APLICACIN DE LA INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CARTESIANAS
CILINDRICAS Y ESFERICAS
Elprocedimientoutilizadoparadefinirunaintegral triple imita el de
las integrales dobles. Consideremosunafuncinfdetresvariables,
continua sobre una regin slida acotada Q. Si f es continua en una
regin solida acotada Q, la integral triple d f sobre Q se define
como:
iQinii iV z y x f dV z y x f A A=} } }=) , , (0 || ||lim) , ,
(1dzdydx dydzdx dxdzdy dzdxdy dydxdz dxdydz , , , , ,Posibles
ordenes para la integral triple | |} } } } } } } } }} } } } } } } }
}} } } } } }+ = = = Q Q QQ Q QQ QdV z y x f dV z y x f dV z y x fdV
z y x g dV z y x f dV z y x g z y x fdV z y x f c dV z y x cf1 2) ,
, ( ) , , ( ) , , ( . 3) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( . 2) , , ( )
, , ( . 1Cilndricas a rectangulares Rectangulares a cilndricas
SISTEMA DE COORDENADAS CILINDRICAS En un sistema de coordenadas
cilndricas, un punto P del espacio se representa por un tro
ordenado . 1. Son las coordenadas polares de la proyeccin de P
sobre el plano xy. 2.z es la distancia dirigida de P a. Las
coordenadas cilndricas son especialmente adecuadas al representar
superficies cilndricas y superficies de revolucin con el eje z como
eje de simetra. SISTEMA DE COORDENADAS ESFERICAS En un sistema de
coordenadas esfricas un punto P del espacio viene representado por
un tro ordenado . 1.es la distancia de P al origen,. 2.es el mismo
ngulo utilizado en coordenadas cilndricas para. 3.es el ngulo entre
el semieje z positivo y el segmento recto ,. Esfricas a
rectangulares Rectangulares a esfricas Esfricas a cilndricas
Cilndricas a esfricas Las coordenadas esfricas son especialmente
apropiadas para estudiar superficies que tengan un centro de
simetra. COORDENADAS CARTESIANAS COORDENADAS CILINDRICASCOORDENADAS
ESFERICAS La regin polar Es importante recordar las frmulas de
transformacin de coordenadas cilndricas a coordenadas cartesianas
ylasexpresionesqueyasevierondeloselementos diferenciales de
volumen: x = r cos ;y = r sen ; z = z ;d V = rdrdqdzLas coordenadas
cilndricas son apropiadas para describir
cilindroscuyosejescoincidenconelejexyplanosque
contienenelejezobiensonperpendicularesael.
Enestesistemadecoordenadas,elsolidomassimpleesunbloque cilndrico ,
que esta determinado por: r1 r r2 ,01 2, z1 z z2
paraobtenerlaexpresinencoordenadascilndricasdeunaintegral triple.
supongamos que Q es una regin solida cuya proyeccin R sobre el
plano xypuede describirse en coordenadas polares, esto es:
Q={(X,Y,Z): (X,Y) esta en R, h1 (X,Y)Zh2(X,Y)}Y R={(r.):1 2,g1 () r
g2()} Si f es una funcin continua sobre el solido Q,
podemosescribirlaintegraltripledefsobre Q como:
DondelaintegraldobledeRsecalculaen
polares.EsdecirResunareginplanar-simpleo-simple.SiResr-simple,laforma
iterada de la integral triple en forma cilndrica es: }}}=Qdv z y x
f ) , , (} } }21) ( 2) ( 1) , cos ( 2) , cos ( 1) , , cos (uuuuu uu
uu u uggrsen r hrsen r hrdzdrd z rsen r fdA dz z y x f dV z y x fQ
Ry x hy x hi}}} }} }((
=) , ( 2) , () , , ( ) , , ( En el orden dr d dzla primera
integracin se produce en direccin
der,loquepodemosimaginarcomounpuntoenunmovimiento radial. Al crecer
el segmento recto barre un sectoryfinalmente al crecer z ese sector
genera una cua solida. Calcular: donde D es la regin limitada por
un cilindro de radio 2y altura 5 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS
ESFERICAS Lasintegralestriplesqueinvolucranesferasoconos
suelensermsfcilesdecalcularencoordenadas esfricas.
Lasecuacionesdeconversindecoordenadas rectangulares a esfricas son:
| u | u | coscos===zsen sen ysen xDonde Si es un punto del interior
del bloque, el volumen del bloque sepuede aproximar por( ) { }2 1 2
1 2 1, , : , , | | | u u u | u s s s s s s. 0 , 2 , 02 1 1 2 1t | |
t u u s s s s > y( ) | u , ,.2u | | A A A ~ A sen
VPorelprocesohabitualdetomarunaparticipacin
interior,sumarypasarallmitesellegaalasiguiente
versindeunaintegraltripleencoordenadasesfricas
paraunafuncincontinua definidasobreelslido. fQ( ) ( ) u | | | u | u
| uu||d d d sen sen sen sen f dV z y x fQ2212121cos , , cos , ,} }
} }}}=u | | t td d d sen} }}2040302 Calcularelvolumendelareginslida
acotadaporabajoporlahojasuperior del cono y por arriba por la
esfera. Solucin:Encoordenadasesfricasla ecuacindelaesferaes:
Adems,laesferayelconosecortan cuando: Ycomosesigueque:
Enconsecuencia,podemosusarelordende integracindonde: 2 2 2y x z +
=Q92 2 2= + + z y x3 92 2 2 2= = + + = z y x239 ) ( ) (2 2 2 2 2= =
+ = + + z z z z y x, cos | = zu | d d d4cos3123 t| | = =|.|
\||.|
\|, 4 0 , 3 0 t | s s s sy . 2 0 t u s s|56 , 16 ) 2 2 ( 9221
9cos 9 920402020402040302~ =||.|
\| = = == =}} } }} }} }}}t uu | u | |u | | ttt t tt tdd d d send
d d sen dV VQ
