aplicação da técnica de programação linear na busca da solução

APLICAÇÃO DA TÉCNICA DE

PROGRAMAÇÃO LINEAR NA BUSCA

DA SOLUÇÃO ÓTIMA DE PRODUÇÃO

EM UMA PIZZARIA

Edvan Araujo de Sousa Junior (IFMG )

[email protected]

Elias Junio Dias Ferreira (IFMG )

[email protected]

Pablo Parreira Paula (IFMG )

[email protected]

Pamela Nayara Ribeiro de Oliveira (IFMG )

[email protected]

STEFANIE GIORDANA PEREIRA DE SOUZA (IFMG )

[email protected]

Em um cenário extremamente competitivo, onde várias organizações

competem por um mesmo nicho de mercado, a sobrevivência de uma

empresa está condicionada as estratégias de mercado que a mesma

adota. Independentemente do tamanho ou tipo da eempresa, é de suma

importância a correta utilização dos recursos disponíveis, de forma a

garantir o lucro sobre as operações e a excelência nos produtos ou

serviços prestados. A questão é que com tantas ferramentas e

metodologias disponíveis fica difícil decidir qual é a mais adequada e

competitiva para o sistema produtivo. Dessa forma a pesquisa

operacional apresenta-se como um importante método no auxílio à

tomada de decisão. O presente artigo trata-se de um estudo aplicado a

uma pizzaria “delivery” da cidade de Congonhas- MG, onde o objetivo

de trabalho é maximizar o lucro da empresa analisando as restrições

do sistema produtivo, além de mostrar a importância da aplicação da

pesquisa operacional em micro e pequenas empresas. Para isso

utilizou-se a programação linear juntamente com método Simplex e o

suplemento Solver do Microsoft® Excel para modelar e resolver o

problema, de modo a atingir o objetivo. Ao final, a análise de

sensibilidade verificou a estabilidade da solução encontrada.

Palavras-chave: Pesquisa operacional, programação linear, simplex,

solver, pizzaria

XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO Contribuições da Engenharia de Produção para Melhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil

João Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016.


João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .

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1. Introdução

As organizações ao longo da história passaram por diversas transformações, principalmente

no que diz respeito ao tamanho e complexidade das relações interorganizacionais. Segundo

Hillier e Liberman (2006), a crescente divisão e especialização do trabalho trouxe inúmeros

benefícios às organizações, porém tornou-se difícil a alocação dos recursos para as diferentes

atividades como um todo, criando assim o ambiente propício para o desenvolvimento da

Pesquisa Operacional (PO).

Hillier e Liberman (2006), acrescentam que o termo foi utilizado pela primeira vez na

Segunda Guerra Mundial, quando percebeu-se a necessidade de coordenar, escolher e

dimensionar frotas e recursos para o combate.

Para Ehrlich (1991), pesquisa operacional é uma metodologia de estruturar processos

aparentemente não estruturados por meio da construção de modelos, utilizando um conjunto

de técnicas quantitativas com o intuito de resolver matematicamente os modelos. “A PO tem

por objetivo selecionar as melhores condições de aproveitamento de recursos sujeitos às

restrições econômicas, materiais, temporais e de recursos humanos” (MILHOMEN et

al.,2015).

Segundo Arenales et al. (2006), a PO é muito utilizada para tomada de decisão, a fim de

determinar o problema, analisar as limitações e, por fim, obter-se uma solução coerente e

estruturada. A tomada de decisão é um processo complexo, pois existem diversos fatores

interligados, tais como: o ambiente, incertezas, qualidade final, aspecto cultural e o próprio

mercado.

A pesquisa operacional utiliza-se de várias ferramentas para encontrar ou aproximar da

solução ótima do problema. É possível encontrar uma ou infinitas soluções ótimas,

descrevendo-as por meio de combinação linear.

O objetivo geral desse artigo é aplicar em uma pizzaria da cidade de Congonhas-MG, os

métodos da pesquisa operacional, de modo que permita encontrar uma solução ótima que

maximize o lucro da empresa.

O objetivo específico busca modelar o problema usando programação linear e resolvê-lo pelo

método simplex, com o auxílio do suplemento solver do Microsoft®

Excel. E posteriormente

fazer análise de sensibilidade para avaliar a estabilidade da solução encontrada.



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2. Referencial teórico

2.1. Pesquisa operacional

Segundo Chaves (2011) é impossível identificar o contexto histórico da pesquisa operacional,

porém, ao analisar suas manifestações, podemos encontrar seus prenúncios desde a época de

Arquimedes. Mas foi a partir da Revolução Industrial que surgiram os primeiros problemas

que a PO viria a solucionar.

Chaves (2011) ainda acrescenta que as inovações tecnológicas estimularam o crescimento das

indústrias e aumentaram de forma nunca antes vista a produtividade. As mudanças foram tão

efetivas que a sociedade foi totalmente modificada, tanto socialmente quanto

economicamente. Para suprir a demanda crescente da sociedade surgiram novas indústrias,

mudou-se a maneira de administrar e iniciou uma série de estudos destinados a aumentar a

eficiência das operações industriais.

O termo pesquisa operacional surgiu na Segunda Guerra Mundial quando o comando militar,

britânico e norte-americano, convocou inúmeros cientistas para aplicar a abordagem científica

a fim de resolver problemas táticos e estratégicos (HILLIER; LIBERMAN, 2006).

Colin (2007), afirma que a pesquisa operacional e a programação linear são importantes

descobertas, equiparando-se à máquina a vapor, a produção em massa e a tecnologia da

informação. Também acrescenta que, a PO aliada à microinformática possibilitou a

implementação e processamento de algoritmos capazes de confrontar e solucionar problemas

empresariais de alta complexidade relacionados à tomada de decisão, provenientes do

crescimento econômico que se seguiu.

A pesquisa operacional utiliza-se de vários modelos para encontrar ou aproximar da solução

ótima. Esses modelos se dividem em três grupos: os modelos determinísticos, os estocásticos

e outras técnicas; demonstrado conforme a figura 1.



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Figura 1: Modelos da pesquisa operacional

Fonte: Adaptado de Belfiore e Fávero (2013)

2.2. Programação linear

A Programação Linear (PL) é um dos métodos mais utilizados da pesquisa operacional. Sua

aplicação está presente em várias áreas como logística, finanças, recursos humanos, entre

outras.

“O desenvolvimento da programação linear foi considerado como um dos mais

importantes avanços científicos dos meados do século XX. Hoje é a ferramenta

padrão que tem economizado milhares ou milhões de dólares para muitas

companhias nas nações industrializadas do mundo” (HILLIER; LIBERMAN, 2006.

p. 25).



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De acordo com Belfiore e Fávero (2013), um Problema de Programação Linear (PPL) tem por

objetivo determinar a solução ótima do modelo, que maximiza ou minimiza a função objetivo

(função linear das variáveis de decisão), satisfazendo todas as restrições do modelo

(representadas por equações ou inequações, incluindo as de não negatividade),

matematicamente representado por:

Sujeito à:

A capacidade do modelo de gerar lucro ou reduzir custos é determinada pela função objetivo.

Já as restrições garantem que a (s) solução (ões) esteja (m) de acordo com as limitações

técnicas ligadas ao sistema. Segundo Ragsdale (2009), caso as restrições representem recursos

limitados, a aplicação da PO evita o desperdício dos mesmos.

Por ser um modelo determinístico, todas suas variáveis são lineares, constantes e conhecidas.

Os modelos podem ser resolvidos por métodos analíticos (problemas de baixa complexidade)

ou computacionais (problemas de média e alta complexidade) por meio de algoritmos como o

simplex (BELFIORE; FÁVERO, 2013).

2.3. Método Simplex

Implementado por George Dantzig (1914-2005), o simplex é um algoritmo que permite

encontrar a solução ótima de um modelo de programação linear, caso a mesma exista. Para

Barba (2013), o simplex é amplamente utilizado devido sua eficiência em resolver problemas

onde existem muitas variáveis e restrições influenciando em situações que necessitam ser

otimizadas.

Segundo Belfiore e Fávero (2013), o simplex é um método interativo que parte de uma

Solução Básica Viável (SBV) inicial e busca, a cada iteração, uma nova solução básica viável

que contribua mais efetivamente com a função objetivo, descrita na figura 2:



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Figura 2: Fluxograma da descrição geral do algoritmo simplex.

Fonte: Adaptado de Lachtermarcher (2009)

O método simplex possui duas variações: a primeira denominada método simplex de uma

fase, ocorre quando a utilização dos recursos é menor ou igual à disponibilidade dos recursos.

A segunda denominada método simplex de duas fases, ocorre quando as restrições são do tipo

igual e/ou maior à disponibilidade dos recursos (ANDRADE, 2010).

3. Metodologia

O presente artigo trata-se de um estudo de caso aplicado a uma pequena empresa do setor

alimentício da cidade de Congonhas - MG.

Segundo Milhomen et al. (2015) o estudo de caso é uma estratégia empírica baseada na

observação de determinado assunto. Yin (2001), acrescenta que o estudo de caso é uma

investigação de um fenômeno dentro do contexto da vida real.



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Foi realizada uma pesquisa exploratória para a obtenção dos dados. Gil (1999) descreve que a

principal finalidade da pesquisa exploratória é desenvolver, esclarecer e modificar conceitos e

ideias, tendo em vista, a formulação de problemas precisos ou hipóteses.

O estudo foi desenvolvido em três etapas: revisão bibliográfica, estudo de caso, e análise dos

resultados. A revisão bibliográfica foi usada para dar suporte teórico, enquanto o estudo de

caso evidencia a aplicabilidade da pesquisa operacional em micro e pequenas empresas. Por

fim, a análise dos resultados mostrou a melhor forma para maximização dos lucros.

4. Estudo de caso

4.1. A empresa objeto de estudo

Fundada em 2013, na cidade Congonhas – MG, a pizzaria de estudo, conta com cinco

funcionários efetivos e dois temporários. Atua como delivery, ou seja, pronta entrega, no

período das 18 horas às 23 horas, de terça a domingo. Com um layout bem definido, a

fabricação das pizzas segue uma padronização de tempo e montagem, de tal forma, que

atenda sempre, de maneira rápida seus clientes.

Seu cardápio é composto por uma enorme variedade de sabores dispostos em três grupos:

pizzas tradicionais, especiais e doces; e também em três tamanhos: pequena, média e grande.

Para acompanhar as pizzas, comercializa também bebidas, como refrigerante, cerveja, suco e

vinho.

Futuramente, não descarta a possibilidade de abrir uma filial ou a inserção de um novo

produto em seu cardápio, como sanduíches. Apesar de ser uma microempresa, a pizzaria não

esquece da sua responsabilidade social, desta forma, contribui com uma Organização Não

Governamental (ONG) através de parcerias e doações.

4.2. Problematização

Através de entrevistas com a proprietária, a mesma destacou os problemas enfrentados na

pizzaria e a insegurança quanto ao negócio. Os principais problemas descritos foram o

controle de estoque e a incerteza de produção. Por se tratar de um estabelecimento que

manipula produtos alimentícios de alta perecibilidade, seu estoque é mensurado através de

demandas sazonais.

A pizzaria trabalha com um cardápio composto por 42 pizzas, pois a proprietária considera

que dessa forma é possível atender todos os clientes, dos mais variados gostos e requintes



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alimentares, como por exemplo, os vegetarianos. Porém nem todas as pizzas possuem uma

venda considerável, tornando questionável a viabilidade econômica de produção das mesmas.

Portanto, através da pesquisa operacional buscou-se verificar as pizzas que compensam ser

produzidas com base na utilização dos recursos disponíveis.

4.3. Coleta de dados

A proprietária destacou as principais pizzas que deveriam ser analisadas. Segundo ela, as

pizzas doces faz questão de mantê-las, pois tendo boa ou má venda, acredita que é um

diferencial dentre as pizzarias da região. Conforme a figura 3, é possível ver as pizzas que

serviram de objeto de estudo. É importante observar o preço de venda de cada item.

Figura 3 – Principais pizzas do cardápio

Fonte: A empresa de estudo

Após a seleção das pizzas, destacou-se as quantidades de cada ingrediente na confecção de

cada pizza, e também o total de recursos disponíveis para sua produção. Os dados fornecidos

pela proprietária, quanto aos ingredientes utilizados, são unitários, ou seja, são quantidades

aplicáveis em cada pizza de tamanho grande. Segundo ela, são as pizzas que mais vendem, e

consequentemente são as que mais gastam ingredientes. Quanto aos recursos disponíveis, os

dados foram fornecidos com base em valores semanais, mas em seguida foram transcritos, de

acordo sua necessidade mensal. Os dados obtidos estão apresentados na tabela 1 abaixo:



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Tabela 1 – Quantidade de ingredientes em cada pizza

Os autores

É importante salientar que são produzidas entre 840 a 920 pizzas mensalmente. O tempo de

preparo em média de cada pizza é 9 minutos, num total de 120 horas de trabalho por mês. O

custo de cada pizza varia conforme sua variedade de ingredientes. Deste modo, segundo a

proprietária, o custo da pizza à moda é de R$ 20,00; calabresa e frango com catupiry é de R$

17,00; portuguesa e atum é de R$ 19,00; lombinho canadense é de R$ 21,00; gnomos é de R$

22,00; filé ao alho e óleo é de R$ 23,00; e por fim, filé ao gorgonzola e camarão é de R$

24,00.

4.4. Modelamento do problema

Com base nos dados coletados, foi possível determinar as variáveis para o modelamento

matemático, obedecendo suas restrições. A função objetivo descreverá a solução ótima de

produção. Para esse modelo foi determinado que cada variável seria a quantidade a ser

produzida de cada pizza, dessa forma, são 10 variáveis de decisão no total, representadas

abaixo:



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Após determinar as variáveis do modelamento matemático, foi possível determinar a função

objetivo. Por isso, a função objetivo tem como propósito maximizar o lucro da pizzaria na

busca pela solução ótima de produção. Para determinar o lucro de cada pizza, foi feita a

subtração entre o preço de venda da pizza grande e o custo unitário de cada pizza. Portanto,

obteve-se a seguinte função objetivo:

Por fim, definiu-se as restrições do sistema de acordo com a disponibilidade de recursos.

Foram avaliadas três restrições básicas: restrição de massa, restrição de mão-de-obra/tempo e

restrição dos ingredientes.

A restrição das massas está condicionada à capacidade máxima de produção, ou seja, 920

unidades por mês. A restrição de mão-de-obra/tempo é condicionada às 120 horas de trabalho

por mês e cada pizza há a necessidade de 9 minutos (0,15 horas) para preparo e montagem. O

conjunto de restrições ingredientes, são os elementos presentes na descrição de cada pizza. É

importante destacar a presença da restrição de não negatividade do modelamento matemático.

Em notação matemática, as restrições são:

Restrição de massas:

Restrição de mão-de-obra/tempo:

Restrições de ingredientes:



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Restrição de não-negatividade:

4.5. Apresentação e análise dos resultados

Após a coleta de dados, os mesmos foram formulados matematicamente, e aplicados no solver

do Microsoft®

Excel. A ferramenta solver é muito utilizada para resolver problemas de

maximização e de minimização. A complexidade varia conforme o modelamento matemático

da função objetivo e suas restrições.

A ferramenta solver permite utilizar três métodos, entre eles, o simplex, utilizado para

resolução deste problema. Neste modelo determinístico foi utilizado a programação linear

para determinar a solução ótima.

Com base nos dados fornecidos pelo solver do Excel, apresentado na tabela 2, pode-se chegar

a um lucro total de R$ 12.541,33 por mês. A quantidade exata de cada pizza pode ser

conferida na coluna “Valor Original”. Para a maximização dos lucros seria viável não fabricar

as pizzas portuguesa e filé ao alho e óleo. Destaca-se a quantidade de pizza à moda a ser

produzida, 166 unidades. Tal valor condiz com a realidade, pois é uma das pizzas mais

vendidas. Já as pizzas de atum e camarão foram duas pizzas que apresentaram menor

fabricação, 16 e 11 unidades, respectivamente. A proprietária da pizzaria, através do seu

conhecimento comercial, esperava pouca ou nenhuma participação dessas pizzas no lucro.

Mas não esperava, deixar de fabricar a pizza portuguesa, pois possui uma venda razoável

quando comparada às outras.

Tabela 2 – Resultado do lucro total/quantidade a ser produzida



14

Os autores

Definido o valor máximo de lucro possível, é importante analisar os recursos utilizados para

se obter êxito. A tabela 3 apresenta a análise dos recursos, onde a coluna “Status” apresenta

duas designações: “Associação” para recursos escassos e “Não-associação” para recursos não

escassos. Caso opte por reduzir os custos, a coluna “Margem de Atraso” representa a

quantidade de recursos que sobraram, portanto, a redução desses itens não impactaria no lucro

final, desde que não ultrapassassem o valor determinado.

Tabela 3 – Restrições satisfeitas/ não satisfeitas

RESTRIÇÕES

Célula Nome Valor da

Célula

Status Margem de

Atraso

$N$10 Restrição de Creme de Leite 0,34 Não-associação 4,657142857

$N$11 Restrição de Filé Mignon 24,00 Associação 0

$N$12 Restrição de Alho Porro 2,02 Não-associação 1,980952381

$N$13 Restrição de Gorgonzola 2,06 Não-associação 13,94285714

$N$14 Restrição de Alho 0,00 Não-associação 4

$N$15 Restrição de Azeitona 8,00 Associação 0

$N$16 Restrição de Tomate 11,76 Não-associação 80,23619048

$N$17 Restrição de Palmito 7,47 Não-associação 4,533333333

$N$18 Restrição de Provolone 5,33 Não-associação 4,666666667

$N$19 Restrição de Champignon 4,00 Associação 0

$N$20 Restrição de Lombinho 4,00 Associação 0

$N$21 Restrição de Catupiry 32,00 Associação 0

$N$22 Restrição de Atum 4,00 Associação 0

$N$23 Restrição de Frango 29,87 Não-associação 10,13333333

$N$24 Restrição de Cebola 10,80 Não-associação 9,196190476

$N$25 Restrição de Ovo 10,00 Não-associação 48

$N$26 Restrição de Pimentão 6,67 Não-associação 13,33333333

$N$27 Restrição de Presunto 30,00 Associação 0

$N$28 Restrição de Calabresa 21,44 Não-associação 2,56

$N$6 Restrição de Massa 622,67 Não-associação 297,3333333

$N$7 Restrição de Mão-de-

obra/Tempo

93,40 Não-associação 26,6

$N$8 Restrição de Muçarela 204,80 Não-associação 135,2

$N$9 Restrição de Camarão 4,00 Associação 0

Os autores

Utilizando a análise de sensibilidade, pode-se determinar o limite inferior e superior dos

recursos escassos que não alterariam a solução ótima, conforme pode ser visto na tabela 4. O

filé mignon, lombinho, atum, presunto e camarão apresentam um intervalo de estabilidade



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maior se comparado com os outros recursos, ou seja, permitem um maior acréscimo ou

decréscimo. Já a azeitona, champignon, catupiry apresentam limites menores, se comparados

com disponibilidade total, e também são os recursos que mais impactariam positivamente no

lucro, caso não obedecesse às margens estabelecidas.

A coluna “Sombra preço” representa a quantidade em que a função objetivo melhoraria ou

pioraria se o limite da restrição aumentasse ou diminuísse uma unidade. Foi sugerido a

compra, principalmente, de azeitonas, pois impactaria significamente no lucro obtido.

Tabela 4 – Análise de sensibilidade

Os autores

5. Considerações finais

A importância da pesquisa operacional aplicada em micro e pequenas empresas mostrou-se

evidente com esse estudo, pois auxiliou na tomada de decisão do que e quanto produzir de

cada item. Aplicando a programação linear, o método simplex e a ferramenta solver foi

possível determinar um lucro máximo a ser alcançado obedecendo os recursos disponíveis.

A aplicação da solução possui algumas ressalvas. Por exemplo, a retirada da pizza portuguesa

do cardápio, que possui venda considerável, mantendo outras de menor venda. O lucro obtido

através do modelamento matemático não se trata de um lucro global, pois o estudo só

contabilizou os recursos para produção das pizzas grandes e aquelas que são ou não viáveis

produzir, excluindo as demais pizzas.

Referências

ANDRADE, Eduardo Leopoldino. Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos para a análise de

decisão. 4. Ed. Rio de Janeiro: LCT, 2009.



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ARENALES, M. N.; ARMENTANO, V.; MORABITO, R. Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: Campus,

2006.

BARBA, Pedro V. de. Proposta de aplicação de métodos de pesquisa operacional em uma microempresa do

setor comercial do ramo alimentício. 2013. 50 p. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia

de Produção e Sistemas) - Graduação. Centro de Ciências Tecnológicas. Universidade do Estado de Santa

Catarina, Joinville, 2013.

BELFIORE, Patrícia; FÁVERO, Luiz Paulo. Pesquisa Operacional para cursos de Engenharia. Rio de

Janeiro: Elsevier, 2013.

CHAVES, Viviane H. Corrêa. Perspectivas históricas da pesquisa operacional. 2011. 117 p. Dissertação

(Mestrado em Educação Matemática) - Programa de Pós-Graduação. Instituto de Geociências e Ciências Exatas.

Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2011.

COLIN, Emerson C. Pesquisa Operacional: 170 Aplicações em Estratégia, Finanças, Logística, Produção,

Marketing e Vendas. Rio de Janeiro: LTC, 2007

EHRLICH, Pierre Jacques. Pesquisa Operacional: curso introdutório. 7 ed. São Paulo: Atlas 1991.

HILLIER, Frederick S.; LIEBERMAN, Gerald J. Introdução à pesquisa operacional. 8 ed. São Paulo:

McGraw Hill, 2006.

MILHOMEM, DANIEL ALCÂNTARA, et. al. Utilização da Programação Linear e do Método Simplex

para Otimização da Produção de Pães em uma Empresa de Panificação. Encontro Nacional de Engenharia

de Produção, Fortaleza. 2015.

RAGSDALE, Clift T. Modelagem e Análise de Decisão. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.

YIN, Robert K. Estudo de Caso: Planejamento e Métodos. Tradução Daniel Rossi. 2ed. Porto Alegre:

Bookman, 2001.

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