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SISTEMAS DINÁMICOS
Ing. Fredy Ruiz [email protected]
Carrera de Ingeniería Electrónica
Pontificia Universidad Javeriana
2013
Información general• Horario:
– Jueves 8 a 11 a.m., Ed. 54 – Salón 104• Inicio 8:10• Pausa 9:30 a 9:40• Fin 11:00
• Contacto– Via correo electrónico: [email protected]– Oficina: Depto de electrónica, Of. 415-2B
– Horario de atención: lunes y miércoles 10am-12m.
• Monitor
– Ángela cuadros, [email protected]
– Asesoría “por demanda”
PREREQUISITOS
• Análisis de circuitos– Teoría de sistemas: I-O, memoria, estabilidad.– Sistemas lineales: rta. impulso, función de
transferencia, rta. en frecuencia.
• Física de fluidos, termología y ondas– Variables hidráulicas– Variables térmicas– Conducción, convección
Asignaturas del área de control
NUCLEO FUNDAMENTAL• Circuitos eléctricos• Circuitos en frecuencia• Sistemas dinámicos• Controles• Máquinas eléctricas
Asignaturas del área de control
ÉNFASIS• Laboratorio de
control• Automatización de
edificios• Control de procesos• Control lógico y
secuencial
MAESTRÍA• Sistemas lineales• Técnicas de
optimización• Instrumentación
industrial• Automatización
industrial• …
PROGRAMA
Parte 1. Representación de sistemas1. Variables de estado2. Sistemas no lineales
Parte 2. Modelos de sistemas físicos1. Mecánicos2. Electromecánicos3. Térmicos4. Hidráulicos
PROGRAMA
Parte 3. Análisis de sistemas compuestos1. Interconexión 2. Estabilidad3. Retroalimentación
Parte 4. Sistemas en tiempo discreto1. Propiedades2. Solución3.Análisis
METODOLOGÍA• Preparación: lecturas previas como secciones
indicadas del texto guía o artículos.• Encuentros semanales: sesiones teóricas,
ejemplos de aplicación, sesiones prácticas (Matlab).
• Refuerzo: verificación de demostraciones, ejercicios simulados, lectura de artículos técnicos, …
BIBLIOGRAFÍA
Libro de texto:Modern control systems
Dorf, Richard Carl
Editor:Pearson/Prentice Hall
Fecha de pub: 2008.
EVALUACIÓN
• 2 exámenes parciales (25% c/u): exámenes escritos individuales con preguntas teóricas y problemas, duración 1,5 horas
• Examen final (25%): examen escrito comprensivo de toda la temática vista.
• Tareas y trabajos(25%): Tareascon demostraciones y solución de problemas. Simulaciones, verificación de lectura de artículos técnicos tipo IEEE.
Introducción
DINÁMICA: Análisis matemático del movimiento de los cuerpos y sus causas.
Introducción
Aristóteles (384 a. C. – 322 a. C.)
• Mundo sublunar corruptible
• Mundo celeste perfecto
• Movimientos sin aceleración
• Debil poder predictivo
Introducción
Predicción en las sociedades “antiguas”
IntroducciónGalileo Galilei (1564-1642) Método científico
• La naturaleza sigue leyes
• Las leyes de la naturaleza pueden
expresarse en lenguaje matemático
• Las mismas leyes rigen el mundo
sublunar y la esfera celeste
• Las cosas son lo que los sentidos perciben
“Conociendo la expresión matemática de una ley natural se tiene el mismo nivel de conocimento sobre ese
fenómeno que el del Dios creador”
Introducción
Sir Isaac Newton (1643 -1727) • Formulación de la cinemática
• Explica las causas del movimiento acelerado
• Crea el cálculo diferencial
• Plantea, mas no resuleve, la ecuación diferencial del movimiento de dos cuerpos (resuelta por Bernoulli)
Método de predecir el futuro: resolver las ecuaciones diferenciales que regulan los sistemas
dinámicos.
Introducción
Pierre-Simon Laplace (1749-1827)
• Estudió las ecuaciones diferenciales de la mecánica celeste
• Transformada de Laplace
.
Determinismo:si una mente pudiera realizar millones de operaciones en un instante y conociera las condiciones iniciales y las leyes que rigen un sistema, podria conocer la evolución futura del sistema, y en esta forma el presente y el futuro estarian simultaneos en su mente.
Introducción
Henri Poincaré (1854-1912)• Problema de los tres cuerpos
• Teoría del caos
• Topología
• Análisis cualitativo de los sistemas dinámicos
No es posible resolver analiticamente las ecuaciones que regulan la dinámica del sistema de tres cuerpos.
Introducción“Inferring models from observations and studying their
properties is really what science is about”
Lennart Ljung
• Se quiere estudiar un sistema real con un objetivo definido:
– Interpretación
– Diseño
– Predicción
– Control
– Detección de fallas
– ...
CAPÍTULO 1 GENERALIDADES DE SISTEMAS
SISTEMAS DINÁMICOS
¿Qué es un sistema dinámico?– Un péndulo oscilando– Una reacción química– El sistema solar– La población de zorros y conejos en un bosque
SISTEMAS DINÁMICOS
¿Qué es un sistema dinámico?– Un péndulo oscilando– Una reacción química– El sistema solar– La población de zorros y conejos en un bosque
¿QUÉ TIENE EN COMÚN ESTOS SISTEMAS?
SISTEMAS DINÁMICOS
• Sistema real– Parte del universo– Fronteras– Interacciones
• Sistema modelo– Invención humana– Construcción matemática– Representación simplificada– Capacidad predictiva
� Sistema es una colección de componentes que tienen dos propiedades fundamentales:
� Las componentes internas o subsistemas, interactúan entre si.
� Las fronteras del sistema separan a las componentes internas del mundo externo.
ENTRADA SISTEMA SALIDA
SISTEMA
• Estático
• Dinámico
SISTEMA
• Distribuido:
• Concentrado:
SISTEMA
• Causal
• No-causal
SISTEMA
• Tiempo invariante
• Variante con el tiempo
SISTEMA
• SISO
• MIMO
SISTEMA
ττ dtuety
tutytyetyt
t
t
)()(
)()()(3)(
0
−=
=++
∫−
− &&&
• Ejemplos
SISTEMA
• Lineal– Homogeneidad– Aditividad
• No-lineal– Alternativas de solución????
Propiedes de sistemas
• Ecuaciones diferenciales• Transformada de Laplace
– Solución de ecuaciones diferenciales– Cuándo se puede aplicar?– Propiedades fundamentales
• Función de transferencia– Significado– Condiciones iniciales ?
Representación de sistemas dinámicos
• Transformada de Laplace
• Existe si:
SISTEMAS LTI
- Dadas:– La ecuación dinámica
– La entrada u(t) para todo t– Un instante inicial t0– Las condiciones iniciales y(t0) , y'(t0), ...
La respuesta del sistema es una función y(t) que satisface la ecuación diferencial.
Solución - Respuesta
Solución - Respuesta
•Respuesta entrada cero
•Respuesta estado cero
Agosto de 2012
DESCRIPCIÓN DE SISTEMAS LTI
� Entrada – Salida:� Ecuación Integro – Diferencial lineal de
coeficientes constantes:
Respuesta a entrada cero se obtiene a partir de las n condiciones iniciales.
Solución homogénea
ubdt
udb
dt
udbya
dt
yda
dt
yda m
m
mm
m
mn
n
nn
n
n 01
1
101
1
1 ......... +++=++ −
−
−−
−
−
36F. Ruiz
DESCRIPCION DE SISTEMAS LTI
� Respuesta en estado cero: depende únicamente de la entrada.
Solución particular� También se puede evaluar empleando la
integral de convolución
Agosto de 2012
∫∫ −=−=tt
dtuthduthty00
)()()()()( τττττ
37F. Ruiz
DESCRIPCION DE SISTEMAS LTI
� Para sistema MIMO:H(t) matriz de (qxp)
Para un sistema con p entradas y q salidas.
Agosto de 2012
∫ −=t
t
dtt0
)()()( τττ uHy
−−
−−−
=−
)()(
)()()(
)(
1
11211
ττ
τττ
τ
thth
ththth
tH
qpq
p
38F. Ruiz
Agosto de 2012
DESCRIPCION DE SISTEMAS LTI
� Función de transferencia – Transformada de Laplace
Respuestas estado cero
( )( )
011
1
011
1
011
1
011
1
.....
.....
)(
)()(
)(...
)(...
asasasa
bsbsbsb
sU
sYsH
sUbsbsbsb
sYasasasa
nn
nn
mm
mm
mm
mm
nn
nn
++++++++==
++++
=++++
−−
−−
−−
−−
39F. Ruiz
Solución - Respuesta
•Respuesta transitoria
•Respuesta en estado estable
Agosto de 2012
DESCRIPCION EN ELESPACIO DE ESTADO� Estado de un sistema [x]: en un instante to es
la mínima cantidad de información que junto con la entrada u[t0 , ∞) determina la respuesta del sistema para todo t ≥ t0.
� El estado resume la información pasada requerida para determinar el comportamiento futuro del sistema.
Se definen variables de estado en sistemas con almacenamiento de energía; no aplica para
sistemas instantáneos.
41F. Ruiz
Modelos en variables de estado
• Estado: conjunto de variables que, junto con la entrada, determinan la configuración futura y las salidas del sistema.
• Modelo matemático– Variable independiente “tiempo”, t o k– Parámetros, µ:=(µ1, µ2,...µp)
– Variables dependientes, x:=(x1, x2,...xn)
– Ecuaciones de movimiento:
SISTEMAS DINÁMICOS
dx/dt=F (x(t ) , t ;µ)
x(k+1)=G(x(k) , k ;µ)
Ejemplos
Agosto de 2012
DESCRIPCION EN ELESPACIO DE ESTADOUn sistema Lineal de parámetros concentrados se puede
representar como:
n ecuaciones diferenciales de primer orden
45F. Ruiz
Agosto de 2012
DESCRIPCION EN ELESPACIO DE ESTADOLas variables de salida se pueden representar como qcombinaciones lineales de los estados y las entradas:
q ecuaciones lineales INSTANTANEAS!!
46F. Ruiz
Agosto de 2012
DESCRIPCION EN ELESPACIO DE ESTADO
� X (t) vector de variables de estado del sistema (n x 1)� A (t) matriz del sistema (n x n)� B (t) matriz de entrada (n x p)� U (t) vector de variables de entrada (p x 1)� Y (t) vector de variables de salida (q x 1)� C (t) matriz de salida (q x n)� D (t) matriz de transmisión directa (q x p)
47F. Ruiz
Agosto de 2012
DESCRIPCION EN ELESPACIO DE ESTADO� Selección no es única� El conjunto de variables de estado debe ser
linealmente independiente .� Sistema invariante con el tiempo: A, B, C, D son
constantes� La representación de estado se puede emplear
para sistemas: lineales, no lineales, variantes, invariantes, continuos, discretos, SISO y MIMO
48F. Ruiz
Agosto de 2012
VARIABLES DE ESTADO CIRCUITOS ELECTRICOS
49F. Ruiz
Agosto de 2012
EJEMPLO
� Plantear el conjunto de ecuaciones de estado que describe al sistema. Tomar como salida 2Rv
50F. Ruiz
Agosto de 2012
EJEMPLO
Plantear el modelo en variables de estado tomando como variables de estado:
a. La carga b. El voltaje c. Encontrar la relación entre los dos modelos.
51F. Ruiz
Agosto de 2012
EJEMPLO: SISTEMA VARIANTE
� Plantear las ecuaciones de estado para un sistema Lineal Variante con el tiempo.
52F. Ruiz
Agosto de 2012
SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO
� Sistema LIT:
� Obtener la solución de la ecuación.
Al tablero!!!!!
BUAXX +=&
DUCXY +=
53F. Ruiz
Agosto de 2012
SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO
� Sistema LIT:
� Empleando transformada de Laplace:
BUAXX +=&
DUCXY +=
44 344 2144 344 21CERO ESTADO
1
CEROENTRADA
1 )()()0()()( ssss BUAIXAIX −− −+−=
54F. Ruiz
Agosto de 2012
SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO
� Solución en tiempo:
� Se define la matriz de transición de estados:
∫−+=
ttAAt dBUeXetX
0
)( )()0()( τττ
55F. Ruiz
{ }( ) 1
1
)(
)()(−
−
−=
Φ==
AIΦ
ΦA
ss
set tL
Agosto de 2012
SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO
� Comparando las soluciones en el tiempo y la frecuencia:
� relaciona el estado en cualquier tiempo t con el estado en el instante inicial.
444 3444 2143421
ceroestadoen oforzadaRespuesta
0cero)entrada ao natural oHomogenea (
forzadanoRespuesta
)()()0()()( ∫ −Φ+Φ=t
dBUtXttX τττ
)(tΦ
56F. Ruiz
Agosto de 2012
SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO
� La respuesta estado cero:
� En frecuencia equivale a la función de transferencia:
444 3444 21ceroestadoen oforzadaRespuesta
0
)()()( ∫ −=t
ceroestado dtt τττ BUΦX
57F. Ruiz
DBAsICsH +−= −1)()(
Agosto de 2012
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
� La función de transferencia es:
� det(sI – A) determina los polos� SISO: función escalar, racional� MIMO: arreglo matricial pxq, elementos
racionales
DBAsICsH +−= −1)()(
58F. Ruiz
Agosto de 2012
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
� Sólo existe una representación entrada –salida: la respuesta impulso y la función de transferencia son únicas.
� La función de transferencia que se obtiene es racional.
� Si D = 0, la función de transferencia es estrictamente propia
59F. Ruiz
Ejemplo
F. Ruiz 60Agosto de 2012
Consideremos la ecuación:
La solución está dada por la ecuación
Para calcular eAt, se evalúa la inversa de sI - A
Solución de la Ecuación de Estado
F. Ruiz 61Agosto de 2012
Empleando la expansión en fracciones simples y usando una tabla detransformada Laplace.
La solución completa es:
ANÁLISIS MODAL
� La solución homogénea del sistema es:
Donde:- vi Son los autovectores de la matriz A- λi los autovaloes de A- αi depende de las condiciones iniciales
Agosto de 2012 F. Ruiz62
∑=
=
Φ=n
i
tii
ietx
xttx
1
)(
)0()()(
λα v
Agosto de 2012
VARIABLES DE ESTADO
� Realizando un cambio de variable
� P es la relación entre los dos conjuntos de variables de
estado.� Sistema original:
¿Cómo resulta el sistema de ecuaciones para el nuevo vector de estado?
PZX =Z
CX Y
BUAXX
=+=
•
63F. Ruiz
Agosto de 2012
VARIABLES DE ESTADO
� Resulta
� Realizando las transformaciones similares:
¿Cuál es la relación entre las funciones de transferencia?
UZY
UBZAZ
DC +=
+=∧∧
ˆ
&
BPB AP;PA 11 −∧
−∧
== CPC =∧
64F. Ruiz
Agosto de 2012
CONTROLABILIDAD
� “La ecuación de estado de un sistema es completamente controlable si existe una entrada U(t), que pueda transferir cualquier estado inicial a cualquier estado final en un tiempo finito, en caso contrario no es controlable”
� Sistema controlable si y sólo si rango C = n,
( )BAABB n 1−= MKKMMC
65F. Ruiz
Agosto de 2012
OBSERVABILIDAD
� “Un sistema es completamente observable si y solo si existe un tiempo finito t, tal que el estado inicial se puede determinar a partir de las salidas y de las entradas .”
� Sistema observable si y sólo si rango Ô = n
=
−1nCA
CA
C
MO
66F. Ruiz
CONTROLABILIDAD & OBSERVABILIDAD
� Plantear las ecuaciones de estado. La entrada u(t) es una fuente de corriente y la salida y es le voltaje sobre el condensador. Tomar:
iL = x1 ; vc = x2.
� ¿Qué condiciones sobre R, L y C garantizan que el sistema es controlable?
� Qué condiciones sobre R, L y C garantizan que el sistema es observable?
� ¿Qué pasa con la función de transferencia en esos casos?
F. Ruiz 67Agosto de 2012
68Agosto de 2012
Realizaciones
Dada la función de transferencia, cómo obtener una representación en espacio de estados?
� Caso 1: Realización de la función G(s)=bo/D(s) o función “solo polos”.
)(
)(
)(
)(
)(...)(
01
12
21
1 sD
sN
sU
sY
sD
bo
asasasas
bosG
nn
nn
n==
++++= −
−−
−
F. Ruiz
69Agosto de 2012
Realizaciones
� Forma “Companion” – Variables tipo fase
)()()()(.........)()(
)()(
............
.............
)()(
)()(
)()(
01021321
11
1
22
2
3
12
1
tubtxatxatxatxadt
ydtx
txdt
ydtx
txdt
ydtx
txdt
dytx
tytx
nnn
n
n
nn
n
n
=−−−−−==
==
==
==
=
−
•
•
−−
−
•
•
F. Ruiz
70Agosto de 2012
Realizaciones
� Representación matricial:
[ ]
=
+
−−−
=
−
−
−•
•
−
•
•
n
n
n
n
nn
n
x
x
x
x
y
tu
bx
x
x
x
aaax
x
x
x
1
2
1
0
1
2
1
110
1
2
1
..
..0.001
)(
0
..
..
0
0
..
..
....
1.......
.......
...1...
0...1.0
0....10
..
..
F. Ruiz
71Agosto de 2012
Realizaciones
� Diagrama de bloques:
� Resolviendo las ecuaciones:
02
21
1
0
02
21
0
......1
1
)()(
asasas
b
s
a
s
a
s
as
b
sU
sYn
nn
nn
nnn
n
++++=
−−−−−
= −−
−−−−
F. Ruiz
72Agosto de 2012
Realizaciones
� Caso 2: Realización de la función propia n = m:
� El residuo es estrictamente propio, y el cociente corresponde al término d de la ecuación de salida
)(
)(')(
...
....
'
'
'...''
´....´´)(
01
1
02
21
1
01
1
01
1
sD
sNdsG
asas
bsbsb
a
b
asasa
bsbsbsG
nn
n
nn
nn
n
nn
nn
n
nn
nn
+=
++++++
+
=
++++++
= −−
−−
−−
−−
−−
( )[ ]'
)(
)('
limlim 1
dd
sD
sNd
sdASIc
s
=
+
∞→=+−
∞→−
F. Ruiz
73Agosto de 2012
Realizaciones
� Es necesario realizar la función estrictamente propia:
� Extensión forma Companion
� Fracciones parciales
01
1
02
21
1
......
.......
)(
)()(
asas
bsbsb
sD
sNsG
nn
n
nn
nn
++++
== −−
−−
−−
F. Ruiz
Ejemplos
�
F. Ruiz 74Agosto de 2012