Antologia de Matematicas V

8/19/2019 Antologia de Matematicas V

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CENTRO DE BACHILLERATOTECNOLOGICO INDUSTRIAL Y DE

SERVICIOS NO. 79

(María Soto La Marina)

Do!nt!" Ing. Demetrio Riveroll Contreras

E#$!ia%i&a&" Soporte y Mantenimiento de

equipo de computo

Gra&o ' Gr$o" 5° “A”

T!a" Antologa

Int!*rant!#"Arenas Rui! Re"ecaA!ua Car"a#al $orge Adri%n&'pe! de &lergo &'pe! Carlos Al"erto(rti! )*pe! Ricardo


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In&i!


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MA+A CONCE+TUAL


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INTEGRAL DE,INIDA (Entr! %iit!#)

Desde su origen+ la noci'n de integral ,a respondido a lanecesidad de me#orar los m*todos de medici'n de %reassu"tendidas "a#o lneas y super-cies curvas. &a t*cnica deintegraci'n se desarroll' so"re todo a partir del siglo /II+paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorasso"re derivadas y en el c%lculo di0erencial.

Concepto de integral de-nida

&a integral de-nida es un concepto utili!ado para determinarel valor de las %reas limitadas por curvas y rectas. Dado elintervalo 1a+ "2 en el que+ para cada uno de sus puntos 3+ sede-ne una 0unci'n 0 43 que es mayor o igual que 6 en 1a+ "2+se llama integral de-nida de la 0unci'n entre los puntos a y "al %rea de la porci'n del plano que est% limitada por la0unci'n+ el e#e ,ori!ontal ( y las rectas verticales deecuaciones 3 7 a y 3 7 ".&a integral de-nida de la 0unci'n entre los e3tremos delintervalo 1a+ "2 se denota como8

9ropiedades de la integral de-nida

&a integral de-nida cumple las siguientes propiedades8

• :oda integral e3tendida a un intervalo de un solo punto+1a+ a2+ es igual a cero.

• Cuando la 0unci'n 0 43 es mayor que cero+ su integral espositiva; si la 0unci'n es menor que cero+ su integral esnegativa.


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• &a integral de una suma de 0unciones es igual a la sumade sus integrales tomadas por separado.

•

&a integral del producto de una constante por una0unci'n es igual a la constante por la integral de la0unci'n 4es decir+ se puede c+ entonces se

cumple que 4integraci'n a tro!os8

• 9ara todo punto 3 del intervalo 1a+"2 al que se aplicandos 0unciones 0 43 y g 43 tales que 0 43 ? g 43+ se

veri-ca que8

Ilustraci'n gr%-ca del concepto de integral de-nida.


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@unci'n integral

Considerando una 0unci'n 0 continua en 1a+ "2 y un valor 3 1a+

"2+ es posi"le de-nir una 0unci'n matem%tica de la 0orma8

donde+ para no inducir a con0usi'n+ se ,a modi-cado lanotaci'n de la varia"le independiente de 3 a t. Bsta 0unci'n+sim"oli!ada ,a"itualmente por @ 43+ reci"e el nom"re de0unci'n integral o+ tam"i*n+ 0unci'n %rea pues cuando 0 esmayor o igual que cero en 1a+ "2+ @ 43 nos da el %rea.

Interpretaci'n geom*trica de la 0unci'n integral o 0unci'n %rea.


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Notaion Si*a ∑ i

&a sumatoria o sumatorio 4llamada tam"i*n notaci'n sigmaes una operaci'n matem%tica que se emplea para calcular lasuma de muc,os o in-nitos sumandos.&a operaci'n sumatoria se e3presa con la letra griega sigmamayscula Σ+ y se representa as8

B3presi'n que se lee8 sumatoria de i+ donde i toma losvalores desde E ,asta n.i es el valor inicial+ llamado lmite in0erior.n es el valor -nal+ llamado lmite superior.9ero necesariamente de"e cumplirse que8i F nSi la sumatoria a"arca la totalidad de los valores+ entonces nose anotan sus lmites y su e3presi'n se puede simpli-car8

A,ora+ veamos un e#emplo8Si se quiere e3presar la suma de los cinco primeros nmerosnaturales se puede ,acer de esta 0orma8


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Algunas 0'rmulas de la operaci'n sumatoria8

&as 9ropiedades de las sumatorias8

E Cuando el lmite in0erior sea un entero mayor que E+ la cantidad det*rminos 4sumandos de una sumatoria se o"tiene ,aciendo8 lmitesuperior 4n menos lmite in0erior 4a m%s la unidad 4E8

B#emplo8

Gallar la cantidad de t*rminos de la siguiente e3presi'n8

H &a sumatoria de una constante 4 es igual al producto 4lamultiplicaci'n entre dic,a constante 4 y la cantidad de sumandos


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E Desarrolla las siguientes sumatorias8


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H Bscri"e las siguientes e3presiones en 0orma desumatoria8


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5 Calcula las siguientes sumatorias8

Conclusion8

Al ver este tema comprendimos que la notaci'n sigma o lasumatoria+ es un operador matem%tico que permiterepresentar sumas de muc,os sumandos+ n o incluso in-nitos

sumandos. Se e3presa con la letra griega sigma 4 y estatiene varias propiedades para distintos casos+ as comodiversas 0ormulas que se usaran para 0acilitar operaciones.

https://es.wikipedia.org/wiki/Sumahttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Sigmahttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Sigmahttps://es.wikipedia.org/wiki/Suma


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Sa &! Ri!ann

Bn matem%ticas+ la suma de Riemann sirve para calcular elvalor de una integral de-nida+ es decir+ el %rea "a#o una curva+este m*todo es muy til cuando no es posi"le utili!ar el

:eorema 0undamental del c%lculo. Bstas sumas toman sunom"re del matem%tico alem%n Kern,ard Riemann.&a suma de Riemann consiste en tra!ar un nmero -nito derect%ngulos dentro de un %rea irregular+ calcular el %rea decada uno de ellos y sumarlos. Bl pro"lema de este m*todo deintegraci'n num*rica es que al sumar las %reas se o"tiene unmargen de error muy grande.

De-nici'n8

Consideremos lo siguiente8

L una 0unci'n donde D es un su"con#unto de los nmeros reales

L I 7 1a+ "2 un intervalo cerrado contenido en D. Nn con#unto -nito de puntos O36+ 3E+ 3H+ ... 3nP tales que a 7 36

> 3E > 3H ... > 3n 7 "crean una partici'n de I9 7 O136+ 3E+ 13E+ 3H+ ... 13nQE+ 3n2P

Si 9 es una partici'n con n elementos de I+ entonces la sumade Riemann de 0 so"re I con la partici'n 9 se de-ne como

donde 3iQE F yi F 3i. &a elecci'n de yi en este intervalo esar"itraria.Si yi 7 3iQE para todo i+ entonces denominamos S como la sumade Riemann por la i!quierda.

https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sumahttps://es.wikipedia.org/wiki/Alemaniahttps://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemannhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_cerradohttps://es.wikipedia.org/wiki/Partici%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sumahttps://es.wikipedia.org/wiki/Alemaniahttps://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemannhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_cerradohttps://es.wikipedia.org/wiki/Partici%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)


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Si yi 7 3i+ entonces denominamos S como la suma de Riemannpor la derec,a.


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ra-cas8

Cuatro de los m*todos de suma de Riemann para apro3imar el%rea "a#o las curvas. &os m*todos derec,a 4a!ul e i!quierda4amarillo ,acen la apro3imaci'n usando+ respectivamente+ lospuntos -nales derec,os e i!quierdos de cada su"intervalo. &os

m*todos m%3imo 4verde y mnimo 4ro#o ,acen laapro3imaci'n usando+ respectivamente+ los valores m%sgrandes y m%s pequeos del punto -nal de cada su"intervalo.&os valores de las sumas convergen a medida que lossu"intervalos partendesde arri"a a la i!quierda ,asta a"a#o a la derec,a.


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B#emplos8

B#emplo T EBvaluando la suma de Riemann en cuatro su"intervalostomando los puntos de la derec,a de la siguiente 0unci'n8

+lmites

&a suma de Riemann representa la suma de las areas so"re ele#e + menos la suma de las areas de"a#o del e#e ; esa es el%rea neta de los rect%ngulo respecto al e#e .

B#emplo T H

Bvaluando la suma de Riemann en seis su"intervalos tomandolos puntos de la i!quierda de la siguiente 0unci'n8

+lmites


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B#emplo T J

Bvaluando la suma de Riemann en seis su"intervalos tomandolos puntos de la derec,a de la siguiente 0unci'n8

+lmites

B#emplo T U

Bvaluando la suma de Riemann en cinco su"intervalostomando los puntos medios de la siguiente 0unci'n8

+lmites

Conclusi'n8Bs aquella sumatoria en la cual se ,acen varias su"divisiones

del %rea "a#o la curva y se van calculando las partes de una0unci'n por medio de rect%ngulos con "ase en un incrementoen el e#e + ya qu* la suma de toda las %reas de losrect%ngulos va ser el %rea total. Dic,a %rea es conocida comola suma de Riemann


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INTEGRAL INDE,INIDA (#in %iit!#)

Integral inde-nida es el con#unto de las in-nitasprimitivas que puede tener una 0unci'n.

Se representa por V 043 d3.Se lee 8 integral de 0 de 3 di0erencial de 3.V es el signo de integraci'n.043 es el integrando o 0unci'n a integrar.d3 es di0erencial de 3+ e indica cu%l es lavaria"le de la 0unci'n que se integra.C es la constante de integraci'n y puede tomarcualquier valor num*rico real.

Si @43 es una primitiva de 043 se tiene que8

V 043 d3 7 @43 W C

9ara compro"ar que la primitiva de una 0unci'n escorrecta "asta con derivar.

9ropiedades de la integral inde-nida

E. &a integral de una suma de 0unciones es igual ala suma de las integrales de esas 0unciones.

V1043 W g432 d3 7V 043 d3 WV g43 d3

H. &a integral del producto de una constante poruna 0unci'n es igual a la constante por laintegral de la 0unci'n.

V 043 d3 7 V043 d3

Di-!r!nia%

&a di0erencial es el concepto que nos ayudar% a #usti-car elprocedimiento que utili!aremos para el c%lculo integral.DI@BRBXCIA&


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Sea y 7 0 43 una 0unci'n con su primera derivada continua y Y3 un incremento en la varia"le 3. &a di0erencial de y sedenota por “d y “y se de-ne como8d y 7 0Z6 43[Y3Bn pala"ras+ la di0erencial de y es igual al producto de laderivada de la 0unci'n multiplicada por el incremento en 3.

Reglas de la di0erenciaci'n

A,ora vamos a dar una interpretaci'n geom*trica de esteconcepto.

E. IX:BR9RB:ACI\X B(M]:RICA

)a sa"emos que la derivada de una 0unci'n es la me#orapro3imaci'n lineal a la 0unci'n en un punto.


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Bn particular+ la derivada evaluada en un punto de la 0unci'nes igual a la pendiente de la recta tangente a la 0unci'n enese punto.Al multiplicar 0 6 436 4la pendiente de la recta tangente a la0unci'n en el punto 36 por Y3 4el incremento en 3o"tenemos el incremento en y al movernos so"re la rectatangente.

("serva que ε W d y 7 Yy . Bs decir+ d y 7 Yy − ε.Bn pala"ras+ d y es una apro3imaci'n a Yy . Cuando el valorde ε se ,ace muy pequeo+ la apro3imaci'n se ,ace cada ve!me#or.ε se ,ar% cada ve! m%s pequeo cuando la segunda derivadasea casi cero. Bsto es as porque la pendiente de las rectastangentes a la gr%-ca de la 0unci'n se mantienen casiconstantes en la cercana de 36.Bn realidad estamos calculando una apro3imaci'n a Yy 4elincremento de y + suponiendo que la 0unci'n es lineal en elintervalo 436+36 W Y3.Bste argumento se ,ace evidente al suponer que la 0unci'n y

7 0 43 es una lnea recta+ pues su primer derivada es igual ala pendiente de la recta y su segunda derivada es cero.&a segunda derivada nos est% diciendo que la pendiente de larecta nunca cam"ia+ por lo que la concavidad de la 0unci'n noest% de-nida+ dado que la segunda derivada es cero en todossus puntos.


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&a di0erencia 0 436WY3−d y es el error que cometemos al,acer la apro3imaci'n de 0 436WY3 suponiendo que secomporta la 0unci'n e3actamente igual que una recta.

Di0erencial como apro3imaci'n al incrementoA,ora vamos a utili!ar la di0erencial para ,acerapro3imaciones. Bsta apro3imaci'n est% "asada en lainterpretaci'n geom*trica que aca"amos de dar de ladi0erencial.

B$BRCICI(S


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Anti &!ria&a#

Bn c%lculo in-nitesimal+ la 0unci'n primitiva o antiderivada deuna 0unci'n 0 es una 0unci'n @ cuya derivada es 0+ es decir+ @ ′

7 0.Nna condici'n su-ciente para que una 0unci'n 0 admitaprimitivas so"re un intervalo es que sea continua en dic,ointervalo.Si una 0unci'n 0 admite una primitiva so"re un intervalo+admite una in-nidad+ que di-eren entre s en una constante8si @E y @H son dos primitivas de 0+ entonces e3iste un nmeroreal C+ tal que @E 7 @H W C. A C se le conoce como constantede integraci'n. Como consecuencia+ si @ es una primitiva deuna 0unci'n 0+ el con#unto de sus primitivas es @ W C. A dic,ocon#unto se le llama integral inde-nida de 0 y se representacomo8

'

Constante de Integraci'n&a derivada de cualquier 0unci'n constante es cero. Nna ve!que se ,a encontrado una primitiva @+ si se le suma o restauna constante C+ se o"tiene otra primitiva. Bsto ocurre porque

4@ W C ^ 7 @ ^ W C ^ 7 @ ^ W 6 7 @Z. &a constante es una manerade e3presar que cada 0unci'n tiene un nmero in-nito deprimitivas di0erentes.9ara interpretar el signi-cado de la constante de integraci'nse puede o"servar el ,ec,o de que la 0unci'n 0 43 es laderivada de otra 0unci'n @ 43+ es decir+ que para cada valorde 3+ 0 43 le asigna la pendiente de @ 43. Si se di"u#a en cadapunto 43+ y del plano cartesiano un pequeo segmento conpendiente 0 43+ se o"tiene un campo vectorial.

Bntonces el pro"lema de encontrar una 0unci'n @ 43 tal quesu derivada sea la 0unci'n 0 43 se convierte en el pro"lema deencontrar una 0unci'n de la gr%-ca de la cual+ en todos lospuntos sea tangente a los vectores del campo.&inealidad de la integral inde-nida

&a primitiva es lineal+ es decir8


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E.Si 0 es una 0unci'n que admite una primitiva @ so"re unintervalo I+ entonces para todo real + una primitivade 0 so"re el intervalo I es @.

H.Si @ y son primitivas respectivas de dos 0unciones 0 y g+entonces una primitiva de 0 W g es @ W .

&a linealidad se puede e3presar como sigue8

&a primitiva de una 0unci'n impar es siempre par

Bn e0ecto+ como se ve en la -gura siguiente+ las %reasantes y despu*s de cero son opuestas+ lo que implica quela integral entre Qa y a es nula+ lo que se escri"e as8 @4aQ @4Qa 7 6+ @ siendo una primitiva de 0+ impar. 9or lo tantosiempre tenemos @4Qa 7 @4a8 @ es par.

&a primitiva @ de una 0unci'n 0 par es impar con tal deimponerse @46 7 6

Bn e0ecto+ segn la -gura+ la %reas antes y despu*s de cero

son iguales+ lo que se escri"e con la siguiente igualdad deintegrales8


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Bs decir @46 Q @4Qa 7 @4a Q @46. Si @46 7 6+ @4Qa 7Q @4a8 @ es impar.

&a primitiva de una 0unci'n peri'dica es la suma de una0unci'n lineal y de una 0unci'n peri'dica

9rincipales 0unciones 9rimitivas


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Conclusion8

Xuestro equipo entend con asom"ro so"re las integralesinde-nidas+ es algo di0ciles ya que es un tema muy e3tenso y

tardaramos muc,o tiempo indagando en ellas.Xo "asta con sa"er un poco+ necesitamos conocer muy a0ondo este tema+ ya que varios de mis compaeros piensanestudiar una ingeniera y esto ser% de gran ayuda para un0uturo no tan le#ano.Como equipo nos ,a impresionado lo e3tensa que son lostemas con respecto al c%lculo integral+ una de las cosas quenos ,a gustado 0ue comprender el reciproco de las derivadas+no pens%"amos que ,u"iera un tipo de operaci'n como sonlas anti derivadas y lo tiles que pueden llegar a ser.


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M/to&o &! Int!*rai0nSe entiende por /to&o# &! int!*rai0n cualquiera de lasdi0erentes t*cnicas elementales usadas para calcularuna antiderivada o integral inde-nida de una 0unci'n.

As+ dada una 0unci'n f 4 x + los m*todos de integraci'n sont*cnicas cuyo uso 4usualmente com"inado permite encontraruna 0unci'n F 4 x tal que

+

lo cual+ por el teorema 0undamental del c%lculo equivale a,allar una 0unci'n F 43 tal que f 4 x es su derivada8

.

&os m*todos se e3plicaran a continuaci'n8

Int!*rai0n $or $art!#

Bste m*todo nos permitir% resolver integrales de 0uncionesque pueden e3presarse como un producto de una 0unci'n porla derivada de otra. M%s precisamente+ deduciremos la0'rmula de integraci'n por partes a partir de la regla paraderivar un producto de dos 0unciones.

integrando en am"os lados

o"tenemos8

https://es.wikipedia.org/wiki/Antiderivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Integral_indefinidahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculohttps://es.wikipedia.org/wiki/Antiderivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Integral_indefinidahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo


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y despe#ando la segunda integral8

o"tenemos -nalmente la @(RMN&A DB IX:BRACI\X 9(R9AR:BS.A continuaci'n veremos en algunos e#emplos como utili!aresta 0'rmula.

Ejemplos:

1.-


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2.-

Int!*rai0n $or ##titi0ntri*ono/tria

Bste m*todo nos permitir% integrar cierto tipo de 0uncionesalge"raicas cuyas integrales son 0unciones trigonom*tricas.

E Si en el integrando aparece un radical de la 0orma8


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tomamos el cam"io de varia"le8

3 7 a sen _+ con a ` 6 ;

_ 7 arcsen3

E1!$%o

H Si en el integrando aparece un radical de la 0orma8

tomamos el cam"io de varia"le siguiente8

3 7 a tan _+ con a ` 6

_ 7 arctan3

E1!$%o

J Si en el integrando aparece un radical de la 0orma8

tomamos el cam"io de varia"le siguiente8

3 7 a sec _+ con a ` 6

_ 7 arcsec43a si 3`a


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_ 7 HpQarcsec43a si 3>Qa

Int!*rai0n $or -raion!# $aria%!#


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CASO 1:

Factores Lineales Distintos.

A cada 0actor lineal+ a3W"+ del denominador de una 0racci'nracional propia 4que el denominador se puede descomponer+

le corresponde una 0racci'n de la 0orma + siendo “A” unaconstante a determinar.

Ejemplo:

&uego nos queda la siguienteigualdad o tam"i*n lo podemos escri"ir E 7 4 A W K 3 W HA Q HK

Gaciendo un Sistema.

AWK76HA Q HK 7 E+ las soluciones son 8

buedando de esta manera8

con lo cual

CASO 2:

http://image.slidesharecdn.com/integracinmediantefraccionesparciales-121127203714-phpapp01/95/integracin-mediante-fracciones-parciales-2-638.jpg?cb=1354048677http://image.slidesharecdn.com/integracinmediantefraccionesparciales-121127203714-phpapp01/95/integracin-mediante-fracciones-parciales-2-638.jpg?cb=1354048677


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Factores Lineales Iguales.

A cada 0actor lineal+ a3W"+ que -gure n veces en el

denominador de una 0racci'n racional propia+ le correspondeuna suma de n 0racciones de la 0orma8

EJE!LO:

Calculemos la siguiente integral

9ero8 :endremos

Ampli-cando por

&as Soluciones son8

Xos queda

Conclusi"n


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Kueno en este tema nuestro equipo se dio cuenta de que ,aydemasiadas 0ormas de resolver una integral de-nida+ no todoslos m*todos de integraci'n son adecuados para todaslas integrales. &a ,a"ilidad de ver cu%l es el m*todo deintegraci'n m%s id'neo para calcular una integral se adquiereresolviendo muc,as integrales.

) mediante el curso esperamos aprender cual m*todo usar encada caso.

#LI#LIO$%AF&A

http://www.wikillerato.org/Integral_indefinida.htmlhttp://www.wikillerato.org/Integral_indefinida.html


37/37

'ttp:(())).)i*illerato.org(+C,+Atoos/e/integraci+C,+#,n.'tml

'ttp:(())).ma.0.upm.es(jaa(calculo(integracion2('t ml(metoos.'tml

'ttp:(())).mat.uson.m(euaro(calculo2(metoos.p 3
http://www.wikillerato.org/M%C3%A9todos_de_integraci%C3%B3n.htmlhttp://www.wikillerato.org/M%C3%A9todos_de_integraci%C3%B3n.htmlhttp://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion2/html/metodos.htmlhttp://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion2/html/metodos.htmlhttp://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/metodos.pdfhttp://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/metodos.pdfhttp://www.wikillerato.org/M%C3%A9todos_de_integraci%C3%B3n.htmlhttp://www.wikillerato.org/M%C3%A9todos_de_integraci%C3%B3n.htmlhttp://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion2/html/metodos.htmlhttp://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion2/html/metodos.htmlhttp://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/metodos.pdfhttp://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/metodos.pdf

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