ΑΚΑ∆ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011mycourses.ntua.gr/courses/NAVAL1024/document/%C1%F3%EA%DE%F3%E5%… · ακολουθείται η ίδια σύμβαση για τα πρόσημα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΤΟΜΕΑΣ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μ. ΣΑΜΟΥΗΛΙ∆ΗΣ

ΑΚΑ∆ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011

ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ

Ασκήσεις 1 έως 47

Εκφωνήσεις και λύσεις

Για αποκλειστική χρήση από τους φοιτητές που παρακολουθούν το μάθημα

«Αντοχή Πλοίου», που διδάσκεται στο 5ο εξάμηνο της Σχολής

Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών.

Ο διδάσκων Μ.Σ.ΣΑΜΟΥΗΛΙ∆ΗΣ

Πέμπτη, 21 Οκτωβρίου 2010

2

ΑΣΚΗΣΗ 1η

Να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκούνται από την ελαστική στήριξη στα δοκάρια

των ακολούθων σχημάτων. Ποιά η θέση των δοκαριών στην κατάσταση ισορροπίας σε

κάθε περίπτωση; Τι παραδοχές θεωρήθηκαν κατά την επίλυση; Να υπολογιστούν οι

κατανομές διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών και στις δυο περιπτώσεις.

α)

20kN/m 10kN/m

8 m 4 m

10 kN

β)

4m 4m4m4m

2 kN/m

4 kN/m

10 kN

1(kN/m)/m

ΛΥΣΗ 1ης ΑΣΚΗΣΗΣ

Περίπρτωση α)

Από την ισορροπία των δυνάμεων κατά τον διεύθυνση της εξωτερικά εφαρμοζόμενης

δύναμης και την εξίσωση ισορροπίας των ροπών, προκύπτει ότι F1=3.33kN, και

F2=6.67kN, όπου F1 και F2 οι δυνάμεις που ασκεί το αριστερό και δεξί ελατήριο στο

δοκάρι αντίστοιχα. Οι αντίστοιχες μετατοπίσεις του ελατηρίου είναι δ1=16,7 cm και δ2

=33,4 cm. Η γωνία που σχηματίζει το δοκάρι σε σχέση με την θέση του στην άφορτη

κατάσταση είναι 0,167/12=0.8º.


3

Ακολουθούν τα διαγράμματα

διατμητικών δυνάμεων και

καμπτικών ροπών (η

ακολουθούμενη σύμβαση φαίνεται

δεξιά – θετικές τιμές):

q x

q x dxx

m x

m x dxx

m x q x

q(x): ∆ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ∆ΥΝΑΜΗm(x): ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΡΟΠΗ

∆ιαμτητικές δυνάμεις

-3.33

6.67

Καμπτικές ροπές (θετική ροπή προκαλεί εφελκυσμό στην άνω ίνα)

Για μηδενική ροπή στο αριστερό άκρο, ισχύει:

0≤x≤8m m(x)=-3.33x

8m≤x≤12m m(x)=-3.33x+10(x-8)=6.67x-80

m(0)=0 m(8m)=-26.66kNm m(12m)=0

-26.66kNm

0


4

∆εχόμαστε ότι το δοκάρι δε μετακινείται κατά τη δθεύθυνση του άξονα του και δεν

αναπτύσσονται αξονικές δυνάμεις. Επίσης ότι η κλίση λόγω μετακίνησης των άκρων

του είναι μικρή (ισχύει βρέθηκε ότι είναι μικρότερη από 1º). Παρατηρούμε επίσης ότι

στην περίπτωση που εξετάζεται και με την παραδοχή ότι το δοκάρι είναι άκαμπτο η

σταθερά των ελατηρίων δεν επηρεάζει τη λύση, η οποία προκύπτει μόνο θεωρώντας

τις εξισώσεις ισορροπίας (ισοστατικό πρόβλημα).

Περίπτωση β)

Θεωρώντας ότι το δοκάρι δε παραμορφούται, η συμπίεση των ελατηρίων δ(x) σε όλη

τη δοκό είναι γραμμική. Λαμβάνοντας υπόψη επίσης ότι και η σταθερά του ελατηρίου

είναι σταθερή κατά μήκος της δοκού, η αντίδραση από τα ελατήρια θα είναι γραμμική.

Από τα δεδομένα προκύπτει ότι οι δυνάμεις που ασκούνται στο δοκάρι, εκτός των

αντιδράσεων των ελατηρίων έχουν συνισταμένη 22 KN, που εφαρμόζεται σε

απόσταση 8,85 m από το αριστερό άκρο του δοκαριού, ως φαίνεται στο σχήμα.

Η τραπεζοειδής κατανομή της αντίδρασης των ελατηρίων μπορεί να προσδιοριστεί από

τα παραπάνω στοιχεία της συνισταμένης των δυνάμεων και άρα αν a, b η αντίδραση

από τα ελατήρια στα δύο άκρα σε KN/m, ισχύει:

a b 16 222

1 2a 16 8 b a 16 16 8,85 222 3

Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι a=0,9375 kN/m και b=1,8125 kN/m και η

αντίδραση των ελατηρίων κατά μήκος του δοκαριού σε kN/m ισούται με

f(x)= 0,9375+0,54688·x, όπου x η απόσταση από το άκρο όπου η τιμή είναι a σε m.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η συνολική κατανεμημένη φόρτιση στο δοκάρι p(x)

σε kN/m είναι (ακολουθείται η σύμβαση προσήμων ως την προηγούμενη άσκηση):

0.9375 0,05469 x 0 x 4 0.9375 0,05469 x 0 x 4p(x) 0,5 x 0.9375 0,05469 x 4 x 8 0.9375 0,44531 x 4 x 8

0.9375 0,05469 x 8 x 16 0.9375 0,05469 x 8 x 16


5

Εκτός της κατανεμημένης φόρτισης στο δοκάρι ασκείται και η σημειακή δύναμη των

10kN σε απόσταση 12 m από το δεξί άκρο.

Η κατανομή της διατμητικής δύναμης προκύπτει από την ολοκλήρωση της φόρτισης

(η διατμητική δύναμη Q(x) σε kN/m):

2

2 2

2

2

2

2

0.9375 x 0,02734 x 0 x 4

0,25 x 16 0.9375 x 0,02734 x 4 x 8Q x

12 0.9375 x 0,02734 x 8 x 12

12 10 0.9375 x 0,02734 x 12 x 16

0.9375 x 0,02734 x 0 x 4

4 0.9375 x 0,22266 x 4 x 8

12 0.9375 x 0,

2

2

02734 x 8 x 12

22 0.9375 x 0,02734 x 12 x 16

Ολοκληρώνοντας τις διατμητικές δυνάμεις προκύπτουν οι καμπτικές ροπές:

2

2 2

2

2

2 3

2 3

0.9375 x 0,02734 x 0 x 4

0,25 x 16 0.9375 x 0,02734 x 4 x 8M x

12 0.9375 x 0,02734 x 8 x 12

12 10 0.9375 x 0,02734 x 12 x 16

0.9375 2 x 0,02734 3 x 0 x 4

8,083 4 x 4 0.9375 2 x 16 0,22266 3 x

2 3

2 3

64 4 x 8

13,333 12 x 8 0.9375 2 x 64 0,02734 3 x 512 8 x 12

13,915 22 x 12 0.9375 2 x 144 0,02734 3 x 1728 12 x 16

Η κατανομές αυτές φαίνονται στο επόμενο σχήμα (η σύμβαση για τα πρόσημα ως την

προηγούμενη περίπτωση):


6

με μέγιστες απόλυτες τιμές για τη διατμητική δύναμη 6.812 Ν και για τη ροπή 14.87

kN-m.

0 4 8 12 16ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ ΑΡΟ ΑΚΡΟ ΣΕ m

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

∆ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ

∆ΥΝΑΜΗ

ΣΕ

kN

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

ΚΑΜΠΤΙΚΗ

ΡΟΠΗ

ΣΕ

kN

-m


7

ΑΣΚΗΣΗ 2η ∆ίνεται το δοκάρι του σχήματος, μήκους 90m, το βάρος του οποίου στηρίζεται από μία

ομοιόμορφα κατανεμημέμη δύναμη στο άκρο FE και μία σημειακή δύναμη στο άκρο

AE. Λαμβάνοντας υπόψη τα στοιχεία που δίνονται στο σχήμα να προσδιορίσετε και

σχεδιάσετε τα διαγράμματα διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών.


Στο σχήμα φαίνεται η σύμβαση που ακολουθείται για τα πρόσημα.

Υπολογισμός σημειακής δύναμης F και ομοιόμορφης πίεσης b ( με LG συμβολίζεται η

απόσταση του κέντρου βάρους από το άκρο AE):

9 90 45 11 9 90 2 2 90 3LG m 46,5m

9 11 90 2900m 46,5m 30m b (90 15)m b 18,6 t m

9 11 tF 30m b 90m2 m

F 558t 900t F 342t

9t/m 11t/m

60m 90m

Τραπεζοειδής κατανομή βάρους

Ομοιόμορφη κατανομή

δύναμης στήριξης

Σημειακή δύναμη

AE FE


8

Υπολογισμός κατανομής διατμητικής δύναμης Q (x είναι η απόσταση από το άκρο AE

και σε αγκύλες φαίνονται οι χρησιμοποιούμενες μονάδες):

2

2

2

0 x 60 :11 9 x[m]

9 990Q[t] 342 x[m]

2x [m]Q[t] 342 9 x[m]90

60 x 90 :

x [m]Q[t] 342 9 x[m] 18,6 x[m] 6090

x [m]Q[t] 774 9,6 x[m]90

Η διατμητική δύναμη στα άκρα και σε απόσταση 60m από το AE είναι ίση με:

Q(0) 342t , Q(90m) 0

11 9 609 9

90Q(60m) 342t 60t 232t2

Η κατανομή της διατμητικής δύναμης είναι δευτέρου βαθμού, και μονότονα

μεταβαλλόμενη μεταξύ του AE και απόστασης 60m από αυτό και από το προηγούμενο

σημείο έως το άκρο FE. Ακρότατα παρουσιάζονται στα άκρα και σε απόσταση 60m από

το AE. Η μέγιστη κατ’ απόλυτη τιμή της παρουσιάζεται στο AE άκρο και είναι ίση με

342t. Η διατμητική δύναμη μηδενίζεται σε απόσταση b από το AE για την οποία ισχύει

(b σε m):

11 99 9 b90 b 342 b 36,37m

2

Υπολογισμός κατανομής καμπτικής ροπής M:

32

3 32 2

0 x 60 :

x [m]M[t m] 342 x 4,5 x [m]270

60 x 90 :

x [m] 60M[t m] 9.999 774 x 60 4,8 x [m] 60

270


9

Η καμπτική ροπή μηδενίζεται στα άκρα, είναι τρίτου βαθμού και παρουσιάζει

ασυνέχεια πρώτης και δευτέρας παραγώγου σε απόσταση 60m από το AE. Η τιμή της

στο σημείο αυτό είναι:

3

2 60M(60m) 342 60 4,5 60 t m 3.520t m270

Σε απόσταση 36,37m από το AE παρουσιάζει ακρότατο, που είναι:

32 36,37M(36,37m) 342 36,37 4,5 36,37 t m 6.308t m

270

Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται και στο διάγραμμα που ακολουθεί:

-7.000

-6.000

-5.000

-4.000

-3.000

-2.000

-1.000

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

διατμητική δύναμη

καμπτική ροπή

ασυνέχεια α παραγώγου


10

ΑΣΚΗΣΗ 3η

∆οκάρι μήκους 80 m με μεγάλη καμπτική ακαμψία και με βάρος 1600 t ομοιόμορφα

κατανεμημένο στο μήκος του, στηρίζεται σε κατανεμημένα ελατήρια σε μήκος 40 m

συμμετρικά ως προς το μέσο του. Να προσδιοριστούν και σχεδιαστούν οι κατανομές

διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών. Ποιες οι κατανομές αν το δοκάρι

στηρίζεται ελαστικά σε μήκος 20 m από το ένα άκρο του και 20 m από το άλλο;


Στο δοκάρι ασκείται η κατανεμημένη δύναμη του βάρους του, που ισούται με 1600 t /

80 m = 20 t/m, σε όλο το μήκος του και η αντίδραση από τα ελατήρια. Λαμβάνοντας

υπόψη ότι το δοκάρι διατηρείται απαραμόρφωτο και ότι η διαμήκης θέση του κέντρου

της δύναμης που ασκούν τα ελατήρια συμπίπτει με τη διαμήκη θέση του κέντρου

βάρους, δηλαδή το μέσο του δοκαριού, προκύπτει ότι η δύναμη των ελατηρίων

ασκείται σε μήκος ±20 m από το κέντρο του δοκαριού και ισούται με 1600 t / 40 m =

40 t/m. Αν w(x) και f(x) η κατανεμημένη δύναμη του βάρους και των ελατηρίων

αντίστοιχα και x η απόσταση από το ένα άκρο του δοκαριού σε mτότε ισχύει

(απόλυτες τιμές των δυνάμεων):

m0 x 80 : w x 20t

m0 0 x 20tmf x 40 20 x 60t

m0 60 x 80t

Για τον προσδιορισμό των διατμητικών δυνάμεων Q(x) και καμπτικών ροπών M(x)

χρησιμοποιούνται οι εξισώσεις ισορροπίας ως προκύπτουν από τα πιο κάτω σχήματα.

Υπολογίζονται καταρχήν οι δυνάμεις και ροπές που οφείλονται στο βάρος (δείκτης w)

και δύναμη ελατηρίων (δείκτης f) και μετά προστίθενται αλγεβρικά. Στις παρακάτω

εξισώσεις η απόσταση x είναι σε m η διατμητικές δυνάμεις σε t και οι καμπτικές ροπές

σε t·m.


11

w(x)

x

Mw(x)

Qw(x)

f(x)

x

Mf(x)

Qf(x)

20 m

w

f

w f

0 x 80 :Q x 20 x

0 0 x 20Q x 40 x 20 20 x 60

1600 60 x 80

20 x 0 x 20 20 x 0 x 20Q x Q x Q x 20 x 40 x 20 20 x 60 20 x 800 20 x 60

20 x 1600 60 x 8020 x 1600 60 x 80


12

22

w

2

f

2

22

w f

2

2

2

2

20 x0 x 80 :M x 10 x2

0 0 x 20

x 20M x 40 20 x 60

21600 x 40 60 x 80

10 x 0 x 20

x 20M x M x M x 10 x 40 20 x 60

210 x 1600 x 40 60 x 80

10 x 0 x 20

10 x 800 x 8000 20 x 60

10 x 1600 x

64000 60 x 80

Η γραφική παράσταση των δυνάμεων και ροπών φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί (

ακολουθείται η ίδια σύμβαση για τα πρόσημα ως και στις προηγούμενες ασκήσεις):

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

0 10 20 30 40 50 60 70 80

απόσταση από AE σε m

Διατμητική

δύναμη

σε

t

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

Διατμητική δύναμη

Καμπτική ροπή

Αντίστοιχα όταν η στήριξη από τα ελατήρια είναι στα άκρα:


13

m0 x 80 : w x 20t

m40 0 x 20t

mf x 0 20 x 60tm40 60 x 80t

w

f

w f

0 x 80 :Q x 20 x

40 x 0 x 20Q x 800 20 x 60

800 40 x 60 60 x 80

20 x 40 x 0 x 20 20 x 0 x 20Q x Q x Q x 20 x 800 20 x 60 20 x 800 20 x 60

20 x 800 40 x 60 60 x 80 20 x 1600 60 x 80

22

w

2

f

2

22

2w f

22

2

2

20 x0 x 80 :M x 10 x2

40 x 0 x 202

M x 800 x 10 20 x 60

40 x 60800 x 10 60 x 80

2

40 x10 x 0 x 202

M x M x M x 10 x 800 x 10 20 x 60

40 x 6010 x 800 x 10 60 x 80

2

10 x 0 x 20

10 x 80

2

0 x 8000 20 x 60

10 x 1600 x 64000 60 x 80


14

Και οι γραφικές παραστάσεις:

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

0 10 20 30 40 50 60 70 80

απόσταση από AE σε m

Διατμητική

δύναμη

σε

t

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

Διατμητική δύναμη

Καμπτική ροπή


15

ΑΣΚΗΣΗ 4η

Εστω διατομή με επιφάνεια A και ροπή αδράνειας γύρω από άξονα xx, που διέρχεται

από το κέντρο βάρους της Ι. Αν προστεθεί επιφάνεια a με ροπή αδράνειας ως προς

άξονα που είναι παράλληλος με τον xx και διέρχεται από το κέντρο της j, σε απόσταση

y από τον άξονα xx, να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας της νέας επιφάνειας ως προς

άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι παράλληλος με τον xx.


Απόσταση κέντρου αρχικής επιφάνειας από τελική, μετρούμενη κάθετα στον xx:

y AHA a

Ροπή αδράνειας νέας επιφάνειας ως προς τον αρχικό άξονα:

2I j a y

Ροπή αδράνειας νέας επιφάνειας ως προς τον κεντροβαρικό άξονα της νέαε

επιφάνειας // ως προς τον xx:

22 2 2

2 2 22

y aI j a y A a H I j a y A aA a

y a A a I j A a y a yI j a y I jA a A a 1 a A

Εναλλακτικά

22 2 2

22

2 22

I A H j a y H I A a H j a y 2 a y H

y a y aI A a j a y 2 a yA a A a

y a y a a yI j a y 2 a y I jA a A a 1 a A


16

ΑΣΚΗΣΗ 5η

∆ίδεται φορτηγίδα με χαρακτηριστικά και κατανομή βάρους ως φαίνεται στο πιό κάτω

σχήμα. Να υπολογιστούν οι κατανομές διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών.

Να υπολογιστούν οι κατανομές αυτές αν προστεθεί βάρος 40 tons μεταξύ των

σταθμών 2 και 4. Η διατομή της φορτηγίδας είναι ορθογωνική.

020 18 16 14 12 10 8 6 4 2

100 ft

80 ft

20 ft

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

01234567891011121314151617181920

q[t

on

s/ft

]

ΛΥΣΗ 5ης ΑΣΚΗΣΗΣ:

βλέπε σημειώσεις κεφάλαιο ΚΑΜΨΗ ΣΕ ΗΡΕΜΟ ΝΕΡΟ, σελ. 7


17

ΑΣΚΗΣΗ 6η

∆ίνεται η φορτηγίδα του σχήματος, η οποία εναποθέτει σωλήνωση από το πρυμναίο

άκρο. Κατά την εναπόθεση ασκείται δύναμη 4 kN στο πρωραίο άκρο. Λαμβάνοντας

υπόψη τα δεδομένα του σχήματος να υπολογιστούν οι επιπλέον κατανομές των

διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών που ασκούνται κατά την εναπόθεση της

σωλήνωσης. Το πλάτος της φορτηγίδας στην περιοχή της ισάλου είναι σταθερό κατά

το μήκος.


Οι δυνάμεις στο πρυμναίο και πρωραίο άκρο ισορροπούν από μία επιπλεόν κατανομή

άντωσης, η οποία είναι γραμμική λόγω του σταθερού πλάτους της φορτηγίδας στην

περιοχή της ισάλου.

Αν θεωρηθεί ότι x είναι ο διαμήκης άξονας της φορτηγίδας και y ο κατακόρυφος,

τότε από την ισορροπία των δυνάμεων σε κάθε άξονα, προκύπτει ότι η διαμήκης

δύναμη που εφαρμόζεται στη φορτηγίδα είναι 3.464 Ν, η κατακόρυφη συνιστώσα της

δύναμης είναι 2.000 Ν και η αντίστοιχη συνιστώσα στη σωλήνωση 1.261 Ν.

Συνοπτικά αν F και R οι δυνάμεις στο πρωραίο και πρυμναίο άκρο αντίστοιχα ισχύει

ότι:

Fx 3.464 Ν

Fy 2.000 Ν

Rx 3.464 Ν

Ry 1.261 Ν

Η επιπλέον άντωση που εξισσοροπεί τις κατακόρυφες δυνάμεις είναι η

b(x)=-10,433-0,44354x (η άντωση δίνεται σε tonnes/m και η απόσταση x σε m)

4kN

30°

σωλήνωση

100m

20°


18

`

1.261 N 2.000 N

10,433 N/m 54,783 N/m

3.464 N3.464 N

οπότε η κατανομή της διατμητικής δύναμης, που οφείλεται στην επιπλέον άντωση

είναι η

Q(x)=1.261-10,433x-0,22177x2,

και η κατανομή της καμπτικής ροπής

M(x)= 1.261x-5,217x2-0,0739x3-0,3x

(η διατμητική δύναμη και καμπτική ροπή σε tonnes και tonnes-m αντίστοιχα)’

Ακολουθούν τα διαγράμματα της διατμητικής δύναμης και καμπτικής ροπής:

0

5.000

10.000

15.000

20.000

25.000

30.000

35.000

40.000

45.000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ AE ΣΕ m

ΚΑΜΠΙΚΗ

ΡΟΠΗ

to

nn

es-m

-2.500

-2.000

-1.500

-1.000

-500

0

500

1.000

1.500

2.000

∆ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ

∆ΥΝΑΜΗ

to

nn

e

ΚΑΜ. ΡΟΠΗ

∆ΙΑΤ . ∆ΥΝΑΜΗ


19

ΑΣΚΗΣΗ 7η

∆ίνεται πλοίο μήκους 132 m, με την κατάσταση φόρτωσης του σχήματος (το πλοίο

είναι χωρισμένο με πέντε εγκάρσιες φρακτές σε έξι διαμερίσματα μήκους 32 m το

πρώτο και 20 m τα υπόλοιπα. ∆ίνονται επίσης ότι i) η καμπύλη άντωσης στην

κατάσταση φόρτωσης που δίνεται είναι 2ου βαθμού, ii) η καμπύλη Bonjean της μέσης

τομής δίνεται από τη σχέση το 2 3/2A[m ] 5,367 T [m] , όπου A η επιφάνεια σε m2 και T

to βύθισμα σε m, και iii) το βύθισμα της μέσης τομής είναι 5 m.

Να δειχθεί οτι η καμπύλη φόρτισης του πλοίου σε tonnes/m είναι η

2

2

0,0051 x 0,5 x 19,2 0 x 32m0,0051 x 0,5 x 1,8 32m x 132m

όπου x η απόσταση από το πρυμναίο άκρο σε m.

1. Να προσδιοριστεί και σχεδιαστεί το διάγραμμα των διατμητικών δυνάμεων.

2. Να προσδιοριστεί και σχεδιαστεί το διάγραμμα των καμπτικών ροπών.

3. Να υπολογιστεί η θέση και η τιμή των μέγιστων τιμών της διατμητικής δύναμης και

καμπτικής ροπής.


ερώτημα 1

υπολογισμός καμπύλης βάρους:

1320 t 1920 t tw(x) 70 0 x 32 m132 m 32 m m1320 t 780 t tw(x) 49 32 m x 132 m132 m 20 m m

υπολογισμός καμπύλης άντωσης:

Βάρος ανα

μον. μήκους

Βάρος W

σε tonnes

LCGW

σε m

WLCGW

10 1.320 66 87.120

A E F E

1320 tonnes

1920 tonnes780 tonnes 780 tonnes 780 tonnes 780 tonnes 780 tonnes


20

60 1.920 16 30.720

39 780 42 32.760

39 780 62 48.360

39 780 82 63.960

39 780 102 79.560

39 780 122 95.160

7.140 437.640

∆=7.140 tonnes και LCG=437.640/7.140 m = 61,29 m

2

2

L L

2

L L2

3/2

b(x) ax bx c

b(x)dx ax bx c dx

b(x)xdx ax bx c xdx LCG

L La b c A T4 2

Αν η αρχή των αξόνων τεθεί στο AE

3 2

4 3 2

2 3/2

132 132a b c 132 7.1403 2

132 132 132a b c 7.140 61,294 3 2

a 66 b 66 c 5,367.5 1,025

Και επιλύοντας το σύστημα προκύπτει, ότι

2b(x) 0,0051 x 0,5 x 50,8 0 x 132m

Καμπύλη φόρτισης p(x) w(x) b(x)

2

2

p(x) 0,0051 x 0,5 x 19,2 0 x 32m

p(x) 0,0051 x 0,5 x 1,8 32m x 132m

Ακολουθεί ο υπολογισμόςτων διατμητικών δυνάμεων Q(x) και καμπτικών ροπών

M(x): θετικές θεωρούνται οι ροπές που θλίβουν το κατάστρωμα και οι διαμτηικές

δυνάμεις για τις οποίες ισχύει dM/dx=Q


21

ερώτημα 2: υπολογισμός διατμητικών δυνάμεων

x2

03 2

x2

32

3 3 2 2

3 2

0 x 32m

Q(x) Q(0) 0,0051 x 0,5 x 19,2 dx

0,0017x 0,25x 19,2x Q(32m) 414,11 tonnes

32m x 132m

Q(x) Q(32) 0,0051 x 0,5 x 1,8 dx

Q(32) 0,0017 x 32 0,25 x 32 1,8 x 32

0,0017 x 0,25 x 1,8 x 672 Q(1 32m) 11,65 tonnes

ερώτημα 3: υπολογισμός καμπτικών ροπών

x3 2

04 3 2

x3 2

32

4 4 3 3 2 2

0 x 32m

M(x) M(0) 0,0017 x 0,25 x 19,2 x dx

0,000425 x 0,0833 x 9,6 x M(32m) 7.546 tonnes m

32m x 132m

M(x) M(32) 0,0017x 0,25x 1,8x 672 dx

M(32) 0,000425 x 32 0,0833 x 32 0,9 x 32 672 x 32

M(132m) 289,2 tonnes m

διορθώσεις κατανομών διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών

Q(132m) 11,65 tonnes 3% 414,11 tonnes

M(132m) 289,2 tonnes 6% 7.546 tonnes m

Αρα η διατμητική δύναμη και καμπτική ροπή, που προκύπτουν στο πρωραίο άκρο είναι

μικρότερες του 3% και 6% της κατ’ απόλυτο τιμή μέγιστης διατμητικής δύναμης και

καμπτικής ροπής αντίστοιχα, και η διορθωμένες καμπύλες ισούνται με:

3 2

3 2

xQ(x) 0,0017 x 0,25 x 19,2 x 11,65 0 x 32m132

xQ(x) 0,0017 x 0,25 x 1,8 x 672 11,65 32m x 132m132


22

4 3 2

4 4 3 3

2 2

xM(x) 0,000425 x 0,0833 x 9,6 x 289,2 0 x 32m132

M(x) 7.546 0,000425 x 32 0,0833 x 32

x0,9 x 32 672 x 32 289,2 32m x 132m132

ερώτημα 4: υπολογισμός ακροτάτων τιμών

Η διατμητική δύναμη παρουσιάζει ακρότατο στις τιμές που μηδενίζεται η φόρτιση

δηλαδή στα 32 m και στα 101,52 m (η τιμή αυτή προκύπτει από την εξίσωση

μηδενισμού της φόρτισης) από το AE. Η μέγιστη τιμή κατ’ απόλυτο τιμή παρουσιάζεται

στα 32 m και ισούται με 414 tonnes.

Ισχύει ότι Q(60)=-32 tonnes και Q(70)=94,3 tonnes. Αρα για Q(62,53)=0 και η

μέγιστη απόλυτη τιμή της καμπτικής ροπής εμφανίζεται στη θέση αυτή και ισούται με

13.869 tonnes-m.

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΔΔ ΚΑΙ ΚΡ

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132

απόσταση από AE

διατμητική δύναμη σε

ton

nes

-16.000

-14.000

-12.000

-10.000

-8.000

-6.000

-4.000

-2.000

0

2.000

καμπτική ροπή σε

ton

nes

-

m

διατμητική δύμανη καμπτική ροπή


23

ΑΣΚΗΣΗ 8η

Χαλύβδινη φορτηγίδα μήκους 126 m πλέει σε ήρεμο νερό. Η κατανομή των

καμπτικών ροπών κατά μήκος της είναι β βαθμού και η τιμή της ροπής σε απόσταση

42% του μήκους της από το πρυμναίο άκρο της είναι 400000 kN·m. Να υπολογιστεί το

μέγιστο βέλος κάμψης και το σημείο κατά μήκος της φορτηγίδας που εμφανίζεται. Η

ροπή αδράνειας της γάστρας της είναι σταθερή και ίση με 10 m4 στο διάστημα από το

35% έως το 80% του μήκους της από το πρυμναίο άκρο. Στο πρυμναίο και πρωραίο

άκρο η ροπή αδράνειας είναι 3 m4 και 6 m4 αντίστοιχα, και στα ενδιάμεσα διαστήματα

μεταβάλλεται γραμμικά.



24

ΑΣΚΗΣΗ 9η

Ο υπολογισμός της ροπής κάμψης σε δοκάρι που κάμπεται υπό κατανεμημένη φόρτιση

μπορεί να γίνει είτε ολοκληρώνοντας δύο φορές τη φόρτιση ή υπολογίζοντας τη ροπή

της φόρτισης ως προς τη διατομή που εξετάζεται. Να δειχθεί ότι και οι δύο τρόποι

καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα.


Στο σχήμα φαίνεται τμήμα δοκαριού που ισορροπεί κάτω από την επίδραση

κατανεμημένης φόρτισης p(x) και δυνάμεων και ροπών στις διατομές στις θέσεις a και

x (δε φαίνεται η διατμητική δύναμη στη διατομή x).

Ma Qa

M(x)

p(x')dx'

x-x'

x' xa

Από την ισορροπία του τμήματος του δοκαριού που φαίνεται στο πιό πάνω σχήμα η

καμπτική ροπή στο σημείο x ισούται με:

x x x

a a a

x x x

a a a

x x

a a

M(x) M(a) Q(x ) dx M(a) Q(a) p(x ) dx dx

M(a) Q(a) dx p(x ) dx dx

M(a) Q(a) (x a) p(x ) dx dx

Η ροπή μπορεί επίσης να υπολογιστεί αν γίνει ολοκλήρωση της διατμητικής δύναμης:


25

x x x

a a a

x x x

a a a

x x

a a

M(x) M(a) Q(x ) dx M(a) Q(a) p(x ) dx dx

M(a) Q(a) dx p(x ) dx dx

M(a) Q(a) (x a) p(x ) dx dx

Για να είναι οι σχέσεις ισοδύναμες πρέπει οι τελευταίαι όροι να είναι ίσοι:

xx x x x

a a a aax x x

a a a

p(x ) dx dx x p(x ) dx x p(x ) dx

x p(x ) dx x p(x ) dx x x p(x ) dx


26

ΑΣΚΗΣΗ 10η

∆εξαμενή έχει μήκος 180m, πλάτος 30m και κοίλο 18m. Η δεξαμενή έχει σταθερή

ορθογωνική διατομή και είναι χωρισμένη με δύο εγκάρσιες φρακτές σε τρία

διαμερίσματα ίσου μήκους (πρυμναίο, μεσαίο και πρωραίο). Οταν η δεξαμενή είναι

άφορτη το εκτόπισμα της είναι 60.000t και η κατανομή του βάρους της σταθερή κατά

μήκος.

Να προσδιοριστούν και σχεδιαστούν τα διαγράμματα διατμητικών δυνάμεων και

καμπτικών ροπών στις πιό κάτω περιπτώσεις φόρτωσης:

1. Η δεξαμενή είναι άφορτη.

2. Η δεξαμενή φέρει φορτίο 3.000t στο μεσαίο διαμέρισμα.

3. Η δεξαμενή φέρει από 1.000t σε κάθε ένα από τα τρία διαμερίσματα.

4. Η δεξαμενή φέρει από 1.500t σε κάθε ένα από τα δύο ακραία διαμερίσματα.

5. Η δεξαμενή φέρει από 1.500t στο πρυμναίο και μεσαίο διαμέρισμα.


Ερώτημα i.

Η κατανομή της άντωσης δίνεται πό τη σχέση

b(x)=T(x)Bρg, όπου T(x) το βύθισμα στη θέση x, B

το πλάτος,που έιναι ίσο με 30m, ρg το είδικό βάρος

του νερού, που ισούται με 1,025 t/m3. Οταν η

δεξαμενή είναι άφορτη το κέντρο βάρος της,

βρίσκεται στο μέσο νομέα της. Με δεδομένο ότι

T(x)=φ(x-r) όπου r η απόσταση του μέσου νομέα

από την αρχή των αξόνων προκύπτει ότι η

κατανομή της άντωσης είναι σταθερή και συμπίπτει

με την κατανομή του βάρους. Αρα η φόρτιση είναι μηδενική όπως και η κατανομή των

διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών.

Ερώτημα ii.

Όταν προστίθεται φορτίο 3.000t γλυκού νερού στο μεσαίο διαμέρισμα το LCG

συμπίπτει με το μέσο νομέα. Με δεδομένο ότι η καμπύλη άντωσης είναι γραμμική

(βλέπε i.) και το κέντρο βάρους της είναι στο μέσο, προκύπτει ότι η καμπύλη άντωσης

Στο σχήμα φαίνεται η

σύμβαση για τα θετικά

πρόσημα


27

είναι σταθερή σε όλο το μήκος της φορτηγίδας. Η φόρτιση παρουσιάζεται στο πιό

κάτω σχήμα:

Οι διατμητικές δυνάμεις και καμπτικές ροπές δίνονται στο σχήμα

16,67t /m 90 x 30p(x) 33,33t /m 30 x 30

16,67t /m 30 x 90

16,67 x[m] 1500 90m x 30mQ(x)[t] 33,33 x[m] 30m x 30m

16,67 x[m] 1500 30m x 90m

2

2

2

8,335 (x [m] 8100) 1500 (x[m] 90) 90m x 30m

M(x)[t m] 29988 16,665 (x [m] 900) 30m x 30m

29988 8,335 (x [m] 900) 1500 (x[m] 30) 30m x 90m

Ακολουθούν τα διαγράμματα διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών. Οι

διατμητικές δυνάμεις ακολουθούν γραμμική κατανομή και οι καμπτικές ροπές

παραβολική (β βαθμού). Εναλλακτικά ο υπολογισμός των δυνάμεων και ροπών στα

σημεία x=-30m, 0, 30m μπορεί να γίνει λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση των μεγεθών

και τη συμμετρία ή αντισυμμετρία γύρω από τον μέσο νομέα (με τον τρόπο αυτό

αποφεύγονται σφάλματα λόγω προσεγγίσεων).

Q(-30m)=-(3000/180)60t=-1000t

Q(0m)=0t

περίσσεια βάρους 33,33 t/m

60 m 60 m 60 m

περίσσεια άντωσης 16,67 t/m


28

Q(30m)=-Q(-30m)=1000t

M(-30m)=[-(3000/180)60t]30t-m =-30000t-m

M(0m)=

=[-(3000/180)60t]60t-m+[(3000/60)30-(3000/180)30]15t-m=-45000t-m

M(30m)=M(-30m)=-30000t-m

∆ΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΚΑΜΠΤΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ

-50 000

-45 000

-40 000

-35 000

-30 000

-25 000

-20 000

-15 000

-10 000

-5 000

0-90 -60 -30 0 30 60 90

Απόσταση από μέσο νομέα

Διατμητική δύνα

μη σε

t

-1 000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1 000

καμπτική ροπήδιατμητική δύναμη

Ερώτημα iii.

Οταν στη δεξαμενή προστίθεται φορίο ομοιόμορφο κατα μήκος η καμπύλη βάρους

(βάρος άφορτης δεξαμενής και ομοιόμορφο φορτίο) παραμένει ομοιόμορφη. Αρα η

φόρτιση είναι μηδενική όπως και η κατανομή των διατμητικών δυνάμεων και

καμπτικών ροπών (βλέπε i.)

Ερώτημα iv.

Όταν προστίθεται φορτίο 3.000t γλυκού νερού στα ακραία διαμερίσματα – από 1.500t

σε κάθε ένα από τα ακραία διαμερίσματα - το LCG συμπίπτει με το μέσο νομέα. Με

δεδομένο ότι η καμπύλη άντωσης είναι γραμμική (βλέπε i.) και το κέντρο βάρους της


29

είναι στο μέσο, προκύπτει ότι η καμπύλη άντωσης είναι σταθερή σε όλο το μήκος της

φορτηγίδας. Η φόρτιση παρουσιάζεται στο πιό κάτω σχήμα:

8,33t /m 90 x 30p(x) 16,67t /m 30 x 30

8,33t /m 30 x 90

8,33 x[m] 750 90m x 30mQ(x)[t] 16,67 x[m] 30m x 30m

8,33 x[m] 750 30m x 90m

2

2

2

4,165 (x [m] 8100) 750 (x[m] 90) 90m x 30m

M(x)[t m] 15012 8,335 (x [m] 900) 30m x 30m

15012 4,165 (x [m] 900) 750 (x[m] 30) 30m x 90m

Ακολουθούν τα διαγράμματα διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών. Οι

διατμηιτικές δυνάμεις ακολουθούν γραμμική κατανομή και οι καμπιτκές ροπές

παραβολική (β βαθμού). Εναλλακτικά ο υπολογισμός των δυνάμεων και ροπών στα

σημεία x=-30m, 0, 30m μπορεί να γίνει λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση των μεγεθών

και τη συμμετρία ή αντισυμμετρία γύρω από τον μέσο νομέα (με τον τρόπο αυτό

αποφεύγονται σφάλματα λόγω προσεγγίσεων).

Περίσσεια άντωσης 16,67

60 m 60 m 60 m

Περίσσεια βάρους 8,33 t/m


30

Q(-30m)=(3000/120)60t-(3000/180)60=500t

Q(0m)=0t

Q(30m)=-Q(-30m)=-500t

M(-30m)=[(3000/120)60t-(3000/180)60]30t-m =15000t-m

M(0m)=[(3000/120)60t-(3000/180)60]60t-m-[(3000/180)30]15t-m =22500t-

m

M(30m)=M(-30m)=15000t-m


0

2 500

5 000

7 500

10 000

12 500

15 000

17 500

20 000

22 500

25 000

-90 -60 -30 0 30 60 90



μη σε

t

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

καμπτική ροπήδιατμητική δύναμη

Ερώτημα v.

Εστω ότι η δεξαμενή πλέει ισοβύθιστη. Στη περίπτωση αυτή η περίσσεια άντωσης, που

εκτείνεται σε μήκος 60m από το πρωραίο άκρο θα είναι ομοιόμορφη. Οι αντίστοιχες

καμπύλες φόρτισης, διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών ακολουθούν:


31

8,33t /m 90m x 30mp(x)

16,67t /m 30m x 90m

8,33 x[m] 750 90m x 30mQ(x)[t]

1500 16,67 x[m] 30m x 90m

2

2

2

2

4,165 (x [m] 8100) 750 (x[m] 90) 90m x 30mM(x)[t m]

8,335 (x [m] 900) 1500 (x[m] 30) 30m x 90m

4,165 x [m] 750 x[m] 33764 90m x 30mM(x)[t m]

8,335 x [m] 1500 x[m] 22514 30m x 90m

Παρατηρείται ότι Q(90m)0t και M(90m)=90000 t-m. Επειδή δεν υπάρχει

συγκεντρωμένη ροπή στο πρωραίο άκρο διορθώνεται η θέση ισορροπίας, σύμφωνα με

τη σχέση:

φ=M/(ILρg)

όπου φ η διαγωγή (θετική όταν βυθίζεται η πρύμνη), η ροπή αδράνειας της ισάλου

επιφανείας που είναι ίση με (1803×30/12)m4=14.580.000 m4 και ρg το ειδικό βάρος

του νερού που ισούται με 1,025 t/m3.

Περίσσεια άντωσης 16,67

60 m 60 m 60 m

Περίσσεια βάρους 8,33 t/m


32

Αρα φ=0,0062rad0,35

Η μείωση (-) ή αύξηση (+) του βυθίσματος ∆T(x) και η αντίστοιχη μεταβολή της

φόρτισης ∆p(x) δίνονται από τις σχέσεις:

L L3

M(90m) M(90m) M(90m)T(x) x p(x) B g x 12 xI g I g L

αντίστοιχα.

Αντικαθιστώντας προκύπτει: 5p(x) x27

Οι αντίστοιχες μεταβολές των διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών είναι:

2 3 3 35 5 5Q(x) x 750 M(x) (x 90 ) 750 (x 90) x 750 x 4500054 162 162

2

2

58,33 x[m] x[m] 90m x 30m54Q(x)[t]

5750 16,67 x[m] x[m] 30m x 90m54

3 2

3 2

5 x[m] 45000 4,165 x [m] 33764 90m x 30m162M(x)[t m]5 x[m] 22500 8,335 x [m] 750 x[m] 30m x 90m

162


33

-30.00

-25.00

-20.00

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

απόσταση από μέσο νομέα σε mφόρτιση σε

t/m

καμπύλη βάρους

καμπύλη άντωσης - ισοβύθυστη

καμπύλη άντωσης λόγω διαγωγής

καμπύλη φόρτισης


-100.000

-75.000

-50.000

-25.000

0

25.000

50.000

75.000

100.000

-90 -60 -30 0 30 60 90



μη σε

t

-1.000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1.000

καμπτική ροπήκαμπτική ροπή-ισοβύθιστηκαμπτική ροπή-λόγω διαγωγήςδιατμητική δύναμηδιατμητική δύναμη-ισοβύθιστηδιατμητική δύναμη-λόγω διαγωγής


34

AΣΚΗΣΗ 11η

Εστω ότι σε πλοίο προστίθεται σημειακή δύναμη P σε απόσταση xP-xF από το κέντρο

πλευστότητας. Η διατμητική δύναμη ∆Q(x), που οφείλεται στην πρόσθεση της

δύναμης ισούται με

p F FXA

XAL L

x xAQ(x) M P PA I

p F FXF

XFL L

x xAQ(x) M P PA I

όπου με L LA , I συμβολίζεται η επιφάνεια και η ροπή αδρανείας της ισάλου ως προς

εγκάρσιο άξονα διερχόμενο από το κέντρο πλευστότητας αντίστοιχα, F

XA XAA , M ( FXF XFA , M ) η επιφάνεια και η πρώτη ροπή της επιφάνειας αντίστοιχα που

βρίσκεται πρύμνηθεν(πρώραυεν) της θέσης x, ως προς άξονα διερχόμενο από το

κέντρο πλευστότητας και <P> ισούται με P αν η δύναμη P βρίσκεται μεταξύ του

σημείου x και της πρώρας(πρύμνης) ή άλλως με 0.

Να δειχθεί ότι οι δύο εκφράσεις δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα.


Εστω ότι η δύναμη P βρίσκεται μεταξύ της θέσης x και του FE. Ισχύει ότι

AE FE

∆Q(x)

P

p F FXAXA

L L

x xAQ(x) M PA I

και

p F FXFXF

L L

x xAQ(x) M P PA I

.

Πρέπει να ισχύει ότι


35

p F p FF FXF XAXF XA

L L L L

p F F FXF XAXF XA

L L

p FL

L L

x x x xA AM P P M PA I A I

x xA A M M P PA I

x xA 0 P P P PA I


36

ΑΣΚΗΣΗ 12η

Το παράλληλο τμήμα ενός πλοίου έχει μήκος 90 m. Ενόσω το πλοίο πλέει σε ήρεμο

νερό, η καμπύλη βάρους στο τμήμα αυτό είναι σταθερή και ίση με 500 t/m και η

καμπύλη άντωσης γραμμική με τιμές 432 t/m στο πρυμναίο άκρο του τμήματος και

540 t/m στο πρωραίο άκρο αυτού. Αν στο πρυμναίο άκρο του παράλληλου τμήματος

η διατμητική δύναμη και η καμπτική ροπή είναι 1340 tones και 95000 tones-m

αντίστοιχα (η δύναμη έχει φορά προς το κατάστρωμα και η ροπή εφελκύει το

κατάστρωμα):

1. να σχεδιαστούν τα διαγράμματα της διατμητικής δύναμης και της καμπτικής ροπής

στο παράλληλο τμήμα,

2. να προσδιοριστούν η διατμητική δύναμη και η καμπτική ροπή στο πρωραίο άκρο

του τμήματος,

3. ποια τα ακρότατα της διατμητικής δύναμης και της καμπτικής ροπής και που

εμφανίζονται;


1ο ερώτημα

Στο σχήμα παρουσιάζεται η φόρτιση λόγω βάρους και άντωσης στο παράλληλο τμήμα.

Οι δυνάμεις και ροπές στα άκρα του παράλληλου τμήματος εμφανίζονται με τη φορά

που εφαρμόζονται :

Η φόρτιση p(x) στο παράλληλο τμήμα σε t/m ισούται με

p(x)=500-[432+(540-432)x/90]=68-1,2x,


37

όπου x η απόσταση από το άκρο του τμήματος στο οποίο δίνονται η δύναμη και ροπή

σε m και παίρνει τιμές μεταξύ 0 m και 90 m.

Η διατμητική δύναμη Q σε tones, και καμπτική ροπή M σε tones-m, στο σημείο x,

ισούται με (Q1 και M1 η δύναμη και ροπή που δίνονται):

x x2

1

0 0

x x2 2 3

1

0 0

Q x Q p x dx 1340 68 1.2 x dx 1340 68 x 0.6 x

M x M Q x dx 95000 1340 68 x 0.6 x dx 95000 1340 x 34 x 0.2 x

Ακολουθούμενη σύμβαση για τα πρόσημα: θετικές ροπές εφελκύουν το κατάστρωμα

και η πρώτη παράγωγος της ροπής ισούται με τη διατμητική δύναμη.

Οι καμπύλες παρουσιάζονται γραφικά στο σχήμα που ακολουθεί:

60000

6250065000

67500

70000

7250075000

77500

8000082500

85000

8750090000

92500

95000

97500100000

102500

105000107500

110000

112500

115000117500

120000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ ΠΡΥΜΝΑΙΟ ΑΚΡΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΣΕ m

ΚΑΜΠΤΙΚΗ

ΡΟΠΗ

ΣΕ

to

nes

-m

-1500

-1400-1300

-1200

-1100

-1000-900

-800

-700-600

-500

-400-300

-200

-100

0100

200

300400

500

600

700800

900∆ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ

∆ΥΝΑΜΗ

ΣΕ

to

nes

ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΡΟΠΗ

∆ΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ∆ΥΝΑΜΗ

2ο ερώτημα

Από τις σχέσεις του πρώτου ερωτήματος προκύπτουν οι τιμές της διατμητικής

δύναμης Q2 και καμπτικής ροπής M2 στο πρωραίο άκρο του παράλληλου τμήματος:

Q2=-80 tones

M2=104000 tones-m

Η φορά τους φαίνεται στο σχήμα της προηγούμενης σελίδας.


38

3ο ερώτημα

Η φόρτιση μηδενίζεται σε απόσταση a από το πρυμναίο άκρο 68-1.2a=0. Άρα

a=56.67 m. Στο σημείο αυτό η διατμητική δύναμη παρουσιάζει ακρότατο ίσο με

2Q 1340 68 56.67 0.6 56.67 587 tones

Η καμπτική ροπή παρουσιάζει ακρότατα εκεί όπου μηδενίζεται η διατμητική δύναμη,

δηλαδή στα σημεία για τα οποία ισχύει:

20 1340 68 x 0.6 x x 25,40 87,94 m

Στα σημεία αυτά η καμπτική ροπή παρουσιάζει ακρότατα ίσα με

2 3M 95000 1340 25,40 34 25,40 0.2 25,40 79622 tones m και

2 3M 95000 1340 87,94 34 87,94 0.2 87,94 104082 tones m αντίστοιχα.


39

ΑΣΚΗΣΗ 13η

Να υπολογιστούν οι κατανομές διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών που

οφείλονται σε ημιτονοειδές κύμα στην περίπτωση της φορτηγίδας της άσκησης 3. Το

κύμα έχει μήκος ίσο με το μήκος της φορτηγίδας και το ύψος του είναι 5 m. Ο

υπολογισμός να γίνει για τη φορτηγίδα στην κορυφή και στο κοίλο του κύματος.

020 18 16 14 12 10 8 6 4 2

100 ft

80 ft

20 ft


Βλέπε σημειώσεις ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ


40

ΑΣΚΗΣΗ 14η

Φορτηγίδα σταθερής ορθογωνικής διατομής, μήκους 100 m και πλάτους 16 m, έχει

βάρος μεταλλικής κατασκευής 3000 tonnes, ομοιόμορφα κατανεμημένο στο μήκος

της. Η φορτηγίδα φέρει φορτίο 600 tonnes, ομοιόμορφα κατανεμημένο σε μήκος

16 m γύρω απο τη μέση τομή. Να υπολογιστεί η ροπή κάμψης στη μέση τομή, όταν η

φορτηγίδα ισορροπεί στο κοίλο ή την κορυφή ημιτονοειδούς κύματος, μήκους ίσου με

το μήκος της φορτηγίδας, και ύψους ίσου με 3.6m


Υπολογισμός ροπής κάμψης σε ήρεμο νερό:

sw600 600M 16 8 50 25 t m 5100 t m32 100

Υπολογισμός ροπής κάμψης σε κυματισμό:

Ένα ημιτονοειδές κύμα της μορφής y=(H/2)cos(2πx/L) με τη αρxή των αξόνων στο

μέσο νομέα δίνει τις πιο κάτω κατανομές διατμητικών δυνάμεων Q(x) και καμπτικών

ροπών M(x):

x

L /2

BγH 2πx BγHL 2πxQ(x) cos dx sin2 L 4π L

x 2

2L /2

2

w,max 2

B H L 2πx B H L 2πxM(x) sin dx 1 cos4π L L8π

B H LM M(x 0)8π

2

w,max 216 3,6 100M M(x 0) 1,025 t m 14955 t m

4π


41

ΑΣΚΗΣΗ 15η

Πλοίο μήκους 140m και μέγιστου πλάτους 20m, έχει σταθερή καθ' ύψος ελλειπτική

ίσαλο. Το πλοίο σχεδιάστηκε έτσι ώστε η μέγιστη ορθή τάση λόγω κάμψης στη μέση

τομή να μην υπερβαίνει τα 195 2N /mm , και βρέθηκε οτι για να ικανοποιείται η

συνθήκη αυτή, η ροπή αντίστασης της μέσης τομής πρέπει να ισούται με 3.077 3m .

Κατα τη σχεδίαση η ροπή κάμψης σε ήρεμο νερό υπολογίστηκε ίση με 250 MNm και η

ροπή κάμψης λόγω κυματισμού υπολογίστηκε θεωρώντας οτι το σκάφος βρίσκεται σε

στατική ισορροπία στην κορυφή κύματος ημιτονοειδούς μορφής. Ποιό είναι το ύψος

κύματος που χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό;


Βλέπε σημειώσεις ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ


42

ΑΣΚΗΣΗ 16η

∆ίνεται πλοίο με τα πιό κάτω χαρακτηριστικά: μήκος 132 m, πλάτος 20 m, κοίλο 10

m, βύθισμα σχεδίασης και αντίστοιχο εκτόπισμα 6 m και 12.500 tonnes αντίστοιχα.

Επίσης δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της μέσης τομής ισούται με 20 m4 και ο

ουδέτερος άξονας αυτής απέχει 3,78 m από τον πυθμένα.

1. Αν η μέγιστες ροπές κάμψης σε ήρεμο νερό εμφανίζονται στην περιοχή της μέσης

τομής και ισούνται με 125.000 kN-m στην περίπτωση, που η ροπή εφελκύει το

κατάστρωμα και με 100.000 kN-m στην περίπτωση εφελκυσμού του πυθμένα, να

υπολογιστεί η ροπή σχεδίασης της μέσης τομής βάσει των νηογνωμώνων.

2. Οι κανονισμοί προδιαγράφουν ότι η μέγιστη πρωτεύουσα εφελκυστική τάση στη

διατομή δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερη κατ’ απόλυτο τιμή από 175 MPa και η

μέγιστη θλιπτική τάση να μην υπερβαίνει τα 100 MPa. Να ελέγξετε αν η διατομή

πληροί τα κριτήρια των κανονισμών.


Υπολογισμός ροπών σχεδίασης σε κυματισμό σύμφωνα με τις σχέσεις του IACS:

2 3ws 1 1 b

2 3

2 3wh 2 1 b

2 3

M k C L B c 0.7 10

110 8,57 132 20 0,77 0,7 10 483.052 kN m

M k C L Bc 10

190 8,57 132 20 0,77 10 437.047 kN m

όπου

Mws, Mwh η ροπή κάμψης σε κατάσταση sagging και hogging αντίστοιχα σε KNm

L είναι το μήκος του πλοίου σε m,

B είναι το μέγιστο πλάτος σε m,

cb ο συντελεστής γάστρας,

1,5

1300 LC 10,75 90m L 300m

100

1 2k 110, k 190.


43

Αρα η ροπή σχεδίασης σε κατάσταση hogging ισούται με 562.047 kN-m, και σε

κατάσταση sagging 583.052 kN-m

Ακολουθεί ο υπολογισμός των μέγιστων τάσεων που προκύπτουν αν εφαρμοστούν οι

ροπές που υπολογίστηκαν. Με αρνητικό πρόσημο παρουσιάζονται οι θλιπτικές τάσεις

και με κόκκινο οι εκτός αποδεκτών ορίων.

ΚΟΙΛΟ 10,00 m

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΟΑ ΑΠΟ ΠΥΘΜΕΝΑ 3,78 m

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΟΑ ΑΠΟ ΚΑΤΑΣΤΩΜΑ 6,22 m

ΤΑΣΕΙΣ ΣΕ MPa

ΡΟΠΗ Α∆ΡΑΝΕΙΑΣ 20 m4 hog sag

ΡΟΠΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ (ΚΑΤ.) 3,215434 m3 175 -181

ΡΟΠΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ (ΠΥΘ.) 5,291005 m3 -106 110


44

ΑΣΚΗΣΗ 17η

Μελετάται η κατασκευή πλοίου μεταφοράς φορτίου χύδην με μήκος μεταξύ 200 m και

230 m και πλάτους 32,2 m. Για τα πλοία που εξετάζονται ο συντελεστής γάστρας

δίνεται από τη σχέση cb=0,6294+0,00084·L, όπου L το μηκος του πλοίου σε m.

Σύμφωνα με τους ισχύοντες κανονισμούς η ελάχιστη τιμή της ροπής αντίστασης SM

σε cm3 της μέσης τομής ενός πλοίου του τύπου και μήκους που μελετάται, δίνεται από

τη σχέση SM=0,9·C·L2·B·(cb+0,7), όπου L, B το μήκος και το πλάτος του πλοίου σε

m, cb ο συντελεστής γάστρας και C=10,75-(300-L)/1001,5 , όταν το μήκος του

πλοίου είναι μεταξύ 90 m και 300 m.

Να δείξετε ότι αν

α) το πλοίο κατασκευαστεί, έτσι ώστε η ροπή αντίστασης του να ισούται με την

ελάχιστη προδιαγραφόμενη από τους κανονισμούς και

β) η μέγιστη επιτρεπόμενη θλιπτική ορθή τάση λόγω διαμήκους κάμψης ισούται

με 155 MPa και η αντίστοιχη εφελκυστική με 195 MPa,

η μέγιστη επιτρεπόμενη ροπή σε ήρεμο νερό σε kN·m, που προκαλεί θλίψη στο

κατάστρωμα δίνεται από το τύπο

1,52300 L10,75 L 1,262797 0,000798 L

100, όπου L παίρνει τιμές από 200 m

έως 230 m.


Λόγω της θέσης του ουδετερου άξονα σε αυτού του τύπου πλοία, η μέγιστη τάση

παρουσιάζεται στο κατάστρωμα. Στην περίπτωση που η ροπή θλίβει το κατάστρωμα, η

μέγιστη επιτρεπόμενη τάση είναι σύμφωνα με την εκφώνηση 155 MPa και είναι

μικρότερη της μέγιστης επιτρεπόμενης εφελκυστικής που ισχύει για την περίπτωση

αυτή για τον πυθμένα. Άρα η μέγιστη επιτρεπόμενη ροπή είναι αυτή που προκαλεί

τάση 155 MPa στο κατάστρωμα και ισούται με ALL ALLM SM

Αν οι χρησιμοποιούμενες μονάδες είναι ως παρουσιάζονται στις αγκύλες, τότε:

3ALL

ALL[MPa] SM[cm ]M [kN m]

1000


45

Σύμφωνα με τους ισχύοντες κανονισμούς η ελάχιστη τιμή της ροπής αντίστασης SM

σε cm3 της μέσης τομής ενός πλοίου μεταφοράς φορτίου χύδην, δίνεται από τη σχέση

3 21 bSM[cm ] 0,9 C L [m] B[m] c 0,7 , όπου L, B το μήκος και το πλάτος του

πλοίου σε m, cb ο συντελεστής γάστρας και

1,5

1300 LC 10,75

100, όταν το μήκος

του πλοίου είναι μεταξύ 90 m και 300 m.

Λαμβάνονοντας υπόψη τα παραπάνω και τη ροπή sagging σε κυματισμό σύμφωνα με

τις ισχύουσες οδηγίες του IACS, η μέγιστη επιτρεπόμενη ροπή σε ήρεμο νερό, που

θλίβει το κατάστρωμα ισχύει ότι:

3 3 2SW,S ALL 1 b

2 3 2ALL 1 b 1 b

3 2ALL 1 b

21

M [kN m] [MPa] SM[cm ] 10 0,110 C L [m] B[m] c 0,7

[MPa] 0,9 C L [m] B[m] c ,7 10 0,110 C L [m] B[m] c 0,7

0,9 [MPa] 10 0,110 C L [m] B[m] c 0,7

0,9 0,155 0,110 C L [m

b

1,52

1,52

] B[m] c ,7

300 L0,0295 10,75 L [m] 32,2 0,6294 0,00084 L 0,7100

300 L10,75 L [m] 1,262797 0,000798 L100


46

ΑΣΚΗΣΗ 18η

∆ίνεται το φορτηγό πλοίου, του οποίου ο υπολογισμός της ροπής αντίστασης της

μέσης τομής, φαίνεται στον πίνακα 1. Από το πλοίο πρόκειται να αφαιρεθεί το

2ο κατάστρωμα.

Ζητούνται

α. Η μεταβολή των ορθών τάσεων λόγω κάμψης στη διατομή του πλοίου μετά

την αφαίρεση του 2ου καταστρώματος.

β. Ο αριθμός των ενισχυτικών που πρέπει να προστεθούν στο ανώτερο

κατάστρωμα, ούτως ώστε η μέγιστη τάση μετά την αφαίρεση, να μην

υπερβεί τη μεγίστη τάση πριν τη μετασκευή. Τα ενισχυτικά που θα

προστεθούν είναι ίδιας μορφής με αυτά που ήδη είναι τοποθετημένα στο

κατάστρωμα.

γ. Η μεταβολή της επιφάνειας του ανώτερου καταστρώματος και του

εσωτερικού πυθμένα, ούτως ώστε να μη μεταβληθεί η κατανομή των ορθών

τάσεων λόγω της μετασκευής.


47

ΠΙΝΑΚΑΣ 4-1: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΟΜΗΣ

4,0m 4,0m

3,5m

4,5m

1,0m

Στοιχείο διαστάσεις a (m^2) h (m) a*h a*h*h i (m^4)

έλασμα κυρίου καταστρώματος 2,5X14 0,035 9,000 0,315 2,835 0,000

έλασμα υδρορροής 1,5X16 0,024 9,000 0,216 1,944 0,000

διαμήκη ενισχυτικά κυρίου καταστρώματος W160X14;F40X14 0,008 8,900 0,075 0,665 0,000

Ζωστήρας 1,0X16 0,016 8,500 0,136 1,156 0,001

πλευρικά ελάσματα περιβλήματος 7,2X14 0,101 4,400 0,444 1,951 0,435

ελάσματα ενδιάμεσου καταστρώματος 4.0X12 0,048 5,500 0,264 1,452 0,000

έλασμα υδροσυλλεκτών R=0.8;t=14 0,018 0,290 0,005 0,001 0,001

ελάσματα εσωτερικού πυθμένα 6.5X14 0,091 1,000 0,091 0,091 0,000

ακραίο πλευρικό έλασμα διπύθμενου 1.5X16 0,024 1,000 0,024 0,024 0,000

διαμήκη ενισχυτικά εσωτερικού πυθμένα W200X10;F66X15 0,015 0,860 0,013 0,011 0,000

πλευρικές σταθμίδες 1.0X12 0,024 0,500 0,012 0,006 0,002

κεντρική σταθμίδα (1/2) 1.0X6 0,006 0,500 0,003 0,002 0,001

ελάσματα πυθμένα 7.2X14 0,101 0,000 0,000 0,000 0,000

διαμήκη ενισχυτικά πυθμένα W200X10;F66X15 0,015 0,140 0,002 0,000 0,000

διαδοκίδα κυρίου καταστρώματος W0.5X25;F0.4X25 0,023 8,640 0,194 1,680 0,000

διαδοκίδα ενδιάμεσου καταστρώματος W0,5X25;F0,4X25 0,023 5,150 0,116 0,597 0,000

Άθροισμα 0,571 1,910 12,416 0,440

απόσταση ΟΑ απο πυθμένα 3,347m

ροπή αδράνειας διατομής σε 12,929m4

ροπή αντίστασης διατομής (κατ.) σε 2,287m3

ροπή αντίστασης διατομής (κατ.) σε 3,863m3


48


ερώτημα α)

Η αφαίρεση του δεύτερου καταστρώματος και της αντίστοιχης διαδοκίδας

προξενεί μεταβολή της επιφάνειας της διατομής, η οποία ισούται μετά την

αφαίρεση με

2 20,5706 0,0480 0,0225 2m 1,0002m

Ο ουδέτερος άξονας μετατοπίζεται προς τον πυθμένα κατά

0,0480 2,15 0,0225 1,8 2m 0,29m

1,0002

Η νέα ροπή αδράνειας και αντίστασης αναφορικά με το κατάστρωμα της

διατομής ισούνται με 12,2546 4m και 2,0627 3m αντίστοιχα. Η τάση στο

κατάστρωμα αυξάνεται κατά

1 12,0627 2,2870 100 11%

12,2870

και στον πυθμένα μειούται κατα 4%. Η ποσοστιαία μεταβολή καθ' ύψος

ακολουθεί γραμμική κατανομή.

Για προσθαφειρέσεις στοιχείων, που επιφέρουν μικρές αλλαγές στην επιφάνεια

μίας διατομής ισχύει ότι αν σ η τάση σε απόσταση y από τον ουδέτερο άξονα

πριν τη μετασκευή και ∆α η μεταβολή της επιφάνειας της μέσης τομής, η

μεταβολή της τάσης ∆σ ισούται με:

2a ay y

y A I

όπου A, I η αρχική επιφάνεια και ροπή αδράνειας της μέσης τομής αντίστοιχα

και ya η απόσταση του κέντρου της επιφάνειας ∆α από τον ουδέτερο άξονα. Για

λόγους σύγκρισης οι μεταβολές στις τάσεις υπολογίζονται και με χρήση της

παραπάνω σχέσης:

Για αφαίρεση στοιχείου, που απέχει 2.15 και 1.80m και απο τον αρχικό

ουδέτερο άξονα (ελάσματα καταστρώματος και διαδοκίδα αντίστοιχα), ισχύει

1 1∆σ —0.691∆α και 2 2∆σ —0.530∆α και


49

Για μικρές μεταβολές ισχύει

1 2 1 2σ σ σ σ 0,691 α 0,530 α

σ 0,691 0,0480 2 0,530 0,0225 2 0,09σ

Δ Δ Δ Δ Δ

Παρατηρούμε, οτι αν το πρόβλημα γραμμικοποιηθεί, η υπολογιζόμενη μεταβολή

είναι μικρότερη της υπολογιζόμενης χωρίς την παραδοχή των μικρών

μεταβολών.

ερώτημα β)

Η επιφάνεια κάθε ενισχυτικού ισούται με 28 cm2, και τοποθετείται σε απόσταση

8,90m-3,35m+0,29m=5,85m απο τον ουδέτερο άξονα της διατομής. Αν σ, σ’,

σ’’ οι τάσεις πρίν την αφαίρεση, πρίν την ενίσχυση και μετά την ενίσχυση ισχύει

σ’=1,11σ και οτι η μεταβολή της τάσης στο κατάστρωμα λόγω της προσθήκης n

ενισχυτικών ισούται με

--- ´ ´ - ´

´

22 2 3'' ' 5,84 5,84 m n 0,0028m 10,55 10 n

' 5,94 1 12,25

Η απαίτηση είναι σ’’=σ, και από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει:

--- 31,11 10,55 10 n n 9,5

1,11

Επιλέγονται 10 ενισχυτικά και αν γίνει έλεγχος προκύπτει οτι ικανοποιείται η

απαίτηση (απόκλιση 0,3%).

ερώτημα γ)

Για να μην υπάρχει αλλαγή στην κατανομή τάσεων πρέπει τόσο η θέση του

ουδέτερου άξονα οσο και η ροπή αδράνειας της διατομής να παραμείνουν

σταθερές. Αν η μεταβολή της επιφάνειας του ανώτερου καταστρώματος και του

εσωτερικού πυθμένα είναι ∆α1 και ∆α2 αντίστοιχα, τότε

- -

- -

2 2

1 2

0,0480m (5,50 3,35) 0,0225m (5,15 3,35)α (9,00 3,35) α ( 3,35 1) 0

Δ Δ

και


50

- -

- -

2 2 2 2

2 21 2

0,0480m (5,50 3,35) 0,0225m (5,15 3,35)∆α (9,00 3,35) ∆α ( 3,35 1) 0

σχέσεις απο τις οποίες προκύπτει οτι

- 2 21 2140cm , 275cm

δηλαδή αύξηση του πάχους του καταστρώματος και μείωση του εσωτερικού

πυθμένα, έτσι ώστε η επιφάνεια των ελασμάτων στο κατάστρωμα να αυξηθεί

κατά 280 cm2 και αυτής του εσωτερικού πυθμένα να μειωθεί κατά 550 cm2.

Για να ελεγχθούν τα αποτελέσματα γίνονται οι υπολογισμοί της ροπής

αντίστασης της διατομής. Οι υπολογισμοί φαίνονται στους πίνακες που

ακολουθούν:


51

ΠΙΝΑΚΑΣ 2: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΟΜΗΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΑΦΑΙΡΕΣΗ 2ου ΚΑΤΑΣΤΡΩΜΑΤΟΣ

Στοιχείο διαστάσεις a (m^2) h (m) a*h a*h*h i (m^4)

έλασμα κυρίου καταστρώματος 2,5X14 0.0350 9.000 0.315 2.835 0.000

έλασμα υδρορροής 1,5X16 0.0240 9.000 0.216 1.944 0.000

διαμήκη ενισχυτικά κυρίου καταστρώματος W160X14;F40X14 0.0084 8.900 0.075 0.665 0.000

Ζωστήρας 1,0X16 0.0160 8.500 0.136 1.156 0.001

πλευρικά ελάσματα περιβλήματος 7,2X14 0.1008 4.400 0.444 1.951 0.435

ελάσματα ενδιάμεσου καταστρώματος 4.0X12 0.0000 5.500 0.000 0.000 0.000

έλασμα υδροσυλλεκτών R=0.8;t=14 0.0176 0.290 0.005 0.001 0.001

ελάσματα εσωτερικού πυθμένα 6.5X14 0.0910 1.000 0.091 0.091 0.000

ακραίο πλευρικό έλασμα διπύθμενου 1.5X16 0.0240 1.000 0.024 0.024 0.000

διαμήκη ενισχυτικά εσωτερικού πυθμένα W200X10;F66X15 0.0150 0.860 0.013 0.011 0.000

πλευρικές σταθμίδες 1.0X12 0.0240 0.500 0.012 0.006 0.002

κεντρική σταθμίδα (1/2) 1.0X6 0.0060 0.500 0.003 0.002 0.001

ελάσματα πυθμένα 7.2X14 0.1008 0.000 0.000 0.000 0.000

διαμήκη ενισχυτικά πυθμένα W200X10;F66X15 0.0150 0.140 0.002 0.000 0.000

διαδοκίδα κυρίου καταστρώματος W0.5X25;F0.4X25 0.0225 8.640 0.194 1.680 0.000

διαδοκίδα ενδιάμεσου καταστρώματος W0,5X25;F0,4X25 0.0000 5.150 0.000 0.000 0.000

Άθροισμα 0.5001 1.530 10.367 0.440


52

απόσταση ΟΑ απο πυθμένα σε m 3.0590

ροπή αδράνειας διατομής σε m^4 12.2546 % μεταβολή τάσης σε

σχέση με τις τάσεις πριν

τη μετασκευή (πιν. 1)

ροπή αντίστασης διατομής (κατ.) σε m^3 2.0627 10.9%

ροπή αντίστασης διατομής (πυθ.) σε m^3 4.0061 -3.6%


53

ΠΙΝΑΚΑΣ 3: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΟΜΗΣ ΜΕΤΑ ΤΗ MΕΤΑΣΚΕΥΗ

στοιχείο διαστάσεις a (m^2) h (m) a*h a*h*h i (m^4)




Ζωστήρας 1,0X16 0,0160 8,500 0,136 1,156 0,001














54

Άθροισμα 0,5141 1,654 11,476 0,440

απόσταση ΟΑ απο πυθμένα σε m 3,2180

ροπή αδράνειας διατομής σε m^4 13,1839 % μεταβολή τάσης σε

σχέση με τις τάσεις πριν

τη μετασκευή (πιν. 1)

ροπή αντίστασης διατομής (κατ.) σε m^3 2,2802 0,3%

ροπή αντίστασης διατομής (πυθ.) σε m^3 4,0969 -5,7%


55

ΠΙΝΑΚΑΣ 4: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΟΜΗΣ

στοιχείο διαστάσεις a (m^2) h (m) a*h a*h*h i (m^4)




ζωστήρας 1,0X16 0,0160 8,500 0,136 1,156 0,001














56

άθροισμα 0,4866 1,628 11,473 0,440

απόσταση ΟΑ απο πυθμένα σε m 3,3462

ροπή αδράνειας διατομής σε m^4 12,9294

ροπή αντίστασης διατομής (κατ.) σε m^3 2,2869

ροπή αντίστασης διατομής (πυθ.) σε m^3 3,8638


57

ΑΣΚΗΣΗ 19η

Εστω οτι h η απόστση του ουδέτερου άξονα διατομής πλοίου από το κατάστρωμα και

y η απόσταση του από το πυθμένα. Αν A και I η επιφάνεια και ροπή της διατομής

αντίστοιχα να δείξετε οτι αν (I/A)>h×y, αύξηση του πάχους του πυθμένα προκαλεί

αύξηση των τάσεων στο κατάστρωμα, όταν η ροπή κάμψης παραμένει σταθερή.


Εστω ∆t η μεταβολή του πάχους του πυθμένα, που έχει πλάτος b. Η μετατόπιση του

ΟΑ ισούται με:

y ∆t b y ∆a∆hA ∆t b A ∆a

, όπου ∆a ∆t b

Μεταβολή ροπής αδράνειας διατομής:

2 222 2 y a y A aI a y A a h a y A a

A a A a

Για να αυξηθούν οι τάσεις στο κατάστρωμα πρέπει να μειωθεί η αντίστοιχη ροπή

αντίστασης, δηλαδή:

2y A aII IA a h y

y a h AhA a


58

ΑΣΚΗΣΗ 20η

Πλοίο έxει μήκος L=112 m, πλάτος Β=18 m, κοίλο D=10 m και συντελεστή

γάστρας cΒ=0.65. Αν η γάστρα του είναι κατασκευασμένη απο ναυπηγικό

xάλυβα και υποθέτοντας οτι η μέση τομή του είναι αυτή που φαίνεται στο

παρακάτω σxήμα, να εξετάσετε αν η μέγιστη αναμενόμενη τιμή της ορθής λόγω

κάμψης, στη μέση τομή υπερβαίνει τα 175 MPa, όταν η καμπτική ροπή σε

ήρεμο νερό είναι ίση με 166.034 KNm, και προκαλεί εφελκυστική τάση στο

κατάστρωμα. Η καμπτική ροπή σε κυματισμό να υπολογισθεί σύμφωνα με τις

απαιτήσεις του IACS. ∆ίνονται τα εξής γεωμετρικά στοιxεία:

πλάτος στομίου κύτους

ύψος διπύθμενου

πάxος ελάσ.πυθμένα

πάxος ελάσ. διπύθμενου

πάxος ελάσ. καταστρώμ.

πάxος ελασ. πλευρ. περ.

πάxος σταθμίδων

8 m

1 m

14 mm

12 mm

12 mm

10 mm

11 mm


Η πρόσθετη ροπή λόγω κυματισμού δίνεται κατα IACS απο τις σχέσεις

2 3ws 1 1 b

2 3wh 2 1 b

M k C L B c 0.7 10

M k C L B c 10

όπου

Mws, Mwh η ροπή κάμψης σε κατάσταση sagging και hogging αντίστοιχα σε KNm

L είναι το μήκος του πλοίου σε m,

B είναι το μέγιστο πλάτος σε m,

cb ο συντελεστής γάστρας,

1,5

1300 LC 10,75 90m L 300m

100

1 2k 110, k 190.

Απο τις πιό πάνω σχέσεις προκύπτει οτι

Mws=-274.017 kN-m και Mwh=227.886 kN-m

Από τα παραπάνω συνάγεται ότι η μέγιστη απόλυτη τιμή της τάσης εμφανίζεται

στο κατάστρωμα όταν εφαρμόζεται η μέγιστη καμπτικής ροπής, που είναι


59

393.920 KN-m. Η μέγιστη επιτρεπόμενη τάση ισούται με 175 MPa, άρα η

απαιτούμενη ροπή αντίστασης με 393.920KN-m/175MPa=2,251m3.

Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται ο υπολογισμός της ροπής αντίστασης

της μέσης τομής, που προκύπτει μικρότερη της απαιτούμενης, απο τους

κανονισμούς.

στοιχείο a h a*h a*h*h i (cm^2) (m) (m cm^2) (m^2 cm^2) (m^2 cm^2)

έλασμα καταστρώματος 600 10,0 6.000 60.000 0πλευρικά ελάσματα περιβλήματος 1.000 5,0 5.000 25.000 8.333ελάσματα εσωτερικού πυθμένα 1.080 1,0 1.080 1.080 0

πλευρικές σταθμίδες 220 0,5 110 55 18κεντρική σταθμίδα (1/2) 55 0,5 28 14 5ελάσματα πυθμένα 1.260 0,0 0 0 0

άθροισμα 4.215 12.218 86.149 8.356

απόσταση ΟΑ απο πυθμένα σε m 2,90επιφάνεια διατομής σε cm^2 8.430

ροπή αδράνειας διατομής σε m^2cm^2 118.183ροπή αντίστασης διατομής (κατ.) σε mcm^2 16.642ροπή αντίστασης διατομής (πυθ.) σε mcm^2 40.773

Η ελάχιστη ροπή αντίστασης είναι μικρότερη από την απαιτούμενη. Αρα δεν

ικανοποιείται η απαίτηση


60

ΑΣΚΗΣΗ 21η

Για τη σxεδίαση της φορτηγίδας, με μέση τομή αυτή που φαίνεται στο πιο κάτω

σxήμα, η ροπή κάμψης ελήφθη ίση με 1.045 MΝm και η μέγιστη επιτρεπόμενη

ορθή τάση ίση με 175 MPa. Oμως οι ισxύοντες κανονισμοί προδιαγράφουν

ροπή σxεδίασης ίση με 1.500 ΜΝm και μέγιστη επιτρεπόμενη τάση ίση με 195

MPa. Πληροί η μέση τομή την σxετική απαίτηση των κανονισμών. Αν όxι πόσο

πρέπει να αυξηθεί το πάxος του ελάσματος του καταστρώματος για να είναι η

κατασκευή σύμφωνη με τους κανονισμούς;

ελάσματα πυθμένα 45,5mm

ελάσματα εσωτερικού πυθμένα 26,0mm

ελάσματα ενδιάμεσου καταστρώματος 25,0mm

ελάσματα ανωτέρου καταστρώματος 35,0mm

πλευρικά ελάσματα 30,0mm

15 m 8m

2m

1m


31

32

1045MN mSM 5,97m175MPa

1500MN mSM 7,69m195MPa


61

πλάτος πάχος αρ. επιφ.

απόσ. από πυθ. 1η ροπή steiner ροπή αδ.

m mm m·mm m m2·mm m3·mm m3·mm

ελάσματα πυθμένα 15.00 45.5 1 682.5 0.00 0 0 0

ελάσματα εσωτερικού πυθμένα 15.00 26.0 1 390 1.00 390 390 0

ελάσματα ενδιάμεσου καταστρώματος 15.00 25.0 1 375 6.00 2250 13500 0

ελάσματα ανωτέρου καταστρώματος 15.00 35.0 1 525 8.00 4200 33600 0

πλευρικά ελάσματα 8.00 30.0 2 480 4.00 1920 7680 2560

άθροισμα 2453 8760 55170 2560

Απόσταση ΟΑ από πυθμένα 3.572 m

Ροπή αδράνειας διατομής 26.441 m4

Ελάχιστη ροπή αντίστασης 5.971 m3

πλάτος πάχος αρ. επιφ.

απόσ. από πυθ. 1η ροπή steiner ροπή αδ.

m mm m·mm m m2·mm m3·mm m3·mm

ελάσματα πυθμένα 15.00 45.5 1 682.5 0.00 0 0 0

ελάσματα εσωτερικού πυθμένα 15.00 26.0 1 390 1.00 390 390 0

ελάσματα ενδιάμεσου καταστρώματος 15.00 25.0 1 375 6.00 2250 13500 0

ελάσματα ανωτέρου καταστρώματος 15.00 51.7 1 775.5 8.00 6204 49632 0

πλευρικά ελάσματα 8.00 30.0 2 480 4.00 1920 7680 2560

άθροισμα 2703 10764 71202 2560

Απόσταση ΟΑ από πυθμένα 3.982 m

Ροπή αδράνειας διατομής 30.897 m4

Ελάχιστη ροπή αντίστασης 7.690 m3


62

ΑΣΚΗΣΗ 22η

∆ίνεται πλοίο μήκους 125 m, πλάτους 18 m, κοίλου 10 m και εκτοπίσματος 14.760

tonnes σε βύθισμα 8 m. Η μέση τομή του πλοίου που διατηρείται σταθερή σε μήκος

30 m από το μέσο νομέα, έχει επιφάνεια ίση με 1,2 m2 και ροπή αδράνειας ίση με

16 m4, η δε απόσταση του ουδέτερου άξονα από τον πυθμένα της διατομής ισούται

με 4 m. Η μέγιστη ροπή σε ήρεμο νερό σε κάθε σημείο κατά μήκος δίνεται σε kN-m

από τη σχέση M(x)=-0,13152x3-21x2+4.680x, όταν x η απόσταση από το AE σε m,

και η ροπή κυματισμού προκύπτει βάσει των κανονισμών του IACS.

Να υπολογιστεί ο αριθμός των ενισχυτικών που αν ενισχύσουν το κατάστρωμα ή ο

αριθμός των ενισχυτικών που αν ενισχύσουν τον πυθμένα, η μέγιστη τάση σε κάμψη

δεν θα υπερβεί τα 210 MPa στην περίπτωση εφελκυσμού και τα 120 MPa στην

περίπτωση θλίψης, στο σημείο εμφάνισης της μέγιστης απόλυτης τιμής της

καμπτικής ροπής . Η επιφάνεια των ενισχυτικών είναι 4 cm2.

Παρατήρηση:Θεωρείται οτι θετικές τιμές του βάρους,

άντωσης, διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών είναι

ως στο σχήμα. Η φόρτιση είναι θετική αν έχει τη φορά του

βάρους.


Υπολογίζεται η ροπή σχεδίασης ως το άθροισμα της ροπής σε ήρεμο νερό και της

ροπής σε κυματισμό. Η ροπή αυτή δεν θα πρέπει να προκαλεί τάσεις μεγαλύτερες

από αυτές που προδιαγράφονται.

Ακολουθεί ο υπολογισμός της θέσης και της τιμής της μέγιστης ροπής σε ήρεμο

νερό:

dM(x)/dx=0 ή -0,39456x2-42x2+4.680=0 άρα η μέγιστη ροπή σε ήρεμο νερό

παρουσιάζεται σε απόσταση 68 m, από το AE, και ισούται με 179.782 kN-m

(hogging, εφελκύει το κατάστρωμα)

Οι τιμές της ροπής της ροπής σε κυματιμό σε κατάσταση hogging και sagging ισούται

με 360.596 kN-m και –391.437 kN-m αντίστοιχα.


63

Αρα η μέγιστη ροπή κατά μήκος του πλοίου ισούται με

179.782 kN-m + 360.596 kN-m = 540.378 kN-m - κατάσταση hogging. Στο ίδιο

σημείο η ροπή sagging ισούται με

179.782 kN-m - 391.437 kN-m = -211.655 kN-m

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι μέγιστες τάσεις που προκαλούν οι ροπές

αυτές σε κατάστρωμα και πυθμένα (θετικές εφελκυστικές και αρνητικές θλιπτικές)

Αν ο πυθμένας ενισχυθεί με n ενισχύσεις ορθογωνικής διατομής επιφάνειας 0,004

m2 ο ουδέτερος άξονας θα μετατεθεί προς τον πυθμένα κατά

4 n 0,004H[m]

1,2 n 0,004

και η ροπή αδράνειας της διατομής θα είναι ίση με

2 24 4 44 n 0,004 4 n 0,004I 16m 1,2 m n 0,004 4 m

1,2 n 0,004 1,2 n 0,004

(αγνοείται η ροπή αδρανείας των ενισχυτικών ως προς κεντροβαρικό τους άξονα)

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνεται η χρήση των παραπάνω σχέσεων για τον

υπλογισμό των τάσεων στην περίπτωση πρόσθεσης καταρχήν 5, 10, 15, 20

ενοσχυτικών στον πυθμένα και ακολούθως 16, 17 και 18. Ως προκύπτει από τον

πίνακα ο ελάχιστος απαιτούμενος αριθμός ενισχυτικών στην περίπτωση αυτή είναι

17.

Κατάστρωμα πυθμένας

Ροπή αντίστασης 16m4/6m=2,67m3 16m4/4m=4,00m3

Hogging

540.378 kN-m

540.378 kN-m/2,67m3=

202MPa

540.378kN-m/-4,00m3=

-135MPa

Sagging

-211.655 kN-m

-211.655 kN-m/2,67m3=

-79MPa

-211.655 kN-m/-4,00m3=

53Pa


64

sag hog sag hog

προστιθέμενα ενισχυτικά στον πυθμένα αναπτυσσόμενες τάσεις σε MPa

αριθμός επιφάνεια μετ. ΟΑ απόσταση ΟΑ από Ροπή

αδράνειας

ροπή αντίσασης κατάστρωμα πυθμένας

κατάστρωμα πυθμένα κατάστρωμα πυθμένα -211.655 540.378 -211.655 540.378

m2 M m m4 m3 MPa

5 0,020 0,066 6,07 3,93 16,315 2,690 4,147 -79 201 51 -130

10 0,040 0,129 6,13 3,87 16,619 2,712 4,293 -78 199 49 -126

15 0,060 0,190 6,19 3,81 16,914 2,732 4,440 -77 198 48 -122

20 0,080 0,250 6,25 3,75 17,200 2,752 4,587 -77 196 46 -118

16 0,064 0,203 6,20 3,80 16,972 2,736 4,469 -77 197 47 -121

17 0,068 0,215 6,21 3,79 17,030 2,740 4,499 -77 197 47 -120

18 0,072 0,226 6,23 3,77 17,087 2,744 4,528 -77 197 47 -119


65

ΑΣΚΗΣΗ 23η

Χαλύβδινο δίγαστρο πλοίο μήκους 100 m έχει μέση τομή ως φαίνεται στο

σχήμα Για το πλοίο αυτό ισχύει ότι οι πρωτεύουσες ορθές τάσεις λόγω

κάμψης δεν πρέπει να υπερβούν τα 175 MPa σε εφελκυσμό και τα 120 MPa σε

θλίψη. Να ελέγξετε αν ισχύουν τα προαναφερθέντα κριτήρια, όταν η ροπή σε

ήρεμο νερό ισούται με 400 ΜΝ-m και προκαλεί εφελκυσμό στο κατάστρωμα,

και η πρόσθετη ροπή κυματισμού σε κατάσταση sagging και hogging ισούται

με 1000 ΜΝ-m και 900 MN-m αντίστοιχα. Να επαναλάβετε τον έλεγχο στην

περίπτωση που το κύριο κατάστρωμα είναι κατασκευασμένο από αλουμίνιο.

Στην περίπτωση αυτή τα όρια για την πρωτεύουσα τάση είναι 100 ΜPa για

εφελκυσμό και 90 MPa για θλίψη. ∆ίνονται οι σταθερές του χάλυβα και του

αλουμινίου:

Mέτρο ελαστικότητας Οριο διαρροής

GPa MPa

Xάλυβας 210 245

Αλουμίνιο 70 145

Γίνεται έλεγχος των τάσεων στα ακρότατα σημεία της διατομής, δηλαδή στο

κατάστρωμα και τον πυθμένα. Οι πράξεις και οι έλεγχοι φαίνονται και για τα

δύο ερωτήματα στους πίνακες που ακολουθούν.

Για τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας στη δεύτερη περίπτωση η ροπή

μετασχηματίστηκε σε ισοδύναμη χαλύβδινη και η τάσεις υπολογίστηκαν με

βάση τη σχέση

τάση=(συντελεστής υλικού)(ροπή κάμψης/ροπή αδράνειας)(απ. απο ΟΑ)

κατάστρωμα

wet-deck

ελάσματα πυθμένα εξωτερικό πλευρικό

έλασμα

άνω πλευρικό έλασμα

κάτω πλευρικό έλασμα


66

όπου ο συντελεστής υλικού ισούται με 1 για το χάλυβα και 1/3 για το

αλουμίνιο.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ∆ΙΑΤΟΜΗΣ

μήκος

(m)

πάχος

(mm

)

απόσταση

απο

πυθμένα

(m)

επιφάνεια

(m*m

m)

α ροπή

επ.

(m

^2*

mm

)

όρος

Ste

iner

(m^

3*m

m)

ροπή

αδράνειας

διατομής

(m

^3*

mm

)

Κατάστρωμα 10,00 26 10,00 260,0 2.600,0 26.000,0 0,0

wet-deck 6,00 16 4,00 93,6 374,4 1.497,6 0,0

ελάσματα πυθμένα 4,00 26 0,00 104,0 0,0 0,0 0,0

εξωτερικό πλευρικό έλασμα 10,00 17 5,00 169,0 845,0 4.225,0 1.408,3

άνω πλευρκό έλασμα 6,00 13 7,00 78,0 546,0 3.822,0 234,0

κάτω πλευρικό έλασμα 4,00 18 2,00 72,8 145,6 291,2 97,1

777,4 4.511,0 35.835,8 1.739,4

απόσταση ΟΑ απο πυθμένα 5,80 m

επιφάνεια διατομής 1.555 m*mm

Ροπή αδράνειας ως προς πυθμένα 75.150 m3*mm

ροπή αδράνειας διατομής 22.799 m3*mm

Ροπή αντίστασης (κατάστρωμα) 5.432 m2*mm

Ροπή αντίστασης (πυθμένας) 3.929 m2*mm

ροπή κάμψης σε ήρεμο νερό (εφ. στο κατ.) 400 MN-m

ροπή κάμψης σε κυματισμό - sagging 1.000 MN-m

ροπή κάμψης σε κυματισμό - hogging 900 MN-m

με bold και κόκκινο σημειώνονται οι εκτός ορίων τάσεις

κατ. πυθ.

μέγιστη ροπή κάμψης sagging -600 MN-m -110 153

hogging 1.300 MN-m 239 -331


67

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ∆ΙΑΤΟΜΗΣ - ΚΑΤΑΣΤΡΩΜΑ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ

μήκος

(m)

πάχος

(mm

)

απόσταση

απο

πυθμένα

(m)

επιφάνεια

(m*m

m)

α ροπή

επ.

(m

^2*

mm

)

όρος

Ste

iner

(m^

3*m

m)

ροπή

αδράνειας

διατομής

(m

^3*

mm

)

κατάστρωμα (συν. υλ. 1/3) 10,00 26 10,00 86,7 866,7 8.666,7 0,0

wet-deck 6,00 16 4,00 93,6 374,4 1.497,6 0,0

ελάσματα πυθμένα 4,00 26 0,00 104,0 0,0 0,0 0,0

εξωτερικό πλευρικό έλασμα 10,00 17 5,00 169,0 845,0 4.225,0 1.408,3

άνω πλευρκό έλασμα 6,00 13 7,00 78,0 546,0 3.822,0 234,0

κάτω πλευρικό έλασμα 4,00 18 2,00 72,8 145,6 291,2 97,1

604,1 2.777,7 18.502,5 1.739,4

απόσταση ΟΑ απο πυθμένα 4,60 m

επιφάνεια διατομής 1.208 m*mm

Ροπή αδράνειας ως προς πυθμένα 40.484 m3*mm

ροπή αδράνειας διατομής 14.939 m3*mm

Ροπή αντίστασης (κατάστρωμα) 2.766 m2*mm

Ροπή αντίστασης (πυθμένας) 3.249 m2*mm

ροπή κάμψης σε ήρεμο νερό (εφ. στο κατ.) 400 MN-m

ροπή κάμψης σε κυματισμό - sagging 1.000 MN-m

ροπή κάμψης σε κυματισμό - hogging 900 MN-m

με bold και κόκκινο σημειώνονται οι εκτός ορίων τάσεις

κατ. πυθ.

μέγιστη ροπή κάμψης sagging -600 MN-m -72 185

hogging 1.300 MN-m 157 -400


68

ΑΣΚΗΣΗ 24η

∆ίνεται η διατομή δοκαριού ως στο σχήμα. Να σχεδιάσετε την κατανομή των ορθών

τάσεων σε όλη τη διατομή, εάν αυτή καταπονείται από καμπτική ροπή 800 MN-m που

εφελκύει το κατάστρωμα.

20 m

15 m

10 m

10 m

Ελάσματα αλουμινίου πάχους 18 mm

Χαλύβδινα ελάσματα πάχους 18 mm

Μέτρο ελαστικότητας χάλυβα 210 GPa και αλουμινίου 70 GPa.


Στο πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται ο υπολογισμός της ροπής αδράνειας της

ισοδύναμης χαλύβδινης διατομής


69

μήκος

(m)

πάχος

(mm

)

συντελεστής υλικού

απόσταση

απο

πυθμένα

(m)

η α ροπή

επ.

(m

^2*

mm

)

όρος

Ste

iner

(m

^3*

mm

)

ροπή

αδράνειας

διατομής

(m

^3*

mm

)

κατάστρωμα 10,00 18 1/3 15,00 60,0 900,0 13.500,0 0,0ενδιάμεσο κατάστρωμα αλουμινίου 5,00 18 1/3 10,00 30,0 300,0 3.000,0 0,0ενδιάμεσο κατάστρωμα χαλυβα 5,00 18 1 10,00 90,0 900,0 9.000,0 0,0πυθμένας 10,00 18 1 0,00 180,0 0,0 0,0 0,0πλευρικό έλασμα χάλυβα 10,00 18 1 5,00 180,0 900,0 4.500,0 1.500,0πλευρικό έλασμα αλουμινίου 5,00 18 1/3 12,50 30,0 375,0 4.687,5 62,5

570,0 3.375,0 34.687,5 1.562,5

5,92 m

1.140 m*mm

72.500 m3*mm

32.533 m3*mmροπή αδράνειας διατομής

απόσταση ΟΑ απο πυθμένα

επιφάνεια διατομής

Ροπή αδράνειας ως προς πυθμένα

Η κατανομή των τάσεων σε MPa δίνεται από τη σχέση

800 1000 y[m] 24,6 y[m]

32533

για τα χαλύβδινα ελάσματα, και

1 800 1000 y[m] 8,2 y[m]3 32533

για τα ελάσματα αλουμινίου, όπου y η απόσταση από τον ουδέτερο άξονα.

Οι τάσεις στα ελάσματα παρουσιάζονται γραφικά στο σχήμα που ακολουθεί. Οι

ακραίες τιμές τους δίνονται στον πιο κάτω πίνακα:

στα ελάσματα μεταξύ ουδέτερου άξονα και πυθμένα είναι θλιπτικές (-) και μεταξύ

ουδέτερου άξονα και καταστρώματος εφελκυστικές(+)

Χαλύβδινος πυθμένας σταθερή. τάση -146 MPa

Κατάστρωμα αλουμινίου σταθερή τάση 74 MPa

Χαλ. ελ. ενδιάμεσου κατ. σταθερή τάση 100 MPa

Ελάσ. αλουμιν. εν. κατ. σταθερή τάση 33 MPa

Χαλύβδινα πλευρ. ελ. γραμ. μεταβαλ. από -146 MPa (κατ.) έως 100 MPa

Πλευρ. ελάσμ. αλουμινίου γραμ. μεταβαλ. από 33 MPa (πυθ.) έως 74 MPa

Η τάση μηδενίζεται στα πλευρικά ελάσματα και σε απόσταση 5,92 m από τον

πυθμένα.


70

Ελάσματα αλουμινίου πάχους 18 mm

Χαλύβδινα ελάσματα πάχους 18 mm

74 MPa

100 MPa

33 MPa

146 MPa


71

ΑΣΚΗΣΗ 25η

Στη διατομή του σχήματος εφαρμόζεται η διατμητική δύναμη Q=23.95MN, σε σημείο

που να μη προκαλεί στρέψη του δοκαριού. Να υπολογιστούν και σχεδιαστούν οι

κατανομές διατμητικής ροής και διατμητικής τάσης.


Η διαφορά 5 διατμητικής ροής ∆q μεταξύ δύο σημείων της ακμής ενός ελάσματος,

που βρίσκεται στη διατομή ενός καμπτόμενου δοκαριού, δίνεται από τη σχέση:

- -Qq( s) q(s s) q(s) m( s)I

όπου s η μεταβλητή κατά το περίγραμμα της ακμής που προσδιορίζει τη θέση του

σημείου πάνω στην ακμή, I η ροπή αδάνειας της διατομής ως προς τον ουδέτερο

άξονα, m(∆s) η πρώτη ροπή επιφανείας που ορίζεται μεταξύ των θέσεων s και s+∆s

ως προς τον ουδέτερο άξονα και Q η διατμητική δύναμη (βλέπε σχήμα για την

ακολουθούμενη σύμβαση για τα πρόσημα). Οι σχετικοί υπολογισμοί παρουσιάζονται

στον πίνακα που ακολουθεί:

5

10 m

10 m

4 m

2t

2t

3t

t

s A

B

C

D

F E

G O.A.

a

s

s

s

s

t=12mm


72

a. b. c. d. e. f. g. h.

m M2 m3 m m m M2

AC 10t 100t 1000t 0 13ts 0 to 5 65t

CD 4t 32t 256t 5.3t (6.5-s/2)ts 0 to 4 18t

BD 10t 60t 360t 0 5ts 0 to 5 25t

DE 6t 18t 54t 18t (2.5-s/2)ts 0 to 6 -3t

EF 30t 0 0 0 -10.5ts 0 to10 -105t

σύν. 60t 210t 1670t 23t

επεξηγήσεις στηλών

a. το τμήμα της ακμής, στο οποίο αναφέρονται τα αποτελέσματα της σειράς

b. το εμβαδόν του τμήματος.

c. η πρώτη ροπή επιφανείας του τμήματος ως προς τον πυθμένα.

d. το γινόμενο της επιφάνειας του τμήματος επι το τετράγωνο της απόστασης του

κέντρου του απο τον πυθμένα.

e. η ροπή αδράνειας της επιφάνειας του τμήματος ως πρός άξονα // ως προς τον

ουδέτερο άξονα. Ο ουδέτερος άξονας βρίσκεται σε απόσταση

a=(210t/60t)m=3.5 m απο τον πυθμένα

f. η πρώτη ροπή επιφανείας του τμήματος απο το αριστερό άκρο του σύμφωνα με

τη στήλη (α) ως την τυχούσα θέση, που περιγράφεται απο την μεταβλητή s, ως

προς τον ουδέτερο άξονα. Η μεταβλητή s, διαγράφει την ακμή απο το αριστερό

της άκρο.

g. το διάστημα της μεταβολής της s.

h. η πρώτη ροπή επιφανείας του τμήματος ως προς τον ουδέτερο άξονα.

Η ροπή αδράνειας της διατομής ως προς τον ουδέτερο άξονα ισούται με I=2(1.693t-

60t3.52)m3=1.916tm3.

Χρησιμοποιώντας α) τα αποτελέσματα που παρουσιάστηκαν, β) τη σχέση που συνδέει

τη διαφορά της διατμητικής ροής μεταξύ δύο σημείων της ακμής ενός ελάσματος με

τη ροπή επιφανείας που ορίζεται από τα σημεία αυτά, γ) ότι η τιμή της διατμητικής

ροής στα σημεία A και F είναι μηδέν, και δ) τη σχέση που συνδέει τις ροές που

συγκλίνουν ή αποκλίνουν από το σημείο τομής ακμών ελασμάτων, υπολογίζονται οι

κατανομές των διατμητικών ροών και τάσεων στη διατομή. Η σχέση που αναφέρεται

στο σημείο δ) είναι η ii

q 0 όπου qi η ροή στον κλάδο i. Οι ροές που έχουν


73

διεύθυνση προς τον κόμβο λαμβάνονται με αντίθετο πρόσημο από αυτές που έχουν

διεύθυνση αποκλίνουσα από τον κόμβο.

Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται πινακοποιημένα και γραφικά:

τμήμα άκρα ροή στο m(∆s) ροή στο διατμητική τάση

(∆s) τμήματος άκρο άκρο στα άκρα (απόλυτη τιμή)

m2(Q/I) m2 m2(Q/I) MPa

AC A C A:0 65t C:-65t 0 34

BD B D B:0 25t D:-25t 0 13

CD C D C:-65t 18t D:-83t 68 86

DG D G D:-108t 3t G:-111t 113 116

GE G E G:-111t -6t E:-105t 116 109

EF E F E:-105t -105t F:0t 36 0

Οι ροές/τάσεις προκύπτουν θετικές, αν η διατμητική δύναμη είναι αρνητική, δηλαδή

αν έχει φορά προς τον πυθμένα. Οι δυνάμεις που προκαλούνται απο αυτή την

κατανομή έχουν άρα τη φορά διαγραφής της μεταβλητής s, αναμενόμενο αφού η

ολοκλήρωση των τάσεων θα πρέπει να δίνει δύναμη ίση με την Q. Αντίστοιχα ισχύουν

αν η φορά της διατμητικής ροής είναι προς το κατάστρωμα. Οι κατανομές της ροής

και της τάσης φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί.

διατμητική ροή διατμητικές τάσεις

s A

B

C

D

F E

G O.A.

s

s

s

s

A

B

C

D

F E

G O.A.

φορά διαγραφής της μεταβλητής s

διατμητική ροή, διατμητικές τάσεις


74

ΑΣΚΗΣΗ 26η

Να υπολογιστεί η διατμητική ροή στη διατομή του σχήματος που προκαλείται απο

διατμητική δύναμη Q.


Ενω στον κλάδο FED δεν παρουσιάζεται δυσκολία στον υπολογισμό μια και στο σημείο

F η διατμητική ροή είναι γνωστή, στην κυψέλη ABDC δεν μπορεί a priori να

καθοριστεί η τιμή της διαμητικής ροής σε κάποιο σημείο. Για το λόγο αυτό θεωρείται

οτι στο σημείο A η ροή είναι μηδέν, και με βάση την παραδοχή αυτή υπολογίζεται και

σχεδιάζεται στο επόμενο σχήμα η κατανομή της.

a. b. c. d. e. f. g. h.

m m2 m3 m m m m2

AC 5t 50t 500t 0 7ts 0 to 5 35t

CD 4t 32t 256t 5.3t (7-s/2)ts 0 to 4 20t

AB 4t 32t 256t 5.3t (7-s/2)ts 0 to 4 20t

BD 5t 30t 180t 0 3ts 0 to 5 15t

DE 6t 18t 54t 18t (3-s/2)ts 0 to 6 0t

EF 30t 0 0 0 -9ts 0 to10 -90t

σύν. 54t 162t 1246t 29t

5

10 m

10 m

4 m

t

t

3t

t

s A

B

C

D

F E

G O.A.

a

s

s

s

s

s


75

Για την επεξήγηση των στηλών βλέπε αντίστοιχο πίνακα του ασκησης 18.

Ο ουδέτερος άξονας βρίσκεται σε απόσταση (162t/54t)m=3m απο τον πυθμένα,

και η ροπή αδράνεια της διατομής ισούται με I=2(1.246t-54t32+29t)

m3=1.578t m3.

Σύμφωνα με τα παραπάνω αν γίνει δεκτό ότι η ροή στο σημείο A είναι 0, η διατμητική

ροή στη διατομή παρουσιάζεται πινακοποιημένα και γραφικά πιό κάτω:

τμήμα άκρα ροή στο m(∆s) ροή στο τελική ροή

(∆s) τμήματος άκρο άκρο απολ. τιμή

m2(Q/I) m2 m2(Q/I) m2(Q/I)

AC A C A:0 35t C:-35t A:5t C:30t

CD C D C:-35t 20t D:-55t C:30t D:50t

AB A B A:0 20t B:-20t A:5t B:25t

BD B D B:-20t 15t D:-35t B:25t D:40t

DE D G D:-90t 0 Ε:-90t D:90t Ε:90t

EF G F Ε:-90t -90t F:0 Ε:90t F:0

στο σχήμα τα διανύσματα

αντιστοιχούν στη φορά των

δυνάμεων που οι κατανομές των

διατμητικών τάσεων προκαλούν

για θετική δ.δ. (φορά προς το

κατάστρωμα)

στη κυψέλη ACDB φαίνεται η

φορά της θετικής σταθερής

διατμητικής ροής

s A

B

C

D

F E

G O.A.

s

s

s

s

s




76

Στον κλάδο ACDB πρέπει να προστεθεί η σταθερή ροή qc, ώστε να ικανοποιείται η

σχέση:

dsq 0t(s)

,

όπου q η κατανομή της διατμητικής ροής στη κλειστή κυψέλη, t(s) το πάχος των

ελασμάτων στη θέση s. Εφαρμόζοντας τη σχέση αυτή προκύπτει ότι:

s

c

5 4 4 5

0 0 0 0

5 4 4 5

0 0 0 0

5 4 5

0 0 0

5 4 4 5

0 0 0 0

dsqt(s)q

dst(s)

Q ds ds ds ds7ts 35t 7 s /2 ts (7 s /2)ts 20t 3tsI t t t t

ds ds ds dst t t t

Q ds ds ds4ts 35t 20tI t t t

ds ds ds dst t t t

5 4 5

0 0 0

5 4 4 5

0 0 0 0

Qt 4sds 35ds 20dsI

ds ds ds ds

Qt 50 140 100 90 Qt QtI 518 18 I I

Στις πιό πάνω σχέσεις όπου αντικαταστάθηκαν μήκη, οι τιμές τους δόθηκαν σε m. Η

τελευταία παράσταση έχει μονάδες μήκους στο τετράγωνο. Με t(s) συμβολίζεται το

πάχος ελάσματος στη θέση s.

Για τον υπολογισμό της qc θεωρήθηκε οτι αυτή έχει φορά τη φορά των δεικτών του

ρολογιού. Κατόπιν τα ολοκληρώματα υπολογίστηκαν με βάση οτι η ροή είναι θετική

οταν συμπίπτει με τη φορά της qc και αρνητική όταν είναι αντίθετη. Το τελικό

αποτέλεσμα προέκυψε θετικό, άρα η σταθερή ροή έχει θετική φορά, δηλαδή τη φορά

των δεικτών. Η συνολική ροή στις ακμές ACDB προκύπτει απο την άθροιση των δύο

συνιστωσών. Στο πιό κάτω σχήμα φαίνεται η κατανομή της προκύπτουσας τελικής

ροής. Η φορά των δυνάμεων που προκαλούνται απο τη κατανομή φαίνεται στο σχήμα

που ακολουθεί.


77

A

B

C

D

E

G O.A. s



F

s A

B

C

D

F E

G O.A.

s

s

s

s

s


78

ΑΣΚΗΣΗ 27η

Να υπολογιστεί η κατανομή της διατμητικής ροής στη διατομή του επομένου

σχήματος, που προκαλείται απο διατμητική δύναμη Q.


Παρατηρείται οτι δεν είναι δυνατή η εκ των προτέρων εκτίμηση της διατμητικής ροής

σε κάποιο σημείο των κυψελών CDEF και EBGF. Εστω οτι επιλέγεται η ροή στα σημεία

C και B, επί της ακμής BE, ίση με μηδέν. Με τις παραδοχές αυτές υπολογίζεται η

κατανομή της ροής στη διατομή. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στους πίνακες που

ακολουθούν (ισχύουν οι επεξηγήσεις της άσκησης 18).

a. b. c. f. g. h.

Ft ft2 ft ft ft2

CD 50t 6000t 83ts 0 to 50 4152t

DE 70t 5950t (83-s/2)ts 0 to 70 3362t

CB 70t 5950t (83-s/2)ts 0 to 70 3362t

BE 100t 5000t 26ts 0 to 50 1304t

t

t t

2t 2t

3t 3t

50’ 50’

50’

70’

neutral axis 37’ from bot

C D

E

B A

H G F

s

s s

s

s

s

s s

s


79

EF 100t 2500t 2(13-s/2)ts 0 to 50 -1197t

FG 150t 0 -111ts 0 to 50 -5545t

HG 150t 0 -111ts 0 to 50 -5545t

GB 100t 2500 -(37-s/2)2ts 0 to 50 -1197t

BA 100t 5000 26ts 0 to 50 1304t

σύν. 890t 32900t

ο ουδέτερος άξονας βρίσκεται σε απόσταση (32900t/890t)m=37ft απο τον πυθμένα.

τμήμα άκρα ροή στο m(∆s) ροή στο ροή

(∆s) τμήματος άκρο άκρο

m2(Q/I) m2 m2(Q/I) m2(Q/I)

CD C D C:0 4152t D:-4152t C:2078t D:2074t

DE D E D:-4152t 3362t E:-7514t D:2074t E:5440t

BE B E B:0 1304t E:-1304t B:670t E:630t

EF E F E:-8818t -1197t F:-7620t E:6070t F:4872t

FG F G F:-7621t -5545t G:-2075t F:4873t G:673t

HG H G H:0 -5545t G:5545t H:0t G:5545t

GB G B G:3470t -1197t B:4667t G:6218t B:7415t

CB C B C:0 3362t B:-3362t C:2078t B:5440t

BA B A B:1305t 1304t A:0 B:1305t A:0t

Η προκύπτουσα κατανομή φαίνεται σε επόμενο σχήμα.

Η εξίσωση q ds 0t

πρέπει τώρα να ισχύει και για τις δύο κυψέλες, δηλαδή

CDEF

q ds 0t

και BEFG

q ds 0t

Για να ικανοποιηθούν και οι δύο σχέσεις πρέπει να προστεθεί μία σταθερή ροή qc1

στις ακμές που αποτελούν την κυψέλη CDEF και μία σταθερή ροή qc2 στις ακμές που

αποτελούν την κυψέλη BEFG. Απο τα πιό πάνω προκύπτει οτι οι δύο σταθερές ροές

ικανοποιούν το σύστημα:


80

s c1 c2CDEB CDEB CDEB EB

s c2 c1BEFG BEFG BEFG BE

ds ds ds ds0 q 0 q q qt(s) t(s) t(s) t(s)

ds ds ds ds0 q 0 q q qt(s) t(s) t(s) t(s)

και άρα

c1c1 c2

c2 c1 c2

QQ 215 25 q 1441t0 378140 q q II t t

Q 92 25 Q0 200866 q q q 2730tI t t I

Αν προστεθούν οι ροές αυτές σε αυτές που έχουν ήδη βρεθεί προκύπτει η τελική

κατανομή που φαίνεται στο σχήμα της επόμενης σελίδας και στον προηγούμενο

πίνακα με italics.

Στη γενική περίπτωση που η διατομή έχει περισσότερες κυψέλες που κάθε μία εισάγει

και απροσδιοριστία, τότε σε κάθε κυψέλη προστίθεται μία σταθερή ροή, και για κάθε

κυψέλη γράφεται μία εξίσωση της μορφής:

q ds 0t

.

Τελικά προκύπτει ένα γραμμικό σύστημα με εξισώσεις και αγνώστους ίσους με τον

αριθμό των κυψελών.

Ακολουθούν οι γραφικές παραστάσει των κατανομών των ροών:


81

οι τιμές της διατμητικής

ροής δίνονται σε

2ft Q / I t

τα διανύσματα δείχνουν

τη φορά των δυνάμεων

για Q>0

C D

E

B A

H G F

4152

4152

7514 8818

1304

7620

7620

2075

5545

3470

4667

3362 1305

C D

E

B A

H G F

2078

2748

C D

E

B A

H G F

2074

2074

5440 6070

630

4872

4873

673

5545

6218

7415

5440 1305

2078

670


82

ΑΣΚΗΣΗ 28η

Εστω χαλύβδινο δοκάρι με τη συμμετρική διατομή του σχήματος.

i. Αν η διατομή καταπονείται από διατμητική δύναμη 1000 kN και η διατμητική

τάση στο μέσο του ύψους του ελάσματος DE είναι 17 MPa, να υπολογιστεί η

μέγιστη και ελάχιστη διατμητική τάση στον κλάδο CD και η διατμητική τάση

στο σημείο F (t=12 mm, l=1 m, b=1 m).

ii. Η διατμητική τάση στο σημείο B είναι 37 MPa. Ποιά η τιμή της διατμητικής

δύναμης; Ποιά η τάση στο ίδιο σημείο αν η διατμητική δύναμη ισούται με 1325

kN (t=12 mm, l=1 m, b=1 m);


Ερώτημα i

Από τη γεωμετρία της διατομής παρατηρείται ότι ο ουδέτερος άξονας συμπίπτει με το

wet-deck (το πάχος του πυθμένα είναι διπλάσιο του καταστρώματος και το πλάτος το

μισό). Αρα από το σημείο τομής του άξονα συμμετρίας και του wet-deck έως το

σημείο D η διατμητική ροή ισούται με μηδέν. Επίσης η μεταβολή της διατμητικής ροής

στον κλάδο CD ίσούται με μηδέν και η μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συμπίπτουν.

Αντίστοιχα ισχύουν και για τις τάσεις. Η διατμητική ροή στο σημείο D στην ακμή CD

είναι ίση με τη διατμητική ροή στο σημείο D στην ακμή DE. Ακοουθούν οι σχετικοί

υπολογισμοί:

F E

D C

B

C

t

0,75t

2t

t

0,5t

b

b l l

Τα πάχη των ελασμάτων φαίνονται με διακεκομένες γραμμές

1000 kN

17 MPa


83

Ροπή αδράνειας διατομής ως προς ουδέτερο άξονα:

32 2 3 32 124 12 1 2 1 24 1 2 m mm 112m mm

12.

∆ιατμητική ροή στο σημείο K (μέσο της ακμής DE): 17 MPa 6 mm=102 N/mm.

∆ιατμητική ροή στο σημείο D στην ακμή DE και CD:

- -

D 3

D

1000kNq 102N /mm 0,25m 6mm 0,5m 6,7N /mm112m mm

q 108,7N /mm

Τάση στην ακμή CD: 108,7 N/mm / 9 mm = 12 MPa

-

F

D

1000kNq 102N /mm 0,75 6 0,5 1 24 1 6,7N /mm112m

q 132,4N /mm

Τάση στην ακμή FE: 132,4 N/mm / 24 mm = 6 MPa

Ερώτημα ii

Η διατμητική ροή στο σημείο B ισούται με 3712 N/mm = 444 N/mm. Ισχύει ότι

- -

3Q444 0N /mm 2m 12mm 1m

112m mmQ 2.072kN

Αν η διατμητική δύναμη είναι 1.325 KN η τάση είναι

37(1.325/2.072) MPa = 24 MPa.

Ακολουθεί για διδακτικούς λόγους ο υπολογισμός της κατανομής της διατμητικής ροής

στη διατομή:

Επιφάνεια διατομής: 11lt+4bt

Ο ουδέτερος άξονας συμπίπτει με το wet-deck

ροπή αδράνειας διατομής: 8ltb2+4tb3/3


84

Υπολογισμός διατμητικής ροής με την υπόθεση ότι στο σημείο C επί της ακμής DC η

διατμητική ροή είναι qC2 (σε κάθε γραμμή δίνεται ο κλάδος, η κατανομή της ροής, το

εύρος της μεταβλητής s που ορίζεται κατά μήκος της ακμής και η τιμή της ροής στο

αριστερό άκρο της ακμής – πχ στο άκρο B ς ακμής AB- Με Q συμβολίζεται η

διαμτητική δύμαμη και I η ροπή αδράνειας της διατομής):

2

C2 C22 2

C2 C2

2 2

C2 C2

2

C2

Q Qtsb 0 s 2l 2lbt : ABI I

Q Q s Q b t2lbt ts b 0 s b 2lbt :BCI I 2 I 2

0 0 s l 0 : GDq 0 s l q :DC

Q t s Q b tq 0 s q :DEI 2 2 I 4

Q b t Q Q b tq 2tsb 0 s l q 2tlb :EFI 4 I I 4

Q b t Q tq 2tlbI 4 I 2

2

C2s Q b tb 0 s b q 2tlb :FC2 I 2

A, G είναι η τομή του άξονα συμμετρίας με το κατάστρωμα και το wet-deck

αντίστοιχα.

Για τον υπολογισμό της qC2 εφαρμόζεται η σχέση: CDEFC

dsq(s) 0t(s)

:

C2

F E

D

C1

B A

G

qC2 K


85

l b l2 2

C2 C2 C20 0 0

b 2

C20

2 2

C2

ds Q t s ds Q b t Q dsq q q 2tsb0,75t I 2 2 0,5t I 4 I 2t

Q b t Q ts s dsq 2tlb b 0I 4 I 2 2 0,5t

l b l b Q b t l Q b t bq 2tlb0,75t 0,5t 2t 0,5t I 4 2t I 4 0,

l b

0 02 2

C2

l b

0 0

5t

Q ds Q t s ds2tsb b 0I 2 t I 2 0,5t

l b l b Q b t l Q b t bq 2tlb0,75t 0,5t 2t 0,5t I 4 2t I 4 0,5t

Q ds Q ts ds2tsb b 0I 2t I 2 0,5t

2 22 23

C2 C2

tb 24b 99bl 12l11l 24b Q 33b l bl Qq b 0 q6 t I 8 2 I 44l 96b

Εφαρμογή

ροπή αδράνειας διατομής 8ltb2+4tb3/3 = 112 m3-mm

2 2 22

tb 24b 99bl 12l 12mm 24 99 12 m11,57 m mm

44l 96b 44 96

Υπολογισμός πρώτης ροπής επιφανείας ως προς ουδέτερο άξονα

Τμήμα AB: 2 m 12 mm 1 m = 24 m2-mm

Τμήμα AC: 24 m2-mm + 1 m 12 mm 0,5 m = 30 m2-mm

Τμήμα DK (DK=KE): 0,5 m 6 mm 0,25 m = 0,75 m2-mm

Τμήμα DF: 1 m 6 mm 0,5 m + 1 m 24 mm 1 m = 27 m2-mm

Για δύναμη 1.000 kN

Πρόσθετη διατμητική ροή: -103,3 kN/m

∆ιατμητική ροή στο σημείο K: -103,3 kN/m + 6,7 kN/m = -96,6 kN/m (τάση 16 MPa)

∆ιατμητική ροή στο σημείο F: -103,3 kN/m + 248,8 kN/m = 145,5 kN/m

(τάση 6 MPa στον οριζόντιο και 24 MPa στον κάθετο κλάδο)

∆ιατμητική ροή στο σημείο B: 221,2 kN/m (τάση 18,4 MPa)


86

C

F E

D

B A

G

s

s

s

s

s s


87

ΑΣΚΗΣΗ 29η

Χαλύβδινο πλοίο μήκους 499ft, έχει υπερκατασκευή 149ft, με τα πιο κάτω

χαρακτηριστικά

γάστρα υπερκατασκευή

μέτρο ελαστικότητας 29106 psi 29106 psi

επιφάνεια διατομής 2014.7 in2 482 in2

ροπή αδράνειας διατομής 119106 in4 9.13106 in4

απόσταση κέντρου επιφάνειαςαπό κατάστρωμα γάστρας

271 in 118.9 in

κοίλο 461 in

ύψος υπερστεγάσματος 181.4 in

A. Nα βρεθεί ο συντελεστής αποτελεσματικότητας του υπερστεγάσματος, υπο τις εξής

προυποθέσεις:

η καμπτική ροπή είναι σταθερή σε όλο το μήκος της υπερκατασκευής, η υπερκατασκευή είναι ένα ελαστικά εδραζόμενο δοκάρι με σταθερά ελατηρίου

3000 lb/in2.

B. Ποιος ο συντελεστής αποτελεσματικότητας αν

δεν αναπτύσσονται τάσεις ορθές τάσεις μεταξύ γάστρας και υπερκατασκευής,

και

αν λόγω της πρόσθεσης φρακτών και ενισχυτικών ο συντελεστής ελατηρίου

τετραπλασιαστεί.

C. Στην περίπτωση του ερωτήματος Α., ποιά είναι η καμπτική ροπή, αν η ορθή τάση

που αναπτύσσεται στο κατάστρωμα της γάστρας είναι εφελκυστική και ισούται με

8305psi.


O τάσεις που θα αναπτύσσονταν αν γάστρα και υπερκατασκευή συνεργαζόντουσαν

πλήρως, είναι ίσες με

M

yI

όπου M η ροπή κάμψης, Ι η ροπή αδράνειας της όλης της διατομής γάστρας-

υπερκατασκευής, και y η απόσταση του υπο εξέταση σημείου απο το κέντρο της

διατομής.


88

Απο τα δεδομένα προκύπτει οτι I=1.87108 in4 και οτι ο ουδέτερος άξονας στην

περίπτωση αυτή βρίσκεται σε απόσταση 265 in απο τον πυθμένα. Οι προκύπουσες

τάσεις για καμπτική ροπή 100000 tons-ft (1 tons=2240 lbs) φαίνονται στο σχήμα που

ακολουθεί.

NEUTRAL AXIS HULL

NEUTRAL AXIS SUPERSTRUCTURE

DECK

5413 psi

2810 psi

3808 psi

H διόρθωση που οφείλεται στη μη πλήρη συνεργασία γάστρας και υπερκατασκευής αν

η ευκαμψία του καταστρώματος είναι άπειρη, προκύπτει απο τις

h h

h hh h

F My

A I

s s

s ss s

F My

A I

όπου

a s h

h sh s s h

I (a a )F F M 395 tons

Y (1 ) (a I a I )

s

sh s s h

IM M 10592 tons ft

(1 ) (a I a I )

2h

hh s s h

IM M 23422 tons ft

(1 ) (a I a I )

Απο τα πάρα πάνω προκύπτει οτι οι διορθωτικές τάσεις για την περίπτωση πλήρους

ευκαμψίας του καταστρώματος είναι όπως στο πιό κάτω σχήμα:


89


DECK

3784 psi

1873 psi

566 psi

NEUTRAL AXIS HULL

Επειδή στην υπο εξέταση περιπτωση η ευκαμψία του καταστρώματος είναι

πεπερασμένη, η διόρθωση πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον συντελεστή Φ ο οποίος

εξαρτάται απο την αδιάστατη ποσότητα

s

4

h s s h

l k 1u

2 4 E a I a I

όπου ls το μήκος της υπερκατασκευής, ίσο με 149 ft, και Ε το μέτρο ελαστικότητας

του χάλυβα, που είναι ίσο με 29106 psi.-Αντικαθιστώντας προκύπτει οτι

4

6 4

149ft 3000(lbs/in/in) 1 0.170 1u 1.11

2 4 29 10 psi 0.695 440 0.170 0.305 5738 ft

και Φ=0.79.

Οι τάσεις που προκύπτουν στη διατομή παρουσιάζονται στο πιό κάτω σχήμα:


90


DECK

2324 psi

4289 psi

4255 psi

NEUTRAL AXIS HULL

Ο συντελεστής αποτελεσματικότητας ισούται με

0

0 100

όπου οι τιμές των 100, υπολογίστηκαν ίσες με 6121 psi και 4289 psi αντίστοιχα

και η τιμή του 0 ισούται με 0 6 4

271in100000tons ft 6121psi

119 10 in

Αρα

6121 4289

55%6121 2810

Στην περίπτωση που η ευκαμψία του καταστρώματος είναι άπειρη ο συντελεστής Φ

ισούται με 1 και η τάση σ θα ισούται με 2810 psi + 1873 psi = 4682 psi. Αρα ο

συντελεστής αποτελεσματικότητας ισούται με

6121 468243%

6121 2810

Αν η σταθερά ελατηρίου τετραπλασιαστεί η μεταβλητή u θα είναι ίση με

4u 1.11 4 1.57

και ο συντελεστής Φ με .43. Στην περίπτωση αυτή η τάση σ ισούται με 3615 psi και ο

ο συντελεστής αποτελεσματικότητας με:


91

6121 3615

76%6121 2810

Στην πρώτη των περιπτώσεων αν η τάση στο κατάστρωμα ισούται με 8305psi η ροπή

που ασκείται ισούται με

100000 tons-ft (8305/4682) = 166381 tons-ft (hogging).


92

ΑΣΚΗΣΗ 30η

Να υπολογιστεί η σχέση στρεπτικής ροπής-γωνίας στροφής για δοκάρι με διατομή

αυτή που φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Το πάχος των ελασμάτων ισούται με t.


Αν οι ροές σε κάθε κυψέλη είναι αυτές που φαίνονται στο σχήμα ισχύει οτι η ροπή στη

διατομή ισούται με

2T 1 1 2 2 3 3 1 2 3M 2 A q A q A q 8s q 2q q

και η στροφή των διατομών λόγω της στρέψης συνδέεται με τις διατμητικές ροές με

τις σχέσεις

4s

4s

2s

q1 q3 q2

4s

4s

2s


93

1 1 1 2 1 2

d 1 d2 A 6sq 4s q q 5q 2q 4G stdx Gt dx

2 2 2 1 2 3

1 2 3

d 12 A 4sq 4s q q 4s q qdx Gt

dq 3q q 4G stdx

3 3 2 3 2 3

d 1 d2 A 6sq 4s q q 2q 5q 4G stdx Gt dx

Απο τα προηγούμενα προκύπτει:

1 2

3

20 dq q Gst11 dx

28 dq Gst11 dx

και τελικά 2 2 3

T 1 2 3 1 2dM 8s q 2q q 16s q q 70Gtsdx

Η σταθερά στρέψης της διατομής ισούται δηλαδή με 370ts .


94

ΑΣΚΗΣΗ 31η

Στη πλωτή δεξαμενή του σχήματος ασκείται διατμητική δύναμη F σε απόσταση e πάνω

απο τον πυθμένα και με φορά παράλληλη με αυτόν. Ποιά η διατμητική ροή στη

διατομή;

Αριθμητική εφαρμογή: H=L=4 m, C=1 m, t=18 mm, Q=3.840 kN, e=C


Η ασκούμενη δύναμη ισοδυναμεί με μία δύναμη, ίση με την ασκούμενη, που διέρχεται

από το κέντρο διάτμησης και μία ροπή, που ισούται με τη δύναμη επί την απόσταση

της από αυτό.

Η ισοδύναμη φόρτιση προκαλεί α) μία ροή στη διατομή η οποία οφείλεται στη

διατμητική δύναμη όταν διέρχεται από το κέντρο διάτμησης, και β) μία ροή

οφειλομένη στη ροπή η οποία υπολογίζεται με την παραδοχή ότι προκαλεί καθαρή

στρέψη. ∆εχόμενοι ότι οι δύο καταπονήσεις δεν επηρεάζουν η μία την άλλη –

γραμμικό πρόβλημα – η συνολική ροή στη διατομή προκύπτει από την επαλληλία των

δύο ροών.

Υπολογίζουμε

1. Τη διατμητική ροή που οφείλεται σε διατμητική δύναμη διερχομένη από το κέντρο

διάτμησης.

2. Το κέντρο διάτμησης.

3. Τη ροπή περί το κέντρο διάτμησης που προκαλεί η ασκούμενη φόρτιση.

4. Τη ροή λόγω της στρεπτικής ροπής.

5. Τη συνολική ροή στη διατομή.

2H

L

C

Q

e

Πάχη ελασμάτων: t


95

Υπολογισμός διατμητικής ροής που οφείλεται σε διατμητική δύναμη διερχομένη από

το κέντρο διάτμησης

Ισχύει ότι η μεταβολή της ροής μεταξύ δύο σημείων της διατομής

- q( s) q(s s) q(s) ισούται με

- -Qq( s) q(s s) q(s) m( s)I

όπου s η μεταβλητή κατά το περίγραμμα της ακμής που προσδιορίζει τη θέση του

σημείου πάνω στην ακμή, I η ροπή αδάνειας της διατομής ως προς τον ουδέτερο

άξονα, m(∆s) η πρώτη ροπή επιφανείας που ορίζεται μεταξύ των θέσεων s και s+∆s

ως προς τον ουδέτερο άξονα και Q η διατμητική δύναμη (βλέπε σχήμα για την

ακολουθούμενη σύμβαση για τα πρόσημα).

∆ιατμητική ροή στην ακμή ΑΒ (η μεταβλητή s αυξάνει από το Α στο Β)

- - - Q Qq(s) 0 s t H q(s) s t HI I

0 s L C

- Qq( ) 0 q( ) L C t HI

∆ιατμητική ροή στην ακμή ΘΗ (η μεταβλητή s αυξάνει από το Θ στο Η)

- Q Qq(s) 0 s t H q(s) s t HI I

0 s L C

Qq( ) 0 q( ) L C t HI

∆ιατμητική ροή στην ακμή ΖΓ (η μεταβλητή s αυξάνει από το Ζ στο Γ και έχει την τιμή

0 στον ουδέτερο άξονα – άξονα συμμετρίας). Εστω qNA η διατμητική ροή εκεί όπου η

ακμή ∆Γ τέμνει τον ουδέτερο άξονα.

- - -

2 2

NA NAQ s t Q s tq(s) q q(s) qI 2 I 2

H s H

-

2

NAQ t Hq( ) q( ) qI 2


96

∆ιατμητική ροή στην ακμή ΓΒ (η μεταβλητή s αυξάνει από το Γ στο Β)

- - - -

2

NAQ Q H t Qq(s) q( ) s t H q(s) q s t HI I 2 I

0 s C

- -

2

NAQ H t Qq( ) q C t HI 2 I

∆ιατμητική ροή στην ακμή ΖΗ (η μεταβλητή s αυξάνει από το Ζ στο Η)

-

2

NAQ Q H t Qq(s) q( ) s t H q(s) q s t HI I 2 I

0 s C

2

NAQ H t Qq( ) q C t HI 2 I

∆ιατμητική ροή στην ακμή ΒΗ (η μεταβλητή s αυξάνει από το Β στο Η)

2 2

NA NAQ H t Q Q Q H t Qq( ) q C t H (L C) t H q L t HI 2 I I I 2 I

2

NA

Q sq(s) q( ) s t HI 2

Q H t Q Q sq L t H s t HI 2 I I 2

0 s 2 H

2

NAQ H t Qq( ) q L t H q( )I 2 I

ως αναμένετο.

Η ροή qNA υπολογίζεται από τη σχέση:

q(s) ds ds ds ds ds0 q(s) q(s) q(s) q(s)t t s t s t s t s

ds ds ds dsq(s) q(s) q(s) q(s)t s t s t s t s

Αντικαθιστώντας τη ροή στην παραπάνω σχέση προκύπτει ότι:


97

- - -

H C2 2

NA NAH 0

2 H 2

NA0

C 2

NA0

Q s t ds Q H t Q ds0 q q s t HI 2 I 2 It s t s

Q H t Q Q s dsq L t H s t HI 2 I I 2 t s

Q H t Q dsq s t HI 2 I t s

- - -

-

H C2 2

NA NAH 0

2 H 2

NA0

C 2

NA NA0

2

Q s t ds Q H t Q ds0 q q s t HI 2 I 2 It s t s

Q H t Q Q s dsq L t H s t HI 2 I I 2 t s

Q H t Q ds 4 H 2 Cq s t H qI 2 I tt s

Q s tI 2

- -

- - -

H C 2

H 02 H 2

0C 2

NA0H C2 2

H 0

ds Q H t Q dss t HI 2 It s t s

Q H t Q Q s dsL t H s t HI 2 I I 2 t s

Q H t Q ds 4 H 2 Cs t H qI 2 I tt s

Q s Q H Qds s H dsI 2 I 2 I

- - -

2 H C2 2

0 0H C2 2

NAH 0

2 H 2

0

Q H Q Q s Q H QL H s H ds s H dsI 2 I I 2 I 2 I

4 H 2 C Q s Q H Qq ds 2 s H dst I 2 I 2 I

Q H Q Q sL H s H dsI 2 I I 2

4 H- - -

H C2 2

NAH 0

2 H 2 H2

0 0

2 C Q s Q H Qq ds 2 s H dst I 2 I 2 I

Q H Q Q sL H ds s H dsI 2 I I 2

´ - -3 3

2NA

4 H 2 C Q H Q Q Q 2 Hq H C H C H H 2 Lt I 3 I I I 3

άρα

2

NA4 H 2 C Qq H 2 H C H C 2 L H

t I


98

Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι:

2

NA

H 2 H C H C 2 L HQq tI 4 H 2 C

Ακολουθεί ο υπολογισμός των ροών στα σημεία Β και Γ

Ροή στο σημείο Γ:

22 2

NA

2

H 2 H C H C 2 L HQ H Q Q Hq t t tI 2 I 4 H 2 C I 2

t H C 2 L HQI 4 H 2 C

Αντικαθιστώντας προκύπτει ότι η ροή ισούται με 132(m2-mm)(Q/I) :

Η ροπή αδράνειας της διατομής ισούται με

3 32 2 32 H t 4 H tI 2 2 L t H 2 L t H 3.840 m mm

12 3

άρα η ροή με 192 kN/m και η αντίστοιχη τάση με 7 MPa.

Ροή στο σημείο Β στον κλαδο ΓΒ:

2 2

2

t H C 2 L H C 2 L HQ Q Qt H C t H CI 4 H 2 C I I 4 H 2 C

H 2 L H C 4 C HQ tI 4 H 2 C

Αντικαθιστώντας προκύπτει ότι η ροή ισούται με 60 kN/m και η αντίστοιχη τάση με 3

MPa.

Ροή στο σημείο Β στον κλαδο ΒΗ:


99

2

2

H 2 L H C 4 C HQ Qt t L C HI 4 H 2 C I

H C 2 L H 2 C LQ tI 4 H 2 C

Αντικαθιστώντας προκύπτει ότι η ροή ισούται με 156 kN/m και η αντίστοιχη τάση με 9

MPa.

Οι κατανομή παρουσιάζεται και σχηματικά.


100

AΓ B

∆

ΘΖ Η

Ε

Υπολογισμός κέντρου διάτμησης


101

Υπολογίζεται η ροπή που προκαλεί η διατμητική ροή γύρω από τυχόν σημείο στον

άξονα συμμετρίας – έστω ότι απέχει απόσταση y από την ακμή ∆Γ πρός την ακμή ΕΖ.

Αν το κέντρο διάτμησης απέχει απόσταση m από την ακμή ∆Γ πρέπει να ισχύει ότι:

F 2 H F 2 H F y F y C Q y m

όπου F η δύναμη που ασκείται στην ακμή που σημειώνεται ως δείκτης.

AΓ B

Ε∆

ΘΖ Η

m y

τα βέλη δείχνουν τη θετική φορά των δυνάμεων σε κάθε ακμή. Η διατμητική δύναμη είναι θετική όταν η φορά της είναι από το Ζ στο Γ. Θετικά y, βρίσκονται δεξιά του ∆ (προς την ακμή ΗΒ)

QQ

MT

ΦΟΡΤΙΣΗ

ΦΟΡΤΙΣΗ

∆ιατμητική δύναμη στις ακμές ΑΒ και ΘΗ:

2L C

0

L CQ QF F s t H ds t HI I 2

∆ιατμητική δύναμη στις ακμές ΓΒ και ΖΗ:

- - - -

- -

-

C 2 2 2

NA NA0

2 22

2

Q H t Q Q H t Q CF F q s t H ds q C C t HI 2 I I 2 I 2

H 2 H C H C 2 L HQ Q H t Qt C C C t HI 4 H 2 C I 2 2 I

Q t H C L CI 2 H C

∆ιατμητική δύναμη στην ακμή ΖΓ:


102

-H 2 3

NA NAH

2 2 3

22

Q s t Q H tF q ds 2 q HI 2 I 3

H 2 H C H C 2 L HQ Q H t2 tI 4 H 2 C I 3

4 H C 2 H 3 C 6 L HQ t HI 3 2 H C

∆ιατμητική δύναμη στην ακμή ΒΗ:

2 H 2

NA0

33 2

NA

32

NA

2 2 32

Q H t Q Q sF q L t H s t H dsI 2 I I 2

Q Q Q 2 H2 q H H t 2 L t H tI I I 3

Q 5 H t Q2 q H 2 L t HI 3 I

H 2 H C H C 2 L HQ Q 5 H t Q2 t 2 L t HI 4 H 2 C I 3 I

Q tI

22 4 H C 2 H 3 C 6 L H 6 L CH3 2 H C

Για έλεγχο υπολογίζεται η διατμητική δύναμη στη διατομή ως τη συνισταμένη δύναμη

που δρά στις ακμές ΖΓ και ΒΗ:

3 32

NA NA

32

32

F F F

Q H t Q 5 H t Q2 q H 2 q H 2 L t HI 3 I 3 I

4 H t 2 L t HQ 4 H t Q 32 L t H Q QI 3 I I


103

αποτέλεσμα αναμενόμενο. Παρατηρείται ότι το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο της

σταθερής ροής στην κλειστή κυψέλη, η οποία δεν επηρεάζει τη συνισταμένη δύναμη.

F 2 H F 2 H F y F y C Q y m

F 2 H F 2 H F F y F C Q y m

F 2 H F 2 H Q y F C Q y m

F 2 H F 2 H F C Q m

F F Fm 2 H CQ Q

-

-

2 2

2

2 2

2 2

L CF F 1 1 t H Ct H L CQ I 2 I 2 H C

L Ct H H C L CI 2 2 H C

2 H L L C C L C L Ct H t H CLI I 2 2 H C2 2 H C

F F t H C2 H L C LQ I 2 H C

22 4 H C 2 H 3 C 6 L H 6 L CF t H CCQ 3 I 2 H C


104

2 2

22

2 2 2

2 32

2 2 3

2

F F F2 H CQ Q

t H CL C LI 2 H C

4 H C 2 H 3 C 6 L H 6 L Ct H C3 I 2 H C

6 H L 3 L C 3 C L

6 H L C 3 L C 3 Ct H 13 I 2 H C 4 H C 2 C H 3 C

6 L H C 6 L C

3 2 2 22

2 2

6 C 12 C L 2 C H 3 L Ct H 13 I 2 H C 4 H C 12 H L C 6 H L

Αντικαθιστώντας προκύπτει

3 2 2 22

2 2

6 1 12 1 4 2 1 4 3 4 118 4 1m m 1,05m3 3.840 2 4 1 4 4 1 12 4 4 1 6 4 4

δηλαδή το κέντρο διάτμησης βρίσκεται σε απόσταση 1,05 m από την ακμή ΖΓ προς

την αντίθετη πλευρά της ακμής ΒΗ.

Υπολογισμός στρεπτικής ροπής MT

3 2 2 22

T 2 2

6 C 12 C L 2 C H 3 L Ct H 1M C Q3 I 2 H C 4 H C 12 H L C 6 H L

3.840 2,05 kN m 7.872 kN m


105

Υπολογισμός της ροής λόγω στρεπτικής ροπής.

Στη διατομή ισχύει ότι

TdM G Jdx

όπου J η σταθερά στρέψης της διατομής, η οποία στη συγκεκριμένη περίπτωση

ισούται με το άθροισμα των αντίστοιχων σταθερών των διατομών ΒΓΖΗ, ΑΒ και ΗΘ,

δηλαδή ισχύει ότι:

2 34 2 H C t L CJ 2

4 H 2 C 3t

Επειδή το πάχος των ελασμάτων είναι πολύ μικρότερο των άλλων διαστάσεων της

διατομής ο δεύτερος όρος του αριστερού μέλους της παραπάνω σχέσης μπορεί να

αγνοηθείκαι να θεωρηθεί ότι όλη η στρεπτική ροπή φέρεται από τη διατομή ΒΓΖΗ

αποκλειστικά στην περίπτωση αυτή η σταθερή ροή στους ακμές ΒΓ, ΓΖ, ΖΗ και ΗΒ

υπολογίζεται από τη σχέση:

TT T T

MM 2 2 H C q q4 H C

Χρησιμοποιώντας τα αριθμητικά δεδομένα της άσκησης η ροή ισούται με 492 kN/m

και η αντίστοιχη τάση 27 MPa.

Για τον προσδιορισμό της συνολικής ροής και τάσης στη διατομή προστίθενται

αλγεβρικά οι ροές λόγω της διατμητικής δύναμης, με την υπόθεση ότι ασκείται στο

κέντρο διάτμησης,και της ροής λόγω της ροπής. Η τελευταία έχει σταθερό μέτρο 492

kN/m ασκείται στις ακμές της κλειστής κυψέλης ΒΓΖΗΒ και έχει αριστερόστροφη

φορά.1

1 Να υπολογίσετε τις ροές λόγω της ροπής χωρίς να λάβατε υπόψη ότι η στρεπτική αντίσταση

των ακμών ΑΒ και ΗΘ είναι μικρή σε σχέση με αυτή της κλειστής κυψέλης.


106

Παρατηρούμε δηλαδή ότι αν η δύναμη ασκείται σε απόσταση 2 m περίπου από το

κέντρο διάτμησης η μέγιστη διατμητική τάση λόγω της δύναμης τριπλασιάζεται.

Για διδακτικούς λόγους οι υπολογισμοί που αφορούν τον υπολογισμό της διατμητικής

ροής που προκαλεί δύναμη διερχόμενη από το κέντρο διάτμησης καθώς επίσης και ο

υπολογισμός του κέντρου διάτμησης γίνονται θεωρώντας καταρχήν τη διατμητική ροή

0 στο σημείο Β της ακμής ΒΗ. Τα αποτελέσματα είναι ασφαλώς τα ίδια.

Ακολουθεί ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων

- - -

C

q(s) ds ds ds ds ds dsq(s) q(s) q(s) q(s q(s)t t t t t t

qds 4 H 2 C 4 H 2 Ct t t

2L 2 2

L C

L L Cds Q ds Q Q Q Cq(s) s t H H H L C Ht I t I 2 I I 2

2 H

0

2 H 32

0

ds Q Q s dsq(s) L t H s t Ht I I 2 t

Q s Q Q 2 HL H s H ds 2 L HI 2 I I 3

C

0

C 2

0

ds Q Q dsq(s) L t H s t Ht I I t

Q Q Q CH L s ds H L C HI I I 2

2 H 3

0

ds ds Q s ds Q 2 Hq(s) q(s) s t Ht t I 2 t I 3

Παρατηρείται ότι το ολοκλήρωμα στον κλάδο ΒΓ ισούται με το ολοκλήρωμα στον

κλάδο ΖΗ και ότι το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης που δίνει ο δευτεροβάθμιος όρος

της ροής στον κλάδο ΓΖ είναι αντίθετο από αυτό του ίδιου όρου στον κλάδο ΒΗ. Τα

αποτελέσματα αυτά είναι αναμενόμενα και προκύπτουν από παρατήσηση των ροών σε

συνδιασμό με τη φορά ολοκλήρωσης. Αν οι παρατηρήσεις αυτές είχαν γίνει πριν την

εκτέλεση τωνπράξεων μπορούσαν οι πράξεις να είχαν απλοποιηθεί ως εξής:


107

- -

-

- -

-

C

L

L C

q(s) ds dsq(s)t t

qds 4 H 2 Ct t

ds ds ds dsq(s) q(s) q(s) q(s)t t t t

4 H 2 Ct

ds ds ds ds2 q(s) q( ) 2 q(s) q( )t t t t

4 H 2 C 4 H 2 Ct t

Q2 s H dsI

2 H

20

Q L H dsI H C 2 L H 2 C LQ t

4 H 2 C I 4 H 2 Ct

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι ροές στας σημεία Α, Β, Γ, ∆, Ε, Ζ, Η και Θ

καθώς επίσης και οι τιμές των ροών και τάσεων στα σημεία αυτά για δύναμη 3.840 kN

αν L=H=4 m, C= 1m και t=18 mm

Κατ’ αρχήν υπολογίζεται η ροπή αδράνειας της διατομής ως προς τον ουδέτερο

άξονα:

3 32 22 H t 4 H tI 2 2 L t H 2 L t H

12 3

3 32 22 4 18 4 4 tI 2 2 4 18 4 2 4 18t 4 m mm

12 3

1.536 2.304 m mm 3.840m mm

Αρα Q/I=1 kN/(m3-mm). Σε κάθε γραμμη του πίνακα που έπεται παρουσιάζονται: α)

η ακμή της διατομής στην οποία βρίσκεται το εξεταζόμενο σημείο, β) το εξεταζόμενο

σημείο, γ) ξ διατμητική ροή σε kN/m θετική όταν η φορά της είναι από το πρώτο

αναφερόμενο σημείο της ακμής προς το δεύτερο και αρνητική σε αντίθετη περίπτωση,

και γ) η απόλυτη τιμή της διατμητικής τάσης σε MPa.


108

ΑΚΜΗ ΣΗΜΕΙΟ ΡΟΗ ΡΟΗ σε kN/m ΤΑΣΗ σε MPa

ΑΒ & ΘΗ Α & Θ 0 0 0

ΑΒ Β Q L C t HI

-216 12

ΒΓ Β

2H C 2 L H 2 C LQ QL C t H tI I 4 H 2 C

-216+156=-60 3

ΒΗ Β

2H C 2 L H 2 C LQ tI 4 H 2 C

-156 9

ΒΓ Γ

2H C 2 L H 2 C LQ QL t H tI I 4 H 2 C

-288+156=-132 7

ΓΖ ∆

22 H C 2 L H 2 C LQ Q t H QL t H tI I 2 I 4 H 2 C

-288-144+156=-276 15

ΓΖ Ζ

2H C 2 L H 2 C LQ QL t H tI I 4 H 2 C

-288+156=-132 7

ΖΗ Η

2H C 2 L H 2 C LQ Q QC L t H L t H tI I I 4 H 2 C

72-288+156=-60 3

ΗΒ Η

2H C 2 L H 2 C LQ tI 4 H 2 C

156 9

ΘΗ Η Q L C t HI

216 12

ΘΗ Ε

2Q t HI 2

144 8


109

Για τον προσδιορισμό του κέντρου διάτμησης υπολογίζεται η στρεπτική ροπή, που

προκαλούν οι ροές γύρω από τυχόν σημείο, που απέχει απόσταση y από την ακμή ΓΖ.

Η ροπή ισούται με

c

Q Q Q ss t H ds 2 H L t H t s H ds yI I I 2

Q st s H ds y C 2 2 H C qI 2

- -

L 2 H

0 0

22 H

0

Q Q Q ss t H ds 2 H L t H t s H ds yI I I 2

H C 2 L H 2 C LQ s Qt s H ds y C 2 2 H C tI 2 I 4 H 2 C

-

-

-

2 2 2 3 3

2

2 2 2 3 3

2 2

2 2

Q Q 2 Q 2 QL t H 2 L t H t H y t H y CI I 3 I 3 I

H C 2 L H 2 C LQ2 H C t Q y mI 2 H C

1 2 4 2L t H L t H t H y t H CI I 3 I 3 I

H C 2 L H 2 C L2 t C y mI 2 H C

1 2L t HI

-2 2

3H C 2 L H 2 C L2t H C t C m

3 I I 2 H C


110

- 22 2 22

222

2 22

2 2

3 2

6 C C 2 L H 2 C Lt H t H t H3 L 2 H C m3 I 3 I 3 I 2 H C

6 C C 2 L H 2 C Lt H 3 L 2 H C m3 I 2 H C

6 H L 3 C Lt H 1m 4 H C 2 C H3 I 2 H C

6 C 12 L H C 12 C L

3 2 2 22

2 2

6 C 12 C L 2 C H 3 L Ct H 1m3 I 2 H C 4 H C 12 L H C 6 H L


111

ΑΣΚΗΣΗ 32η

∆οκάρι με τη τετραγωνική διατομή του σχήματος υπόκειται σε στρέψη. Να

υπολογιστεί η σχετική διαμήκη μετατόπιση μεταξύ των άκρων της διατομής A και G. Η

απόσταση AG να θεωρηθεί μικρή σε σχέση με το μήκος της ακμής της διατομής.


Αν uA και uG οι αξονικές μετατοπίσεις των σημείων A και G αντίστοιχα ισχύει ότι:

G G

G A A A

3 GT T

T G A 3 3A

du u ds r ds

t dx

3 M 3 M Dd 4 D t dM G J G u u r ds

dx 3 dx 4 G D t 2 G t

0

όπου τ η μέση διατμητική τάση κατά το πάχος, που στην υπό εξέταση περίπτωση

ισούται με 0, t το πάχος των ελασμάτων που δίνεται ότι είναι σταθερά, dθ/dx η γωνία

στροφής ανά μονάδα μήκους όταν εφαρμόζεται στρεπτική ροπή MT, G το μέτρο

διάτμησης και J η σταθερά στρέψης. Η μεταβλητή s λαμβάνεται κατά μήκος της ακμής

της διατομής με θετική φορά από το A στο G και r είναι η απόσταση του κέντρου

στρέψης / κέντρου διάτμησης από την εφαπτόμενη στη θέση s.

Υπολογισμός του κέντρου στρέψης.


112

Το κέντρο στρέψης βρίσκεται στον ουδέτερο άξονα έστω σε απόσταση e από την

πλευρά CE (βλέπε σχήμα):

A G

2

B F

2 2 2

C E

q q 0

Q D tq q

I 8

Q D t D t Q 5 D tq q

I 8 2 I 8

D 2 2 3

AB0

2 2 3

BC

3

CE

Q s t Q D tF ds

I 2 I 48

D Q D t Q 5 D t Q 3 D tF

2 I 8 I 8 I 8

Q 3 D tF Q

I 8

3 3 4Q D t Q 3 D t 1 10 D t2 D D Q e e

I 48 I 8 I 24

23 3 4

3

D t D 2 D t 1 3 10 D t 5I 2 D t e D

12 2 3 D t 2 24 8

Ακολουθούν οι υπολογισμοί της σταθεράς στρέψης J και του ολοκληρώματος G

Ar ds :

Υπολογισμός σταθεράς στρέψης:

3i i

i

3 3 3 3 3 3

1J L t

3

1 D 1 1 1 1 D 3t D t D t D t t D t

3 2 3 3 3 3 2 4


113

Υπολογισμός ολοκληρώματος (με e συμβολίζεται η απόσταση του κέντρου στρέψης

από την πλευρά CE):

B 2B

AA

5 D D 13 DAB : r ds e D s D

8 2 16

CC 2

BB

D D DBC : r ds s D

2 2 2

E 2E

CC

5 D 5 DCE : r ds e s D

8 8

FF 2

EE

D D DEF : r ds s D

2 2 2

G 2G

FF

5 D D 13 DFG : r ds e D s D

8 2 16

Αρα G

2

A

ABCEFG : r ds 2 D


114

ΑΣΚΗΣΗ 33η

Φορτηγίδα μήκους 160m, πλάτους 15m και πλευρικού ύψους 9m μέχρι το κύριο

κατάστρωμα έχει συνεχή υπερκατασκευή απο αλουμίνιο, πλάτους 12m και ύψους 3m.

Ποιά η κατανομή των θερμικών τάσεων και το αντίστοιχο κατακόρυφο βέλος, όταν η

θερμοκρασία μέσα στην υπερκατασκευή αυξηθεί κατα 22 βαθμούς Celsius πάνω απο

τη θερμοκρασία της υπόλοιπης φορτηγίδας; Ας υποτεθεί οτι η μέση τομή (βλέπε

σχήμα) παραμένει σταθερή σε όλο το μήκος.

Τα πάχη των στοιχείων της μέσης τομής, που παραμένει σταθερή σε όλο το μήκος του

πλοίου είναι:

Υπερκατασκευή αλουμινίου 12mm

Κύριο κατάστρωμα και πυθμένας 15mm

Πλευρές 12mm

Οροφή διπύθμενου (απόσταση απο baseline 1,2m) 10mm

Μέτρο ελαστικότητας χάλυβα 210.000MPa Συντελεστής θερμικής διαστολής χάλυβα C/1034,11 6

Μέτρο ελαστικότητας αλουμινίου 73.000MPa Συντελεστής θερμικής διασ. αλουμινίου C/1004,23 6


Για κάμψη στο κατακόρυφο επίπεδο ισχύει ότι

A

2 dAEy

dATEy

yEdAE

dATE

EΤE

όπου

α: ο συντελεστής θερμικής διαστολής του υλικού

Ε: το μέτρο ελαστικότητας

Τ: η θερμοκρασία


115

y: η απόσταση από το κέντρο τηε επιφάνειας της διατομής, και

Α: η επιφάνεια της διατομής

Αν τεθεί refm ET όπου ref το μέτρο ελαστικότητας αναφοράς και mT ο

συντελεστής υλικού τότε η προηγούμενη σχέση γίνεται :

Am

2

m

mm

m

mmrefdATy

dATTy

TydAT

dATT

TΤΤ

Για MPa000.210ref (βλέπε πίνακα):

2

m cm911.8dAΤ

22

m2 cm.m667.146dAΤy

2m cm8297,0dAΤT

2

m cmm6844,4dAΤTy

Aπό τα προηγούμενα η κατανομή των τάσεων προκύπτει ίση με my10321093Τ000.210aΜ 66

m

Για τις κατακόρυφες μετατοπίσεις ισχύει ότι

212616

Am

2

m

2

2

cxcx.1016wm1032dATy

dATTy

dx

wd

, όπου w, x

σε m. Για να υπολογιστεί η μετατόπιση λόγω της κάμψης, οι συντελεστές 1c και 2c

υπολογίζονται έτσι ώστε 0)L(w)0(w . Από τις οριακές συνθήκες αυτές προκύπτει

ότι x120.5x32w 2 όπου η w, x σε μm και m αντίστοιχα.


116

2

2

2

2

dxwd

1

dxwd

1

Για τον υπολογισμό του βέλους κάμψης ενός δοκαριού ολοκληρώνεται δύο φορές η

καμπυλότητα. Η σχέση αυτή μεταξύ δεύτερης παραγώγου και καμπυλότητας

προκύπτει από τη γεωμετρία και υπό την παραδοχή οτι η παράγωγος της ελαστικής

γραμμής είναι μικρή – μικρότερη από 10%.

Επίσης η θεώρηση αυτή προϋποθέτει οτι επίπεδες διατομές του απαραμόρφωτου

δοκαριού παραμένουν επίπεδες.


117

ΑΣΚΗΣΗ 34η

(1) Να υπολογίσετε το πάχος που πρέπει να έχει ένα έλασμα με διαστάσεις 0.65 x 1.0

m, με πακτωμένες όλες του τις πλευρές, για να μπορεί να φέρει εγκάρσια ομοιόμορφη

πίεση 100 kPa. Το έλασμα μπορεί να είναι κατασκευασμένο είτε από κοινό ναυπηγικό

χάλυβα με μέτρο ελαστικότητας 207 GPa, λόγο Poisson 0.3 και όριο διαρροής 235

MPa, είτε από ναυπηγικό κράμα αλουμινίου με μέτρο ελαστικότητας 70 GPa, λόγο

Poisson 0.3 και όριο διαρροής 275 MPa. Το απαιτούμενο πάχος να υπολογιστεί έτσι

ώστε το έλασμα να έχει συντελεστή ασφάλειας ίσο με 1.3 έναντι διαρροής.

(2) Να υπολογιστεί το απαιτούμενο πάχος του παραπάνω ελάσματος και για τα δύο

υλικά, έτσι ώστε να ικανοποιείται ένα λογικό κριτήριο μέγιστου βέλους κάμψης του

ελάσματος. Επιλέξτε το κριτήριο αυτό μόνοι σας.


Η ορθή τάση σ, σε έλασμα διαστάσεων a×b (a≥b) και πάχους t, που υπόκειται σε

εγκάρσια ομοιόμορφη πίεση p, ισούται με

2bk pt

όπου k συντελεστής εξαρτώμενος από τις οριακές συνθήκες, τη θέση και τη

διεύθυνση της τάσης σ και το λόγο των πλευρών a/b.

Στην ίδια περίπτωση καταπόνησης η μέγιστη εγκάρσια μετατόπιση του κέντρου της

πλάκας δίνεται από τη σχέση

4

max wp bw k

384 D, όπου

3

2

E tD12 1

, E το μέτρο ελαστικότητας και ν ο

συντελεστής Poisson. Με k συμβολίζεται συντελεστής εξαρτώμενος από τις οριακές

συνθήκες.

Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι:

2

ALLALL

b pk p t k bt


118

4 2 24 4 23max 2 2 23 3

max2

p b 1 k 1p b p b p bw k k k t b384 D 32 E wE t 32 E t384

12 1

Στην περίπτωση που εξετάζεται η μέγιστη επιτρεπόμενη τάση ALL ισούται με τη τάση

διαρροής Y δια του συντελεστή σαφαλείας, δηλ. ALL Y SF όπου SF=1,3, και η

μέγιστη επιτρεπόμενη μετατόπιση λαμβάνεται ίση b/G,όπου G=100. Άρα:

Y

pt k SF b και

2

23k G 1 pt b

32 E

Για να πληρούνται και οι δύο απαιτήσεις πρέπει

2 22 23 3

Y Y

k G 1 k G 1p p p pt max k SF b, b b max k SF,32 E 32 E

Το ζητούμενο αποτέλεσμα προκύπτει με αντικατάσταση στη προηγούμενη σχέση.


119

ΑΣΚΗΣΗ 35η

Εάν τάση 200 MPa δρα θλιπτικά στα ελάσματα του καταστρώματος κατά το διάμηκες,

πόσο πρέπει να είναι το πάχος των ελασμάτων αυτών για να μην αστοχούν σε λυγισμό

με συντελεστή ασφάλειας ίσο με 1.5. Θεωρείστε τα ελάσματα είναι από χάλυβα,

υψηλής αντοχής, πακτωμένα σε όλες τους τις πλευρές και με διαστάσεις

1.25m0.75m (διαμήκης εγκάρσια διάσταση).


Η κρίσιμη τάση λυγισμού ισούται με:

2

cr 2Dk

b t όπου

3

2

E tD12 1 v

,

E: το μέτρο ελαστικότητας που έιναι ίσο με 210 GPa,

ν: ο λόγος του Poisson που είναι ίσος με 0,3,

t: το πάχος του ελάσματος,

b: η μικρή διάσταση του ελάσματος κάθετη στη φόρτιση που ισούται με 0,75 m, και

k: συντελεστής, που εξαρτάται από το λόγο των πλευρών που ελάσματος (πλευρά

παράλληλη στη φόρτιση/πλευρά κάθετη στη φόρτιση) 1,24/0,75=1,67 και που είναι

ίσος με 8,25.

Από τα δεδομένα η κρίσιμη τάση λυγισμού προκύπτει ίση με

cr 1,5 200 MPa 300 MPa .

Αντιακθιστώντας προκύπτει ότι:

32

2 2 3

cr 2 2 2

2 2 6 2 2cr2 4 2

2 2 9

E tD12 1 v E tk kb t 12 1 v b t

12 1 v b 300 10 12 1 0,3 0,75t 1,1 10 m

k E 8,25 207 10

t 0,0105m t 10,5mm


120

ΑΣΚΗΣΗ 36η

Έλασμα από κοινό ναυπηγικό χάλυβα, διαστάεων 4,8 m 2,4 m, και πάχους 14 mm,

ενισχύεται με ενισχυτικά διατομής Τ παράλληλα στη μικρή πλευρά του. Οι διαστάσεις

των ενισχυτικών είναι W14010 & F8012. Να υπολογίσετε τη μέγιστη επιτρεπόμενη

τάση θλιπτική τάση στη μεγάλη πλευρά του ελάσματος, αν ο αριθμός των ενισχυτικών

είναι 7. Εξετάστε την περίπτωση λυγισμού των ενισχυτικών ως δοκών σε συνεργασία

με το έλασμα, και τον λυγισμό του ελάσματος μεταξύ των ενισχυτικών. Θεωρήσστε

ότι όλες οι στηρίξεις είναι αρθρώσεις. Επαναλάβατε τους υπολογισμούς για αριθμό

ενιοσχυτικών 6, 5 και 4.



121

ΑΣΚΗΣΗ 37η

∆ϊνεται έλασμα πυθμένα μεταξύ δύο διαδοχικών σταθμίδων και δύο διαδοχικών

εδρών. Τα χαρακτηριστικά του ελάσματος και της διαμήκους ενίσχυσης του δίνονται

στο σχήμα, που ακολουθεί. Να υπολογίσετε τις μέγιστες ορθές τάσεις που οφείλονται

στην κάμψη των ελασμάτων μεταξύ των ενισχυτικών και την κάμψη των ενοσχυτικών

μεταξύ των εδρών. Να διατυπώσετε σαφώς τις παραδοχές που κάνετε. Ποιές οι

αντίστοιχες μέγιστες εγκάρσιες μετατοπίσεις;

800 800 800 800 800

W250×12 F80×14

σταθμίδα

σταθμίδα

έδρα

Απόσταση εδρών 3 mΑπόσταση σταθμίδων 4 m

Πάχος ελάσματος πυθμένα 15 mm


Υπολογισμός των τάσεων σ λόγω κάμψης των ενοσχυτικών, στη θέση όπου

εμφανίζεται η μέγιστη ροπή. Αν θεωρηθεί ότι η στήριξη των ενισχυτικών στις έδρες

είναι πάκτωση, η μέγιστη ροπή εμφανίζεται στις πακτώσεις. Ισχύει ότι

3 2t mp g H 1,025 9,81 10m 100,55kPa

m s

2 2max p b LM g H b L yy yI 12 I 12 I


122

όπου Mmax η μέγιστη ροπή στην πάκτωση, L το μήκος του ενισχυτικού μεταξύ των

στηρίξεων, b η ισαπόσταση των ενισχυτικών, I η ροπή αδράνειας της διατομής

ενισχυτικού-συνεργαζόμενου ελάσματος, y η απόσταση του ΟΑ της διατομής από το

σημείο στο οποίο υπολογίζεται η τάση σ, ρ η πυκνότητα του θαλάσσιου νερού, g η

επιτάχυνση της βαρύτητας και H το ύψος της στήλης νερού που δρά στο ενισχυμένο

έλασμα.

Γεωμετρικά χαρακτηριστικά διατομής – γίνεται η παραδοχή ότι το πλάτος του

συνεργαζόμενου ελάσματος ισούται με την ισαπόσταση των ενοσχυτικών:

Επιφάνεια A=(800×15+250×12+90×14) mm2=16120 mm2

Απόσταση ουδέτερου άξονα από πέλμα:

A=(800×15×271,5+250×12×139+90×14×7) mm / 16120 = 228 mm

Ροπή αδράνειας διατομής:

I=800×153/12+800×15×(271,5-228)2+2503×12/12+250×12×(139-228)2+

+90×143/12+90×14×(7-228)2 mm4 = 117036742 mm4

Ροπή αντίστασης ως προς την ακρότατη ίνα του ελάσματος:

117036742 mm3 / (279-228)= 117036742 mm3

Ροπή αντίστασης ως προς την ακρότατη ίνα του ενισχυτικού:

117036742 mm3 / 228= 117036742 mm3

Οι τάσεις στη διατομή που εμφανίζεται η μέγιστη ροπή, δηλαδή στις πακτώσεις

ισούνται με στην ακρότατη ίνα του πέλματος και στην ακρότατη ίνα του ελάσματος.

Τάσεις λόγω κάμψης του ελάσματος. Αν θεωρηθεί ότι το έλασμα είναι πακτωμένο οι

μέγιστες τάσεις εμφανίζονται στο μέσο των πακτωμένων ακμών.

Η ορθή τάση σ, σε έλασμα διαστάσεων a×b (a≥b) και t, που υπόκειται σε εγκάρσια

ομοιόμορφη πίεση p, ισούται με

2 2b 800k p k p 2844 k pt 15


123

όπου k συντελεστής εξαρτώμενος από τις οριακές συνθήκες, τη θέση και τη

διεύθυνση της τάσης σ και το λόγο των πλευρών 3000/800=3,75.

2844 0,5 p 1422 p 143MPa

2844 0,5 p 1422 p 143MPa

Στην ίδια περίπτωση καταπόνησης η μέγιστη εγκάρσια μετατόπιση του κέντρου της

πλάκας δίνεται από τη σχέση

4

max wp bw k

384 D, όπου

3

2

E tD12 1

, E το μέτρο ελαστικότητας και ν ο

συντελεστής Poisson. Με k συμβολίζεται συντελεστής εξαρτώμενος από τις οριακές

συνθήκες.


124

ΑΣΚΗΣΗ 38η

Εστω ότι η μέση τομή της φορτηγίδας είναι αυτή που παρουσιάζεται στο σχήμα.

Επιπλέον το κατάστρωμα και ο πυθμένας είναι ενισχυμένα με διαμήκη ενισχυτικά

τοποθετημένα ανά 600 mm. Η επιφάνεια διατομής των ενισχυτικών ισούται με 1 m-

mm και η ροπή επιφανείας ως προς κεντροβαρικό άξονα παράλληλο προς το

κατάστρωμα ισούται με 1 m2-mm2. Στη δυσμενέστερη κατάσταση hog η τάση στο

κατάστρωμα ισούται με 120 MPa και στη δυσμενέστερη κατάσταση sag με 80 MPa.

9m

9m

2m

10mm

15mm

15mm

15mm 15mm

1. διαμήκη ενισχυτικά ανά 600 mm σε ελάσματα καταστρώματος, πυθμένα και εσωτερικού πυθμένα 2. νομείς ανά 2,5 m3. επιφάνεια διατομής διαμήκων ενισχυτικών 1m-mm 4. ροπή αδράνειας διατομής διαμήκων ενισχυτικών (ως προς άξονα διερχόμενο από κέντρο της και παράλληλο στο κατάστωμα) 1 m 2-mm2

Να γίνει έλεγχος αντοχής σε ελαστικό λυγισμό των ελασμάτων καταστρώματος και

πυθμένα, στη κατάσταση που περιγράφεται, θεωρώντας ότι οι διαμήκεις και εγκάρσιες

ενισχύσεις παρέχουν την απαιτούμενη στήριξη σε αυτά.


Η κρίσιμη τάση λυγισμού ισούται με:

2

cr 2

Dk

b t όπου

3

2

E tD

12 1 v,

E: το μέτρο ελαστικότητας που για χάλυβα ισούται με 210 GPa,

ν: ο λόγος του Poisson που για χάλυβα ισούται με 0,3,

t: το πάχος του ελάσματος ίσο με 10 mm για το κατάτρωμα και 15 mm για τον

πυθμένα,

b: η μικρή διάσταση του ελάσματος κάθετη στη φόρτιση που ισούται με 600 mm, και

k: συντελεστής, που εξαρτάται από το λόγο των πλευρών που ελάσματος και τις

οριακές συνθήκες. Στην υπό εξέταση περίπτωση ο λόγος των πλευρών ισούται με

2.500/600=4,17 και η στήριξη των ελασμάτων του καταστρώματος και του πυθμένα

προσομοιάζει με απλή έδραση και πάκτωση αντίστοιχα. Ο συντελεστής k προκύπτει

ίσος με 6,98 για τα ελάσματα του πυθμένα και 4 για τα ελάσματα του καταστρώματος.


125

Αντικαθιστώντας η κρίσιμη τάση λυγισμού για τα ελάσματα του καταστρώματος

ισούται με

2 2 3 2 2

cr 2 2 22 2

D E t 3,14 210 10k k 4 GPa 211MPa 80MPa

b t b t 60012 1 v 12 1 0,3

Αρα η κρίσιμη τάση λυγισμού των ελασμάτων καταστρώματος είναι 211/80=2,63

φορές μεγαλύτερη από τη μέγιστη θλιπτική τάση στο κατάστρωμα και άρα έχουν

επαρχή αντοχή σε λυγισμό. Τα ελάσματα του πυθμένα έχουν ακόμα μεγαλύτερη

επάρκεια, αφού η κρίσιμη τάση λυγισμού αυτών είναι ψηλότερη (πάκτωση αντί για

απλή έδραση και παχύτερα ελάσματα) και η μέγιστη θλιπτική τάση μικρότερη αυτής

των ελασμάτων του καταστρώματος.


126

ΑΣΚΗΣΗ 39η

Μία κατασκευαστική λεπτομέρεια, κατηγορίας C, του καταστρώματος ενός πλοίου

καταπονείται σε κόπωση από τις εναλλασσόμενες ορθές καμπτικές τάσεις λόγω

κυματισμού. Οι τάσεις αυτές ακολουθούν κατανομή Weibull, με συντελεστή σχήματος

1.22. Εκτιμάται ότι, κατά τη διάρκεια της επιχειρησιακής του ζωής, το πλοίο θα

αντιμετωπίσει 109 κύκλους εναλλασσόμενης φόρτισης. Εάν το μέγιστο εύρος τάσης

που αναμένεται να αναπτυχθεί στην κατασκευαστική αυτή λεπτομέρεια, με πιθανότητα

υπέρβασης 10-8 είναι 136 MPa, να υπολογιστεί ο συντελεστής συσσωρευμένης βλάβης

της κατασκευαστικής λεπτομέρειας. Τι εκφράζει ο συντελεστής αυτός;


Ισχύει ότι: NF C N F

C

όπου 1

mmF L FL

,

1m1

kn

mN 1k

ηL: ο συντελεστής σωρευμένης βλάβης

m: 3,5 (κατασκευαστική λεπτομέρεια κατηγορίας C)

k: σχήματος της κατανομής Weibull, που ισούται με 1,22

σN: το εύρος της τάσης, που η κατασκευή μπορεί να δεχθεί για N=109επαναλήψεις,

και για λεπτομέρεια τύπου C ισούται με 21 MPa.

σC: το εύρος της τάσης, 136 MPa, που αναμένεται να αντιμετωπίσει η κατασκευή

με πιθανότητα υπέρβασης 1/N=10-8

Αντικαθιστώντας προκύπτει ότι:

1m1

kn 11 13,5 11,228 1,22 3,58 n

mN 1K

3,510 1 18,42 3,87 6,84N 10 1,22k 1,22m 3,5

οπότε F216,84 1,055

136 και 3.5

L L1.05 0.83


127

Σε περίπτωση εναλλασόμενης φόρτισης με σταθερό εύρος τάσης, ο συντελεστής

σωρευμένης βλάβης εκφράζει το λόγο των επαναλήψεων που έχει υποστεί η

κατασκευή ως προς τον μέγιστο αριθμό των επαναλήψεων που η κατασκευή μπορεί

να φέρει έως την αστοχία λόγω κόπωσης. Στην περίπτωση εναλλασόμενης φόρτισης

με μεταβλητό εύρος τάσης, όπως στην άσκηση, θεωρείται ότι η βλάβη που οφείλεται

σε κάθε επανάληψη δεν επηρεάζει την αντοχή σε κόπωση της κατασκευής για

φόρτιση με διαφορετικό εύρος τάσης (γραμμική υπέρθεση), και ο συντελεστής

εκφράζει τη βλάβη που έχει υποστεί η κατασκευή ως προς τη μέγιστη βλάβη που

μπορεί να υποστεί πριν την αστοχία και για την οποία ο συντελεστής ισούται με

μονάδα.


128

ΑΣΚΗΣΗ 40η

∆ίνεται πλοίο μήκους 300m, πλάτους 44m και συντελεστή γάστρας 0.72. Στη μέση

τομή του πλοίου έστω ότι υπάρχει κατασκευαστική λεπτομέρεια τύπου D. Ποιά πρέπει

να είναι η ροπή αντίστασης της διατομής του πλοίου ώστε ο συντελεστής σωρευμένης

βλάβης λόγω κόπωσης να είναι 0,6; Να υποθέσετε ότι οι περιοδικές τάσεις που

εμφανίζονται στην κατασκευαστική λεπτομέρεια είναι οι ορθές τάσεις λόγω κάμψης

και ότι το πλοίο αναμένεται να αντιμετωπίσει στη διάρκεια της ζωής του 108

εναλλαγές. Επίσης η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του εύρους των τάσεων

ακολουθεί κατανομή Weibull με συντελεστή σχήματος k ίσο με 1.3.


Ισχύει ότι: NF C N F

C

όπου

1m

F L ,

1m1

kn

mN 1k

ηL: ο συντελεστής σωρευμένης βλάβης

m: 3 (κατασκευαστική λεπτομέρεια κατηγορίας D)

k: σχήματος της κατανομής Weibull, που ισούται με 1,3

σN: το εύρος της τάσης που η κατασκευή μπορεί να δεχθεί για N=108 επαναλήψεις.

σC: το εύρος της τάσης, που αναμένεται να αντιμετωπίσει η κατασκευή με

πιθανότητα υπέρβασης 1/N=10-8.

Λύνοντας ως προς σC προκύπτει ότι (οι άλλοι παράγοντες της σχέσης μπορούν να

υπολογιστούν άμεσα από τα δεδομένα):

F C N C NF

και αντικαθιστώντας 1 3

F 0,6 1,2

1 m 1 31 1.31 k 8m 3.0lnN 1 ln10 1 2.35 2.705 6.75

k 1.3

12.18

3N 8

10 25MPa10

(12.18 είναι ο λογάριθμος του συντελεστή C της καμπύλης S-N

για λεπτοομέρεια τύπου D).


129

Από τις προηγούμενες σχέσεις προκύπτει

c NF

6.7525MPa 141MPa1.2

Το εύρος της τάσης που υπολογίστηκε είναι το όριο του εύρους της εναλλασόμενης

τάσης που δέχεται η γάστρα του πλοίου μεταξύ των καταστάσεων hogging και

sagging. Το όριο αυτό ισούται με

WH WS

c

M MZ

όπου στον αριθμητή είναι οι ροπές σχεδίασης λόγω κυματισμού hogging και sagging

(απόλυτες τιμές) και στον παρονομαστή η ροπή αντίστασης της διατομής. Οι ροπές

σχεδίασης λόγω κυματισμού, που έχουν πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε εναλλαγή

10-8, υπολογίζονται σύμφωνα με τις σχέσεις του IACS. Από τα προηγούμενα

προκύπτει

WH WS 3

N

M M 6649434 5823576Z kN m 88,5m141MPa

.


130

ΑΣΚΗΣΗ 41η

Η διατομή του δοκαριού του σχήματος καταπονείται σε κάμψη. Αν η διατμητική

δύναμη λόγω κάμψης Q προξενεί διατμητικές ροές qA, qB, qC, στα σημεία A, B, C ως

φαίνονται στο σχήμα, να αποδειχθεί ότι

-A B C

Qq q q m

I

όπου I η ροπή αδράνειας της διατομής και m η πρώτη ροπή της επιφανείας των

διατομών των ελασμάτων μεταξύ των σημείων A, B, C (διατομή σχήματος Τ), ως προς

τον ουδέτερο άξονα.

qA

A

qB

qC

B

C


Αν q1, q2, q3 οι διατμητικές ροές στη συμβολή του οριζόντιου και κατακόρυφου

ελάσματος ως στο παρακάτω σχήμα (οι ροές αναπτύσσονται στη συμβολή αλλά σε

διαφορετικά ελάσματα) ισχύει ότι:

qA qB

qC

q1 q2

q3

- -

- -

- -

1 A 1A

B 2 B2

3 C 3C

Qq q m

IQ

q q mIQ

q q mI


131

(το μείον στο δεύτερο μέλος οφείλεται στη σύμβαση για τα πρόσημα)

όπου m12, mB2 και m3C είναι οι πρώτες ροπές επιφανείας των ακμών που ορίζονται από

το σημείο συμβολής των ελασμάτων αφενός (σημείο 1) και τα σημεία A, B, C

αφετέρου.

Προσθέτοντας τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει

- - - - -1 2 3 A B C 1A B2 3C

Q Qq q q q q q m m m m

I I

Ισχύει όμως -1 2 3q q q 0 και από τις προηγούμενες σχέσεις προκύπτει ότι

-A B C

Qq q q m

I .


132

ΑΣΚΗΣΗ 42η

∆ίνεται δοκάρι από γραμμικά ελαστικό υλικό, που είναι πακτωμένο και στα δύο άκρα

του. Να υπολογίσετε τις δυνάμεις και ροπές που θα αναπτυχθούν στα άκρα του

δοκαριού στις πιό κάτω περιπτώσεις:

i. Αν επιβληθεί στο ένα άκρο εγκάρσια μετατόπιση ∆1 και περιοριστεί κάθε άλλη

μετατόπιση και στροφή.

ii. Αν επιβληθεί στο ένα άκρο διαμήκης μετατόπιση ∆2 και περιοριστεί κάθε άλλη

μετατόπιση και στροφή.

iii. Αν επιβληθεί στο ένα άκρο στροφή γύρω από εγκάρσιο άξονα Θ1 και

περιοριστεί κάθε άλλη μετατόπιση και στροφή.

iv. Αν επιβληθεί στο ένα άκρο στροφή γύρω από διαμήκη άξονα Θ2 και

περιοριστεί κάθε άλλη μετατόπιση και στροφή.



133

ΑΣΚΗΣΗ 43η

∆ίνεται το δοκκάρι του σχήματος. Να προσδιοριστεί το μητρώο ακαμψίας του

δοκαριού για το σύστημα xOy, ως στο σχήμα. Να προσδιοριστούν οι μετατοπίσεις του

ελεύθερου άκρου αν εφαρμοστούν σε αυτό η δύναμη F και η ροπή M. Να υπολογιστεί

η εγκάρσια μετατόπιση του ελεύθερου άκρου του δοκαριού, σύμφωνα με τη σχέση

που προκύπτει από την ελαστική γραμμή προβόλου φορτιζομένου στο ελευθερο άκρο

από σημειακό φορτίο και ροπή και να συγκρίνετε τα αποτελέσματα με τα

προηγούμενα.


Το μητρώο ακαμψίας του δοκαριού στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων είναι

2 2

2 2

3 2 2

2 2

s 0 0 s 0 00 12 6 L 0 12 6 L0 6 L 4 L 0 6 L 2 LE Ik

L s 0 0 s 0 00 12 6 L 0 12 6 L0 6 L 2 L 0 6 L 4 L


134

Η γωνία μεταξύ του γενικευμένου και του τοπικού συστήματος είναι 30ο και το

μητρώο μετασχηματισμού είναι το

3 2 1 2

1 2 3 21

T3 2 1 2

1 2 3 21

Αρα το μητρώο ακαμψίας στο γενικευμένο σύστημα είναι το

2 2T

2

78,00 38,11 6,00 78,00 38,11 6,00

34,00 10,39m 38,11 34,00 10,39m

16,00m 6,00 10,39m 8,00mMNK T k T 1

78,00 38,11 6,00m34,00 10,39m

16,00m

Εφαρμόζοντας της οριακές συνθήκες και για τη φόρτιση που δίνεται ισχύει ότι


135

1 1

2 22

3 3

1 1

2 2

3 3

F 78,00 38,11 6,00

F 38,11 34,00 10,39m

F 6,00 10,39m 16,00m

0,09083 0,14001 0,12250 F

0,14001 0,25250 0,21651 F

0,12250 0,21561 0,25000 F

o1

o2

23

1

2

3

78,00 38,11 6,00 50 cos60

38,11 34,00 10,39m 50 kN sin60

6,00 10,39m 16,00m 12,5

5,3mm

10,0mm

9,25mrad

όπου ∆1, ∆2, ∆3 η μετατόπιση κατά τούς άξονες Ox, Oy και η στροφή (+ αντίθετη της

ροπής) αντίστοιχα. Από τα προηγούμενα αποτελέσματα προκύπτει ότι η εγκάρσια

μετατόπιση του ελεύθερου άκρου ισούται με 10,0·cos30o + 5,3·sin30o= 11,3 mm.

Το ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει από τη σχέση που δίνει την εγκάρσια μετατόπιση w του

ελεύθερου άκρου προβόλου, που υπόκειται σε δύναμη P και ροπή D (βλέπε σχήμα):

3 2

3 3

P L D L F Dw

3 E I 2 E I 3 E I L 2 L E I L

50 1 2 12mm 11,3mm

3 1 2 2 1


136

ΑΣΚΗΣΗ 44η

Το μητρώο ακαμψίας του φορέα του σχήματος ως προς σύστημα συντεταγμένων xOy,

που συμπίπτει με το τοπικό σύστημα συντεταγμένων του δοκαριού b σχήματος είναι

το:

112 MN/m 0 12 MN 0

0 112 MN/m 12 MN 12 MN/m

12 MN 12 MN 32 MN m 12 MN

0 12 MN/m 12 MN 12 MN/m

Πως θα μεταβληθεί το μητρώο ακαμψίας, αν μεταξύ των κόμβων A και B παρεμβληθεί

δοκάρι που έχει την ίδια διατομή με τα δοκάρια a και b; Το μήκος L των δοκαριών a

και b είναι 2 m και η καμπτική και αξονική δυσκαψία τους E·I/L3=1 MN/m και E·A/L=1

100 MN/m αντίστοιχα όπου E το μέτρο ελαστικότητας I η ροοπή αδράνειας της

διατομής και A η επιφάνεια της.


Το δοκάρι που προστίθεται έχει

μήκος 2·√2 m,

καμπτική δυσκαμψία (1/√2)3· (E·I/L3)=1 MN/m, και

αξονική δυσκαμψία (1/√2)· (E·I/L)=1 MN/m.


137

Το δοκάρι συμβάλλει στο μητρώο ακαμψίας του φορέα μόνο στο στοιχείο (4,4) με το

στοιχείο του μητρώου ακαμψίας του – στο γενικευμένο σύθστημα συντεταγμένων -

που αντιστοιχεί στη θέση (5,5). Το στοιχείο αυτό ισούται με

o o3

E A E I kNsin45 12 cos45 37,5

m2 L 2 L,

όπου 45ο είναι η γωνία μεταξύ του τοπικού και γενικευμένου συστήματος

συντεταγμένων.

Αρα το μητρώο ακαμψίας του τροποποιημένου φορέα είναι το

112 MN/m 0 12 MN 0

0 112 MN/m 12 MN 12 MN/m

12 MN 12 MN 32 MN m 12 MN

0 12 MN/m 12 MN 49,5MN/m


138

ΑΣΚΗΣΗ 45η

∆ίνεται δοκάρι σταθερής ορθογωνικής διατομής σε κάμψη. Να προσδιορίσετε τη σχέση

καμπτικής ροπής – καμπυλότητας στην ελαστοπλαστική περιοχή. Θεωρήσατε ότι το

υλικό του δοκαριού είναι ελαστικό - τελείως πλαστικό.

ΑΣΚΗΣΗ 46η

∆ίνεται δοκάρι σταθερής διατομής, πακτωμένο στο ένα άκρο του και αρθρωμένο στο

άλλο. Το δοκάρι υπόκειται σε όλο το μήκος του σε ομοιόμορφη φόρτιση. Αν θεωρηθεί

ότι ο μηχανισμός κατάρρευσης σχηματίζεται από ένα πλαστικό κόμβο στην πάκτωση

και έναν πλαστικό κόμβο στο μέσο του δοκαριού, το φορτίο κατάρρευσης ισούται με

12·m/l2, όπου m η μέγιστη πλαστική ροπή που μπορεί να εφαρμοστεί στη διατομή του

δοκαριού και l το μήκος του δοκαριού.

Να αποδείξετε ότι το φορτίο αυτό ∆ΕΝ είναι ένα κάτω όριο του φορτίου

κατάρρευσης.

Ποιο το φορτίο κατάρρευσης, που προκύπτει αν θεωρηθεί ότι ο μηχανισμός

κατάρρευσης σχηματίζεται από ένα πλαστικό κόμβο στην πάκτωση και έναν

πλαστικό κόμβο σε απόσταση (2-√2)·l από την πάκτωση;

Να συγκρίνετε την κατανομή ροπών κατά μήκος του δοκαριού που

προκύπτουν από τις δύο προαναφερόμενες περιπτώσεις.

Να συγκρίνετε το φορτίο κατάρρευσης με το μέγιστο φορτίο, για το οποίο το

δοκάρι βρίσκεται εξολοκλήρου στην ελαστική περιοχή.

Θεωρήσατε ότι το υλικό του δοκαριού είναι απόλυτα πλαστικό.

ΑΣΚΗΣΗ 47η

Έστω ότι η διατομή καμπτόμενου δοκαριού είναι μορφής Τ, με διαστάσεις κορμού 720

mm·15 mm και πέλματος 240 mm ·12 mm. Να υπολογιστούν η μέγιστη ροπή για την

οποία η διατομή παραμένει στη γραμμικά ελαστική περιοχή και η ροπή κατάρρευσης

της διατομής. Ποιός ο συντελεστής σχήματος της διατομής; Θεωρήσατε ότι το υλικό

του δοκαριού είναι ελαστικό - τελείως πλαστικό.

Documents

ΑΚΑ∆ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011mycourses.ntua.gr/courses/NAVAL1024/document/%C1%F3%EA%DE%F3%E5%… · ακολουθείται η ίδια σύμβαση για τα πρόσημα