APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES

Escuela profesional de Ingeniería Civil

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UNIVERSIDAD CIENTÍFICA DEL

PERÚ - TARAPOTO

Facultad de Ciencias e Ingeniería

Escuela Profesional de Ingeniería Civil

CURSO : ECUACIONES DIFERENCIALES

PROFESOR : ING. LUIS ARMANDO CUZCO TRIGOZO

CICLO : V

TEMA : APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN

LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA

INGENIERÍA CIVIL

INTEGRANTES:

GONZALES TARRILLO LUIS MIGUEL

CORDOVA CORDOVA ISIDRO

MENDOZA RIVERA SALLY MAYLIN

RIOS FLORES ANDREA

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INDICE

Introducción …………………………………………………………… 3

Objetivos …………………………………………………………… 4

Flexión de una Viga en Voladizo …………………………………... 5

Estudio de una Viga en Voladizo ………………………………….. 8

Calculo Numérico......................................................................…. 12

Aproximación de Pequeñas Flexiones ……….………………….. 16

Límite de Pequeñas Flexiones ……………………………………. 17

Ejemplos …………………………………………………………….... 18

Conclusiones …………………………………………………………. 20

Recomendaciones …………………………………………………... 21

Bibliografía ……………………………………………………………. 22

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INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis

matemático y modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación

diferencial es una relación, válida en cierto intervalo, entre una variable y sus

derivadas sucesivas. Su resolución permite estudiar las características de los

sistemas que modelan y una misma ecuación puede describir procesos

correspondientes a diversas disciplinas. Las ecuaciones diferenciales tienen

numerosas aplicaciones a la ciencia y a la ingeniería, de modo que los esfuerzos

de los científicos se dirigieron en un principio, a la búsqueda de métodos de

resolución y de expresión de las soluciones en forma adecuada; de este modo,

los primeros métodos de resolución fueron los algebraicos y los numéricos. Los

primeros permiten expresar la solución en forma exacta, como y = f (x), una

función de la variable independiente, y los segundos tienen como objetivo

calcular valores que toma la solución en una serie de puntos. Al conjunto de

estos valores se lo denomina cálculos numéricos. La estimación de los valores

en puntos intermedios puede obtenerse por interpolación. La gran mayoría de

las ecuaciones diferenciales no puede ser resuelta satisfactoriamente en forma

exacta. Por otra parte, la implementación de técnicas numéricas eficientes

requiere previamente el estudio cualitativo de las soluciones. Asimismo, los

métodos numéricos, si bien son eficaces para aportar una solución aproximada

de algún problema específico, no resultan adecuados para la discusión global

del conjunto de todas las soluciones. Las ecuaciones diferenciales constituyen

una mínima parte de los programas de cálculo en carreras de ingeniería, y su

enseñanza se limita, en muchos casos, al marco algebraico. Numerosas

investigaciones ponen de manifiesto que esta manera de enseñarlas no

contribuye significativamente a la comprensión de estos objetos matemáticos y

por ende se observa en los estudiantes una falta de motivación para su estudio.

Este trabajo intenta mostrar, como aplicamos las ecuaciones diferenciales en

solucionar problemas en la ingeniería civil, los alumnos de carreras de ingeniería

por conocimientos básicos debe saber en que instantes usarlos y resolver las

ecuaciones diferenciales dando resultados exactos y precisos.

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OBJETIVOS

GENERALES:

El objetivo de este informe es el proporcionar una introducción a las ecuaciones

diferenciales y sus aplicaciones para los estudiantes de ingeniería, ciencias y

matemáticas.

ESPECIFICOS:

Para alcanzar este propósito, se planteó los siguientes objetivos específicos:

1. Demostrar como las ecuaciones diferenciales pueden ser útiles en la

solución de varios tipos de problemas y mostrar al estudiante como

traducir un problema a una ecuación para facilitarlo y encontrar la

respuesta al problema.

2. Motivar a los estudiantes de modo que se consiga un entendimiento de

los temas y que se desarrolle un interés.

3. Proporcionar relativamente métodos de resolver ecuaciones diferenciales

que pueden aplicarse a un grupo de problemas.

4. Proporcionar al estudiante que desee investigar métodos e ideas más

avanzadas, o problemas y técnicas más complicados, una oportunidad

para que lo haga.

5. Unificar la presentación a través de un enfoque ordenado y lógico,

haciendo énfasis en conceptos generales y/o específicos.

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MARCO TEORICO

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERÍA CIVI

Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad

que presentan para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias físicas,

biológicas y sociales. A partir de la formulación matemática de distintas

situaciones se describen procesos reales aproximados.

Dentro de los diversos campos de acción de la ingeniería civil, una de las

múltiples aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con el

estudio de las flexiones, un ejemplo es:

I. FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO PARA PEQUEÑAS FLEXIONES:

Una viga o una barra delgada son

sólidos homogéneos e isótropos cuya

longitud es grande comparada con las

dimensiones de su sección trasversal.

Cuando una viga flexiona debido a las fuerzas exteriores que se aplican,

existen algunas partes de la viga que se acortan y hay otras zonas que se

alargan. Pero hay una línea, denominada eje neutro, que no se acorta ni se

alarga. Este eje se encuentra en el centro de gravedad de la sección

trasversal.

Se usará una barra empotrada de un determinado material, de longitud L, de

anchura a y de espesor b. Se fijará uno de sus extremos y se aplicará una

fuerza en su extremo libre. Mediremos el desplazamiento del extremo libre y

(L) o flecha en función de la fuerza aplicada F, comprobando su relación de

proporcionalidad, mientras que la flexión de la barra sea pequeña.

A continuación, examinaremos la teoría de la flexión de una viga en voladizo

en detalle, calculando el desplazamiento de su extremo libre cuando se aplica

una fuerza en dicho extremo que produce una flexión considerable.

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Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos numéricos aplicados

al

Cálculo de la raíz de una ecuación.

Integral definida.

Supongamos que:

La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su

sección trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es

despreciable.

Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el

espesor de la barra es pequeño comparado con el radio de curvatura,

la sección trasversal cambia muy poco.

En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que

relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ

de la barra deformada

El radio de curvatura de una función y(x) es

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Para pequeñas pendientes (𝑑𝑦

𝑑𝑥)2 ≈ 0. Si despreciamos el peso de la

propia barra, el momento de la fuerza F aplicada en el extremo libre, respecto

del punto P (x, y) es 𝑀 = 𝐹(𝑋𝑓 − 𝑥) ≈ 𝐹(𝐿 − 𝑥)

Que integramos dos veces con las siguientes condiciones iníciales x=0, y=0

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0.

El desplazamiento Yf del extremo libre x=L es proporcional a la fuerza F

aplicada

Y es el módulo de Young del material.

I se denomina momento de inercia de la sección trasversal respecto de

la fibra neutra

Se considera que la aproximación de pequeñas flexiones: el desplazamiento

y del extremo libre de la barra, es proporcional a la fuerza F aplicada, produce

resultados aceptables hasta un cierto valor del parámetro a dimensional

α<0.375, (véase al final del siguiente apartado) o bien, hasta un valor máximo

de la fuerza aplicada Fm = 2Y ∗ I ∗𝛼

𝐿2

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Ejemplo:

Sea L=30 cm=0.3 m, la longitud de la barra.

Sea b=0.78 mm=0.00078 m, el espesor de la barra.

La anchura a=0.03 m está fijada por el programa interactivo y no se puede

cambiar.

Elegimos como material, el Acero.

Después de realizar la experiencia. La pendiente de la recta que relaciona la

desviación del extremo libre y(L) con la fuerza aplicada F en dicho extremo

es m=3.683 cm/N=0.03683 m/N

El momento de inercia I vale

Dada la pendiente (coeficiente de proporcionalidad de F) calculamos el

módulo de Young Y

II. ESTUDIO DE LA FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO:

Consideremos una barra delgada de longitud L en posición horizontal,

empotrada por un extremo y sometida a una fuera vertical F en el extremo

libre. Determinaremos la forma de la barra y las coordenadas (xf, yf) del

extremo libre para grandes flexiones de la barra.

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Supongamos que:

La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su

sección trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es

despreciable.

Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el

espesor de la barra es pequeño comparado con el radio de curvatura,

la sección trasversal cambia muy poco.

En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que

relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de

curvatura ρ de la barra deformada

Donde Y es el módulo de Young del material e I es el momento de inercia de

la sección trasversal respecto del eje neutro. El radio de curvatura:

ρ=ds/dφ

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El momento flector M de la fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra

respecto del punto P (x, y) es 𝑀 = 𝐹(𝑥𝑓 − 𝑥)

Derivando con respecto a s, y teniendo en cuanta que cosφ=dx

Para determinar φ(s) se resuelve la ecuación diferencial con las siguientes

condiciones iníciales:

Para obtener una solución de la ecuación diferencial, multiplicamos por

𝑑𝜑𝑑𝑠⁄ la ecuación diferencial

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La constante de integración la determinamos a partir de las condiciones

iníciales especificadas anteriormente:

La Longitud L de la barra y las coordenadas x e y de cada uno de los puntos

de la misma se obtienen:

Dada la fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra y conocida la longitud

L de la barra, se resuelve la primera ecuación para calcular el ángulo φ0, que

forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa

del eje horizontal X

Una vez que se conoce este ángulo φ0, se calcula la abscisa x dando valores

al ángulo φ en el intervalo (0, φ0)

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El cálculo de la ordenada y es más complicado, ya que para cada valor del

ángulo φ hay que hallar una integral definida en el intervalo (0, φ) empleando

procedimientos numéricos.

Cálculo numérico

Las ecuaciones anteriores las podemos expresar

Donde α es un parámetro a dimensional que engloba las características

geométricas de la barra, del material del que está hecha, y de la fuerza

aplicada en su extremo libre.

Cálculo de φ0.

Empezamos con la primera ecuación que nos determina el ángulo φ0 que

forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa

del eje horizontal X, tal como se ve en la figura:

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Requiere dos pasos:

1. Hallar la integral

2. Calcular la raíz de la ecuación f(φ0)=0

La integral se puede expresar en términos de la suma de dos integrales

elípticas de primera especie, haciendo cambios de variable.

El primer cambio es θ=φ+π/2

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El segundo cambio de variable es:

Finalmente, calculamos la raíz de la ecuación

Cálculo de las coordenadas (x/L, y/L) de cada punto de la barra

deformada

El cálculo de x/L no reviste dificultad alguna. Conocido φ0, se calcula x/L para

cada ángulo φ en el intervalo (0, φ0). La posición xf del extremo libre es

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El cálculo de y/L es más problemático. Conocido φ0, se determina la

ordenada y/L para cada ángulo φ en el intervalo (0, φ0) calculando la integral

definida, por el procedimiento numérico de Simpson

Cuando φ→φ0 el denominador de la integral tiende a cero. El ordenador no

calcula correctamente la ordenada yf/L del extremo libre de la barra cuando

φ=φ0. Para solucionar este inconveniente, empleamos el procedimiento de

interpolación que se muestra en la figura.

Calculamos las coordenadas (x/L, y/L) para el ángulo φ=φ0-Δφ, siendo Δφ

un ángulo pequeño.

Calculamos la abscisa xf/L para el ángulo φ0.

La ordenada yf/L se obtiene resolviendo el triángulo rectángulo de la figura

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Aproximación de pequeñas flexiones.

Para pequeñas flexiones cuando el ángulo φ0 es pequeño. Sustituimos

senφ≈φ y escribimos la ecuación que calcula φ0.

El resultado es φ0=α

Las coordenadas (x, y) de cada punto de la barra se aproximan a

Para el extremos libre de la barra, cuando φ= φ0=α, xf=L, lo que implica que

en la aproximación de pequeñas flexiones, no hay desplazamiento horizontal

del extremo libre de la barra.

La ordenada Y la podemos aproximar

Integrando por partes y después de hacer algunas simplificaciones

obtenemos la siguiente expresión

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Las coordenadas x e y, las hemos expresado en función del parámetro φ,

eliminando el parámetro obtenemos la función y=f(x) que describe la flexión

de la barra cuando se aplica una fuerza F en su extremo libre.

Para el extremos libre de la barra, cuando φ= φ0=α, x=L,

Límite de la aproximación de pequeñas flexiones

En la figura, se muestra la desviación y/L del extremo libre de la barra en

función del parámetro a dimensional α.

En color rojo, los resultados del cálculo, empleando procedimientos

numéricos, descrito en el apartado anterior

En color negro, la recta y/L=2α/3, aproximación de pequeñas flexiones

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Podemos considerar, que la aproximación lineal produce resultados

aceptables hasta un cierto valor límite del parámetro αm o bien, hasta un

cierto valor máximo de la fuerza aplicada Fm en los extremos libre de la barra

Ejemplo:

Sea una regla de acero de longitud L=30 cm, sección rectangular a=3.04 cm,

y b=0.078 cm. El módulo de Young es Y=2.06·1011 N/m2

El momento de inercia I vale

Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que α=0.25,

es decir

Aplicando la aproximación de pequeñas flexiones

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En la aproximación de pequeñas flexiones xf≈L, no hay desviación apreciable

en sentido horizontal y la desviación en sentido vertical yf es proporcional a

la fuerza F aplicada en el extremo libre.

Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que α=1.25,

es decir

Aplicando la aproximación de pequeñas flexiones

En la aproximación de pequeñas flexiones deja de ser válida ya que hay una

desviación apreciable en sentido horizontal y la desviación en sentido vertical

yf ya no es proporcional al a la fuerza F aplicada en el extremo libre.

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CONCLUCIONES

Finalmente y para concluir se determinó que, la solución de problemas de

ingeniería está asociada, por lo general, a resultados numéricos puesto

que se requieren respuestas prácticas.

En este trabajo se dan a conocer que se las ecuaciones diferenciales en

la ingeniería tiene mucho valor ya que traducen los fenómenos en

ecuaciones diferenciales y estas sirven a los científicos para resolver

problemas ya sea de ingeniería, sociales, en la medicina.

El objetivo planteado en la introducción se cumplió satisfactoriamente, ya

que se pudo observar a lo largo del desarrollo los diferentes usos de las

ecuaciones diferenciales en la vida diaria y, al haber también estudiado

dicho tema, nos queda un modelo de cómo podemos aplicarla frente a

cierta problemática.

Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue

positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica,

y creemos que también esta monografía nos será útil en la práctica.

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RECOMENDACIONES

Las ecuaciones diferenciales más allá de ser hacerlas teóricamente se

deben practicar de manera consecutiva y así aplicarlos a la vida real. Ya

que las ecuaciones diferenciales tienen muchas aplicaciones en el campo

de ingeniería y otras carreras profesionales.

Así vemos como las ecuaciones, su aplicación e importancia en la vida

diaria son utilizadas de manera general en lo que es la investigación de

diferentes problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución

de tales ecuaciones.

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BIBLIOGRAFIA:

Feynman, Leighton, Sands. The Feynman Lectures on Physics V-II.

Edt. Fondo Educativo Interamericano, págs. 38.15-17.

Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., Flexión de una barra delgada

empotrada en un extremo: Aproximación para pequeñas pendientes.

Revista Brasileira de Ensino de Física. 24 (4) Diciembre 2002, págs,

399- 407.