Anteckningar om m�angdl�ara

Tomas Persson

Inneh�all

F�orord 5

Kapitel 1. Det Zermelo{Fraenkelska axiomsystemet 71. Element och m�angder 72. Likhet 73. Att bilda m�angder 84. Regularitet 95. Cartesii produkter 96. Funktioner 107. Mer om Cartesii produkter 118. Naturliga tal 11

Kapitel 2. Ordinaltal 131. Ordning och reda 132. Ordinaltal 143. Ordningstyper och v�alordnade m�angder 164. Ordinaltalsaritmetik 175. Normala funktioner och Cantors normalform 206. Ordinaltalen "� 217. Problem 22

Kapitel 3. Urvalsaxiomet och dess ekvivalenter 23

Kapitel 4. Kardinaltal 271. M�aktighet och Schr�oder{Bernsteins sats 272. Kardinaltal 283. Kardinaltalsaritmetik 294. Att j�amf�ora kardinaltal 30

3

4 INNEH�ALL

5. Kardinaltalen @� 326. Kontinuumhypotesen 337. Problem 34

Kapitel 5. Filter 35

Kapitel 6. Borelm�angder 371. �-algebror och Borelm�angder 372. Mer om �-algebror 40

Litteraturf�orteckning 43

F�orord

F�oreliggande anteckningar �ar �amnade att belysa grunderna tillm�angdl�aran, s�asom den utspringer ur det Zermelo{Fraenkelska ax-iomsystemet med urvalsaxiomet.

Tomas Persson, Lund, 14 april 2018

5

KAPITEL 1

Det Zermelo{Fraenkelska axiomsystemet

1. Element och m�angder

Vi inf�or en relation 2, vilken kallas f�or tillh�or och l�amnas utande�nition. Vi s�ager att A �ar m�angd om det �nns ett B s�adant attA tillh�or B, det vill s�aga om A 2 B. Vi s�ager ocks�a att A �ar ettelement till B om A 2 B.

L�at A vara en m�angd. F�or alla val av a och A s�a �ar utsagana 2 A antingen sann eller falsk. Om utsagan a 2 A �ar falsk, s�askriver vi a 62 A.

Definition 1. Om A och B �ar m�angder s�adana att a 2 A)a 2 B, s�a s�ager vi att A �ar en delm�angd till B, och skriver A � B.Vi s�ager ocks�a att A �ar innesluten i B och att B omsluter A.

I efterf�oljande avsnitt i detta kapitel kommer vi att inf�ora ax-iom, vilka vi ben�amner axiom 1{9. Dessa �ar v�asentligen de axiomsom utg�or det Zermelo{Fraenkelska axiomsystemet. Vi kommer all-tid att anta att dessa axiom g�aller, och n�amner d�arf�or inte dettafram�over. I kapitel 3 kommer ytterligare n�agra axiom att inf�oras,och dessa kommer vi inte alltid att antaga som sanna, varf�or vi isatser alltid kommer att n�amna n�ar vi antar att de g�aller.

2. Likhet

Definition 2. Om A � B och B � A, s�a s�ager vi att A ochB �ar lika, och skriver A = B.

Axiom 1 (Axiom om likhet). (a 2 A och a = b)) b 2 A.

M�angder best�ams s�alunda av de element de inneh�aller. M�angd-en som best�ar av elementet a, och inga andra element, betecknas

7

8 DET ZERMELO{FRAENKELSKA AXIOMSYSTEMET

fag. M�angden som best�ar av elementen a och b, och inga andra ele-ment, betecknas fa; bg. P�a samma s�att inf�ors beteckningen fa; b; cgoch s�a vidare.

3. Att bilda m�angder

Vi inf�or nu n�agra axiom som ger oss verktyg att bilda nyam�angder.

Axiom 2 (Axiom om tomma m�angden). Det �nns en m�angdsom inte inneh�aller n�agra element. Denna m�angd betecknas ;.

Ovanst�aende axiom kan vi egentligen klara oss utan. Det f�oljerur axiom 9 nedan att ; �ar en m�angd.

Axiom 3 (Axiom om par). Om A och B �ar m�angder, s�a �arfA;Bg en m�angd.

Axiom 4 (Axiom om unioner). Om A �ar en m�angd (av m�angd-er) s�a �nns det en m�angd som best�ar av de element som �ar in-neh�allna i n�agon av m�angderna i A, men inga andra element. Den-na m�angd betecknas [A.

Axiom 5 (Axiom om potensm�angder). Om A �ar en m�angd, s�a�nns det en m�angd som best�ar av alla delm�angder till A. Denna,s�a kallade potensm�angden till A, betecknas P(A).

Axiom 6 (Axiom om delm�angder). Om A �ar en m�angd, och�(a) betecknar en utsaga om a som inte refererar till A, s�a �nnsdet en m�angd B som uppfyller

a 2 B , (a 2 A och �(a)):

Vi skriver B = f a 2 A : �(a) g.

N�agra ord b�or �odslas p�a att n�armare n�amna vilka utsagor som�ar till�atna i axiom 6. Till�atna utsagor �(a) �ar s�adana som kanskrivas med hj�alp av �andligt m�anga logiska symboler, s�asom 8,9, :, ^ och _; beteckningar som vi har och kommer att inf�ora,s�asom 2, [ och \; samt variablen a och d�arut�over endast lokaltf�orekommande variabler.

5. CARTESII PRODUKTER 9

Om A och B �ar m�angder, s�a �ar fA;Bg en m�angd enligt axi-om 3. Vi inf�or beteckningen A [ B = [fA;Bg, och kallar dennam�angd f�or unionen av A och B.

L�at A vara en m�angd av m�angder. S�att B = [A. D�a �ar Ben m�angd enligt axiom 4, och kallas unionen av A. L�at �(a) varautsagan

�(a) = 8C(C 2 A) a 2 C) = "a 2 C f�or alla C 2 A":

D�a �ar D = f a 2 B : och �(a) g en m�angd enligt axiom 6, ochkallas f�or snittet av A, samt betecknas \A. Vi inf�or beteckningenE \ F f�or \fE;Fg.

Om A och B �ar m�angder, s�a �ar f a 2 A : a 62 B g en m�angdenligt axiom 6, och betecknas med A nB.

4. Regularitet

F�oljande axiom kommer att ha viss betydelse.

Axiom 7 (Axiom om regularitet). Om A �ar en m�angd, s�a �arantingen A = ;, eller s�a �nns det ett a 2 A s�adant att a \A = ;.

Axiomet kan uttryckas som att varje m�angd har ett minimaltelement i den partiella ordningen 2. Det f�oljer att det inte �nnsn�agon m�angd A med A 2 A, ty d�a vore fAg en m�angd s�adan attom a 2 fAg s�a �ar a \ fAg = A 6= ;.

5. Cartesii produkter

Om A och B �ar m�angder s�a l�ater vi (A;B) beteckna det ord-nade paret av och A och B, vilket de�nieras av

(A;B) = ffAg; fA;Bgg:

Detta �ar v�alde�nierat, ty fA;Bg �ar en m�angd enligt axiom 3, ochd�a �ar ocks�a ffAg; fA;Bgg en m�angd enligt samma axiom.

De�nitionen medf�or att (A;B) = (C;D) om och endast om(A = C och B = D).

Antag att A och B �ar tv�a m�angder. D�a �ar (a; b) de�nierat f�orvarje a 2 A och b 2 B. Eftersom fag; fa; bg 2P(A [B), s�a g�aller

10 DET ZERMELO{FRAENKELSKA AXIOMSYSTEMET

att (a; b) 2P(P(A[B)). Vi de�nierar Cartesii produkt, eller dencartesiska produkten, av A och B som

A�B = f c 2P(P(A [B)) : �(c) g;

d�ar

�(c) = "det �nns a 2 A och b 2 B s�a att c = (a; b)."

= 9a9b(c = (a; b)):

A�B �ar en m�angd enligt axiom 6.

6. Funktioner

Definition 3. En funktion f fr�an en m�angd A till en m�angdB de�nieras som en delm�angd till A�B som uppfyller

(1) Om a 2 A s�a �nns det ett b 2 B s�adant att (a; b) 2 f .(2) Om (a; b) 2 f och (a; c) 2 f s�a �ar b = c.

Skrivs�attet f(a) = b betyder att (a; b) 2 f . M�angden A kallas f�orde�nitionsm�angden till f och B kallas f�or m�alm�angden till f .

Axiom 8 (Axiom om v�ardem�angder). L�at f : A! B vara enfunktion. Det �nns en m�angd Bf s�adan att Bf = f b 2 B : b =f(a) f�or n�agot a 2 A g.

L�at f : A ! B vara en funktion. Den i axiomet omn�amndam�angden Bf kallas f�or v�ardem�angden eller v�ardef�orr�adet till f . Omm�angden

C = f (b; a) 2 Bf �A : (a; b) 2 f g

�ar en funktion, s�a s�ager vi att f �ar inverterbar eller en-entydig, ochde�nierar inversen till f som funktionen

f�1 = C:

En bijektion f �ar en en-entydig funktion f : A! B s�adan attBf = B.

Om f : A! B �ar en funktion och C � A, s�a de�nieras restrik-tionen av f till C som funktionen

f jC = f \ (C �B):

8. NATURLIGA TAL 11

Om A och B �ar tv�a m�angder, s�a �nns det en m�angd, sombest�ar av alla funktioner f : A! B. Vi inf�or beteckningen

BA = f f 2P(P(A [B)) : f : A! B g:

7. Mer om Cartesii produkter

Antag att I �ar en m�angd och att Ai �ar en m�angd f�or varje i 2 I.S�att A =

Si2I Ai. D�a de�nieras Cartesii produkt av m�angderna Ai

som m�angden av alla funktioner f : I ! A s�adana att f(i) 2 Ai

f�or alla i 2 I, och betecknas

�i2I

Ai:

8. Naturliga tal

Om A �ar en m�angd, s�a �ar A [ fAg en m�angd enligt axiom 3och 4. M�angden A[fAg betecknas S(A) och kallas f�or efterf�oljarentill A.

Axiom 9 (Axiom om naturliga tal). Det �nns en m�angd Nsom uppfyller f�oljande.

(1) ; 2 N.(2) Om A 2 N s�a �ar S(A) 2 N.(3) F�or varje A 2 N, s�adant att A 6= ;, �nns ett B 2 N med

A = S(B).

Om A och B �ar tv�a m�angder som uppfyller villkoren i axiom 9,s�a m�aste A = B. Detta visas som f�oljer. Antag att C = A nB inte�ar tom. Enligt axiom 7 �nns ett c 2 C s�adant att c\C = ;. D�a kaninte c = ;, ty ; 2 A och ; 2 B. Eftersom c 6= ; och c 2 A, s�a �nnsdet ett d 2 A s�adant att c = S(d) = d [ fdg, och det g�aller d�arf�oratt d 2 c. D�a m�aste det g�alla att d 62 C ty c \ C = ;. Eftersomd 62 C och d 2 A s�a m�aste d 2 B. Det f�oljer att c = S(d) tillh�or B,vilket mots�ager antagandet att c 2 C = A nB.

M�angden N kallas f�or de naturliga talen. Man pl�agar ej s�allaninf�ora beteckningarna 0 = ;, 1 = S(0) = ; [ f;g = f;g, 2 =S(1) = f;; f;gg, och s�a vidare, vilket visar sig praktiskt vid olikatill�ampningar, s�asom den dubbla italienska bokf�oringen.

12 DET ZERMELO{FRAENKELSKA AXIOMSYSTEMET

Sats 1 (Induktionsprincipen). Om �(n) betecknar utsagor,

s�adana att �(0) �ar sann, och �(S(n)) �ar sann om �(n) �ar sann,

s�a �ar �(n) sann f�or varje n 2 N.

Bevis. L�at A = fn 2 N : �(n) �ar sann g. D�a �ar A en m�angd,som uppfyller de tv�a f�orsta villkoren i axiom 9. Antag att N nA 6=;. Enligt axiom 7 �nns n 2 N n A s�adant att n \ (N n A) = ;.Tydligen �ar n 6= 0, s�a n = S(m) f�or n�agot m 2 N. D�a g�aller attm 2 n = m[fmg, s�a m 62 NnA. Det m�aste d�arf�or g�alla att m 2 A,och s�alunda �ar n = S(m) 2 A, vilket �ar en mots�agelse. �

KAPITEL 2

Ordinaltal

1. Ordning och reda

L�at A vara en m�angd. En partiell ordning p�a A �ar en relation� p�a A, som uppfyller

(1) F�or alla a 2 A �ar a � a.(2) Om a � b och b � a, s�a �ar a = b.(3) Om a � b och b � c, s�a �ar a � c.

En m�angd A med en partiell ordning � kallas f�or en kedja, ellerf�or line�art ordnad, och ordningen � kallas f�or en line�ar ordning p�aA, om det f�or alla a; b 2 A g�aller att a � b eller b � a.

Givet en ordning �, s�a inf�or vi relationen < vilken de�nierasav

a < b , (a � b och a 6= b):

Vi kallar �aven < f�or en ordning. Alternativ kan vi givet en ordning< inf�ora ordningen � enligt

a � b , (a < b eller a 6= b):

L�at A vara en m�angd med en partiell ordning �. Ett elementa 2 A kallas f�or minimalt om b � a medf�or att a = b. Ett elementa kallas ett minimum, eller ett minsta element om a � b h�aller f�oralla b 2 A. P�a motsvarande s�att de�nieras maximum och maximalt:Ett element a 2 A kallas f�or maximalt om a � b medf�or att a = b.Ett element a kallas ett maximum, eller ett st�orsta element omb � a h�aller f�or alla b 2 A.

Om A �ar en partiellt ordnad m�angd och B � A, s�a �ar B

partiellt ordnad p�a ett naturligt s�att.

13

14 ORDINALTAL

En m�angd A kallas f�or v�alordnad om A �ar line�art ordnad ochvarje icke-tom delm�angd till A har ett minsta element. Observeraatt vi kan ekvivalent de�niera att en m�angd A kallas f�or v�alordnadom A line�art ordnad och varje icke-tom delm�angd till A har ettminimalt element, ty i line�art ordnade m�angder �ar ett elementminimalt om och endast om det �ar ett minsta element.

2. Ordinaltal

Definition 4. En m�angd A kallas f�or ett ordinaltal om 2utg�or en v�alordning p�a A, och om

(a 2 b och b 2 A) ) a 2 A;

det vill s�aga, om b 2 A s�a �ar b � A.

Tydligen �ar ; och N ordinaltal. I samband med ordinaltalanv�ands beteckningen ! = N.

Sats 2. Om � �ar ett ordinaltal, s�a �ar S(�) ett ordinaltal. Om� 2 � och � �ar ett ordinaltal, s�a �ar � ett ordinaltal.

Bevis. Antag att � �ar ett ordinaltal. D�a �ar S(�) = � [ f�gv�alordnad, ty � �ar v�alordnad.

Om a 2 b 2 S(�) s�a �ar antingen b 2 � eller b = �. Om b 2 �

s�a �ar a 2 b 2 � och d�armed a 2 �, varur a 2 S(�) genast f�oljer.Om b = � �ar a 2 � och a 2 S(�) f�oljer. Detta visar att S(�) �ar ettordinaltal.

L�at � 2 �. D�a �ar � � � ty om a 2 � s�a �ar a 2 � enligtde�nitionen av ordinaltal. Det f�oljer att � �ar v�alordnad.

Om a 2 b 2 � s�a �ar a 2 b 2 �, varf�or a 2 �. Vi har allts�a atta; b; � 2 � och a 2 b 2 � 2 �. Eftersom 2 �ar en line�ar ordning p�a�, s�a medf�or nu a 2 b 2 � att a 2 �. �

Ur sats 2 f�oljer att, eftersom ; och ! �ar ordinaltal, s�a �ar

f;g; f;; f;gg; f;; f;g; f;; f;gg; : : :

!; ! [ f!g; ! [ f!g [ f!; f!gg; : : :

ordinaltal.

2. ORDINALTAL 15

Sats 3. L�at � och � vara tv�a ordinaltal med � 6= �. D�a g�aller

� � � , � 2 �;

� n � 6= ; ) � � �:

Vidare g�aller, att om � n � 6= ;, s�a �ar � det minsta elementet i

� n �.

Bevis. Ur de�nitionen av ordinaltal f�oljer att om � 2 � s�a �ar� � �. Antag att � � �. Eftersom � 6= � �ar � n � icke tom, ochdessutom v�alordnad. L�at a vara det minsta elementet i � n �. Tagb 2 a. Eftersom a �ar det minsta elementet i � n� �ar b 62 � n�, menb 2 � varf�or b 2 � m�aste g�alla. Allts�a �ar a � �.

Tag c 2 �. D�a �ar c 2 � och eftersom � �ar v�alordnad m�aste detd�arf�or g�alla att antingen �ar a 2 c, c 2 a eller a = c. Om a 2 c s�a�ar a 2 c 2 � och a 2 � g�aller vilket �ar om�ojligt. Vidare kan intea = c, ty a 62 �. S�alunda m�aste c 2 a, vilket visar att � � a.

Eftersom a � � och � � a �ar a = � och � 2 �. Vi har nu visatatt � � � , � 2 �.

Antag att � n� inte �ar tom. L�at a vara det minsta elementet i� n�. Samma resonemang som ovan visar att a � �. Men a 62 � s�aenligt ekvivalensen i satsen, m�aste a = �. Allts�a g�aller � 2 � ochs�alunda �ar � � �. �

Sats 4. Antag att A �ar en m�angd av ordinaltal. D�a �ar A

v�alordnad av 2; [A �ar ett ordinaltal; [A �ar den minsta �ovre be-

gr�ansningen till A; och det �nns ett ordinaltal som inte tillh�or A.

Bevis. L�at � och � vara tv�a ordinaltal. Det f�oljer ur sats 3att antingen �ar � = �, � 2 � eller � 2 �. Allts�a �ar 2 en line�arordning p�a A.

Vi visar att A �ar v�alordnad. L�at B � A. Om � 2 B s�a �arantingen � \B tom eller icke tom. Om � \B �ar tom, s�a �ar � detminsta elementet i B. Om � \ B inte �ar tom, s�a �nns ett minstaelement � 2 � \B ty � �ar v�alordnad eftersom � �ar ett ordinaltal.D�a �ar � ett minsta element i B, ty om 2 B och 2 �, s�a �ar 2 � eftersom � �ar ett ordinaltal. D�a �ar 2 � \ B och 2 �

vilket mots�ager att � �ar det minsta elementet i � \B.

16 ORDINALTAL

Vi visar att [A �ar ett ordinaltal. Om � 2 � 2 [A s�a �nns detett 2 A s�adant att � 2 � 2 . D�a �ar � 2 och � 2 [A. Vidare�ar [A v�alordnad, s�a [A �ar ett ordinaltal.

Det �ar klart att [A �ar en �ovre begr�ansning till A. Det �ar denminsta �ovre begr�ansningen, ty om � �ar s�adant att � 2 � f�or varje� 2 A, s�a m�aste [A � �.

L�at � = S([A). D�a �ar � ett ordinaltal och � 62 A. �

Ur sats 4 f�oljer omedelbart f�oljande tv�a korollarier.

Korollarium 1. Om A �ar en icke-tom m�angd av ordinaltal,

s�a har A ett minsta element i ordningen 2.

Korollarium 2. Det �nns ingen m�angd som best�ar av alla

ordinaltal.

Om � och � �ar tv�a ordinaltal och � = S(�), s�a kallas � f�or ettefterf�oljande ordinaltal. Om ett ordinaltal inte �ar ett efterf�oljandeordinaltal, s�a kallas det f�or ett gr�ansordinaltal. Ordinaltalet ! �ardet minsta gr�ansordinaltalet, i den meningen att om A �ar en m�angdav gr�ansordinaltal, och ! 2 A, s�a �ar ! ett minsta element underordningen 2 p�a A.

Sats 5 (Trans�nit induktion). Antag att �(�) betecknar utsa-gor s�adana att f�or varje ordinal � g�aller att

(� 2 � ) �(�) �ar sann) ) �(�) �ar sann.

D�a �ar �(�) sann f�or varje ordinaltal �.

Bevis. Eftersom � = ; �ar ett ordinaltal, och det inte �nnsn�agot element i ;, s�a m�aste �(;) vara sann.

Antag att det �nns ett ordinaltal s�adant att � ej �ar sant. L�at �vara det minsta s�adant ordinaltal. D�a �ar �(�) sann f�or alla � 2 �.Antagandet i satsen ger d�a att antingen �ar � = ; eller s�a �ar �(�)sann, vilka b�ada �ar om�ojliga. �

3. Ordningstyper och v�alordnade m�angder

Definition 5. L�at � vara ett ordinaltal. En v�alordnad m�angdA s�ags vara av ordningstyp � om det �nns en bijektion f : � ! A

4. ORDINALTALSARITMETIK 17

som bevarar ordning, det vill s�aga � 2 h�aller om och endast omf(�) < f( ).

Sats 6. Varje v�alordnad m�angd �ar av ordningstyp � f�or n�agot

entydigt best�amt ordinaltal �.

Bevis. L�at A vara v�alordnad. Den s�okta funktionen f kande�nieras induktivt. L�at f(0) vara det minsta elementet i A. Antagatt f(�) har de�nierats och tillh�or A. D�a de�nieras f(S(�)) somdet minsta element i f b 2 A : f(�) < b g om s�adant �nns, eljestde�nieras f(S(�)) = A. Om � �ar ett gr�ansordinaltal och f(�) harde�nierats och tillh�or A f�or alla � 2 �, s�a de�nieras f(�) som detminsta elementet i f b 2 A : f(�) < b om � 2 � g, s�atillvida dennam�angd inte �ar tom, i vilket fall f(�) de�nieras som A.

Trans�nit induktion, sats 5, ger att det �nns ett � s�adant attf(�) = A och f �ar de�nierad f�or alla ordinaltal som tillh�or �. Vihar allts�a de�nierat en funktion f : � ! A som �ar ordningsbeva-rande.

Antag att f f(�) : � 2 � g 6= A. L�at a 2 A vara det minstaelementet i A s�adant att det inte �nns n�agot � 2 � med f(�) = a.L�at 2 � vara det minsta ordinaltal f�or vilket f( ) > a inte g�aller.Enligt de�nitionen av f �ar d�a f( ) = a, vilket mots�ager valet ava.

Funktionen f �ar allts�a en ordningsbevarande bijektion f : �!A, och allts�a �ar A av ordningstyp �.

Ordinaltalet � m�aste vara entydigt, ty eljest funnes tv�a or-dinaltal � 2 � och s�adan att den ovan konstruerade funktionenf : � ! � �ar inverterbar och ordningsbevarande, och det �ar l�attatt se att i detta fall �ar f( ) = f�or alla 2 �. �

Givet en v�alordnad m�angd A, s�a l�ater vi Ord(A) beteckna dettill A h�orande ordinaltalet, vilket ges av sats 6, och �ar ordningsty-pen f�or A.

4. Ordinaltalsaritmetik

Definition 6 (Addition av ordinaltal). L�at � och � vara tv�aordinaltal. D�a �ar m�angden

A = �� f0g [ � � f1g

18 ORDINALTAL

v�alordnad av ordningen

(�;m) < ( ; n) , (m < n eller (m = n och � 2 ));

och �+ � de�nieras som ordinaltalet Ord(A).Mer allm�ant, om �ar ett ordinaltal, och f�� : � 2 g �ar en

m�angd av ordinaltal, s�a de�nieras summanX�2

��

som ordinaltalet Ord(A), d�ar

A =[�2

�� � f�g;

f�orsedd med samma v�alordning som ovan.

Det f�oljer ur de�nitionen, att om � = S(�) �ar ett ordinaltal,s�a �ar � = �+1. Om � �ar ett gr�ansordinaltal, s�a g�aller att �+� =S 2�(�+ ).Som exempel har vi att

! = f0; 1; 2; : : :g = f;; f;g; f;; f;gg; : : :g

! + 1 = f0; 1; 2; : : : ; !g;

men det kan vara l�ampligt att t�anka p�a !+1 som vore det m�angdenA i de�nition 6,

! + 1 = Ord(f(0; 0); (1; 0); (2; 0); : : : ; (0; 1)g):

Ur de�nitionen f�or addition av ordinaltal f�oljer omedelbartf�oljande lemma.

Lemma 1. L�at � och � vara tv�a ordinaltal. D�a �ar

�+ � = Ord(�) + Ord(�) = Ord(�+ �):

Vi visar f�oljande lemma, som vi kommer att f�a anv�andning f�orl�angre fram i detta kapitel.

Lemma 2. Om � 2 � s�a �nns ett entydigt s�adant att �+ =�.

4. ORDINALTALSARITMETIK 19

Bevis. Det g�aller att � = � [ (� n �). Vidare �ar � n � � �

och � n � �ar v�alordnad. L�at = Ord(� n �). Tydligen g�aller enligtlemma 1 att �+ = �.

Slutligen m�aste vara entydig, ty eljest funnes 1 2 2 s�adanaatt �+ 1 = �+ 2. Resonemanget ovan ger d�a att

Ord((�+ 1) n �) = Ord((�+ 2) n �):

Men detta ger att Ord( 1) = Ord( 2) vilket direkt mots�ager att 1 2 2. �

Definition 7 (Multiplikation av ordinaltal). L�at � och � varatv�a ordinaltal. D�a de�nieras � � � som

� � � =X 2�

�:

Det f�oljer ur de�nitionerna av addition och multiplikation, attom � och � �ar tv�a ordinaltal, s�a �ar � � (� +1) = (� � �) +�. Om �

�ar ett gr�ansordinaltal, s�a �ar � � � =S 2�(� � ).

Addition och multiplikation av ordinaltal �ar inte kommutativt.Som exempel kan

1 + ! = !; ! 2 ! + 1;

2 � ! = !; ! 2 ! � 2;

anf�oras. Dock g�aller f�oljande.

Sats 7. Om �, � och �ar ordinaltal, s�a g�aller att

(�+ �) + = �+ (� + );

(� � �) � = � � (� � );

� � (� + ) = � � � + � � :

Slutligen ger vi f�oljande de�nition.

Definition 8 (Exponentiering av ordinaltal). L�at � och � va-ra tv�a ordinaltal. D�a de�nieras �� f�ormedelst trans�nit induktionenligt f�oljande. L�at �0 = �; = 1 = f;g. Om � �ar ett efterf�oljandeordinaltal och � = S( ) = + 1, s�a de�nieras

�� = � � �:

20 ORDINALTAL

Om � �ar ett gr�ansordinaltal, s�a de�nieras ��

�� =[ <�

� :

5. Normala funktioner och Cantors normalform

Definition 9. L�at � och � vara tv�a ordinaltal. En funktionf : �! � kallas normal om f bevarar ordning och om det f�or varjegr�ansordinaltal 2 � g�aller att

f( ) =[�2

f(�):

Sats 8. L�at � vara ett ordinaltal, och de�niera tv�a funktio-

ner genom f(�) = �� och g(�) = � � �. D�a �ar f och g normala

funktioner.

Bevis. Detta f�oljer direkt ur de�nitionerna f�or exponentieringoch multiplikation av ordinaltal. �

Sats 9. Antag att f : �! � �ar normal och att 2Sa2� f(a).

Om f(;) 2 eller f(;) = , s�a �nns det ett st�orsta � s�adant att

f(�) 2 eller f(�) = .

L�agg m�arke till att

(f(�) 2 eller f(�) = ) , f(�) 2 S( ):

Bevis. L�at " vara det minsta ordinaltalet s�adant att 2 f(").Om " �ar ett efterf�oljande ordinaltal, s�ag " = S(�), s�a �ar � det

st�orsta ordinaltalet s�adant att f(�) 2 S( ).Om " �ar ett gr�ansordinaltal, s�a �ar f(�) 2 S( ) f�or alla � 2 "

och eftersom f �ar normal �ar

f(") =[�2"

f(�):

Men eftersom f(�) 2 S( ) f�or all � 2 " f�oljer det att f(") 2S( ) vilket mots�ager att 2 f("). Allts�a kan " inte vara ettgr�ansordinaltal. �

6. ORDINALTALEN "� 21

I likhet med naturliga tal, som kan framst�allas p�a decimalform,kan varje ordinaltal framst�allas p�a vad som kallas f�or Cantors nor-malform, och �ar inneb�orden i f�oljande sats.

Sats 10. L�at � vara ett ordinaltal som �ar st�orre �an 0. D�a �nns

ett naturligt tal n, naturliga tal c1; c2; : : : ; cn � 1 och ordinaltal

�1; �2; : : : ; �n s�adana att � � �1 > �2 > � � � > �n och

� = !�1 � c1 + !�2 � c2 + � � �+ !�n � cn:

Bevis. Betrakta ett ordinaltal � 6= ; och l�at �1 vara detst�orsta ordinaltalet s�adant att !�1 2 S(�), vilket �nns enligt sat-serna 8 och 9. L�at nu p�a samma s�att c1 vara det st�orsta ordinaltalets�adant att !�1 � c1 2 S(�). D�a m�aste c1 2 ! ty annars kunde �1 havalts st�orre. Vidare �ar c1 6= 0, ty !�1 � 1 = !�1 2 S(�).

L�at nu �2 vara det enligt lemma 2 entydigt best�amda ordinal-talet s�adant att !�1 � c1 + �2 = �. D�a �ar �2 2 �.

Om �2 = ; �ar vi f�ardiga. Annars forts�atter vi som tidigare ochskriver �2 = !�2 �c2+�3, och s�a vidare. Enligt korollarium 1 m�astedetta sluta efter �andligt m�anga steg. �

6. Ordinaltalen "�

Det �nns ordinaltal � s�adana att � = !�. Det minsta s�adantordinaltal betecknas "0. L�at �0 = 1 och de�niera �n+1 = !�n f�orn 2 !. L�at

"0 =[n2!

�n:

D�a �ar "0 = !"0 . Vidare g�aller att om 0 6= � 2 "0 s�a �ar �n 2 � 2�n+1 f�or n�agot n 2 ! och det f�oljer att � 2 !� . S�alunda �ar "0 detminsta ordinaltalet s�adant att "0 = !"0.

L�at nu � vara ett ordinaltal, och antag att "� har de�nieratsf�or alla � 2 � och uppfyller "� = !"� . Om � = S(�), s�a de�nierarvi

"� =[n2!

"�n� ;

d�ar �n i likhet med ovan de�nieras s�a att �0 = 1 och �n+1 = "�n� .

22 ORDINALTAL

Om � �ar ett gr�ansordinaltal, s�a de�nieras "� enligt

"� =[�2�

"� :

D�a g�aller f�oljande. Om " �ar s�adant att !" = ", s�a �ar " = "� f�orn�agot �. F�or varje � 2 "� �ar "� = �"� .

7. Problem

(1) Bevisa sats 7.(2) Generalisera sats 10. (Byt ut !.)(3) Visa att " = !" om och endast om " = "� f�or n�agot �.(4) Visa att om � 2 "�, s�a �ar "� = �"� .

KAPITEL 3

Urvalsaxiomet och dess ekvivalenter

Vi presenterar nedan fyra axiom, vilka vi ska visa �ar ekviva-lenta. Vi kommer fram�over inte alltid att antaga att dessa axiomg�aller, och n�ar vi antager att de g�aller kommer det att n�amnas.

Axiom 10 (Urvalsaxiomet). L�at I 6= ; och antag att Ai 6= ;f�or varje i 2 I. D�a �ar�i2I Ai 6= ;.

Varje funktion f 2�i2I Ai 6= ; kallas f�or ett urval.

Axiom 11 (V�alordningsprincipen). L�at A vara en m�angd. D�a�nns det en v�alordning p�a A.

Att det �nns en v�alordning p�a A kan uttryckas som att det�nns ett ordinaltal � och en bijektion f : �! A.

Axiom 12 (Zorns lemma). Om A �ar partiellt ordnad och varjeicke-tom kedja i A har en �ovre begr�ansning i A, s�a har A ett st�orstaelement.

Axiom 13 (Hausdor�s maximumprincip). Om A �ar partielltordnad, s�a kan varje icke-tom kedja i A utvidgas till en st�orstakedja i A, det vill s�aga, om B � A och B �ar en icke-tom kedja, s�a�nns det en kedja C s�adan att B � C � A och om D �ar en kedjamed B � D s�a �ar D � C.

Sats 11. Axiomen 10{13 �ar ekvivalenta.

Bevis. Vi visar f�orst att urvalsaxiomet medf�or v�alordnings-

principen. L�at A vara en m�angd och l�at I = P(A) n fAg. OmB 2 I, s�a l�ater vi CB de�nieras av CB = A nB. F�or varje B 2 I �arCB en icke-tom m�angd. Urvalsaxiomet ger att det �nns en funktion

23

24 URVALSAXIOMET OCH DESS EKVIVALENTER

f : I ! A s�adan attf 2�

B2I

CB :

Vi de�nierar nu en funktion h. M�alet �ar att visa att det �nns ettordinaltal � s�a att h : �! A �ar en bijektion. Detta g�ors med hj�alpav urvalsaxiomet och trans�nit induktion: Om h( ) har de�nieratsf�or alla 2 � och fh( ) : 2 � g inte �ar hela A, s�a anv�ander viurvalsaxiomet, genom funktionen f , f�or att v�alja ett element a 2 A

och de�niera h(�) = a. Nu f�oljer detaljerna.L�at h(;) = f(;). Antag att h(�) �ar de�nierad f�or alla ordinaltal

� 2 �. D�a de�nieras h(�) som

h(�) = f(fh(�) : � 2 � g)

om fh(�) : � 2 � g 6= A och annars de�nieras h(�) = fAg.Det g�aller nu att det �nns ett ordinaltal � s�adant att h(�) =

fAg, ty om s�a inte vore fallet, vore h inverterbar och h�1 en funk-tion fr�an

f a 2 A : 9�(a = h(�)) g

till ordinaltalen s�adan att v�ardem�angden utg�ors av alla ordinaltal,vilket �ar om�ojligt, ty det �nns ingen m�angd som best�ar av allaordinaltal.

L�at nu � vara det minsta ordinaltalet f�or vilket h(�) = fAg.D�a de�nierar restriktionen av h till � en v�alordning p�a A, och allts�akan A v�alordnas.

Vi visar nu att v�alordningsprincipen medf�or Zorns lemma. L�atA vara en partiellt ordnad m�angd, s�adan att varje icke-tom kedjahar en �ovre begr�ansning i A. Enligt v�alordningsprincipen �nns detett ordinaltal � och en bijektion f : �! A.

Vi de�nierar en funktion g : �! A genom trans�nit induktion.Antag att g har de�nierats f�or alla ordinaltal i �, d�ar � 2 �. Omm�angden

f g( ) : 2 � g

inte �ar hela A, s�a �nns det ett minsta ordinaltal � s�adant att f(�) >a f�or alla a 2 f g( ) : 2 � g, och vi de�nierar g(�) = f(�). Annarsde�nieras g(�) = f(;).

Ur konstruktionen f�oljer att B = f g(�) : � 2 � g �ar en kedja,och B har d�arf�or en �ovre begr�ansning b. D�a m�aste b vara maximal

URVALSAXIOMET OCH DESS EKVIVALENTER 25

i A, ty eljest �nns c = f( ) > b, och d�a �ar c > a f�or alla a 2 f g(�) :� 2 g, varur f�oljer att c = g( ) 2 A samt mots�agelsen c � b.

Vi visar nu att Zorns lemma medf�or Hausdor�s maximumprin-

cip. L�at A vara partiellt ordnad, och antag att B � A �ar en icketom kedja. L�at C vara m�angden av alla kedjor i A som omsluter B.Inklusion de�nierar en partiell ordning p�a C. Enligt Zorns lemmahar C ett maximalt element, vilket �ar den till A s�okta maximalakedjan.

Slutligen visar vi att Hausdor�s maximumprincip medf�or ur-

valsaxiomet. L�at fAi : i 2 I g vara en icke tom m�angd av icketomma m�angder. S�att A =

SiAi. L�at F vara m�angden av alla

funktioner f : If ! A s�adana att If � I och f(i) 2 Ai f�or allai 2 If .

Inklusion de�nierar en partiell ordning p�a F . Hausdor�s max-imumprincip ger att det �nns en maximal kedja B i F . L�at f =[B 2 F .

Nu m�aste f 2�i2I Ai, ty om If inte �ar hela I, s�a �nns detett i 2 I n If och ett a 2 Ai, och d�a �ar f [ f(i; a)g ett elementi F och f [ f(i; a)g � g f�or alla g 2 B vilket mots�ager att B �armaximal. �

KAPITEL 4

Kardinaltal

1. M�aktighet och Schr�oder{Bernsteins sats

Definition 10. Vi s�ager att tv�a m�angder A och B �ar li-

ka m�aktiga eller har samma m�aktighet om det �nns en bijektionf : A! B.

Sats 12 (Schr�oder{Bernstein). Om A och B �ar tv�a m�angder

och f : A! B och g : B ! A �ar tv�a en-entydiga funktioner, s�a �ar

A och B lika m�aktiga.

Bevis. Vi de�nierar rekursivt

A0 = A; B0 = B;

An = g(Bn�1); Bn = f(An�1):

Vidare s�atter vi

~An = An nAn+1; ~Bn = Bn nBn+1:

Nu g�aller f�or varje n < ! att

f( ~An) = ~Bn+1 och g( ~Bn) = ~An+1;

ty eftersom f �ar inverterbar �ar f( ~An) = f(An n An+1) = f(An) nf(An+1) = Bn+1 nBn+2 = ~Bn+1, och motsvarande g�aller f�or g.

S�att ~A =Tn<! An och ~B =

Tn<! Bn. D�a �ar f( ~A) = ~B och

g( ~B) = ~A. Vidare g�aller f�or varje n < ! att ~A \ ~An = ; och~B \ ~Bn = ;, samt g�aller att ~An \ ~Am = ; och ~Bn \ ~Bm = ; omn < m < !.

Vi de�nierar nu en funktion h : A! B med h�1 : B ! A. Taga 2 A. Om a 2 ~A s�a de�nierar vi h(a) = f(a), annars �nns detett n < ! s�a att a 2 An. Om n = 2m f�or n�agot m, s�a de�nierar vi

27

28 KARDINALTAL

h(a) = f(a) och annars �ar n = 2m+1 f�or n�agot m och vi de�nierarh(a) = g�1(a). �

Definition 11. Antag att A och B �ar m�angder. Vi s�ager att A�ar m�aktigare �an B om det �nns en en-entydig funktion f : B ! A

och A inte �ar lika m�aktig som B. Vi skriver A � B om A �arm�aktigare �an B och A � B om det �nns en en-entydig funktionf : A! B. Om A och B �ar lika m�aktiga, s�a skriver vi A � B.

Det g�aller allts�a att A � B om och endast om antingen A � B

eller A � B.Relationen A � B utg�or en partiell ordning p�a varje m�angd.

Om A och B �ar tv�a m�angder, s�a kan vi inte utan urvalsaxiometvisa att antingen �ar A � B eller s�a �ar B � A. Utan urvalsaxiometg�ar det allts�a inte att visa att relationen � utg�or en line�ar ordning.Vi kommer i n�astf�oljande avsnitt de�niera kardinaltal och visa attom urvalsaxiomet antas g�alla, s�a �ar relationen � en line�ar ordning.

2. Kardinaltal

Om A �ar en m�angd som �ar lika m�aktig som ordinaltalet �, s�a�ar

f� : � 2 S(�) och � �ar lika m�aktig som A g

en en icke-tom m�angd av ordinaler, och inneh�aller d�arf�or ett minstaordinaltal enligt korollarium 1. Vi kan d�arf�or ge f�oljande de�nition.

Definition 12 (Kardinaltal). Antag att A �ar en m�angd ochatt det �nns ett ordinaltal � som �ar lika m�aktigt som A. D�a de�-nieras kardinaltalet till A som det minsta ordinaltalet som �ar likam�aktigt som A, och betecknas jAj.

Sats 13. Antag att urvalsaxiomet g�aller. D�a har varje m�angd

ett kardinaltal.

Bevis. Eftersom urvalsaxiomet, enligt sats 11, �ar ekvivalentmed v�alordningsprincipen, s�a �ar varje m�angd lika m�aktig som n�agotordinaltal. �

Vi skriver jAj < jBj om jAj 2 jBj, och vi skriver jAj � jBj omjAj < jBj eller jAj = jBj.

3. KARDINALTALSARITMETIK 29

Korollarium 3. Antag att urvalsaxiomet g�aller. D�a �ar A och

B �ar lika m�aktiga, om och endast om jAj = jBj, och B �ar m�aktigare

�an A om och endast om jAj < jBj.

Bevis. Om jAj � jBj och jBj � jAj, s�a f�oljer det ur Schr�oder{Bernsteins sats att A och B �ar lika m�aktiga. Omv�andningen f�oljertrivialt.

B �ar m�aktigare �an A �ar ekvivalent med jAj 2 jBj, det vill s�aga,B �ar m�aktigare �an A om och endast om jAj < jBj. �

Korollarium 4. Antag att urvalsaxiomet g�aller. L�at A vara

en m�angd av kardinaltal. D�a utg�or < en v�alordning p�a A.

Bevis. Det �ar klart att < �ar en line�ar ordning p�a A. Sats 4ger att < �ar en v�alordning. �

Korollarium 5. Antag att urvalsaxiomet g�aller och att A och

B �ar tv�a m�angder. D�a g�aller precis ett av f�oljande p�ast�aenden: A

och B �ar lika m�aktiga; A �ar m�aktigare �an B; B �ar m�aktigare �an

A.

3. Kardinaltalsaritmetik

I detta avsnitt antar vi att urvalsaxiomet existerar. Vi kan d�age f�oljande de�nitioner.

Definition 13 (Addition av kardinaltal). L�at m och n varatv�a kardinaltal. D�a de�nieras m + n som det kardinaltal som gesav

m+ n = jm� f0g [ n� f1gj:

Definition 14 (Multiplikation av kardinaltal). L�at m och n

vara tv�a kardinaltal. D�a de�nieras m � n som det kardinaltal somges av

m � n = jm� nj:

Definition 15 (Exponentiering av kardinaltal). L�at m och n

vara tv�a kardinaltal. D�a de�nieras mn som det kardinaltal som gesav

mn = jmnj = jf f : f : m! n gj:

30 KARDINALTAL

Observera att mn dels betecknar m�angden ff : f : n! m g ochdels kardinaltalet till denna m�angd.

L�at A vara en m�angd. Det �nns en bijektion f : P(A) ! 2A

som de�nieras av f(B) = gB d�ar gB ges av

b 2 B , gB(b) = 1:

Det f�oljer att P(A) och 2A �ar lika m�aktiga, och eftersom A ochjAj �ar lika m�aktiga, s�a �ar jP(A)j = j2Aj = 2jAj.

4. Att j�amf�ora kardinaltal

Sats 14. L�at A vara en m�angd. D�a �arP(A) och 2A m�aktigare

�an A.

Bevis. Vi har i f�oreg�aende avsnitt sett att P(A) och 2A �arlika m�aktiga.

Det �ar klart att A inte �ar m�aktigare �an P(A), ty f(a) = fagde�nierar en en-entydig funktion f : A!P(A). Vi ser att det nur�acker att visa att A inte �ar lika m�aktig som P(A).

Antag att A �ar lika m�aktig som P(A). D�a �nns en bijektionf : A!P(A).

L�at

B = f a 2 A : a 62 f(a) g:

D�a �ar B 2 P(A) och eftersom f �ar en bijektion �nns det d�arf�orett b 2 A s�adant att B = f(b).

Nu g�aller att

b 2 B , b 62 f(b) , b 62 B;

ty f(b) = B. Detta �ar om�ojligt, s�a allts�a kan inte A vara lika m�aktigsom P(A). Det f�oljer att P(A) �ar m�aktigare �an A. �

Sats 15 (Hartogs). L�at A vara en m�angd. Det �nns ett ordi-

naltal � s�adant att � �P(P(A�A)) och :(� � A).

Bevis. L�at B � A. Varje v�alordning � p�a B kan p�a ett na-turligt s�att identi�eras med en delm�angd r till A�A, genom

a � b , (a; b) 2 r:

4. ATT J�AMF�ORA KARDINALTAL 31

P�a samma s�att ger vissa delm�angder till A � A upphov till env�alordning p�a en delm�angd B till A. Vi betraktar dessa delm�angderoch l�ater

T = f r 2P(A�A) : r �ar en v�alordning p�a en delm�angd till A g:

Vi de�nierar nu en funktion f p�a T enligt

f(r) = ordningstypen av den m�angd som r v�alordnar.

Nu �ar � = f f(r) : r 2 T g en m�angd av ordinaler, och �ar isj�alva verket en ordinal, ty om � 2 � och 2 � s�a �ar � = f(r) f�orn�agot r, v�alordningen r �ar en v�alordning av n�agon m�angd B � A

och = f(s) d�ar s �ar restriktionen av r till en delm�angd C � B,vilket visar att 2 �.

Vi de�nierar en en-entydig funktion g : � ! P(P(A � A)).Tag � 2 �. D�a de�nierar vi

g(�) = f r 2 T : f(r) = � g:

D�a �ar g en-entydig varf�or � �P(P(A�A)).Vi visar nu att p�ast�aendet � � A �ar falskt. Antag att � � A

g�aller, s�a att det �nns en en-entydig funktion h : �! A. Betrakta

s = f (h(�); h( )) : �; 2 �; 62 � g �P(A�A):

D�a �ar s ett element i T och f(s) = �. S�alunda �ar � 2 � vilket �arom�ojligt. �

Det �ar nu naturligt att inf�ora f�oljande axiom.

Axiom 14. Om A och B �ar tv�a m�angder, s�a g�aller n�agon avrelationerna A � B, A � B, eller B � A.

Vi ger f�oljande korollarium till sats 15.

Korollarium 6. Antag att axiom 14 g�aller. D�a g�aller v�al-

ordningsprincipen, axiom 11.

Bevis. L�at A vara en m�angd. Enligt sats 15 �nns ett ordinaltals�adant att � � A inte g�aller. Enligt axiom 14 m�aste d�arf�or A � �

g�alla. D�a �nns det en en-entydig funktion f : A! �, och eftersom� �ar v�alordnad, s�a de�nierar detta en v�alordning p�a A. �

Korollarium 7. Axiomen 10{14 �ar ekvivalenta.

32 KARDINALTAL

Bevis. Inneb�orden av Korollarium 6 och sats 13, tillsammansmed satserna 11 och 4, visar ekvivalensen. �

5. Kardinaltalen @�

Vi inf�or beteckningen @0 = jNj. Detta kan vi g�ora utan urval-saxiomet, ty det g�aller tydligen att @0 = !.

Vi ska nu de�niera kardinaltalen @�, f�or alla ordinaltal �. An-tag att @� har de�nierats f�or alla � 2 �. Enligt sats 14 �ar P(@�)

m�aktigare �an @� . Det f�oljer att P

�S�2� @�

��ar m�aktigare �an @�

for � 2 �.Om vi nu antar att urvalsaxiomet g�aller, s�a kan vi l�ata

=���P�[

�2�

@�����;

och betrakta f�oljande m�angd av ordinaltal

A =\�2�

f � 2 + 1 : j�j > @� g:

D�a �ar A inte tom, ty 2 A. L�at " vara det minsta elementet i A,och s�att @� = j"j = ".

Vi har h�armed de�nierat, med hj�alp av urvalsaxiomet, en f�oljdav kardinaltal med f�oljande egenskaper. @� < @� om och endastom � 2 �. Om A �ar en m�angd, s�a �ar antingen A �andlig, eller s�a�nns det ett ordinaltal � s�adant att jAj = @�.

Om vi inte antar att urvalsaxiomet g�aller, s�a kan vi ist�alletanv�anda sats 15. Antag att @� har de�nierats f�or alla � 2 �. Enligtsats 15 �nns det f�or varje � 2 � ett ordinaltal �� s�adant att :(�� �@�). Eftersom �� och @� b�ada �ar ordinaltal g�aller d�arf�or att @� ��� . L�at nu

=[�2�

�� :

D�a �ar ett ordinaltal och m�angden

A =\f � 2 + 1 : j�j > @� g

�ar inte tom. P�a samma s�att som tidigare l�ater vi " vara det minstaelementet i A och s�atter @� = j"j = ".

6. KONTINUUMHYPOTESEN 33

P�a detta s�att har vi nu visat, utan att anv�anda urvalsaxiomet,att det �nns en f�oljd av kardinaltal som uppfyller @� < @� om ochendast om � 2 �. Vidare g�aller att om A �ar en m�angd s�adan att jAjexisterar, s�a �ar antingen A �andlig, eller s�a �nns det ett ordinaltal� s�adant att jAj = @�.

F�or ett ordinaltal � inf�or vi ocks�a beteckningen !� = @�; be-teckningen !� anv�ands n�ar vi betraktar !� som ett ordinaltal, och@� anv�ands n�ar vi betraktar @� som ett kardinaltal. S�alunda harvi att !0 = !, och !�+!� torde tolkas som addition av ordinaltal,varj�amte @� + @� torde tolkas som addition av kardinaltal.

6. Kontinuumhypotesen

L�at R beteckna de reella talen. De rationella talen Q �ar likam�aktiga som de naturliga talen N, och varje reellt tal kan represen-teras av en r�acka av tal i f0; 1g, p�a ett s�att som �ar entydigt s�a n�arsom f�or de rationella talen. H�armed visar man l�att att jRj = 2@0 .Vi inf�or beteckningen c f�or kardinaltalet jRj, vilket kallas f�or kon-tinuumet.

Kontinuumhypotesen �ar namnet p�a hypotesen att c = @1. Un-der antagandet att axiomen 1{10 g�aller och �ar utan mots�agelser,har Kurt G�odel, �ar 1940, visat att kontinuumhypotesen inte kanmotbevisas utifr�an n�amnda axiom. Under samma antagande harPaul Cohen, �ar 1963, visat att kontinuumhypotesen inte kan bevi-sas utifr�an n�amnda axiom.

Sats 14 medf�or att @� < 2@� g�aller f�or varje ordinaltal �.S�alunda �ar @�+1 � 2@� . Den generaliserade kontinuumhypotesen

�ar att

@�+1 = 2@� :

Man de�nierar i0 = @0 och i�+1 = 2i� . Om � �ar ett gr�ans-ordinaltal de�nieras i� som det minsta kardinaltal som uppfyller

i� 2 S( ) f�or alla � 2 �:

Den generaliserade kontinuumshypotesen kan med dessa beteck-ningar formuleras som att i� = @� f�or varje ordinaltal �.

34 KARDINALTAL

7. Problem

(1) Visa att ett ordinaltal � �ar ett kardinaltal, om och endastom � ej �ar lika m�aktigt som n�agot � 2 �.

(2) Urvalsaxiomet antas g�alla. Visa att om An �ar en m�angdmed jAnj = @0 f�or varje n 2 !, s�a �ar����

[n2!

An

���� = @0:

Vad kan man s�aga om urvalsaxiomet inte antas g�alla?(3) Urvalsaxiomet antas inte g�alla. Visa att om An = N�fng,

s�a �ar jAnj = @0 och����[n2!

An

���� = @0:

Vad utg�or skillnaden mot f�oreg�aende uppgift?(4) Urvalsaxiomet antas inte g�alla. Visa att om m �ar ett or-

dinaltal s�adant att m � @0 s�a �nns det ett ordinaltal �s�adant att m = @�.

(5) Urvalsaxiomet antas g�alla. Visa att om A �ar en m�angdsom inte �ar �andlig s�a �nns det ett ordinaltal � s�adant attjAj = @�.

KAPITEL 5

Filter

L�at X vara en m�angd. Vi kommer h�ar att studera vissa del-m�angder tillP(X). I s�adana sammanhang talar man ofta om kom-

plementet till en m�angd A 2P(X), vilken betecknas {A och de�-nieras som {A = X nA.

Definition 16 (Filter). Om F �P(X), s�a kallas F f�or ett�lter om

(1) F 6= ;.(2) Om A;B 2 F , s�a �ar A \B 2 F .(3) Om A 2 F och A � B � X, s�a �ar B 2 F .

Ett �lter F kallas �akta om ; 62 F , det vill s�aga om F 6=P(X).

Definition 17 (Ultra�lter). L�at F vara ett �lter. D�a kallasF f�or ett ultra�lter om f�oljande g�aller.

(1) F �ar ett �akta �lter.(2) Om A � X, s�a �ar antingen A 2 F eller {A 2 F .

Ett �lter F kallas maximalt om det inte �nns ett �lter Gs�adant att F � G �P(X) och F 6= G 6=P(X) g�aller.

Vi ska f�orst visa f�oljande sats om ultra�lter.

Sats 16. F �ar ett ultra�lter , F �ar ett maximalt �akta �lter.

Innan vi bevisar satsen inf�or vi mer terminologi. Om C �P(X), s�a s�ager vi att C har icke-tomma �andliga snitt, om det f�orvarje �andlig icke-tom delm�angd fA1; : : : ; Ang � C g�aller att snittetA1 \ � � � \An inte �ar tomt.

Det f�oljer allts�a ur de�nitionen f�or �akta �lter, att om F �ar ett�akta �lter, s�a har F icke-tomma �andliga snitt. Vi kan nu enkeltvisa f�oljande lemma.

35

36 FILTER

Lemma 3. F [ fAg har icke-tomma �andliga snitt, om och

endast om, {A 62 F .

Bevis. Vi ser att f�oljande g�aller f�or ett �akta �lter F . OmF [ fAg har icke-tomma �andliga snitt s�a m�aste {A 62 F . OmF [ fAg ej har icke-tomma �andliga snitt, s�a �nns B 2 F s�adantatt A \B = ;. D�a �ar B � {A och {A 2 F . �

Vi anv�ander nu detta f�or att visa sats 16.

Bevis f�or sats 16. Antag att F �ar ett �akta �lter. Vi visaratt

F �ar ej ett ultra�lter , F �ar ej maximalt.

Om F inte �ar ett ultra�lter, s�a �nns det ett A � X s�adant attvarken A eller {A tillh�or F . D�a har F [ fAg icke-tomma �andligasnitt, enligt lemma 3. Det f�oljer att

G = fB : 9C 2 F [ fAg; C \A � B g

utg�or ett �akta �lter. Tydligen �ar F � G och F �ar ej maximalt, tyA 2 G och A 62 F .

Om F ej �ar maximalt s�a �nns det ett �akta �lter G s�adant attF � G och ett A 2 G nF . D�a kan inte {A 2 F , ty d�a vore G ej�akta. Detta visar att F ej �ar ett ultra�lter. �

Sats 17 (Ultra�lterlemmat). Antag att urvalsaxiomet g�aller.

Antag att C �P(X) och att C har icke-tomma �andliga snitt. D�a

�nns ett ultra�lter som omsluter C .

Bevis. S�att

F = fA : A � B1 \ � � � \Bn f�or n�agot n och B1; : : : ; Bn 2 C g:

D�a �ar F ett �akta �lter. L�at � vara m�angden av alla �akta �lter sominneh�aller C . D�a �ar � ej tom, ty F 2 � och inklusion utg�or enpartiell ordning p�a �. Om �ar en line�art ordnad delm�angd av �,s�a �nns en �ovre begr�ansning till , n�amnligen [. Zorns lemmamedf�or d�arf�or att det �nns ett st�orsta element i . Detta element�ar uppenbarligen ett �akta �lter och det utg�or ett ultra�lter enligtsats 16. �

KAPITEL 6

Borelm�angder

1. �-algebror och Borelm�angder

Vi betraktar i f�oreliggande kapitel olika delm�angder tillP(Rd).L�at G beteckna de �oppna m�angderna och l�at F beteckna de slutnam�angderna i P(Rd).

Lemma 4. jGj = jF j = c.

Bevis. Vi har att jRdj = c. Vidare �ar det klart att c � jGj =jF j, ty fxg 2 F f�or varje x 2 R och A 2 G om och endast om{A 2 F .

L�at f�or n 2 N, n � 1,

Cn =n d

�k=1

hakn;bk

n

i: ak; bk 2 Z

o:

Tag U 2 G. L�atD1 = fQ 2 C1 : Q � U g

och de�niera rekusivt

Dn =nQ 2 Cn : Q � U n

�n�1[k=1

[Dk n @n�1[k=1

[Dk�o

:

D�a �arU =

[n

[Dn;

och detta de�nierar en en-entydig avbildning fr�an G till @@00 =c. �

Definition 18. A �P(Rd) kallas f�or en algebra om Rd 2 A ;A 2 A ) {A 2 A ; och A;B 2 A ) A [B 2 A .

37

38 BORELM�ANGDER

Om A �ar en algebra och om

(C � A ; jC j � @0) ) [C 2 A ;

s�a kallas A f�or en �-algebra.

Lemma 5. Om C � P(Rd) s�a �nns det en minsta �-algebra

�(C ) som omsluter C .

Bevis. Vi ser att omS �ar en m�angd av �-algebror ochS 6= ;,s�a �ar \S en �-algebra.

L�at S vara m�angden av alla �-algebror som omsluter C . D�a�ar P(Rd) 2 S . Den minsta �-algebran som omsluter C ges av\S . �

Definition 19. Borel-�-algebran B de�nieras av B = �(G).Om A 2 B s�a kallas A f�or en borelm�angd.

Om C �ar en m�angd, s�a l�ater vi C� och C� beteckna allauppr�akneliga unioner respektive snitt av m�angder i C . S�alundahar vi att

C� = f[D : D � C och jD j � @0 g;

C� = f\D : D � C och jD j � @0 g:

Vi erinrar oss att !1 betecknar den minsta icke-uppr�akneligaordinalen. F�ormedelst trans�nit induktion �over 0 2 � 2 !1 de-�nierar vi de s�a kallade borelklasserna, vilka utg�ors av de additi-

va klasserna �0�, de multiplikativa klasserna �0� samt de tvetydigaklasserna �0

�. S�att

�01 = G; �01 = F:

F�or 0 2 � 2 !1 l�ater vi

�0� =

�[�2�

�0�

��

; �0� =

�[�2�

�0�

��

; �0� = �0� \�0�:

S�alunda har vi att �02 = F�, �02 = G�, �

03 = G�� och s�a vidare.

F�or att f�orenkla v�ara beteckningar l�ater vi �00 = �00 = ;.

Lemma 6. L�at 0 2 � 2 !1. Den additiva klassen �0� �ar sluten

under uppr�akneliga unioner, (�0�)� = �0�. Den multiplikativa klas-

sen �0� �ar sluten under uppr�akneliga snitt, (�0�)� = �0�. Alla tre

1. �-ALGEBROR OCH BORELM�ANGDER 39

klasser �0�, �0� och �0

� �ar slutna under �andliga unioner och snitt.

Slutligen �ar

�0� = f {E : E 2 �0� g; �0� = f {E : E 2 �0� g:

Bevis. Egenskaperna avseende unioner och snitt f�oljer ur de-�nitionerna f�or klasserna. Det sista p�ast�aendet �ar uppenbart f�or� = 1 och f�oljer f�or allm�ant � genom trans�nit induktion. �

Sats 18. F�oljande g�aller.

(1) F�or 0 2 � 2 !1 �ar

�0�;�0� � �0

�+1:

(2) F�or 1 2 � 2 !1 �ar

�0� = (�0�)� och �0� = (��)�:

(3) B =[�2!1

�0� =[�2!1

�0�:

Bevis. P�ast�aende (1) g�aller f�or � = 1 och f�oljer f�or allm�ant �genom trans�nit induktion.

Vi visar nu p�ast�aende (2). Ur p�ast�aende (1) ser vi att inklu-sionen [

�2�

�0� � �0�

h�aller f�or 1 2 � 2 !1. D�arav f�oljer att �0� � (�0

�)�, ty (�0�)� = ��

enligt Lemma 6. Men vi har ocks�a att �0� � �0� varur (�0

�)� � �0�f�oljer. S�alunda �ar �0� = (�0

�)� och p�a samma s�att f�oljer att �0� =(�0

�)�.F�or att visa p�ast�aende (3) l�ater vi

C =[�2!1

�0�:

D�a �ar G � C . Enligt Lemma 6 g�aller att A 2 �0� medf�or att{A 2 �0� � �0�, vilket visar att C �ar sluten under komplement.

F�or varje n 2 !, l�at An 2 C . D�a �ar An 2 �0�n f�or n�agot

�n 2 !1. L�at � =Sn2! �n. D�a �ar

Sn2! An 2 �0�+1. Vidare �ar

alla �n uppr�akneliga, varf�or ocks�a � + 1 �ar uppr�aknelig. Allts�a

40 BORELM�ANGDER

�ar � 2 !1 ochSn2! An 2 C . Detta visar att C �ar sluten under

uppr�akneliga unioner, C = C�.Eftersom C �ar sluten under komplement och uppr�akneliga

snitt har vi att C �ar en �-algebra. Det f�oljer att inklusionernaG � C � B g�aller, vilket ger oss att B = C . �

Korollarium 8. j�0�j = j�0�j = jBj = c.

Bevis. Enligt Lemma 4 �ar j�01j = j�01j = c. Vi visar medtrans�nit induktion att j�0�j = j�0�j = c f�or alla � 2 !1.

Antag att j�0� j = j�0� j = c g�aller f�or alla � 2 �, d�ar � 2 !1.

Eftersom j�0� j = c f�or � 2 � och j�j � @1 har vi att����[�2�

�0�

���� � c � @1 � c � c = c:

Nu f�oljer att

c � j�0�j =

�����[�2�

�0�

��

���� � c@0 = (2@0)@0 = 2@0�@0 = 2@0 = c

och p�a samma s�att f�ar vi att j�0�j = c. Trans�nit induktion ger ossdetta resultat f�or alla � 2 !1.

Slutligen har vi att jBj = c ty

c � jBj =

����[�2!1

�0�

���� � c � j!1j � c � c = c: �

2. Mer om �-algebror

Om fAi : i 2 I g �ar en m�angd av �-algebror s�a l�ater viOi2I

Ai

beteckna den minsta �-algebra som omsluter m�angden av m�angderp�a formen

�i2I

Ai; Ai 2 Ai:

Sats 19 (Rao). Om kontinuumhypotesen g�aller s�a �arP(R2) =P(R)P(R).

2. MER OM �-ALGEBROR 41

Bevis. Kontinuumshypotesen ger att c = j!1j och R kan d�ar-f�or v�alordnas. V�alordna R och l�at � beteckna v�alordningen.

L�at R vara den uppr�akneliga m�angden av �oppna intervall medrationella �andpunkter. L�at f : R! R. D�a �ar

y 6= f(x) , 9I 2 R(f(x) 2 I och y 62 I);

vilket visar attf = {

[I2R

(f�1(I)� {I):

S�alunda �ar f 2P(R)P(R).Tag nu A � R� R. Vi skriver A = B [ C d�ar

B = A \ f (a; b) : b � a g;

C = A \ f (a; b) : a � b g:

Tag a 2 R. D�a �ar Ba = f b : (a; b) 2 B g h�ogst uppr�aknelig. Vi kand�a framst�alla Ba p�a formen Ba = f bk(a) : k 2 N g. Enligt vad somvisade ovan �ar bk 2P(R)P(R).

Vi har allts�a att bn = f (a; bn(a)) : a 2 R g 2 P(R) P(R)och det g�aller d�arf�or att

B =[n2N

bn 2P(R)P(R):

P�a samma s�att visas att C 2 P(R) P(R). S�alunda �ar A 2B [ C 2P(R)P(R). �

Litteraturf�orteckning

[1] K. J. Devlin, The joy of sets: fundamentals of contemporary set theory,Springer-Verlag, New York{Berlin, andra upplagan, 1993.

[2] R. Goldblatt, Lectures on the hyperreals: an introduction to nonstandard

analysis, Graduate texts in mathematics 188, Springer-Verlag, New York,1998.

[3] F. Hausdor�, Grundz�uge der Mengenlehre, f�orsta upplagan, Chelseapublishing company, New York, 1965.

[4] J. Roitman, Introduction to modern set theory, Wiley, New York, 1990.[5] W. Sierpi�nski, Cardinal and ordinal numbers, Polska akademia nauk, Mo-

nogra�e matematyczne, tom 34, andra upplagan, Warszawa, 1965.[6] S. M. Srivastava, A course on Borel sets, Graduate texts in mathematics

180, Springer-Verlag, New York, 1998.

43

Sakregister

addition

av kardinaltal, 29

av ordinaltal, 17

additiva klasser, 38

@0, 32

@�, 32

algebra, 37

i�, 33

bijektion, 10

bokf�oring, se dubbel italiensk

borel-�-algebran, 38

borelklasserna, 38

borelm�angd, 38

c, 33

Cantors normalform, 21

Cartesii produkt, 10

cartesisk produkt, 10

de�nitionsm�angd, 10

delm�angd, 7

�, 7

�0�, 38

dubbel italiensk bokf�oring, 11

efterf�oljande ordinaltal, 16

element, 7

en-entydig, 10

"0, 21

"�, 21exponentieringav kardinaltal, 29av ordinaltal, 19

�lter, 35maximalt, 35ultra-, 35

�akta, 35funktion, 10en-entydig, 10inverterbar, 10normal, 20restriktion av en, 10

generaliseradekontinuumhypotesen, 33

gr�ansordinaltal, 16

Hausdor�s maximumprincip, 23

innesluten, 7invers, 10inverterbar, 10

kardinaltal, 28kedja, 13komplement, 35kontinuumet, 33kontinuumhypotesen, 33generaliserade, 33

45

46 SAKREGISTER

line�ar ordning, 13

maximaltelement, 13�lter, 35

maximum, 13minimaltelement, 13

minimum, 13minsta element, 13multiplikationav kardinaltal, 29av ordinaltal, 19

multiplikativa klasser, 38m�alm�angd, 10m�aktighet, 27m�angd, 7

N, 11normal funktion, 20

!, 14!�, 33omsluten, 7Ord, 17ordinaltal, 14efterf�oljande, 16gr�ans-, 16

ordnat par, 9ordningstyp, 16

partiell ordning, 13�0�, 38

restriktion, 10

Schr�oder{Bernsteins sats, 27�0�, 38

�-algebra, 38borel-, 38

snitt, 9\, 9st�orsta element, 13

tillh�or, 72, 7

trans�nit induktion, 16tvetydiga klasser, 38

ultra�lter, 35ultra�lterlemmat, 36union, 8, 9[, 8urvalsaxiomet, 23

v�alordnad, 14v�alordningsprincipen, 23v�ardef�orr�ad, 10v�ardem�angd, 10

Zorns lemma, 23