Aplicación de Las Ecuaciones Diferenciales en El Campo de La Ingenieria

5/25/2018 Aplicacin de Las Ecuaciones Diferenciales en El Campo de La Ingenieria

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ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PER.FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS A LIMENTARIAS. ANAL ISIS MATEMATICO IV

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1. Se desea preparar 1000kg de solucin de hidrxido de calcio en agua al 5% enpeso, diluyendo una solucin de 20% en peso. Calcule las cantidades requeridasde hidrxido de calcio y agua.

CONSERVACIN DE LA MASALa ecuacin general de conservacin de la masa para cualquier sistema de proceso puedeescribirse como:

Para un proceso al estado estacionario la acumulacin es cero. Excepto para procesosnucleares, nada de masa es generada ni consumida; pero si se lleva a cabo una reaccinparticular pueden formarse o consumirse especies qumicas en el proceso. Si no hayreaccin qumica el balance al estado estacionario se reduce a:

Masa que entra = Masa que sale

Una ecuacin de balance puede escribirse separadamente para cada especie presenteidentificable, elementos, compuestos o radicales; y para la masa total

Solucin

Denominando las corrientes por:

A: Lodo al 20 % de Ca(OH)2

B: AguaC: Lodo con 5% de Ca(OH)2

Se debe cumplir al estado estacionario

ENTRADAS = SALIDAS

Balance total:

A + B = CA + B = 1000 (a)

a) Balance parcial:


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1) Hidrxido de calcio0,20 A + B = 0,05C0,20 A = 100 (1.b)

2) De agua0,80 A + B = 0,95 B0,80 A + B = 900 (2.b)

De la Ec. (1.b)

A = 500 kg. de solucin al 20%

Reemplazando A en las ecuaciones (a) (2.b)

B = 500 kg. de agua

Verificando el balance de materiales sobre la cantidad total:

X + Y = 1000

500 + 500 = 1000, Correcto

2. El cido clorhdrico grado tcnico tiene una concentracin de 28% en peso,exprselo como fraccin mol.

UNIDADES USADAS PARA EXPRESAR COMPOSICIONESCuando se especifica una composicin como un porcentaje es importante fijar claramentelas bases: Peso, molar o volumen. Las abreviaciones p/p, (w/w) y v/v son usadas paradesignar base en peso y base en volumen.

Solucin

Base de clculo 100 kg. de cido con 28 % p/p

Pesos moleculares: Agua 18, HCl 36,5

Masa de HCl = 100 x 0,28 = 28 kg.

Masa de agua = 100 x 0,72 = 72 kg.

Kmol de HCl = 28 / 36,5 = 0,77

Kmol de agua = 72/18 = 4

Moles totales = 4,77


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Fraccin molar de HCl =0,77 /4,77 = 0,16Fraccin molar de agua = 4,00/4,77= 0,84

Comprobando total =1,00

3. Discutir en trminos de ecuaciones diferenciales las consecuencias de la primeraley de la termodinmica, referente a:

a) Variables termodinmica T y V independientesLa presin se mantiene contante

b) Variables termodinmica T y P independientesEl volumen se mantiene constante


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c) Variables termodinmica P y V independientesLa temperatura se mantiene constante

4. Discutir las ecuaciones diferenciales de primer orden requerido a:a) Operacin unitaria de filtracin.

La filtracin es la operacin mediante la cual las partculas slidas de una mezcla lquido-slidose separan for4zando a la mezcla a pasar a travs de un medio filtrante o tela filtrante queretiene las partculas. Los slidos se depositan en el filtro y a medida que la torta aumenta deespesor opone una mayor resistencia a la filtracin. Los poros del medio filtrante en general,tendrn una forma tortuosa y sern mayores que las partculas que deben separarse, operandoel filtro de forma eficaz nicamente despus de que un depsito inicial haya sido retenido en elmedio.

En el laboratorio qumico, la filtracin se lleva a cabo a menudo por medio de un embudoBuchner, siendo el lquido succionado a travs de la fina capa de partculas mediante una fuentede vaco, en casos an ms sencillos, la suspensin es vertida en un embudo cnico provisto deun papel de filtro. A escala industrial, nos encontramos con las dificultades inherentes almovimiento mecnico de cantidades muchos mayores de suspensin y de slidos. Deberemospermitir la formacin de una capa ms gruesa de slidos y, para conseguir una elevada

velocidad de paso del lquido a travs de los slidos, se requerirn presiones ms elevadas. Enotro caso, ser necesario proporcionar un rea mucho mayor.


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La operacin de filtracin depende de las propiedades del slido y del fluido. La filtracin desolidos cristalinos incomprensibles en lquidos de baja viscosidad es relativamente sencilla. Porel contrario, los caldos de fermentacin pueden ser difciles de filtrar debido al pequeo tamao ya la naturaleza gelatinosa de las clulas y al comportamiento viscoso no newtoniano del caldo.La mayora de las tortas filtrantes microbianas son comprensibles, es decir, la porosidad de latorta disminuye conforme aumenta la cada de presin a travs del filtro. Este hecho puederepresentar un problema importante en el proceso ya que disminuye la velocidad de filtracin yaumenta las prdidas de producto. La filtracin de los caldos de fermentacin se realizanormalmente en condiciones no aspticas, por lo que el proceso debe ser lo suficientementeeficaz como para evitar una contaminacin excesiva y la degradacin de los productos lbiles.En la figura 4.3 se ilustra una operacin tpica de filtracin, mostrndose, el medio filtrante, eneste caso una tela, su soporte y la capa de slidos, o torta filtrante, que se ha formado ya.

Los factores ms importantes de que depende la velocidad de filtracin sern entonces:

1) La cada de presin desde la alimentacin hasta el lado ms lejano del medio filtrante,2) El rea de la superficie filtrante,3) La viscosidad del filtrado,4) La resistencia de la torta filtrante,5) La resistencia del medio filtrante y de las capas iniciales de la torta.

Debo observar que existen dos mtodos completamente distintos de operar un filtro discontinuo:Si la presin se mantiene constante la velocidad de flujo disminuir progresivamente, mientrasque si debe mantenerse constante la velocidad de flujo entonces habr de aumentargradualmente la presin. Como las partculas que forman la torta son pequeas y el flujo a travsdel lecho es lento, casi siempre se obtiene condiciones laminares y, por tanto, en un instante

cualquiera puede expresarse con la siguiente ecuacin diferencial:

En esta ecuacin, V es el volumen de filtrado que ha pasado en un tiempo t, A es el rea de laseccin transversal de la torta filtrante, p es la velocidad superficial del filtrado, l es el espesor dela torta, S es la superficie especifica de las partculas, e es la porosidad, u es la viscosidad delfiltrado y AP es la diferencia de presiones aplicada.

Las tortas filtrantes pueden dividirse en dos clases: tortas incomprensibles y tortascomprensibles. En el primer caso, la resistencia al flujo de un volumen dado de torta no esafectada de forma apreciable por la diferencia de presin a travs de la torta o por la velocidadde deposicin de material. Por otra parte con una torta comprensible, un aumento de ladiferencia de presin o de la velocidad de flujo provoca la formacin de una torta ms densa conuna resistencia ms elevada. Para tortas incomprensibles, el valor de e en la ecuacin 2.20

puede tomarse como constante; en estas condiciones el grupo es una propiedad delas partculas que forman la torta y debe ser constante para un determinado material.

Por lo tanto:


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Donde

La ecuacin diferencial 4.21 es la ecuacin diferencial bsica de la filtracin, siendo r laresistencia especifica. Depende de e y de S. para tortas incomprensibles se considera constante,pero depender de la velocidad de deposicin, de la naturaleza de las partculas y de las fuerzasexistentes entre las mismas. A partir de ella se obtiene los modelos matemticos para la filtracina presin constante y a velocidad constante.

El filtro ms adecuado para una operacin dada ser aquel que cumpla las necesidades a uncosto global mnimo. Como el costo del equipo estar estrechamente relacionado con el reafiltrante, normalmente es de desear el obtener una elevada velocidad global de filtracin. Estoimplica la utilizacin de presiones relativamente elevadas, pero las presiones mximas suelenestar limitadas por consideraciones de diseo mecnico. Aunque se obtiene una capacidad deproduccin ms elevada, para una superficie filtrante dada, en un filtro continuo que en unodiscontinuo, puede ser necesario a veces utilizar este ltimo, especialmente si la torta filtrantetiene una elevada resistencia, ya que la mayora de filtros continuos funcionan a presinreducida, estando por tanto limitada la presin mxima de filtracin.

Los factores ms importantes en la seleccin de un filtro son la resistencia especfica de la tortafiltrante, la cantidad a filtrar, y la concentracin de slidos. Para materiales de filtracin pococomplicados generalmente lo ms satisfactorio es utilizar un filtro rotario a vaco; estos filtrosofrecen una gran capacidad con relacin a su tamao y no requieren mucha atencin manual. Sila torta debe lavarse, el filtro rotario de tambor es preferible al de hojas.

Para filtracin en gran escala, hay tres casos principales en los que no debe utilizarse un filtrorotario o vaco. En primer lugar, si la resistencia especifica es elevada se requiere un filtro apresin, un filtro prensa puede resultar adecuado, especialmente si el contenido en slidos no estan elevado que obligue a desmontar frecuentemente la prensa En segundo lugar cuando serequiere un lavado eficaz, el filtro de hojas es adecuado, ya que se forman tortas muy delgadas yel riesgo de que ocurra canalizacin durante el lavado se reduce al mnimo. Finalmente, cuandoen el lquido se encuentra presentes nicamente muy pequeas cantidades de slidos, puedeutilizarse un filtro de lecho.

Los filtros de lecho constituyen un ejemplo de los principios de la filtracin en profundidad, en lasque las partculas penetran en el interior de los intersticios del lecho filtrante, donde quedanatrapadas.

Para la depuracin de los suministros de agua y para el tratamiento de aguas residuales, encuyos caos el contenido de slidos es de aproximadamente 10g/m o menos, los filtros de lecho

granulares han substituido en gran parte a los antiguos o lentos lechos de arena. Estos filtrosestn constituidos por materiales granulares, con un tamao de grano de 0,6-1,8m. Las


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partculas de slidos se separan por una accin mecnica, aunque finalmente quedan adheridaspor fuerzas elctricas superficiales o por adsorcin. Esta operacin ha sido analizada porIwasaki, quien dio la siguiente ecuacin diferencial:

En esta ecuacin C es la concentracin en volumen de los slidos en suspensin en el filtro; I es

la profundidad del filtro, y es el coeficiente del filtro. Resolviendo la ecuacin como una devariables separables, obtendremos:

Donde C es el valor de C en la superficie del filtro. Si u es la velocidad de flujo superficial de lasuspensin, la velocidad de flujo de los slidos a travs del filtro a una profundidad I es uC porunidad de rea. As, la velocidad de acumulacin de slidos depositado por unidad de volumendel filtro a una profundidad I, la velocidad de acumulacin puede tambin expresarse como

EJEMPLO 1. Tiempo requerido para efectuar una filtracin

Se cuenta con los siguientes datos para filtrar en el laboratorio una suspensin de CaCO3 enagua a 298.2 K (25C), a presin constante (-p) de 46.2 KN/m2. El rea de filtracin de laprensa de placas y marcos es A = 0.0439 m2y la concentracin de la suspensin es C s= 23.47

kg/m3

(1.465 Ibm/pie3

) de filtrado.Calcule las constantes y Rmcon base en estos datos experimentales, si t es el t iempo en s y Ves el volumen de filtrado recolectado en m3.


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Solucin: Primero se calculan los datos como t/Vy se tabulan en la tabla 14.2-1. Se construye lagrfica de t/V contra V en la figura 14.2-8, y se determinan la interseccin que es B = 6400 s/m3(181 s/pie3) y la pendiente que es Kp/2 = 3.00 x 106s/m6. Por tanto, Kp= 6.00x 106s/m6(4820s/pie6).

A 298.2 K, la viscosidad del agua es 8.937 x 10 -4Pa/s = 8.937 x 10-4kg/m s.

Sustituyendo los valores conocidos en la ecuacin y resolviendo,


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Sustituyendo en la ecuacin y despejando,

EJERCICIO 2:

Se desea filtrar en una prensa de placas y marco que tiene 20 marcos y 0.873 m2(9.4 pie) derea por marco. La concentracin de la suspensin es cs = 23.47 kg/m3 (1.465 Ibs, /pie3).Suponiendo las mismas propiedades de la torta de filtrado y de la tela de filtracin que elejercicio anterior. Calcule el tiempo necesario para extraer 3.37 m3(119 pie3) de filtrado.

Solucin:

El rea A = 0.0439 m2Kp = 6.00 x l06s/m6B = 6400 s/m3Puesto que:

.Es posible corregir Kp.De acuerdo con la ecuacin K, es proporcional a l/A2. La nueva rea es A =0.873(20) = 17.46 m2. El nuevo valor de Kp es

El nuevo valor de B es proporcional a 1/A de acuerdo con la ecuacin:

B = (6400)(0.0439/ 17.46) = 16.10 s/m3Sustituyendo en la ecuacin:

b) Operacin unitaria de destilacinLa destilacin es un mtodo para separar los componentes de una solucin;depende de la distribucin de las sustancias entre una fase gaseosa y una lquida, y


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se aplica a los casos en que todos los componentes estn presentes en las dosfases.En vez de introducir una nueva sustancia en la mezcla, con el fin de obtener lasegunda fase (como se hace en la absorcin o desorci6n de gases) la nueva fase secrea por evaporacin o condensaci6n a partir de la solucin original.Con objeto de aclarar la diferencia entre la destilacin y las otras operaciones, se vaa citar algunos ejemplos especficos. Cuando se separa una solucin de sal comnen agua, el agua puede evaporarse completamente de la solucin sin eliminar la sal,puesto que esta ltima, para todos los fines prcticos, casi no es voltil en lascondiciones predominantes. Esta es la operacin de evaporacin.Por otra parte, la destilacin se refiere a separar soluciones en que todos losComponentes son apreciablemente voltiles. A esta categora corresponde laseparacin de los componentes de una solucin lquida, de amoniaco y agua. Si lasolucin de amoniaco en agua se pone en contacto con aire, el cual es bsicamenteinsoluble en el lquido, el amoniaco puede desorberse mediante los procesosexpuestos en el captulo 8, pero entonces el amoniaco no se obtiene en forma pura,porque se mezcla con el vapor de agua y el aire. Por otra parte, aplicando calor, esposible evaporar parcialmente la solucin y crear, de esta forma, una fase gaseosaque consta nicamente de agua y amoniaco. Y puesto que el gas es ms rico enamoniaco que el lquido residual, se ha logrado cierto grado de separacin.Mediante la manipulaci6n adecuada de las fases, o mediante evaporaciones ycondensaciones repetidas, es generalmente posible lograr una separacin tancompleta como se quiera y recobrar, en consecuencia, los dos componentes de lamezcla con la pureza deseada.El vapor que se desprende en una destilaci6n diferencial verdadera est en

cualquier momento en equilibrio con el lquido del cual se forma, pero cambiacontinuamente de composici6n. Por lo tanto, la aproximaci6n matemtica debe serdiferencial. Supngase que en cualquier momento durante el desarrollo de ladestilacin hay L moles de lquido en el destilador con una composicin x fraccinmol de A y que se evapora una cantidad dD moles del destilado, de composicin y*fraccin mol en equilibrio con el lquido. Entonces, se tiene el siguiente balance demateria:

Materia total Componente AMoles entrantes 0 0

Moles salientes dD yMoles acumulados dL d(Lx) - Ldx + xdLEntrada-salida = acumulacin 0 - dD - dL 0 - y*dD - Ldx + xdL

Las dos ltimas ecuaciones/ se vuelven:y*dL = Ldx + xdL

En donde F son los moles cargados de composicin xF y W los moles de lquidoresidual de composicin xw.


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Un lquido que contiene 50% en mol de benceno (A), 25% en mol de tolueno (B)y 25% en mol de o-xileno (C) se destila diferencialmente a 1 atm. conevaporacin del 32.5% en, mol de la carga. Se aplica la Ley de Raoult. Calcularla composicin del destilado y del residuo.

Solucin:La temperatura promedio va a ser ligeramente superior que el punto de burbujade la carga (95 C, vase el ejemplo 9.3), pero se desconoce. Se va a tomarcomo 100 C. Las correcciones pueden hacerse posteriormente calculando elpunto de burbuja del residuo y repitiendo

El trabajo a la temperatura promedio, pero variapoco con cambios moderadosde temperatura.

A continuacin, se tabulan las presiones de vapor a 100 C y las ase calculan enfuncin del tolueno,

P=PRESIN DE VAPORSUSTANCIA 100C, mmHg xfA 1370 2,49 0,5B 550 1,0 0,25C 200 0,364 0,25

Para A: Para C:

Por lo tanto:

Resolviendo estas ecuaciones simultneamente, suponiendo valores de ,calculando y y verificando su suma hasta que sea igual a 1, se obtiene , = 0.285, = 0.335. La suma es 1.005, la cual se considera satisfactoria.La composicin del destilado compuesto se calcula mediante balances de materiaPara A, lOO(O.50) = 32.5 yA, D, pr + 67.5(0.385) yA, D, pr = 0.742En forma similar, Y Ntese que se mejor6 la separaci6n con respecto a la obtenida por evaporacininstantnea


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c) Deshidratacin de alimentosLa deshidratacin de alimentos es una operacin unitaria que se usa en la conservacinde los mismos, y consiste en la eliminacin de agua de un alimento solido o liquido porvaporizacin, ebullicin o sublimacin. Como resultado se obtiene siempre un productoslido. Se considera que un alimento esta deshidratado si no contiene ms de 2,5% dehumedad, mientras que uno seco puede contener ms de 2,5%.

A excepcin de la liofilizacin, el secado al vaco, la eliminacin de agua se consigue, engeneral, mediante una corriente de aire seco, el cual arrastra el agua de la superficie delproducto.

La operacin de secado no solo rebaja su contenido en agua, sino puede afectar las

caractersticas organolpticas (color, sabor, aroma, textura, etc.) sino tambin nutritivas(insolubilizacin de protenas, perdida de vitaminas, reacciones de pardea miento).Adems esta operacin unitaria de eliminacin de agua es una de las ms costosas porque utiliza gran cantidad de energa para calentar el aire. Como se puede percibir, eldeshidratado de alimentos como operacin unitaria requiere que el tecnlogo requiere deconocimientos en las siguientes ramas de la ciencia e ingeniera.

Fisicoqumica Qumica de alimentos Termodinmica Transferencias de calor y masa

Las dos primeras, proporcionan herramientas y criterios para tratar adecuadamente alalimento y las dos ltimas al aire de secado. Tanto la termodinmica y los fenmeno detransferencia de calor y masa implican a su vez conocer matemticas fundamentalmenteecuaciones diferenciales y mtodos numricos.

MECANISMOS DE DESHIDRATACION DE ALIMENTOS

Los mecanismos de transferencia de agua e el producto que se est secando se puedenresumir en los siguientes.

Movimiento de agua bajo fuerzas capilares Difusin de lquido por gradientes de concentracin Difusin superficial Difusin de vapor de agua en lo poros llenos de aire Flujos debidos a gradientes de presin

La velocidad de secado R, es decir la cantidad de agua eliminada en la unidad de tiempoy por unidad de rea se expresa mediante la siguiente ecuacin diferencial de variablesseparables.


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Donde x es la humedad del alimento en base seca, t el tiempo, S los slidos secos y A elrea de secado.

PERIODOS DE SECADO

La operacin de secado puede describirse por una serie de etapas en las cuales lavelocidad de secado R juega un papel importante.

Estas etapas al ser graficadas reproducen ciertas curvas llamadas curvas de secado.Una de ellas se representa en la figura.

El periodo AB se llama periodo de induccin o estabilizacin y es bastante breve. El periodo

BC e llama periodo de secado o velocidad constante. El periodo CDE se llama periodo desecado o velocidad decreciente y es el ms importante, puesto que es en este periododonde se producen la mayor parte de deterioro del alimento, debido fundamentalmente a dosrazones.

Tienen gran duracin Los niveles de agua son tan bajos, que en ocasiones se llega a tocar los nutrientes del

alimento.

CALCULOS PARA EL PERIODO DE SECADI A VELOCIDAD DECRECIENTE

R

X

A

A

BC

D

E


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Se requiere tcnicas de integracin grafica como los trapecios o rectngulos. Si elsecado viene gobernado por el fenmeno de difusin, los clculos estn basados en lasegunda ley de Fick que es una ecuacin diferencial parcial de segundo orden:

d) Cintica qumica y cintica enzimticaRapidez de una reaccin si la temperaturas e mantiene constante la velocidad de unareaccin qumica es proporcional al producto de las concentraciones

Reactivos productos

A B

,- ,-

Debido a la concentracin de a disminuye al progresar al tiempo, se pone el signonegativo, pero la reaccin es siempre positiva

Velocidad de reaccin estequiometria

Reacciones ms compleja

2A B

En este caso hay dos moles de A por cada mol de B

,- ,-

Generalizando para la reaccin


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La velocidad de reaccin se escribe

,- ,- ,- ,- La ley dela la rapidez:

La velocidad de reaccin con la constante de reaccin con la constante de velocidad

X y y se determinan experimentalmente

,-,-

Reaccin de primer ordenLa velocidad depende de la concentracin es una ecuacin de primer grado de variableseparable

,- ,- ,-,- ,-

,- ,-

,- ,-

Reaccin de segundo orden

La velocidad depende la concentracin delos reactivos

A Producto

,-

,-

,-

,-

Reaccin de orden cero

Son poco comunes, es una constante independiente dela concentracin delos reactivos

,-

,-

,- ,-


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EJEMPLO1

Dentro de un pequeo fermentado agitado se cultiva serrana se mide e consumo deoxgeno a una concentracin celular de 22,7g/l en peso en base. Los datos

experimentales son

TIEMPO 0 2 5 8 10 12 15CONCENTACION 0.25 0.23 0.21 0.20 0.18 0.12 0.15

A) de qu orden es la reaccin ,- ,- ,-

,- ,-

,-

Hallando k


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Cuando n=1

Ln,-

5. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden a loscircuitos elctricos.

Para resolver un problema de circuitos L-R-C (inductancia, resistencia ycapacitancia) tendremos en cuenta las siguientes leyes experimentales.

a) Para un resistor: la cada de voltaje a travs de un resistor esproporcional a la corriente ``i, idea. donde R es la constante deproporcionalidad (resistencia). Adems: i`` se mida en ampere, R en ohms

y el voltaje en voltios.b) Para un inductor: la cada de voltaje a travs de un inductor esproporcional a la rapidez de cambio instantneo de la corrientes con

respecto al tiempo, osea: , donde L es la inductancioa de labobina y se mide en henrios, el tiempo t en segundos.

c) Para un capacitor: la cada de voltaje a travs de un capacitor esproporcional a la carga elctrica instantnea q`` en el capacitor, sea:

donde c es la capacitancia y se mide en faradios, q s mide encoulumbs

d) Relacin i(t) y q(t): EJERCICIOS:

I. La carga elctrica (en coulomb) en una superficie esfrica se escapa a unatasa proporcional a la carga instantnea. Inicialmente la carga es de coulomb y en 30 minutos escapa un noveno. Cundo quedara un dcimode coulomb?

Solucin:


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C.I Escapa , queda

./ ./

Para:

II. Un circuito tiene R (homs), C (faradios) y E (voltios) conectados en uninterruptor (donde R, C y E son constantes). Si el interruptor est cerradohasta que la carga sea el 0,90 de su mximo terico y luego E se reduce acero, encuentre la carga q de ah en adelante, viendo que la carga inicial en

el condensador es cero.

Solucin:


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Mximo terico:

CI CI -->

6. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en problemas de crecimiento ydecrecimiento (evaporacin, inters compuesto, crecimiento de poblaciones,desintegracin radioactiva, entre otros).

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO NATURALES

t=tiempo

K= Constante de proporcionalidad

X=variabilidad que cambia en el tiempo

ES EL MODELO MATEMATICO PARA:

crecimiento o decrecimiento de la poblacindesintegracin radioactivaInters compuesto

Eliminacin de medicamentosEvaporacin de un compuesto

Variaci de x repect a tiep


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Velocidad de reacciones qumicas velocidad de tamizado

t=tiempo

K= Constante de velocidad de reaccin

N=nmero de microorganismo

Pasando a log decimal entre 2,30 . /

. /

Donde es una recta de pendiente

Tiempo de reduccin decimal


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Es el tiempo requerido para reducir la carga microbiana 10 veces entonces si

EJEMPLO

El valor de D en 115,4 min en el cual existen 300mil bacterias de una cepa. Calcular la velocidadde degradacin y la cantidad de sobrevivientes despus de haber esterilizada el alimentodurante 5minutos a dicha temperatura

Resolucin

D=1,143min

T=115,5c

l=?

Esterilizado en 5 min

T=115,5c


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N=12,479

N=12 bacterias

7. Aplicacin de las ecuaciones diferenciales en el estudio de:a) Hidrulica.

INTRODUCCIONSe denomina energa hidrulica, energa hdrica o hidroenerga, a aquella quese obtiene del aprovechamiento de las energas cintica y potencial de la

corriente del agua, saltos de agua o mareas. Es un tipo de energa verdecuando su impacto ambiental es mnimo y usa la fuerza hdrica sin represarla,en caso contrario es considerada solo una forma de energa renovable.Se puede transformar a muy diferentes escalas, existen desde hace siglospequeas explotaciones en las que la corriente de un ro, con una pequeapresa, mueve una rueda de palas y genera un movimiento aplicado, porejemplo, en molinos rurales. Sin embargo, la utilizacin ms significativa laconstituyen las centrales hidroelctricas de presas, aunque estas ltimas no sonconsideradas formas de energa verde por el alto impacto ambiental queproducen.

PROBLEMA 1Un tanque cilndrico vertical de radio 1 metro contiene agua hasta un nivel de1.20 metros. Al abrir una llave de desage en el fondo, el agua sale a una

velocidad de . / Calcular a qu velocidad baja el nivel del lquidocuando la altura del agua es de metrosSOLUCIONEl volumen de agua en el tanque es Derivando con respecto altiempo y despejando

Si

Adems

Entonces

Cuando h = mes tendr:

El nivel de agua desciende a razn de 0.045 (m/min)


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PROBLEMA 2Se vierte agua en un tanque esfrico de 30 metros de dimetro a razn de 10(m3/min). Calcular a qu velocidad se eleva el nivel del lquido cuando su alturaes de 6 metrosSOLUCIONEl volumen de lquido en el tanque para un tiempo cualquiera:

Derivando con respecto al tiempo y despejando

.

i/Si h = 6 y dv/dt = 10 (m3/min)Por lo tanto

.

i/

b) Transferencia de calor.

La intensidad del paso de calor, por conduccin es proporcional al rea de la

seccin normal al flujo de calor A, al gradiente de temperatura , y a unfactor de proporcionalidad denominda conductividad calorfica k, caractersticode cada sustancia y que vara con la temperatura y el estado de agregacin.

En el caso de que la temperatura de cualquier punto del sistema no vare con el

tiempo, el mecanismo de transmisin de calor se denomina conduccin de caloren estado estacionario

Porque en todo proceso fsico de conservacin tiene lugar una transferencia otransporte de calor, ya sea por conveccin, por conduccin o por radiacin.Sea Q=cantidad de calor en julios(J)

c) Transferencia de masa

Transferencia debido a un gradiente de concentracin en un caso, eindirectamente, a una gradiente de presin en el otroLey de los gases:


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Entonces existe una relacin entre P y la concentracin, existe tambin en elcaso de las soluciones, ya que la presencia de cualquier soluto genera unapresin OSMOTICA tal que:

(Caso de las soluciones diluidas) Toda cantidad de materia se mide por su masa (kg), o bien por el nmero demoles que la forman.Dicha cantidad est repartida en un volumen; es decir tiene cierta DENSIDAD.

VelocidadCualquier heterogeneidad en las concentraciones de una especio molecularprovoca la evolucin espontanea hacia la uniformidad de dichasconcentraciones, y por lo tanto una trasferencia de materia cuya velocidad se

denomina VELOCIDAD DE TRANSFERENCIA(o de transporte) ; siendo, por lo tanto, la cantidad de masa transferida por unidad detiempo.

d) Mecnica de fluidosLa textura de los alimentos lquidos y semislidos se evala sensorialmente porapreciacin de su comportamiento en el flujo. Este puede producirse por fuerzasde distinto tipo. La medida instrumental de la viscosidad de los alimentoslquidos se realiza mediante el uso de viscosmetros (capilares, rotacionales,coaxiales, etc.). En general estas medidas guardan una relacin aceptable conla apreciacin sensorial aunque no deben usarse como totalmenterepresentativa de la sensacin humana.

Ejemplo:En un tanque cisterna de forma cnica fluye agua a razn de 8pies3/min. Si laltura del tanque es 12 pies y el radio de su base superior es 6 pies, con querapidez sube el nivel del agua cuando esta tiene 4 pies de altura?

12 piesr

6 ies

8 pies3/min


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Sea: Dato:

Incgnita: en el instante que

Volumen del cono: El grafico:

Unimos las ecuaciones:

. /

Cuando h=4:

e) Termodinmica


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La termodinmica trata de los estados d equilibrio y de los cambios de estado deequilibrio y de los cambios desde un estado a otro. Tambin trata de la cantidadde calor trasferida a medida que pasas por un proceso de un estado deequilibrio a otro y no hace referencia a cuanto durara ese proceso. Pero en laingeniera a menudo estamos interesados en la velocidad de trasferencia decalor

Calcular el volumen final en m3, en un proceso reversible no fluente en donde eltrabajo realizado por los alrededores es de 56 KJ. Si el volumen inicial es de 0.1 m3y la presin vara segn la siguiente relacin P= (-V/1.5 + 45) en kg/cm2 (abs) y elvolumen en m3.

Datos:

W= 56 KJInicial = 0.1 m3P = (-V/1.5 + 45)SOLUCIN

f) EconomaINTRODUCCIN


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La economa tiene como principal fin, desarrollar mejores polticas para minimizarproblemas y ampliar los beneficios que obtenemos del trabajo diario. Producir bienes quedesean los consumidores, en bsqueda de intereses privados, es promover los intereses dela sociedad. Identificar un problema o una necesidad a satisfacer, ms que un problema,representa una oportunidad para el campo de accin de cualquier ingeniero.

La respuesta acorde a la utilizacin eficaz de los materiales y las fuerzas de la naturaleza,normalmente emplea el clculo, ya sea mediante una ecuacin que contenga algunasderivadas de una funcin incgnita, o precisamente una ecuacin diferencial.

Una aplicacin a la economa puede ser la variacin del dinero (A) invertido en una entidadfinanciera respecto al tiempo (t), donde la razn de aumento del dinero es proporcional a lacantidad de dinero presente a una constante de inters (i) dada

Si en determinado tiempo (t) se retira cierta cantidad de dinero (d), ste disminuye, peroel saldo disponible con el tiempo contina aumentando a una constante de inters:

PROBLEMA 1

La seora Blanca Ramrez desea disponer en 10 aos de $30 000 000 haciendo algunosdepsitos en una entidad financiera con una tasa de inters incrementado a una tasa del16% compuesto en forma continua. Los depsitos los har de la siguiente manera: Alcomienzo del perodo deposita $3000000, al cabo de tres aos deposita $4 000 000 y tresaos despus deposita $5 000 000

a) Obtendr el dinero esperado en 10 aos?


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b) Si en los ltimos cuatro aos quiere tomar anualmente $1 000 000 para disfrutar deunas vacaciones con su familia Obtendr al final los $30 000 000 esperados?

SOLUCIN

a)

Tendr a los tres aos $4 848 223. 207 pero, adems tiene un depsito de $ 4 000 000.Entonces A (3)=8 848 223.207


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Tendr a los seis aos $14 229 387.03 pero, adems tiene un depsito de $ 5 000 000.Entonces A (6)=19 229 387.03

Respuesta: La seora Blanca si obtendr el dinero esperado, adems tendr $6 468146.82 adicionales

b) La ecuacin diferencial para A (t) debe cambiarse pero slo a partir del ao seis.


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Respuesta: Si la seora Blanca disfruta de unas vacaciones, de igual modo al finalobtendr el dinero esperado.

8. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en problemas geomtricos.INTRODUCCION

Para las ecuaciones diferenciales de primer orden que involucran una expresin algebraicatal que pueda eventualmente permitir el despeje de la primera derivada de la variabledependiente, contamos con una interpretacin geomtrica muy til: la pendiente de la rectatangente a la curva solucin. Una vez hechas las manipulaciones que sean necesarias para

el despeje descrito, la expresin de las pendientes en todos los puntos donde tenga sentidola solucin se ajustar a una funcin de las coordenadas del punto en estudio.

Una buena aproximacin al valor del incremento de la variable dependiente (usada ya porEuler) consiste en calcular el producto de la funcin en el punto particular por el incrementode la variable independiente. Esta idea se rescata en la construccin con Cabri- Gomtrede un tramo de la recta tangente cuya pendiente est dada por la funcin f(x, y).


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PROBLEMA 1

La interseccin de la tangente a un punto P(x, y) de una curva con el eje de abscisas essiempre igual a la ordenada de dicho punto. Hallar la curva que pasa por el punto 0,1.

SOLUCIN

Como se sabe (ver elementos geomtricos), el intercepto de la tangente con el eje xes:

Entonces

Dado que , son funciones homogeneas de grado 1:Sea:

El problema queda:

Integrando

La curva que pasa por 0.1 es


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PROBLEMA 2

Encontrar la familia de curvas en la que la porcion de la tangente a un punto P(x;y),comprendida entre P y el eje y se divide en dos partes iguales por el eje x

SOLUCION

Dado que la tangente se biseca en el eje x; se presentan dos triangulos congruentes

Entonces:

Integrando:

9. Estudio de la solucin de una ecuacin diferencial con transformada de Laplace.Transformada de Laplace

La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemtico francs Pierre-Simn Laplace, La transformada de Laplace de unafuncin f(t) definida (enecuaciones
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_diferencialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_diferencialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica


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diferenciales,o en anlisis matemtico o en anlisis funcional)para todos los nmeros

positivos t 0, es la funcin F(s), definida por:

Siempre y cuando la integral est definida. Cuando f (t) no es una funcin, sino una

distribucin con una singularidad en 0, la definicin es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versin

unilateral. Tambin existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como

sigue:

Leyes de trasformacin

Demostracin
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_diferencialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_funcionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_positivohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_positivohttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_positivohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_positivohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_funcionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_diferenciales


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a

*+ i

i

i

a i(e e)

a

Propiedades Linealidad

Ejemplo 1

.

Solucin: De acuerdo con la definicin,


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Ejemplo 2

*+ *+ *+

. /

Definicin de la Transformada Inversa

La Transformada inversa de una funcin en s, digamos F(s) es una funcin de tcuya

transformada es precisamente F(s), es decir

si es que acaso

Esta definicin obliga a que se cumpla:

y

Propiedades


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EJERCICIOS1

A

Por la tanto

{

}

{ }

{ } {

}

Ejercicio 2

{ }

* + {

}


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Trasformada de las derivadas

La primera derivada: y=y (t) o y= (0)

*+ *+

*+ i

i

i[ ] i ,-

Y (0) *+La segunda derivada

*+ *+ La tercera derivada

*+ *+ *+ En general

*+ *+ *+

Propiedad

*+


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Ejercicio 1

Y3

Ejercicio 2

Y

Arcotanp=xTg(x) =p1

Tg(x

)


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10.Principales aplicaciones a la ingeniera ambiental.APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN EL CAMPO DE LA

INGENIERIA AMBIENTAL:

Las caractersticas de la aplicabilidad de las ecuaciones diferenciales es muy variada en esteanlisis se trataran 2 temas bsicos:

Poblacin Mezclas /decaimiento radioactivo

POBLACION:

1. En un ecosistema se puede determinar el nmero de individuos, en condiciones idealesque sean objeto de estudio como por ejemplo a que tasa se est extinguiendo unespecie endmica o una migratoria

2. Como hablamos de crecimiento puntuales se podra hallar el grado de expansin de uncontaminante un ejemplo sera un derrame de crudo que se desplaza (razn decrecimiento) con una contante de condiciones y que a su vez va a tener una extensinmxima(K) y una posterior baja (punto crtico)

MEZCLAS /DECAIMIENTO RADIOACTIVO

Procesos de produccin industrial de contaminantes con su concentracin y difusin enel medio (concentracin)

Manejo de vertimientos determinando la dilucin necesaria para que estos cumplan lanormatividad legal vigente.

Medicin de contaminantes en la atmosfera y medidas de mitigacin, siembra de rbolespor ejemplo, cargas de gases su concentracin y difusin

Manejo de concentraciones de lixiviados en aguas subterrneas determinando su k decargas orgnicas y modificacin en las caractersticas fsicas de las corrientes de agua.

1. Cierta ciudad tena una poblacin de 25,000 habitantes en 1960 y una poblacin 30,000habitantes en 1970 suponiendo que su poblacin contine creciendo exponencialmente

con un ndice constante Qu poblacin esperara los urbanistas que tenga en el ao2011?

dxdt Separando variables:

Aplicando propiedades de logaritmos que dara de esta forma:

x c eSe toma ten 1960 de tal modo que:


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25000=x (0)

Sustituyendo se obtiene

25000=ce SustituyendoX=25000eDe 1970 a 1960 han transcurrido 10 aos y la poblacin ha aumentado 30000

X (10)=30000

Al sustituir se obtiene la frmula que nos permite calcular el tamao de la poblacin en funcindel tiempo donde Del ao 1960al ao 2010 han transcurrido entonces esa poblacin actualmente tiene:

2. El einstenio 253 de caer con una rapidez proporcional a la cantidad que se tengadetermine la vida media si este material pierde un tercio de masa en 11.7 das. Q: 253dQ/dt: rapidez d: razn de decaimiento:

Q (0)=cantidad inicial del elemento en tiempo 0Sustituyendo se obtiene:

ce c Sustituyendo otra vez:

Sustituyendo:

e

e

r t

r

Sustituyendo:

e

e

t

t dia


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11.METODO DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN

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Aplicación de Las Ecuaciones Diferenciales en El Campo de La Ingenieria