ANÁLISIS MATEMÁTICO I CIBEX SEGUNDO ...Cálculo. Regla de Barrow. Técnicas de integración. El cálculo de integrales constituye la segunda parte del curso de Análisis Matemático

ANÁLISIS MATEMÁTICO I – CIBEX

SEGUNDO CUATRIMESTRE 2015

UNIDAD 7: CÁLCULO DE INTEGRALES

(Primera parte)

UNIDAD 7

Cálculo de Integrales

Contenidos de la Unidad 7: Primitivas de una función. Integral de Riemann (o inte-gral de�nida). Teorema del Valor Medio. Integral inde�nida. Teorema Fundamental delCálculo. Regla de Barrow. Técnicas de integración.

El cálculo de integrales constituye la segunda parte del curso de Análisis Matemático I. Trata dosproblemas aparentemente bien distintos:

1. Primitivas o integrales inde�nidas: la reconstrucción de una función a partir del conoci-miento de su derivada, mediante el cálculo de primitivas o anti-derivadas. Este problema sepuede plantear como un caso particular de las llamadas ecuaciones diferenciales.

2. Integrales de�nidas: el cálculo de cantidades acumuladas, asociado a la suma continua decontribuciones de valor cambiante. En cierto sentido, este problema es una generalización dela "regla de tres simple" al caso en que las contribuciones no se mantienen proporcionales alincremento de una variable.

Ambos problemas están íntimamente ligados por el llamado Teorema Fundamental del Cálculo. Poreste motivo se los estudia juntos, tanto que se los trata con las mismas herramientas y con la mismanotación.

Veremos el planteo de cada problema en las dos primeras clases, y luego desarrollaremos conjunta-mente la teoría y las técnicas prácticas del cálculo integral.

1

CLASE 7.1. FUNCIONES PRIMITIVAS 2

Clase 7.1. Funciones primitivas

Contenidos de la clase: Noción de función primitiva. Propiedades.

7.1.1. Introducción

En esta clase trabajaremos la siguiente pregunta: si nos interesa una función que no conocemos,pero tenemos información sobre su derivada, ¾podemos reconstruir la función?

Ejemplo 7.1.1. Un automóvil viaja por una ruta recta. Con mucho cuidado observamos elvelocímetro y anotamos la velocidad en función del tiempo, v(t), durante una hora. ¾Podremossaber la posición del auto en la ruta, en cada instante del recorrido?

Llamamos t al tiempo, medido con un cronómetro desde el comienzo del recorrido. Trabajandoen minutos, nos interesa 0 ≤ t ≤ 60min. Si llamamos x a la posición del auto en la ruta, medida enmetros, la pregunta de este problema es si podemos encontrar la función x(t), para 0 ≤ t ≤ 60min.

Sabemos que la velocidad v del auto se relaciona con la función posición mediante una derivada:v(t) = x′(t). Nuestro dato es la función v(t), que hemos anotado durante el recorrido, y nuestraincógnita es la función x(t).

Supongamos que los datos medidos muestran una relación

v(t) = 2m

min+ 0.1

m

min2t

Veamos que no resulta difícil construir una función x(t) tal que

x′(t) = 2m

min+ 0.1

m

min2t

Para eso, vamos a aprovechar lo que aprendimos de derivadas, y usarlo para intuir la forma de x(t):

como la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas de cada término, podemostrabajar cada término por separadocomo la derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada dela función, podemos dejar la constante afuera y trabajar el factor que contenga la variablecomo (t)′ = 1, donde encontramos un 1 proponemos que es la derivada de t

como (t2)′ = 2t, donde encontramos t proponemos que es la derivada de1

2t2

Tenemos como solución la propuesta

x(t) = 2m

mint+ 0.1

m

min2

1

2t2

¾Es una solución correcta? Veri�quemos:

x′(t) = 2m

min(t)′ + 0.1

m

min2

1

2(t2)′

= 2m

min1 + 0.1

m

min2

1

22t

= 2m

min+ 0.1

m

min2t


La solución hallada para x(t) veri�ca que la velocidad v(t) = x′(t) es igual que la que observamos.Es una solución válida.

Pero, ¾es la única solución posible? Si hubiera más de una solución, ¾cómo sabremos cuál es lacorrecta para nuestro automóvil?

como la derivada de una constante es cero, la función x(t) podría tener un término más, unaconstante, y su derivada no cambiaría.

Nuestro problema tiene en realidad una familia de soluciones, de la forma

xC(t) = 2m

mint+ 0.1

m

min2

1

2t2 + C

donde cualquier valor de C constante es aceptable. Eligiendo el valor de C podemos gra�car distintassoluciones:

Usamos la notación xC(t) para dejar claro que son distintas funciones, según el valor de C.Todas ellas veri�can que la velocidad resulta la misma

vC(t) = x′C(t) = 2m

min+ 0.1

m

min2t

La lectura del velocímetro no nos da información su�ciente para decidir cuál de estas solucionesxC(t) es la función posición de nuestro automóvil: se necesita información extra para hacerlo. Porejemplo, si al principio del recorrido (es decir, en t = 0) estábamos junto a un cartel que marcaba"x = 10m", tenemos una condición inicial para ajustar

xC(t = 0) = 2m

min0 + 0.1

m

min2

1

202 + C = 10m

y elegir C = 10m.

7.1.2. Función primitiva.

El problema de hallar una función, a partir de conocer su derivada, aparece en muchas aplicaciones.Vamos a planterlo en general.

Supongamos que una función conocida f : (a, b)→ R con fórmula y = f(x) es la derivada de otrafunción desconocida F : (a, b)→ R en todo el intervalo (a, b).

Definición 7.1.2. Dada una función f : (a, b)→ R, si existe F : (a, b)→ R derivable en (a, b) yveri�ca F ′(x) = f(x), se dice que F (x) es una función primitiva de f(x) en (a, b).

Observen que anotamos "una" función primitiva. No corresponde decir "la" función primitiva porla siguiente:

Propiedad 7.1.3. La primitiva de una función no es única.


Si F0(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo (a, b), entonces, para cualquier constante Creal, FC(x) = F0(x) + C también es primitiva de f(x) en el mismo intervalo (a, b).

Demostración: dado que F ′0(x) = f(x), es fácil comprobar que FC(x) = F0(x) + C es primitivade f(x) usando la de�nición 7.1.2: FC(x) es suma de funciones derivables y su derivada se calcula comoF ′C(x) = F ′0(x) + C ′ = f(x).

Por otro lado, si F0(x) es una primitiva, la familia de funciones FC(x) = F0(x) +C describe todaslas primitivas posibles. Este resultado se basa en el siguiente

Lema 7.1.4. Dada una función F (x) derivable en un intervalo (a, b), si F ′(x) = 0 en todo elintervalo entonces F (x) es una función constante.

Dicho de otra manera las funciones constantes, no importa su valor, son las únicas primitivas def(x) = 0. Como consecuencia podemos probar:

Propiedad 7.1.5. Si F (x) y G(x) son dos primitivas de la misma función f(x) en un intervalo(a, b), entonces están relacionadas por una constante C de forma tal que G(x) = F (x) + C.

Demostración: la funciónG(x)−F (x) es derivable en (a, b), porqueG y F son derivables. Podemoscalcular (G(x)− F (x))′ = f(x)− f(x) = 0. Por el lema anterior, G(x)− F (x) = C, constante. LuegoG(x) = F (x) + C.

Observación 7.1.6. Las grá�cas de la familia completa de primitivas FC(x) = F0(x) + C seobtienen a partir de la grá�ca de cualquier miembro de la familia, mediante traslaciones en el ejevertical. Para identi�car una determinada función de la familia, una forma conveniente es dar suvalor en un punto x0: una condición de la forma F (x0) = y0 permite �jar el valor de la constanteC, como hicimos en el ejemplo 7.1.1.

Notación: dada una función f(x) llamaremos F (x) a una primitiva que podamos construir.En general, usaremos una letra minúscula para la función y la misma letra en mayúscula para suprimitiva.

Cuando conocemos una determinada primitiva F0(x), para referirnos a la familia completa deprimitivas usaremos la notación F0(x) +C. La constante C, por motivos que veremos más adelante,se llama "constante de integración".

Para aliviar la notación, es usual usar también F (x) para la familia completa de primitivas(dejando de lado el subíndice de FC). Según el contexto, deben distinguir si se trata de una primitivao de la familia de primitivas.


Veremos más adelante, luego de avanzar en la teoría de integrales, otra notación estándar paralas primitivas.

7.1.3. Tabla de primitivas básicas

Para hallar primitivas, hay que recordar muy bien la tabla de derivadas. El mecanismo es similaral de estudiar las tablas de dividir números enteros: hay que pensar en las tablas de multiplicar, ysaberlas bien de memoria.

Como ejemplo, hallemos una primitiva de la función f(x) = cos x. Recordando que la derivada desen x es (sen x)′ = cos x, reconocemos que F (x) = sen x es una primitiva de cos x en todo el eje real.Además podemos sumar una constante C, porque su derivada es cero.

Similarmente, si g(x) = x, recordando que (x2)′ = 2x en todo el eje real, podemos a�rmar que(x2

2

)′=

2x

2= x y entonces GC(x) =

x2

2+ C es la familia completa de primitivas de g(x) = x.

Razonando de la misma manera, comprueben que si h(x) = x2 entonces HC(x) =x3

3+ C es su

familia de primitivas en todo el eje real.

Actividad 7.1.7. Completen la siguiente tabla de primitivas (tendrán que recordar las derivadasde funciones ya estudiadas):

función f(x) primitivas F (x) dominio de validez

xx2

2+ C (−∞,+∞)

x2 x3

3+ C

x6

cosxsen x − cosx+ C (−∞,+∞)√x

x1/3

lnx+ Cex

coshxsenhx

1

x2 + 1

Durante el resto del curso, tendrán que preparar y recordar una tabla más completa. Todaslas funciones que hayan encontrado útiles en una tabla de derivadas serán útiles en esta tabla deprimitivas.

Observación 7.1.8. La operación de hallar primitivas se conoce como antiderivada, porque esinversa a la derivación. Sin embargo, si derivamos una función y luego antiderivamos el resultado,no obtenemos la función original: hallamos la función original junto a una familia de funcionesasociadas, porque la primitiva no es única.

7.1.4. Propiedades de la función primitiva

Hemos visto que la derivación tiene varias propiedades que dan lugar a reglas prácticas para calcularderivadas. Como el cálculo de la función primitiva es una operación inversa a la derivación, podemos


aprovechar lo que aprendimos de derivadas para escribir algunas reglas prácticas en el cálculo deprimitivas.

Primitiva de una derivada.

Cuando necesitamos una primitiva de cierta función, que es derivada de una función conocidaf(x), una primitiva es directamente f(x). Es lo que estuvimos haciendo en la actividad anterior y loenunciamos como una sencilla

Propiedad 7.1.9. Si una función f(x) es derivable en (a, b), entonces g(x) = f ′(x) admiteprimitiva en (a, b):

si g(x) = f ′(x), entonces G(x) = f(x) + C

Demostración: Esta propiedad es consecuencia directa de la de�nición de primitiva: dado queg(x) = f ′(x), existe f(x) y se veri�ca que (f(x) + C)′ = f ′(x) = g(x).

Ejemplo 7.1.10. Por ejemplo, sabiendo que (cosx)′ = − senx para todos los reales,

dada g(x) = −sen x, entonces G(x) = cosx+ C

Primitiva de una constante por una función.

Propiedad 7.1.11. Si f(x) admite primitiva en un intervalo (a, b), entonces g(x) = c f(x) admiteprimitiva en (a, b):

si g(x) = c f(x), entonces G(x) = c F (x)

Demostración: es su�ciente veri�car, usando reglas de derivación, que

(cF (x))′ = c F ′(x) = c f(x)

Ejemplo 7.1.12. Calculemos una primitiva de g(x) = 3x. Podemos escribir g(x) = 3 f(x),llamando f(x) = x. Luego una primitiva de g(x) es

G(x) = 3F (x) = 3x2

2=

3

2x2

La familia completa de primitivas se expresa sumando una constante de integración. Por simplicidad,conviene hallar primero una primitiva y agregar la constante al �nal:

G(x) =3

2x2 + C

(noten que en un caso anotamos G(x) para una primitiva, y en el otro caso usamos G(x) para lafamilia de primitivas).

Primitiva de una suma.

Propiedad 7.1.13. Si f(x) y g(x) admiten primitiva en un intervalo (a, b), entonces h(x) =f(x) + g(x) admite primitiva en (a, b):

si h(x) = f(x) + g(x), entonces H(x) = F (x) +G(x)

Demostración: es su�ciente veri�car, usando reglas de derivación, que

(F (x) +G(x))′ = F ′(x) +G′(x) = f(x) + g(x)

Estas dos propiedades 7.1.11 y 7.1.13 dicen que el cálculo de primitivas es lineal. Se pueden recordarjuntas como

si h(x) = a f(x) + b g(x), entonces H(x) = aF (x) + bG(x)

La propiedad de la suma también se aplica a restas, dado que f(x)− g(x) = 1.f(x) + (−1).g(x).


7.1.5. Técnicas para hallar primitivas (información preliminar)

Hasta aquí hemos construido primitivas muy directas, cuando reconocemos a simple vista que unafunción es derivada de otra conocida. Incluso pudimos construir primitivas de una constante por unafunción y de una suma de funciones. Pero no estamos preparados para construir una primitiva decualquier función dada.

Actividad 7.1.14. Discutan si pueden hallar una función F (x) cuya derivada sea

f(x) =2x3 − 4x2 − x− 3

x2 − 2x− 3

(no inviertan mucho tiempo ahora...)

Lamentablemente, no hay reglas directas para calcular la primitiva de cualquier función. Proba-blemente el primer obstáculo se encuentra cuando buscamos la primitiva de un producto:

Actividad 7.1.15. Consideren una función escrita como producto de otras dos, digamos h(x) =f(x) g(x), y supongan que conocen las primitivas F (x) y G(x), una para cada factor.

Discutan si pueden construir una primitiva H(x) multiplicando F (x) y G(x).

Habrán concluido, dicho en palabras, que el producto de primitivas no es una primitiva del producto.Sin embargo, afortunadamente, se conocen dos modelos de productos de funciones con los cuales

podremos operar en las próximas clases. Presentaremos las técnicas adecuadas después de avanzar enla teoría de integrales.

7.1.6. Ejercicios

Los ejercicios de esta clase apuntan a construir una tabla de primitivas, que necesitarán memo-rizar para trabajar con los temas siguientes. También a manejar sumas de funciones y productos deconstantes por funciones.

Ejercicio 7.1.1.

1. Hallen una primitiva para x7, x8, x10.

2. Comprueben que para f(x) = xn, la primitiva es F (x) =xn+1

n+ 1+ C, con n cualquier número

natural (incluyendo n = 0).

Ejercicio 7.1.2. Calculen la familia de primitivas de los polinomios:

1. p(x) = 3x2 + 5x− 1

2. q(x) = −1

2x5 + x3

Ejercicio 7.1.3.

1. Hallen primitivas para 3√x, 5√x , x1/4. ¾En qué dominio son válidas?

2. Comprueben que para f(x) = x1/n la familia de primitivas es F (x) =x

1n

+1

1n + 1

+ C, con n ≥ 2

natural (pueden escribir tambien el resultado con raíces). ¾En qué dominio son válidas?3. Comprueben que si r > 0 es un número racional positivo, la primitiva de f(x) = xr en (0,+∞)

es F (x) =xr+1

r + 1+ C .


Ejercicio 7.1.4. Calcular las primitivas de las siguientes funciones, indicando el intervalo dondees válida la respuesta:

1. 2 senx+ 3 coshx2. 2ex − 1

3x3

3. x1/2 + 3x4

4. x2/3 − 5x6

Ejercicio 7.1.5.

1. Recordando que (tanx)′ =1

cos2 xen (−π

2,π

2), expresen la familia de primitivas de

1

cos2 xen

ese intervalo.2. Sabemos que cosx 6= 0 si x 6= π

2+kπ, donde k es cualquier entero. ¾En qué intervalos se puede

de�nir una primitiva para1

cos2 x?

Ejercicio 7.1.6. Recordando las derivadas de las funciones inversas trigonométricas e hiperbólicasque aprendimos en la Unidad 5, encuentren la familia de primitivas de las siguientes funciones, indicandoel dominio de validez:

1.1

1 + x2

2.1√

1− x2

3.1√

1 + x2

4.1√

x2 − 1No olviden agregar estos resultados a sus tablas de primitivas.

CLASE 7.2. INTEGRAL DE RIEMANN 9

Clase 7.2. Integral de Riemann

Contenidos de la clase: Cálculo de cantidades acumuladas. Integral de Riemann (ointegral de�nida). Regla de Barrow.

7.2.1. Introducción

Recordemos que muchas veces conocemos una función pero lo que nos interesa es su ritmo decambio. Para eso estudiamos la derivada y todas sus propiedades. Recuerden también que el diferencialde una función nos sirve para representar sus cambios in�nitesimales.

En muchas otras situaciones la información que tenemos describe directamente el cambio de unacantidad ante un cambio pequeño de una variable. Pero lo que nos interesa es el cambio acumuladoluego de un cambio grande de esa variable. Por ejemplo,

La velocidad de una reacción química describe la cantidad de moles de la sustancia inicial quereaccionan por segundo. Para saber cuántos moles de un producto se hanproducido a lo largode una hora, hay que sumar lo que se produce en cada instante. Típicamente la velocidad dereacción decae, y lo producido en el primer minuto es notablemente mayor que lo producidoen el último minuto.La tasa de nacimientos de una población de bacterias registra la cantidad de nacimientos porunidad de tiempo, mientras la tasa de defunción registra las muertes por unidad de tiempo.Para conocer el cambio de la población en cierto período, hay que calcular la cantidad denacimientos acumulados, calcular la cantidad de muertes acumuladas, y hacer la diferencia.La velocidad de un movimiento registra los kilómetros recorridos por hora; para saber la dis-tancia recorrida en cierto intervalo de tiempo, hay que acumular los kilómetros recorridos.Para ser más precisos, cuando la velocidad depende del tiempo, habría que acumular en detallelos metros recorridos, o los centímetros recorridos, en cada instante (intervalos de tiempo tancortos como haga falta).El balance diario de una empresa registra las ganancias del día. Para calcular la ganancia deun mes hay que sumar las ganancias de cada día a lo largo del mes; notemos que las gananciasdependen del día, incluso pueden ser positivas o negativas.

Estos cálculos son sencillos si el ritmo de cambio es constante. Sólo en esos casos el cambio de lacantidad que nos interesa es proporcional al cambio de la variable, y podremos usar la regla de tressimple. Cuando el ritmo cambio va variando a lo largo del proceso, necesitamos una herramienta máselaborada para calcular el cambio acumulado. Lo que debemos hacer, básicamente, es sumar "unacantidad muy grande de cambios muy pequeños". En el límite en que se suma "una cantidad in�nitade cambios in�nitesimales", este proceso de suma se llama integración 1. Dedicamos esta clase al cálculode cantidades acumuladas, mediante la técnica de la integral de Riemann.

7.2.2. Ejemplos detallados

Veamos con cuidado un ejemplo, que tiene todos los ingredientes necesarios para plantear despuésla teoría general de integración.

Ejemplo 7.2.1. Se llena un tanque subterráneo de combustible mediante un proceso de bombeo.Se controla fácilmente la cantidad de litros bombeados por segundo, con un caudalímetro, mientrasque no es fácil medir el volumen acumulado en el tanque subterráneo. Por eso es importante calcularel volumen bombeado, sumando los litros que se vierten por unidad de tiempo.

Este ejemplo se enmarca en el estudio más general de transporte de materia. En el caso detransporte de �uidos (líquidos o gases) se llama caudal al volumen de �uido transferido por unidadde tiempo, y es usual anotarlo con la letra Q.

1Nuestras clases de integración, al �nal de cada semana, se re�eren precisamente a sumar el conocimiento acumulado

en las clases anteriores.


Consideremos primero el llenado del tanque en un régimen de caudal Q constante, Q = 5 l/s(medimos el volumen en litros y el tiempo en segundos). ¾Cuál es el volumen V que se vierteal tanque en un minuto?

Dado que el caudal es constante, el volumen es proporcional al tiempo transcurrido: en un segundo5 litros, en dos segundos 10 litros, etc. Al cabo de un minuto (t = 60 s),

V = Qt = 5l

s60 s = 300 l

Consideremos ahora un caso más realista: el rendimiento de la bomba depende del tiempo,desde que se arranca hasta que logra la temperatura de funcionamiento. Según el manualdel fabricante, el caudal real es

Q(t) = (1− exp(−t/10 s)) 5l

s

como se muestra en el grá�co

¾Cuál es el volumen V que se vierte al tanque en el primer minuto de funcionamiento?Una estrategia razonable para este problema es partir el primer minuto varios intervalos de

tiempo pequeños, y estimar el volumen vertido cada intervalo como si el caudal se mantuvieraconstante, con un valor de Q representativo de ese intervalo.

Por ejemplo, podemos tomar intervalos de 5 s y usar el valor de Q(t) al principio de cadaintervalo. En cada intervalo multiplicamos caudal por tiempo, y sumamos:

V = Q(0 s)5 s+Q(5 s)5 s+Q(10 s)5 s+ · · ·+Q(55 s)5 s

Grá�camente, lo que hicimos es calcular el área de varios rectángulos multiplicando la base (es decir,un intervalo de tiempo) por la altura (es decir, un valor de caudal) de cada uno, y sumar las áreasobtenidas:

Este resultado nos da el volumen vertido en un minuto en forma aproximada, y podemos diseñarvarias maneras de mejorarlo.


Vemos del grá�co que logramos un volumen menor que el verdadero, porque usamos el caudalmínimo de cada intervalo (al principio del intervalo, siendo Q(t) creciente). Si usáramos elcaudal máximo (al �nal de cada intervalo), tendríamos un resultado mayor que el real. Siusáramos el caudal en el punto medio de cada intervalo, probablemente tendríamos unamejor aproximación.

Los intervalos no necesitan ser todos de igual longitud. En el grá�co vemos que hay un errorimportante en los primeros intervalos, porque el caudal cambia rápidamente (la derivadaQ′(t) es grande). Parece conveniente tomar intervalos cortos en el primer tramo, para mejorarla precisión, e intervalos más largos luego, para ahorrar trabajo. Por ejemplo, 4 intervalosen los primeros 10 s, 3 intervalos entre 10 s y 20 s, 2 intervalos entre 20 s y 40 s y 1 intervaloentre 40 s y 60 s; con un total de 10 intervalos, y con el mismo esfuerzo de cálculo que enlas grá�cas anteriores, quedaría mejor cubierta el área bajo la curva.Si tomamos intervalos más cortos, digamos de 1 s, tendremos que trabajar más (son 60intervalos) pero el resultado será una aproximación mucho mejor. Grá�camente, se observaque cubriremos mejor el área bajo la curva.

La manera de calcular el volumen vertido con precisión es aumentar inde�nidamente elnúmero de intervalos, que serán cada vez más pequeños. Es decir, diseñar un cálculo con Nintervalos, resolverlo en forma general (para cualquier N) y �nalmente tomar el límite paraN → +∞. El resultado preciso, calculado de este modo, nos dice que en el primer minutose vierten 250.12 l.

Para �jar ideas de lo que signi�ca calcular cantidades acumuladas en forma aproximada, y reconocerlo trabajoso que puede ser, primero les proponemos algunas actividades.

Actividad 7.2.2. Siguiendo el ejemplo, calculen el volumen aproximado vertido en el tanqueen un minuto, según la partición de 5 s mostrada en el primer grá�co. El resultado debe ser 236.62 l.


Ahora calculen el volumen aproximado vertido en el tanque en un minuto, según la partición de5 s mostrada en el segundo grá�co. El resultado debe ser 261.56 l.

Si calcularan con intervalos de 1 s, usando el caudal al principio de cada intervalo obtendrían248.61 l y usando el caudal al �nal de cada intervalo obtendrían 251.61 l.

En nuestro sitio web, entre el material adicional de la Unidad 7, pueden encontrar un archivode GeoGebra para calcular y gra�car estas sumas (el mismo que usamos para generar los grá�cosde este ejemplo).

Si prueban con intervalos cada vez más pequeños, verán que el resultado se estabiliza en 250.12 l.

Actividad 7.2.3. Veamos un ejemplo en el que podamos calcular a mano el volumen vertidopara cualquier partición de N intervalos.

Digamos que el caudal depende del tiempo según la función lineal

Q(t) =1

2t

con el tiempo t expresado en segundos y el caudal Q expresado en litros/segundo.

Proponemos una partición del intervalo [0, 30] en N tramos, de longitudes iguales. Los

tiempos intermedios son tj =30

Nj. Noten que t0 = 0 y tN = 30, y que la longitud de cada

intervalo es el incremento ∆tj = tj+1 − tj con j = 0, · · · , N − 1; en este caso son todos

iguales, ∆tj =30

N. Gra�quen esquemáticamente.

Calculen en forma aproximada el incremento de volumen vertido en cada intervalo ∆tj ,usando como valor de caudal el valor de Q(t) al principio del intervalo:

∆Vj = Q(tj) ∆tj = 0.5

(30

Nj

)30

N=

450

N2j

Sumen los incrementos de volumen. Podemos usar la notación de sumatoria y resultados deálgebra para calcular el volumen acumulado

VN =

N−1∑j=0

∆Vj =450

N2

N−1∑j=0

j

Hay una fórmula de suma que nos sirve aquí,∑N−1

n=0 n =(N − 1)N

2(seguramente la vieron

en el curso de Algebra, la pueden probar por inducción completa). Encontramos que

VN =450

2

(N − 1)N

N2

Este resultado depende de N , es decir del número de intervalos utilizados en la partición. Enotras palabras, tenemos una sucesión de volúmenes calculados, mejor aproximados cuantomás grande sea N . Ahora tomamos el límite para N → +∞ (es indeterminado, tienen quetrabajar un poco para resolverlo). Hallamos

V = lımN→+∞

225(N − 1)

N= 225

½Eureka! El volumen queda expresado en litros, V = 225 l.Recordando que el volumen se calcula como una suma de N términos, y que se hace tenderN a +∞, observen que cuando N es arbitrariamente grande cada término resulta arbitra-riamente pequeño. A esto nos referimos con "sumar una cantidad in�nita de contribucionesin�nitesimales". ½Y el resultado es un número �nito!Interpretación grá�ca. Vuelvan a gra�car Q(t) = t/2, en el intervalo [0, 30], y reconozcansu forma de triángulo.Noten que el procedimiento de acumulación que desarrollamos corresponde a gra�car rec-tángulos de altura Q(tj) y base ∆tj , cuya área es Q(tj) ∆tj , uno junto a otro hasta recorrertodo el intervalo [0, 30]. En las �guras mostramos N = 10 y N = 30.


La suma de estas áreas se parece al área del triángulo, con mejor aproximación cuanto másgrande sea N .En el límite N → +∞ esta suma debería tender al área del triángulo. Calculen el área deltriángulo con la fórmula de geometría (base por altura sobre dos) y comparen con nuestroresultado.

7.2.3. La integral de Riemann

Vamos a formalizar lo que aprendimos en los ejemplos anteriores, para calcular la integral de unafunción cualquiera. El resultado se conoce como teoría de integración de Riemann.

El primer paso para un planteo general es describir la idea de "acumulación" para una funcióngenérica y = f(x). Para eso recurrimos a nociones geométricas: el plano xy de la grá�ca de la función,distancias y áreas.

Consideremos una función y = f(x), y un intervalo cerrado [a, b] incluido en el dominio de f .Gra�quemos esquemáticamente la función en el plano xy

Supongamos primero que en todo el intervalo [a, b] se cumpla que f(x) ≥ 0. Al recorrer el eje xdesde a hasta b queda encerrada un área entre la grá�ca y el eje de abscisas. En este sentido decimosque el recorrido de x desde a hasta b "barre" un área entre la curva y el eje de abscisas.

Para calcular esta área en forma aproximada vamos a considerar una partición del intervalo [a, b],en N intervalos consecutivos. Primero introducimos valores intermedios de x que llamaremos xj , orde-nados:

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xN−1 < xN = b

Quedan determinados N sub-intervalos Ij : I1 = [x0, x1], I2 = [x1, x2], ... , IN = [xN−1, xN ]. Lalongitud de cada sub-intervalo Ij es el incremento ∆xj = xj − xj−1: ∆x1 = x1 − x0, ∆x2 = x2 − x1,... , ∆xN = xN − xN−1. Llamaremos ∆ a esta partición.

Sobre cada sub-intervalo Ij construimos un rectángulo con altura dada por el valor de la función enalgún punto del sub-intervalo, que podemos elegir y llamamos x∗j . El rectángulo de base ∆xj y altura

f(x∗j ) tiene área ∆Aj = f(x∗j )∆xj :


Sumando las áreas de todos los rectángulos2, obtenemos el área total aproximada

A∆,∗ =N∑j=1

∆Aj =N∑j=1

f(x∗j )∆xj

que anotamos como A∆,∗ porque depende de la partición ∆ utilizada y depende de la elección de losvalores x∗j dentro de cada intervalo.

... ...

Incluyamos ahora la posibilidad de que f(x) tome valores negativos: si en un intervalo Ij se eligex∗j tal que f(x∗j ) < 0, el rectángulo de base ∆xj se dibuja por debajo del eje de abscisas y la cantidad

acumulada f(x∗j )∆xj resulta negativa, ∆Aj < 0.

En la suma∑N

j=1 ∆Aj puede haber, en general, términos positivos, términos nulos y términosnegativos. Se interpreta cada contribución ∆Aj como un área con signo: área positiva por encimadel eje x y área negativa por debajo del eje x.

2Usamos el símbolo Σ para expresar sumas, como han visto en Algebra.


La suma completa∑N

j=1 ∆Aj es, en general, una suma algebraica (de términos positivos y

negativos). El resultado �nal puede ser tanto positivo como negativo, o nulo.

Este procedimiento de suma algebraica de áreas elementales se conoce como suma de Riemann.

El paso siguiente es el re�namiento de las sumas de Riemann, trabajando distintas particiones consub-intervalos de longitud cada vez más corta. Noten que los sub-intervalos pueden ser de distintalongitud; para cada partición ∆ que se utilice, se llama norma de la partición a la longitud del mayorsub-intervalo presente

‖∆‖ = max |xj − xj−1|De esta manera, si re�namos las particiones disminuyendo el valor de ||∆|| la longitud de todos lossub-intervalos se mantiene controlada: para todo j, ∆xj ≤ ‖∆‖. Naturalmente, la cantidad N desub-intervalos es cada vez mayor cuando se disminuye la norma de la partición. Se puede estimar queN ≥ (b− a)/‖∆‖, y en consecuencia N crece inde�nidamente cuando la norma tiende a cero.

Cuando ‖∆‖ → 0, para cualquier j tenemos que ∆xj → 0. Cada término de la suma de Riemann,∆Aj = f(x∗j )∆xj , se hace arbitrariamente pequeño en este proceso 3. Se dice que cada ∆Aj = f(x∗j )∆xjes una contribución in�nitesimal al área que estamos calculando.

Esperamos que las correspondientes sumas de Riemann, calculadas para particiones de norma ‖∆‖cada vez más pequeña, tiendan a estabilizarse en algún resultado. En ese caso, diremos que existe ellímite de las sumas de Riemann, para ‖∆‖ → 0.

El proceso de límite sobre distintas particiones, para ‖∆‖ → 0, es un proceso delicado. Comoentrenamiento, hicimos un ejemplo en la actividad 7.2.3 y vimos que, para la partición particularelegida, el límite existe y es �nito. Se puede demostrar que en muchos casos el valor de las sumasde Riemann realmente se estabiliza cuando ‖∆‖ → 0, y que el valor límite es independiente de lasparticiones elegidas y de la elección de puntos x∗j en cada sub-intervalo. En esos casos, el valor dellímite de�ne el área que estamos calculando.

Definición 7.2.4. Dada una función y = f(x), y un intervalo [a, b] en el dominio de f , si ellímite sobre particiones (descripto antes)

lım‖∆‖→0

N∑j=1

f(x∗j )∆xj

existe y es independiente de las particiones elegidas y de la elección de puntos x∗j en cada sub-

intervalo, se dice que la función f(x) es integrable Riemann (o, más breve, integrable) en [a, b].El resultado del límite se anota

lım‖∆‖→0

N∑j=1

f(x∗j )∆xj =

ˆ b

af(x) dx

que se lee "integral de Riemann de f(x) entre a y b" o "integral de�nida de f(x) entre a y b".

Observación 7.2.5.

La integral de Riemann también se llama integral de�nida, son nombres sinónimos.El símbolo

´recuerda a una letra S, y representa el "recuerdo" de la sumatoria Σ. La

integral de�nida es el resultado de una suma, seguida de un proceso de límite.A la función f(x) se la llama "integrando".Los extremos del intervalo [a, b] se llaman "límites de integración"; aquí la palabra límite sere�ere a borde, o frontera. La forma de anotarlos debajo y encima del símbolo

´es similar

a la notación j = 1 y j = N de la sumatoria. Noten que el intervalo I1 comienza en x = a yel intervalo IN termina en x = b.

3Esta suposición puede fallar, por ejemplo cerca de una asíntota vertical, donde |f(x)| pueda ser arbitrariamente

grande.


La notación dx se re�ere a la diferencial de la variable de integración. Representa el "re-cuerdo" de los incrementos ∆xj en las sumas de Riemann, y se usa la diferencial dx pararecordar que en el proceso de límite ||∆|| → 0 todos los sub-intervalos ∆xj son arbitraria-mente pequeños.Los términos que se suman, f(x∗j )∆xj , resultan arbitrariamente pequeños para funciones

f(x) acotadas. En ese sentido, se dice que

f(x) dx

es una contribución in�nitesimal a la integral de Riemann.

El valor de la integral de Riemann´ ba f(x) dx representa el área algebraica encerrada entre

la grá�ca de f(x) y el eje de abscisas4, en el intervalo [a, b]. Es decir, es el resultado de sumarcontribuciones positivas cuando f(x) > 0 y contribuciones negativas cuando f(x) < 0.

La integral de Riemann es la herramienta que nos provee el Análisis Matemático para calcularcantidades acumuladas. Cuando se gra�ca una función en el plano, la integral está asociada al áreaacumulada entre la grá�ca y el eje horizontal, al "barrer" el intervalo de integración. Esta área, llamadaárea algebraica, lleva signo: acumula contribuciones positivas cuando la grá�ca queda por encima deleje, y negativas cuando la grá�ca queda por debajo.

En particular, cuando la función f(x) a integrar describe la razón de cambio de alguna cantidad

respecto de una variable x, la integral de�nida´ ba f(x) dx representa el cambio acumulado de esa

cantidad mientras x pasa de a a b. Por ejemplo, al integrar el caudal a lo largo de un intervalo detiempo calculamos el cambio en el volumen contenido en un depósito; al integrar la velocidad dereacción a lo largo de un intervalo de tiempo calculamos la cantidad de moles que han reaccionado; alintegrar la velocidad de un vehículo a lo largo de un intervalo de tiempo calculamos su desplazamientoneto; etc.

Las aplicaciones de la integral de�nida son muy variadas, siempre asociadas al concepto de sumarpequeñas contribuciones para calcular una cantidad acumulada. Otros ejemplos pueden ser sumartramos de una curva para calcular su longitud, sumar volúmenes de láminas delgadas para calcular elvolumen de un cuerpo, sumar ganancias para calcular un balance, etc.

Como la integral de�nida es el límite de una sucesión de sumas de Riemann, en el que cadatérmino de las sumas se vuelve arbitrariamente pequeño, se suele decir que la integral es una "sumain�nita de contribuciones in�nitesimales". En las aplicaciones, muchas veces van a construir primerolas "contribuciones in�nitesimales" y luego "sumarlas"; dicho sin comillas, primero van a reconocer lafunción a integrar, y luego calcular la integral.

7.2.4. Resultados prácticos: funciones continuas, primitivas y regla de Barrow

Hasta aquí discutimos el concepto de integral de�nida y el planteo del cálculo de cantidades acu-muladas. Ha quedado en evidencia que plantear sumas de Riemann para un N arbitrario, y calcular ellímite para N → +∞, parece una tarea muy difícil. Incluso podría darse que el límite no exista (quesea in�nito, u oscilante).

Antes de profundizar en la teoría de integrales, vamos a adelantar los principales resultados prác-ticos:


Existencia de la integral de�nida en intervalos

Se conoce un teorema sencillo de enunciar que nos permite asegurar si una dada función es integrableen un intervalo.

Teorema 7.2.6. Existencia de la integral de�nida de funciones continuas

Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], excepto un número �nito de dis-continuidades tipo salto, entonces f(x) es integrable Riemann en [a, b]. Es decir, existe la integralde�nida ˆ b

af(x) dx

No vamos a demostrar este importante teorema pero haremos algunos comentarios.En primer lugar, pensemos en funciones continuas en todo el intervalo. La misma noción de conti-

nuidad que nos permite trazar la grá�ca sin levantar el lápiz nos hace intuir que el área bajo la curvatiene un valor de�nido, y que la aproximación del área mediante rectángulos arbitrariamente delgadosserá exacta cuando ‖∆‖ → 0.

En segundo lugar, si la función tiene �nitas discontinuidades tipo salto signi�ca que existen loslímites laterales y son �nitos, no hay asíntotas verticales. Intuitivamente al trazar la grá�ca movemosel lápiz �verticalmente� al pasar por cada discontinuidad; podemos imaginar que tomamos rectángulosa cada lado del salto y que así el área queda bien aproximada cuando ‖∆‖ → 0.

En la práctica, este teorema nos dice que podemos integrar cualquier función conocida en unintervalo cerrado, siempre que el intervalo de integración contenga a lo sumo un número �nito dediscontinuidades tipo salto. Si bien este teorema asegura la existencia de la integral, no dice cómocalcularla ni cuánto vale.

Regla de Barrow

Otro importante teorema nos ayuda a calcular efectivamente el resultado de una integral de�nidasin pasar por el cálculo de sumas de Riemann. En cambio, haremos uso de funciones primitivas.

Teorema 7.2.7. Regla de Barrow

Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], y admite primitiva F (x) en [a, b],entonces ˆ b

af(x) dx = F (b)− F (a)

Este resultado es maravillosamente simple. Si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], ypodemos hallarle una primitiva F (x) válida en todo el intervalo (es decir, que F ′(x) = f(x) en todoel intervalo), obtenemos inmediatamente el resultado de la integral de Riemann. Es decir, el arduotrabajo de calcular sumas de Riemann y sus límites se puede reemplazar por el cálculo de primitivas,y el uso de la Regla de Barrow.

Observación 7.2.8. Seguramente recuerdan que la primitiva no es única, y quizás por eso laregla de Barrow les parezca ambigua. Pero observen que si cambiamos la primitiva sumándole unaconstante C, el resultado de esta regla es el mismo (la constante aparecerá sumando junto a F (b)y restando junto a F (a), por lo que se cancela). Por lo tanto pueden usar cualquier primitiva quetengan a mano.

Vale la pena discutir un argumento sencillo que permite intepretar la Regla de Barrow, usandodiferenciales. Dejamos la demostración formal para más adelante.

Demostración informal. En primer lugar, como f(x) es continua en un intervalo cerrado

[a, b], existe la integral de�nida´ ba f(x) dx. Es decir, existe el límite de las sumas de Riemann sobre

cualquier sucesión de particiones ∆ del intervalo [a, b] tales que su norma tiende a cero, ‖∆‖ → 0.


Supongamos que elegimos una partición ∆ con norma su�cientemente pequeña como para aproximarsatisfactoriamente ˆ b

af(x) dx ≈

N∑j=1

f(x∗j )∆xj

y que cada x∗j se ha tomado como el extremo inicial de cada sub-intervalo (usamos la misma notación

que cuando de�nimos sumas de Riemann). Entonces

f(x∗j )∆xj = F ′(x∗j )∆xj = dFj

donde llamamos dFj a la diferencial de la función primitiva F (x) en el punto extremo inicial de cadasub-intervalo j, con incremento ∆x = xj − xj−1(ancho de ese sub-intervalo).

Consideremos también que la partición ∆ tiene norma su�cientemente pequeña como para quela diferencial dFj aproxime satisfactoriamente al incremento de F (x),

dFj ≈ F (xj)− F (xj−1)

Entonces, la suma de Riemann se puede organizar así:

N∑j=1

f(x∗j )∆xj ≈∑N

j=1 dFj ≈N∑j=1

[F (xj)− F (xj−1)]

= [F (xN )− F (xN−1)] + [F (xN−1)− F (xN−2)] + · · ·+ [F (x1)− F (x0)]

Este tipo de sumas se llama telescópica, todos los términos se cancelan entre sí excepto el primeroy el último. Como en cualquier partición siempre tomamos x0 = a y xN = b, tenemos queˆ b

af(x) dx ≈ F (b)− F (a)

Si han seguido con atención este argumento, verán que tratamos a la integral de Riemann como unasuma de diferenciales. No es una demostración formal por lo siguiente: sabemos que podemos mejorararbitrariamente la aproximación diferencial si tomamos incrementos cada vez más pequeños, pero elcosto es que tendremos una cantidad arbitrariamente grande de términos para sumar. Se necesita unadiscusión más profunda para controlar el error que puede producir la suma de una cantidad muy grandede errores muy pequeños.

Sin embargo vale la pena destacar que la interpretación de la integral de Riemann como una sumade diferenciales tiene gran valor constructivo; es muy útil al hacer aplicaciones, seguramente en otrasmaterias la usarán con este nivel de informalidad.

Observación 7.2.9. NotaciónLa regla de Barrow se usa con tanta frecuencia que hay una notación especial para expresar la

resta del lado derecho. Se anota ˆ b

af(x) dx = [F (x)]ba

donde [F (x)]ba signi�ca [F (x)]ba ≡ F (b)− F (a). Se suele leer "F en b menos F en a"

Discutiremos la demostración formal de este teorema en las próximas clases. Ahora, será convenientehacer unos ejemplos y algunos ejercicios.

Ejemplo 7.2.10. Calculemos el área de la región del plano encerrada entre la parábola deecuación y = 1− x2 y la recta de ecuación y = 0.

La parábola tiene su vértice en (0, 1) y las ramas hacia abajo, y por supuesto la recta y = 0 esel eje x. La parábola corta al eje x en a = −1 y b = 1. Entre la parábola y la recta queda encerradauna región que se recorre con valores de x en el intervalo [−1, 1].


La región sombreada tiene una altura variable. El área total encerrada se calcula como la sumade áreas in�nitesimales de rectángulos de base dx y altura f(x) = 1 − x2, mientras x recorre elintervalo [−1, 1]. Es decir, como la integral

A =

ˆ 1

−1(1− x2) dx

Vemos que el integrando 1− x2 es una función continua en [−1, 1], y que una primitiva posible

es F (x) = x− 1

3x3. La regla de Barrow se aplica, y nos da

A = F (1)− F (−1) =

(1− 1

3

)−(−1 +

1

3

)=

4

3

Actividad 7.2.11. Veamos si el resultado es razonable. Para eso dibujen rectángulos y triángulossencillos sobre la grá�ca anterior, que contengan o que estén contenidos en la región sombreada.

Comparen sus áreas con el área calculada con la integral.

7.2.5. Ejercicios

Ejercicio 7.2.1. Calculen usando una integral el área de la región encerrada por la recta y = x yel eje x, para x entre 0 y 1.

Gra�quen, reconozcan la región, y comparen con resultados elementales de geometría.

Ejercicio 7.2.2. Calculen usando una integral el área geométrica de la región encerrada por lagrá�ca de y = x3 y el eje x, para x entre −2 y 2.

Gra�quen, reconozcan la región, y comparen con resultados elementales de geometría.

Calculen también´ 2−2 x

3dx.

Ejercicio 7.2.3. Analicen la integral de�nida de la función f(x) = senx en distintos intervalos:

1. Gra�quen el integrando f(x) = senx en el intervalo [0, 2π].

2. Gra�quen el área algebraica representada por la integral´ 2π

0 senx dx. ¾Pueden anticipar elresultado de la integral?

3. Calculen la integral´ 2π

0 senx dx usando la regla de Barrow.4. ¾Cuál es el área algebraica encerrada entre la grá�ca y el eje x, entre 0 y π?5. ¾Cuál es el área algebraica encerrada entre la grá�ca y el eje x, entre π y 2π?6. ¾Cuál es el área geométrica (positiva) encerrada entre la grá�ca de y = senx y el eje x, entre

0 y 2π?

Ejercicio 7.2.4. En una reacción química, una sustancia A se produce con una velocidad dereacción R(t) = 2e−t, expresada en moles por segundo (recuerden que la velocidad de reacción expresala derivada de la cantidad de moles presentes de la sustancia respecto del tiempo t).


1. ¾Qué cantidad in�nitesimal de la sustancia A se produce en un diferencial de tiempo dt?2. ¾Qué cantidad de la sustancia A se produce al cabo de 10 segundos?3. ¾Qué cantidad de la sustancia A se produce al cabo de 20 segundos? ¾Es el doble que la

anterior?

CLASE 7.3. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 21

Clase 7.3. Actividades de integración

Contenidos de la clase: Ejercitación en el cálculo de primitivas. Ejercitación en el planteoy cálculo de integrales de Riemann.

El cálculo de primitivas requiere práctica, y un buen manejo de la tabla de primitivas conocidas. .

Por otro lado, la regla de Barrow nos enseña que las primitivas se usan en el cálculo de integralesde Riemann. En cada ejercicio de integrales de�nidas necesitarán, como un cálculo auxiliar, hallarprimitivas.

7.3.1. Tabla de primitivas conocidas

Deben armar y tener a mano una tabla de funciones fáciles de integrar. Con la práctica, debenrecordarla de memoria.

Actividad 7.3.1. Armen su tabla de primitivas conocidas. Repasen todos los casos trabajadosen la clase 7.1.

7.3.2. Primitivas de funciones discontinuas: cálculo por tramos

Dada una función f(x), hemos de�nido una primitiva F (x) en un intervalo abierto (a, b) donde severi�que que F ′(x) = f(x). También se puede trabajar con funciones f(x) cuyo dominio esté partidocomo unión de dos o más intervalos. En esos casos calcularemos, si es posible, funciones primitivasdentro de cada intervalo; se dice que buscamos una función primitiva por tramos. Esta separaciónagrega un ingrediente nuevo: para expresar la familia completa de primitivas podemos usar constantesdistintas en cada tramo.

Actividad 7.3.2. Consideren la función f(x) =1

x2= x−2. Su dominio natural es la unión de

los intervalos (−∞, 0) ∪ (0,+∞).

Recordando que, siempre que x 6= 0,(x−1

)′= −x−2, podemos concluir que F (x) = −1

xes una

primitiva de f(x) en (−∞, 0) y también en (0,+∞).La propiedad 7.1.5 nos permite a�rmar que toda otra primitiva de�nida en un mismo intervalo

di�ere de F (x) en una constante. Pero como F (x) es discontinua en x = 0, la constante elegida en(−∞, 0) podría ser diferente de la tomada en (0,+∞).

Podemos resumir este análisis diciendo que la familia más general de primitivas de f(x) = x−2

es

F (x) =

{− 1x + C1, si x < 0

− 1x + C2, si x > 0

Hemos buscado en varias actividades y ejercicios las primitivas de las potencias xn para todo nentero distinto de −1. Analicemos ahora las primitivas del caso n = −1:

Actividad 7.3.3.

1. Comprueben que lnx es una primitiva de la función 1/x en el intervalo (0,+∞).2. Consideren ahora x < 0. Si bien el logaritmo no está de�nido para números negativos, po-

demos considerar la función ln(−x). Comprueben que ln(−x) es una primitiva de la función1/x en el intervalo (−∞, 0).

3. Como la función 1/x es discontinua, podemos escribir que la primitiva general de f(x) = 1/xes

F (x) =

{ln(−x) + C1, si x < 0

lnx+ C2, si x > 0


Una primitiva particular, la más sencilla, se obtiene con C1 = C2 = 0. Recordando la de�nicióndel valor absoluto |x|, podemos escribir en forma compacta

dada f(x) = 1/x, una primitiva válida en todo su dominio es F (x) = ln |x|

Este es un resultado importante en la tabla de primitivas básicas, que se puede aplicar tanto parax > 0 como para x < 0. Recuerden además que pueden elegir distintas constantes de integración acada lado de x = 0.

Ejercicio 7.3.1. Calculen la primitiva más general de 5x−1 + 2. Indiquen su dominio de validez.

7.3.3. Reescribir antes de buscar la primitiva

Cuando no encuentren cuál regla usar para hallar una primitiva, va a ser muy importante manipularla función para reescribirla de maneras alternativas, buscando una que sí permita aplicar una regla. Porun lado, tienen que estar entrenados en casos de factoreo, simpli�cación, y todo tipo de manipulaciónalgebraica. Por otro lado, cuando encuentren funciones trigonométricas, hiperbólicas, exponenciales ylogaritmos, necesitarán que recordar propiedades y algunas identidades para salir del paso.

Por ejemplo,

2x−x3√x

= 2x1/2−x5/2, por lo tanto su primitiva es 2x1/2+1

1/2 + 1− x5/2+1

5/2 + 1+ C =

4

3x3/2 − 2

7x7/2 + C.

Ejercicio 7.3.2. Hallen la familia de primitivas de4

x√x

x(x− 2)2

7.3.4. Integrales de�nidas

Ejercicio 7.3.3. Consideren la integral´ 1−1 x

2 dx.

1. Gra�quen el integrando, el intervalo de integración, y el área algebraica representada por laintegral. ¾Coincide con el área geométrica?

2. Calculen la integral de�nida usando la regla de Barrow.3. Planteen la integral necesaria para calcular el área encerrada entre la grá�ca de y = x2 y el ejex, entre 0 y 1. ¾Pueden anticipar el resultado?

4. Calculen la integral planteada en el ítem anterior usando la regla de Barrow.

Ejercicio 7.3.4. Para las siguientes funciones, calculen la integral de�nida entre los números a yb dados. No olviden veri�car las hipótesis antes de aplicar la regla de Barrow.

1. f(x) = x2 − 3x, a = 0, b = 10

2. g(t) = t− 1

t2, a = −3, b = −1

3. h(x) = 2ex − 13x

3, a = 0, b = 2

4. k(x) = 2x−3 + 5x4, a = −2, b = −1

Veri�quen sus resultados con GeoGebra.

Ejercicio 7.3.5. Para la siguiente función, hallen sus primitivas y luego calculen las integralesde�nidas entre a y b.

g(t) =1

t, para a = 1, b = 2 y para a = −2, b = −1.

Gra�quen y comparen ambos resultados, usando que g(t) es una función impar.


Ejercicio 7.3.6.

Teniendo en cuenta la discontinuidad en x = 0, hallen una primitiva general para x−3, x−5

para todo x 6= 0.

Comprueben quex−n+1

−n+ 1es una primitiva de x−n para todo x 6= 0, si n cualquier número

natural n 6= 1, y que la primitiva general es

ˆx−ndx =

x−n+1

−n+1 + C1, si x < 0

x−n+1

−n+1 + C2, si x > 0

.

Hallen una primitiva general para x−1/3,para todo x 6= 0.

Comprueben quex−r+1

−r + 1es una primitiva de x−r para todo x 6= 0, si r es cualquier número

racional positivo (r 6= 1). ¾Cuál es la primitiva general?

Ejercicio 7.3.7. Gra�quen la región del plano delimitada por las curvas de ecuaciones y = x3 +x,x = 2 y y = 0 y calculen su área.

Ejercicio 7.3.8. Un vehículo se desplaza por un camino recto con velocidad variable v(t) =4ms + 2m

s2t. Dado que v(t) es la derivada de la función posición respecto del tiempo, podemos escribir

un diferencial de desplazamiento como dx = v(t) dt.

1. Calculen la distancia recorrida por el vehículo entre t = 0 s y t = 10 s.2. Gra�quen la función v(t) e indiquen cómo visualizar la distancia recorrida.

7.3.5. Uso de GeoGebra

Uso de GeoGebra 7.3.4.GeoGebra tiene comandos para calcular primitivas:

De�nan la función f(x) = 1 + sen x y escriban en la línea de entrada

F(x)=Integral[f]

Observen la función que se crea, y veri�quen (derivando) que es primitiva de f(x).Más adelante veremos por qué se escribe Integral, en lugar de Primitiva.

Uso de GeoGebra 7.3.5. También pueden calcular integrales de�nidas:

Calculen el área encerrada entre la grá�ca de f(x) = 1 + sen x y la recta y = 0 (es decir, el ejex), para x entre −π/2 y π/2, escribiendo el comando

IntegralEntre[f,0,-Pi/2,Pi/2]

Observen el ára sombreada en la Vista Grá�ca y el valor calculado en la Vista Algebraica.Calculen el área usando la regla de Barrow, escribiendo el comando

F(x)=Integral[f]

y luegoF[Pi/2]-F[-Pi/2]

Desafío (para pensar más) 7.3.9.

Si conocen algún lenguaje de programación, es sencillo escribir un programa para calcularáreas aproximadas mediante particiones en rectángulos, y evaluarlas para distintos valores delnúmero de intervalos N .Si manejan una planilla de cálculo, tipo Excel, pueden usar una columna para guardar lospuntos de la partición, otra para los valores de la función, otra para las áreas de cada rectángulo,y �nalmente sumar esta columna para acumular el área aproximada.


Con GeoGebra pueden preparar una partición con el comando Secuencia, dibujar rectánguloscon el comando Polígono, repetirlos con el mismo comando Secuencia, calcular sus áreas conel comando Area, y sumarlas con el comando Suma. Los grá�cos de esta clase, y las áreascalculadas, están preparados con GeoGebra. Pueden encontrar los archivos en nuestro sitioweb, para modi�carlos a gusto.Si logran usar alguno de estos métodos, aplíquenlos al ejemplo 7.2.1.

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I CIBEX SEGUNDO ...Cálculo. Regla de Barrow. Técnicas de integración. El cálculo de integrales constituye la segunda parte del curso de Análisis Matemático