ANOVA Analiza varijanse (ANOVA) - ekof.bg.ac.rs · b – suma kvadrata između nivoa tretmana ... • Čita se vrednost iz tablica F-rasporeda za (r ... Na nivou značajnosti od 10%

23/11/2016

1

ANOVA

• Novembar 2016

Novembar 2016 Istraž ivanje trž ištaEkonomski fakultet, Beograd

2

Analiza varijanse (ANOVA)

• Analiza varijanse sa jednim faktorom• Proširena ANOVA tabela


3

Analiza varijanse sa jednim faktorom

Decembar 2012 Istraž ivanje trž ištaEkonomski fakultet, Beograd

4

Tehnike za analizu podataka

Univarijacione tehnike

Multivarijacione tehnike

Posmatra se samo jedna promenljiva

Posmatra se više promenljivih istovremeno

23/11/2016

2


5

Univarijacione tehnike za analizu podataka

Neparametarske statističke tehnike

Parametarske statističke tehnike

Podaci su nemetrički (nominalna i ordinalna skala)

Podaci su metrički (intervalna i skala odnosa)


6

Parametarske statističke tehnike

- t-test- z-test

Postoji samo jedan uzorak

Postoje dva ili više uzoraka

Nezavisni uzorci

Zavisni uzorci

- t-test- z-test- ANOVA

- Upareni t-test


7

Koncepti eksperimentalne analize na koje se pozivamo

U istraživanjima kadkažemo faktor češćemislimo na faktor u

faktorskoj analizi

• Varijabla ishoda – zavisna varijabla• “Faktori” – nezavisne varijable• Tretmani – različiti nivoi nezavisnih varijabli, t.j.

faktora• Svrha većine statističkih eksperimenata je:

1. Da se utvrdi da li različiti tretmani imaju različite efekte na varijablu ishoda, i

2. Ako imaju različite efekte, onda se želi oceniti (izmeriti) ta razlika.


8

Analiza varijanse sa jednim faktorom

• Naziva se i jednosmerna analiza varijanse;• Mere se efekti r tretmana jednog faktora na (jednu)

varijablu ishoda• Zatim se proverava da li postoje značajne razlike

između srednjih vrednosti različitih tretmana:H0: µ1 = µ2 = µ3 = . . . = µr

Ha: najmanje 2 od µ1, µ2, µ3, . . . , µr su različiti• Računa se odnos između varijanse „između-tretmana“

i varijanse „unutar-tretmana“• Ako je varijansa „između“ značajno veća nego

varijansa „unutar“, odbacuje se nulta hipoteza

23/11/2016

3

Pretpostavke modela

Pre početka analize se uvek formalno proveravaispunjenost pretpostavki modela:1. Reziduali po grupama imaju normalnu raspodelu

- proveravamo Kolmogorov-Smirnovljevimtestom normalnosti;

2. Varijanse reziduala različitih grupa su jednake (homoskedastičnost) - proveravamo Levinovimtestom homogenosti varijanse;

3. U pitanju su nezavisni slučajni uzorci.


9 Novembar 2016 Istraž ivanje trž ištaEkonomski fakultet, Beograd

10

Ukupna i srednje vrednosti grupa, kao i njihova odstupanja


11

Varijansa između tretmana

– Ocena varijanse „između“ tretmana se zasniva na varijaciji između srednjih vrednosti dobijenih za svaki nivo tretmana:

, t.j.:

SSb – suma kvadrata između nivoa tretmana – srednja vrednost za tretman p– ukupna srednja vrednost

np – broj opservacija za tretman pr – ukupan broj tretmana

€

SSb = np X p − X ( )2

p =1

r

∑

pXX €

MSSb =SSbr −1


12

Varijansa unutar tretmana

– Ocena varijanse „unutar“ tretmana se zasniva na varijaciji u okviru svakog nivoa tretmana (“neobjašnjena”):

, t.j.:

SSw – suma kvadrata unutar tretmana – srednja vrednost za tretman p– realizacija i za nivo tretmana p

np – ukupan broj opservacija za tretman pr – ukupan broj tretmanaN – ukupna veličina uzorka

pXipX€

SSw = xip − X p( )2

p =1

r

∑i=1

n p

∑

€

MSSw =SSwN − r

23/11/2016

4


13

Ukupna, objašnjena i neobjašnjena varijansa

• Varijansa između tretmana se naziva i varijansom “objašnjenom” nivoom tretmana

• Varijansa unutar tretmana se naziva i varijansom “neobjašnjenom” nivoom tretmana

• Ukupna (totalna) varijacija ili totalna suma kvadrata je:

wbt SSSSSS +=


14

ANOVA tabela

€

SSb = np X p − X ( )2

p =1

r

∑

€

MSSb =SSbr −1

€

MSSbMSSw

€

SSw = xip − X p( )2

p =1

r

∑i=1

k

∑

€

MSSw =SSwN − r

€

SSt = xip − X ( )2

p =1

r

∑i=1

k

∑

Izvor varijacije

Varijacija, suma kvadrata (SS)

St. slo-bode (df)

Ocena varijanse (MSS) F-odnos

Objašnje-na varijacija

r – 1

Neobjaš-njena varijacija

N – r

Ukupno N – 1


15

F-statistika

• Ako bi nulta hipoteza bila istinita (nivoi tretmana nemaju značajan efekat) onda bi F-odnos trebalo da bude blizu 1; u suprotnom F-odnos ima veće vrednosti

• Čita se vrednost iz tablica F-rasporeda za (r-1) i (N-r) stepeni slobode

• Na osnovu toga se zaključuje da li postoji razlika uslovljena nivoom tretmana i za koji nivo značajnosti ova razlika postoji

€

F =MSSbMSSw


16

Jačina povezanostiρ - deskriptivni statistički pokazatelj, mera jačine

povezanosti, koji predstavlja meru proporcije varijanse koja je objašnjena podacima iz uzorka :

– Vrednost ρ na bazi uzorka teži da bude pristrasna naviše, pa je bolje koristiti :

t

b

SSSS

=ρ

€

ˆ ω 2 =SSb − (r −1)MSSw

SSt + MSSw

23/11/2016

5

Primer: Koliko sati učišnedeljno?


17

Primer: Koliko sati učiš nedeljno? –Provera pretpostavki modela

Pre početka analize se uvek formalno proveravaispunjenost pretpostavki modela:1. Varijanse reziduala različitih grupa su jednake

(homoskedastičnost) - proveravamo Levinovimtestom homogenosti varijanse;

2. Reziduali po grupama imaju normalnu raspodelu- proveravamo Kolmogorov-Smirnovljevimtestom normalnosti;

3. U pitanju su nezavisni slučajni uzorci.


18

Primer: Koliko sati učiš nedeljno? –1. Test homogenosti varijanse


19

p=0,027 < α=0,05 è odbacujemo nultu hipotezu

Nulta hipoteza je da su varijanse reziduala različitih grupa jednake, t.j. da postoji homoskedastičnost, ili homogenost varijansi, putem Levinovog testa:

Respecifikacija varijabli putem logaritamske transformacije!

Primer: Koliko sati učiš nedeljno? –Logaritmovani podaci


20

23/11/2016

6

Primer: Koliko sati učiš nedeljno? –Ponovljeni test homogenosti varijanse


21

➔ Ne odbacujemo nultu hipotezu - na logaritmovanimpodacima varijanse se statistički ne razlikuju;

➔ Možemo nastaviti analizu proverom ispunjenostiuslova normalnosti.

Primer: Koliko sati učiš nedeljno? –2. Kolmogorov-Smirnovljev test

normalnosti

• Koristi se za testiranje hipoteze o normalnostiraspodele

• Nulta hipoteza je da varijabla prati normalanraspored, a alternativna je da ne prati

• Dakle, nastavićemo sa daljom analizom samoako test pokaže da se ne odbacuje nultahipoteza.


22


23

• Sve tri p-vrednosti su veće od 0,05, pa ne odbacujemonultu hipotezu o normalnosti rasporele!


24

Ukupna i srednje vrednosti grupa, kao i njihova odstupanja

23/11/2016

7

Primer: Koliko sati učiš nedeljno? –ANOVA izlazna tabela


25

➔ Na nivou značajnosti od 5% ne bismo odbacili Ho; ➔ Na nivou značajnosti od 10% bismo odbacili Ho i zaključili

bismo da postoje razlike po godinama u odnosu na vremeprovedeno u učenju tokom semestra.


26

Analiza varijanse sa više faktora

Decembar 2012 Istraž ivanje trž ištaEkonomski fakultet, Beograd

27

Tehnike za analizu podataka

Univarijacione tehnike


Posmatra se samo jedna promenljiva

Posmatra se više promenljivih istovremeno


28


Tehnike zavisnosti

Fokus na vari-jablama

Fokus na predmetima posmatranja

- Faktorska analiza

- Analiza skupina

- Višedimen-zionalno skaliranje

Jedna zavisna varijabla

Više zavisnih varijabli

- ANOVA i ANCOVA- Višestruka regresija- Diskriminaciona anal.- Analiza združenih

efekata

- MANOVA i MANCOVA

- Kanonička korelacija

Tehnike međuzavisnosti

23/11/2016

8


29

Proširena ANOVA tabela

• U ovom modelu postoji više varijabli tretmana (faktora)– Dodavanjem nove varijable tretmana tipično se povećava

objašnjeni varijabilitet– Druga varijabla tretmana se naziva blok-varijabla, jer se

formira jedan ili više blokova– Takođe je moguće da se uključi više varijabli tretmana

• Interakcija– Efekat interakcije znači da uticaj jednog tretmana neće biti

isti za svaki nivo onog drugog tretmana– Hipoteza o tome da nema interakcije se može testirati

korišćenjem ANOVA tabele

Primer dvofaktorske analize: Koliko sati učiš nedeljno?


30

• Putem dvofaktorske analize varijanse u ovom primeru možemo testirati sledeće hipoteze:

H0: ne postoji razlika među polovima u odnosu na brojčasova provedenih u učenju,

Ha: postoji razlika među polovima u odnosu na brojčasova provedenih u učenju;

H0: korišćenje Fejsbuka ne utiče na broj časovaprovedenih u učenju,

Ha: korišćenje Fejsbuka utiče na broj časova provedenihu učenju;

H0: nema interakcije između pola i korišćenja Fejsbuka u odnosu na broj časova provedenih u učenju,

Ha: postoje interakcije između pola i korišćenja Fejsbukau odnosu na broj časova provedenih u učenju.


31

Levinov test jednakosti varijansireziduala


32

p=0,021 < α=0,05 è odbacujemo nultu hipotezuRespecifikacija varijabli putem logaritamske transformacije!

23/11/2016

9


33

Respecifikovane varijable (logaritmovanje) Ponovljeni test homogenosti varijanse


34

➔ Ne odbacujemo nultu hipotezu - nalogaritmovanim podacima varijanse se statistilčkine razlikuju.

• Hipoteze koje testiramo:H0: ne postoji razlika među polovima u odnosu na broj

časova provedenih u učenju,Ha: postoji razlika među polovima u odnosu na broj

časova provedenih u učenju;H0: korišćenje Fejsbuka ne utiče na broj časova

provedenih u učenju,Ha: korišćenje Fejsbuka utiče na broj časova provedenih

u učenju;H0: nema interakcije između pola i korišćenja Fejsbuka u

odnosu na broj časova provedenih u učenju,Ha: postoji interakcije između pola i korišćenja Fejsbuka u

odnosu na broj časova provedenih u učenju.


35 Novembar 2016 Istraž ivanje trž ištaEkonomski fakultet, Beograd

36

Koje od navedenih hipoteza ćemo odbaciti, a kojenećemo?

Documents

ANOVA Analiza varijanse (ANOVA) - ekof.bg.ac.rs · b – suma kvadrata između nivoa tretmana ... • Čita se vrednost iz tablica F-rasporeda za (r ... Na nivou značajnosti od 10%