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Annales du 21e Bombyx
Le rallye mathématique de Ganges et de l’académie de Montpellier
LIVRE 1
Quarts de finale 22 janvier 2013
LIVRE 2
Demi-finales 22 mars 2013
LIVRE 3
Finale 23 mai 2013
Association Rallye Bombyx - Place Jules Ferry - 34190 GANGES - 04 67 73 81 01 - [email protected] - site http://rallye-bombyx.asso-web.com
Le Bombyx
Publication placée sous le patronage de l’Inspection Pédagogique Régionale de
mathématiques de l’Académie de Montpellier, de l’IREM et de la Régionale APMEP de Montpellier
Comité de rédaction
Yvonne BOULOC Laurie MEZY
Priscilla SECHOY Jean-Marie SCHADECK
Jean VERSAC Professeurs de Mathématiques - Académie de Montpellier
Création
Association Rallye Bombyx Collège Louise Michel
Place Jules Ferry
34190 GANGES
Renseignements pratiques
Brochure gratuite disponible sur le site de la compétition
http://rallye-bombyx.asso-web.com
livre 1
Le rallye mathématique de Ganges et de l’académie de Montpellier
Quarts de finale - 22 janvier 2013
Barème et Règlement I.1
Le Club des Partenaires I.2
Les énoncés I.3
Les réponses : se reporter au document annexe intitulé
Livret pour la correction des quarts de finale
Les corrigés I.8
25 e Bombyx Association Rallye Bombyx - Place Jules Ferry - 34190 GANGES - 04 67 73 81 01 - [email protected] - site http://rallye-bombyx.asso-web.com
I.1
BARÈME
N° Problème 1 2 3 4 Question
facultative
Points 101 102 103 104 50 total / 410
Précisions pour certaines catégories
Catégorie
5e
Problème 2 10 pour une seule réponse exacte
Problème 3 20 pour une seule réponse exacte
4e
Problème 3 20 pour une seule réponse exacte
Pour une application aisée du § "Classement des participants" du
règlement, les élèves se voient attribuer un nombre de points x compris
entre 0 et 410
Pour chacun des quatre problèmes, si l’élève a donné exactement la
(ou toutes les) réponse(s) indiquée(s) dans le livret de correction à
l’exclusion de toute autre réponse : le nombre de points attribué
appartient à { 101 ; 102 ; 103 ; 104 }.
Pour un problème avec plusieurs réponses possibles, si l’élève n’a
donné qu’une partie des réponses indiquées dans le livret de correction
à l’exclusion de toute autre réponse : le nombre de points attribué suit
les indications du tableau ci-dessus.
Reporter sur le bulletin-réponse de l’élève, dans la case grisée
“ Points ” le nombre x obtenu comme indiqué ci-dessus.
Dans chaque catégorie classer les candidats par ordre décroissant
des points (sur le dessus, bulletin portant le plus grand nombre de
points).
RÈGLEMENT DU 25e Bombyx (Extraits)
Fiche technique du 25e rallye math. Bombyx
Le 25e rallye math. Bombyx, organisé par l'Association Rallye Bombyx (Ganges - Hérault), est
ouvert à tous les élèves de l'académie de Montpellier en Collège ou en CM2.
Les concurrents sont répartis en cinq catégories avec des épreuves adaptées à chacune d’elles : CM2 ; 6e ; 5e ; 4e ; 3e Générale.
Déroulement du 25e rallye math. Bombyx
QUARTS DE FINALE : Ils se dérouleront le mardi 22 janvier dans chaque établissement. L'épreuve dure une heure, et consiste à résoudre quatre problèmes. Les participants devront, pour chaque problème,
indiquer la ou les réponse(s) sur le bulletin prévu à cet effet. Au problème 1 sont attribués 101 points, au
problème 2 ce sont 102 points, etc. ; une réponse approchée peut se voir attribuer une partie des points. Au sein de chaque établissement, 50% (environ) des participants sont qualifiés pour la demi-finale par le
professeur correspondant du rallye.
DEMI-FINALES : L'épreuve consiste en la résolution de quatre problèmes et d'une question bonus
destinée à départager les concurrents et à laquelle sont attribués 50 points. Elle dure quatre-vingt-dix
minutes. Elle se déroulera le vendredi 22 mars dans chaque établissement. Aucune qualification n'est
faite au niveau de l'établissement. Le jury établit la liste des qualifiés pour la finale officielle constituée
des élèves les mieux placés, et la liste des qualifiés pour la finale de repêchage choisis parmi les meilleurs de chaque établissement qui ne sont pas déjà qualifiés pour la finale officielle, afin d'assurer à chacun
d'eux une représentation en finale par un minimum de deux candidats.
FINALE ET FINALE DE REPÊCHAGE : Elles consistent en la résolution de quatre problèmes, d'une question bonus destinée à départager les concurrents et d’une question subsidiaire qui ne donne pas lieu à
l’attribution de points. L’épreuve dure quatre-vingt-dix minutes et se déroulera au Collège Louise
Michel de Ganges le jeudi 23 mai, de 10h30 à 12h. La finale de repêchage permet au premier de chaque catégorie de gagner sa place en finale officielle avec la pleine conservation de ses points les épreuves étant
identiques en finale de repêchage et en finale officielle.
Classement des participants au 25e rallye math. Bombyx
À l'issue de chaque phase, les candidats sont départagés :
1) par le nombre de points, 2) en cas d'égalité, et sauf exception décrite ci-après, les candidats sont déclarés ex æquo.
Nonobstant ce qui précède, et en finale uniquement, les candidats placés dans les douze premiers sont
départagés par la question subsidiaire. Si toutefois il est impossible de les départager, ils sont déclarés ex æquo.
Les prix du 25e rallye math. Bombyx
Tous les concurrents en quarts de finale, en demi-finales puis en finales reçoivent un lot et un diplôme. En finale officielle les douze premiers de chaque catégorie reçoivent un prix conséquent ; les prix des
éventuels ex æquo sont départagés par l’âge avec ordre de priorité aux plus jeunes. Ce classement
académique donne lieu à la désignation des lauréats des Thalès : les trois premiers de chaque catégorie se voient ainsi un remettre un diplôme spécifique. La remise des prix et des diplômes aura lieu lors de la
Cérémonie des Thalès, au Collège Louise Michel de Ganges, le jeudi 23 mai de 14h45 à 15h45, à
l’issue de la finale qui a lieu le matin même.
En 2011-12, la compétition a attribué 7 341,16 € à l’achat de lots destinés à récompenser les participants aux différentes étapes de la compétition : lots pour encourager chacun des 3 878 concurrents des quarts de
finale, puis lots supplémentaires pour récompenser les demi-finalistes et enfin, lots pour les finalistes (livres, calculatrices, jeux de société, etc.) auxquels il convient d’ajouter le don par notre partenaire
CASIO® de quarante calculatrices dont vingt graphiques.
Les concurrents acceptent le présent règlement et les délibérations du jury dont les décisions sont sans
appel.
I.1
Association Rallye Bombyx
Collège Louise Michel
Place Jules Ferry
34190 GANGES
www.cijm.org www.apmep.asso.fr
L' Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques,
l' I.R.E.M. de Montpellier, le Comité International de Jeux Mathématiques pour leur soutien moral.
Le Rectorat de l’académie de Montpellier, la Régionale A.P.M.E.P. de Montpellier, le Foyer coopératif du collège Louise Michel,
les Conseils Généraux du Gard, de l’Hérault, et de Lozère, la Ville de Ganges,
les Communes de Agonès, Brissac, Causse de la Selle, Laroque, Mas de Londres,
Saint Bauzille de Putois, Saint Martin de Londres, Sumène pour leur soutien financier.
CASIO®, Math en Main, Art Culture Lecture – Éditions du Kangourou pour leur sponsoring.
au 1er septembre 2012
Le club des
partenaires
du Bombyx
I.2
entrée
sortie
25e Bombyx Quarts de finale CM2
Énoncés
Sur la banquise
PROBLÈME 1 : Le palais de la reine Ourseline
Pour accéder au palais d’Ourseline il faut gravir un immense escalier
de glace en forme de pyramide. Il est constitué de cubes de glace
disposés comme l’indique le dessin ci-dessous.
À ton avis, de combien de cubes de glace cet escalier est-il
constitué ?
PROBLÈME 2 : Le trésor d’Ourselinot
Ourselinot, prince héritier de ce royaume, cache un trésor dans une
malle fermée par un cadenas. Pour ouvrir le cadenas ; il faut connaître
le code ci-dessous dans lequel chaque dessin remplace un chiffre :
Voici des indices pour retrouver le code et accéder au trésor !
+ + = 15
+ + = 20
+ + = 8
Seras-tu capable de trouver le code ?
PROBLÈME 3 : Le miroir d’Ourselinette
Ourselinette, sœur cadette du prince, est très coquette ! Elle a un
magnifique miroir de forme triangulaire avec des dessins géométriques
en forme de triangles comme indiqué ci-dessous.
60
3
3
2
2
2 1
1
11
1
Sur ce miroir, il y a des chiffres écrits. Le chiffre écrit dans un triangle
indique le nombre de triangles voisins qui sont dorés. On dit que deux
triangles sont voisins s’ils ont un côté commun. Les triangles qui
contiennent un chiffre ne sont pas dorés.
À toi de retrouver les triangles dorés.
PROBLÈME 4 : La patinoire d’Ourseline
Dans la cour du palais, il y a une magnifique patinoire. Cette patinoire
est quadrillée comme indiqué ci-dessous. Il faut traverser la patinoire
sans passer dans les carreaux où il y a un sapin, ne jamais passer deux
fois dans le même carreau et obtenir le plus grand total en ajoutant les
nombres situés dans les carreaux traversés.
Combien obtiens-tu ?
9
1 7
3
2
1
8
entrée
sortieentrée
sortie
entrée
sortie
I.2
1 2 3
4
5 6 7 8
25e Bombyx Quarts de finale 6e
Énoncés
Autour du monde
PROBLÈME 1 : Cambodge
Pour monter au sommet d’une pyramide il faut gravir un immense
escalier constitué de cubes disposés comme l’indique le dessin ci-
dessous. Sur ce dessin, l’escalier a quatre marches, mais dans la réalité
le vrai escalier a huit marches.
À ton avis, de combien de cubes le vrai escalier est-il constitué ?
PROBLÈME 2 : France
Un hexagone est constitué de six cases numérotées. On fait rouler
l’hexagone en le faisant pivoter sur les cases carrées elles aussi
numérotées. Lorsqu’une case de l’hexagone vient sur une case carrée,
on effectue le produit des deux nombres contenus dans les deux cases
en contact. On fait tourner ainsi l’hexagone jusqu’à la case numérotée
1, puis on additionne tous les produits obtenus.
60
154
3
2
6
5 14 6
2
3
On ne peut pas modifier les numéros de l’hexagone, mais on peut
changer l’ordre des numéros des cases carrées.
De gauche à droite, dans quel ordre faut-il écrire les numéros des
cases carrées pour que la somme obtenue soit la plus grande
possible ?
PROBLÈME 3 : Italie
À la pizzéria, Tonio a fabriqué la pizza ci-
contre. Il a placé quatre olives.
Serais-tu capable de partager cette pizza en
quatre morceaux de même forme avec
chacun une olive ?
PROBLÈME 4 : Égypte
Dans un musée des Antiquités, on s’aperçoit un peu tard que les deux
immenses statues placées dans les salles 7 et 8 devaient être placées
dans les salles 1 et 2 et vice-versa pour les deux statues placées dans
les salles 1 et 2. Pour échanger les statues, on doit respecter les
consignes suivantes : les statues sont trop volumineuses pour en mettre
deux dans une même salle ; il faut une journée pour déplacer une statue
d’une salle à une salle voisine. On ne peut déplacer qu’une statue en un
jour.
Combien de jours faudra-t-il pour
échanger les statues ?
I.3
▪ ▪ ▪ ▪ ▪
▪ ▪ ▪ ▪ ▪
▪ ▪ ▪ ▪ ▪
▪ ▪ ▪ ▪ ▪
▪ ▪ ▪ ▪ ▪
25e Bombyx Quarts de finale 5e
Énoncés
Vous avez dit 25 !
PROBLÈME 1 : L’heure du réveil
Angéla s’est réveillée la nuit dernière, juste au moment où l’affichage
de son réveil présentait un axe de symétrie.
Une demi-heure plus tard, il présentait un centre de symétrie.
À quelle heure s’est-elle réveillée(1)
?
Info : Son réveil affiche toujours 4 chiffres. (1)
L’affichage présentait alors un axe de symétrie.
Aide : les dix chiffres en affichage led
0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
PROBLÈME 2 : 2013, la 25e
édition
On cherche un nombre entier dont chaque chiffre est écrit d’une
couleur différente des autres.
Pour l’écrire, il faut utiliser les chiffres 1, 2, 3 et 5.
Son chiffre des centaines est bleu mais n’est pas 5.
3 est son chiffre des unités mais il n’est pas jaune.
2 est écrit en vert.
Le chiffre jaune n’est pas à côté du chiffre rouge.
1°) Quel est ce nombre ?
2°) De quelle couleur est le chiffre 1 ?
PROBLÈME 3 : Les tigres savent-ils compter ?
Un tigre guette un buffle endormi à 25 mètres.
Il s’en approche à raison de 25 cm par minute.
Lorsqu’il sera à 2,25 mètres du buffle, il se jettera sur lui.
Mais la sieste du buffle est de courte durée. Dans 1h30, il se réveillera
et rejoindra son troupeau.
1°) Le tigre surprendra-t-il le buffle pendant son sommeil ?
(répondre par oui ou par non)
2°) Combien de temps s’écoulera-t-il avant que le tigre saute sur sa
proie ? (Donner le résultat en minutes.)
PROBLÈME 4 : 5²=25
Voici un réseau de 25 points.
On veut dessiner des carrés dont les
sommets sont des points de ce réseau
mais il y en a beaucoup.
Combien de carrés pourrait-on dessiner au maximum ?
I.4
part mangée
angle au centre de la part mangée
25e Bombyx Quarts de finale 4e
Énoncés
PROBLÈME 1 : Le très bon café
Pour son rayon café de luxe, Monsieur Robusta a acheté 168
kilogrammes de café vert. En le torréfiant, il constate que ce café perd
6/35 de sa masse.
Ensuite, il revend ce café torréfié 9,30 € le kilogramme.
Le prix d’achat des 168 kg de café vert représente les 2/3 des 5/6 du
prix de vente du café torréfié.
Quel était, en arrondissant au centime d’euro, le prix d’achat d’un
kilogramme de café vert ?
PROBLÈME 2 : Les nombres « ascendants »
On dit qu’un entier naturel non nul est « ascendant » lorsqu’il est
formé de un ou plusieurs chiffres tous différents, écrits de gauche à
droite dans l’ordre croissant comme 6, 28, 248, 1 789 ….
Combien y a-t-il de tels nombres jusqu’à 2 013 ?
PROBLÈME 3 : L’heure exacte
Les montres de Philippe et de Pierre ne fonctionnent pas très bien.
Celle de Philippe indique 19 h 15 et elle avance de 8 minutes par
heure, celle de Pierre indique 17 h 15 et elle retarde de 7 minutes par
heure.
Les deux montres ont été mises à l’heure exacte au même instant.
a) A quel instant précis, en heures et minutes, ont-elles été
mises à l’heure ?
b) Quelle heure est-il maintenant ?
PROBLÈME 4 : Le bon fromage
Ce fromage a la forme d’un cylindre de 8 cm de diamètre et de 5,5 cm
de hauteur.
Quand on enlève le papier d’emballage qui le protège, il reste encore
un papier rectangulaire qui fait exactement le tour de la surface latérale
du cylindre.
Lorsque le fromage est entamé, Laurie plaque ce papier sur la découpe
pour protéger le fromage restant. Il faut manger une quantité de
fromage bien précise pour que la longueur du rectangle coïncide avec
le contour du fromage entamé.
Quelle est alors la mesure, arrondie à l’entier le plus proche, de
l’angle au centre correspondant à la part qui a été mangée ?
Rappel : longueur du cercle diamètre 3,14
I.5
25e Bombyx Quarts de finale 3egénérale
Énoncés
PROBLÈME 1 : Marie-Renée vide sa piscine
Pour vider sa piscine, Marie-Renée dispose de trois pompes, l'une la
videra en 10 heures, la deuxième en 15 heures et la troisieme en 12
heures.
Pour gagner du temps, elle décide d'utiliser les trois simultanement.
En combien de temps la piscine sera-t-elle vidée ?
PROBLÈME 2 : Regarder les aires
Dans un disque de 10 cm de rayon, on a
découpé un octogone régulier. Je n’ai pas de
règle ni de calculette, pourtant je peux calculer
la valeur exacte de l’aire de cet octogone.
Quelle est-elle ? (Indication : on peut considérer un carré
inscrit, calculer son côté et… relire le titre !)
PROBLÈME 3 : Aires
L'aire du grand triangle rectangle mesure 48 cm² et les côtés de l’angle
droit mesurent 8 et 12 cm.
Si l'aire du trapèze grisé est égale à l'aire du petit triangle, quelle
est la hauteur de ce dernier ? On donnera la valeur exacte.
b
h
8
12
PROBLÈME 4 : Les soldes
Durant cette période, un commerçant fait une remise de 30% sur le
prix d'un produit, un autre, donne pour le même prix 30% de produit
en plus.
Quelle remise accorde en réalité le second commerçant ?
On donnera le pourcentage arrondi au centième.
I.6
60
3
3
2
2
2 1
1
11
1
25e Bombyx Quarts de finale CM2
Corrigés
Sur la banquise
PROBLÈME 1 : Le palais de la reine Ourseline
Pour compter les cubes de glace, on calcule (en partant du haut) :
1 2 ; 2 4 ; 3 6 ; 4 8
Ce qui donne 2 ; 8 ; 18 et 32.
On ajoute : 2 + 8 + 18 + 32 = 60.
L’escalier est constitué de soixante cubes de glace.
PROBLÈME 2 : Le trésor d’Ourselinot
On se sert d’abord des indices pour trouver le chiffre associé à chaque
dessin :
(1) + + = 15 (2) + + = 20 (3) + + = 8
Avec les égalités (1) et (2) on trouve : = + 5.
Avec les égalités (1) et (3) on trouve : = + 7.
On peut alors réécrire la ligne (2) rien qu’avec des :
+ 7 + + 5 + + 5 = 20.
On en déduit que : + + = 3 donc que = 1.
Alors = 6 et = 8.
Le code du cadenas est donc 861168.
PROBLÈME 3 : Le miroir d’Ourselinette
On commence d’abord par les triangles avec le chiffre 3 : les trois
triangles tout autour sont dorés. Puis avec les
triangles portant le chiffre 2, on trouve deux
triangles dorés supplémentaires. On constate
que les deux triangles marqués 1 en bas à droite
ont déjà un triangle doré. On passe à celui qui
est en bas à gauche qui donne un triangle doré
de plus. Le triangle avec 1 juste au-dessus a
déjà son triangle doré. Le triangle portant 1
encore au-dessus donne le dernier triangle doré
à trouver.
PROBLÈME 4 : La patinoire d’Ourseline
Il y a deux chemins possibles visant à obtenir la plus grande somme :
en entrant tout droit en direction de 8 puis en passant par le bas : on
évite le 1 du haut mais aussi la case 3 ; la deuxième solution est
représentée ci-dessous, elle passe par le haut et évite seulement une
case 1. On obtient 30.
entrée
sortieentrée
sortie
entrée
sortie
entrée
sortie
9
1 7
3
2
1
8
I.7
1 2 3
4
5 6 7 8
60
25 1463
25e Bombyx Quarts de finale 6e
Corrigés
Autour du monde
PROBLÈME 1 : Cambodge
Pour compter les cubes, on calcule (en partant du haut) :
1 2 ; 2 4 ; 3 6 ; 4 8 ; 5 10 ; 6 12 ; 7 14 ; 8 16.
On ajoute : 2 + 8 + 18 + 32 + 50 + 72 + 98 + 128 = 408.
L’escalier est constitué de quatre cent huit cubes.
(Ci-dessus, escalier à quatre marches ; le vrai en a huit). NB : on peut remarquer que la somme précédente peut s’écrire :
2 (1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8²), le résultat du nombre entre parenthèses
étant connu comme le 8e nombre pyramidal carré.
On peut démontrer que ce 8e nombre est égal à 8 9 (8 + 9) /6.
Le 9e nombre est égal à 9 10 (9 + 10)/6, etc…
PROBLÈME 2 : France
La somme obtenue est la plus grande possible quand, au fur et à
mesure que l’hexagone tourne, le produit des deux nombres contenus
dans les deux cases en contact est à chaque fois maximum. Cela se
produit si on calcule 6 6, 5 5, 4 4, 3 3, 2 2 et 1 1.
De gauche à droite, cela donne pour les numéros des cases carrées :
PROBLÈME 3 : Italie
On compte d’abord les carrés : 6 6 = 36.
Comme il faut quatre morceaux de même forme, chacun est constitué
de 9 carrés.
Il y a au moins deux façons de s’y prendre pour respecter la contrainte
supplémentaire : avoir chacun une olive.
PROBLÈME 4 : Égypte
Il faudra 36 jours pour échanger les statues.
1 2 3
4
5 6 7 8
3 jours
1 2 3
4
5 6 7 8
1 2 3
4
5 6 7 8
2 4 jours
1 2 3
4
5 6 7 84 jours
1 2 3
4
5 6 7 8
2 3 jours
1 2 3
4
5 6 7 8
4 jours 1 2 3
4
5 6 7 82 4 jours
1 2 3
4
5 6 7 8 3 jours
I.8
▪ ▪ ▪ ▪ ▪
▪ ▪ ▪ ▪ ▪
▪ ▪ ▪ ▪ ▪
▪ ▪ ▪ ▪ ▪
▪ ▪ ▪ ▪ ▪
25e Bombyx Quarts de finale 5e
Corrigés
Vous avez dit 25 !
PROBLÈME 1 : L’heure du réveil
0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
On exclut directement les chiffres 3, 4 et 7 qui n’ont pas de chiffre
symétrique.
Avec les chiffres 6 et 9 ou encore 8, difficile de respecter les 24 heures
et les 60 minutes de notre cadran pour avoir des symétries !
10h01, 11h11 et 01h10 sont bien symétriques par rapport à l’axe des 2
points ( : ) mais une demi-heure plus tard, on se retrouve avec les
chiffres 3 ou 4 qui sont exclus pour la symétrie centrale ici.
22h55, 20h05 et 02h50 ont bien un axe de symétrie mais 1/2h plus
tard, la symétrie centrale n’est pas au rendez-vous !
05h20 répond aux deux conditions. En effet, 1/2h plus tard, il sera
05h50, et on a bien un centre de symétrie.
Elle s’est réveillée à 5h20.
PROBLÈME 2 : 2013, la 25e
édition
Son chiffre des centaines est bleu mais n’est pas 5.
3 est son chiffre des unités mais il n’est pas jaune.
2 est écrit en vert. Donc le chiffre des unités n’est ni vert ni bleu donc
il est rouge.
Le chiffre jaune n’est pas à côté du chiffre rouge donc le chiffre jaune
est le chiffre des milliers et le chiffre des dizaines est vert et c’est donc
le 2.
Le chiffre 5 n’étant pas bleu, il est jaune et c’est par conséquent le
chiffre des milliers.
Le 1 est alors le chiffre des centaines, bleu.
1°) Le nombre est 5 123.
2°) Le chiffre 1 est bleu.
PROBLÈME 3 : Les tigres savent-ils compter ?
Le tigre a 25 – 2,25 = 22,75 mètres à parcourir avant de sauter, c'est-à-
dire 2 275 cm.
2 275 : 25 = 91 minutes soit 1h31.
1°) Non. Le tigre arrivera 1 minute trop tard !
2°) Le tigre mettra 91 minutes avant de se jeter sur sa proie.
PROBLÈME 4 : 5²=25
On pourrait dessiner 16 carrés de côté 1, 9 carrés de côté 2, 4 carrés
de côté 3 et 1 carré de côté 4 soit en tout 30 carrés au maximum.
I.9
part mangée
angle au centre de la part mangée
25e Bombyx Quarts de finale 4e
Corrigés
PROBLÈME 1 : Le très bon café
À la torréfaction, si le café perd les 6/35 de sa masse, il reste les 29/35. 29
35 168 = 139,2. Monsieur Robusta a 139,2 kg de café torréfié.
139,2 9,30 = 1 294,56. Le prix de vente total est de 1 294,56 €. 2
3
5
6 =
10
18 ;
10
18 1 294,56 = 719,20 : c’est le prix d’achat des 168 kg de café.
719,20 : 168 = 4,28095 …
Le prix d’achat d’un kilogramme de café vert était environ de
4,28 €.
PROBLÈME 2 : Les nombres « ascendants »
Avec seulement du calme et de la patience, on arrive à compter tous
les nombres répondant à ce problème.
De 1 à 9 : il y en a 9 ; de 12 à 19 : 8 ; de 23 à 29 : 7 ; de 34 à 39 : 6 ; de
45 à 49 : 5 ; de 56 à 59 : 4 ; de 67 à 69 : 3 et 78, 79, 89, ce qui fait 45
nombres ascendants inférieurs à 100.
Les nombres compris entre 123 et 129, entre 134 et 139, entre 145 et
149, entre 156 et 159, puis 167, 168, 169, 178, 179 et189, ce qui fait
28 nombres entre 100 et 200. Entre 200 et 1 000 ( 234, … 789) : 56
nombres. Entre 1 000 et 2 000, 56 nombres également.
Jusqu’à 2 013, on compte 185 nombres ascendants.
PROBLÈME 3 : L’heure exacte
Chaque heure qui passe, l’écart entre les deux montres augmente de 15
minutes. Comme elles ont à présent 2 h de décalage, il s’est écoulé 8 h
depuis la mise à la même heure. (puisque 8 15 min = 2h)
Il faut enlever huit fois 8 min, c’est-à-dire 1 h 4 min, à 19 h 15 pour
trouver l’heure qu’il est maintenant : 18 h 11. Et les deux montres ont
été mises à la même heure huit heures plus tôt.
a) Philippe et Pierre ont mis les montres à l’heure à 10 h 11.
b) Il est maintenant 18 h 11.
PROBLÈME 4 : Le bon fromage
La longueur du cercle de base correspond à un angle au centre de 360°,
soit environ 25,12 cm. (8 3,14 = 25,12 ou 8 25,13)
La longueur du rectangle de papier qui représente l’arc de cercle de la
partie mangée doit mesurer 8 cm (deux rayons).
La proportionnalité nous permet de calculer l’angle au centre
correspondant, soit environ 114,65°.
(25,12 est à 360 ce que 8 est à 8 360
25,12 114,65)
La mesure, à un degré près, de l’angle au centre correspondant à
la part qui a été mangée est 115°.
Remarque : si on prend 25,13 on trouve environ 114,60 et si on calcule avec 8 on
trouve environ 114,59 ; dans tous les cas 115 est l’entier le plus proche.
I.10
25e Bombyx Quarts de finale 3egénérale
Corrigés
PROBLÈME 1 : Marie-Renée vide sa piscine
10 6 = 15 4 = 12 5 = 60 donc en 60 heures, la première pompe
vide l’équivalent de 6 piscines, la deuxième de 4 piscines et la
troisieme de 5 piscines. Mises ensemble les trois pompes vident
l’équivalent de 15 piscines en 60 h, donc elles vident la piscine en 15
fois moins de temps, soit 4 h.
La piscine sera vidée en quatre heures.
PROBLÈME 2 : Regarder les aires
Dans le triangle ACO rectangle isocèle en O le théorème de Pythagore
donne AC = 200 cm.
Le triangle ABO apparaît huit fois dans l’octogone.
Son aire est égale à BO AK
2 soit
10 200
2
1
2 =
5
2 200.
8 5
2 200 = 20 200.
Avec les connaissances apprises en 3e sur les racines carrées, ce
résultat peut être simplifié :
20 200 = 20 100 2 = 20 10 2 = 200 2.
Il est possible aussi de calculer AK dans le triangle AKO rectangle
isocèle en K, ce qui donne 2 AK² = 100 donc AK = 50 cm.
L’aire de ABO s’écrit alors 5 50 et celle de l’octogone 40 50.
Avec le cours de 3e on obtient : 40 25 2 = 200 2.
Suivant la méthode employée et les connaissances acquises, la
valeur exacte de l’aire de l’octogone s’écrit :
200 2 cm² ou bien 20 200 cm² ou encore 40 50 cm².
PROBLÈME 3 : Aires
L'aire du grand triangle rectangle mesure 48 cm² et l'aire du trapèze
grisé est égale à l'aire du petit triangle, donc
l’aire de celui-ci mesure 24 cm² : b h
2 = 24 ce qui donne b h = 48.
Par ailleurs le trapèze grisé assurant qu’il y a
deux parallèles, le théorème de Thalès donne : 8
h =
12
b ce qui donne 8 b = 12 h ou 2 b = 3 h.
On cherche h donc on remplace b par 3
2 h et comme b h = 48 alors :
3
2 h² = 48 puis h² = 48
2
3 = 32 donc h = 32
Suivant les connaissances acquises, la valeur exacte de la hauteur
du petit triangle s’écrit : 32 cm ou bien 4 2 cm.
PROBLÈME 4 : Les soldes
30% c’est équivalent à 3
10. Et avoir 3
10 de produit en plus revient à en avoir
13
10. « On a 13 parts pour le prix de 10 », cela veut dire que dans le nouvel
emballage, « 10 parts » coûtent 10
13 du prix initial ; la remise est donc de 3
13
soit environ de 23,08 %. En réalité le second commerçant accorde
seulement 23,08 % de remise.
b
h
8
12
