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12/04/2023 1
Aplicación de la función respuesta al impulso a la solución de E.D.OUn sistema invariante en el tiempo queda descrito mediante la ecuación diferencial:
Encuentre la función de:a) Transferencia H(s)b) Respuesta al impulso h(t)
2
25 6 5 ~ (1)
d y dyy u
dt dt
Preparado por: Gil Sandro Gómez
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Solución Aplicamos transformada de Laplace en ambos lados de (1): La expresión (2) se transforma en:
Dado que el sistema está en reposo, las condiciones iniciales se anulan, por tal motivo , nos queda que:
'' 5 ' 6 5 ( ) ~ (2)L y L y L y L u
2 ( ) (0) '(0) 5 ( ) 5 (0) 6 ( ) 5 ( ) ~ (3)s Y s sY Y sY s Y Y s U s
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. Sacamos a Y(s) factor común y tenemos que:Despejando de (5) nos queda:Dividimos a (6) entre U(s) y obtenemos la expresión:
2 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 5 ( ) ~ (4)s Y s sY s Y s U s
2( ) 5 6 5 ( ) ~ (5)Y s s s U s
2
5 ( )( ) ~ (6)
5 6
U sY s
s s
2
( ) 5~ (7)
( ) 5 6
Y s
U s s s
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La función de transferencia queda definida por:
Usando (8), decimos que:
Ahora procedemos aplicar transformada inversa de Laplace a (9) para obtener la función de respuesta al impulso.
( )( ) ~ (8)
( )
Y sH s
U s
2
5( ) ~ (9)
5 6H s
s s
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.
Como podemos observar, no existe una fórmula que nos permita calcular de forma directa la transformada inversa de Laplace de (10), esto nos obliga a usar fracciones parciales. Multiplicamos (11) por :
1
2
5( ) ~ (10)
5 6L H s L
s s
2 5 6s s
2
5( ) ~ (11)
2 35 6
A Bh t L L
s ss s
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resultándonos:Aplicando la teoría de los polinomios en (12):Resolviendo (13) encontramos los valores :
5 ( 3) ( 2)
5 3 2 ~ (12)
A s B s
As A Bs B
0~ (13)
3 2 5
A B
A B
5, 5A B
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Sustituyendo los valores de A y B en (11).
La respuesta al impulso viene dada por:
1 2 35 5( ) 5 5
2 3t th t L e e
s s
2 3( ) 5 5 ~ (14)t th t e e
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