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Curso- Engenharia Civil/MecânicaDisciplina- Cálculo II – Prof. Olga2º Semestre de 2014
Antiderivação- Integração Indefinida
Muitas vezes conhecemos a derivada de uma função e queremos encontrar a própriafunção.Por exemplo: um físico conhece a velocidade de um corpo em movimento e quer sabera posição desse corpo em um determinado tempo futuro.O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado antiderivação ouintegração indefinida.
F(x) é uma antiderivada de f(x) para qualquer x do domínio de f se F’(x) = f(x)
Exemplo: F(x) =x2 é uma antiderivada de f(x) = 2x pois F’(x) = 2xObservamos também que F(x) = x2 + 3 é também uma antiderivada de f(x) = 2x poisF’(x) = 2x.
Dada uma função f(x) existe uma família de antiderivadas de f(x) da forma F(x) + C emque C é uma constante.Ou seja, se F(x) é uma antiderivada de f(x), todas as antiderivadas de f(x) são da formaF(x) +C.
Essa família de antiderivadas é representada por :
em que F’(x) = f(x)
dxxf )( integral indefinida de f(x) f(x) integrando dx símbolo que indica a variável x ( variável de integração).
Exemplos:
1) Cxdxx 4
43 pois 3
4
4.41)
4( xCx
dxd
= x3
2) poisCxdxx 323 23 3)( xCxdxd
3) (21 23
dtdpoisCtdtt 32 )
21 tCt
Regras de integração:
1) Regra da constante
CxFdxxf )()(
Ckxkdx ( k = constante )
2
Exemplos : Cxdx 22 ; Cxdx 33 ; Cxdx
2) Regra da potência
Exemplos:
CxCxdxx
312
3122 ; CtCtdtt
2
133
21
13
3) Regra do logaritmoNa regra da potência, se n = -1, temos dxx 1 que não pode ser calculada como
11
11
x + C ( o denominador se anula )
Temos então : x 0
4) Regra da exponencial
Regras algébricas para integração:
1) dxxfkdxxfk )()(.
2) dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
3) dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
Exemplos :1) dxxdxdxxdxxdxxx 32323 515)15( dxdxx 12 =
Cnxdxxn
n
1
1
( n -1 )
Cxdxx
dxx ln11
Cek
dxe kxkx 1 , k 0
3
5( 321
34
32
3
1
4
5;34
5)(3
)4
CCCCCxxxCxCxCx
Verificação:
Podemos verificar as integrações indefinidas, derivando a expressão final para ver seobtém o integrando ou uma forma equivalente do mesmo.
No exemplo anterior:
(dxd )
345 3
4 Cxxx = 4. 150131.3
45 2323 xxxx
Lista5Calcule a integral dada. Verifique se o cálculo está correto derivando o resultado:1) dxx )34(
2) dxxx )184( 2 3) dttt )349( 2 4) dtttt )732( 23 5) dz
zz)31( 23
6) duu
u )13(
7) dvvvv )362 441
45
8) dxx 2)13(
9) dxxx )32(
10) dxxxx )72(
3
11) dtte t )3( 5
12) dxxxe x )2
(
13) dxxxx )12( 2
2
14) dyy
yy )12(3
15) dxx
xx )51()2( 23
4
16) dyyyy
)3221( 2
17) dxxxx
232
18) duu
eu )2ln62(
19) 1;113
xdxxx
20) dxxx 2)12(
21) dxsenxx )2cos5(
22) dttt )cos(
Tabela de integrais indefinidas Tabela de derivadas
1) Cxdxdx1 1)( xdxd
2) )1(1
1
nCnxdxxn
n nn
xnx
dxd
)1
(1
3) 0;ln1 xCxdx
x xx
dxd 1)(ln ; x 0
4) Cxsendxxcos xxsendxd cos)(
5) Cxdxxsen cos senxxdxd
)(cos
6) Ctgxxdx 2sec xtgxdxd 2sec)(
7) Cgxxdxec cotcos 2 xcogxdxd 2sec)(cot
8) Cxtgxdxx secsec tgxxxdxd .sec)(sec
9) Cecxgxdxxec coscot.cos gxxcoecxdxd cot.sec)(cos
6) Cedxe xx xx eedxd
)(
7) Cek
dxe kxkx 1 kxkx ee
kdxd
)1(
5
Problemas de valor inicial
1) Determine a função f, sabendo que a sua derivada f’(x) = 4125 4 x
xx , e
que f( 1 ) =95
2) Determine a função f tal que f’(x) = 5x3 -2x + 15, com f(0) = -13) Sabendo que u’(t) = 3 3 73 .19 ttt , e que u(1) = 1, determine a função u4) Determine a função polinomial cuja tangente tem inclinação 4x+1 e cuja curva
passa pelo ponto (1,2)5) Determine a função polinomial cuja tangente tem inclinação 3x2 + 6x -2 e cuja
curva passa pelo ponto ( 0,6)6) Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade estará aumentando à
razão de 4 + 5 t 32
habitantes por mês. Se a população atual é de 10000 habitantes,qual será a população daqui a 8 meses?
7) A velocidade escalar em um movimento é dada por v(t) = t 32
. Ache a funçãohorária do movimento, sabendo que ela vale 1 no instante t=0
8) Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é v(t)= 1 + 4t + 3 t2 metros por minuto. Que distância o corpo percorre no terceirominuto?
9) Um fabricante constatou que o custo marginal é 3q2 – 60q + 400 reais porunidade, onde q é o número de unidades produzidas. O custo total para produziras primeiras 2 unidades é R$900,00. Qual é o custo total para produzir asprimeiras 5 unidades?
10) Se um ponto se move em uma reta coordenada com aceleração a(t) e ascondições iniciais dadas, determine s(t)
a) a(t) = 2-6t ; v(0)= -5 e s(0) = 4b) a(t) = 3 t2 ; v(0)= 20 e s(00 = 5
Integração por Substituição ( Cálculo- Um Curso Moderno e SuasAplicações Hoffmann, pág. 311)
Uso da Substituição para integrar dxxf )(1) Escolha uma substituição u = u(x) que simplifique f(x)2) Expresse toda a integral em termos de u e du = u’(x) dx. Isto significa que todos
os termos que envolvem x e dx devem ser transformados em termos queenvolvem u e du
3) Depois de executado o 2º passo, a integral deve estar na forma
duugdxxf )()(4) Calcule o valor desta integral5) Substitua u por g(u)
Exemplo:dxx 7)53(
6
u= 3x + 5
3dxdu dx =
3du
dxx 7)53( =3
7 duu =31 duu 7 =
31 Cu
8
8
=24
8u + C= Cx
24
)53( 8
Calcule as seguintes integrais
1) dx
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Lista 6
Exercícios1) Calcule as integrais indefinidas:
a)
b) dx
c) dx
d)
e) dx
f)
g)
7
h) dx
i)
j)
k)
l)
Integração por partes
É uma técnica utilizada para integrar produtos de funções, isto é, o integrandoé do tipo f (x) . g (x)Para tanto, podemos seguir os seguintes passos para a integração por partes.
1) Escolha os fatores, um fator fácil de integrar e outro fácil de derivar
2) Se f (x) será derivada, derive
3) Se g’(x) dx será integrado, integre, encontrando g (x)
4) Substitua os fatores encontrados na fórmula de integração por partes, ou seja,
ou
Exemplos: Calcule as integrais abaixo, utilizando a integração por partes:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
8
Algumas vezes precisamos utilizar a integração por partes mais de uma vez
Exemplo:
9)
10)
11)
Lista 7
Calcule a integral dada. Verifique se o cálculo está correto derivando o resultado:
1) dxx
x )41( 35
2) dxxx
)1( 3) dx
xx )12( 4
3
4) dxxx )1(
2
, x>0
5) dxx )33( 5 2 6) dxxx )31( 7) dxxx )( 3 28) dxxx )1( 2 9) dxxx 2)1(
10) dxx)cos3(
11) dxsenxx )( 2
12) dxe x 2
13) dxe x )3(
14) dxtgxx 2)(sec
15) dxx 72
16) dxx 5)62(
9
17) dxxx 52 )34(8
18) dttt 52 )1( 19) dxxx 4
332 )1(
20) dxe x 1
21) dyyy
125
4
22) dxxx 1
23) dxxx
x
38263
2
24) dxxx
2)(ln
25) dxe x 25
Respostas
1) Cxx
x 4
21
6 2
6
2) ln x + Cx 3
32
3) Cx
x 3
4
31
2
4) Cxx ln
2
2
5) Cxx 37
15 5 7
6) x - 22
23 xx
7) Cx
833 8
8) Cxx
32
72 37
9) Cxxx
232
4
234
10) 3x + sen x + C
11) Cxx cos
3
3
12) Ce x 2
21
10
13) 3x - Ce x
1
14) 2 tgx + 2 secx –x + C
15) Cx
3)72( 3
16) Cx
12
)62( 6
17) Cx
6
)34( 62
18) Ct
12
)1( 62
19) Cx 47
3 )1(214
20) - e Cx 1
21) Cy 1ln52 5
22) x-1+ln 1x +C
23) Cxx 38223 2
24) Cx 3)(ln31
25) Ce x 25
51
Lista 8- Integrais Trigonométricas
Calcule as seguintes integrais trigonométricas ( método da substituição)1) xdx4cos
2) dxxsen43
3) dxx )34cos(
4) dxxx
cos
5) dxxsenx 55cos36) dxxx 3cos7) v sen(v dv)2
8) dxxsenx 3 33cos
9) dxxsenx 2)cos( (sugestão: sen 2x = 2 senx cosx)
10) dxxsenx 2)cos1(
11
11) dxx
senx 4cos
12) dtsentt
2)1(cos
13) dxx )43(sec2 14) dxxtgx 33sec215) dx
x 2cos12
16) dxxsen2 ( sen2
2cos12 xx )
17) dxx 2cos (cos2
2cos12 xx )
18) dxtgx
Respostas:
1) Cxsen 441
2) - Cx 4cos43
3) Cxsen )34(41
4) 2 sen x +C
5) - Cx 5cos201 4
6) 3
32 xsen +C
7) - Cv )cos(21 2
8) 34
)3(41 xsen + C
9) x - Cx 2cos21
10) –cos x - cos x2 - x3cos31 + C
11) Cx3cos3
1
12)sent11 + C
13) Cxtg )43(31
12
14) Cx 3sec61 2
15) Cxtg 221
16) Cxsenx
42
2
17) Cxsenx
42
218) ln xsec + C
Lista 9
Calcule as seguintes integrais:
1) xdx
57
2) 74
2xxdx
3) xdxx 2cos
4) dxxe x 3
5) dxeex
x
4
3
6) xdx5ln
7) xx)4(lnsec2
dx; u = ln4x
8) xdxsenx 329) dxxe x
25
10) dxx
senx 2)cos2(
Respostas:
1) x57ln51
+C
2) 2ln(x )72 +C
3) Cxxxsen 2cos412
21
4) xx exe 33
91
31
+C
5) 6 4xe +C6) x ln5x –x +C7) tg(ln4x) +C
13
8) Cxxxsenxx 3cos
2723
923cos
3
2
9) Ce x 25
101
10) Cx
cos21
