UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRENTO

FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE

FISICHE E NATURALI

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA

ELABORATO FINALE

“Matematica trasparente...

come bolle di sapone”

Un percorso didattico-sperimentaleper le scuole secondarie

di primo grado

Relatore Laureanda

Prof. Italo Tamanini Silvia Dirupo

ANNO ACCADEMICO 2004 - 2005

“... Credo che non ci sia nessuno in questa stanza

che non abbia fatto qualche volta una comune bolla di sapone,

e che, ammirandone la forma perfetta

e la meravigliosa lucentezza dei colori,

non si sia chiesto come fosse possibile

fare tanto facilmente un oggetto cosı splendido ...

... in una comune bolle di sapone c’e molto di piu

di quanto immagini di solito chi si limita

a considerarla un gioco.”

Charles Vernon Boys,

Le bolle di sapone e le forze che le modellano

Zanichelli, 1963

Indice

1 Bolle di sapone 5

2 Lamine di sapone 17

3 Percorsi minimi 24

4 I poliedri 30

Motivazioni

Il motivo che mi ha spinto a sviluppare questo particolare argomento e ilfatto di aver svolto, presso la Facolta di Scienze, uno stage con il professorTamanini. Nel periodo tra dicembre 2004 e febbraio 2005, io e Marco abbi-amo preparato, sotto la guida sempre del professore, una mostra a Modenadal titolo: “Matematica trasparente... come bolle di sapone” che e rimastaallestita dal 16 febbraio al 16 marzo 2005. Per me e stata un’esperienzamolto bella e soprattutto costruttiva che ci ha permesso di capire anche tut-ti i problemi pratici dell’allestimento di una mostra: dal fatto di sintetizzarepagine e pagine di teoria, al fatto che il pubblico comprende eta molto diffe-renti tra loro e quindi la mostra deve soddifare tutti questi requisiti. Inoltremi ha permesso di conoscere una parte della matematica molto interessanteche proprio non conoscevo.

Per questo ho voluto anche intitolare cosı il lavoro che vi accingete aleggere.Sara un percorso sulle bolle di sapone abbastanza dettagliato, rivolto in par-ticolar modo a classi delle scuole secondarie di primo grado, ma che vuoledelineare bene i contorni della matematica che si possono apprendere ancheattraverso delle semplicissime, ma solo in apparenza, bolle di sapone.

Capitolo 1

Bolle di sapone

L’interesse speciale per l’argomento delle bolle di sapone non e affatto re-cente. Molti fenomeni legati alla tensione superficiale, come la formazionedelle lamine saponose, erano stati osservati fin dai tempi antichi certo con lacuriosita un po’ infantile che siamo abituati ad attribuire agli antichi pen-satori, ai quali non era sfuggito che mentre la lamina si va assottigliando sivedono comparire sulla sua superficie tutti i colori dell’arcobaleno, un fattoconsiderato, per molto tempo, magico come il fenomeno celeste, e che solonel 1800 fu collocato nell’ambito fisico dei fenomeni di interferenza che, nellebolle di sapone, si verificano quando lo spessore della lamina e paragonabilealla lunghezza dell’onda luminosa.

Grazie agli studi di molti matematici e fisici come Boys, Plateau cheformulo due leggi fondamentali in questo campo, Almgren e Taylor che di-mostrarono le leggi di Plateau e molti altri studiosi si arrivo a definire unarelazione tra le lamine di sapone e molti fenomeni naturali che seguono sche-mi di massimo e di minimo, un principio per cui la condizione che realizzaun fenomeno corrisponde ad un criterio di minimo assoluto e realizza perciola massima economia del sistema.Un esempio di tale schema, in architettura, sono le famose tende sospese diFrei Otto che coprono gli spettatori nello stadio di Monaco. Le tende sospesedi Frei Otto sono state realizzate sulla base di modelli di superfici minime.Queste ultime sono le superfici che possiedono due proprieta: corrispondonoa punti stazionari dell’energia e sono stabili. Infatti, come vedremo negliesempi che seguiranno, immergendo nell’acqua saponata un telaio di metal-lo, vengono a crearsi come per incanto forme che, per il principio di minimaenergia che la natura sceglie, sono le migliori possibili.

Le bolle di sapone sono uno degli argomenti piu interessanti in moltisettori della ricerca scientifica: dalla matematica alla chimica, dalla fisicaalla biologia, ma non solo, anche nell’architettura e nell’arte, nel design eperfino nella pubblicita.

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Effettivamente per i matematici le bolle di sapone sono modelli di unageometria delle forme molto stabili, e per gli artisti sono il simbolo dellavanita, della fragilita delle ambizioni umane, della vita stessa.

Ancora oggi molti studiosi stanno studiando queste strutture particolarie bellissime: e un campo ancora aperto, dove si devono ancora capire le leggidella natura.

In questo elaborato propongo una lezione per ragazzi delle scuole secon-darie di primo grado (a tal scopo e stato letto e rivisto da un professore dimatematica delle scuole secondarie di primo grado) nel quale non sarannodifficili ne il linguaggio, ne le varie esperienze per iniziare a entrare e a sco-prire il mondo delle bolle di sapone.Come si dice nella frase d’inizio: chi non ha mai provato a fare una bolla disapone e osservare tutti i colori che su di essa appaiono? Tutti!

Entriamo in contatto con l’insegnante e la classe per sperimentare qualiprincipi matematici si possono affrontare e apprendere con l’aiuto delle bolle.Buona lettura!

L’insegnante deve innanzitutto preparare la classe in modo che tutti glialunni abbiano a disposizione i telai e un po’ di acqua e sapone per poterrealizzare cio che vedono compiere dall’insegnante. Il modo migliore affinchetutti i ragazzi siano coinvolti in questa particolare lezione, e quello di dividerela classe in gruppi di 4 o 5 alunni al massimo e preparare per ogni gruppo unpaio di banchi uniti con sopra tutto l’occorrente; in tal modo tutti possonopartecipare direttamente alla costruzione delle bolle attraverso il materialea loro disposizione.Ecco il materiale che deve avere l’insegnante sulla cattedra:

1. recipiente abbastanza grande e largo in modo che i telai siano immersicompletamente, che contenga 4 o 5 litri di acqua;

2. misurino graduato per preparare la soluzione saponosa;

3. detersivo: fra i tanti detersivi che si sono provati si e visto che il Joy,detersivo liquido americano, e quello piu indicato in questo tipo diesperienza, nel senso che le bolle risultano essere piu stabili e duraturesui telai. Quindi l’insegnante puo utilizzare il Joy o altrimenti, se nonsi puo avere questo detersivo, si puo usare anche il piu comune Sveltoche nelle giuste dosi e abbastanza resistente;

4. telai:

• 1 telaio circolare ossia un filo di metallo a forma di anello, 1 aforma triangolare, 1 a forma di quadrato abbastanza grandi;

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• dei bastoncini di legno leggero e del filo di cotone;

• 1 telaio circolare con filo di cotone leggermente piu lungo deldiametro fissato a due punti diametralmente opposti;

• 1 telaio triangolare forato ai vertici dotato di un filo legato a unvertice qualsiasi, oppure 1 telaio circolare con legato un filo di co-tone ad un punto sulla circonferenza; tale filo, nei due telai, deveformare un cappio non troppo grande che rimanga “all’interno”del triangolo o del cerchio;

• 1 reticolo cubico incompleto per la sella cubica, e 1 tetraedraleper la sella tetraedrica;

• 1 elicoide con filo e 1 catenoide;

• 1 “palla da tennis”, 1 “cuffia”, 1 “nastro di Moebius” e rela-tivi modellini di plastica o cartoncino utili per vedere megliole soluzioni saponose (le strutture di tali talai vengono descrittisuccessivamente);

• 1 coppia di lastrine in plexiglass a 3 pioli, 1 a 4 pioli, 1 a 5 piolie 1 a 6 pioli;

• alcune cannucce, 1 reticolo cubico e 1 tetraedrale.

Il materiale che invece occorre a ogni gruppo e:

1. un recipiente;

2. un misurino graduato da utilizzare per preparare il liquido saponoso;

3. una boccetta di detersivo;

4. telai:

• 1 telaio circolare abbastanza grande;

• 1 telaio quadrato;

• 1 telaio circolare con filo;

• 1 “palla da tennis” o 1 “cuffia” o 1 “nastro di Moebius”;

• 1 cubo incompleto per la sella cubica e 1 per la sella tetraedrica;

• 1 coppia di lastrine in plexiglass a 3 e a 4 pioli e 1 a forma di To a forma di rombo;

• alcune cannucce;

• 1 cubo;

• 1 tetraedro.

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Non e importante che ogni gruppo abbia le stesse strutture dei telai, emeglio anzi che nei gruppi si vari un po’ in modo da creare un confrontoe, nel caso in cui degli alunni abbiano un particolare telaio, diventino loroi protagonisti spiegando agli altri che cosa succede alla lamina di saponeimprigionata nel relativo telaio.

Il passo successivo e far preparare ai ragazzi la soluzione saponosa attra-verso le proporzioni, quindi questa fase e piu indicata ai ragazzi delle classidi fine seconda e di terza. Se tutti i gruppi hanno a disposizione un po’ di Joyl’insegnante puo dare la seguente indicazione 1:15. Quindi la proporzione diacqua e di sapone per preparare una soluzione saponosa con 4 litri d’acquasara:

1 : 15 = x : 4

Per cui svolgendo tale proporzione si ottiene la quantita di detersivo damettere:

x =4 · 1

15= 0, 26 litri = 26 centilitri

mentre se il recipiente puo contenere 5 litri di acqua la quantita di detersivosara:

x =5 · 1

15= 0, 33 litri = 33 centilitri

Se non si dispone di Joy ma si utilizza invece lo Svelto, che si e vistofunziona lo stesso, la proporzione piu indicata e 1:10, cioe se il recipientepuo contenete 4 litri di acqua la proporzione risultera:

1 : 10 = x : 4

quindi la dose di detersivo da aggiungere all’acqua risulta essere:

x =4 · 1

10= 0, 4 litri = 4 decilitri

Nel caso di 5 litri di acqua la quantita di detersivo Svelto da mettere sara:

x =5 · 1

10= 0, 5 litri = 5 decilitri

Quando i ragazzi saranno arrivati a tale soluzione, grazie al misurino gra-duato, potranno immettere la giusta quantita di sapone nell’acqua ottenendocosı la soluzione saponosa piu adatta.

Adesso l’insegnante puo iniziare a immergere il telaio circolare nell’ac-qua saponosa. La prima cosa che si puo far notare ai ragazzi e come lalamina di sapone si attacca al reticolo metallico circolare: immergendo ilfilo di metallo nella nostra soluzione e poi estraendolo con molta delicatezzamantenendolo parallelo alla superficie del liquido, si puo vedere molto bene

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che la lamina si forma dapprima vicino al cerchio e mano a mano che sitira fuori il telaio si forma una specie di “conca” sempre piu grande che allafine si va a staccare completamente dal liquido per formare un’unica laminapiana sul contorno circolare. Questo accade perche la soluzione saponosa euna soluzione particolare dal punto di vista chimico.

Infatti le molecole di sapone (o di un altro tensioattivo) sono costituiteda una catena di carbonio e idrogeno, chiamata coda, alla quale e legato ungruppo carico di atomi, chiamato testa.

Immerse in acqua tali molecole tendono a risalire, formando uno stratosulla superficie del liquido. Questo succede perche le code “idrofobe” nonriescono a creare legami con le molecole di acqua e quindi tendono a disporsial di fuori del liquido, mentre le teste “idrofile” vi rimangono all’interno.Quindi se si estrae un contorno metallico da una bacinella di acqua e sapone,queste molecole di sapone vi si attaccano, trascinando con loro molecoled’acqua. Si forma cosı una lamina, dello spessore di qualche unita o decinadi nanometri (1nm = 10−9m), costituita da due strati di molecole di saponefra i quali l’acqua resta intrappolata.

A questo punto l’insegnante fa notare ai ragazzi che, una volta formatala lamina piana sulla circonferenza metallica essa prende la forma di un dis-co che e proprio la superficie di area minima per il contorno circolare dato.Inoltre se si fa oscillare leggermente la lamina si formano dei ventri e si puonotare che in quel preciso momento l’area della lamina aumenta e non hapiu la caratteristica prima citata.

Ora l’insegnante considera l’anello con il filo di cotone legato e provaa stimolare i ragazzi per vedere che cosa succede con questa struttura. E

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chiaro che, dopo aver immerso l’anello nell’acqua saponata, si forma unalamina identica a quella di prima con pero il filo che si muove liberamenteal suo interno e la suddivide in due parti.

Ma che succede se si fa scoppiare una delle due parti di lamina?

L’insegnante quindi buca la lamina con un dito asciutto, altrimenti nonscoppia, e osserva con i ragazzi cosa succede.In pratica il filo si tende dalla parte della porzione di lamina rimasta intatta.Ora il docente reimmerge l’anello nella soluzione e buca la lamina dalla parteopposta a prima e si vede ora che il filo si curva dall’altra parte.

L’insegnante puo svelare la prima caratteristica delle lamine di sapone:molto semplicemente fa emergere l’idea di una forza che tende il filo e taleforza e chiamata tensione superficiale.La lamina di sapone e soggetta a una forza tangente alla sua superficie enel momento in cui si rompe una parte della pellicola (ad esempio quellasinistra), la forza esercitata sul filo della lamina di destra non e piu equili-brata da quella dovuta alla presenza della lamina nella parte opposta. Eccoquindi che il filo che prima ondeggiava nella lamina, si tende bruscamente ela lamina occupa l’estensione minore. I ragazzi possono provare a ripeterequesto risultato utilizzando il cerchio con filo che e presente nel tavolo diogni gruppo.

Per vedere meglio come agisce la tensione superficiale l’insegnante prendei due leggeri bastoncini di legno gia pronti sulla cattedra, unisce con due filidi uguale lunghezza le estremita di uno con quelle dell’altro, in modo daformare un rettangolo le cui basi sono i bastoncini orizzontali mentre le al-tezze sono i fili verticali. Immerge poi questa struttura nell’acqua saponosa.Dopo averla estratta e riportata in posizione verticale, si osserva che i filisi incurvano formando approssimativamente due archi di circonferenza; ilbastoncino inferiore si e avvicinato all’altro bastoncino.

Questo fenomeno e sempre conseguenza della tensione superficiale, cheincurva i fili e solleva il bastoncino verso l’alto.

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Per evidenziare ancora questa forza, con un altro esperimento, l’inse-gnante prende il telaio triangolare o circolare (come nella foto) dotato di filodi cotone a forma di cappio. Ora immerge il telaio nella soluzione facendoattenzione di mantenere allargato il cappio. La lamina che si ottiene e similea quella di prima con il filo al suo interno che si muove liberamente.

Che succedera se si fa scoppiare la porzione di lamina delimitatadal cappio?

L’insegnante dopo aver raccolto le varie idee, buca la parte di lamina internaal cappio e fa osservare alla classe la pellicola ottenuta. Il meccanismo e lostesso di prima: nel momento in cui la lamina interna al laccio si rompe laforza esercitata sul filo della lamina esterna non e piu equilibrata da quelladovuta alla presenza della lamina dalla parte opposta. Il filo si tende finoa diventare una circonferenza. Anche in questo caso la forza che entra ingioco e la tensione superficiale.

L’attenzione ora si deve spostare sul fatto che in queste due esperienze ilfilo del telaio assume delle forme speciali: un arco di circonferenza nel primocaso e una circonferenza completa nel secondo caso.Quindi riprendendo l’ultima esperienza si e visto che:

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• si aveva un laccio di una certa lunghezza sospeso in un telaio triango-lare;

• immergendolo abbiamo ottenuto una lamina triangolare o circolarepiana che pensiamo suddivisa in due parti, una interna e una esternaal cappio;

• abbiamo poi scoppiato la porzione interna della lamina.

Ma inoltre si deve far notare che, qualunque sia la forma del laccio che lacontorna, la parte interna ha sempre lo stesso perimetro.

Ma perche risulta proprio una circonferenza?

Ora l’insegnante si dovra occupare della geometria piana per far scoprire airagazzi la risposta a tale domanda.Infatti dovra far ragionare i ragazzi chiedendo di confrontare alcune figuregeometriche che hanno gia studiato. Se si prende un laccio di lunghezza12 cm si possono costruire:

• un quadrato di lato l = 3 cm;

• un rettangolo di base b = 5 cm e altezza h = 1 cm;

• un triangolo rettangolo di lati b = 3 cm, h = 4 cm e i = 5 cm;

• un cerchio con circonferenza C = 12 cm.

Con l’aiuto di carta e penna gli alunni dovranno calcolare le aree e al terminesi confrontano i dati.I dati relativi alle aree sono:

• il quadrato avra l’area: l2 = 32 = 9 cm2;

• l’area del rettangolo sara: b · h = 5 · 1 = 5 cm2;

• l’area del triangolo rettangolo e: b·h2

= 3·4

2= 6 cm2;

• il raggio del cerchio e: r = C2π

= 1, 91 cm e l’area risulta:πr2 = 11, 5 cm2.

Quindi l’insegnante dovra ben specificare che figure con lo stesso perimetronon hanno necessariamente la stessa area. Da qui dovra emergere che ilcerchio ha una singolare proprieta: il cerchio e la forma geometrica che con-

sente, a parita di perimetro, di racchiudere al suo interno l’area massima.Tale proprieta prende il nome di proprieta isoperimetrica del cerchio.Questo risultato e noto da millenni e l’insegnante puo soffermarsi raccon-tando brevemente la leggenda di Didone.

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La leggenda, riportata da Virgilio nel libro I dell’Eneide, narra che laregina Didone si rifugio sulla costa mediterranea dell’Africa e chiese al redel luogo di concederle della terra per costruirvi una citta. In segno di scher-no il re le assegno tanta terra quanta ne potesse circondare con la pelle di untoro: “...taurino quantum possent circumdare tergo...”. La regina fece as-tutamente tagliare la pelle in strisce molto sottili che, annodate, formaronouna lunga fune con la quale riuscı a delimitare un ampio territorio semicir-colare sulla riva del mare. E cosı che nacque Cartagine. L’aver disposto lafune lungo un perimetro circolare consentı a Didone di ottenere la maggiorestensione di terra possibile.Con lo stesso principio venivano costruite le mura di cinta di numerose citta.

L’insegnante puo continuare chiedendo ai ragazzi quale sia fra tutti irettangoli, o triangoli o in generale poligoni con lo stesso numero di lati,aventi il medesimo perimetro, quello di area massima.Possiamo considerare, per i ragazzi delle classi prime e seconde, i rettangolidi ugual perimetro, mentre per i ragazzi di terza i triangoli.

Poniamo il perimetro di un rettangolo fisso a 16 cm. I rettangoli che sipossono costruire sono diversi, piu o meno allungati e vediamo qual e quelloche contiene l’area maggiore:

• rettangolo num.1:

base b = 7 cm

altezza h = 1 cm

perimetro p = 16 cm e area A = 7 · 1 = 7 cm2

• rettangolo num.2:

base b = 6 cm

altezza h = 2 cm

perimetro p = 16 cm e area A = 6 · 2 = 12 cm2

• rettangolo num.3:

base b = 5 cm

altezza h = 3 cm

perimetro p = 16 cm e area A = 5 · 3 = 15 cm2

• rettangolo num.4:

base b = 4 cm

altezza h = 4 cm

perimetro p = 16 cm e area A = 4 · 4 = 16 cm2

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Come si puo ben notare, i rettangoli che abbiamo costruito hanno via viaarea maggiore, fino ad arrivare a un quadrato, figura piana regolare, che hal’area maggiore rispetto a tutti gli altri rettangoli.

Questo risultato non vale solo per questi particolari rettangoli appenacostruiti ma e un risultato generale della matematica:

Teorema 1 Fra tutti i rettangoli di perimetro fissato, il quadrato ha l’area

massima.

La dimostrazione di questo teorema si puo facilmente vedere anche grafi-camente.

Costruiamo un rettangolo di base b e altezza h (ad esempio con h < b) eun quadrato di lato l che siano isoperimetrici, cioe tali che b + h = l + l = p

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(semiperimetro), e sovrapponiamoli come nella prima figura (quella di si-nistra).In tal modo si vede che il contorno del rettangolo ha una parte in comunecon quello del quadrato e, dovendo essere b + h = 2l, si ottiene che il seg-mento orizzontale s e lungo come il segmento verticale t.Ma allora possiamo ritagliare la parte di rettangolo che “avanza” dal quadra-to, di colore grigio e spostarla dalla posizione 1 alla posizione 2. Il rettangoloe il quadrato hanno quindi una parte bianca in comune e una parte grigriaequivalente; ma il quadrato ha anche una parte in piu, colorata in rosso,che indica proprio che l’area del quadrato e sempre maggiore di quella di unqualsiasi rettangolo (non regolare).

Se si considerano i triangoli il meccanismo e lo stesso solo che in questocaso il calcolo dell’area e un po’ piu complesso per il fatto che occorreconoscere il teorema di Pitagora per trovare l’altezza, per questo si puoproporre ai ragazzi delle classi terze o di fine seconda, comunque si puousare anche la formula di Erone che si conosce gia nelle seconde.

Consideriamo perimetro fisso del triangolo di 18 cm. Iniziamo a costru-ire dei triangoli e mano a mano calcoliamo l’area e vediamo che succede.Partiamo a considerare triangoli isosceli molto stretti:

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• triangolo num.1 (isoscele stretto):

base b = 2 cm

lati obliqui l = 8 cm

altezza h =

√

l2 − ( b2)2

=√

64 − 1 = 7, 94 cm

perimetro p = 18 cm, area A = b·h2

= 7, 94 cm2

• triangolo num.2 (isoscele stretto):

base b = 4 cm

lati obliqui l = 7 cm

altezza h =

√

l2 − ( b2)2

=√

49 − 4 = 6, 71 cm

perimetro p = 18 cm, area A = b·h2

= 13, 42 cm2

• triangolo num.3 (equilatero):

base b = 6 cm

lati obliqui l = 6 cm

altezza h =

√

l2 − ( b2)2

=√

36 − 9 = 5, 2 cm

perimetro p = 18 cm, area A = b·h2

= 15, 6 cm2

• triangolo num.4 (isoscele largo):

base b = 8 cm

lati obliqui l = 5 cm

altezza h =

√

l2 − ( b2)2

=√

25 − 16 = 3 cm

perimetro p = 18 cm, area A = b·h2

= 12 cm2

• triangolo num.5 (scaleno):

base b = 8 cm

lati obliqui l1 = 7 cm, l2 = 3 cm

perimetro p = 18 cm

area (Erone) A =√

p2· (p

2− b) · (p

2− l1) · (

p2− l2) = 10, 4 cm2

Si vede subito, come nel caso dei rettangoli, che il triangolo che ha areamaggiore e proprio il triangolo equilatero (triangolo num.3) che e una figurapiana regolare. Anche in questo caso il risultato e emerso dal confronto dipoche figure particolari, ma vale in generale il seguente:

Teorema 2 Fra tutti i triangoli di ugual perimetro, quello regolare, ossia il

triangolo equilatero, ha l’area massima.

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Procedendo a verificare con esempi pratici tutte le figure con lo stessonumero di lati e con lo stasso perimetro si ha che le figure di maggior es-tensione sono proprio le figure piane regolari; e successivamente, tra tutti ipoligoni regolari piani di ugual perimetro, il cerchio ha area massima.

Ora dopo aver scoperto tutti questi importanti risultati si puo tornarealla domanda posta in precedenza sul telaio con filo. Dagli interventi deiragazzi deve venir fuori che il foro circolare che si forma nella lamina e lafigura di area massima che e possibile realizzare con il laccio di lunghezzafissata. Da tutto cio segue che la lamina che rimane all’esterno del buco hala minima superficie che e possibile ottenere usando quel contorno.

L’importante proprieta che il docente deve far emergere alla fine di questaprima parte di lavoro e che una lamina saponosa, sostenuta da un

particolare telaio, cerca sempre di assumere la configurazione di

minor area possibile delimitata dal contorno chiuso assegnato.

Capitolo 2

Lamine di sapone

Affrontato in maniera abbastanza completa il discorso sulle lamine piane,ora si passa alle lamine di sapone nello spazio. Si puo iniziare a vederecosa succede cominciando a immergere dei particolari telai che si trovanosul banco.Si invitano quindi i ragazzi a provare a immergere nella soluzione i reticoliincompleti cubico e tetraedrale (sono piu precisamente un telaio cubico euno tetraedrico a cui sono stati tolti degli spigoli).Il principio che seguiranno le lamine sara sempre lo stesso, ossia la pellicola

tende ad assumere una posizione di equilibrio stabile occupando

la minima area possibile.Immergendo tale telaio nell’acqua saponosa si otterra una particolare super-ficie detta dai matematici sella, differente dalle superfici viste finora perchenon e piu piana ma e incurvata. L’insegnante deve far emergere, almeno inmodo intuitivo, il concetto di curvatura media di una superficie. Per farecio e meglio partire da un caso semplice, cercando di far capire il significatodi curvatura di una linea piana.La domanda da porre e:

la linea retta ha curvatura? E la circonferenza?

Un esempio che puo chiarire le idee degli alunni e quello di immaginarsi allaguida di una bicicletta: se la strada e rettilinea il manubrio va tenuto fermo,cioe non dobbiamo curvare, pero se imbocchiamo una rotatoria dobbiamogirare il manubrio e tenerlo fermo in quella posizione, cioe dobbiamo curvarein maniera costante.A questo punto i ragazzi capiscono che le linee rette non hanno curvatura, omeglio si dice che hanno curvatura zero, a differenza di una circonferenza chee incurvata allo stesso modo in ogni suo punto: la sua curvatura quindi sidice che e costante ed e utile far vedere che tanto piu grande e il suo raggio,tanto minore sara la curvatura. Immaginiamo di essere alla guida sempredella nostra bicicletta: se imbocchiamo una rotatoria con un raggio moltopiccolo, il manubrio dovra essere girato di piu girato quindi la curvatura

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assume valori alti, rispetto a una rotatoria di raggio molto ampio in cui sigirera meno e la curvatura assumera valori molto piu bassi.

L’insegnante deve inoltre far vedere che se invece si ha una linea piucomplicata della retta e della circonferenza, la curvatura potra variare puntoper punto, potendo assumere qualsiasi valore.

Ora se passiamo dalla curvatura di figure piane alla curvatura disuperfici nello spazio, che curvatura avra un piano o una sfera?

Analogamente a prima si avra che il piano funziona alla stessa maniera dellaretta per cui il piano ha curvatura zero, e la sfera funziona come la circon-ferenza per cui avra curvatura costante, che dipendera sempre dal raggio:piu il raggio e piccolo, piu la curvatura sara grande, piu il raggio e ampio epiu la curvatura avra valori bassi.

Vediamo ora che succede invece nelle selle. L’insegnante deve mostrareagli alunni che in ogni punto della sella ho due direzioni possibili: una lungola quale sembra di scendere e l’altra lungo cui sembra di salire dalla parteopposta ma in modo analogo al precedente. Le superfici che hanno taleproprieta sono proprio le selle di curvatura media zero. Ritornando alla sfera,per non creare equivoci, l’insegnante precisera che in questo caso la curvaturae costante ma diversa da zero, perche la sfera deve contenere un dato volume,mentre nel caso della sella si forma questa particolare superficie perche nondeve contenere nessun volume ma e delimitata solo dal particolare telaio chesi e utilizzato.Cio vale anche se immergiamo l’altro telaio. Il risultato sara la sella tetra-edrale che ha la stessa caratteristica della sella precedente: in ogni punto cisono due direzioni perpendicolari, una che scende e una che sale, uguali maopposte. Quindi e anche questa sicuramente una sella di curvatura mediazero.

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A questo punto l’insegnante invita i ragazzi a prendere in mano altri duetelai che produrranno la elicoide e la catenoide: il primo avra una formadi elica, il secondo e formato da due circonferenze parallele con diametrouguale. I ragazzi immergeranno tali strutture e una volta formate le duelamine si osservera cio che ne risulta.

• Per quello che riguarda il telaio a forma di elica i ragazzi osservano cheaffinche si formi la lamina occorre “chiudere” il telaio utilizzando unfilo di cotone teso attraverso l’asse centrale del telaio, altrimenti non siforma nessuna lamina di sapone. In questo modo, una volta immersoil telaio nell’acqua saponata, si forma una pellicola compresa tra l’elicametallica e il filo di cotone in tutto simile a una “scala a chiocciola” oun “cavatappi” . Tale superficie viene chiamata elicoide. L’elicoide estata studiata dal matematico francese Meusnier negli ultimi decennidel 1700.

• Per quanto riguarda il secondo telaio, i ragazzi osservano che immer-gendolo in acqua e sapone e tirandolo fuori in modo parallelo allasuperficie del liquido, si forma dapprima una struttura composta datre superfici: una di esse e un semplice disco, di raggio minore di quellodegli anelli metallici, situato a meta strada e parallelo ad essi, sul cuibordo si incontrano altre due lamine (una che sale dall’anello inferioree una che scende dall’anello superiore). L’insegnante invita a far scop-piare la lamina circolare intermedia e ad osservare la superficie che siottiene: e la catenoide, che non e altro che la superficie che si ottienefacendo ruotare una catenaria (esempi di catenaria sono i fili dell’altatensione che sono appesi a due estremita e formano proprio una cur-va di questo tipo). Questa particolare superficie e stata studiata daEulero verso la meta del 1700.

La catenoide ha una simmetria assiale e collega i due anelli circolarirestringendosi verso il centro; in questo modo si ha che effettivamente

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l’area di questa lamina e minore della superficie laterale del cilindroche collega i due anelli.

Ora se si allontano progressivamente gli anelli metallici di contornola lamina a forma di catenoide si deforma, restringendosi sempre dipiu al centro, fino a richiudersi su se stessa con un “salto” finale cheproduce una coppia di dischi separati. Questa e in effetti la soluzionequando le circonferenze di bordo sono abbastanza lontane.

Infatti provando a confrontare le aree delle due configurazioni si hache l’area dei due cerchi e: 2πr2, mentre l’area della superficie lateraledel cilindro e: 2πrh, quindi se abbiamo che il raggio delle due circon-ferenze e minore rispetto all’altezza del cilindro si assiste al cambio diconfigurazione ossia alla formazione della coppia di dischi.

Dopo aver affrontato queste tematiche un po’ complicate, l’insegnantepuo procedere considerando i telai di forma curiosa come la “palla da ten-nis”, le “cuffie”, il “nastro di Moebius” tenendo presente che questi tre telainon sono presenti in tutti i gruppi.A primo sguardo i primi due telai sembrano solo dei fili di ferro piegati mal’insegnante dovra far notare ai ragazzi che tali strutture hanno evidentisimmetrie.

Partiamo dal gruppo che ha sul banco il telaio a forma di “palla da ten-nis”, ossia e un filo di ferro che riproduce la linea caratteristica delle pallineda tennis. L’insegnante invita a immergere tale struttura nella soluzionesaponosa e, una volta formata la lamina, i ragazzi devono osservarla espiegarla agli altri compagni.

La lamina che si forma e curiosa perche ricopre la struttura da una parteben precisa: dall’altra parte, per altro simmetrica alla precedente, non siforma nulla. Invitando i ragazzi a provare a rimmegere il telaio in acqua esapone e facendo attenzione a estrarlo nel modo contrario a prima, si nota

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che la lamina ora si forma proprio nella parte opposta alla precedente. Cioaccade perche il telaio presenta una simmetria.

Queste due diverse configurazioni che si formano da una parte all’altradel telaio si possono anche vedere deformando la lamina di sapone. Bastasoffiare contro la pellicola delicatamente e a un certo punto si assistera alcambio di configurazione.

Ora consideriamo il gruppo che possiede il telaio a forma di “cuffie”.E un telaio particolare formato da quattro archi di circonferenza uguali edisposti in modo da essere paralleli e perpendicolari a due a due. Da questaforma si possono ottenere tre configurazioni differenti ma tutte e tre stabili.In questo caso e consigliato all’insegnante l’utilizzo di modellini di plasticao cartoncino in modo da far vedere meglio le soluzioni saponose.Se il contorno e perfettamente simmetrico due di tali soluzioni sono trasforma-bili l’una nell’altra con movimenti rigidi del telaio e hanno quindi la stessaarea. In pratica, immergendo il contorno metallico nella soluzione si for-ma una lamina che ricopre due circonferenze parallele unite da un nastrodelimitato dagli altri due anelli.

L’altra soluzione si otterra allargando il telaio dalla parte del nastro disapone e soffiandovi contro. La costruzione di un modellino e semplice:

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basta ritagliare una pellicola di plastica o carta con questa forma:

e piegarla lungo il nastro.

La terza soluzione si ottiene lavorando un po’ sul telaio. Una volta im-merso abbiamo la medesima configurazione di prima. Stringiamo il contornoavvicinando le coppie di circonferenze parallele e immergiamo nell’acquasaponata, quindi si estrae e si mantiene stretto: si ottiene una strutturacomplessa che presenta due lamine intermedie disposte fra le coppie di anel-li del telaio, che ne chiudono il passaggio. Ora se si bucano queste lamineintermedie e se si allenta la presa si ottiene una superficie costituita da duenastri uniti fra loro nel centro del telaio.

Il modello qui e ancora semplice. Occorre una croce di plastica o carta:

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e bastera ripriegare due bracci opposti verso l’alto, gli altri due verso ilbasso e incollarne le estremita.

Ora lavorera il gruppo che ha il “nastro di Moebius”.E una struttura che assomiglia alla catenoide ma possiede un incrocio dei filimetallici. Immergiamo tale telaio in acqua e sapone solleviamolo in modo damantenere il telaio parallelo all’acqua. Si ottiene un sistema di lamine chesi intersecano, con in mezzo un disco che chiude il passaggio. Rompendoquest’ultima lamina otteniamo una superficie a una sola faccia, ossia unnastro di Moebius.

Ora se allarghiamo il contorno dalla parte opposta all’incrocio, il nastrosi deforma fino a saltare a una nuova configurazione cioe si forma un’unicalamina come nella foto.

Il modellino anche qui e molto semplice perche basta avere un rettangololungo e stretto, torcerlo di 180◦ nel senso della lunghezza e incollare le dueestremita.

Capitolo 3

Percorsi minimi

L’insegnante introduce l’argomento sui percorsi minimi. Infatti le lamine disapone possono anche essere utilizzate per i problemi legati alla lunghezzaminima. La prima domanda da porre ai ragazzi e:

qual e il cammino piu breve che collega due punti qualsiasi nelpiano?

I ragazzi intuiscono facilmente che la soluzione e il segmento che li congiunge.E cio e ben visibile attraverso le lamine di sapone.A tale scopo sono state costruite delle lastre trasparenti di plexiglass pianee parallele, separate da una distanza fissa e tenute unite da alcuni pioli per-pendicolari alle lastre.Per cui ora l’insegnante puo immergere due pioli di una qualsiasi lastramostrando ai ragazzi che si forma esattamente cio che loro hanno supposto,cioe una lamina attaccata ai due pioli e fa intravedere il segmento che uniscele loro estremita.La lamina che si e appena osservata avra, per quanto detto finora, area mi-nore di ogni altra lamina compresa tra le due lastre e delimitata dai duepioli. L’insegnante ora deve porre l’attenzione sulla lamina che si e forma-ta: risulta essere perpendicolare alle lastre e la sua forma sara di un nastrorettangolare di altezza pari alla distanza tra le lastre e di lunghezza L, parialla distanza tra i pioli. L’area della lamina assume in questo modo il valorepiu piccolo possibile, ed essendo l’altezza nel nastro costante risulta che Le la lunghezza piu piccola possibile di una curva nel piano (cioe disegnatasulla lastra) che congiunge gli estremi dei due pioli: la lamina di sapone checollega i due pioli, osservata attraverso una lastra trasparente, “disegna”appunto un segmento.Quindi il sistema di lastre e pioli fornisce un metodo valido per vedere lasoluzione del problema del cammino piu breve tra due punti fissati.

Fatta tale premessa l’insegnante puo enunciare il problema di Steiner,studioso di geometria dell’universita di Berlino, al principio del 1800:

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determinare il cammino avente la lunghezza totale minima fra

quelli che collegano un certo numero di punti assegnati nel piano.

Nel mondo delle bolle di sapone si puo trovare una soluzione a tale proble-ma. Vediamo come.

Iniziamo ad affrontare questo problema:

qual e il cammino di lunghezza totale minima che collega trepunti nel piano?

Possiamo immaginare di dover costruire delle strade che collegano tre cittasituate nei vertici del triangolo, in modo che partendo da ogni citta si pos-sano raggiungere, con un percorso il piu corto possibile, le altre due.I ragazzi possono iniziare a formulare le possibili soluzioni. Si puo partiredisegnando i vertici di un triangolo equilatero di lato l = 8 cm. Le possibilitasono svariate (i lati si possono semplicemente misurare con un righello):

percorso = 8 · 3 = 24 cm

altezza ≃ 6, 9 cm

percorso ≃ 8 + 6, 9 ≃ 14, 9 cm

I tre segmenti misurano:a ≃ 4, 7 cm, b ≃ 4, 7 cm, c ≃ 4, 7 cm

percorso ≃ 4, 7 + 4, 7 + 4, 7 ≃ 14, 1 cm

Da questi semplici conti dovrebbe emergere che solamente l’ultimo per-corso ha la lunghezza minore fra tutti!

L’insegnante invita ora i ragazzi a immergere nell’acqua saponosa lalastrina triangolare che hanno sul banco. Dopo averla estratta noterannosubito che le lamine si dispongono proprio come hanno appena calcolato: eun sistema di tre lamine rattangolari, ognuna attaccata ad un singolo pio-lo, che si incontrano al centro del triangolo. Ma il punto di incontro dellelamine non e per nulla casuale; l’insegnante invita a prendere il goniometroe a misurare proprio sulla lastra l’angolo che si forma. L’angolo formato daciascuna coppia di lamine e di 120◦: dal centro del triangolo si vedono i latisotto un angolo ciascuno di 120◦.

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Ora proviamo a vedere che cosa succede prendendo un triangolo rettan-golo. La lastrina da utilizzare e quella con quattro pioli disposti nei verticidi un quadrato immergendone pero solo tre.Anche qui vediamo alcune possibilita:

diagonale ≃ 11, 3 cm

percorso ≃ 8 · 2 + 11, 3 ≃ 27, 3 cm

percorso = 8 · 2 = 16 cm

I tre segmenti misurano:a ≃ 6, 5 cm, b ≃ 6, 5 cm, c ≃ 2, 5 cm

percorso ≃ 6, 5 + 6, 5 + 2, 5 ≃ 15, 5 cm

L’ultima, secondo i nostri calcoli, dovrebbe essere la soluzione. Immer-giamo la lastra e con un po’ di attenzione si potra vedere che anche in questocaso la nostra soluzione combacia con le lamine di sapone e se si misura anco-ra con il goniometro l’ampiezza degli angoli ottenuti al centro del triangolo,si vedra che ancora una volta sono di 120◦.

Il punto in cui le tre lamine si uniscono al centro del triangolo e un puntoben preciso che ha la medesima proprieta osservata prima e che si sa cal-colare per ogni triangolo. Tale punto, nel triangolo, e detto punto di Fermat.

Verso la meta dell’Ottocento, proprio con osservazioni del tipo prece-dente, il fisico sperimentale Plateau riuscı a convincersi che le lamine di

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sapone possono incontrarsi solo in modo speciale, e formulo la cosidettaprima legge di Plateau:

Le lamine di sapone possono incontrarsi soltanto a grup-

pi di tre lungo uno “spigolo liquido”, formando angoli

uguali di 120◦.

Ora l’insegnante puo dare il successivo problema:

qual e la rete stradale piu breve che collega quattro citta A, B, C

e D disposte nei vertici del quadrato?

Si puo considerare per comodita un quadrato di lato l = 8 cm e calcolarela lunghezza di alcune configurazioni:

percorso = 8 · 4 = 32 cm

percorso = 8 · 3 = 24 cm

diagonale ≃ 11, 3 cm

percorso ≃ 11, 3 · 2 ≃ 22, 6 cm

I segmenti misurano:a ≃ 4, 6 cm, b ≃ 3, 4 cm

percorso ≃ 4, 6 · 4 + 3, 4 ≃ 21, 8 cm

Ancora una volta la soluzione di lunghezza inferiore a tutte le altre e l’ul-tima. In questo ultimo percorso, infatti, si vede che i vertici sono congiuntiin due punti al centro del quadrato, cioe abbiamo due punti di diramazioneo di Steiner, con le medesime caratteristiche di prima: tutti gli angoli mis-urano ancora 120◦.L’insegnante puo anche far vedere che ruotando la soluzione di 90◦ si ottieneun’altra rete minima.Sperimentalmente basta soffiare sulla lamina centrale della H distorta pervederla apparire direttamente fra le lastre.

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Ora, se l’insegnante lo ritiene opportuno, puo far vedere molto rapida-mente le soluzioni di rete minima con 5 e 6 pioli.Si puo far intuire la soluzione di queste due lastre ricordando quello che si efatto finora: per il triangolo si era ottenuto un incrocio quindi un solo puntodi diramazione, per il quadrato due, quindi sembra naturale che nel pen-tagono saranno tre i punti di diramazione e nell’esagono saranno quattro.A tal punto l’insegnante immerge prima il pentagono in acqua e sapone eda una conferma a quanto detto sopra:

Poi immerge l’esagono e spiega che per l’esagono ci sono tre configu-razioni interessanti: le prime due che hanno esattamente quattro punti diSteiner mentre la terza, che si forma proprio lungo cinque lati dell’esagono,deriva dal fatto che gli angoli sono gia di 120◦ e anzi, facendo un po’ di contiquest’ultima risulta essere la rete di lunghezza minima fra tutte le posssibilireti che collegano i vertici di un esagono regolare.

Puo essere interessante far lavorare i ragazzi proponendo due nuove las-tre. Alcuni gruppi avranno una lastra con i pioli a forma di T, cioe i vertici

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di un triangolo equilatero con il quarto piolo fissato sul piede dell’altezza,mentre gli altri avranno la lastra a forma di rombo con un piolo nell’incrociodelle due diagonali. Prima di vedere la soluzione con le lamine di sapone eopportuno far ragionare i ragazzi e ricordare la prima legge di Plateau. Nonsara cosı difficile arrivare alle soluzioni:

• nel triangolo si formeranno in tutto quattro lamine di sapone: in unameta del triangolo di partenza si forma la rete minima triangolare conun punto di Steiner, mentre il quarto punto (un vertice della base)sara congiunto con un segmento. Per simmetria si puo ottenere un’al-tra soluzione uguale alla precedente;

• mentre nel rombo la soluzione e formata da sei lamine di sapone condue punti di Steiner. In pratica sono le reti minime di due trian-goli opposti fra loro. Anche qui per simmetria si puo vedere un’altrasoluzione.

Capitolo 4

I poliedri

L’insegnante parte ponendo ai ragazzi la domanda:

perche le bolle hanno una forma sferica?

E interessante iniziare questa parte di esperimenti producendo delle bolle disapone usando dapprima solo il telaio circolare e facendo emergere proprioil fatto che, non appena le bolle si stabilizzano un po’ cercano di assumereuna forma sferica.Ma il fatto di assumere la forma sferica non e dato dall’utilizzare il telaiocircolare, infatti invitando i ragazzi a usare il telaio di forma quadrata otriangolare si puo subito vedere che le bolle che si producono dopo un po’tendono sempre alla forma sferica. Questo per lo stesso fatto descritto nelleprime esperienze. La sfera nello spazio si comporta nello stesso modo del-la circonferenza sul piano: quindi la lamina saponosa si dispone come unasfera proprio per il fatto che, a parita di volume, la sfera e quella che ha lasuperficie di area minima. Ecco quindi che il principio espresso per le curvepiane vale anche per le superfici nello spazio.

Quindi la risposta alla domanda precedente e che: fra tutti i solidi

dello spazio aventi volume fissato, la sfera ha la superficie di area

minore possibile.

Quando la bolla si appoggia su una superficie piana (bagnata di acquae sapone altrimenti scoppia), assume l’aspetto di una semisfera o semibollasempre per il fatto che ancora una volta la superficie e la minima possibile.

Ma che cosa succede se avviciniamo due semibolle in manierache si incontrino?

L’insegnante invita i ragazzi a provare a fare due bolle attaccate insiemesul loro banco con le cannucce prima bagnando in acqua e sapone sia lecannucce che il banco, e a osservare come si comportano.

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Quando le due bolle si uniscono l’una all’altra, si forma una doppia bollacon tre lamine di sapone: due calotte sferiche che racchiudono le due bollee una lamina intermedia che le mantiene separate.Le tre lamine si incontreranno lungo uno “spigolo liquido” formando angolidi 120◦, come dice la prima legge di Plateau. Si puo inoltre far osservareche le calotte appoggiano sul piano in modo perpendicolare e che la laminaintermedia e incurvata verso la bolla piu grande per un fatto di pressioneall’interno delle bolle stesse.

E che succede se avviciniamo tre semibolle?

I ragazzi costruiscono tre semibolle raggruppate insieme e osservano il lorocomportamento: ci sono sei lamine in totale, tre calotte sferiche e tre super-fici di separazione; la prima legge di Plateau continua a valere ma questavolta si formano ben quattro spigoli liquidi.

Per comprendere come si congiungono gli spigoli liquidi, l’insegnante in-vita a prendere il telaio tetraedrale, ossia a forma di una piramide regolareavente quattro facce triangolari equilatere, e cerca di condurre i ragazzi ver-so la soluzione corretta, sottolineando la somiglianza di questo problemacon quello del percorso minimo fra tre vertici di un triangolo equilatero: ilmeccanismo e analogo, a differenza che ora non siamo piu sul piano ma nellospazio tridimensionale.

Immergiamo il telaio. Cio che risultera e una struttura di lamine moltoparticolare.

Provando a contare le facce e gli spigoli si ottengono: sei pellicole pianecongruenti, ciascuna a forma di triangolo isoscele avente base su uno spigolodel tetraedro e vertice nel suo centro, dove le sei lamine si incontrano. Glispigoli liquidi sono quattro quindi si puo notare che le sei lamine triangolarisono unite e gruppi di tre lungo questi quattro spigoli liquidi, che formanoi lati obliqui dei triangoli isosceli e ciascuno di essi e lato di tre triangolidiversi, disposti a coppie a 120◦, soddisfacendo la prima legge di Plateau.Ma si puo anche osservare che i quattro spigoli liquidi si congiungono nel

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centro del tetraedro, formando a coppie angoli uguali.

Questo nuovo fenomeno che abbiamo osservato nel tetraedro, ha unavalidita generale: le lamine di sapone soddisfano sempre, oltre alla primalegge di Plateau, anche la seconda legge di Plateau:

In un sistema di lamine di sapone gli spigoli liquidi, in

ognuno dei quali arrivano tre lamine a 120◦, s’incontrano

soltano in gruppi di quattro, formando angoli uguali di

circa 109◦.

Ora, dopo aver analizzato il tetraedro si prova a analizzare il telaiocubico:

immergendo il telaio cubico che lamina si formera?

Come nel caso del tetraedro la soluzione di tale problema ha qualche somiglian-za con il percorso minimo tra i quattro vertici di un quadrato.La soluzione che forse per prima si puo immaginare, e che da ogni spigolodel telaio si stacchi una lamina triangolare e che tutte queste dodici lamineabbiano un vertice nel centro del cubo. Tale struttura pero dovrebbe verifi-care le due leggi di Plateau: in effetti la prima legge e pienamente rispettataperche le lamine si incontrano a gruppi di tre alla volta rispettando la leggedei 120◦; ma la seconda legge e evidentemente violata essendo otto le lineeche concorrono nello stesso punto.

A questo punto si invitano i ragazzi a immergere il telaio e vedere chesuccede.La soluzione e alquanto interessante. Si formano tredici lamine tutte de-limitate da uno spigolo del cubo eccetto una, che si incontrano a gruppidi tre lungo dodici spigoli liquidi. A ben guardare tale sistema rispetta leregole degli angoli e le lamine che si staccano dal reticolo metallico vanno aincontrarsi all’interno su una lamina piatta “quadrata” centrale, lamina che

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risulta essere disposta parallelamente a due facce opposte del telaio cubico.In un certo senso, questa lamina quadrata e l’analogo, in tre dimensioni,del segmento centrale che si presenta nel percorso di lunghezza minima con-giungente i vertici di un quadrato.

Ora l’insegnante deve far notare ai ragazzi alcune importanti caratteris-tiche.

Ad un primo sguardo le linee di intersezione che si formano all’internodel cubo, compresi i lati della pellicola al centro, potrebbero sembrare deisegmenti di retta. In realta non e cosı, sono tutte incurvate e questo accadeperche altrimenti verrebbero violate le leggi sugli angoli!Inoltre complessivamente si formano cinque lamine piane: quella “quadrata”centrale e le quattro superfici triangolari ad essa perpendicolari. Le rima-nenti otto lamine trapezoidali sono invece incurvate.

Un’altra caratteristica e che tale struttura mostra evidenti simmetrie: inpratica ci sono tre posizioni di equilibrio, una con al centro un “quadrato”orizzontale e le altre due con un “quadrato” verticale ortogonale a quelloprecedente. Il passaggio da una configurazione all’altra non e difficile, bastasoffiare contro la lamina centrale. L’insegnate eseguira tale operazione unpo’ di volte in modo che anche gli studenti siano in grado di rifarla.

Interessante e soffermarsi sul passaggio di configurazione. Soffiando con-tro i lati della lamina centrale si modifica la struttura fino a raggiungereuna posizione in cui il quadratino si riduce a un punto, situato circa nelcentro del cubo. Questa posizione non e stabile, come analizzato prima, percui immediatamente si avra l’altra posizione stabile che presenta la lamina“quadrata” al centro.

L’ultima domanda da porre ai ragazzi potrebbe essere:

siete veramente sicuri che le bolle siano tutte sferiche?

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La risposta dovrebbe essere affermativa.Allora l’insegnante prende il telaio tetraedrico e cubico, uno alla volta loimmerge nell’acqua saponata e, come analizzato prima, si formara la strut-tura di area minima. Reimmerge poi solo la base del telaio e lo estrae. Siforma in tal modo un’ulteriore lamina di sapone che modifica la struttura,formando al centro del telaio tetraedrico proprio una “bolla tetraedrica” enel telaio cubico una “bolla cubica”.Dopo aver stupito i ragazzi, una alla volta l’insegnante fara scoppiare tuttele lamine che trattengono la bolla interna, che tornera ad avere la formasferica liberandosi dal telaio!

Ringraziamenti

Questa ultima tappa e il frutto di un periodo di vita bellissimo pieno dinuove esperienze durante il quale ho comunque imparato ad affrontare e asuperare molti ostacoli, a partire dal fatto di restare lontano da casa e dalmio paese al quale non ero per nulla abituata, dall’accettare i risultati degliesami che talvolta non andavano bene. Ma alla fine sono giunta al traguardoanch’io!!! Questa esperienza mi ha dato anche modo di conoscere tantissimepersone nuove a partire dai professori, gli esercitatori e tutti i miei compag-ni... ognuno speciale a modo suo, e dalle quali ho potuto apprendere moltecose nuove.

Parto a ringraziare tutta la mia famiglia che mi ha dato la possibilitadi compiere questo cammino di studi. In particolare mia mamma che miha sempre spronato ad andare avanti anche quando le cose non sembravanoandare sempre bene, mio papa e i miei fratelli, mia nonna con tutte lesue preghiere prima degli esami e tutti i parenti che ansiosi mi chiedevanosempre com’erano andati gli esami. Poi il mio fidanzato Denis che mi hasempre incoraggiato e rispettato in tutte le mie scelte e talvolta sopportatonei momenti di rabbia.

Un ringraziamento particolare a tutti gli amici dell’universita, in parti-colare ai coinquilini di “casa Costanzi”: a Marco per tutte le risate fatteinsieme e per l’immenso aiuto che mi ha dato per portare a termine questoelaborato, a Thomas e a Cipro per la loro allegria e spensieratezza, a Mariaper tutte le volte che si e occupata di noi in modo affettuoso, a Margheperche mi e sempre stata vicina, a Sabry per aver rinnovato l’ultimo periodoin appartamento.Grazie anche a Rosj per le chiaccherate fatte insieme e per la sua allegria,Ilaria per le cene condivise e a tutti i compagni di corso: Michele, Simo,Silvia, Alice, Sara, Trentista, Ester, Giorgio, Demy, ...

Grazie a tutti i miei amici della banda “G. Verdi” del mio paese, inparticolare al presidente Luisa e al vicepresidente Sergio, che hanno sempreaccettato tutte le mie assenze nei tre anni vissuti a Trento e che non mihanno mai fatto pesare questo fatto, anzi mi sono sempre venuti incontro.Grazie alle ragazze del coro che anche loro hanno capito e rispettato questamia scelta. Grazie anche a: Nadia per i passaggi in macchina, Eleonora,

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Arianna, Simone, Viviano, Davide, Claudia, i gemelli, Michele che si sonosempre interessati a me anche se ultimamente li ho un po’ trascurati.

Un rigraziamento lo devo fare al dirigente scolastico dell’istituto com-prensivo del mio paese che in pochissimi giorni mi ha organizzato un incontrocon il mio professore delle scuole secondarie di primo grado di matematicaRighetto che, fra l’altro, ho rivisto molto volentieri e che gentilmente si eprestato a leggere e rivedere il mio eleborato dandomi alcune indicazioni suiprogrammi di matematica e che comunque e rimasto molto affascinato daquesti, per lui nuovi argomenti, giudicandoli adatti e utili ai ragazzi dellescuole secondarie di primo grado.

Infine ringrazio il mio relatore, il professor Tamanini che mi ha dato lapossibilta di effettuare uno stage con lui presso la Facolta di Scienze e difare questo elaborato su un argomento che veramente mi ha coivolto dallaprepazione della mostra a Modena fino alla stesura e alla discussione dellatesi.

29 marzo 2006

Silvia Dirupo

Bibliografia

[1] Richard Courant, Herbert Robbins: CHE COS’E LA MATEMATICA?,Universale Bollati Boringhieri.

[2] Schede e Dispense create presso LRM3D2 (Laboratorio di Ricerca suiMateriali e i Metodi per la Didattica e la Divulgazione della Matematica)della Facolta di Matematica, Universita degli studi di Trento. Referente:Italo Tamanini.