Ecuaciones Diferenciales Ordinarias en Ingenieria

8/20/2019 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias en Ingenieria

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Notas de Ecuaciones Diferenciales OrdinariasUniversidad de Costa Rica

∗

Carlos Montalto

∗Estas notas esta diseñadas como material adicional, en nigún momento pretenden ser un sustituto de laslecciones. Los ejercicios con asterisco (∗) han sido tomados de exámenes de la cátedra.


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Contenido

1 Primer Orden 31.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 EDO Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Variables Separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Ecuacíon Homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1 EDO Reducibles a Homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Ecuacíon Exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6.1 Factor Integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 Ecuacíon Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8 Ecuacíon de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9 Ecuacíon de Clairaut, Lagrange y Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.10 Reducción de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.11 EDO de una Familia de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.12 Trayectorias Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.13 Crecimiento y Decrecimiento de Poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.14 Ley de Enfriamiento de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.15 Mezclas y Reacciones Qúımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.16 Leyes del Movimiento de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Orden Arbitrario 292.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Existencia y Unicidad de Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Dependecia e Independencia de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1 Dependencia e Independencia Lineal de Solciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4 Ecuacion Lineal Homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.1 Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6 Reducción de Orden con Solución Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.7 Ecuacion Lineal No Homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.7.1 Coeficientes Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.7.2 Variacíon de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Sistemas de EDO 433.1 Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Sitemas lineales - Forma Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.1 Sistema Homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.2 Valores Propios Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

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MA01500 – Ecuaciones Diferenciales CONTENIDO

4 Solucíon por Series 534.1 Puntos Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

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Caṕıtulo 1

Primer Orden

1.1 Definiciones

Supongamos que la función y = f (x) expresa cuantitativamente un fenómeno y que al estudiar este

fenómeno es imposible establecer directamente la relación de dependencia entre y y x; sin embargose logra establecer una dependencia entre las magnitudes x, y y sus derivadas y, y, . . . , y(n). Unaecuación que establezca una relación entre la variable independiente x, la función buscada y y susderivadas y , y, . . . , y(n) se llama ecuaci´ on diferencial , simbólicamente:

F (x, y, y, y, . . . , y(n)) = 0 (1.1)

Una soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial es una relación directa y = f (x) que satisfaga la ecuacióndiferencial. Al proceso de encontrar soluciones a un ecuación diferencial se le conoce como integrar la ecuaci´ on diferencial .

EJEMPLO 1.1

Desde cierta altura es arrojado un cuerpo de masa m. Determinar la ley según la cual cambia la velocidad v , si sobreel cuerpo, además de la fuerza de gravedad, actúa la fuerza de resistencia del aire, proporcional a la velocidad (con

coeficiente de proporcionalidad k); es decir debemos hallar v = f (t)

Solución. De la segunda ley de Newton ma = F , donde F es la fuerza que actúa sobre el cuerpo en dirección delmovimiento y a la aceleración, obtenemos:

mv = mg − kvque es un ED que modela el problema, resolviendola obtenemos la relacíon directa entre la velocidad y el tiempo dadapor

v = C e− kmt +

mg

kdonde C es una constante arbitraria. Si añadimos la condición de velocidad inicial v (0) = v

0 obtenemos:

v = (v0 − mg

k )e−

kmt +

mg

kDe esta fórmula se deduce que si t es suficientemente grande la velocidad depende poco de v

0, más aun cuando t → ∞

la velocidad tiende a la constante mgk

que esta determinada solamente por la masa del cuerpo y la resistencia del aire.Si v

0 < mg

k el cuerpo irá aumentando su velocidad, pero si el v

0 > mg

k el cuerpo se irá deteniedo y si v

0 = mg

k la

velocidad sera constante. Finalmente cuando no hay resistencia del aire obtenemos la muy conocida f órmula

v = v0

+ gt

Si la función buscada y = f (x) es de una sola variable la ED se llama ordinaria y se escribe EDO,si la función buscada tiene varias variables la ED se llama parcial y se escribe EDP. El orden de lamás alta derivada que aparece en la ecuación se llama orden de la ED.

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MA01500 – Ecuaciones Diferenciales CAPÍTULO 1. PRIMER ORDEN

EJEMPLO 1.2

La ecuación x2(y

)2 + xy + (x2 − 4)y = 0 es un EDO de orden 3.

EJEMPLO 1.3

La ecuación ∂ 4u

∂x4

+ 2x∂ 3u

∂y3

− ∂ 4u

∂y2

∂x2

= 0 es un EDP de orden 4.

Una solución de una EDO que contenga al menos una constante arbitraria se llama soluci´ on gen eral . Una solución que se obtenga de un solución general mediante asignarle valores a las constantesarbitrarias se llama soluci´ on particular . Si una solución general tiene la propiedad de que todasolución de la EDO se puede obtener de esta mediante la asignación de valores a las constantes se diceque es una soluci´ on completa de la EDO.

EJEMPLO 1.4

La ecuación y − y − 2y = 0 tiene como solución completay = ae−x + be2x

donde a y b son constantes arbitrarias.

EJEMPLO 1.5

La ecuación y + y = 0 tiene como solución completa

y = a sin x + b cos x

donde a y b son constantes arbitrarias.

1.2 EDO Primer Orden

La ecuación diferencial de primer orden tiene la forma general:

F (x, y, y) = 0

en caso en que se pueda resolver para y obtenemos:

y = f (x, y)

se dice que la ecuación se puede resolver con respecto a la derivada.

EJEMPLO 1.6

La ecuación diferencial y = a0

+ a1

x1 + . . . + anxn, donde a

0, . . . , an son constantes fijas, es de primer orden y tiene

como solucíon completa a la función

y = C + a0

x + a

1

2 x2 + . . . +

ann + 1

xn+1

donde C es una constante arbitraria.

EJEMPLO 1.7

La EDO y = y es de primer orden y tiene como solución completa a la función

y = C ex

donde C es una constante arbitraria.

Teorema 1.1. Si en la ecuaci´ on y = f (x, y)

la funci´ on f(x,y) y su derivada parcial ∂f ∂y respecto a y son continuas en cierto dominio D del plano,

y si (x0

, y0

) es un punto en este dominio, entonces existe una ´ unica soluci´ on definida en D dada por y = ϕ(x), que satisface ϕ(x

0) = y

0

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La condición de que la función y debe tomar del valor y0

en x0

se llama condici´ on inicial . Por elTeorema 1.1 las soluciones de los ejemplos 7 y 8 son únicas dada una cualquier condición inicial, enestos casos utilizando la notación del Teorema 1 D = R, veamos un caso en que se rompe una de lashipótesis del teorema.

EJEMPLO 1.8

Considere la EDO y = 2yx

en R. Observe que

y =

C

1x2 si x ≥ 0

C 2

x2 si x ≤ 0es solucion de la EDO para C

1 y C

2 constantes arbitrarias. Lo cual indica que dada cualquier condición inicial hay una

infinidad de soluciones que la satisfacen. Note que no se aplica el teorema 1 pues 2yx

no es continua en x = 0.

Desde un punto de vista más geométrico, la solución general de la EDO de primer orden, es unafamilia de curvas en el plano, dependientes de al menos una constante arbitraria C (o como se sueledecir, de un parámetro C ). Estas curvas se llaman curvas integrales de la ecuación diferencial dada.

Suponga que tenemos una EDO resuelta con respecto a la derivada

y = f (x, y)

para todo punto (x0

, y0

) la ecuación anterior determina un valor de la derivada de y. Por consiguiente,dicha ecuación define un conjunto de direcciones que se llama el campo direccional de la EDO. Enotras palabras, el problema de integración de un EDO consiste en hallar las curvas, cuyas tangentesestán orientadas de modo que su dirección coincida con la dirección del campo en cada punto. Aprimera entrada esto puede resultar un poco confuso, sin embargo, conforme el lector se familiaricecon el tema le resultará muy intuitivo.

EJEMPLO 1.9

La EDO de primer orden

y = − xy

tiene como solución general la familia x2 + y2 = C 2 de ćırculos de radio C . Si imponemos la condición inicial y (0) = 1

(i.e. que la solución pase por el punto (0, 1)) obtenemos que la solución buscada es el cı́rculo unitario. Observe que quela solución general que varian según varia C y su forma (dirección en cada punto) esta determinada por la ED y = −x

y.

Ejercicio 1.1

Analice la EDO (1 − cos x)y − (sin x)y = 0 a la luz del teorema 1, sabiendo quey = cn(1 − cos x) 2nπ ≤ x ≤ 2(n + 1)π

es una solución de dicha EDO, donde cn son constantes arbitrarias para todo entero n. Grafique las curvas integrales

y explique el problema de la unicidad dada una condición inicial, ¿En cuáles dominios del plano hay unicidad?

Ejercicio 1.2

Grafique los campos direccionales de la ecuación diferencial y = y e intuya la forma de las soluciones generales.Encuentre la función que para por el punto (0, 1).

1.3 Teorema Fundamental del Cálculo

El caso más familiar de una EDO es de la forma:

y = f (x) (1.2)

y las soluciones de esta ecuación están descritas por teorema fundamental del cálculo de la siguientemanera

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Teorema 1.2. Si f(x) es continua en R, entonces se cumple la f´ ormula

d

dx

f (x)dx

= f (x)

Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial (1.2) viene dada por:

y =

f (x)dx

que como sabemos representa una familia de curvas. Esto justifica las soluciones de los dos primerosejemplos de esta sección.

EJEMPLO 1.10

La solución de la ecuación diferencial y = cos x viene dada por

y(x) =

Z cos xdx = sin x + C.

Si añadimos la condición inicial y (0) = 0, obtenemos que C = 0 y por lo tanto y = sin x

Existen soluciones de EDO que dependen de integrales que no pueden evaluarse en terminos de lasfunciones elementales.

EJEMPLO 1.11

La solución de la ecuación diferencial y = e−x2

viene dada por

y(x) =

Z e−x

2

dx

que como sabemos no puede ser evaluada en términos de funciones elementales.

Ejercicio 1.3

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. y = sin x cos x.

2. y = sin2

x.3. y = sin3 x.

4. y = sin xex.

5. y = cos xex

.6. y = cos xex.

7. y = ln x.

8. y = arctan x.9. y = ln2 x.

1.4 Variables Separables

Estudiemos la EDO de la formady

dx = f

1(x)f

2(y) (1.3)

suponiendo que f 2

(y) = 0 en el dominio de interes. Asumamos que podemos parametrizar la curva(x(t), y(t)), de donde obtenemos que (1.3) se transforma en

1

f 2

(y(t))

dy

dt = f 1(x(t))dx

dt

integrando ambos lados con respecta a t obtenemos: 1

f 2

(y(t))

dy

dtdt =

f

1(x(t))

dx

dtdt

finalmente haciendo un cambio de variable llegamos a que 1

f 2

(y)dy =

f

1(x)dx + C

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lo cual es una correlación entre la solución y, la variable x y la constante C . Es decir hemos encontradolas curvas integrales y por ende impĺıcitamente una solucı́on general de la EDO.

Una EDOM (x)dx + N (y)dy = 0 (1.4)

que se pueda escribir de la forma(1.3) se llama ecuaci´ on con variables separables y debido a loanterior satisface la ecuación M (x)dx +

N (y)dy = C

EJEMPLO 1.12

Considere la EDO con variables separablesxdx + ydy = 0

integrando obtenemos quex2 + y2 = C 2

observe que esta ecuación representa la familia de circunferencias de centro 0 y radio C , que son precisamente las curvas

integrales de la EDO.

EJEMPLO 1.13

Resolvamos la ecuación 1 + xyy = y2 + yy, separando variables obtenemos:dx

1 − x = ydy

1 − y2integrando obtenemos:

2 ln |1 − x| = ln ˛̨1 − y2 ˛̨ + C =⇒ ln |1 − x|2|1 − y2| = C =⇒ |1 − x|2

|1 − y2| = eC = k2

donde k = 0, y entonces(1 − x)2 = λ(1 − y2)

donde λ ∈ R− {0}, escribiendo las curvas integrales de manera más familiar obtenemos(1 − x)2

λ + y2 = 1

por lo tanto, si λ > 0 ,las curvas son elipses; y si λ


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Ejercicio 1.5∗

Muestre que la ecuación no separable (F (x)+ yG(xy))dx+ xG(xy)dy = 0 se convierte en separable por medio del cambio

de variable v = xy. Utilice lo anterior para resolver la EDO (x2 + y sin xy)dx + (x sin xy)dy = 0.

Ejercicio 1.6∗

Muestre que el cambio de variable y = x“ 1+v1−v

” convierte la EDO

x2y − xy = y2 − x2

en una EDO de VS y resuélvala.

Ejercicio 1.7∗

Compruebe que la ecuación direrencial

y = yf (xy)

xg(xy)

se convierte en una ecuación de variables separables, mediante la transformación z = xy . Aplique este procedimientopara resolver la ecuación diferencial

y = y(2xy + 1)

x(xy − 1)

Ejercicio 1.8∗

Muestre que el cambio de variable u = yex separa variables en la ecuación diferencial

y dx + (1 + y2e2x dy = 0)

y resuélvala. Además determine la región del plano–xy en la cual se puede garantizar existencia y unicidad de soluciones.

Ejercicio 1.9

Determine una transformación apropiada que convierta las ecuación dada en una de variables separables:

1. xy = yf ` yxn

´.

2. x + yy = f (x2 + y2).

3. xy

−ax + y = x2a. (Sugerencia: Despeje xy )

1.5 Ecuacíon Homogénea

Una función f (x, y) se llama homogénea de grado n , si para todo λ ∈ R se tiene que

f (λx, λy) = λnf (x, y)

EJEMPLO 1.15

Fácilmente se ve que

1. f (x, y) = 3p

x3 + y3 es homogenea de primer grado.

2. f (x, y) = x2−y2xy

es homogenea de grado cero.

Una EDO de la formay = f (x, y)

se llama homoǵenea si f (x, y) es homogénea de grado cero. Dicha EDO se soluciona mediante elcambio de variable u = yx , pues la convierte en

du

dx =

f (1, u) − u

x

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que es una EDO de VS que tiene como soluci ón du

f (1, u) − u =

dx

x + C

EJEMPLO 1.16

Analicemos la EDOdy

dx =

xy

x2 − y2claramente f (x, y) = xy

x2−y2 es homogenea de grado cero, por lo tanto la EDO es homogena, tomamos u = yx

y

convertimos la EDO endu

dx =

u3

x(1 − u2)que es de una EDO de VS, separando variables e integrando llegamos a que

− 12u2

− ln |u| = ln |x| + ln |C | =⇒ − 12u2

= ln |uxC |

sustituyendo u = yx

llegemos a la solución dada impĺıcitamente p or la fórmula

− x2

2y2 = ln |Cy |

Ejercicio 1.10

Resuelva las siguientes EDO.

1. y = (x − y)2.∗

2. y = y+x cos2(y/x)x

; y(1) = π4

.

3. y = y(1+xy)x(1−xy)

4. y = 2x−yx−2y

5. (x − y ln y + y ln x)dx + x(ln y − ln x)dy = 06.

“y −

p x2 + y2

”dx − xdy = 0; y(0) = 1

Ejercicio 1.11∗

Considere la EDO 2xy3 dx + (x2y2 − 1) dy = 0.(a) Muestre que el cambio de variable y = za transforma la EDO dada en

2xz3a dx + a(x2z3a−1 − za−1) dz = 0.(b) Determine un valor a tal que la ecuación anterior sea homogénea.

(c) Resuelva la EDO dada inicialmente.

Ejercicio 1.12∗

Considere la ecuación diferencial dy

dx =

r y +

x2

2

(a) Muestre que la sutitución u =q

y + x2

2 transforma la ecuación diferencial dada en una ecuación homogenea.

(b) Resuelva la ecuación dada inicialmente

1.5.1 EDO Reducibles a Homogéneas

Se reducen a homogeneas las EDO de la forma

y = f

ax + by + c

a1

x + b1

y + c1

(1.5)

donde f es una función continua arbitraria.

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Si c = c1

= 0 la ecuación (1.5) es homogenea. Supongamos que alguno de los dos valores no es cero,realicemos el cambio de variable

x = x1

+ h, y = y1 + k.

Entonces,dy

dx =

dy1

dx1

Sustituyendo en (1.5) tenemos que:

dy1

dx1

= f

ax

1 + by

1 + ah + bk + c

a1

x1 + b

1y1 + a

1h + b

1k + c

1

.

(1.6)

Elejimos h y k de modo que

ah + bk + c = 0

a1

h + b1

k + c1

= 0 (1.7)

bajo estas condiciones la ecuación (1.6) se transforma en una EDO homogénea, solucionando dichaecuación y sistituyendo nuevamente los valores de x

1, y

1 obtenemos la solución de (1.5).

En caso de que el sistema (1.7) no tenga soluci ón, es decir cuando aa

1

bb1

= 0 obtenemos que ab1

= a1

b.

Entonces si λ = a

1

a = b

1

b tenemos que a = λa1 y b = λb1 , por consiguiente (1.5) se transforma en

y = f

ax + by + c

λ(ax + by) + c1

= g(ax + b)

que, como vimos, se transforma en un EDO de VS por medio del cambio de variable v = ax + b.

EJEMPLO 1.17

Analicemos la EDOdy

dx =

x + y − 3x

−y

−1

en este caso el sistema (1.7) tiene solución h = 2 y k = 1 y por lo tanto si x = x1 + h y y = y1 + k obtenemos que:

dy1

dx1

= x

1 + y

1

x1 − y

1

que es una EDO homogenea, haciendo la sustitución u = y

1

x1

, como ya sabemos llegamos a un EDO de VS

1 − u1 + u2

du = x

1

x1

integrando, hallamos que

arctan u − 12

ln(1 + u2) = ln x1

+ C

simplificando

Cx1

p 1 + u2 = earctan u

sustituyendo u por y

1

x1

en la igualdad, tenemos:

C q

x21

+ y21

= earctan

y1

x1

finalmente pasando a las variables x y y , obtenemos:

C q

(x − 2)2 + (y − 1)2 = earctan y−1x−2 .

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EJEMPLO 1.18

Analicemos la EDOdy

dx =

2x + y − 14x + 2y + 5

en este caso vemos que 2x+y−14x+2y+5

= 2x+y−12(2x+y)+5

(i.e. el sistema (1.7) no tiene solución), hacemos el cambio de variable

u = 2x + y y llegamos a que

dudx

= 5u + 92u + 5

resolviendo, encontramos:2

5u +

7

25 ln |5u + 9| = x + C

finalmente volvemos a las variables iniciales y obtenemos la solucíon final dada por

10y − 5x + 7ln |10x + 5y + 9| = C.

Ejercicio 1.13

Solucione las siguientes EDO

1. (3x − 7y + 7) dx − (3x − 7y − 3) dy = 0.2. (x + 2y + 1) dx − (2x + 4y + 3) dy = 0.

3. (x + 2y + 1) dx − (2x − 3) dy = 0.4. (y − 3x + 6) dx − (x + y + 2) dy = 0.

1.6 Ecuacíon Exacta

Una EDO de la formaM (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (1.8)

se llama exacta si existe una función U (x, y) tal que:

∂U

∂x = M y

∂U

∂y = N

y en este caso debido a que

dU = ∂U

∂x dx +

∂ U

∂y dy = M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

la solución viene dada porU (x, y) = C

Teorema 1.3. Si M y N son continuamente diferenciables, una condici´ on necesaria y suficiente para la exactitud de la ecuaci´ on diferencial (1.8) es que

∂M

∂y =

∂N

∂x (1.9)

Entonces si tenemos una EDO de la forma (1.8), basta comprobar que cumple (1.9), para aseguraraque es exacta. Sin embargo aun tenemos el problema de hallar la función U (x, y), ilustremos el métodogeneral por medio de los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 1.19

Analicemos la EDO2xy dx + (x2 + cos y)dy = 0

aqui M = 2xy y N = x2 + cos y claramente satisfacen (1.9). Entonces existe U (x, y) tal que

∂U

∂x = 2xy,

∂U

∂y = x2 + cos y

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integrando la primera ecuación con respecta a x, obtenemos:

U = x2y + f (y)

de segunda ecuación y derivanda a ambos lados U = x2y + f (y) con respecto a y tenemos:

∂U

∂y = x2 + f (y) = x2 + cos y

por lo tanto f (y) = sin y + c, y por ende U = x2y +sin y + c, finalmente la solución de la EDO viene dada por la fórmula

x2y + sin y = C.

EJEMPLO 1.20

Resuelva la EDO

y = xy2 − 11 − x2y

con la condición inicial y (0) = 1.

Solución. Escribimos la EDO como (xy2−1)dx+(x2y−1)dy = 0, vemos que es exacta. Analogamente al procedimientoanterior encontramos que la solucíon de la EDO es

U = x2y22

− x − y = C

utilizando la condición inicial obtenemos que C = −1.

En ciertos casos las EDO exactas se pueden resolver un método de inspección conocido como agru-paci´ on de términos . Este esta basado en la habilidad de reconocer ciertas diferencias exactas.

EJEMPLO 1.21

Utilicemos el método de agrupación de términos para resolver la EDO exacta:

2xy dx + (x2 + cos y)dy = 0

agrupando obtenemos:(2xy + x2dy) + (cos y)dy = 0

entoncesd(x2y) + d(sin y) = 0 =⇒ d(x2y + sin y) = 0

y por lo tanto las solución general viene dad por x2y + sin y = C .

Ejercicio 1.14

Considere la ecuación diferencial (3ya + 10xy2) dx + (6xa−1y − 2 + 10x2y) dy = 0.(a) ¿Para cuales valores de a esta ecuación es exacta?

(b) Para tales valores resuelva la ecuación diferencial.

Ejercicio 1.15

Considere la ecuación diferencial (y + xya) dx + (x + xay) dy = 0.

(a) ¿Para cuales valores de a esta ecuación es exacta?

(b) Para tales valores resuelva la ecuación diferencial.

Ejercicio 1.16

(a) ¿Para cuales funciones N (x, y) la ecuación diferencial (y + x2y3)dx + N (x, y)dy = 0 es exacta?

(b) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial.

Ejercicio 1.17

Muestre que el teorema 1.3

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1.6.1 Factor Integrante

Supongamos que la EDOM (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 (1.10)

no es exacta. En ciertos casos es posible hallay una funci ón µ(x, y) tal que, si multiplicamos la ecuación

(1.10) por µ se convierte en exacta, y la solución general de la ecuación aśı obtenida coincide con lasolcuión general de la ecuación inicial; la función µ(x, y) se llama un factor integrante de la ecuación(1.10).

Para hallar un factor integrante de (1.10), necesitamos que

µM dx + µN dy = 0

sea un EDO exacta. y por el teorema 1.3, basta que

∂ (µM )

∂y =

∂ (µM )

∂x

y por la regla de la cadena podemos simplificar dicha condición a que

M ∂ ln µ∂y

− N ∂ ln µ∂x

= ∂N ∂x

− ∂ M ∂y

. (1.11)

Entonces es claro que toda función µ(x, y) que satisfaga (1.11) es un factor integrante de (1.10).Lamentablemente la eucación (1.11) es un ecuación en derivadas parciales, y el caso general de estaEDP, para hallar µ(x, y), es más dificil que la ecuación original. Sin embargo si asumimos que el factorintegrante depende de una función u(x, y), entonces podemos simplificar (1.11) y obtenemos:

µ = exp

N x − M yMuy − N ux

du

.

Algunos casos especı́ficos son los siguientes:

• Si u = x entonces

µ = e

R f (x)dx

donde f (x) = 1N

∂M ∂y −

∂N ∂x

• Si u = y entonces

µ = eR

g(y)dy.

donde g(y) = 1M

∂N ∂x −

∂M ∂y

EJEMPLO 1.22

Hallar la solución de la EDO(y + xy2) dx − x dy = 0

Solución. Aqúı: M = y + xy2; N = −x;∂M

∂y = 1 + 2xy;

∂N

∂x = −1; ∂M

∂y = ∂N

∂x .

por lo tanto la EDO no es exacta. Examinemos para ver si la EDO admite un factor integrante que depende solo de y ,para eso vemos que

1

M

„∂N

∂x − ∂ M

∂y

« = − 2

y = g(y)

es una función que solo depende de y y por lo tanto la EDO si admite dicho factor integrante, y sabemos que vienedado por la fórmla

µ = eR g (y) dy = e

R − 2y dy

= 1

y2

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multiplicando por µ la EDO obtenemos „1

y + x

« dx − x

y2 dy = 0

que es exacta, resolviéndola encontramos que

y = − 2xx2 + 2C

EJEMPLO 1.23

Hallar la solución de la EDO(x4 + x2y2 + x) dx + y dy = 0

Solución. Veamos que en este caso podemos encontrar un factor integrante µ depende solo de u = x2 + y2, para estobasta ver que

1

2(yM − xN )„

∂N

∂x − ∂ M

∂y

« = − 1

u = h(u)

y por lo tanto

µ = eR h(u) du =

1

u =

1

x2 + y2

Aun más po demos ver que esta EDO también admite un factor integrante que depende solamente de x, calculemos

1

N

„∂M

∂y − ∂ N

∂x

« = 2x2 = f (x)

y por lo tanto

µ = e2x3

3 .

Con cualquiera de los dos factores integrantes, la EDO se puede transformar en exacta. Encontrar la solucíon queda

como ejercicio al lector.

Ejercicio 1.18

Muestre que en cada uno de los casos, la función µ es la que indica la fórmula.

• Si u = xy entonces, µ = exphR N x−M y

Mx−Ny dui

.

• Si u = x

y entonces, µ = exp »R y

2M y−y2N xMx+Ny

du– .• Si u = y

x entonces, µ = exp

»R x2N x−x2M yMx+Ny

du

–.

Ejercicio 1.19∗

Cosidere la ecuación diferencial:y dx + (x2 + y2 + x) dy = 0.

(a) Determine un factor integrante, µ, de esta ecuación diferencial que sea función de x2 + y2.

Esto es µ = f (x2 + y2).

(b) Resuelva esta ecuación diferencial.

Ejercicio 1.20∗

(a) Determine n y m para que xnym sea un factor integrante de la ecuación diferencial:

(2y2 − 6xy) dx + (3xy − 4x2) dy = 0.

(b) Halle la solución general de esta ecuación diferencial.

Ejercicio 1.21∗

(a) Determine n y m para que xnym sea un factor integrante de la ecuación diferencial:`x2y3 + 2y

´ dx +

`2x − 2x3y2´ dy = 0.

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Ejercicio 1.22∗

Considere dos funciones f y g , tales que f (xy) − g(xy) no se anula en alguna región del plano xy .(a) Muestre que en diche región la función

µ(x, y) = 1xy(f (xy) − g(xy))

es un factor integrante para la ecuación diferencial

yf (xy) dx + xg(xy) dy = 0.

(b) Resuelva la ecuación:y(2xy + 1) dx + x(1 + 2xy − x3y3 dy) = 0.

Ejercicio 1.23∗

(a) Determine n y m para que xnym sea un factor integrante de la ecuación diferencial:„ 1

x2 + y2

« dx +

„ 1

xy + xy

« dy = 0.


Ejercicio 1.24∗

Cosidere la ecuación diferencial: „6 − y

2

x

« dx +

„4

x +

3x

y − 3y

« dy = 0.

(a) Determine un factor integrante, µ, de esta ecuación diferencial que sea función de xy .

Esto es µ = f (xy).

(b) Resuelva esta ecuación diferencial.

1.7 Ecuacíon Lineal

Una EDO de la formay + P (x)y = Q(x)

donde P, Q ∈ C (R) se llama EDO lineal primer orden . Facilmente observamos que si multiplicamosa ambos lados por µ = e

R P dx obtenemos

dy

dx(ye

R P dx) = Q(x)e

R P dx

integrando llegamos a la solución general

yeR

P dx =

Qe

R P dx dx + C

EJEMPLO 1.24

Resuelva y − 2x+1

y = (x + 1)3

Solución. En este caso µ = 1(x+1)2

, entonces

dy

dx

„ y

(x + 1)2

« = x + 1

integrando llegamos a la solución general

y = (x + 1)4

2 + (x + 1)2C

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EJEMPLO 1.25

Resuelva y = 1x−3y

Solución. En este caso consideramos a x(y) como función de y , para poder escribir la EDO en forma lineal, entonces

x − x = −3ypor lo tanto µ = e−y, entonces con el mismo procedimiento anterior obtenemos

x = 3y + 3 + Cey.

Ejercicio 1.25

Resuelva las siguietes EDO

1. y − 2xy = x.

2.

`e2x + 1

´(y + y) = 1.

3. y cos x + y sin x = 1.

4. y + nx

y = axn

, n ∈ N y a ∈ R.

5. y + y cos x = 12

sin2x.

6. y = 1

ey − x .

1.8 Ecuacíon de Bernoulli

Una EDO de la formay + P (x)y = Q(x)yn

donde P, Q ∈ C (R) y n = 1 se llama EDO de Bernoulli . Utilizando el cambio de variable z = y1−n,dicha encuación se transforma en un EDO lineal

z + (1 − n)P (x)z = (1 − n)Q(x)

EJEMPLO 1.26

Resuelva la ecuación de Bernoulliy + yx = x3y3

Solución. En clase.

Ejercicio 1.26∗

Considere la ecuación diferencial

xdy

dx + y + x = xe2xy

(a) Muestre que la sustitución u = exy transforma la ecuación diferencial dada en una ecuación de Bernoulli.

(b) Resuelva la ecuación de Bernoulli obtenida en (a).

(c) De la solución general de la ecuación inicial.

Ejercicio 1.27

Resuelva las siguientes EDO

1. y + 3x2y = x2y3.

2. y + 1x

y = xy2.

3. y + yx

= x3y3 sin x.

4. y − tan x · y + cos x · y2 = 0.5. (1 − x2)y − xy − axy2, a ∈ R.6. (y ln x − 2)ydx = xdy.

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Ejercicio 1.28∗

Considere la ecuación diferencial y + y2 + yx

= 1x2

.

(a) Pruebe que si φ(x) es una solución de esta ecuación diferencial, entonces la sustitución y = φ + v transforma dichaecuación en la ecuación de Bernoulli siguiente

dv

dx

+ » 1x + 2φ(x)– v = −v2

(b) Pruebe que la función φ(x) = − 1x

es solución de la ecuación dada inicialmente.

(c) Tomando φ(x) = − 1x

resuelve la ecuación de Bernoulli dada en (a).

(d) Determine la solución general de la ecuación diferencial dada inicialmente.

Ejercicio 1.29∗

Considere la ecuación diferencial

xdu

dx +

1 − x21 + x2

u = 4

√ x arctan x√

1 + x2 u1/2

(a) Muestre que la sustitución y = xu transforma la ecuación diferencial dada en una ecuación de Bernoulli.

(b) Resuelva la ecuación de Bernoulli obtenida en (a).

(c) De la solución general de la ecuación inicial.

1.9 Ecuacíon de Clairaut, Lagrange y Ricatti

Una EDO de la formay = xy + f (y) (1.12)

donde f es continuamente diferenciable, se llama ecuaci´ on de Clairaut , y presenta varias propiedadesinteresantes.

Para resolverla utilizamos el cambio de variable v = y, diferenciando a ambos lados obtenemos:

v(x + f (v)) = 0.

Esta ecuación se satisface si se cumplen cualquiera de las siguientes condiciones:

1. v = 0, en tal caso v = C , donde C es una constante arbitraria. Sustituyendo en (1.12) llegamosuna las solución general de la ecuación de Clairaut dada por

y = C x + f (C )

2. x + f (v) = 0, en este caso usando (1.12) obtenemos las ecuaciones

x = −f (v)

y = −vf (v) + f (v) (1.13)

que definen parametricamente una solución singular de la ecuación de Clairaut. La soluciónsingular de la ecuación de Clairaut determina un envolvente de la familia de rectas, dados porla solución general, veamos la motivación geométrica de este nombre en el siguiente ejemplo.

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EJEMPLO 1.27

Hallar la solución de la EDOy = xy + (y)2

Solución. Hacemos el cambio de variable v = y , y claramente un solución general viene dada por

y = C x + C 2

para hallar la solución singular utilizamos las ecuaciones (1.13)

x = −2vy = −v2

de las cuales obtenemos que la solución singular es

y = − x2

4 .

Ahora, claramente cada recta de la familia Ω = {y = C x + C 2 : C ∈ R} es tangente a la parábola y = −x24

; y por cada

punto de la parábola y = −x24

pasa una única recta de la familia Ω.

Ejercicio 1.30

ECUACIÓN DE LAGRANGE: Considere le ecuación diferencial de la forma

y = xϕ(y) + ψ(y)

al derivar dicha ecuación y hacer el cambio y = p se puede escribir de la forma

dx

dp + A( p)x = B( p)

resolviendo esta ecuación diferencial lineal de primer orden obtenemos x = f ( p, C ), lo cual nos da la solución paramétrica

x = f ( p, C )

y = f ( p, C )ϕ( p) + ψ( p)

donde la últmi ecuación se obtiene de la ecuación inicial.

Ejercicio 1.31

ECUACIÓN RICATTI: Considere la ecuación diferencial de la forma

y + p(x)y2 + q(x)y = r(x)

si p(x) ≡ 0 la ecuación se convierte en lineal y si r(x) ≡ 0 se obtiene una ecuación de Bernoulli. En el caso generalla ecuación diferencial se llama Ecuación de Ricatti y para resolverla se necesita conocer una soluci ón particular de laecuación (sea φ esta solución). Entonces muestre que utilizando el cambio de variable

y = φ + 1

z

la ecuación se transforma en una ecuación lineal de primer orden.

1.10 Reducción de Orden

Si en la ecuaciónF (x, y, y, y) = 0

alguna de las variables x ó y no aparecen explı́citamente en la ecuación, entonces la ecuación se puedesimplificar por medio del cambio de variable y = v.

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EJEMPLO 1.28

Resuelva le siguiente EDOxy + y = 4x

Solución. En este caso la ecuación no contiene explı́citamente a la variable y , entonces el cambio de variable v = y latransforma en

xv + v = 4xla cual es una EDO lineal y al resolverla obtenemos

y = v = 2x + A

x A ∈ R

de donde finalmentey = x2 + A ln x + B A, B ∈ R.

Observe que en esta ecuación se obtienen dos constantes arbitrarias, esto se debe a que el orden de la ecuación diferencial

inicial es también dos.

EJEMPLO 1.29

Analicemos la siguiente EDO2yy = 1 + (y)2.

En este caso tenemos que la ecuación no contiene explı́citamente la variable x, entonces en este caso el cambio devariable v = y la transforma en

2ydv

dx = 1 + v2

utilizando la identidaddv

dx =

dv

dy

dy

dx =

dv

dyv

obtenemos

2ydv

dyv = 1 + v2

resolviendo por separación de variables llegamos a que

1 + (y)2 = 1 + v2 = Ay A ∈ R− {0}

despejando y = ±√ Ay − 1 y finalmente separando variables obtenemosy =

(Ax + B)2

4A +

1

A A, B ∈ R, A = 0.

Ejercicio 1.32

Resuelva las siguientes EDO

1. xy = 2

2. xy = 2

3. y = a2y a ∈ R4. y + y = 0.

5. xy − y = x2ex6. yy − 3(y)2 = 0

1.11 EDO de una Familia de Curvas

Ocasionalmente es necesario obtener una EDO de orden n que tiene a una función dada con n con-stantes arbirarias como solución general. Para encontrar dicha EDO, diferenciamos n veces la igualdady resolvemos para las constantes el sistema obtenido de escoger n ecuaciones de las n + 1 ecuacionesobtenidas. Y luego sustitiumos las constantes en alguna de las ecuaciónes.

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EJEMPLO 1.30

Sean a y b constantes, encuentre una EDO de segundo orden tal que tenga a

y = aex + b cos x

como solucíon general.

Solución. Diferenciando obtenemos:y = aex − b sin xy = aex − b cos x

resolviendo el sistema para a y b

a = y + y

2ex b =

y − y2cos x

sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos la EDO buscada.

(1 + tan x)y − 2y + (1 − tan x)y = 0Existen EDO de orden mayor que tambien tienen a y = aex + b cos x como solución general un ejemplo de una es

y(4) = y

sin embargo la única de orden 2 es la que encontramos anteriormente.

Ejercicio 1.33

Halle una EDO de orden 2 que tiene como solución general la familia de parábolas que tocan al eje x en un solo punto.

Respuesta. 2yy − (y)2 = 0.

Ejercicio 1.34

Halle una EDO de primer orden que tiene como soluci ón general la familia de rectas que tocan la parabola 2y = x2 enun solo punto.

Respuesta. (y)2 − 2yx + 2y = 0.

Ejercicio 1.35

Halle una EDO de primer orden que tiene como solución general la familia de curvas tal que, para cada una de dichascurvas, el segmento de la tangente desde el punto al eje-y es bisecado por el eje-x.

Respuesta. xy − 2y = 0 .

Ejercicio 1.36

Halle una EDO que tiene como solución general una familia uniparamétrica de curvas tal que, para cada una de ellas,el área de la región triangular limitada por el eje-x, la linea tangente en el punto y la perpendicular por el punto detangencia sea igual a a2.

Respuesta. 2a2y − y2 = 0 .

Ejercicio 1.37

Halle una EDO cuya solución general sea la familia de todas las circunferencias con centro en el eje y = x.

Ejercicio 1.38

Halle una EDO cuya solución general sea la familia de todas las circunferencias que pasan por los puntos (0 , 1) y (1, 0) .

Ejercicio 1.39

El área del triángulo, formado por la tangente a una curva buscada y los ejes de coordenadas, es una magnitud constante.Hallar esta curva.

Respuesta. 4xy = a & y = C x ± a√ C para a > 0, C ∈ R.

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1.12 Trayectorias Ortogonales

SeaΦ(x, y, C ) (1.14)

una familia de curvas dependiendo de un parámetro C , las curvas que cortan todos los elementos de

esta familia bajo un ángulo constante se llaman trayectorias isogonales. Si este ángulo es recto dellaman trayectorias ortogonales.

Para hallar las trayectorias ortogonales de una familia de curvas dada procedemos de la siguientemanera. Primeramente encontramos la EDO que tiene a (1.14) como solución general. Sea

F (x, y, y) = 0

dicha ecuación, entonces la familia de soluciones de la EDO

F (x,y, − 1

y) = 0

son las trayectorias ortogonales de (1.14).

EJEMPLO 1.31

Encuentre las trayectorias ortogonales de x2 + y2 = C x.


EJEMPLO 1.32

Halle las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas y = C x2.


Ejercicio 1.40∗

Halle las trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias con centro sobre el eje x y que pasan por el origen.

Ejercicio 1.41

Determine n para que la familia de curvas xn + yn = C sea ortogonal a la familia y = x

1 − Cx .

Ejercicio 1.42∗

Halle las trayectorias ortogonales de las lemniscatas (x2 + y2)2 = (x2 − y2)C 2.

Ejercicio 1.43

Muestre que la familia de parábolas y2 = 4Cx + 4C 2 es asi misma ortogonal. Grafique algunos de los miembros de esta

familia.

Ejercicio 1.44

Muestre que la familiax2

a2 + C +

y2

b2 + C = 1

donde a y b son constantes dadas es asi misma ortogonal. Esta familia se llama la familia de c´ onicas confocales. Grafique

algunos de los miembros de esta familia.

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1.13 Crecimiento y Decrecimiento de Poblaciones

La ley de crecimiento exponencial de poblaciones afirma que la tasa de crecimiento de una poblaci ón esproporcional, en el tiempo, a la cantidad de habitantes que este presente en dicha población. Entoncessi denotamos:

• N = Cantidad de habitantes en el tiempo t.

• k = Constante de proporcionalidad. (k > 0).

obtenemos por la ley de crecimiento, que

dN

dt = kN

y por lo tantoN (t) = C ekt; C ∈ R

EJEMPLO 1.33

Si un cultivo de bacterias crece a una tasa proporcional a la cantidad, además tenemos que despues de una hora hay uncultivo de 1000 familias de bacterias, y despueds de 4 horas hay 3000 familias de bacterias. Halle el número de familiasde bacterias en función del tiempo y el número inicial de familias.


EJEMPLO 1.34

Bacterias en cierto cultivo incrementan su reproducción a una velocidad proporcional al número presente. Si el númerooriginal de bacterias se incrementa en un 50% en media hora, ¿en cu ánto tiempo se espera tener tres veces el númerooriginal, y cinco veces el número original?


Ejercicio 1.45

En una solución de un compuesto qúımico, se sabe que la razón de formación del compuesto es proporcional a la cantidad

del quı́mico presente en cada instante. Si despues de una hora la cantidad medida del compuesto es 3/2 de la cantidad

inicial. ¿Cuánto tiempo se requiere para triplicar el número de gramos iniciales?

Ejercicio 1.46

Un cultivo de bacterias “enferma” crece a una tasa que es inversamente proporcional a la ráız cuadrada del número

presente. Si hay inicialmente 9 unidades y si 16 unidades están presentes después de 2 d́ıas, ¿en cuánto tiempo habrá

36 unidades?

Ejercicio 1.47

Una pequeña población crece según la ley de crecimiento exponencial. Si la población inicial es de 500 habitantes y si

esta aumenta en un 15% en 10 ã;os. Determine la población dentro de 30 años y la cantidad de tiempo que debe pasar

para que la población crezca un 60%.

Ejercicio 1.48∗

La población, N (t), de individuos de una población que manifiestan cierta caracteŕıstica, en un instante t obedece a laecuación diferencial

dN

nt = k(1 − N )N.

Si en el instante inicial esta proporción es de 13

, determine el tiempo necesario para que esta proporción se duplique.

Suponga que k = 0.025 por año.

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La ley de desintegraci´ on exponencial radioactiva afirma que la tasa de desintegración de una substanciaes proporcional, en el tiempo, a la cantidad de substancia que este presente. Entonces si denotamos:

• N = Cantidad de substancia en el tiempo t.


obtenemos por la ley de desintegración, que

dN

dt = −kN

y por lo tantoN (t) = Ce−kt; C ∈ R

La vida media de una substancia se define como el tiempo que ésta requiere para reducir su masainicial a la mitad.

EJEMPLO 1.35

Se sabe que cierto material radioactivo se desintegra a una tasa proporcional a la cantidad de material presente, ademássabemos que inicialmente hay 50 miligramos de material y despues de 2 horas se observa que el material ha perdido un10% de su masa original. Halle la masa de este material en función del tiempo, y encuentre su vida media.


EJEMPLO 1.36

El Pb-209 isótopo radioactivo del plomo, se desintegra según la ley de desintegración exponencial. Si sabemos que tieneuna vida media de 3.3 horas y que al principio habı́a N 0 gramos de plomo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para quese desintegre el 90% de su masa inicial?


Ejercicio 1.49

Un material radioactivo se desintegra a una tasa proporcional a la cantidad presente. Si después de un hora se observaque el 10% del material se ha desintegrado, halle la vida media del material.

Ejercicio 1.50

La velocidad de desintegración del radio es proporcional a la cantidad presente. Si su vida media es de 1600 años, halle

qué tanto porciento resultará desintegrado cuando pasen 100 años.

Ejercicio 1.51

Encuentre la vida media de una substancia radioactiva se el 25% de ésta desaparece en 10 años y sabiendo que esta

substancia se rige por la ley del decrecimiento exponencial.

Ejercicio 1.52

La carga eléctrica en una superficie esférica se escapa a una tasa proporcional a la cantidad presente en cada instante.

Si inicialmente hay 12 unidades presentes y si 8 unidades esta presentes después de 2 d́ıas, ¿cuánto tiempo tomará para

que la sustancia desaparezca?

Ejercicio 1.53

Suponga que una substancia decrece a una razón que es inversamente proporcional a la cantidad presente en cualquier

instante. Si inicialmente hay 12 unidades presentes y si 8 unidades están presentes despues de 2 d́ıas ¿cuánto tiempo

tomará para que la substancia desaparezca?

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1.14 Ley de Enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton afirma que la tasa de cambio de la temperatura de un cuerpo esproporcional, en el tiempo, a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio. Sea

• T = Temperatura del cuerpo al instante t.

• T m = Temperatura del medio (constante).


Por la ley de enfriamiento de Newton obtenemos que

dT

dt = −k(T − T m)

donde el signo negativo se explica por el hecho de que la temperatura del cuerpo tiende a la temperaturadel medio, resolviendo la ecuación diferencial llegamos a que

T = T m + Ce−kt

EJEMPLO 1.37

Una barra metálica a una temperatura de 100◦F se pone en un cuarto a una temperatura constante de 0◦F . Si despuesde 20 minutos la temperatura de la barra es 50◦F , hallar el tiempo que gastará la barra en llegar a una temperaturade 25◦F y la temperatura inicial de la barra.


EJEMPLO 1.38

Un cuerpo con temperatura de 80◦C se coloca, en instante t = 0, en un medio cuya temperatura se mantiene a 50◦C yluego de 5 minutos la temperatura de dicho cuerpo es de 70◦C . Halle la temperatura del cuerpo luego de 10 minutos,y el instante en que su temperatura es de 60◦C .


Ejercicio 1.54∗

Una taza de café se calienta a 200◦F y luego se coloca en una habitación donde la temperatura es de 70◦F . Si transcur-rido un minuto, el café llegó a una temperatura de 190◦F , ¿cuánto tiempo hay que esperar para que su temperaturasea de 150◦F ?

Ejercicio 1.55

Despues de estar expuesto durante 10 minutos, en el aire a una temperatura de 10 ◦C , un objeto se enfrió de 100◦C a55◦C .(a) ¿En cuánto tiempo, a partir de este momento, la temperatura del objeto llegar áa los 19◦C ?

(b) ¿Cuánto tiempo le tomará el mismo objeto enfriarse de 500◦ a 250◦C si se coloca en el agua que se mantiene auna temperatura de 0

◦C ?

1.15 Mezclas y Reacciones Qúımicas

Veamos la aplicación de las EDO a mezclas de substancias, considere un tanque que contiene V 0galones con s

0 libras de sal. Otra solución salina que contine α libras de sal por galón, se vierte en el

tanque a una tasa de n galones por minuto, mientras que, simultaneamente, la solución bien mezcladasale del tanque a una tasa de m galones por minuto. En este tipo de problemas podemos hallar lasiguiente información:

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• V (t) : Volumen (gal) de la solución salina en tiempo t.

• C (t) : Concentración de sal (lb/gal) que hay en tanque en tiempo t.

• Q(t) : Cantidad de sal (lb) que hay en el tanque en tiempo t.

Claramente el volumen en tiempo t está determinado por la fórmulaV (t) = V 0 + (n − m)t,

y por ende la concentración viene dada por

C (t) = Q(t)

V (t) =

Q(t)

V 0 + (n − m)t.

Ahora observe quedQ

dt = αn − C (t)m

o equivalentemente quedQ

dt +

m

V 0 + (n − m)tQ = nα

que es una ecuación diferencial lineal con condición inicial Q(0) = s0

, de la cual obtenemos Q(t).

EJEMPLO 1.39

Un tanque contiene inicialmente 100 g al de una solución salina que contine 20 lb de sal. A partir de cierto momentose vierte agua dulce en el tanque a razón de 5 gal/min, mientras que del tanque sale una soluci ón bien mezclada a lamisma tasa. Hallar la cantidad de sal que hay despues de 20 minutos.


EJEMPLO 1.40

Un tanque de 50 g al contiene inicialmente 10 g al de agua pura. A partir de cierto momento se vierte en el tanque unasolución salina que contiene una libra de sal por gal ón a razón de 4 gal/min, simultanemente sale del tanque la soluciónbien mezclada a razon de 2 gal/min. Hallar la cantidad de tiempo que toma el tanque en llenarse, asi como la cantidady la concentración de sal en ese momento.


Ejercicio 1.56∗

Un tanque contiene inicialmente 100 galones de salmuera en la cual están diluidas 30 libras de sal. Sale salmuera del

tanque a razón de tres galones por minuto y simultaneamente entran, a dicho tanque, agua pura a dos galones por

minuto; manteniéndose la mezcla homogénea a cada instante. Determine la cantidad de sal en el tanque al cabo de diez

minutos de iniciado dicho proceso.

Ejercicio 1.57∗

En un depósito que contiene 100 galones de salmuera en los que hay disueltas 40 libras de sal, se desea reducir la con-

centración de sal a 0.1 libras por galón. Para ello se introduce agua pura el depósito a razón de 5 galones por minuto,

permitiendo que salga la misma cantidad por minuto y manteniendo, en todo instante, la mezcla uniforme. ¿En cuánto

tiempo se logra lo propuesto?

Ejercicio 1.58

Un tanque tiene 10 galones de agua salada con 2 libras de sal disuelta. Agua salado, con una concentración de 1.5 libras

de sal por galón, entra a razón de 3 galones por minuto y la mezcla bien agitada sale a razón de 4 galones por minuto.

Encuentre la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo y encuentre la concentraci ón de sal despues de 10 minutos.

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Ahora analicemos la aplicación de EDO a la teoŕıa de reacciones qúımicas. Una ecuación quı́mica de-scribe cómo las moleculas de varias substancias se combinan para formar otras (2 H 2 + O2 → 2H 2O).La tasa a la cual se forma una substanca se llama velocidad de reacci´ on . Aunque ninguna regla gen-eral se aplica para todos los casos, la ley de acci´ on reacci´ on que sostiene que si la temperatura semantiene constante, la velocidad de una reacción quı́mica es proporcional al producto de las concen-

traciones de las substancias que están reaccionando; esta es una manera muy usual para abordar esteproblema.

Supongamos que para formar la substancia C , se combinan α unidades de A y β unidades de B . Seax(t) la cantidad formada de C en el tiempo t. Si para obtener una unidad de C se necesita n de A y1 − n de B (0 < n 0) es la constante de proporcionalidad

dx

dt = k(α − nx)(β − (1 − n)x)

observe que esta ecuación tiene sentido siempre que cada miembro de la parte derecha sea positivo,pues de lo contrario ya se habŕıa acabado algúna substancia.

EJEMPLO 1.41

Dos quı́micos A y B reaccionan para formar otro qúımico C . La tasa de formación de C es proporcional al productode las cantidades instant́aneas de los quı́micos A y B presentes. La formación de C require de 2 libras de A por cada3 libras de B . Si inicialmente están presentes 10 libras de A y 30 libras de B , y si en 12 minutos se forman 10 librasde C . Halle la cantidad de qúımico C en cualquier tiempo t, además encuentre la cantidad máxima de C que se puedeformar, y averigue la cantidad restante de los quı́micos A y B despues de que ha pasado mucho tiempo.


Ejercicio 1.59

En una reacción qúımica, la sustancia A se transforma en otra sustancia a una velocidad proporcional a la cantidad de

A no transformado. Si, en un principio, habı́an 40 gramos de A y una hora más tarde 12 gramos; ¿cuándo se habrá

transformado el 90% de A?

Ejercicio 1.60∗

Cierta sustancia C se produce de la reacción de dos quı́micos A y B . La tasa a la cual se produce C es proporcional alproducto de las cantidades instantaneas de A y B presentes. La formación de tal sustancia C requiere 3 libras de A porcada 2 libras de B . Si inicialmente habı́an 60 libras de A y 60 libras de B y luego de una hora, de iniciada la reacción,se han producido 15 libras de C , determine:

(a) La cantidad de C en cualquier instante t.

(b) la cantidad de C al cabo de 2 horas de iniciada la reacción.(c) La cantidad máxima de C que se puede formar.

Ejercicio 1.61

Dos sustancias A y B reaccionan para formar C , de tal manera que se requiere 2 gramos de A por cada gramo de B . La

tasa de producción es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y B que no se han transformado en

C . Si inicialmente hay 100 y 50 gramos de A y B respectivamente, y si se forman 10 gramos de C en 5 minutos. ¿Cuál

es la cantidad lı́mte de C que se puede formar y cu ánto se espera tener de los reactivos A y B en ese momento?

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1.16 Leyes del Movimiento de Newton

Las tres leyes del movimiento de Newton son:

1. Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo en movimientotiende a persistir en movimiento en una linea recta con velocidad constante a menos que fuerzas

externas actuen sobre el.2. La tasa de cambio en momentum de un cuerpo en el tiempo es proporcional a la fuerza neta que

act´ ua sobre el cuerpo y tiene la misma direcci´ on a la fuerza.

3. A cada acci´ on existe una reacci´ on igual y opuesta.

La segunda ley de Newton nos proporciona una relación importante que podemos escribir matemáticamentede la siguiente manera:

d

dt(mv) = kF

donde m es la masa, v la velocidad, F la fuerza que actua sobre el objeto en dirección a la velocidady k es el coeficiente de proporcionalidad. Utilizaremos el valor de k = 1 para simplificar los cálculos yasumiremos que la masa es constante con el tiempo (lo cual sabemos que no es necesariamente cierto),

entonces tenemos que

F = d

dt(mv) = m

d

dt(v) = ma

de donde llegamos a la conocida fórmulaF = ma.

Veamos con ejemplos como podemos utilizar dicha relación para estudiar fenómenos f́ısicos.

EJEMPLO 1.42

Una bola se lanza hacia arriba con una velocidad de 128m/s. ¿Cuál es su velocidad despues de 6 segundos?, ¿Cu ándoregresará a su posición de partida por primera vez?, ¿Cu ál es la altura máxima que alcanza?


EJEMPLO 1.43

Un caja de peso W se desliza hacia abajo desde el reposo en un plano inclinado el cual forma un ángulo de α con lahorizontal. Establezca la ecuación diferencial y las condiciones iniciales que describan el movimiento de la caja. Hallela aceleración, la velocidad y la distancia de la caja en el tiempo t.


Ejercicio 1.62

Un hombre y su bote de motor pesan juntos 343 N . Suponga que el empuje del motor es equivalente a una fuerza

constante de 140 N en dirección del movimiento. Si la resistencia del agua al movimiento es igual a 7 veces la velocidad

instantánea, y si el bote esta inicialmente en reposo. Encuentre la velocidad y la distancia en cualquier tiempo.

Ejercicio 1.63

Un cuerpo de 6 kg tiene una velo cidad ĺımite de 16m/s cuando cae en el aire, el cual ofrece una resistencia proporcionala la velocidad intantánea del cuerpo. Si el cuerpo parte del reposo.

(a) Encuentre la velocidad del cuerpo despues de 1 seg .

(b) ¿A qué distancia se encuentra el cuerp o en el momento que que la velocidad es de 15 m/s?

Ejercicio 1.64∗

Un cuerpo de masa m cae, partiendo del reposo, en un medio que le ofrece una resitencia proporcional al cuadrado de

su velocidad (v). Determine se velocidad lı́mite, esto es limt→∞

v(t).

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Ejercicio 1.65

Un punto material de masa m es atraido por cada uno de dos centros con fuerzas proporcionales a la distancia. El factorde proporcionalidad es igual a k. La distancia entre dos centros es 2c. El punto de halla en el instante inicial en lalinea que une los centros a la distancia a de su medio. La velocidad inicial es cero. Hallar la ley de movimiento del punto.

Respuesta. a cos„q 2km t«Ejercicio 1.66

Una bala a la velocidad v0 = 400 m/s atraviesa una pared cuyo espesor es h = 20 cm y sale a la velocidad de 100 m/s.Suponiendo que la fuerza de resistencia de la pared es proporcional al cuadrado de la velocidad de movimiento de labala. Halle el tiempo que tardo la bala en atravesar la pared.

Respuesta. t = 32000ln4

s ∼ 0, 0011 s

Ejercicio 1.67

PÉNDULO MATEMÁTICO† Suponga que un material de peso m se mueve bajo la acción de la fuerza de gravedadpor una circunferencia L (en forma de péndulo). Halle la ecuación del movimiento del punto despreciando las fuerzas

de resistencia. Más claramente si asumimos que el radio de la circunferencia es l y s(t) como la longitud de arco desde

el punto mı́nimo, debemos hallar la función s en términos de t, l y g donde g es la gravedad.

Ejercicio 1.68

VELOCIDAD DE ESCAPE† Determine la mı́nima velociada con la cual se deb e lanzar un cuerpo verticalmente haciaarriba para que este no regrese a la tierra. La resistencia del aire se desprecia. (Recordar que según la ley de Newtonde atraccíon, la fuerza F que actúa en un cuerpo de masa m es

F = kM · m

r2

donde M es la masa de la tierra, r es la distancia entre el centro de la tierra y el objeto y k es la constante de gravitación

universal.)

†Para un análisis detallado refierase a [1], pág. 62 – 67.

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Caṕıtulo 2

Orden Arbitrario

La dificultad de hallar la solución de la ecuación diferencial general dada por

F (x, y, y, y, . . . , y(n)) = 0

depende de la forma de F como función de n + 2 variables. En este curso debido a la complejidaddel caso general analizaremos el caso en que F sea una funcion lineal en las n + 1 coordenadasy, y, y, . . . , y(n). Es decir analizaremos el problema

an

(x)y(n) + an−1

(x)y(n−1) + . . . + a1

(x)y + a0

(x)y = f (x) (2.1)

donde a0

, . . . , an

y f son funciones dependientes de la variable x unicamente. Toda EDO que se puedaescribir de esta forma se llama ecuaci´ on diferencial lineal de orden n .

2.1 Definiciones

Más adelante estudiaremos las EDO de la forma (2.1), pero antes demos ciertas definiciones adicionales.

Si todas las funciones a0 , . . . , an son constantes la EDO (2.1) se llama ecuaci´ on diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes, si no se llama ecuaci´ on diferencial lineal de orden n con coeficientes variables, en el caso en f ≡ 0 la llamaremos ecuaci´ on diferencial lineal homogenea .

Para estudiar estas ecuaciones hacemos uso del operador diferencial definido por

D : C ∞(R) −→ C (R)

y −→ y

donde C ∞(R) = {funciones infińıtamente diferenciales} y C (R) = {funciones continuas}. Con el cualla ecuación (2.1) tiene la forma

an

Dn + an−1

D(n−1) + . . . + a1

D + a0

(y) = f (x)

donde Dn = D ◦ . . . ◦ D n veces

, si para abreviar escribimos

φ(D) = an

Dn + an−1

D(n−1) + . . . + a1

D + a0

obtenemos que (2.1) se escribeφ(D)(y) = f

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MA01500 – Ecuaciones Diferenciales CAPÍTULO 2. ORDEN ARBITRARIO

Ejercicio 2.1

Muestre que el operador φ(D) = anDn + an−1D

(n−1) + . . . + a1

D + a0

es lineal. Esto es que si y1 y y2 son funcionesy a, b ∈ R entonces

φ(D)(ay1 + by1) = aφ(D)(y1) + bφ(D)(y2)

Además muestre que si y1 y y2 son soluciones de la ecuación homogénea φ(D) = 0, entonces cualquier combinación

lineal ay1 + by1 para a, b ∈ R también es solución de la ecuación homogénea. Finalmente concluya que el conjunto desoluciones de una ecuación lineal homogénea de orden n es un espacio vectorial sobre R, mostrando que es un subespacio

vectorial de C ∞(R) = {funciones infinı́tamente diferenciables} el cual es un espacio vectorial sobre R.

2.2 Existencia y Unicidad de Soluciones

En esta sección enunciaremos el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales linealesde orden n.

Teorema 2.1. Sunponga que a0

= 0, en un intervalo I = [a, b], adem´ as las funciones a0

, . . . , an

, f son continuas en I entonces el problema de valor inicial

an

(x)y(n) + an−1

(x)y(n−1) + . . . + a1

(x)y + a0

(x)y = f (x), y(i)(c) = pi

donde c ∈ (a, b) y pi ∈ R para todo i = 0, . . . , n − 1, tiene soluci´ on ´ unica

Observe que necesitamos de n condiciones iniciales idependientes para poder garantizar la unicidad,además es importante hacer notar que este teorema solo proporciona condiciones suficientes para laexistencia y unicidad de las soluciones, es decir que aunque no se cumplan las condiciones del teoremapodŕıan existir soluciones únicas dado un porblema de valor inicial.

Ejercicio 2.2

Considere la ecuación diferencial y + y = 0 con condicionaes iniciales y (0) = 1 y y (π) = −1. Observe que la funcióny = a sin x + cos x es una solucíon de esta ecuación diferencial para todo a ∈ R y por lo tanto no hay unicidad.¿Contradice esto las conclusiones del teorema?

2.3 Dependecia e Independencia de Funciones

Un conjunto de funciones {y1, . . . , yn} se dice linealmente dependiente en un intervalo I ⊆ R siexisten α1, . . . , αn constantes no todas cero tales que

α1y1 + . . . + αnyn = 0 ∀x ∈ I (2.2)

en caso contrario se dice que el conjunto es linealmente independiente, otra manera de decir estoes que {y1, . . . , yn} son linealmente independientes en I es que la única forma de que se cumpla

α1y1 + . . . + αnyn = 0 ∀x ∈ I

es que α1 = . . . = αn = 0.

Nota: Observe que le dependencia lineal es equivalente a decir que alguna de estas funciones se puedeexpresar como combinación lineal de las demás en este intervalo, pues note que si αm = 0 entonces

ym = −(α1y1 + . . . + αm−1ym−1 + αm+1ym+1 + αnyn)

αm

para todo x ∈ I .

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Ahora en general es muy dificil determinar la independencia de funciones en un intervalo I . Debido aesto recurrimos a herramientas del álgebra lineal para simplificar nuestro objetivo. Supongamos quela ecuación

α1y1(x) + . . . + αnyn(x) = 0 ∀x ∈ I

se cumple, entonces diferenciando n−1 veces la ecuación anterior obtenemos un sitema de n ecuaciones

para cada x ∈ I .

y1α1 + . . . + ynαn = 0

y1α1 + . . . + y

nαn = 0

...

y(n−1)1 α1 + . . . + y

(n−1)n αn = 0

del algebra lineal sabemos que una condición necesaria y suficiente para que α1, . . . , αn sea todos ceros(i.e. para que {y1, . . . , yn} sea l.i.) es que

W (y1, . . . , yn) =

y1 y2 · · · yny1 y

2 · · · y

n...

... . . .

...

y(n−1)1 y

(n−1)n · · · y

(n−1)n

= 0 ∀x ∈ I

Este determinante se llama el Wronskiano de y1, . . . , yn y de denota por W (y1, . . . , yn). De todo loanterior deducimos el siguiente teorema.

Teorema 2.2. Sea {y1, . . . , yn} un conjunto de funciones, entonces

(a) {y1, . . . , yn} es linealmente independiente en I si y solamente si W (y1, . . . , yn) = 0 ∀x ∈ I .

(b) {y1, . . . , yn} es linealmente dependiente en I si y solamente si W (y1, . . . , yn) = 0 ∀x ∈ I .

Este Teorema nos permite determinar la independencia (dependencia) lineal de un conjunto de fun-ciones son el simple calculo de un determinante. Veamos un ejemplo.

EJEMPLO 2.1

Analice si el conjunto de las funciones {x2, ex} es l.i. en R.

Solución. Utilizando el teorema anterior, calculamos el Wr onskiano de x2 y ex

W (x2, ex) =

˛̨̨˛ x2 ex2x ex

˛̨̨˛ = x2ex − 2xex = xex(x − 2) = 0

el cual es distinto de cero si y solamente si x = 0 y x = 2. Concluimos que las funciones son l.d en R, pero son l.i encualquier intevalo que no contenga al 0 ni al 2.

Ejercicio 2.3

Determine en cuales intervalos el conjunto de funciones {ex, sin x} son linealmente dependientes.

Ejercicio 2.4

Considere las rectas y1(x) = a1x + b1 y y2(x) = a2x + b2, suponga que el conjunto {y1, y2} es linealmente dependientesencuentre la constante α ∈ R, en términos de (a1, a2), tal que y1(x) = αy2(x) para todo x ∈ R.

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2.3.1 Dependencia e Independencia Lineal de Solciones

En el caso en que las funciones sobre las cuales queramos analizar independencia sean soluciones deuna ecuación homogénea de orden n, entonces el siguiente teorema nos ayuda a encontrar una fórmulaexplı́cita del Wronskiano y se le conoce como la f´ ormula de Abel

Teorema 2.3. (F´ ormula de Abel) Sean y1, . . . , yn soluciones de la ecuaci´ on diferencial homogenea an

y(n) + an−1

y(n−1) + . . . + a1

y + a0

y = 0

donde a0 = 0 y a0, . . . , an son funciones continuas en un intervalo I ⊆ R. Entonces el Wronskianode y1, . . . , yn en I , viene dado por la f´ ormula de Abel

W (y1, . . . , yn; x) = W (y1, . . . , yn; p)e−

R x

p (an−1/an)dt ∀x ∈ I

donde p es un punto arbitrario en I .

Por el teorema anterior obtenemos que el signo del Wronskiano de un conjunto de soluciones de unecuación lineal homogenea, en un intevalo I ⊆ R esta determinada por el valor en un punto, es decirque si W > 0 en algún punto del intevalo entonces W > 0 en todo I , si W < 0 en algún puntodel intevalo entonces W < 0 en todo I y finalmente si W = 0 en algún punto del intevalo entoncesW = 0 en todo I . Entonces por lo anterior obtenemos un método muy sencillo para determinar

la dependencia o independencia de un conjunto de soluciones de una ecuacion lineal homogenea, yresumimos este resultado en el siguiente teorema.

Teorema 2.4. Sean y1, . . . , yn soluciones de ecuaci´ on diferencial homogenea

an

y(n) + an−1

y(n−1) + . . . + a1

y + a0

y = 0

donde a0 = 0 y a0, . . . , an son funciones continuas en un intervalo I ⊆ R. Entonces

(i) y1, . . . , yn son linealmente independientes si y solo si W = 0 en alg´ un punto de I .

(ii) y1, . . . , yn son linealmente dependientes si y solo si W = 0 en alg´ un punto de I .

Es importante hacer notar que en caso que las funciones no sean soluciones de una ecuación diferencialhomogénea entonces debemos analizar el signo del Wronskiano en todo el intervalo de interes.

EJEMPLO 2.2

Considere la ecuación lineal homogenea(D3 − 6D2 + 11D − 6)(y) = 0

muestre que las solucionesy1 = e

2x + 2ex, y2 = 5e2x + 4ex, y3 = e

x − e2x.son l.i., pero son 2 a 2 l.d. en R.

Solución. Como y1, y2 y y3 son soluciones de la ecuación diferencial podemos aplicar el teorema 2.4, entonces calculamosel Wronskiano en un punto de R.

W (y1, y2, y3)(0) =

˛̨̨˛̨̨ e2x + 2ex 5e2x + 4ex ex − e2x2e2x + 2ex 10e2x + 4ex ex − 2e2x

4e2x + 2ex 20e2x + 4ex ex − 4e2x

˛̨̨˛̨̨(x=0)

=

˛̨̨˛̨̨ 3 9 04 14 −1

6 24 −3

˛̨̨˛̨̨ = 0

entonces podemos concluir que y1, y2 y y3 son linealmente dependientes. De forma similar veamos que cualesquiera dosfunciones de estas son linealmente independientes. Analicemos el caso de y1 con y2, calculando el Wronskiano:

W (y1, y2)(0) = ˛̨̨̨ e2x + 2ex 5e2x + 4ex2e2x + 2ex 10e2x + 4ex ˛̨̨̨(x=0)

= ˛̨̨̨ 3 94 14 ˛̨̨̨ = 10 = 0y nuevamente por el teorema 2.4 concluimos que y1 y y2 son linealmente independientes. De manera análoga procedemos

para mostrar la independencia lineal de y1 con y3 y de y2 con y3. Observe que en este caso podemos aplicar el teorema

pues sabemos que las funciones y1, y2 y y3 son soluciones de la EDO dada inicialmente.

Ejercicio 2.5

Pruebe que si y1 y y2 son soluciones se la ecuación diferencial y+ p(x)y+q(x)y = 0, en un intervalo I = {x : α < x < β }y si x0 es un punto de I tal que y1(x0) = y2(x0) = 0, entonces las funciones y1 y y2 son linealmente dependientes.

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2.4 Ecuacion Lineal Homogenea

En esta sección analizaremos la EDO del tipo

an

y(n) + an−1

y(n−1) + . . . + a1

y + a0

y = 0 (2.3)

con a0, . . . , an ∈ C (R), funciones que dependen de la variables x, ó en términos del operador diferencial

φ(D)(y) = 0

Debido al ejercicios 2.1 obtenemos la linealidad del operador φ(D), y por lo tanto tenemos que cualquiercombinación lineal de soluciónes de (2.3) es a su vez una soluci ón. Es por esta razón que el conjuntode soluciones de una ecuacion diferencial homogenea forma un espacio vectorial sobre el cuerpo de losnúmeros reales, y lo llamaremos el espacio soluci´ on . Como veremos en el siguiente la dimensión deeste espacio es igual al grado de la ecuacion homogenea.

Teorema 2.5. Si y1, . . . , yn son soluciones l .i, en un intervalo I , de ecuaci´ on diferencial homogenea

φ(D)(y) = 0

entonces y = c1y1 + . . . + cnyn

es la soluci´ on completa de esta ecuaci´ on en I .

Entonces en este caso le dimensión, en el intervalo I , del espacio solución es n, al igual que el gradode la ecuación homogenea, y una base de este espacio es {y1, . . . , yn}. Dada un ecuación diferencial aun conjunto de funciones que constituyan una base el espacio solución, en un intervalo I , se le llamaconjunto fundamental de soluciones en el intervalo (cuando no se haga referencia al intervaloasumiremos que es todo R). Observe entonces que para hallar todas las soluciónes de una ecuacionhomogenea de grado n, nuestro problema se reduce a encontrar n soluciones linealmente independi-entes. Centremos nuestra atención al caso más sencillo en que la ecuación tiene coeficientes constantes.

Ejercicio 2.6

En cada caso, halle una ecuación diferencial tal que los conjuntos de funciones dados constituyan un conjunto funda-mental de soluciones para esa ecuación.

1. y1 = 1, y2 = x, y3 = x2.

2. y1 = 2, y2 = cos x, y3 = sin x.

3. y1 = x2, y2 = x−1.

4. y1 = sin(x2), y2 = cos(x2).

5. y1 = e−3x sin(2x), y2 = e−3x cos(2x).

6. y1 = x, y2 = exp“−x22

”.

Ejercicio 2.7

Verifique que 1 y √

x son soluciones de la ecuación diferencial y y + (y)2 = 0 para x > 0. ¿ Es c1 + c2√

x la solución

general? (Explique)

Ejercicio 2.8

Determine en cuáles intervalos las funciones y1(x) = x y y2(x) = xex forman un conjunto fundamental de soluciones

para la ecuación diferencial x2y − x(x − 2)y + (x + 2)y = 0.

Ejercicio 2.9

Considere las funciones y1, y2, . . . , yn soluciones de una EDO lineal homogénea de orden n. Sabemos que el Wr onskiano

W (y1, y2, . . . , yn)(x) es distinto de cero en cierto intervalo. Encuentre la ecuación diferencial lineal homogénea para la

cual este sistema de funciones es un sistema fundamental de soluciones.

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2.4.1 Coeficientes Constantes

Analicemos ahora el caso de coeficientes constantes en la ecuación diferencial lineal homogénea, dadapor la fórmula

an

y(n) + an−1

y(n−1) + . . . + a1

y + a0

y = 0 (2.4)

en el caso en que a0, . . . , an ∈ R

con an = 0. Sabemos que la EDO (2.4) se puede escribir utilizandooperadores de la forma(a

nDn + a

n−1Dn−1 + . . . + a

1D + a

0)(y) = 0

definimos el polinomio caracteristico asociado a la ecuación (2.4) como el polinomio que se obtienede cambiar el operador diferencial D por una variable λ de la siguiente manera

p(λ) = an

λn + an−1

λn−1 + . . . + a1

λ + a0

(2.5)

y la ecuación caracteŕıstica al igualar el polinomio caracteŕıstico a cero,

an

λn + an−1

λn−1 + . . . + a1

λ + a0

= 0.

Para hallar la solución completa procedemos de la siguiente manera. Factorizamos el polinomio

caracteristico en C

, entonces tenemos que

p(λ) = p1(λ) p2(λ)

donde p1 es el polinomio de mayor grado n1 ≤ n que divide a p y que se puede factorizar completamenteen R, es decir

p1(λ) = (λ − r1)m1 . . . (λ − r p)

mp

donde r1, . . . , r p ∈ R con m1 + . . . + m p = n1, y p2 es un polinomio de grado n2 ≤ n que se factorizaen C de la siguiente forma

p2(λ) = (λ − z1)µ1(λ − z̄1)

µ1 . . . (λ − zq)µq(λ − z̄q)

µq

donde z1, . . . , zq ∈ C − R y si zj = αj + iβ j , entonces z̄ = αj − iβ j es el conjugado complejo de zj

para j = 1, . . . , q . Claramente µ1 + . . . + µq = n2 y n = n1 + n2.

Entonces por cada factor de la forma:

• (λ − r)m: Corresponden m soluciones linealmente independientes

erx, xerx, . . . , xm−1erx

de la ecuación lineal homogeneas dada.

• (λ − z)µ(λ − z̄)µ: Corresponden 2µ soluciones linealmente independientes de la ecuación dada,y si z = α + iβ , entonces estas vienen dadas por

eαx cos βx, xeαx cos β x , . . . , xµ−

1eαx cos βx

eαx sin βx, xeαx sin β x , . . . , xµ−1eαx sin βx

Ahora observe que con este método obtenemos n soluciones linealmente independientes de una ecuaciónlineal homogenea de grado n, y sabemos por el Teorema 7, que esto es suficiente para encontrar susolución completa.

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EJEMPLO 2.3

Resuelva la siguiente EDOy − 2y − y + 2y = 0

Solución. En este caso el p olinomio caracteŕıstico es

p(λ) = λ3 − 2λ2 − λ + 2 = (λ − 2)(λ − 1)(λ + 1)y por lo tanto la solución completa de la ecuación lineal dada es

y = c1e2x + c2e

x + c3e−x

EJEMPLO 2.4

Resuelva el siguiente problema de valor inicial

yV − 4yIV + y + 10y − 4y − 8y = 0yIV (0) = 1 y(i)(0) = iy(i+1)(0) para i = 0,1,2,3.

Solución. En este caso el p olinomio caracterı́stico asociado a la EDO dada es p(λ) = λ5 − 4λ4 + λ3 + 10λ2 − 4λ − 8 = (λ + 1)2(λ − 2)3

y por lo tanto la solución completa de la ecuación lineal dada es

y = c1e−x + c2xe−x + c3e2x + c4xe2x + c5x2e2x

utilizando las condiciones iniciales obtenemos que

c1 + c3 = 0

−c1 + c2 + 2c3 + c4 = 6c1 − 2c2 + 4c3 + 4c4 + 2c5 = 6

−c1 + 3c2 + 8c3 + 12c4 + 12c5 = 3c1 − 4c2 + 16c3 + 32c4 + 48c5 = 1

resolviendo el sistema llegamos a que

c1 = −8527

, c2 = −4627

, c3 = 8527

c4 = −4727

c5 = 118

EJEMPLO 2.5

Resuelva la siguiente EDOy + 2y + 5y = 0

Solución. En este caso el p olinomio caracterı́stico asociado a la EDO dada es

p(λ) = λ2 + 2λ + 5 = (λ − z)(λ − z̄)con z = −1 + 2i y z̄ = −1 − 2i, por lo tanto la solución completa de la ec

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias en Ingenieria