Anova Ponovljena Merenja

X.3. Univarijaciona analiza varijanse u jednofaktorijalnim i dvofaktorijalnim nacrtima sa jednim ponovljenim faktorom

U prikazu jednofaktorijalne univarijacione analize varijanse u odeljku X.1. pretpostavili smo da je na svakom nivou faktora nezavisna grupa jedinica posmatranja, tj. da je faktor neponovljen. Isto tako, u prikazu dvofaktorijalne univarijacione analize varijanse u odeljku X.2. pretpostavili smo da su oba faktora neponovljena, tj. da je u svakoj eliji koja se dobija ukrtanjem nivoa dva faktora nezavisna grupa jedinica posmatranja. U ovom odeljku teksta prikazaemo jednofaktorijalnu univarijacionu analizu varijanse sa ponovljenim faktorom, kao i dvofaktorijalnu univarijacionu analizu varijanse u kojoj je jedan faktor ponovljen, a drugi neponovljen.1 Univarijaciona analiza varijanse sa jednim ponovljenim faktorom Ova analiza podrazumeva da su podaci na zavisnoj kvantitativnoj varijabli dobijeni korienjem nacrta sa ponovljenim merenjima ili nacrta sa randomizovanim blokovima. U nacrtu sa ponovljenim merenjima (eng. repeated measures design) ista grupa ispitanika ispituje se u pogledu jedne kvantitativne varijable dva ili vie puta, bilo u razliitim vremenskim trenucima ili u istom ogranienom vremenskom periodu ali u razliitim eksperimentalnim situacijama. Na primer, u ispitivanjima procesa zaboravljanja broj tano reprodukovanih besmislenih slogova registruje se za svakog od n ispitanika nakon 5 sati od zavretka uenja, posle 10 sati, posle 15 sati...Ili, u ispitivanjima efekta kategorije stimulusa (lica, smisaone scene, besmislene are) na prepoznavanje registruje se uspenost prepoznavanja prethodno izloenih stimulusa i to tako to se svakom ispitaniku izlau sve tri kategorije stimulusa (u tom sluaju kategorija stimulusa predstavlja ponovljeni faktor ).2 Svaki od n blokova u nacrtu sa randomizovanim blokovima (eng. randomized blocks design) predstavlja skup od g jedinica posmatranja koje su meusobno ujednaene po svim bitnim obelejima koja su u vezi sa zavisnom kvantitativnom varijablom. Jedinice posmatranja iz istog bloka tokom izvoenja istraivanja sluajno se rasporeuju postupcima randomizacije u g nivoa faktora. Na primer, u ispitivanju efekta g razliitih terapija na smanjenje depresivnosti formira se n homogenih blokova od po g pacijenata, a zatim se svakom od g pacijenata unutar istog bloka sluajno dodeljuje jedna od g vrsta terapija. Pri tome pacijenti unutar istog bloka ujednaeni su meusobno po poetnoj depresivnosti i svim varijablama koje mogu biti u vezi sa efektom terapije na smanjenje depresivnosti (uzrast, pol, brano stanje, imovno stanje, ostali zdravstveni pokazatelji...) Nacrt sa ponovljenim merenjima moe se posmatrati kao poseban sluaj nacrta sa randomizovanim blokovima u kojem svaka jedinica posmatranja predstavlja blok. Budui da se prikazi analize varijanse u ova dva nacrta razlikuju samo u notaciji ovde emo prikazati analizu varijanse u nacrtu sa ponovljenim merenjima. Struktura podataka:

Sluajni uzorak E iz populacije P ( n},1,=;e{= PiiE ) ispitivan je u g vremenskih trenutaka ili g eksperimentalnih situacija (g 2) u pogledu jedne kvantitativne zavisne

1 Podrobniji prikazi analize varijanse za ponovljena merenja u sloenijim nacrtima, kao i analize u kojima za pojedine faktore vai model sluajnih efekata mogu se proitati u Winer, 1970 i Howell, 2010. 2 Pojedinosti o samoj organizaciji istraivanja u ovakvim nacrtima, kao i o prednostima, nedostacima i problemima nacrta sa ponovljenim merenjima moe se proitati u Todorovi, 2008.

2

varijable v. Oznakom vk, k = 1, 2,..., g oznaiemo injenicu da su rezultati na istoj kvantitativnoj varijabli v dobijeni u g situacija. Rezultati za n jedinica posmatranja u g merenja varijable v bie tada u matrici X reda nxg, tj. u matrici sa n redova i g kolona:

X = E vk = (xik), i = 1, 2, ... , n; k = 1, 2, ... , g Svaki red matrice X sadri rezultate jedne jedinice posmatranja u g vremenskih taaka ili za g eksperimentalnih situacija. Kolone matrice X predstavljaju, dakle, nivoe ponovljenog faktora. Prema tome, u sluaju ponovljenog faktora u matrici podataka ne postoji, kao u sluaju neponovljenog faktora, posebna kategorika varijabla koja definie pripadnost jednom od nivoa faktora, ve su nivoi faktora definisani pripadnou rezultata odreenoj koloni matrice podataka.

Polazna struktura podataka koja slui za jednofaktorijalnu analizu varijanse sa ponovljenim merenjima moe se predstaviti na sledei nain (prvi indeks u oznakama elemenata ove matrice odnosi se na jedinicu posmatranja, tj. red matrice u kojoj je element, a drugi indeks govori o nivou faktora, tj. koloni matrice u kojoj se element nalazi):

Nivoi ponovljenog faktora Jedinica posmatranja

1 2 ... k ... g

e1 x11 x12 ... x1k ... x1g e2 x21 x22 ... x2k ... X2g ... ei xi1 xi2 ... xik ... xig ... en xn1 xn2 ... xnk ... xng

Dakle, rezultati u kolonama matrice, budui da potiu od istih jedinica posmatranja, nisu meusobno nezavisni ve su u korelaciji. Treba uoiti i to da matrica podataka sa ovakvom strukturom koja sadri samo dve kolone predstavlja osnovu za korienje t-testa za zavisne uzorke. Prema tome, jednofaktorijalna analiza varijanse sa ponovljenim faktorom predstavlja uoptenje t-testa za zavisne uzorke: t-test se moe koristiti samo kada postoje dva nivoa ponovljenog faktora dok se analiza varijanse moe koristiti i u situacijama kada ponovljeni faktor ima vie od dva nivoa.

Ka to smo to u odeljku X.1. ve objasnili, u jednofaktorijalnoj analizi varijanse sa neponovljenim faktorom ukupni varijabilitet na zavisnoj kvantitativnoj varijabli deli se na dva dela: unutargrupni i meugrupni varijabilitet. Pri tome, unutargrupni varijabilitet posmatra se kao sluajni varijabilitet, tj. kao posledica delovanja nesistematskih, sluajnih inilaca. Meutim, veliki deo unutargrupnog varijabiliteta posledica je individualnih razlika meu ispitanicima koje su postojale i pre istraivanja, a ijim bi se statistikim uklanjanjem u znatnoj meri mogla poveati osetljivost istraivanja u otkrivanju efekta faktora, tj. statistika snaga testa za testiranje nulte hipoteze. To se upravo postie korienjem nacrta sa ponovljenim faktorom. U jednofaktorijalnoj analizi varijanse sa ponovljenim faktorom iz ukupnog varijabiliteta na zavisnoj kvantitativnoj varijabli prvo se izdvaja varijabilnost koja je posledica individualnih razlika meu jedinicama posmatranja, a zatim se preostali varijabilitet deli na varijabilitet koji je (po pretpostavci) posledica delovanja ispitivanog faktora i rezidualni varijabilitet koji se smatra posledicom delovanja nekontrolisanih faktora (npr. greaka merenja, eksperimentalnih greaka i slino).

3

U skladu sa teorijskim strukturnim modelom ove analize, rezultat i-tog ispitanika na varijabli v na k-tom nivou ponovljenog faktora moemo posmatrati kao da je sastavljen od aritmetike sredine svih rezultata (M), odstupanja aritmetike sredine svih rezultata za i-tog ispitanika od aritmetike sredine svih rezultata (M) i odstupanja rezultata i-tog ispitanika na k-tom nivou faktora od aritmetike sredine svih rezultata za tog ispitanika:3

xik = M + (Mi - M) + (xik - Mi).

U ovom izrazu M je aritmetika sredina svih rezultata iz matrice podataka, a Mi je aritmetika sredina svih rezultata i-tog ispitanika, tj. aritmetika sredina rezultata u i-tom redu matrice podataka. Odavde se, budui da je xik - M = (Mi - M) + (xik - Mi), ukupni varijabilitet kvantitativne (zavisne) varijable moe razbiti na dve komponente:

g

1

n

1

22n

1

g

1

n

1

2 )Mx()MM(g)Mx(k i

iikiik i

ik

ili SSt = SSs + SSws

pri emu je: SSt ukupni zbir kvadriranih odstupanja; SSs zbir kvadriranih odstupanja izmeu ispitanika ili subjekata (eng. between subjects); SSws zbir kvadriranih odstupanja unutar ispitanika ili subjekata (eng. within subjects); n veliina uzorka, a g broj nivoa ponovljenog faktora. Uoimo da je SSs pokazatelj varijabiliteta na zavisnoj varijabli koji je posledica individualnih razlika meu jedinicama posmatranja (ispitanicima, subjektima), a da SSws sadri varijabilitet

3 Iskazan u terminima populacionih parametara, tj. kao strukturalni model jednofaktorijalnog nacrta analize varijanse sa ponovljenim faktorom, ovaj model ima sledei oblik:

Xik = + i + k + ik pri emu je oekivana vrednost, tj. ukupna aritmetika sredina u pogledu zavisne varijable, i parametar za i-tu jedinicu posmatranja, k parametar za efekat k-tog nivoa ponovljenog faktora, a ik predstavlja rezidualne efekte, tj. eksperimentalnu greku u vezi sa Xik. Teorijski, je nepoznata konstanta, i je sluajna varijabla koja po pretpostavci ima, na svakom nivou ispitivanog faktora, normalnu raspodelu sa parametrima 0 i 2. Budui da se u analizi koju prikazujemo u ovom odeljku teksta za ponovljeni faktor pretpostavlja model fiksnih efekata (engl. fixed effects model) parametar k je konstanta na k - tom nivou faktora, pri emu vai

0g

1

k

k

Na kraju, ik je sluajna varijabla (posledica nekontrolisanih izvora variranja) koja, na svakom nivou ispitivanog faktora, ima normalnu funkciju gustine sa oekivanom vrednou 0 i varijansom 2. Detaljnija objanjenja ovog strukturalnog modela i njegove veze sa samim postupkom analize koji je prikazan u tekstu moe se proitati u Winer (1970), str. 116 - 124.

4

koji je posledica delovanja ponovljenog faktora i nekontrolisanih varijacija (eksperimentalne greke). Dakle, za razliku od analize varijanse sa neponovljenim faktorom efekat ispitivanog faktora je ovde unutar ispitanika jer se isti ispitanik pojavljuje na svim nivoima tog faktora. Varijabilitet unutar ispitanika se moe dalje razloiti na dve komponente:

g

1

n

1

22g

1

g

1

n

1

2 )]MM()MM()Mx[()MM(n)Mx(k i

kiikkkk i

iik

ili SSws = SSB + SSres

Pri tome je: M aritmetika sredina svih rezultata iz matrice podataka; Mi aritmetika sredina svih rezultata i-tog ispitanika, tj. aritmetika sredina rezultata u i-tom redu matrice podataka; Mk aritmetika sredina rezultata svih ispitanika za k-ti nivo faktora, tj. aritmetika sredina rezultata u k-toj koloni matrice podataka; SSB zbir kvadriranih odstupanja za efekat faktora, tj. zbir kvadriranih odstupanja unutar ispitanika koja su posledica delovanja ponovljenog faktora B; SSres zbir rezidualnih kvadriranih odstupanja, tj. zbir kvadriranih odstupanja unutar ispitanika koja su posledica delovanja nesistematskih faktora, tj. eksperimentalnih greaka; Stoga se ukupni varijabilitet na zavisnoj varijabli moe razloiti na sledei nain:

SSt = SSs + (SSB + SSres)

Svakom od zbirova kvadriranih odstupanja odgovara odreeni broj stepeni slobode. Deljenjem zbira kvadriranih odstupanja sa odgovarajuim brojem stepeni slobode dobija se proseni kvadrat (engl. Mean Square) ili ocena varijanse koja govori o efektu datog izvora varijabiliteta na varijabilitet zavisne varijable. Pregled zbirova kvadriranih odstupanja, stepeni slobode i prosenih kvadrata za jednofaktorijalnu univarijacionu analize varijanse sa ponovljenim faktorom dat je u sledeoj tabeli:

IZVORI VARIRANJA

ZBIROVI KVADRATA

(SS)

STEPENI SLOBODE

(df)

PROSENI KVADRAT- OCENA VARIJANSE

Izmeu subjekata SSs n - 1 S2s (MSs) Unutar subjekata SSws n (g - 1) S2ws (MSws) Ponovljeni faktor B SSB (g - 1) S2B (MSB) Rezidual SSres (n-1) (g-1) S2res (MSres) UKUPNO SSt gn-1 S2t (MSt)

5

Testiranje statistikih hipoteza Odgovor na pitanje da li je u populaciji efekat ponovljenog faktora razliit od nule, tj. da li postoji uticaj ovog faktora na zavisnu varijablu dobijamo testiranjem nulte hipoteze: H0: k = 0, k, tj. 1 = 1 = 2 = = g ("U populaciji ne postoji efekat faktora") U formalnom definisanju nulte hipoteze, k predstavlja efekat k-tog nivoa faktora na zavisnu varijablu (k = k - ), k je aritmetika sredina zavisne varijable u populaciji za k-ti nivo faktora, a je globalna aritmetika sredina zavisne varijable u populaciji. Statistik za testiranje efekta ponovljenog faktora B, u oznaci F, dobija se na sledei nain:

2res

2B

SS

F

Statistik F, ako je H0 tano i ako su ispunjeni odreeni dodatni uslovi, ima kao svoju distribuciju uzorkovanja Snidikorovu funkciju gustine sa (g - 1) i (n - 1) (g -1) stepeni slobode. Na osnovu Snidikorove raspodele moemo izraunati verovatnou da statistik F na sluaj uzme vrednost koja je jednaka vrednosti statistika koju smo dobili na uzorku ili vea od te vrednosti. Ako je ova verovatnoa manja od odabranog nivoa znaajnosti (uobiajeno 0.05) moemo odbaciti H0 i tvrditi da postoji efekat faktora B.4 Naknadna poreenja Ako se globalna nulta hipoteza o nepostojanju efekta ponovljenog faktora na zavisnu varijablu odbaci esto je neophodno primeniti naknadne statistike testove kojima se utvruje koji nivoi faktora se statistiki znaajno razlikuju. Najpoznatiji postupci za naknadna poreenja su: najmanja znaajna razlika (eng. least significant difference LSD), Bonferonijev i idakov postupak. Svi ovi postupci zasnivaju se na poreenju nivoa ponovljenog faktora po parovima t-testom za zavisne uzorke. Meutim, u postupku najmanje znaajne razlike ne sprovodi se korekcija zbog viestrukih poreenja koja se izvode na istim podacima. U Bonferonijevom postupku korekcija za viestruka poreenja sprovodi se tako to se poetni nivo znaajnosti, tj. doputena verovatnoa greke pri odbacivanju tane nulte hipoteze deli brojem poreenja i dobijena vrednost koristi kao kriterijum za odbacivanje nulte hipoteze. Ako ponovljeni faktor ima g nivoa tada je

mogue napraviti 2

)1g(gr poreenja po parovima, pa je razlika znaajna ako je

verovatnoa greke I tipa za tu razliku manja ili jednaka r)1g(g

2 uu

pri emu je u

poetna verovatnoa greke I tipa za sva poreenj, r broj poreenja, a g broj nivoa faktora. Prema tome, primena Bonferonijevog postupka u sluaju kada ponovljeni faktor ima 3 nivoa i kada je kao nivo znaajnosti odabran nivo 0.05 znai da se svaka testirana razlika proglaava znaajnom tek kada je verovatnoa greke I tipa za tu razliku manja ili jednaka

4 U programu PASW (ranije SPSS) ova verovatnoa moe se izraunati pomou komande Compute, korienjem funkcije Sig.F(quant,df1, df2) tako to se kao vrednost argumenta quant ubaci vrednost F statistika koju smo dobili na uzorku, a kao vrednosti argumenata df1 i df2 stepeni slobode za brojilac i za imenilac, tim redom. Isto to, moe se postii i raunanjem vrednosti izraza 1-CDF.F(quant,df1, df2).

6

305.0

, tj. 0.017. Na taj nain obezbeuje se da poetna verovatnoa greke, tj. verovatnoa

greke I tipa u statistikom zakljuivanju za sva 3 poreenja bude na unapred odreenom nivou 0.05. Prema modifikaciji Bonferonijevog postupka koju je predloio idak doputena verovatnoa greke I tipa za svaku razliku koja se testira rauna se na sledei nain:

)1g(g2

ur1

u )1(1)1(1 . Primena idakovog postupka u sluaju kada ponovljeni

faktor ima 3 nivoa i kada je kao nivo znaajnosti odabran nivo 0.05 znai da se svaka testirana razlika proglaava znaajnom tek kada je verovatnoa greke I tipa za tu razliku

manja ili jednaka 31

)05.01(1 , tj. 0.017. Veliina efekta Kada odbacimo nultu hipotezu o efektu ponovljenog faktora na zavisnu varijablu ima smisla izraunati i neku od mera veliine tog efekta. Postoje razliite mere veliine efekta a mi emo ovde prikazati dve: kvadrirani parcijalni eta koeficijent i kvadrirani omega koeficijent. Kvadrirani parcijalni eta koeficijent za efekat ponovljenog faktora, u oznaci 2B, rauna se na sledei nain:

ws

B

resb

B2B SS

SSSSSS

SS

pri emu je SSB zbir kvadriranih odstupanja za efekat ponovljenog faktora, SSres zbir rezidualnih kvadriranih odstupanja, a SSws zbir kvadriranih odstupanja unutar ispitanika. Kvadrirani omega koeficijent za efekat ponovljenog faktora, u oznaci 2B, rauna se na sledei nain:

)MSMS(g*n1g

gMSMSMS

)MSMS(g*n1g

resBress

res

resB2B

Kvadrirani eta koeficijent je pristrasni, a kvadrirani omega koeficijent je nepristrasni ocenitelj veliine efekta u populaciji. Za obe mere veliine efekta primenjuje se sledea kategorizacija:

do 0.05: mali efekat; od 0.06 do 0.13: srednji efekat; preko 0.13: veliki efekat.

7

Uslovi za primenu jednofaktorijalne univarijacione analize varijanse sa jednim ponovljenim faktorom 1. Nezavisnost opservacija unutar svakog nivoa ponovljenog faktora. To praktino znai da na jednom odreenom nivou faktora ne sme biti vie rezultata koji potiu od iste jedinice posmatranja.Ovaj uslov obezbeuje se uzimanjem sluajnog uzorka. Treba uoiti da ovaj uslov znai da su rezultatai unutar nivoa, tj. na odreenom nivou ponovljenog faktora meusobno nezavisni. Budui da je faktor ponovljen, rezultati na razliitim nivoima nisu nezavisni, tj. meusobno su korelisani; 2. Normalnost distribucije zavisne varijable u populaciji na svakom nivou faktora; 3. Jedan od najvanijih uslova od kojega pre svega zavisi da li e nulta distribucija uzorkovanja statistika F odgovarati Snidikorovoj funkciji gustine sa (g - 1) i (n - 1) (g -1) stepeni slobode jeste uslov sferinosti (eng. sphericity). Da bismo opisali ovaj uslov posmatraemo kolone matrice podataka koja slui za analizu varijanse kao posebne varijable i, zatim, na osnovu g ovih varijabli napraviti g-1 razlika izmeu parova ovih varijabli. Na primer, ako ponovljeni faktor ima tri nivoa (g = 3), tada emo na osnovu razlika rezultata na zavisnoj varijabli za prvi i drugi nivo faktora i razlika rezultata za prvi i trei nivo faktora dobiti dve nove varijable razlika. Uslov sferinosti zahteva da matrica kovarijansi u populaciji za ove varijable razlika, koje su transformisane na odreeni nain, bude matrica sa jednakim dijagonalnim elementima i sa svim vandijagonalnim elementima jednakim nuli.5 Najpoznatiji statistiki test za proveru ispunjenosti uslova sferinosti jeste Molijev test. Meutim, simulacione studije pokazale su da korienje ovog testa za proveru uslova sferinosti ne daje dobre rezultate.

Budui da je uslov "sferinosti" veoma restriktivan i, po svoj prilici, vrlo retko ispunjen u realnim uslovima analize podataka u psihologiji do sada su predloena dva tipa alternativnih reenja za primenu analize varijanse kada ovaj uslov nije ispunjen: 1. mutivarijacioni pristup i 2. korekcija stepeni slobode koji slue kao parametri nulte distribucije uzorkovanja statistika F.

Multivarijacioni pristup se sastoji u tome da se razlike izmeu rezultata na zavisnoj varijabli za odreeni broj parova nivoa ponovljenog faktora posmatraju kao zasebne zavisne varijable i da se na tako dobijenim varijablama razlika primeni multivarijaciona analiza varijanse. Na taj nain, na osnovu rezultata na zavisnoj varijabli za g nivoa dobija se g-1 zavisnih varijabli za multivarijacionu analizu varijanse. Ovaj pristup nece biti podrobnije prikazan u ovom tekstu.6 Postupci za korigovanje stepeni slobode zasnivaju se na oceniteljima parametra neispunjenosti uslova sferinosti. Najpoznatiji ocenitelji parametra neispunjenosti uslova sferinosti su Grinhaus-Gajserov (Greenhouse-Geisser) i Hajn-Feldtov (Huynh-Feldt) ocenitelj. Postupak korekcije stepeni slobode svodi se jednostavno na mnoenje stepeni 5 Ako je matrica kovarijansi netransformisanih varijabli koje predstavljaju rezultate na zavisnoj varijabli po pojedinim nivoima ponovljenog faktora, a C neka transformaciona matrica, uslov sferinosti zahteva da populaciona matrica kovarijansi ortonormalnog skupa od g - 1 transformisanih varijabli (koje su od g netransformisanih varijabli dobijene tako da budu meusobno nekorelisane ortogonalne i da zbir kvadriranih koeficijenata za svaku od g-1 transformisanih varijabli bude jednak jedinici ) bude skalarna matrica, tj. matrica iji su svi dijagonalni elementi meusobno jednaki, a svi vandijagonalni elementi jednaki nuli. Jednostavnije reeno, matrica kovarijansi transformisanih varijabli u populaciji bie matrica CtC, reda (g-1)x(g-1), pri emu je CtC = 2I, 2 varijansa svake od transformisanih varijabli u populaciji, a I matrica identiteta. 6 Zainteresovani italac pojedinosti o ovakvom pristupu primeni jednofaktorijalne analize varijanse sa ponovljenim faktorom moe nai u Stevens, 2002 (pp. 497500) ili O'Brien & Kaiser, 1985.

8

slobode koji odgovaraju brojiocu i imeniocu F kolinika dobijenom ocenom parametra neispunjenosti uslova sferinosti. Verovatnoa da statistik F uzme vrednost jednaku onoj koja je dobijena na uzorku ili veu od te vrednosti odreuje se potom na osnovu Snidikorove raspodele iji su parametri korigovani stepeni slobode. Budui da Grinhaus-Gajserov ocenitelj tei da potcenjuje, a Hajn-Feldtov ocenitelj da precenjuje parametar, za korigovanje stepeni slobode za brojilac i imenilac statistika F smisaono je upotrebiti prosenu vrednost ocena parametra neispunjenosti uslova sferinosti koje su dobijene ovim oceniteljima. ************************************************************************** Za definisanje jednofaktorijalne analize varijanse sa ponovljenim faktorom u verziji 11.5 programa SPSS treba odabrati Analyze/General Linear Model/Repeated Measures. U prozoru za dijalog koji se prvi pojavi a iji naslov je Repeated Measures Define Factor(s) (slika 1) treba kliknuti u polje Within-Subjects factor name i umesto ponuenog imena factor1 treba upisati ime ponovljenog faktora. Budui da ponovljeni faktor nije u podacima definisan jednom posebnom varijablom (kao to je to sluaj kod neponovljenog faktora) ve svaki nivo ponovljenog faktora predstavlja posebnu kolonu (varijablu u editoru za podatke) ime tog faktora pri definisanju procedure odreuje sam korisnik. Kada se ime ponovljenog faktora upie u polje Within-Subjects factor name treba kliknuti u polje Number of levels i u to polje upisati broj nivoa ponovljenog faktora i potom kliknuti da dugme Add. Klikom na dugme Define prelazi se u prozor za dijalog Repeated measures. U ovom prozoru treba imena varijabli u kojima se nalaze nivoi ponovljenog faktora prebaciti iz levog spiska u okvir Within-Subjects Variables vodei rauna o redosledu nivoa (v. prozor Repeated measures na slici 1). Klikom na dugme Options u poddijalogu Repeated Measures: Options mogue je, izmeu ostalog:

- zatraiti aritmetike sredine i standardne devijacije po nivoima ponovljenog faktora ukljuivanjem opcije Descriptive statistics;

- zatraiti testiranje znaajnosti razlika izmeu svih nivoa ponovljenog faktora

prebacivanjem imena ponovljenog faktora iz okvira Factor(s) and Factor Interactions u okvir Display Means for, ukljuivanjem opcije Compare main effects i odabirom opcije LSD(none), Bonferoni ili idak u polju Confidence interval adjustment;

- promeniti poetni nivo znaajnosti za viestruka poreenja, tj. dopustivu

verovatnou greke I tipa za sva naknadna poreenja upisivanjem, umesto 0.05, odgovarajue verovatnoe manje od 0.05 u polje Significance level.

9

Slika 1. Prozori za dijalog General Linear Model/Repeated Measures programa SPSS 11.5

10

Primer: Postoji li uticaj liavanja spavanja na motoriku uspenost? Na istom sluajnom uzorku 10 ispitanika ispitivana je uspenost u izvoenju

odreene motorne vetine posle 24, 48 i 64 sati nespavanja. Uspenost u izvoenju merena je brojem greaka pri izvoenju ove vetine. Podaci su organizovani u tri varijable: varijabla mot24hns sadrala je za svakog ispitanika broj greaka pri izvoenju ove vetine posle 24 sata nespavanja, varijabla mot48hns broj greaka posle 48 sati nespavanja, a varijabla mot64hns broj greaka posle 64 sata nespavanja. Da bi se ustanovilo postoji li efekat liavanja spavanja na uspenost u izvoenju motorne vetine primenjena je jednofaktorijalna univarijaciona analiza varijanse sa duzinom nespavanja kao ponovljenim faktorom, a ukupnim brojem greaka pri izvoenju kao zavisnom varijablom. Prozori za dijalog u kojima je definisana statistika procedura prikazani su na slici 1. Ispis iz ove procedure izgleda ovako: General Linear Model

Within-Subjects Factors

Measure: MEASURE_1

MOT24HNSMOT36HNSMOT48HNS

DUZNSP1

2

3

Dependent Variable

U tabeli Within-Subjects Factors prikazano je ime ponovljenog faktora koje je definisano u prozoru za dijalog Repeated Measures Define Factor(s) (DUZNSP) i imena varijabli u kojima su rezultati sa testa motorike vetine na tri nivoa faktora duine nespavanja.

Descriptive Statistics

1,40 1,350 10

2,50 1,780 10

5,00 2,055 10

MOT24HNS Broj_gresaka_u_zadatku_motorne_vestineposle 24 h nespavanja



Mean Std. Deviation N

U tabeli Descriptive statistics prikazane su aritmetike sredine (Mean), standardne devijacije (Std.Deviation) i veliina uzorka, tj. broj rezultata (N) za pojedine nivoe faktora. Tabele iji naslov je Multivariate Tests prikazuju rezultate multivarijacionog pristupa analizi varijanse sa ponovljenim faktorom. Ove tabele neemo ovde komentarisati budui

11

da razumevanje multivarijacionog pristupa podrazumeva korienje pojmova matrine algebre. Multivarijacioni pristup u ovom primeru ne bi, inae, ni bio najadekvatniji budui da je uzorak veoma mali.

Multivariate Testsb

,866 25,960a 2,000 8,000 ,000

,134 25,960a 2,000 8,000 ,000

6,490 25,960a 2,000 8,000 ,000

6,490 25,960a 2,000 8,000 ,000

Pillai's Trace

Wilks' Lambda

Hotelling's Trace

Roy's Largest Root

EffectDUZNSP

Value F Hypothesis df Error df Sig.

Exact statistica.

Design: Intercept Within Subjects Design: DUZNSP

b.

Mauchly's Test of Sphericityb

Measure: MEASURE_1

,496 5,609 2 ,061 ,665 ,736 ,500Within Subjects EffectDUZNSP

Mauchly's WApprox.

Chi-Square df Sig.Greenhouse-

Geisser Huynh-Feldt Lower-bound

Epsilona

Tests the null hypothesis that the error covariance matrix of the orthonormalized transformed dependent variables is proportional toan identity matrix.

May be used to adjust the degrees of freedom for the averaged tests of significance. Corrected tests are displayed in the Tests of Within-SubjectsEffects table.

a.

Design: Intercept Within Subjects Design: DUZNSP

b.

U tabeli Mauchlys Test of sphericity prikazani su rezultati provere opravdanosti pretpostavke o sferinosti kao veoma vanom uslovu za korienje Snidikorove funkcije gustine sa g - 1 i (n - 1) (g - 1) stepeni slobode kao nulte distribucije uzorkovanja statistika F. Meutim, na ishode ovog testa se ne treba mnogo oslanjati. Bolje je, umesto toga, uporediti ishode testiranja globalne nulte hipoteze u tabeli Tests of Within-Subjects Effects koji se dobijaju pod pretpostavkom sferinosti (red Sphericity Assumed) sa ishodima Grinhaus-Gajserove (red Greenhouse-Geisser) ili Hajn-Feldtove (red Huynh-Feldt) korekcije za nesferinost. Pregledom tabele Tests of Within-Subjects Effects vidi se da se ovi postupci razlikuju prema broju stepeni slobode kojima se definie nulta distribucija uzorkovanja statistika F. Ukoliko se verovatnoe dobijanja statistika F veeg ili jednakog onom koji je dobijen na konkretnom uzorku (kolona Sig) iz ova tri postupka ne razlikuju bitno tada se ne treba brinuti za pretpostavku sferinosti. Ukoliko su, pak, ishodi ovih postupaka (verovatnoe u koloni Sig) bitno razliiti, tj. ukoliko od izbora postupka zavisi da li e nulta hipoteza biti odbaena ili nee biti odbaena tada je najbolje primeniti sledei postupak: 1. Nai prosek ocena parametra nesferinosti dobijenih primenom Grinhaus-Gajserovovog i Hajn-Feldtovog ocenitelja (kolone Greenhouse-Geisser i Huynh-Feldt) u odeljku pod naslovom Epsilon u tabeli Mauchly test of sphericity. (U primeru iz ispisa prosena ocena parametra nesferinosti jednaka je 0.7005);

12

2. Korigovati stepene slobode za brojilac i imenilac statistika F pod pretpostavkom sferinosti njihovim mnoenjem dobijenom prosenom ocenom parametra nesferinosti. Stepeni slobode za brojilac i imenilac statistika F pod pretpostavkom sferinosti dati su u koloni df tabele Tests of Within-Subjects Effects: u redu Sphericity assumed u delu tabele koji je oznaen imenom ponovljenog faktora nalaze se stepeni slobode za brojilac, a u redu Sphericity assumed u delu tabele koji je oznaen imenom Error (ime ponovljenog faktora) nalaze se stepeni slobode za imenilac.7 (U primeru iz ispisa odgovarajui brojevi stepeni slobode za brojilac i imenilac statistika F iznose 2 i 18, tim redom. Korigovani stepeni slobode bili bi u ovom sluaju jednaki 1.40 i 12.61). 3. Korienjem komande Transform/Compute i funkcije CDF.F(q, df1, df2) izraunati verovatnou da, ako je nulta hipoteza o efektu ponovljenog faktora tana, statistik F kao sluajna varijabla uzme neku vrednost jednaku ili veu od dobijene vrednosti statistika F. Pri tome argument q u funkciji CDF.F predstavlja dobijenu vrednost statistika F, a argumenti df1 i df2 predstavljaju korigovane stepene slobode za brojilac i imenilac statistika F, tim redom. Isto tako, budui da funkcija CDF.F daje verovatnou da statistik F kao sluajna varijabla uzme neku vrednost manju ili jednaku od dobijene vrednosti statistika F, verovatnou koja se dobija ovom funkcijom treba oduzeti od 1. (Sintaksa komande Transform/Compute za primer iz ispisa izgledala bi ovako: COMPUTE Sig = 1-CDF.F(23.622,1.40,12.61) . EXECUTE. Traena verovatnoa u ovom sluaju jednaka je 0.00014.8 Postupak koji smo prikazali nije bilo nuno primeniti na primeru iz ispisa. Naime, kao to se pregledom tabele Tests of Within-Subjects Effects moe videti, ishodi testiranja nulte hipoteze prema kojoj u populaciji iz koje je uzorak nema efekta duzine nespavanja na uspenost u izvoenju ove motorne vetine praktino su isti za sve postupke (verovatnoe u koloni Sig su u svim sluajevima veoma male).

Tests of Within-Subjects Effects

Measure: MEASURE_1

68,067 2 34,033 23,622 ,00068,067 1,330 51,185 23,622 ,00068,067 1,473 46,210 23,622 ,00068,067 1,000 68,067 23,622 ,00125,933 18 1,44125,933 11,968 2,16725,933 13,257 1,95625,933 9,000 2,881

Sphericity Assumed

Greenhouse-Geisser

Huynh-Feldt

Lower-bound

Sphericity Assumed

Greenhouse-Geisser

Huynh-Feldt

Lower-bound

SourceDUZNSP

Error(DUZNSP)

Type III Sumof Squares df Mean Square F Sig.

Prema tome, nultu hipotezu u ovom sluaju treba odbaciti. To znai da moemo zakljuiti da duzina nespavanja utie na uspenost u izvoenju ove motorne vetine.

7 Pod pretpostavkom sferinosti broj stepeni slobode za brojilac statistika F jednak je g - 1, a broj stepeni slobode za imenilac statistika F jednak je (n - 1) (g - 1), pri emu je g broj nivoa ponovljenog faktora a n veliina uzorka. 8 U verziji 18 programa PASW ova verovatnoa moe se dobiti i funkcijom Sig.F(quant, df1, df2).

13

Tests of Within-Subjects Contrasts

Measure: MEASURE_1

64,800 1 64,800 41,070 ,000

3,267 1 3,267 2,506 ,148

14,200 9 1,578

11,733 9 1,304

DUZNSPLinear

Quadratic

Linear

Quadratic

SourceDUZNSP

Error(DUZNSP)


Tests of Between-Subjects Effects

Measure: MEASURE_1

Transformed Variable: Average

264,033 1 264,033 41,714 ,000

56,967 9 6,330

SourceIntercept

Error


Tabela Tests of Between-Subjects Effects u sluaju kada postoji samo jedan ponovljen faktor uobiajeno nema interpretativni znaaj.

Pairwise Comparisons

Measure: MEASURE_1

-1,100* ,314 ,020 -2,019 -,181-3,600* ,562 ,000 -5,242 -1,9581,100* ,314 ,020 ,181 2,019

-2,500* ,671 ,014 -4,461 -,5393,600* ,562 ,000 1,958 5,2422,500* ,671 ,014 ,539 4,461

(J) DUZNSP2

3

1

3

1

2

(I) DUZNSP1

2

3

MeanDifference (I-J) Std. Error Sig.a Lower Bound Upper Bound

95% Confidence Interval forDifference a

Based on estimated marginal meansThe mean difference is significant at the ,05 level.*.

Adjustment for multiple comparisons: Sidak.a.

U tabeli Pairwise Comparisons prikazani su rezultati testova viestrukih poreenja, tj. testova za proveru znaajnosti razlika aritmetikih sredina na zavisnoj varijabli izmeu svih parova nivoa faktora. Budui da je pri definisanju procedure tako definisano (videti prozor Repeated Measures: Options na slici 1) viestruka poreenja izvedena su korienjem idakovog postupka sa poetnim nivoom znaajnosti na nivou 0.05. Oznake I i J u toj tabeli slue kao opte oznake dva razliita nivoa ponovljenog faktora, a pojedini odreeni nivoi faktora oznaeni su ciframa 1, 2 i 3. Znaajne razlike su u koloni Mean Difference obeleene zvezdicom. Kao to se iz ove tabele moe videti, statistiki znaajna

14

razlika postoji izmeu 1. i 2. nivoa, 1. i 3. nivoa, kao i izmeu 2. i 3. nivoa. Budui da ova tri poreenja iscrpljuju mogua poreenja kod faktora sa tri nivoa zakljuak je u ovom sluaju veoma jednostavan: svaki nivo faktora se znaajno razlikuje od svakog drugog. (U tumaenju rezultata potrebno je uz ovu tabelu pogledati i tabelu Descriptive statistics). Na osnovu rezultata dobijenih analizom koja je prikazana u ovom ispisu moemo doneti sledei zakljuak: Postoji nepovoljan uticaj liavanja spavanja na izvoenje ispitivane motorne vetine: kako se vreme liavanja spavanja poveava uspenost u izvoenju motorne vetine se progresivno pogorava.

15

Dvofaktorijalna univarijaciona analiza varijanse sa jednim neponovljenim i jednim ponovljenim faktorom U analizi koju smo prikazali u prethodnom odeljku teksta pretpostavili smo da se jedna ista grupa ispitanika izlae svim nivoima ponovljenog faktora. Analiza varijanse koju emo prikazati u ovom odeljku podrazumeva da je nekoliko istih grupa (dve ili vie) ispitanika prisutno na svim nivoima ponovljenog faktora. Faktor koji definie pripadnost grupi u tom sluaju predstavlja neponovljen faktor. Na primer, na poetku procesa uenja odreenog gradiva mogue je ispitanike sluajno podeliti u dve grupe, pri emu svaka od grupa ui gradivo razliitom metodom. Zatim se ispitanici obeju grupa proveravaju u pogledu koliine zapamenog gradiva neposredno po isteku vremena predvienog za uenje, nakon jednog dana i nakon jednog meseca. U ovom primeru zavisna varijabla je koliina zapamenog gradiva, metoda uenja predstavlja neponovljen faktor sa dva nivoa, a vreme proteklo od zavretka uenja predstavlja ponovljen faktor sa tri nivoa (nivoi su "neposredno po zavretku procesa uenja", "posle jednog dana" i "nakon jednog meseca"). Analiza varijanse koju emo prikazati u ovom odeljku podrazumeva model fiksnih efekata za oba faktora.9 Struktura podataka: U formalnim prikazima analize varijanse sa jednim neponovljenim i jednim ponovljenim faktorom neponovljeni faktor oznaiemo slovom A, a ponovljen faktor slovom B. U prikazu strukture podataka za ovu analizu pretpostaviemo da je sluajni uzorak E iz populacije P ( n},1,=i;e{= i PE ) podeljen u dve ili vie grupa po prirodi strukture populacije ili postupkom randomizacije i da je svaka od grupa koje ine uzorak ispitivana u pogledu jedne kvantitativne zavisne varijable v u g vremenskih trenutaka ili g eksperimentalnih situacija (g 2). Pripadnost jednoj od subpopulacija heterogene populacije ili jednoj od eksperimentalnih grupa definisana je kategorikom varijablom Q koja se sastoji od p kategorija i predstavlja neponovljen faktor. Kategorika varijabla Q kodirana je kao faktor.10 Dakle, pripadnost ispitanika odreenom nivou neponovljenog faktora oznaena je jednom cifarskom oznakom. Oznakom vk, k = 1, 2,..., g oznaiemo injenicu da su rezultati na istoj kvantitativnoj varijabli v dobijeni u g situacija.

Rezultati za n jedinica posmatranja koje su podeljene u p grupa u g merenja varijable v bie tada u matrici X, reda nx(g+1) koja predstavlja konkatenaciju matrice B, reda nxg:

B = E vk = (xik), i = 1, 2, ... ,n; k = 1, 2, ... ,g

i vektora a, reda nx1, iji elementi su definisani na sledei nain: ei = aj ei qj, i = i = 1, 2, ... ,n

Dakle, u vektoru a, ispitanik ei dobija oznaku aj, tj. cifarsku oznaku nivoa neponovljenog faktora kojem pripada11. Svaki red matrice X sadri rezultate na zavisnoj varijabli jedne jedinice posmatranja u g vremenskih taaka ili za g eksperimentalnih situacija i u 9 Kao to smo to ve objasnili u odeljku IX. 1. fiksni faktor je onaj ije su sve mogue kategorije, tj. nivoi ukljueni u istraivanje ili je, pak, od veeg broja nivoa namerno odabran samo manji broj nivoa, dok je kod sluajnih faktora u istraivanje ukljuen sluajno izabrani podskup kategorija ili nivoa faktora iz mnogo veeg skupa moguih kategorija, tj. nivoa datog faktora. 10 O nainima kodiranja kategorike varijable moe se videti u glavi V, odeljak V.1. 11 Terminom konkatenacija oznaili smo injenicu da je kolonski vektor a pridruen kao poslednja kolona matrici B.

16

posebnoj koloni oznaku grupe ili nivoa neponovljenog faktora kojem ta jedinica posmatranja pripada.

Polazna struktura podataka koja slui za dvofaktorijalnu analizu varijanse sa jednim neponovljenim i jednim ponovljenim faktorom moe se predstaviti na sledei nain (prvi indeks u oznakama elemenata matrice odnosi se na jedinicu posmatranja, tj. red matrice u kojoj je element, drugi indeks oznaava kojem nivou neponovljenog faktora pripada odreena jedinica posmatranja, a trei indeks govori o nivou ponovljenog faktora):

Nivoi ponovljenog faktora B Jedinica

posmatranja ("Subjekt")

Grupna pripadnost ili pripadnost jednom od nivoa neponovljenog faktora A

1 2 ... k ... g

e1 a1 x111 x112 ... x11k ... x11g e2 ... x211 x212 ... x21k ... x21g ... ... ... ... ... ... ... ... ei a2 xi21 xi22 ... xi2k ... xi2g ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ei aj xij1 xij2 ... xijk ... xijg ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... en ap xnp1 xnp2 ... xnpk ... xnpg

(Pune horizontalne linije u matrici razdvajaju jedinice posmatranja koje pripadaju

razliitim nivoima neponovljenog faktora. Redovi za razliite jedinice posmatranja unutar istog nivoa neponovljenog faktora razdvojeni su isprekidanim linijama). U skladu sa teorijskim strukturnim modelom ove analize, rezultat xijk, tj. rezultat na varijabli v za i-tu jedinicu posmatranja, koji pripada j-tom nivou neponovljenog faktora i k-tom nivou ponovljenog faktora moemo posmatrati kao da je sastavljen od aritmetike sredine svih rezultata (M), efekta j-tog nivoa neponovljenog faktora, efekta individualnih razlika unutar istog nivoa neponovljenog faktora, efekta k-tog nivoa ponovljenog faktora, efekta interakcije neponovljenog i ponovljenog faktora i efekta interakcije ponovljenog faktora i individualnih razlika unutar istog nivoa neponovljenog faktora.12 Ukupni varijabilitet kvantitativne (zavisne) varijable razlae se u ovoj analizi na dve osnovne komponente:

SSt = SSb + SSw 12 Iskazan u terminima populacionih parametara, tj. kao strukturalni model dvofaktorijalnog nacrta analize varijanse sa jednim neponovljenim i jednim ponovljenim faktorom, ovaj model ima sledei oblik:

Xijk = + j + i(j) + k + jk + ki(j) + i(jk) pri emu je oekivana vrednost, tj. ukupna aritmetika sredina u pogledu zavisne varijable, j parametar za efekat j-tog nivoa neponovljenog faktora, i(j) parametar za efekat individualnih razlika na j-tom nivou neponovljenog faktora, k parametar za efekat k-tog nivoa ponovljenog faktora, jk parametar za interakciju neponovljenog i ponovljenog faktora, ki(j) parametar za interakciju ponovljenog faktora i individualnih razlika na j-tom nivou neponovljenog faktora, a i(jk) predstavlja rezidualne efekte, tj. eksperimentalnu greku u vezi sa Xijk.

17

pri emu je: SSt Ukupni zbir kvadriranih odstupanja na zavisnoj varijabli v; SSb Zbir kvadriranih odstupanja izmeu ispitanika ili subjekata (eng. between subjects); SSw Zbir kvadriranih odstupanja unutar ispitanika ili subjekata (eng. within subjects); Svaka od ove dve osnovne komponente varijabilnosti u zavisnoj varijabli razlae se dalje na sledei nain: a) Zbir kvadriranih odstupanja izmeu subjekata razlae se na zbir kvadriranih odstupanja za efekat neponovljenog faktora A (SSA), i zbir kvadriranih odstupanja za subjekte unutar grupa (SSswg):

SSb = SSA + SSswg b) Zbir kvadriranih odstupanja unutar subjekata razlae se na zbir kvadriranih odstupanja za efekat ponovljenog faktora B (SSB), zbir kvadriranih odstupanja za interakciju neponovljenog i ponovljenog faktora (SSAB) i zbir kvadriranih odstupanja za interakciju ponovljenog faktora i subjekata unutar grupa (SSBxswg):

SSw = SSB + SSAB + SSBxswg

Svakom od zbirova kvadriranih odstupanja odgovara odreeni broj stepeni slobode. Deljenjem zbira kvadriranih odstupanja sa odgovarajuim brojem stepeni slobode dobija se proseni kvadrat (engl. Mean Square) ili ocena varijanse koja govori o efektu datog izvora varijabiliteta na varijabilitet zavisne varijable. Pregled zbirova kvadriranih odstupanja, stepeni slobode i prosenih kvadrata za dvofaktorijalnu univarijacionu analize varijanse sa jednim ponovljenim i jednim neponovljenim faktorom dat je u sledeoj tabeli:

IZVORI VARIRANJA ZBIROVI KVADRATA

(SS)

STEPENI SLOBODE

(df)

PROSENI KVADRAT- OCENA

VARIJANSE Izmeu subjekata Neponovljeni faktor A Subjekti unutar grupa

SSb SSA

SSswg

np 1 p-1

p(n-1)

S2b (MS b) S2A (MSA)

S2swg (MSswg)

Unutar subjekata Ponovljeni faktor (B) Interakcija faktora (A x B) B x subjekti unutar grupa

SSw SSB

SSAB SSBxswg

np(g - 1) g-1

(p-1) (g-1) p(n-1)(g-1)

S2w (MSw) S2B (MSB)

S2AB (MSAB) S2Bxswg (MSBxswg)

18

Testiranje statistikih hipoteza Testiranje hipoteze o interakciji neponovljenog i ponovljenog faktora Statistik za testiranje nulte hipoteze o interakciji neponovljenog faktora A i ponovljneog faktora B H0: jk = 0, jk, ("U populaciji ne postoji interakcija faktora A i B") dobija se na sledei nain:

2Bxswg

2AB

SS

F

Statistik F, ako je H0 tano i ako su ispunjeni odreeni dodatni uslovi, ima kao distribuciju uzorkovanja Snidikorovu funkciju gustine sa (p - 1) (g-1) i p(n - 1) (g-1) stepeni slobode. Na osnovu Snidikorove raspodele moemo izraunati verovatnou da statistik F na sluaj uzme vrednost koja je jednaka vrednosti statistika koju smo dobili na uzorku ili vea od te vrednosti. Ako je ova verovatnoa manja od odabranog nivoa znaajnosti (uobiajeno 0.05) moemo odbaciti H0 i tvrditi da postoji interakcija faktora A i B. Testiranje hipoteza o glavnim efektima faktora a) Testiranje hipoteze o efektu ponovljenog faktora: Odgovor na pitanje da li je u populaciji efekat ponovljenog faktora B razliit od nule, tj. da li postoji uticaj ovog faktora na zavisnu varijablu dobijamo testiranjem nulte hipoteze: H0: k = 0, k, tj. 1 = 1 = 2 = = g ("U populaciji ne postoji efekat faktora B") U formalnom definisanju nulte hipoteze, k predstavlja efekat k-tog nivoa faktora na zavisnu varijablu (k = k - ), k je aritmetika sredina zavisne varijable u populaciji za k-ti nivo faktora, a je globalna aritmetika sredina zavisne varijable u populaciji. Statistik za testiranje efekta ponovljenog faktora B, u oznaci F, dobija se na sledei nain:

2Bxswg

2B

SS

F

Statistik F, ako je H0 tano i ako su ispunjeni odreeni dodatni uslovi, ima kao distribuciju uzorkovanja Snidikorovu funkciju gustine sa (g - 1) i p(n - 1) (g -1) stepeni slobode. Na osnovu Snidikorove raspodele moemo izraunati verovatnou da statistik F na sluaj uzme vrednost koja je jednaka vrednosti statistika koju smo dobili na uzorku ili vea od te vrednosti. Ako je ova verovatnoa manja od odabranog nivoa znaajnosti (uobiajeno 0.05) moemo odbaciti H0 i tvrditi da postoji efekat faktora B na zavisnu varijablu. b) Testiranje nulte hipoteze o efektu neponovljenog faktora A:

19

H0: j = 0, j, tj. 1 = 2 = = p ("U populaciji ne postoji efekat faktora A na zavisnu varijablu") izvodi se F-testom. Statistik za testiranje postojanja efekta neponovljenog faktora A, u oznaci F, dobija se na sledei nain:

2swg

2A

SS

F

Statistik F, ako je H0 tano i ako su ispunjeni odreeni dodatni uslovi, ima kao distribuciju uzorkovanja Snidikorovu funkciju gustine sa (p - 1) i p(n - 1) stepeni slobode. Na osnovu Snidikorove raspodele moemo izraunati verovatnou da statistik F na sluaj uzme vrednost koja je jednaka vrednosti statistika koju smo dobili na uzorku ili vea od te vrednosti. Ako je ova verovatnoa manja od odabranog nivoa znaajnosti (uobiajeno 0.05) moemo odbaciti H0 i tvrditi da postoji efekat faktora A na zavisnu varijablu. Naknadni testovi

Po odbacivanju odreene nulte hipoteze mogue je primeniti naknadna poreenja. Mogue je, na primer, ako postoji interakcija izmeu faktora ispitivati proste efekte ponovljenog faktora na svakom nivou neponovljenog faktora ili proste efekte neponovljenog faktora za svaki nivo ponovljenog faktora. Ukoliko za neki od faktora postoji glavni efekat, a faktor ima vie od dva nivoa, mogue je vriti naknadna poreenja kojima bi se ustanovilo meu kojim nivoima datog faktora postoji statistiki znaajna razlika. Isto tako, mogue je izvoditi planirane, tj. apriorne kontraste. Podrobnija objanjenja ovih postupaka mogu se nai u udbenicima koji su specifino namenjeni samo prikazu analize varijanse. Uslovi za primenu dvofaktorijalne univarijacione analize varijanse sa jednim neponovljenim i jednim ponovljenim faktorom

U objanjenju postupka testiranja hipoteza naglaavali smo da statistik F ima, ako

je nulta hipoteza tana, i ako su ispunjeni odreeni dodatni uslovi kao svoju distribuciju uzorkovanja Snidikorovu funkciju gustine sa odreenim brojevima stepeni slobode kao parametrima. Ovi dodatni uslovi u dvofaktorijalnoj analizi varijanse sa jednim neponovljenim i jednim ponovljenim faktorom jesu sledei: 1. Nezavisnost opservacija unutar svake kombinacije nivoa neponovljenog i ponovljenog faktora. To praktino znai da u odreenoj kombinaciji nivoa dva faktora ne sme biti vie rezultata koji potiu od iste jedinice posmatranja.Ovaj uslov obezbeuje se uzimanjem sluajnog uzorka i randomizovanim rasporeivanjem jedinica posmatranja na nivoe neponovljenog faktora. 2. Normalnost distribucije zavisne varijable u populaciji za svaku kombinaciju nivoa dva faktora; 3. Viegrupna sferinost (eng. sphericity), tj. ispunjenost uslova sferinosti na svakom nivou neponovljenog faktora. Budui da je uslov "viegrupne sferinosti" verovatno veoma retko ispunjen u realnim uslovima analize podataka u psihologiji pri testiranju nulte hipoteze o efektu ponovljenog faktora i nulte hipoteze o interakciji neponovljenog i ponovljenog faktora potrebno je

20

primeniti postupke za korigovanje stepeni slobode koje smo objasnili pri izlaganju analize varijanse sa jednim ponovljenim faktorom. ************************************************************************* Za definisanje dvofaktorijalne analize varijanse sa ponovljenim i neponovljenim faktorom u verziji 11.5 programa SPSS treba odabrati Analyse/General Linear Model/Repeated Measures. U prozoru za dijalog koji se prvi pojavi a iji naslov je Repeated Measures Define Factor(s) (slika 1) treba u polju Within-Subjects factor name upisati ime ponovljenog faktora, a u polju Number of levels upisati broj nivoa ponovljenog faktora i potom kliknuti da dugme Add. Klikom na dugme Define prelazi se u prozor za dijalog Repeated measures. U ovom prozoru treba imena varijabli u kojima se nalaze nivoi ponovljenog faktora prebaciti iz levog spiska u okvir Within-Subjects Variables vodei rauna o redosledu nivoa (slika 2), a u okvir Between-Subject Factor(s) prebaciti ime varijable u kojoj su podaci o pripadnosti jednom od nivoa neponovljenog faktora. Klikom na dugme Plots u poddijalogu Repeated Measures: Profile Plots mogue je zatraiti grafiki prikaz aritmetikih sredina bilo po nivoima jednog faktora, bilo za razliite nivoe jednog faktora po nivoima drugog faktora. Klikom na dugme Post Hoc mogue je zatraiti naknadna poreenja meu nivoima neponovljenog faktora prebacivanjem imena neponovljenog faktora iz okvira Factor(s) u okvir Post Hoc Tests for i ukljuivanjem eljenog testa u listi ponuenih testova.

Slika 2. Poddijalog Repeated Measures procedure General Linear Model/Repeated Measures programa SPSS 11.5 za ukljuivanje neponovljenog faktora u analizu

21

Primer: Ispitivanje efikasnosti tri vrste antidepresiva u leenju depresije

Svakom od 30 pacijenata sa dijagnozom unipolarnog depresivnog poremeaja zadat je u trenutku prvog pregleda Bekov inventar depresivnosti. Potom je svakom pacijentu prepisan jedan od tri antidepresiva: 20 pacijenata koristilo je lek Ma, 20 lek An, a 20 lek Mi (prava imena lekova su ovde namerno izostavljena). Na kontrolnim pregledima (mesec dana i 6 meseci posle poetka terapije) pacijentima je opet zadavan Bekov inventar depresivnosti. Da li ove tri vrste antidepresiva smanjuju depresivnost pacijenata tokom vremena i da li, ako dovode do smanjenja depresivnosti, sva tri leka imaju isti uticaj u tom pogledu? Zavisna varijabla u ovom sluaju je intenzitet depresivnosti pacijenata, ponovljeni faktor je vreme sa tri nivoa (nivoi: poetak leenja, posle mesec dana leenja i posle 6 meseci leenja), a neponovljen faktor je vrsta antidepresiva (nivoi: Ma, An i Mi) ili grupa kojoj prema vrsti korienog antidepresiva pacijent pripada.

Podaci u ovom primeru organizovani su na sledei nain: u varijabli lek_grupa za svakog pacijenta oznaeno je cifrom 1, 2 ili 3 koji lek je koristio tokom ispitivanog perioda (1=Ma, 2=An i 3=Mi). U varijabli dep_poc su rezultati pacijenata na Bekovom inventaru depresivnosti prilikom prvog pregleda, varijabla dep_po1m sadrala je rezultate na Bekovom inventaru posle mesec dana od poetka uzimanja leka, a varijabla dep_po6m rezultate na Bekovom inventaru po isteku 6 meseci od poetka uzimanja leka. Da bi se ustanovilo da li korieni lekovi poboljavaju stanje pacijenata, i, ako poboljavaju da li to ine u istoj meri primenjena je dvofaktorijalna univarijaciona analiza varijanse sa vremenom ispitivanja kao ponovljenim faktorom, vrstom leka kao neponovljenim faktorom i intenzitetom depresivnosti kao zavisnom varijablom. Budui da je definisanje ponovljenog faktora isto kao u analizi varijanse sa jednim ponovljenim faktorom, na slici 2 prikazan je samo prozor za dijalog u kojem je pored ve prethodno definisanog ponovljenog faktora vrem_isp u analizu ukljuen neponovljeni faktor (prebacivanjem imena varijable lek_grupa u okvir Between-Subject Factor(s)).

Ispis iz procedure SPSS 11.5: General Linear Model

Within-Subjects Factors

Measure: MEASURE_1

DEP_POCDEP_PO1MDEP_PO6M

VREM_ISP1

2

3

DependentVariable

22

Between-Subjects Factors

Ma 20An 20Mi 20

1

2

3

LEK_GRUPValue Label N

U tabeli Within-Subjects Factors prikazano je ime ponovljenog faktora VREM_ISP koje je definisano u prozoru za dijalog Repeated Measures Define Factor(s) i imena varijabli u kojima su rezultati sa Bekovog inventara depresivnosti u tri vremenska trenutka (dep_poc, dep_po1m, dep_po6m). Tabela Between-Subjects Factors sadri ime kategorike varijable koja predstavlja neponovljen faktor (lek_grup), oznake i nazive kategorija, tj. nivoa faktora (1 = Ma, 2 = An, 3 = Mi) i broj jedinica posmatarnja na svakom nivou neponovljenog faktora (kolona N).

Descriptive Statistics

48,50 6,074 2049,40 5,557 2052,00 7,175 2049,97 6,375 6045,60 6,908 2046,30 6,974 2048,35 6,434 2046,75 6,764 6030,10 10,528 2018,85 4,945 2037,00 6,657 2028,65 10,712 60

LEK_GRUP1 Ma

2 An

3 Mi

Total

1 Ma

2 An

3 Mi

Total

1 Ma

2 An

3 Mi

Total

DEP_POC

DEP_PO1M

DEP_PO6M

Mean Std. Deviation N

23

Multivariate Testsc

,905 266,151a 2,000 56,000 ,000

,095 266,151a 2,000 56,000 ,000

9,505 266,151a 2,000 56,000 ,000

9,505 266,151a 2,000 56,000 ,000

,521 10,027 4,000 114,000 ,000

,483 12,272a 4,000 112,000 ,000

1,061 14,582 4,000 110,000 ,000

1,053 30,005b 2,000 57,000 ,000

Pillai's Trace

Wilks' Lambda

Hotelling's Trace

Roy's Largest Root

Pillai's Trace

Wilks' Lambda

Hotelling's Trace

Roy's Largest Root

EffectVREM_ISP

VREM_ISP * LEK_GRUP

Value F Hypothesis df Error df Sig.

Exact statistica.

The statistic is an upper bound on F that yields a lower bound on the significance level.b.

Design: Intercept+LEK_GRUP Within Subjects Design: VREM_ISP

c.

Tabele u ispisu iji naslov je Multivariate Tests podrazumevaju razumevanje alternativnog multivarijacionog pristupa analizi varijanse. Budui da ovakav pristup analizi varijanse nije objanjen u ovom tekstu tabele pod tim naslovom neemo komentarisati. Na tabelu Mauchly test of sphericity moe se primeniti komentar koji smo dali pri objanjenju ispisa iz jednofaktorijalne analize varijanse sa jednim ponovljenim faktorom.

Mauchly's Test of Sphericityb

Measure: MEASURE_1

,496 39,232 2 ,000 ,665 ,699 ,500Within Subjects EffectVREM_ISP

Mauchly's WApprox.

Chi-Square df Sig.Greenhouse-

Geisser Huynh-Feldt Lower-bound

Epsilona

Tests the null hypothesis that the error covariance matrix of the orthonormalized transformed dependent variables is proportional toan identity matrix.

May be used to adjust the degrees of freedom for the averaged tests of significance. Corrected tests are displayed in the Tests of Within-SubjectsEffects table.

a.

Design: Intercept+LEK_GRUP Within Subjects Design: VREM_ISP

b.

24

Tests of Within-Subjects Effects

Measure: MEASURE_1

15847,144 2 7923,572 439,599 ,00015847,144 1,330 11914,7 439,599 ,00015847,144 1,398 11339,0 439,599 ,00015847,144 1,000 15847,1 439,599 ,0001824,722 4 456,181 25,309 ,0001824,722 2,660 685,958 25,309 ,0001824,722 2,795 652,815 25,309 ,0001824,722 2,000 912,361 25,309 ,0002054,800 114 18,0252054,800 75,813 27,1042054,800 79,662 25,7942054,800 57,000 36,049

Sphericity Assumed

Greenhouse-Geisser

Huynh-Feldt

Lower-bound

Sphericity Assumed

Greenhouse-Geisser

Huynh-Feldt

Lower-bound

Sphericity Assumed

Greenhouse-Geisser

Huynh-Feldt

Lower-bound

SourceVREM_ISP

VREM_ISP * LEK_GRUP

Error(VREM_ISP)


U tabeli Tests of Within-Subjects Effects prikazani su ishodi testiranja hipoteza o efektu ponovljenog faktora (red vrem_isp) i interakciji ponovljenog i neponovljenog faktora (red vrem_isp*lek_grup). Kao to se iz ove tabele moe videti, ishodi testiranja nulte hipoteze prema kojoj u populaciji iz koje je uzorak nema interakcije vremena ispitivanja i vrste korienog antidepresiva praktino su isti bez obzira da li se koristi postupak koji podrazumeva viegrupnu sferinost (red Sphericity assumed) ili neka od korekcija za nesferinost (redovi Greenhouse-Geisser ili Huynh-Feldt). Budui da je verovatnoa u koloni Sig za svaki od postupaka znatno ispod 0.05 nultu hipotezu o nepostojanju interakcije ponovljenog i neponovljenog faktora u populaciji moemo odbaciti. Isto tako, na osnovu verovatnoe u koloni Sig u redu vrem_isp nulta hipoteza o nepostojanju efekta ponovljenog faktora moe se odbaciti.

Tests of Within-Subjects Contrasts

Measure: MEASURE_1

13632,008 1 13632,008 541,151 ,000

2215,136 1 2215,136 204,003 ,000

1336,617 2 668,308 26,530 ,000

488,106 2 244,053 22,476 ,000

1435,875 57 25,191

618,925 57 10,858

VREM_ISPLinear

Quadratic

Linear

Quadratic

Linear

Quadratic

SourceVREM_ISP

VREM_ISP * LEK_GRUP

Error(VREM_ISP)


25

Tests of Between-Subjects Effects

Measure: MEASURE_1

Transformed Variable: Average

314336,0 1 314336 2870,92 ,0001746,411 2 873,206 7,975 ,0016240,900 57 109,489

SourceIntercept

LEK_GRUP

Error


U tabeli Tests of Between-Subjects Effects prikazan je (u redu lek_grup) ishod testiranja nulte hipoteze o nepostojanju efekta neponovljenog faktora, tj. vrste leka na zavisnu varijablu, tj. na proseni intenzitet depresivnosti u tri ispitivana vremenska trenutka. Budui da je verovatnoa da se ako je nulta hipoteza o nepostojanju efekta vrste leka na zavisnu varijablu tana dobije na sluaj F statistik vei od 7.975 jednaka 0.001, tj. znatno manja od 0.05 i nultu hipotezu o efektu vrste leka na depresivnost moemo odbaciti. Meutim, postojanje efekta neponovljenog faktora znai samo to da se grupe koje su koristile razliite antidepresive statistiki znaajno razlikuju u pogledu zavisne varijable koja predstavlja uproseenu depresivnost u tri vremenska trenutka. Naime, ukoliko bismo za sve pacijente rezultate na zavisnoj varijabli izraunali kao prosek rezultata sa Bekovog inventara depresivnosti u tri vremenska trenutka (dep_poc, dep_po1m, dep_po6m) i potom napravili jednofaktorijalnu analizu varijanse sa tako dobijenom zavisnom varijablom i vrstom antidepresiva (lek_grup) kao neponovljenim faktorom (procedura One-Way ANOVA) dobili bismo F statistik identian onome koji je u ovoj tabeli prikazan u redu (u redu lek_grup). Prema tome, postojanje efekta neponovljenog faktora nema u ovom sluaju posebnu interpretativnu vrednost. Postojanje efekta ponovljenog faktora, i, posebno, efekta interakcije ponovljenog i neponovljenog faktora interpretativno su u ovom sluaju relevantniji. Da bi se u potpunosti protumailo znaenje ovih efekata potrebno je sprovesti dodatne analize. Broj moguih dodatnih, tj. naknadnih analiza je veliki, a koje e analize konkretno biti sprovedene umnogome zavisi od toga koja je pitanja istraiva postavio pre sprovoenja samog istraivanja.13 Mi emo ovde, umesto prikaza svih moguih naknadnih analiza, samo nagovestiti znaenje postojanja efekta ponovljenog faktora, i interakcije ponovljenog i neponovljenog faktora. Pri tome emo se oslanjati na aritmetike sredine rezultata na skali depresivnosti za pojedine kombinacije nivoa ponovljenog i neponovljenog faktora koje su prikazane u poetnom delu ispisa u tabeli Descriptives.14 Kao to se iz tabele Descriptives moe uoiti proseni intenzitet depresivnosti opada sa vremenom o emu govori postojanje efekta ponovljenog faktora (Na poetku leenja prosena depresivnost bila je 49.97, nakon mesec dana leenja smanjila se na 46.75, da bi posle 6 meseci leenja "spala" na 28.65). Postojanje interakcije ponovljenog i neponovljenog faktora sugerie nam da ovaj trend smanjenja depresivnosti nije isti za sve koriene lekove. Pregledom tabele Descriptives moemo uoiti da je smanjenje depresivnosti posle mesec dana od poetka leenja skoro identino za sve tri vrste leka, ali je pad depresivnosti posle 6 meseci znatno leenja znatno

13 O moguim naknadnim analizama moe se proitati u Todorovi, 2008. 14 Da bi se ova tabela pojavila u ispisu potrebno je klikom na dugme Options dijaloga koji je prikazan na slici 2 otii u poddijalog Repeated Measures: Options.i ukljuiti opciju Descriptives (v. Sliku 1).

26

izraeniji kod pacijenata koji su uzimali lek An, a najmanje izraen kod pacijenata koji su koristili lek Mi. Dakle, ukoliko bismo efikasnost nekog antidepresiva procenjivali samo na osnovu smanjenja rezultata na Bekovom inventaru depresivnosti, onda bismo mogli zakljuiti da je lek Mi efikasniji lek od preostala dva antidepresiva. Jo jednostavnije bismo do istog tumaenja dobijenih rezultata mogli doi posmatranjem grafika na kojem su aritmetike sredine (ordinata) za sve nivoe ponovljenog faktora (apscisa) prikazane posebno po nivoima neponovljenog faktora (linije razliitog stila).15 Grafik 1. Aritmetike sredine rezultata na Bekovom inventaru depresivnosti za grupu pacijenata sa unipolarnim depresivnim poremeajem na poetku leenja (vrem_isp = 1), posle mesec dana leenja (vrem_isp = 2) i posle 6 meseci leenja (vrem_isp = 3) s obzirom na vrstu antidepresiva (lek_grup: Ma, An, Mi) koja je koriena u leenju Iz Grafika 1 moemo uoiti da su na poetku ispitivanja i posle mesec dana leenja aritmetike sredine grupa pacijenata koje su koristile tri razliita antidepresiva sline, dok je pad u depresivnosti posle 6 meseci znatno izraeniji kod pacijenata koji su koristili lek An (isprekidana linija) nego kod ostalih pacijenata. 15 Ovaj grafik se moe definisati u okviru procedure Analyze/General Linear Model/Repeated Measures na sledei nain: u poddijalogu Repeated Measures (slika 2) kliknuti na dugme Plots, u poddijalogu Repeated Measures: Plots ubaciti ime ponovljenog faktora (vrem_isp) u polje Horizontal Axis, a ime neponovljenog faktora (lek_grup) u polje Separate Lines i potom kliknuti na dugme Add.

VREM_ISP

321

Est

imat

ed M

argi

nal M

eans

60

50

40

30

20

10

LEK_GRUP

Ma

An

Mi

27

Spisak literature na koju se italac upuuje u ovom tekstu:

1. Howell, D. (2010). Statistical Methods for Psychology, Seventh Edition. Belmont, CA: Wadsworth, Cengage Learning.

2. OBrien, R.G. & Kaiser, M.K. (1995) MANOVA Method for Analyzing Repeated

Measures Designs: An Extensive Primer, Psychological Bulletin, 97, 316-333.

3. Stevens, J. (2002). Applied Multivarate Statistics for the Social Sciences (Fourth

Edition), Mahwah NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers. 4. Todorovi, D. (2008). Osnovi metodologije psiholokih istraivanja, Beograd:

Centar za primenjenu psihologiju.

5. Winer, B.J (1970). Statistical Pprinciples in Experimental Design, New-York:

McGraw-Hill. Copyright 2011, a.

Documents

Anova Ponovljena Merenja