Apa Itu Geometri

PROGRAMPENSISWAZAHANGURUINSITTUT PENDIDIKAN GURU KAMPUS TUN ABDUL RAZAKMTE 3103: GEOMETRI

BILPERKARAMUKA SURAT

i

BIODATA PELAJAR2

ii

BAHAGIAN A Apa itu geometri Pengenalan Teselasi Print Screen Teselasi Sekata Print Screen Teselasi Separa Sekata Print Screen Teselasi Tidak Sekata Print screen Geometri Fractal

4

iii

BAHAGIAN B Pengenalan Pepejal Platonik Pepejal Archimedean Pepejal Keple Poinsot

108

iv

BAHAGIAN C Pengenalan Apa menyebabkan pop up? Element Pop Up Contoh hasil pop up Hasil kerja pop up (kad ucapan)

126

v

REFLEKSI KENDIRI133

vi

KOLABORASI136

vii

RUJUKAN139

viiiLAMPIRAN141

1) APA ITU GEOMETRI?Geometriadalah salah satu element yang sangat penting dalamsainsyang membolehkanparaprosesintelektual untuk membuat ramalan(berdasarkan pemerhatian)tentang duniafizikal.Kuasageometri dari segiketepatandan utilitidalam proses penolakan,adalah sangat mengagumkan dantelahmenjadi salah satumotivasiyangkuat untuk kajian logik dalamgeometri.H. M. S. Coxeter(1907-2003)Kenyataan di atas adalah salah satu pendapat tokoh matematik moden berkenanaan tentang apa itu geometri. Terdapat pelbagai ulasan dan pendapat oleh tokoh-tokoh mengenai geometri. Apa itu geometri? Geometri(Greek; geo = bumi, metria = ukuran) adalah sebahagian darimatematikyang mengambil berat persoalanan mengenai saiz, bentuk, dan kedudukan relatif dari rajah dan sifat ruang. Geometri ialah salah satu dari sains yang tertua. Pada mulanya ia hanyalah sebahagian jasad dari pengetahuan praktikal yang mengambil berat denganjarak,luasdanisipadu, tetapi pada abad ketiga S.M. geometri telah diletakkan di dalambentuk aksiomolehEuclidmembentukGeometri Euclid, yang hasilnya menetapkan piawai untuk beberapa abad berikutnya. Bidangastronomi, khususnya memetakan bintang-bintang dan planet-planet pada sfera cakerawala, bertindak sebagai sumber-sumber geometri terpenting dari semasa satu setengah alaf berikutnya.Geometri adalah mengenai tentang kajianbentukdan juga mengenai konfigurasi. Ia juga mengenai tentang cubaanuntukmemahami dan mengklasifikasikanruangdalam pelbagai konteksmatematik.Untuk ruangdengan banyaksifat simetri, kajian dalam persekitaran member tumpuan terhadap kepada kawasan yang tidak berubah di dalam sifat simetri. Cuba kita lihat geometri boleh didapati dimana-mana di persekitaran kita.

2) PENGENALANTeselasi membawa maksud aktiviti menyusun atau mengatur bentuk atau corak secara berulang-ulang tanpa meninggalkan ruang kosong. Bentuk yang di teselasi meliputi latar belakang tanpa meninggalkan jurang dan tanpa pertindihan. Definisi lain bagi teselasi ialah jubin,yang bermaksud menyusun jubin menutupi ruang rata seperti siling, dinding atau lantai.Teselasi digunakan dalam matematik dan juga sebagai seni. Di dalam konsep matematik,teselasi ialah satu proses untuk meliputi sepenuhnya seluruh satah dengan bentuk-bentuk yang sama saiz. Teselasi boleh digunakan untuk memaparkan bentuk 2D. Selain itu, teselasi juga dikenali sebagai semetri. Dalam teselasi yang lengkap, bentuk atau corak yang asli dapat di lihat diulang yang akan membentuk corak. Terdapat 3 bentuk jenis teselasi iaitu teselasi tetap, teselasi separa tetap dan teselasi pelbagai. Teselasi tetap merujuk kepada corak yang dihasilkan dari bentuk yang sama seperti bentuk segitiga, segiempat dan heksagon. Bentuk tersebut disusun secara berulang-ulang sehingga menutupi ruang yang kosong.

3) JENIS-JENIS TESELASI(a) Teselasi Sekata Teselasi sekata adalah keseluruhannya wujud daripada poligan sekata yang kongruen terhadap semua pertemuan bucu bertemu bucu. Hanya terdapat tiga jenis teselasi sekata yang menggunakan bentuk segitiga sama sisi,segi empat tepat dan heksagon. Di bawah adalah contoh-contoh teselasi sekata;

Segitiga Segiempat HeksagonGambar 1

(b) Teselasi Separa Sekata Teselasi separa sekata pula terbentuk dari 2 atau lebih corak poligen yang di susun untuk melitupi semua ruang. Corak poligen yang digunakan mesti mempunyai sudut atau bucu yang sama dan dapat bercantum di antara corak yang lain agar tiada ruang kosong terbentuk di antara susunan bentuk teselasi. Terdapat 8 jenis contoh bentuk jenis teselasi separa sekata seperti yang ditunjukkan oleh gambarajah di bawah.

Gambar 2

(c) Teselasi Tidak Sekata Contoh bentuk teselasi yang seterusnya ialah teselasi pelbagai di mana ia menggunakan bentuk yang beralun atau berbentuk bebas. Namun begitu, corak tersebut tetap disusun secara berulang-ulang sehingga menghasilkan bentuk corak teselasi. Terdapat pelbagi jenis teselasi tidak sekata dan dibawah ditunjukkan beberapa contohnya.

Gambar 3

Sementara itu, teselasi juga amat terkenal dalam bidang seni dari zaman purba Greek sehinggalah kini. Teselasi mula-mula digunakan dalam bentuk mosaic atau jubin pada kira-kira pada tahun 3000 SM di Mesopotamia Purba. Menurut M. C. Escher (1898-1972) yang merupakan artis terkenal zaman purba Greek telah mengamalkan penggunaan teselasi dalam hasil seni yang dihasilkan oleh beliau. Menurut Escher, teselasi juga terdapat dalam 4 jenis yakni cara menyusun motif tersebut dapat di gerakkan secara rawak menggunakan translasi,pantulan, putaran dan pantulan sereten. Gambarajah di bawah menunjukkan 4 jenis teselasi yang digerakkan mengikut cara Escher.

Translasi Pantulan

Putaran Pantulan seretanGambar 4 Kebanyakan karya beliau tidak hanya menggunakan corak teselasi tunggal malah beliau mengunakan corak yang boleh memaparkan pelbagai imej. Salah satu contoh karya beliau yang menggunakan teknik tersebut ialah Sky and Water. Karya tersebut amat terkenal kerana berjaya menonjolkan bukan sahaja satu imej tetapi lebih dari satu hasil dari teknik teselasi tersebut.

Sky and WaterGambar 5

Kita boleh membina banyak corak teselasi yang menarik denggan menggunakan satu bentuk sahaja atau berbagai bentuk. Banyak contoh corak teselasi yang boleh didapati dalam kehidupan seharian kita hasil dari pelbagai bentuk geometri yang ada.

Klik pada menu Graph dan pilih Grib Form kemudian klik pada Square Grid untuk membentuk graf.Dalam pembinaan teselasi ini, Geometer sketchpad 4.06m digunakan

Klik pada Straighedge Tool pada Tool bar di sebelah kiri untuk membina garis lurus.Kemudian klik pada Snap Point dalam menu Graph untuk memudahkan meletakkan titik (point)

Pilih Selection Arrow Tool untuk proses seterusnyaUntuk membina teselasi sekata, bina garis lurus atau sisi pertama untuk membuat teselasi sekata heksagon.

Kemudian klik pada Transform kemudian pilih Mark Center untuk membuat titik yang dipilih tadi untuk menjadikannya titik tengah pada garisan tadi.Langkah yang seterusnya membina bentuk heksigon dengan membina sudut darjahnya. Klik pada satu titik (points) pada garisan yang telah dibina tadi.

Seterusnya klik pada garisan dan setiap titik tersebut. Garisan dan titk yang telah dipilh akan bertukar warna merah.Pada menu Transform pilih Rotate

Di sini kita dapat lihat garisan kedua keluar dan bersudut 120 darjah. Kemudian klik pada titik yang terakhir.Taip 120 degrees pada kotak kosong kemudian tekan Rotate

Ulang proses seperti yang sebelumnya dengan menukar darjah kecerunan garis kepada 120 darjah.Lakukan proses yang sama sehingga muncul bentuk heksagonJadikan titik yang terakhir menjadi Midpoint dengan menekan double clik pada klik kiri tertikus. Disini kita akan lihat muncul getaran warna hitam yang menunjukkan titik berkenaan telah dijadikan Midpoint.

Untuk menghilangkan paksi y dan paksi x, klik pada garisan paksi dan klik kanan tertikus. Kemudian muncul bar dan pilih Hide Axis untuk menghilangkan paksi tersebutSetelah wujudnya bentuk heksagon proses seterusnya dengan menghilangkan graf dengan memilih Hide Graf pada Graph tool

Double click pada satu garisan sehingga muncul berbentuk seperti yang ditunjukkan untuk menjadikannya Mark Mirror.Tekan pada garisan pada bentuk heksagon sehingga warna bertukar kepada merah

Fungsi Reflect adalah untuk memantul bentuk teselasi tadiTerdapat pelbagai kaedah transformasi teselasi. Salah satunya ialah pantulan. Pergi ke Transform dan pilih Reflect

Bentuk heksagon akan pelbagai seperti ini setelah melakaukan proses yang sama secara berulang-ulang. Selain dengan kaedah pantulan, kaedah translasi. Pilih garisan seperti yang ditunjukkan.Ulang proses yang sama untuk membina lebih banyak teselasi heksagon. Pastikan pilih dahulu garisan untuk memantul teselasi kea rah yang kita ingini

Kemudiaan pergi ke Transform dan pilih TransletPilih salah satu garisan untuk menjadikan Mirror dengan double click.

Seterusnya mewarna heksagon. Pilih pada semua titik penjuru pada satu heksagon sahajaKita dapat lihat bentuk heksagon akan diteselasi dengan berganda. Teruskan proses tersebut sehingga teselasi heksagon memenuhi ruang yang diinginiKemudian paparan akan keluar seperti berikut. Taip 6 pada By dan 0 pada At. Klik Translet

Disini kita dapat lihat heksagon telah diwarnakan. Untuk menukar warna pada heksagon, kita boleh pergi ke Display Tool. Di bawah Display pilih Colour dan disitu anda boleh menukar warna mengikut kegemaraan anda.Pergi ke Construct dan pilih Hexsagon Interior.

Double click pada satu garisan pada heksagon untuk menjadikannya Mirror side.Selain teknik tadi, ada cara lain untuk mewarna heksagon. Klik pada heksagon yang telah diwarnakan. Warna akan diliputi jerjaring untuk menunjukkannya telah dipilih

Kita dapat lihat heksagon pada satu lagi diwarnakan. Proses ini dikenali sebagai pantulan.Pilih Transform kemudian klik pada Reflect

Teruskan proses tadi secara berulang-ulangAnda boleh menukar warna yang diingini iaitu klik pada Display dan pilih colour.

Pergi ke Transform dan pilih TransletWarna heksagon denga kaedah translasi. Double click pada salah satu garisan pada heksagon yang telah diwarnakan

Ulang proses tadi sehingga semua heksagon telah diwarnai.Paparan sepert ini akan keluar. Taip nombor 6 pada By, manakala 0 pada At

Proses akhir simpan hasil kerja . Pergi ke File pilih Save. Taip File name dan klik save.

CONTOH TESELASI SEKATA YANG LENGKAP

Pergi Graph kemudian pilih Snap Point untuk memudahkan membina titik.Seperti proses yang lepas, bina terlebih dahulu graf bagi memudahkan pembinaan teselasi nanti.

Klick Selection Arrow toolTekan straightedge tool untuk bermula membina garis lurus

Kemudiaan pergi ke Transform dan pilih Rotate. Pada kotak yang ditunjukkan taip 120 darjah untuk kecerunan garisan tadi dan klik Rotate.Double click pada titik hujung pada garisan yang telah dibina tadi untuk menjadikan Middle point

Hilangkan grid dengan memilih Hide Grib pada Graph bar.Di sini kita dapat lihat garisan baru yang bersudut 120 darjah muncul. Lakukan proses yang sama sehingga terbinanya bentuk heksagon. Pastikan setiap darjah adalah 120.

Langkah seterusnya adalah dengan membuat transelasi bentuk heksagon bagi membentuk heksagon yang lain yang sama saiz. Dengan double click tertikus pada titik pada salah satu heksagon sehingga simbol berwarna hitam keluar. Ini telah menjadikan titik tersebut sebagai titik tengah (middle Point)Untuk menghilangkan paksi y dan x, klik pada paksi yang berkenaan sehingga warna merah kelihatan. Right click tertikus sehingga satu bar keluar dan pilih Hide Axis.

Pergi ke Transform dan klik pada TranslateKlik pada setiap garisan pada bentuk heksagon sehingga warna merah muncul untuk menunjukkan bentuk tersebut telah dipilih untuk proses seterusnya

Setelah itu, anda akan mendapat bentuk heksagon yang dikedua. Kaedah ini menggunkana kaedah Translasi.Pada paparan yang muncul, Sila isi nombor pada ruang Bydan At sehingga bentuk mengikut yang diingini. Seperti dalam contoh ini, saya meletak 4 dan 0. Klick Translate

Pergi ke Transform dan pilih RotateSeterusnya,heksagon boleh digandakan dengan kaedah yang lain. Klik pada titik pont dengan double click tertikus.

Kita dapat lihat bentuk heksagon akan bertambah. Lakukan proses yang sama secara berulang-ulang. Disini secara tidak segaja wujudnya bentuk segitiga diantara heksagon itu. Selain kaedah ini terdapat satu kaedah untuk menggandakan heksagon. Langkah pertama dengan double click pada salah satu titik pada heksagon untuk menjadikannya middle point.Paparan seperti berikut akan keluar. Taip 180 darjah pada kotak yang berkenaan. Ini berfungsi untuk memutar bentuk heksagon kearah yang kita ingini. Klik Rotate

Kemudian pergi ke Transform dan pilih Translate. Muncul paparan seperti ditunjukkan dan ubah nombor pada By dan At kepada nombor yang sesuai untuk menbentuk bentuk yang sesuai.Pilih semua bentuk yang telah dibina tadi dengan menahan klik kiri tertikus sehingga muncul kotak putus garisan. Bentuk akan bertukar berwarna merah menunjukkan ia telah dipilih .

Seterusnya proses mewarna. Pilih setiap titik pada salah satu bentuk heksagonPada akhir proses, anda akan dapat heksagon yang telah digandakan dengan menggunakan teknik translasi.

Untuk menukar warna pergi ke Display dan pilih Colour.Pergi ke Construct dan pilih Hexagon Interior

Langkah seterusnya dengan mewarna heksagon yang lain. Double click pada salah satu titik heksagon yang telah diwarnai.Heksagon akan diwarnakan seperti ditunjukkan pada gambar ini.

Pergi ke Transform dan pilih Rotate.Kemudian klik pada heksagon yang telah diwarnai. Terdapat berbentuk jejaring jika heksagon itu telah diklik.

Klik pada setiap heksagon yang telah diwarnai.Bentuk heksagon yang lain akan diwarnai dengan kaedah Rotate. Selain kaedah ini terdapat pelbagai cara untuk meawrna heksagon. Salah satu nya dengan kaedah Translasi. Double click pada salah satu titik pada heksagon yang telah diwarnakan.

Lakukan proses yang sama secara berulang-ulang sehingga semua heksagon diwarnai.Kemudian pergi ke Transform dan pilih Translet. Taip 6 pada By dan 0 pada At

Pergi ke Construct dan pilih Triangle Interior. Kita dapat lihat bentuk segitiga tadai telah diwarnakan.Langkah seterusnya untuk mewarna segitiga. Klik pada setiap titik pada bentuk salah satu segitiga.

Untuk mewarna bentuk segitiga yang lain gunakan kaedah Rotate. Double click pada titik pada salah satu segitiga untuk menjadikannya middle point.Untuk menukar warna pada segitiga tadi, pergi ke Display dan klik pada Colour.

Kemudian pergi ke Transform dan pilih Rotate.Klik pada segitiga ayang telah diwarnakan sehingga bentuk jejaring muncul.

Kita akan lihat segitiga salah satu akan diwarnakan. Lakukan proses yang sama sehingga semua segitiga diwarnakan.Muncul paparan Rotate. Ubah sudut darjah pada kotak yang sesuai untuk memastikan segitiga yang lain diwarnakan.


Pada akhir proses anda akan dapat semua bentuk heksagon dan segitiga telah diwarnai.

CONTOH TESELASI SEPARA SEKATA YANG LENGKAP

Pilih Straightedge tool untuk bermula membuat segmentMulakan dengan membina graf dan memilih Snap Point untuk memudahkan membina segment (garisan dan point) nanti.

Kemudian pilih Selection Arrow Buat garisan lurus

Klik pada segment dan points sehingga bertukar menjadi merah. Double click pada salah satu point pada segment yang telah dibina tadi untuk menjadikannya middle point

Seperti mana yanga kita dapat lihat, muncul segment baru yang bersudut 60 darjah. Ulang proses yang sama sehingga membentuk segitiga. Kemudian pergi ke Transform dan pilih Rotate. Pada paparan Rotate taip 60 darjah kecerunan

Setelah bentuk segitiga selesai, pergi ke graph dan klik pada Snap points Pastikan darjah kecerunan element adalha 60 darjah

Untuk menghilangkan grib, pergi ke Graph dan pilih Hide GribUntuk menghilangkan paksi y dan x, klik pada paksi yang berkenaan sehingga warna merah kelihatan. Right click tertikus sehingga satu bar keluar dan pilih Hide Axis.

Bina segment dari arah bucu ke dalam segitiga.Langkah seterusnya pergi ke Straightedge tool untuk memulakan membina segment

Seterusnya sambung segment tadi ke bucu segitiga.Kemudian sambung segment tadi dan buat segment baru keluar dari segitiga

Double click pada salah satu point untuk menjadikan middle pointProses seterusnya pilih Selection Arrow Tool

Langkah seterusnya dengan mebuat segment tadi berputar kea rah 60 darjah dengan pergi ke Transform dan pilih Rotate. Taip 60 darjah pada paparan yang muncul.Pilih semua segment dan point yang baru terbina tadi .

Pilih satu segmentSegment baru akan muncul seperti ini.

Muncul titik tengah pada segment yang dipilih tadi.Pergi ke construct dan pilih midpoint untuk membina titik tengah segment yang telah dipilih tadi.

Proses seterusnya membina segment baru. Pilih Straightedge tool.Double click pada titik tengah tadi untuk menjadikannya middle point.

Kemudian bina segment dari segment yang baru bina tadi kearah bucu segitiga.Bina segement dari titik tengah tadi dan mengarah ke dalam segitiga.

Pastikan titik tengah telah dijadikan middle point dengan double click pada titik tersebut.Pilih Selection Arrow.

Kemudian pergi ke Transform dan pilih Rotate. Taip 180 darjah pada paparan yang muncul.Pilih Segment yang baru dibina tadi dengan klik padanya

Double click pada salah satu point untuk menjadikannya middle point.Segment tadi telah diputarkan kepada 180 darjah seperti ini. Kemudian pilih semua segment dan point kecuali segment yang berbentuk segitiga

Kita dapat lihat muncul bentuk yang sama bersudut 60 darjah. Proses ini dikenalan kaedah putaran bentuk.Pergi ke Transform dan pilih Rotate. Taip 60 darjah pada paparan yang muncul

Pastikan darjah kecerunannya adalah 60 darjah.Lakukan proses yang sama dengan membuat point segment baru menjadi middle point.

Pergi ke Construct dan pilih Polygon Interior.

Setelah selesai, bentuk teselasi akan berbentuk ini. Proses seterusnya dengan mewarna teselasi. Pilih setiap titik pada salah satu teselasi.

Double click pada point tengah untuk menjadikannya middle point

Teselasi akan berwarna seperti ini. Pilih teselasi yang telah berwarna dengan klik padanya

Warna akan dicerunkan seperti ini untuk mewarna teselasi yang berikutnya

Pergi ke Transform dan pilih Rotate. Pada paparan Rotate taip 60 darjah untuk keceruanan darjah teselasi

Teselasi akan bertukar warna. Lakukan proses yang sama sehingga semua bentuk teselasi tadi diwarnai

Untuk menukar warna, pergi ke Display dan pilih Colour.

Kemudian double click pada titik tengah salah satu segment yang telah dibina tadi untuk menjadikannya middle pont

Pada akhir proses ini, anda akan dapat teselasi diwarnai seperti ini.

Selepas itu pergi ke Transform dan pilih Rotate. Taip 180 pada paparan yang muncul.

Pilih semua bentuk teselasi dengan menekan klik kiri pada tertikus

Untuk menghilangkan segment segitiga asal tadi pilih semua segment padanya

Bentuk teselasi akan dibentuk seperti ini

Kemudian double click pada titik tengah salah satu segment yang telah dibina tadi untuk menjadikannya middle pont

Kemudian pergi ke Display dan pilih Hide Segment

Selepas itu pergi ke Transform dan pilih Rotate. Taip 180 pada paparan yang muncul.

Pilih semua segment yang telah dibina

Pada akhir proses, anda akan mendapat teselasi seperti ini.Proses akhir simpan hasil kerja . Pergi ke File pilih Save. Taip File name dan klik save.

CONTOH TESELASI TIDAK SEKATA YANG LENGKAP

.Kemudian pilih Snap Point untuk meletak titik.Seperti biasa untuk memudahkan pembinaan garisan bina graf. Pergi ke Graph dan pilih Grid form dan klik pada Square Grib

Klik pada Straightedge tool.Untuk menghilangkan paksi y dan x, klik pada paksi yang berkenaan sehingga warna merah kelihatan. Right click tertikus sehingga satu bar keluar dan pilih Hide Axis.

Gerakan tertikus pada endpoint, klik kiri dan bentuk segment baruPertama bina satu segment. Klik kiri tertikus dan gerakkan tertikus sehingga membentuk satu garis lurus.

Pilih Selection Arrow toolBina segment baru (garis lurus) antara 2 endpoint untuk membentuk segitiga.

Pergi ke Construct dan pilih midpoint untuk membina titik tengah antara garisan segitiga.Klik pada setiap segment (garis) pada segitiga yang telah dibina.

Pergi ke Display dan pilih Label Point.Untuk memilih titik, pastikkan pilih titik dari arah lawan jam iaitu dari arah atas ke bawah.Disini kita dapat lihat titik tengah telah terbentuk. Seterusnya pilih setiap titik pada segitiga.

Setiap point telah dilabelkan. Kemudian proses membina segitiga di dalam segitiga yang telah terbina. Pergi ke Straightedge Tool.Isikan First Label A dan klik OK.

Sambung semua segment di dalam sehingga segitiga terbina.Bina segment di dalam segitiga dengan menyambungkan antara titik tengah

Langkah seterusnya dengan mewarna segitiga didalam segitiga pertama. Pilih semua titik tengah (D,E,F)Anda akan dapat segitiga di dalam segitiga tadi.

Anda akan lihat segitiga didlam akan diwarnai.Pergi ke Construct dan pilih Triangle Interior

Setelah memilih titik A,B,C klik pada Transform dan pilih IterateSeterusnya klik pada setiap titik pada segitiga pertama (asal)

Klik pada titik segitiga iaitu F pada A, B pada b dan D pada CPaparan seperti berikut akan muncul. Klik pada titik F pada kotak yang menunjukkan A.

Klik pada Add new mapSeterusnya klik pada kotak Structure

Klik pada Structure untuk menambah Map ke 3Kemudian kita dapat lihat Map 2 akan muncul, isi E pada A, D pada B dan C pada C

Langkah seterusnya, proses menghilangkan point dan label point. Klik pada setiap titik point pada segitiga tersebutAnda akan lihat segitiga sierpinski telah terbina. Segitiga ini adalag segitiga Sierpinski peringkat ke 4Isi A pada A, F pada B dan E pada C. Kemudian klik Iterate

Untuk menghilangkan grib pula, pergi ke Graph dan pilih Hide grib.Pergi ke display dan pilih hide labels

Pada akhir proses anda akan lihat bentuk segitiga sierpinski seperti beginiUntuk menghilangkan point, pergi ke Display dan pilih Hide points


CONTOH TESELASI SIERPINSKI TRIANGLE

1) PENGENALANPepejal atau dikenali sebagai polyhedral adalah satu bentuk pepejal yang terdiri daripada permukaan yang rata dan sudut lurus. Polyhedral berasal dari perkataan Greek yang bermaksud poly-banyak dan hedron-permukaan. Polyhedral tidak mempunyai bentuk atau permukaan yang berlekuk atau beralun. Setiap polyhedral boleh terdiri daripada pelbagai bentuk dimensi yang berbeza. Ia boleh terdiri daripad bentuk 3 demensi (matra), 2 demensi, 1 demensi dan 0 demensi. Contoh-contoh bentuk polyhedral ialah seperti segitiga prisma, kiub, pyramid dan banyak lagi. Bentuk-bentuk polyhedral yang biasa kita lihat adalah seperti platonik pepejal, prisma dan piramid. Kita hidup dalamduniatigadimensi.Tiap-tiapobjekyanganda bolehlihatatau disentuh yangmempunyaitiga dimensi yang boleh diukur:panjang, lebar, dan tinggi.Bilik yangandasedang duduki boleh digambarkanoleh 3dimensi.Dalammatematik "polihedron" digunakan untukmerujuk kepadapelbagaibinaanyang mempunyai kaitan dengan beberapageometridan lain-lain yang berkaitrapat dengan algebraatauabstrak.Di sini ditunjukkan 3 jenis pepejal yang mempunyai ciri-ciri dan kelas masing-masing.

2) PEPEJAL PLATONIK Terdapat lima polyhedral yang dikenali sebagai pepejal platonik (platonic solid). Ia terdiri daripada tetrahedron, hexahedron(kubus), octahedron, dodecahedron dan icosahedrons. Platonik ini mempunyai keistimewaaannya yang tersendiri. Platonik adalah satu-satunya polyhedra yang mempunyai permukaan yang sama. Setiap permukaan adalah sama dengan permukaan yang lain. Sebagai contoh, kubus adalah sebuah pepejal platonik kerana kesemua enam permukaannya adalah sama antara satu sama lain. Setiap permukaan yang sama akan bertemu di setiap bucu iaitu puncak. Sebagai contoh, tiga segi tiga sama sisi bertemu di setiap puncak suatu tetrahedron. Tidak ada polyhedra lain yang memenuhi kedua-dua kondisi tersebut selain pepejal platonik. Cuba kita lihat prisma pentagonal. Prisma ini hanya memenuhi syarat yang kedua, iaitu tiga permukaan bertemu di setiap puncak, namun begitu syarat yang pertama tidak dipenuhi kerana setiap permukaannya tidak sama - ada yang berbentuk pentagon dan ada pula yang berbentuk segi empat tepat.

Berikut merupakan ciri-ciri yang dimiliki oleh kelima-lima pepejal platonik tersebut;PEPEJALPEMUKAANSISIBUCU

Tetrahedron464

Hexahedron6128

Octahedron8126

Dodecahedron123020

Icosahedrons203012

JADUAL 1

POLYHEDRAL NET TETRAHEDRON

POLYHEDRAL NET HEXAHEDRON

POLYHEDRAL NET OCTAHEDRON

POLYHEDRAL NET DODECAHEDRON

POLYHEDRAL NET DICOSAHEDRONS

3) PEPEJAL ARCHIMEDEAN Mempunyai 13 bentuk pepejal Archimedean atau dikenali juga pepajal semi sekata. Pepejal ini adalah polyhedron cembung yang permukaannya adalah polygon sekata tetapi bukan semua jenisnya yang mempunyai sama bentuk. BeberapadaripadapepejalArchimedeanbolehdibentukdenganmemotong sudut dari pepejalPlatonik.Sebagai contoh, kitaboleh bermuladenganmuncung segi duabelas danmemotongsudutuntuk menukarwajahsetiapdarisebuah pentagonuntuk dekagon dan membentuk mukatambahansegi tigakecilpada setiap penjuru. Berikut merupakan ciri-ciri yang dimiliki oleh 13 pepejal archimedean tersebut;

PEPEJALPEMUKAANSISIBUCUBentuk

Truncated tetrahedron81812 Segi tiga sama sisi Heksagon

Cuboctahedron142412 Segi tiga sama sisi Segi empat sama

Truncated cube143624 Segi tiga sama sisi Oktagon

Truncated octahedron143624 Segi empat sama Heksagon

Rhombicuboctahedron264824 Segi tiga sama sisi Segi empat sama

Truncated cuboctahedron267248 Segi empat sama Heksagon Oktagon

Snub cube386024 Segi tiga sama sisi Segi empat sama

Icosidodecahedron329060 Segi tiga sama sisi Pentagon

Truncated dodecahedron329060 Segi tiga sama sisi dekagon

Truncated icosahedron329060 Pentagon Heksagon

Rhombicosidodecahedron6212060 Segi tiga sma sisi Segi empat sama Pentagon

Truncated icosidodecahedron62180120 Segi empat sama Heksagon Dekagon

Snub dodecahedron9215060 Segi tiga sama sisi Pentagon

POLYHEDRAL NET TRUNCATED TETRAHEDRON

POLYHEDRAL NET RHOMBICUBOCTAHEDRON

POLYHEDRAL NET TRUNCATED ICOSAHEDRON

4) PEPEJAL KEPLE POINSOT Pepejal Keple Poinsot diperolehi dengan melakukan proses stelat ke atas dodecahedron dan ikosahedron cembung sekata atau rajah bucu. Pepejal Keple Poinsot adalah polyhedron bukan cembung sekata yang kongruen. Bilangan permukaan yang bertemu pada setiap bucu adalah sama. Terdapat empat jenis Keple Poinsot Dodekahedron stelat kecil dan dodecahedron stelat besar ditemui oleh Johannes Keple pada tahun 1619 dengan melakukan stelat ke atas dodecahedron cembung sekata. Pada tahun 1809, Louis Poinsot menemui dua lagi bintang sekata iaitu ikosahedron besar dan dodecahedron besar. Berikut adalah cirri-ciri kempat-empat pepjal keple poinsot.PEPEJALPEMUKAANSISIBUCU

Small Stellated Dodecahedron123012

Great Dodecahedron

123012

Great Stellated Dodecahedron

123020

Great Icosahedron

203012

POLYHEDRAL NET SMALL STELLATED DODECAHEDRON

POLYHEDRAL NET SMALL STELLATED DODECAHEDRON

1) PENGENALAN Istilahpop-upselalunya diaplikasikan kepadamana-mana bentuktiga dimensi pada kad, kertas atau buku. Rekaan dan bentuk yang terdapat di dalam buku adalah sebahagian daripada kejuruteraan kertas tetapi ia bukan lah berkaitan dengan sains pembuatan kertas. Ia menyerupai origami kerana kedua-duanya melibatkan kaedah lipatan. Walaubagaimanapun, origami merupakan kaedah yang paling mudah dimana ia tidak menggunakan gunting ataupun gam dimana ia dihasilkan dengan hanya lipatan kertas. Pop-ups pula memerlukan gam, gunting dan juga kertas tebal. Persamaan kedua-dua bentuk ini adalah dari segi lipatan sahaja. Sejarah awal pop up pada tahun 1306, ia merupakan sebuah buku bukan untuk kanak-kanak tetapi untuk orng dewasa iaitu buku penggunaanmekanikalihmanuskripuntukastrologi Buku pop-ups yang pertama dihasilkan oleh Ernest Nister dan Lothar Meggendorfer. Buku tersebut telah menjadi popular di Jerman dan Britain pada kurun ke-19. Antara jenis-jenis pop-ups yang terkenal adalah seperti transformation, volvelles dan tunnel book. Terdapat bebrapa teknik atau jenis dalam kejuruteraan kertas untuk kad dan buku. Di bawah menunjukkan beberapa contoh jenis kejurutera kertas;

2) APA MENYEBABKAN POP UP?

Movables: Elements lie flat on the pagebut they dont lie still. These books fall into a few basic construction types: volvelles or wheels, flap books, and pull tabs. Pop-ups: Three-dimensional figures spring to life in pop-up books, rising from the surface of the page. Four basic construction techniques are used in creating pop-ups: stage set, v-fold, box and cylinder, and floating layers. In each of these methods, cleverly folded paper cut-outs unfold when the book is opened and a page is turned. Folding mechanisms: Some books are designed to open like an accordion, or to fan out and form a circle. Books that unfold can take a variety of forms, which are called leporellos, carousels, and tunnel books or peep-shows. Multiple constructions: Contemporary paper engineers dont confine themselves to a single method. By exploring combinations of construction techniques, they find new ways to amuse, teach, and surprise us. Paper is no longer the only material used. Plastic, string, mirrors, and sticks are now part of the pop-up mix.

3) ELEMENT POP UP Box and cylinder: A box-like cube or rounded cylinder rises from the center of the page spread as the book is opened. Carousel: In a carousel book, the covers are folded back and opened to a complete circle and secured with string, ribbon, snaps, or Velcro. This creates a series of three-dimensional dramatic scenes that tell a story or sometimes present a set of little rooms to play in. Dissolving images and slats: An illustration changes into a completely different scene at the pull of a tab. The dissolving effect, or transformation, is achieved by the pictures being printed on horizontal, vertical, or circular sections that slide over each other. These are sometimes also called metamorphoses. Flap or lift the flap: One of the simplest forms in a movable. When a piece of illustrated paper, attached to the base page at a single point, is lifted, a hidden illustration, message, or movable is revealed. Harlequinades or pantomime books, in which each lifted flap changes the picture or reveals a new twist in the plot, are a form of flap mechanism. Flaps may be cut into the shape of the illustration. Floating layers or platforms: This mechanism is best understood when seen from the side. Hinged multi-tier paper supports lift an illustration off the page, creating the illusion that it is floating over the surface. Harlequinades and metamorphoses: A series of flaps that when lifted reveal a new picture or message. Also, a booklet with illustrations split in the center, laterally. When the illustration is folded up or down, or the series of flaps are lifted, a new picture or message underneath is revealed. Some 18th-century flap books were inspired by the theater. Often featuring the comic character Harlequin, these were called harlequinades or pantomime books. Leporello: An accordion book formed of one long sheet of folded paper that stretches out in a zigzag or concertina shape. It is named after Leporello, the servant in the opera Don Giovanni, who carries such a book to record the endless list of Giovannis romantic conquests. Paper engineer: An artist who uses various techniques (e.g., cutting, folding, and/or gluing) to make paper illustrations move or pop up. The paper engineer may or may not also be the illustrator. Pull-tab: A sliding paper tab, ribbon, or string is pulled, pushed, and maneuvered to reveal a new image. The tabs can also activate a pop-up. A figure goes into action when you pull or slide a tab: dancers sway, dogs sit up and beg, robots move. Stage set or multiple layers: A book becomes a theater set when it is opened to a 90-degree angle. This was one of the first constructions to be used for pop-up books and particularly suited to display interior scenes. Tunnel book or peep-show: A series of cut-paper panels are placed or hinged one behind the other, creating the illusion of depth and perspective, like looking into a tunnel. The term peep-show is derived from 18th- and 19th-century itinerant showmen who carried these mechanisms from place to place and charged a fee for viewing. V-fold: This versatile form is what most people think of when they hear the term pop-up. The pop-up element is attached to facing pages and unfolds from the center of the page when the book is open; it collapses into itself when the book is closed. Volvelle or wheel: An illustrated paper disc or circle is attached to a page using string, paper, or grommets and revolves around a central pivot. As the reader turns the wheel, the discs align images and information. The disc can be perforated to reveal designs underneath. The word volvelle is derived from the Latin verb, volvere, to turn. Waterfall: An embellishment of the pull-tab activated flap, several flaps open onto each other sequentially as the single tab is pulled in the opposite direction.4) CONTOH HASILAN POP UP

5) HASIL KERJA POP UP (KAD UCAPAN)KAD UCAPAN SELAMAT HARI IBU

KAD UCAPAN SELAMAT HARI LAHIR

KAD UCAPAN TAHNIAH

KAD UCAPAN SELAMA HARI GURU

KAD UCAPAN SELAMAT HARI KRISMAS

Salam Satu Malaysia dan salam sejahtera kepada insan-insan berkenaan yang sudi melihat hasil kerja kursus MTE3103 goemetri saya ini. Selama 6 minggu telah diberi oleh pensyarah untuk membuat kerja kursus dan akhirnya siap dengan jayanya dengan hasil berkat usaha, sokongan dan juga bimbingan kepada individu yang selama ini tidak tamak dengan ilmu untuk membantu saya. GSP, Teselasi, Pelbagai jenis polyhedral dan pop up, kebanyakan daripadanya merupakan perkara baru bagi saya. Dengan membina dan membuat kerja kursus ini, ilmu dan pengetahuan saya terhadap perkara-perkara ini merupakan satu pengalaman dan pengetahuan yang amat berguna kepada saya terutamanya sebagai seorang guru. Pada pendapat saya, kerja kursus seperti ini amat bersesuai dalam pogram pensiswazahan guru untuk meningkatkan profesion perguruan bagi mendidik anak bangsa ke arah zaman yang penuh dengan cabaran dan dugaan.Hari pertama menerima tugasan ini, apa yang membingungkan saya ialah perisian GSP. Apa itu GSP? Ia merupakan sesuatu baru bagi saya dan selama saya bergelar guru mahupun ketika masih bergelar guru terlatih ketika berada di Maktab perguruan, saya tidak pernah didedahkan dengan perkara ini. Tetapi ini tidak pernah mematahkan semangat saya untuk mempelajarai perkara baru. Dengan bimbingan pensyarah dan rakan sekuliah, akhirnya dengan berkat usaha dan bantuan mereka saya telah mahir untuk menguasai membina teselasi dengan menggunakan GSP. Terima kasih juga kepada rakan sejawat saya di SK Nanga Nyimoh, Song yang sudi berkongsi ilmu mereka ketika mereka mengikuti PISMP di institut perguruan untuk membantu saya memahami dan menguasai perisian GSP. Setelah memahami GSP ini, baru saya sedar bahawa perisian ini amat bersesuai dan berguna untuk membantu saya sebagai seorang guru memperkenalkan topik 3 matra (3D)Melalui pengalaman saya ketika menyiapkan kerja kursus ini, pelbagai pengetahuan yang dapat saya perolehi. Selain GSP yang agak baru bagi diri saya, pendedahan kepada pelbagai jenis pepejal dan pop up juga merupakan ilmu yang amat berguna kepada saya. Dalam pendedahan kepada jenis pepejal, saya telah mengenali dan berjinak-jinak dengan 23 jenis pepejal dan mempelajari bagaimana membina bentuk 3D. Pada permulaannya, pelbagai masalah untuk saya memahami pelbagai jenis pepejal dan bagaimana untuk membinanya. Dengan mempelbagaikan sumber rujukan terutamanya pada layaran internet, dengan jayanya saya dapat menghasilkan model 3D kit. Dalam pembinaan Pop up juga saya menghadapi masalah pada mulanya. Ini disebabkan ia merupakan benda baru dan tidak pernah dibina saya selama ini. Dengan bantuan beberapa rakan sekuliah dan sejawat amnya, saya dapat membina kad ucapan yang berkonsepkan pop up. Melalui pengalaman membina pop up ini, ia banyak membantu saya untuk membina bahan bantu mengajar yang menarik dan berkesan. Ketika membuat projek kad ucapan ini secara tidak sengaja telah menarik minat rakan sejawat saya di sekolah untuk mengajar mereka bagaimana untuk membinanya. Dalam masa yang sama kami saling bantu membantu dan membimbing.Tidak dinafikan bahawa menyiapkan kerja kursus ini secara individu menhadapi masalah dan melaksanakan tugasan ini kepada saya. Ini disebabkan kesibukan saya sebagai insan yang bergelar guru pada awal tahun ini dan lebih-lebih lagi tugas saya sebagai setiausaha peperiksaan sekolah yang mempunyai pelbagai tugas yang perlu dilaksanakan dan dalam masa yang sama sibuk dengan tugas guru sukan membimbing murid ke sukan peringkat daerah Song. Selain itu juga kekangan tempat kawasan yang agak pendalaman di daerah Song dan perkhidmatan internet sekolah tidak berapa baik telah menyebabkan saya menghadapi masalah untuk mencari maklumat dan rujukan untuk melaksanakan tugasan ini.Walaupun pelbagai masalah, dugaan dan kekangan ketika mebuat kerja kursus ini, ia akhirnya siap mengikut perancangan yang telah dirancangan pada hari pertama menerima tugasan ini. Melalui kerja kursus ini pelbagai maklumat dan pengetahuan yang telah banyak saya pelajari. Dengan kesempatan ini saya mengucapan terima kasih dan penghargaan yang tinggi kepada individu-individu yang banyak membimbing dan membantu saya memyiapkan tugasan in amnya kepada pensyarah, Encik Abdul Samad yang tanpa lelah atau letih memberi tunjuk ajar yang berguna. Diharap kerja kursus ini dapat memenuhi kriteria-kriteria yang dikehendaki dalam kerja kursus ini.Sekian, Terima Kasih BORANG REKOD KOLABORASI KERJA KURSUSNAMA PELAJAR:.............................................................NO. MATRIK:......KUMPULAN: ...................SEMESTER:...............................MATA PELAJARAN:......................PENSYARAH PEMBIMBING:..................................................TARIKHPERKARA YANG DIBINCANGKANCARA INTERAKSIT/TANGAN

TARIKHPERKARA YANG DIBINCANGKANCARA INTERAKSIT/TANGAN

Mok Soon Sang. (2000). Siri Pendidikan Perguruan : Pengajian Matematik Untuk Diploma Perguruan. (Edisi keempat). Kuala Lumpur : Kumpulan Budiman Sdn Bhd.Stephen Van Dyk, Cooper-Hewitt. (2010). Paper Engineering : Fold, Pull, Pop & Turn. (First Edition). Washington, DC : Smithsonian Institution LibrariesProf. Madya Dr. Lim Chap Sam, Prof. Madya Dr. Fatimah & Dr. Munirah Ghazali. (2003). Siri pembangunan Perguruan : Alat Bantu Mengajar Matematik. Pahang : PTS Publications & Distributions Sdn Bhd.http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsGeometry.shtmlhttp://www.mathsisfun.com/geometry/tessellation.htmlhttp://www.csun.edu/~lmp99402/Math_Art/Tesselations/tesselations.htmlhttp://www.tessella.com/about-us/what-are-tessellations/http://www.howe-two.com/nctm/tessellations/examples/http://www.tessellations.org/essays-common-motifs-in-tessellations.shtmlhttp://robertsabuda.com/popmakesimple.asphttp://www.mathsisfun.com/definitions/polyhedron.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/Polyhedron.htmlhttp://www.mathsisfun.com/geometry/pyramids.htmlhttp://www.mathsisfun.com/platonic_solids.htmlhttp://www.mathsisfun.com/geometry/prisms.htmlhttp://www.korthalsaltes.com/cuadros.php?type=pr

141

Documents

Apa Itu Geometri