Análisis Matemático · Análisis Matemático Unidad 6 INTEGRALES La operación de integración es la inversa de la derivación. Si integramos una función, obtenemos su “primitiva”

Análisis Matemático

Unidad 6

INTEGRALES

La operación de integración es la inversa de la derivación. Si integramos una función,

obtenemos su “primitiva”. Si derivamos la primitiva, volvemos a la función original.

La notación para las integrales es así:

El indica que fue derivada en función de . Como nosotros estamos trabajando con una sola

variable, esto no parece tener mucho sentido. Pero cuando se trabaja con más variable, el diferencial

indica en función de cuál de ellas se debe integrar.

Si tenemos la función:

La derivamos:

Si la integramos esta derivada:

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La integral de es , entonces

La C es la “constante de integración”. Se coloca porque al derivar una función las constantes de pierden.

Entonces al integrar colocamos la C para indicar que la función original puede tener una

constante.

Propiedades de las integrales

1)

(la integral de una constante es el producto de la constante por la variable)

2)

(la integral de la suma o la resta de dos funciones es igual a la suma o la resta de las integrales de las

funciones)

3)

(la integral de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de la

función)



Tabla de integrales

1)

2)

3)

4)



Métodos de integración

En la integración no hay fórmulas para el producto o el cociente de funciones, como en

las derivadas. Por eso, para poder integrar se usan diferentes métodos de acuerdo a la

estructura de la función.

1) Integración inmediata

Si debemos integrar una suma o resta de funciones no compuestas, podemos utilizar la propiedad (2) e

integrar cada término por separado.

Por ejemplo

A veces las funciones parecen más complicadas, pero pueden reducirse a integrales inmediatas:

73) Resolver

a)

b)

c)

d)



e)

f)

g)

h)

2) Integración por sustitución

Este método se utiliza cuando:

a) La derivada de una parte de la función da una constante

Por ejemplo:

Esta es una función compuesta, por lo tanto no puede integrarse en forma directa. Pero si derivamos el

radicando obtenemos una constante. Entonces operamos de este modo:

Vamos a hacer un cambio de variables. Llamaremos “t” al radicando

Derivamos ambos miembros.

La derivada de “t” la anotamos como “dt”. En el otro miembro derivamos y a continuación colocamos “dx”

(derivado en función de x)

Despejamos



Reemplazamos en la integral

De esta manera logramos llegar a una derivada que puede resolverse inmediatamente

Una vez que integramos, volvemos a la variable original

b) Dentro de la integral hay un producto de una función y su derivada.

Por ejemplo:

Si miramos con atención esta integral, veremos que la derivada del radicando es “casi

igual” al factor que está afuera de la raíz.

Entonces aquí también vamos a hacer un cambio de variable:

Al reemplazar y simplificar, toda la integral debe quedar en función de (no debe quedar ninguna )

Ahora procedemos igual que en el caso anterior, integramos y luego reemplazamos la variable:



74) Resolver utilizando el método de sustitución

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

3) Integración por partes

Si no podemos integrar de manera inmediata ni por sustitución, usamos integración por partes.

En este método se trabajo con la fórmula:



Vamos a tener el producto de dos funciones, una de ellas fácilmente integrable (a la que llamaremos )

y otra fácilmente derivable (a la que llamaremos )

Por ejemplo:

Llamamos:

A la derivamos y a la integramos

Armamos la fórmula:

Así llegamos a una integral que puede resolverse fácilmente de manera inmediata.

Así llegamos a una integral que puede resolverse fácilmente de manera inmediata.

El criterio para denominar o a las funciones es el siguiente:

- Si tomamos un producto de , con entero, siempre elegiremos ese término como a menos

que:

- Si la otra función es , ésta pasa a ser , y se deriva (ya que no tiene integral directa)



A veces hay que aplicar el método dos veces seguidas:

Nos falta resolver dos integrales. Una de ellas sale en forma inmediata, en la otra habrá que volver a

integrar por partes:

Entonces

75) Resolver utilizando el método de integración por partes

a)



b)

c)

d)

e)

f)

4) Integración por reducción a fracciones simples

Este método se utiliza cuando tenemos que integrar una función racional.

Por ejemplo:

Vamos a transformar esta función en una suma de fracciones simples.

1º- Factoreamos el denominador

2º- Planteamos la igualdad

Tenemos que calcular A y B para que se satisfaga la igualdad.

3º-

Como los denominadores son iguales, también deben serlo los numeradores.

4º- Para calcular los valores de A y de B, le dimos valores a (lo más sencillo es tomar los valores de las

raíces)



Entonces

Estas dos integrales se resuelven fácilmente mediante una sustitución

Entonces:

76) Resolver mediante el método de descomposición en fracciones simples

a)

b)

c)



d)

e)

77) Resolver por el método que considere más adecuado.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)



Interpretación geométrica de la integral

La integral de una función definida para un intervalo del dominio, es el área bajo la

curva de la función en dicho intervalo.

Estas integrales se denominan “integrales definidas” y se calculan mediante la Regla de Barrow

Por ejemplo



Cálculo de áreas

Ejemplo 1

Calcular el área comprendida entre la curva de y el eje x, entre

y

El área a calcular es

Como una parte del área está sobre el eje x, y la otra está debajo del mismo, no podemos averiguar el

área con un solo cálculo, ya que la parte positiva se anularía con la negativa.

Entonces tomaremos siempre este criterio: el área es la integral definida de la resta de dos

funciones: “techo” – “piso”

Llamamos “techo” a la función que está arriba y piso a la que está abajo.

En este ejemplo trabajamos con dos funciones: y el eje x, cuya ecuación es



Entonces:

Calculamos las dos integrales:

El área total es:

Ejemplo 2

Calcular el área de la superficie encerrada entre las curvas de:

En primer lugar graficamos ambas funciones



Calculamos los límites de integración, que son los puntos en los que se intersectan ambas funciones:

El área buscada se calcula como la integral definida entre y del “techo” (que en este caso es

la parábola) menos el “piso” (que es la recta)

78) Calcular el área de la región encerrada por las siguientes curvas.

a)

b)



c)

d) en el primer cuadrante

e)

f)

g)



APLICACIONES ECONÓMICAS DE LA INTEGRAL

Cuando conocemos las funciones de costo, de ingreso o de ganancia, y queremos calcular

sus respectivas funciones marginales, calculamos la derivada.

De manera recíproca, si conocemos las funciones marginales podemos reconstruir la función

original mediante el uso de integrales.

Por ejemplo:

En una empresa, la función de demanda marginal es .

Calcular la función de ingreso total sabiendo que cuando la demanda es de 400 unidades del ingreso total

es de $3600.

En primer lugar calculamos la función de demanda:

La función de ingreso total viene dada por:

calcular el valor de C, utilizamos el dato: cuando la demanda es de 400 unidades, el ingreso es de $3600.



Excedentes del productor y del consumidor

Repasemos primero algunos conceptos

Curva de demanda

La curva de demanda de un producto indica el precio máximo que los consumidores están

dispuestos a pagar para cada cantidad de producto.

Esta función tiene pendiente negativa (a mayor precio de demanda menor cantidad de producto)

Curva de oferta

La curva de oferta de un producto indica el precio mínimo al que los productores están

dispuestos a ofrecer una determinada cantidad de producto.

Esta función tiene pendiente positiva (a un precio mayor, los productores ofrecen mayor cantidad de

producto)

Punto de equilibrio del mercado

Es aquel en el que se igualan las cantidades demandas y ofrecidas del producto, para un precio



determinado.

Excedente del consumidor

Es el ahorro de los consumidores. Es la diferencia entre el precio que estaban dispuestos a pagar y el que

efectivamente pagan.

Excedente del productor

Son las ganancias adicionales que recibe el productor, debidas a las diferencia entre el precio mínimo que

estaba dispuesto a aceptar y el que afectivamente recibe.

Estos excedentes pueden calcularse mediante integrales, con las siguientes fórmulas:



Siendo el punto de equilibrio del mercado.

79) La función de ingreso marginal de un producto es

Si el ingreso por la venta de 60 unidades es de $1.164.000, calcular

a.1) La función de ingreso total

a.2) La función de demanda.

80) Para un productor la función de costos marginal viene dada por .

El costo de producir 4 unidades es de $36, calcular

b.1) La función de costo total.

b.2) El costo de producir 15 unidades.

81) La función de demanda marginal de un producto es

Hallar la función de ingreso total sabiendo que cuando se demandan 800 unidades, el

ingreso es de $40.000

82) Para un producto la función de demanda es: y la función

de oferta es .

Calcular:

d.1) El punto de equilibrio del mercado.

d.2) El excedente de los productores cuando el mercado está en equilibrio.

d.3) El excedente de los consumidores cuando el mercado está en equilibrio.

83) Para un producto determinado, la función de demanda es



y la función de oferta es .

Calcular:

e.1) El punto de equilibrio del mercado.

e.2) El excedente del productor cuando el mercado está en equilibrio.

e.3) El excedente del consumidor cuando el mercado está en equilibrio.



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