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5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
APLICACIONES REALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Control de Procesos
Qu es un sistema de control ? En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que necesitancumplirse.
En el mbito domstico Controlar la temperatura y humedad de casas y edificios
En transportacin Controlar que un auto o avin se muevan de un lugar a otro en forma
segura y exacta En la industria
Controlar un sinnmero de variables en los procesos de manufactura En aos recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez ms
importante en el desarrollo y avance de la civilizacin moderna y la tecnologa.
Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores dela industria: tales como control de calidad de los productos manufacturados, lneas de
ensa,ble automtico, control de mquinas-herramienta, tecnologaespacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas detransporte, sistemas de potencia, robtica y muchos otros
Ejemplos de procesos automatizados
Un moderno avin comercial
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
Satlites
Por que es necesario controlar un proceso ?
Incremento de la productividad Alto costo de mano de obra Seguridad Alto costo de materiales Mejorar la calidad
Reduccin de tiempo de manufactura Reduccin de inventario en proceso Certificacin (mercados internacionales) Proteccin del medio ambiente (desarrollo sustentable)
Control de Procesos
El campo de aplicacin de los sistemas de control es muy amplia. Y una herramienta que se utiliza en el diseo de control clsico es precisamente:
La transformada de Laplace
De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferencialeslineales mediante la transformacin en ecuaciones algebraicas con lo cual sefacilita su estudio.
Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinmicos, sepuede proceder a disear y analizar los sistemas de control de manera simple.
El proceso de diseo del sistema de control
Para poder disear un sistema de control automtico, se requiere Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la ecuacin
diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes fsicas,qumicas y/o elctricas.
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
A esta ecuacin diferencial se le llama modelo del proceso. Una vez que se tiene el modelo, se puede disear el controlador.
Conociendo el proceso
MODELACIN MATEMTICASuspensin de un automvil
El rol de la transformada de Laplace
Suspensin de un automvil
2
2 )()()()(
dt
tzdm
dt
tdzbtkztf
maF
kbsmssF
sZ
kbsmssZsF
sZmssbsZskZsF
dt
tzdm
dt
tdzbtkztf
2
2
2
2
2
1
)(
)(
)()(
)()()()(
cero)aigualinicialesscondicionendo(considera
trminocadaaLaplacedeadatransformlaAplicando
)()()()(
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
Diagrama de bloques
Suspensin de un automvil
MODELACIN MATEMTICANivel en un tanque
Nivel en un tanque
dt
tdhAth
Rtq
tq
thR
dt
tdh
Atqtq
i
o
oi
)()(
1)(
)(
)(
)(
)()(
11
1
)(
)(
)1
)(()(
)()(1
)(
LaplacedeadatransformlaAplicando
)()(
1)(
ARs
R
RAs
sQ
sH
RAssHsQi
sAsHsH
R
sQi
dt
tdhAth
Rtq
i
i
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
Diagrama de bloques
Nivel en un tanque
Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor
Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y coraza. En condiciones estables, esteintercambiador calienta 224 gal/min de agua de 80F a 185F por dentro de tubosmediante un vapor saturado a 150 psia.
En un instante dado, la temperatura del vapor y el flujo de agua cambian, producindoseuna perturbacin en el intercambiador.
a) Obtenga la funcin de transferencia del cambio de la temperatura de salida delagua con respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en elflujo de agua, suponiendo que la temperatura de entrada del agua alintercambiador se mantiene constante en 80F.
b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambiotipo escaln de +20F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/minen el flujo de agua.
c) Grafique la variacin de la temperatura de salida del agua con respecto altiempo.
Ecuacin diferencial que modela el intercambiador de calor
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
Ecuacin diferencial
Donde:
Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor referido al dimetro exterior (BTU/h F ft2) ATC0: rea de transferencia de calor referida al dimetro exterior (ft2) Cp : Capacidad calorfica (BTU/lb F) tv : Temperatura del vapor (F) te : Temperatura del agua a la entrada (F) ts : Temperatura del agua a la salida (F) (te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (F) tref : Temperatura de referencia (F) w : Flujo de agua (lb/h) m : Cantidad de agua dentro de tubos (lb) : Valores en condiciones estables Tv , Ts , W Variables de desviacin
Linealizando
..1
..2
Evaluando en condiciones iniciales estables
..3
Restando (2) de (3)
twtstv ,,
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
Utilizando variables de desviacin
Aplicando la transformada con Laplace
Simplificando
Datos fsicos Largo del intercambiador = 9 ft Dimetro de coraza = 17 Flujo = 224 gal/min Temperatura de entrada =80F Temperatura de salida = 185F Presin de vapor =150psia. Nmero de tubos= 112 Dimetro exterior de tubo = de dimetro y BWG 16, disposicin
cuadrada a 90, con un claro entre tubos de 0.63. Conductividad trmica de los tubos = 26 BTU/hftF, Factor de obstruccin interno = 0.0012 hft2F/BTU; externo = 0.001
hft2F/BTU Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2F
Calculando las constantes
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
Funcin de transferencia
Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipoescaln de +20F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo deagua.
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
Respuesta del proceso
Transformada inversa de Laplace
sb
s
b
s
a
s
a
sssssT
ssssss
x
sssT
ss
K
ss
KsT
ssW
ssTsW
s
KsT
s
KsT
s
s
s
vvs
2121
4
2
2
1
1
2
2
1
1
583772.0583772.0583772.0
213928.2
583772.0
458658.4)(
parcialesfraccionesenExpansin
1712995.1
792464.3
1712995.1
63766.725.5007
1712995.1
10573947.720
1712995.1
381883.0
)(
25.5007
1
20
1)(
25.5007)(
20)()(
1)(
1)(
TsseetTemperaturTsseetT
sssssT
sssb
sssb
sssa
sssa
tt
s
tts
s
s
s
s
s
583772.0583772.0
583772.0583772.0
0
2
583772.0
1
0
2
583772.0
1
1792453.31637670.7)(
salida)deinicialat(Tss792453.3792453.3637670.7637670.7)(
792453.3
583772.0
792453.3637670.7
583772.0
637670.7)(
792453.3583772.0
213928.2
583772.0
213928.2
792453.3583772.0
213928.2
583772.0
213928.2583772.0
6376.7583772.0
458658.4
583772.0
458658.4
6376.7583772.0
458658.4
583772.0
458658.4583772.0
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
APLICACIN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A LOS CIRCUITOS ELCTRICOS
Nuestro objetivo fundamental es tomar sta teora y aplicarla en la resolucin deproblemas de ingenieria y mas especficamente en el anlisis de circuitos elctricos.
Por tal motivo, en esta seccin se presentarn ejemplos que sean claros y losuficientemente generalizables, para que el estudiante pueda mas tarde llevar acabo problemas similares con algn grado de dificultad superior.
El primer paso ser aprenderla transformadaque est asociada a cada uno de losparmetros componente de un circuito elctrico basico:
EL PARMETRO RESISTIVO
EL PARMETRO INDUCTIVO
EL PARMETRO CAPACITIVO
FUENTES
EL PARAMETRO RESISTIVO
La transformada de Laplace en un circuito meramente resistivo, no tiene efectosino en las funciones de voltaje y corriente:
cuya transformada es:
Este resultado se puede observar en la figura:
EL PARAMETRO INDUCTIVO
Observe la figura, y detalle que para una inductancia L en Henrys, que posee unacorriente inicial de i(0+)A en la direccin de la corriente i(t), se transforma en eldominio de s como una impedancia sL en ohmios, en serie con una fuente devoltaje cuyo valor en s es Li(t)y que va en la direccin de la corriente I(s).
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded1.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded1.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded2.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded2.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded3.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded3.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded4.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded4.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded4.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded3.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded2.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded1.htm5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
La ecuacin que describe el comportamiento del inductor en el dominiodel tiempo es:
cuya respectiva transformada es:
EL PARAMETRO CAPACITIVO
La figura que se observa en esta seccin muestra una capacitancia de C faradiosen el dominio del tiempo; en el dominio de s, sta se transforma en unaimpedancia y una fuente de voltaje en serie oponindose a la corriente i(t), cuyoscuyos se observan tambin en dicha figura:
En el dominio del tiempo se tiene:
transformamos esta ecuacin, y obtenemos:
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
FUENTES
En cuanto a fuentes, la transformada depende de la funcin que caracterice a dichafuente. Otra herramienta que debemos aprender, es el intercambio de fuentes:
En la primera figura, se cumple:
despejamos I(s):
Resultado que nos conduce a la segunda figura. Estastransformaciones son bidireccionales, es decir, si tenemos una fuente de corrienteen paralelo con una impedancia se convertirn en una fuente de voltaje en seriecon la impedancia, y viceversa.
Como segunda instancia, se aprendern a resolver circuitos que contengan losanteriores parmetros, e involucren corrientes, voltajes y condiciones iniciales:
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
CIRCUITO RL SERIE CON FUENTE DC
CIRCUITO RC SERIE CON FUENTE DC
CIRCUITO RLC SERIE CON CONDICIONES INICIALES
CIRCUITO RLC PARALELO CON CONDICIONES INICIALES
CIRCUITO RL SERIE CON FUENTE DC
Considere el circuito de la figura:
La ecuacin diferencial que resulta de hacer LVK, es:
sometiendo esta ecuacin a la transformada de Laplace, obtenemos:
De esta ecuacin despejamos I(s):
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded5.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded5.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded6.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded6.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded7.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded7.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded8.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded8.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded7.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded6.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded5.htm5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
Ahora, cambiamos la forma del denominador para realizar un procedimiento defracciones parciales:
hallamos el coeficienteA, igualando s a cero:
hallamos el coeficiente B, igualando s a , y reemplazamos los valores:
finalmente, aplicamos transformada inversa de Laplace, para que la respuesta est
en el dominio del tiempo:
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
CIRCUITO RC SERIE CON FUENTE DC
Observe la siguiente figura:
La ecuacin integral que resulta de hacer LVK, es:
aplicando transformada de Laplace:
despejamos I(s):
Si observamos detenidamente esta ltima ecuacin, nos damos cuenta quepodemos aplicar directamente la transformada inversa de Laplace:
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
Este resultado generaliza la respuesta en el dominio del tiempo para este tipo decircuitos.
CIRCUITO RLC SERIE CON CONDICIONES INICIALES
Considere el circuito de la figura, donde la corriente inicial del inductores amperes, y el voltaje inicial en el condensadores es voltios, con lapolaridad indicada:
Si aplicamos LVK, obtenemos la ecuacin integro-diferencial:
le aplicamos transformada de Laplace, y se obtiene:
arreglamos esta ecuacin, de tal forma que se pueda ver de forma mas clara:
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
El primer factor de esta ecuacin corresponde a la funcin del sistema, mientrasque el segundo factor corresponde a la funcin de excitacin. De acuerdo a loanterior, el primer factor puede ser expresado de la siguiente forma:
en Siemens.
Y dada la relacin entre admitancia e impedancia:
podemos deducir que:
ahora, dejamos todo en una sola fraccin:
Si detallamos la ltima ecuacin escrita, y la relacionamos con la ecuacin dondeest despejada I(s), veremos que los ceros de Z(s) son los que en ltimasdeterminan el comportamiento del circuito. Lo anterior, escrito en una ecuacinsera:
Despus de tener en cuenta todas estas consideraciones, lo nico que resta es
encontrar la respuesta en el dominio del tiempo; sin embargo, no se puedegeneralizar una respuesta debido a que dependiendo de las funciones de excitacin
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
y de las condiciones iniciales, la respuesta en el tiempo cambia. Lo que haremosentonces es plantear la ecuacin de transformada inversa de Laplace:
CIRCUITO RLC PARALELO CON CONDICIONES INICIALES
La fuente de corriente i(t)de la figura, es la que excita el circuito. El inductor lleva
una corriente inicial . En la misma direccin de . El voltaje inicial del
condensador es con la polaridad opuesta al sentido de la corriente .
Por LCK:
Hallamos el equivalente de cada una de estas corrientes, para el caso del resistoren siemens:
para el inductor:
y para el condensador:
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
Reemplazamos estas tres expresiones en la primera ecuacin:
Aplicamos transformada de Laplace, y el resultado es:
arreglamos esta ecuacin, de tal forma que se pueda ver de forma mas clara:
El primer factor de esta ecuacin corresponde a la funcin del sistema, mientrasque el segundo factor corresponde a la funcin de excitacin. De acuerdo a loanterior, el primer factor es una impedancia que puede ser expresada de lasiguiente forma:
o una admitancia cuyo valor es:
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
en Siemens
los polos de Z(s) o los ceros de Y(s), determinan el comportamiento transitorio dela funcin respuesta V(s). La funcin respuesta en el dominio del tiempo es:
Estudiamos un caso de superposicin resuelto con transformada de Laplace:
SOLUCION POR SUPERPOSICIN
La funcin respuesta para el caso del circuito RLC serie con excitacin de voltaje,puede expresada como:
donde:
De forma similar, la respuesta para el circuito RLC paralelo con fuente devoltaje como excitacin, puede escribirse:
donde:
con estas ecuaciones, se puede concluir que la funcin respuesta es la suma de
componentes separadas, cada una de ellas obtenida dejando unafuente activa mientras las otras son cero (Teorema de Superposicin).A
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
continuacion, se presenta un ejemplo que resume de forma prctica esteprocedimiento. El siguiente circuito posee tres fuentes, una de voltaje senoidal, otrade voltaje DC, y otra de corriente DC:
Como primer paso, recordamos la transformada de coseno y aplicamos latransformada de Laplace a la fuente de voltaje:
cada una de las tres fuentes se analiza como si las otras dos fuesen cero. Hay quetener en cuenta que cuando una fuente de voltaje se reduce a cero, en su lugarqueda un corto-circuito; cuando se trata de una fuente de corriente, queda uncircuito-abierto. Las tres situaciones se presentan en los circuitos a continuacin:
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
del primer circuito podemos extraer la primera componente de la funcinrespuesta:
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
y de los otros dos:
La tercera componente es cero, porque la corriente de la fuente fluye toda por elcorto-circuito.De acuerdo a lo expuesto al principio de esta seccin, la respuesta es igual a lasuma de las componentes:
Ahora aplicamos transformada inversa de Laplace, para encontrar la respuesta enel dominio del tiempo:
Esta expansion de fracciones parciales se hace con el fin de facilitar latransformacin inversa y utilizar pares de transformadas. Los valores de loscoeficientes A, B y C, son:
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
reemplazamos estos coeficientes y obtenemos:
vemos que la transformada de coseno puede tener equivalentes en exponencialesde Frecuencia.
Finalmente, dos ejemplos que involucran conceptos de esta seccin
EJEMPLO 1
Dado el circuito de la figura, con las siguientes condiciones iniciales:
Encuentrei(t), utilizando la transformada de Laplace.
SOLUCION:
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
Como primer paso, incluimos las condiciones iniciales en el circuito del dominio deltiempo, y luego transformamos todo el circuito al dominio de la frecuencia:
La ecuacin principal para resolver el problema, es:
Ahora planteamos dos ecuaciones de malla, teniendo en cuenta que la segundaecuacin corresponde a la malla exterior del circuito:
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
despejamos estas ecuaciones:
Y reemplazando en la ecuacin principal:
separamos el primer sumando en fracciones parciales, ya que el segundo sumandoya posee coeficiente:
hallamos estos coeficientes:
con lo cual la funcin respuesta en el dominio de la frecuencia, es:
Esta ecuacin podemos convertirla directamente al dominio del tiempo:
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
EJEMPLO 2
Segn el circuito de la figura, encuentre:
a)
b) h(t)
c) i2(t)si
SOLUCION 2:
a) Transformamos el circuito al dominio de la frecuencia:
Planteamos las siguientes ecuaciones de malla:
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
Organizando estas ecuaciones:
despejamos de la segunda ecuacin el valor de I1(s),y lo reemplazamos en laprimera ecuacin:
Esta ltima ecuacin es una funcin de transferencia del circuito.
b) Para saber el equivalente de H(s)en el dominio del tiempo aplicamos fraccionesparciales:
En esta ocasin, empleamos el planteamiento de ecuaciones para hallar loscoeficientes A y B:
resolvemos este sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas:
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
con lo cual, la funcin H(s)queda:
ecuacin a la que aplicamos directamente la tabla de transformadas inversas, loque se traduce en una respuesta en el dominio del tiempo:
c) Tomamos la funcin de transferencia H(s)y despejamos el valor de I2(s)entrminos de Vs(s):
Aplicamos la transformada de Laplace a la funcin vs(t), y reemplazamos elresultado en la anterior ecuacin:
hallamos estos coeficientes, utilizando la misma tcnica que se uso en el temanterior:
5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria
ordenando:
resolviendo este sistema, obtenemos:
con lo cual la funcin I2(s)se puede rescribir como:
y finalmente, aplicando pares de transformadas para regresar al dominio deltiempo, se llega a:
f(t)z(t)kbmFuncinde
transfere
ncia
Flujo queentra
Flujo quesale =
Funcin
de
transfere
ncia