Anuitas Biasa

Pendahuluan

Sebagai seorang penabung disebuah bank anda memenangkan undian dan diperhadapkan pada pilihan yaitu memilih menerima uang sejumlah Rp50.000.000 sekali saja hari ini atau menerima Rp1.000.000 setiap 3 bulan seumur hidup. Manakah pilihan anda ?

Konsep Anuitas dibutuhkan untuk menentukan pilihan tersebut.

Jumlah yang lebih besar yang akan anda pilih.

Definisi Anuitas

Anuitas adalah suatu rangkaian pembayaran penerimaan sejumlah uang yang sama besar dengan periode waktu yang sama untuk setiap pembayaran.

Persamaan Anuitas Nilai Sekarang

Persamaan anuitas nilai sekarang dapat digunakan untuk, antara lain :

- Menghitung besarnya cicilan perbulan Kredit Pemilikan Rumah (KPR),

- Cicilan utang sewa guna usaha (leasing), - Tingkat bunga efektif dari suatu pinjaman, - Lamanya periode waktu yang diperlukan, - Nilai sekarang dari rangkaian pembayaran dikemudian hari,

dan - Saldo pinjaman pada saat tertentu.

Rumus & Notasi

Persamaan Anuitas Nilai Sekarang (PV), yaitu :

Ai

iPV

n ))1(1(

dengan :

PV = Nilai diawal periode atau nilai sekarang (present value)i = tingkat bunga per perioden = jumlah periodeA = Anuitas

Cont…

Dari persamaan sebelumnya, yang disebut faktor anuitas nilai sekarang adalah :

Atau dinotasikan dengan :

i

i n ))1(1(

ina

Menghitung Besar Cicilan

Dari persamaan Anuitas Nilai Sekarang, kita dapat menurunkan untuk mencari Besarnya Cicilan atau Anuitas (A), yaitu :

ina

PVA

i

i

PVA

n ))1(1(

Contoh Aplikasi

Michael mengambil kredit pemilikan rumah (KPR) sebesar Rp300.000.000. Untuk pelunasan maka mereka akan mencicil selama 60 bulan dengan bungan j12=18%.

a) Berapa besarnya angsuran per bulan?b) Berapa saldo KPR pada akhir tahun ke-2?

Cont…

Jawab :

a) Diketahuii = 18%/12 = 1,5% = 0,015PV = Rp 300 jutan = 60

23,028.618.7

015,0

)015,01(1(

000.000.300000.000.30060

%5,160

RpRp

a

Rp

a

PVA

in

Cont…

b) Saldo KPR pada akhir tahun ke-2 adalah nilai sekarang dari sisa 36 bulan angsuran, yaitu :

9,873.719.21023,028.618.7 %5,136 XaRpPV

Atau bisa dengan menggunakan tabel anuitas untuk menentukan besarnya faktor anuitas :

ina

Menghitung Jumlah Periode Dari persamaan Anuitas Nilai sekarang,

kita dapat menurunkan untuk mencari Jumlah Periode (n), yaitu :

i

i

A

PV n ))1(1(

A

iPVi n .))1(1(

Ai

iPV

n ))1(1(

Cont…

niA

iPV )1(.

1

niA

iPV

)1log(

.1log

)1log(

.1log

i

A

iPV

n

)1log(

.1log

iA

iPV

n

Contoh Aplikasi

Seorang bapak meninggal dunia dan meninggalkan uang bagi istrinya sebesar Rp500.000.000. Uang tersebut didepositokan dengan j12=12%. Jika istrinya ingin memperoleh uang sebesar Rp7.500.000 setiap bulannya, maka selama berapa bulan ia akan menerima uang tersebut? Berapa besarnya pengambilan yang terakhir?

Jawab :DiketahuiPV = Rp500.000.000i =12% / 12 = 1% = 0,01A = Rp 7.500.000

)1log(

.1log

iA

iPV

n

)01,01log(

000.500.7

01.0000.000.500(1log

Rp

XRp

n

bulann 41,11001,1log

3

1log

Cont…

Jadi istrinya dapat mengambil sebanyak 110 bulan masing-masing sebesar Rp7500.000 dan pengambilan terakhir adalah pada bulan 111 yang besarnya :

Nilai sekarang = 000.500.701,0

))01.01(1(000.000.500

110

RpRp

= Rp500.000.000 – Rp 498.978.946,9

= Rp1.021.053,1

Menghitung Tingkat Bunga

Bagaimana cara menentukan Tingkat Bunga ( i ) ?

- Menggunakan metode trial and error- Menggunakan interpolasi linier

Menggunakan Interpolasi Linier

Contoh Aplikasi :

Sebuah perhiasan bernilai Rp30.000.000 tunai dapat dibeli dengan 12 kali angsuran bulanan masing-masing sebesar Rp2.758.973,49. Berapa tingkat bunga yang dikenakan ?

Menggunakan Trial and Error (1)

Ai

iPV

n ))1(1(

Mencoba dengan nilai i = 18% p.a PV = Rp30.093.517,7Mencoba dengan nilai i = 19% p.a PV = Rp29.937.889,81Mencoba dengan nilai i = 18,5% pa PV = Rp30.015.556,77Mencoba dengan nilai i = 18,6% pa PV = Rp30.000.000

Diketahui : PV = Rp30.000.000 A = RpRp2.758.973,49 n = 12

Ditanya : i

Menggunakan Interpolasi Linier (2)

Contoh Aplikasi :

Sebuah perhiasan bernilai Rp30.000.000 tunai dapat dibeli dengan 12 kali angsuran bulanan masing-masing sebesar Rp2.758.973,49. Berapa tingkat bunga yang dikenakan ?

Cara menggunakan Interpolasi Linier :

Mencari kisaran (range) dengan trial and error untuk nilai sekarang dari i

Cont…

Ai

iPV

n ))1(1(

Mencoba dengan nilai i = 18% p.a PV = Rp30.093.517,7Mencoba dengan nilai i = 19% p.a PV = Rp29.937.889,81

Diketahui : PV = Rp30.000.000 A = RpRp2.758.973,49 n = 12

Ditanya : i

Cont…

%1

d

Y

X

%181,889.937.292,517.093.30

000.000.302,517.093.30%18 xi

Nilai I yang memberikan PV yang tepat Rp30.000.000 adalah

%1

)39,627.155(

)2,517.93(%18 xi

i = 18,6009% atau 18,6%

PerpetuitasPertanyaan diawal :

Sebagai seorang penabung disebuah bank anda memenangkan undian dan diperhadapkan pada pilihan yaitu memilih menerima uang sejumlah Rp50.000.000 sekali saja hari ini atau menerima Rp1.000.000 setiap 3 bulan seumur hidup. Manakah pilihan anda ?

Hal ini adalah contoh anuitas tak terhingga atau perpetuitas (perpetual annuity)

Rumus :

PV = A / i

Cont…Jawab :Jika tingkat bunga yang relevan untuk digunakan menjawab

pertanyaan diatas adalah 12% p.a., maka nilai sekarang dari Rp1.000.000 setiap 3 bulan adalah :

33,333.333.33%3

000.000.1

4

%12

000.000.1Rp

RpRpPV

Maka, hadiah yang harus dipilih adalah hadiah Rp50.000.000 sekali saja pada hari ini, karena nilai sekarangnya lebih besar.

Persamaan Anuitas Nilai Akan Datang

Persamaan Anuitas Nilai Akan Datang (FV) yaitu :

Ai

iFV

n )1)1((

dengan :

FV = nilai yang akan datang (future value)i = tingkat bunga per perioden = jumlah periodeA = Anuitas

Menghitung Besar Tabungan Periodik

Dari persamaan Anuitas Nilai Yang Akan Datang, kita dapat menurunkan untuk Menghiung Besarnya Tabungan Periodik atau Anuitas (A), yaitu :

inS

FVA

ii

FVA n )1)1((

Menghitung Jumlah Periode

Dari persamaan Anuitas Nilai Yang Akan Datang, kita dapat menurunkan untuk mencari Jumlah Periode (n), yaitu :

i

i

A

FV n )1)1((

1)1(.

niA

iFV

Ai

iFV

n )1)1((

Cont…

niA

iFV)1(

.1

)1log(.

1log inA

iFV

)1log(

.1log

i

A

iFV

n

Menghitung Tingkat Bunga

Bagaimana cara menentukan Tingkat Bunga ( i ) ?

- Menggunakan metode trial and error- Menggunakan interpolasi linier

Cara yang digunakan untuk mencari tingkat bunga ( i ) dari anuitas nilai akan datang sama dengan mencari tingkat bunga ( i )dari anuitas nilai sekarang

Pengaruh Pajak Tabungan

Sejauh ini kita mengasumsikan tidak ada pajak untuk tabungan dan deposito sehingga tingkat bunga yang diberikan adalah tingkat bunga bersih.

Pada kenyataannya, bunga tabungan dan deposito dikenakan pajak, dimana tingkat bunga yang ditawarkan bank adalah tingkat bunga sebelum pajak.

Cont… Notasi dan Rumus

ibt=tingkat bunga sebelum pajak

t =pajak atas bunga tabungan dan deposito iat=tingkat bunga setelah pajak

btat itii )1(

Cont…

Jadi jika ada pajak atas tabungan dan deposito, maka tingkat bunga tabungan atau deposito yang harus kita gunakan dalam persamaan nilai yang akan datang adalah tingkat bunga setelah pajak.

Tingkat Bunga Flat vs Efektif

Tingkat bunga flat adalah tingkat bunga yang dihitung berdasarkan saldo pinjaman awal.

Konsep tingkat bunga flat muncul untuk pelunasan pinjaman dengan angsuran, walaupun besar pinjaman pokok mengalami penurunan seiring dengan dilakukannya pelunasan secara periodik, besarnya bunga yang dibayarkan adalah sama.

Cont…

Tingkat bunga flat dalam penawaran (mis : Bank Mandiri adalah 0,5%), tetapi tingkat bunga yang sebenarnya atau sering disebut tingkat bunga efektif adalah jauh lebih besar daripada itu.

Persamaan yang dapat digunakan untuk mendapatkan tingkat bunga efektif, adalah :

1

2

n

nri

Cont…

Notasi :

i = tingkat bunga efektifr = tingkat bunga flatn = lamanya periode angsuran

Contoh Bunga Flat

Besarnya hutang: Rp60.000.000 dengan bunga flat sebesar 6% p.a., dicicil perbulan selama 1 tahun.Besar angsuran Rp5.300.000 terdiri dari: Angsuran pokok: Rp5.000.000

Bunga: Rp300.000Bunga dihitung dari

6%/12xRp60.000.000 = Rp300.000.

Apabila dihitung tingkat bunga efektifnya maka:

%923.0112

%5.0)12(2

i

..%08.11 ap

1. Barbara ingin memperoleh uang sebesar Rp100.000.000 pada akhir tahun ke-10. Oleh karena itu, ia mulai menabung pada bank yang memberikan bunga j4=14%. Berapa besarnya uang yang harus ia tabung setiap kuartal? Setelah 4 tahun menabung, pihak bank mengenakan bunga j4=12%, berapa uang yang harus ia tabungkan setiap kuartal selama 6 tahun terakhir agar dapat mencapai impiannya jika :

a) Tidak ada pajak atas bunga tabungan ?b) Ada Pajak atas bunga tabungan sebesar 20%

2. Sebuah dealer mobil menawarkan Anda mobil seharga Rp540.000.000. Ia menawarkan kepemilikan mobil tersebut secara kredit dengan membayar uang muka sebesar Rp240.000.000 dan mengangsur setiap bulan dengan cicilan sebesar Rp33.000.000 selama 1 tahun. Jika Anda memilih untuk membelinya secara kredit, berapakah tingkat bunga flat dan efektif j12 yang harus anda tanggung?

Persiapan UTS!

Perlengkapan yang dibawa: Scientific calculator.

Catatan di folio bergaris (2 halaman). Examination Regulations