en las que se alteran los términos positivos y

negativos.

Por ejemplo:

El desarrollo de esta serie es:

(se alternan los términos positivos y negativos)

Para analizar el comportamiento de estas series se utiliza el criterio de Leibniz

1º) Analizar si la serie es decreciente. Si no es decreciente, diverge.

2º) Si es decreciente, probamos con cualquiera de los criterios vistos si converge o diverge.

Si converge, entonces tiene convergencia absoluta.

Si diverge, tiene convergencia condicional.

96) Determinar la convergencia de las siguientes series mediante el criterio de



Ejemplo:

Analizar la convergencia de la serie .

Primero analizamos si crece o decrece. Si una serie es decreciente, cada término debe ser menor al

anterior.

Reemplazamos por nuestro término general

El resultado indica que la serie es decreciente para todo n mayor que .

Como n pertenece a los naturales, siempre es mayor que (el menor número natural es 1). Entonces la

serie es decreciente.

Una vez que establecimos que es decreciente, analizamos la convergencia con cualquiera de loa criterios

vistos. Por ejemplo, D’ Alembert



Como el resultado es menor que 1, la serie converge.

Al ser decreciente y convergente, es absolutamente convergente

97) Analizar la convergencia de las siguientes series alternadas.

a)

b)

c)

d)

e)

98) Estudiar la convergencia de las siguientes series

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Suma de los términos de una serie geométrica

Para las series geométricas convergentes , puede calcularse la suma de sus términos mediante la

fórmula:



99) Analizar la convergencia de las siguientes series geométricas y, en caso de ser

posible, calcular su suma:



Series de Potencias

Una serie de funciones es una serie cuyos términos, en vez de ser números, son

funciones escalares.

Dentro de las series de funciones, un caso particular es el de la series de potencias que pueden

simbolizarse como

con y x variable.

Intervalo de convergencia de una serie de potencias

El intervalo de convergencia es el conjunto de números reales para los cuales la serie

de potencias converge.

Ejemplo

Hallar el intervalo de convergencia de la serie de potencias

Aplicamos el criterio de D’ Alembert:



De acuerdo con el criterio de D’ Alembert, para que la serie converja debe cumplirse que , entonces

El intervalo de convergencia es (-2,4).

Para saber si el intervalo de convergencia incluye a los extremos, debemos analizar el comportamiento de

la serie para y para .

Si

Para , la serie es alternada, entonces para analizarla debemos utilizar el criterio de Leibniz.

Primero analizamos el crecimiento.

Como n es un número natural, es siempre positivo, por lo tanto nunca se cumple la condición expresada

en la inecuación.



La serie no es decreciente, por lo tanto para diverge.

Para

Esta serie puede escribirse como

Es una serie armónica generalizada de exponente menor a 1, por lo tanto diverge.

Entonces nuestra serie de potencias tiene como intervalo de convergencia

Radio de Convergencia

El radio de convergencia es el intervalo que se extiende entre el centro del intervalo de

convergencia y uno de sus extremos.

En el ejemplo dado, el radio de convergencia es 3:

100) Hallar el intervalo y el radio de convergencia de las siguientes series potencias.

a)

b)

c)



d)

e)

f)

g)

h)



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