AN£¾LISIS VARIANZA MULTIFACTORIAL 2 FACTORES: ANOVA II 2016-04-26¢  AN£¾LISIS DE LA VARIANZA MULTIFACTORIAL

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  • Estadística Ciencias Ambientales Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas Profesor: Santiago de la Fuente Fernández

    ANÁLISIS VARIANZA MULTIFACTORIAL 2 FACTORES: ANOVA II

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  • ANÁLISIS DE LA VARIANZA MULTIFACTORIAL

    Estudia la influencia de dos o más factores (variables explicativas) sobre la media de una variable aleatoria (variable respuesta). • Definición de la variable a explicar • Definición de los distintos factores que pueden influir en la respuesta y, en cada uno de ellos, sus distintos niveles o grupos.

    Se analizan tres casos: 1. Dos factores (diseño por bloques) 2. Dos factores con interacción 3. Tres factores (Cuadros latinos)

    ANÁLISIS DE LA VARIANZA CON DOS FACTORES 'DISEÑO POR BLOQUES'

    El Modelo: { } ( )m,,2,1j),k,,2,1i(jiij UY LL ==+β+α+μ= ijY es la respuesta de la variable en el i-ésimo nivel del factor 1 (α) y en el j-ésimo nivel del factor 2 (β)

    ( ) ( ) ⎪

    ⎪ ⎨

    ≡ μ≡β μ≡α

    β+α+μ==μ

    )ellastodasparaóndistribucienigual(YlasdealeatoriaiaciónvarlarepresentaU 2factordeljniveleltieneglobalmedialasobrequeefectoelrepresenta

    1factordeliniveleltieneglobalmedialasobrequeefectoelrepresenta

    Ydemediovalor YE

    ij

    j

    i

    ij

    jiijij

    Suponemos que U sigue una distribución normal ( )σ,0N lo que implica que ijY sigue una distribución normal ( )σμ ,N ij y que no hay interacción entre los factores.

    ∑∑ ==

    =β=α m

    1j j

    k

    1i i 0

  • MUESTRA ALEATORIA - UNA OBSERVACIÓN POR CASILLA -

    ( )( )2jiij ,NY σβ+α+μ≈ independientes Factor 2 (β) Medias por filas

    Niveles 1 2 .. m 1 11y 12y .. m1y •1y 2 21y 22y .. m2y •2y . .. .. .. .. . .. .. .. .. k 1ky 2ky .. kmy •ky

    F a c t o r 1

    (α) Medias

    por columnas 1 y• 2y• .. my• ••y

    ( ) ( ) ( ) ( )•••••••••••• −+−++−−=− yyyyyyyyyy jijiijij ( ) ( ) ( ) ( )2j

    k

    1i

    m

    1j

    2 i

    k

    1i

    m

    1j

    2 jiij

    k

    1i

    m

    1j

    2 ij

    k

    1i

    m

    1j

    yyyyyyyyyy ••• = =

    •••

    = =

    ••••

    = =

    ••

    = =

    −+−++−−=− ∑∑∑∑∑∑∑∑

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    444 3444 21444 3444 2144444 344444 21444 3444 21

    β β

    •••

    =

    α α

    •••

    =

    ••••

    = =

    ••

    = =

    −+−++−−=− ∑∑∑∑∑∑ FactorExplicadaCuadradosSuma

    SCE

    2 j

    m

    1j

    FactorExplicadaCuadradosSuma SCE

    2 i

    k

    1i

    sidualReCuadradosSuma SCR

    2 jiij

    k

    1i

    m

    1j

    TotalCuadradosSuma SCT

    2 ij

    k

    1i

    m

    1j

    yykyymyyyyyy

  • ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )1m

    yyk

    Ŝ 1k

    yym

    Ŝ 1m.1k

    yyyy

    Ŝ 1m.k

    yy

    yykyymyyyyyy

    2 j

    m

    1j2

    2 i

    k

    1i2

    2 jiij

    k

    1i

    m

    1j2 r

    2 ij

    k

    1i

    m

    1j2 y

    FactorExplicadaCuadradosSuma SCE

    2 j

    m

    1j

    FactorExplicadaCuadradosSuma SCE

    2 i

    k

    1i

    sidualReCuadradosSuma SCR

    2 jiij

    k

    1i

    m

    1j

    TotalCuadradosSuma SCT

    2 ij

    k

    1i

    m

    1j

    = −

    = −−

    +−−

    = −

    =

    −+−++−−=−

    •••

    = β

    •••

    = α

    ••••

    = =

    ••

    = =

    β β

    •••

    =

    α α

    •••

    =

    ••••

    = =

    ••

    = =

    ∑∑∑∑∑∑

    ∑∑∑∑∑∑ 444 3444 21444 3444 2144444 344444 21444 3444 21

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  • TABLA ANOVA II

    Fuente de variación

    Suma de cuadrados gr. libertad Varianza

    Test F Fisher-Snedecor Coeficiente Determinación

    2R

    Factor( )α ( )αSCE 1k − ( ) 1k

    SCEŜ2 − α

    =α 2 r

    2

    Ŝ ŜF αα =

    ( ) 100. SCT

    SCER2 α=α

    Factor ( )β ( )βSCE 1m − ( ) 1m

    SCEŜ2 − β

    =β 2 r

    2

    Ŝ F ββ =

    ( ) 100. SCT

    SCER2 β=β

    Residual SCR ( )( )1m1k −− ( )( )1m1k SCRŜ2r −−

    =

    Total SCT 1m.k − ( ) ( ) 100.

    SCT SCESCER2 β+α=

    Análisis Estadístico: ANOVA II - Contrastes del efecto de cada factor -

    Estadístico de Contraste

    0únlgA:H luyeinfno1FactorEl0:H

    ia

    k210

    ≠α =α==α=α L

    2 r

    2

    Ŝ ŜF αα =

    0únlgA:H luyeinfno2FactorEl0:H

    ja

    m210

    ≠β =β==β=β L

    2 r

    2

    Ŝ F ββ =

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  • FACTOR 2: ( ) ( ) ( )( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

    ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

    +±−=β−β −−α••

    4444 84444 76 48476

    TípicoError

    r1m1k;2

    medias Diferencia

    jiji k 1

    k 1ŜtyyCI

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  • Se desea estudiar la eficiencia (en cuanto la menor emisión de C02) de cinco máquinas desaladoras. Se piensa que la cantidad de sal en el agua puede influir en dicha eficiencia.

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  • Fuente Variación Suma Cuadrados grados libertad Varianza Test F

    Factor ( )α ( ) 36,25SCE =α 41k =− ( ) 34,6 1k

    SCEŜ2 = − α

    =α 93,1058,0 34,6

    Ŝ ŜF 2

    r

    2 === αα

    Factor ( )β ( ) 40SCE =β 21m =− ( ) 20 1m

    SCEŜ2 = − β

    =β 48,3458,0 20

    Ŝ F 2

    r

    2 === ββ

    Residual 64,4SCR = ( )( ) 81m1k =−− ( )( ) 58,01m1k SCRŜ2r =−−

    =

    Total 70SCT = 141km =−

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  • Intervalo de confianza 85%306,2t 8;025,0 = ji yy •• − Error Típico Límite Inferior Límite Superior Poca sal Poca sal ----- --------- --------- ---------

    Bastante sal -2 0,4817 - 3,11 - 0,89 Mucha sal -4 0,4817 - 5,11 - 2,89

    Bastante sal Poca sal 2 0,4817 0,89 3,11 Bastante sal ----- --------- --------- --------- Mucha sal -2 0,4817 - 3,11 - 0, 89

    Mucha sal Poca sal 4 0,4817 2,89 5,11 Bastante sal 2 0,4817 0,89 3,11 Mucha sal ----- --------- --------- ---------

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  • Intervalo de confianza 95%817,3t 8;0025,0 = •• − ji yy Error Típico Límite Inferior Límite Superior Máquina I Máquina I ----- --------- --------- ---------

    Máquina II - 3,34 0,6219 - 5,71 - 0,97 Máquina III - 1,34 0,6219 - 3,71 1,03 Máquina IV - 0,67 0,6219 - 3,04 1,7 Máquina V - 3 0,6219 - 5,37 - 0,63

    Máquina II Máquina I 3,34 0,6219 0,97 5,71 Máquina II ----- --------- --------- --------- Máquina III 2 0,6219 - 0,37 4,37 Máquina IV 2,67 0,6219 0,3 5,04 Máquina V