Aplicacion de Las Ecuaciones Diferenciales en Problemas de Deflexion en Vigas

7/21/2019 Aplicacion de Las Ecuaciones Diferenciales en Problemas de Deflexion en Vigas

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APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN PROBLEMASDE DEFLEXION EN VIGAS

Ana Marquez1; Ana Yance2; De la Hoz Thalia3; Stephanie Salcedo4; Cindy Roldan; !arol Scalda"erro#; $%ctor &rito'

(ni)er*idad de la Co*ta +Cuc,

A-arquez1./cuc0edu0co 1; Ayance4/cuc0edu0co 2; Tdelahoz1/cuc0edu0co3; S*alcedo#/cuc0edu0co 4;

Croldan1/cuc0edu0co ; *calda"1/cuc0edu0co#; $rito1/cuc0edu0co '

RESUMEN: En este proyecto se describe el uso de las

ecuaciones diferenciales en soluciones de deflexión de vigas a partir de la conceptualización y aplicación de formulas para

determinar la deflexión y la curva elástica que también se

denomina curva de deflexión. Para ello se establece un problema el cual está basado en la construcción de un estadio

de futbol, que tiene una estructura formada principalmente por una viga en voladizo con una carga distribuida a lo largo

de su longitud. Para el desarrollo de este proyecto se utiliza

una ecuación diferencial lineal de cuarto orden que satisfacedicha deflexión y permite calcular mediante la aplicación de

ecuaciones diferenciales de orden superior la curvatura de laviga, para la solución de la ecuación diferencial lineal decuarto orden mencionada anteriormente, se emplea el método

del anulador para ecuaciones no homogéneas con coeficientes

constantes o coeficientes indeterminados, que se basa enhallar la solución general de la ecuación lineal y aplicando

las correspondientes condiciones de frontera que se presentan

en la viga, para hallar cada uno de los coeficientes y finalmente determinar la deflexión de la viga y graficar la

curva elástica, y as establecer las conclusiones finales del problema.

PALABRAS CLAVE ! "eflexión, vigas, ecuación diferencial,

curvatura, método del anulador, coeficientes.

ABSTRACT: #his pro$ect %as described using differential equations beam deflection solutions from the

conceptualization and implementation of formulas todetermine the deflection and the elastic curve also called

deflection curve . #his %ill set a basic problem based on the

construction of a soccer stadium , %hich has a structuremainly composed of a cantilever beam %ith a load distributed

along its length. &or the development of this pro$ect, %e used a

linear differential equation of the fourth order that satisfiesthis deflection and computes by applying higher order

differential equations of the curvature of the beam, for the

solution of linear differential equation of fourth order mentioned above, employ the annihilator method for non'

homogeneous equations %ith constant coefficients or undetermined coefficients , %hich %as based on finding the

general solution of the linear equation and applying the

appropriate boundary conditions that occurred in the beam ,to find each of the coefficients and finally determine the

deflection of the beam and plot the elastic curve to establish

the final conclusions of the problem.

KEYWORDS: "eflection, beams, differential equation,curvature, annihilator method, coefficients.

1. INTRODUCCIÓN

l pre*ente proyecto de aplicacin *e re"iere al te-a de

de"le5in de una )i6a7 co-o e* *aido la* )i6a* hoy en

d%a con*tituyen uno de lo* ele-ento* e*tructurale* -a*i-portante* en in6enier%a7 ya que e* utilizado en una

a-plia )ariedad de aplicacione*7 dentro de la* que

de*taca-o*7 que *on la* encar6ada* de *oportar la*

car6a* de la* cuierta* +techo*, de la* )i)ienda*7edi"icio*7 etc0 e*ta* *on aplicada* ade-8* a la*

e*tructura* de puente* entre otra*0 9a* )i6a* al *oportar

car6a* de otra* e*tructura*7 ha*ta de *u propio pe*o7

oca*ionan que e*ta *e "le5ione7 lo* -:todo* para calcular la de"le5in de )i6a* *on )ariado*7 *in e-ar6o en el

pre*ente traao aplicare-o* la* ecuacione*

di"erenciale*7 e*pec%"ica-ente la* ecuacione*

di"erenciale* de orden *uperior7 donde *e co-prender8co-o *e utiliza la ecuacin di"erencial lineal de cuarto

orden para deter-inar la "le5in de una )i6a0 l

oeti)o principal de e*te proyecto e* encontrar la

de"le5in de un )i6a en )oladizo7 con una car6adi*triuida a lo lar6o de *u lon6itud7 que e*ta e-potrada

en *u e5tre-o izquierdo y apoyada *i-ple-ente en *u

e5tre-o derecho7 la cual hace parte del di*e<o de lacon*truccin de un nue)o e*tadio de "utol de la ciudadde &arranquilla7 e*to con el "in de encontrar la de"le5in

cuando x= L

27 para que *e pueda re"orzar

adecuada-ente la e*tructura0 9a "uente principal delde*arrollo de e*te proyecto e* el inter:* de conocer c-o

*e puede hallar la *olucin a un prole-a de de"le5in

de )i6a e-pezando de*de la per*pecti)a de la*

condicione* de "rontera que pre*enta la )i6a0

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

l an8li*i* de la* de de"or-acione* en )i6a no* per-ite

li-itar lo* de*cen*o* de la* -i*-a*7 entre6ando

*eccione* adecuada* para otener un e5celente

de*e-pe<o0=ara la con*truccin de un nue)o e*tadio de "utol en la

ciudad de &arranquilla a car6o de una e-pre*a pri)ada

de con*truccin lo* due<o* piden a una l%nea de

in6eniero* ci)ile* pre*entar un di*e<o e*tructuralno)edo*o pero que a la )ez *ea "uncional0 9ue6o de

1



)ario* deate* el di*e<o e*co6ido con*ta de una *erie de

e*tructura* en )oladizo* +$er figura () *+, que a *u )ez

*er)ir8 de luz y rindara *o-ra a 6ran parte de la*

6rader%a* co-o ta-i:n adopta un di*e<o -oderno einno)ador0

Figura N° 1: Diagrama de a e!"ru#"ura $ &uente! os

-utores+

l principal prole-a para lo* con*tructore* ein6eniero* e* opti-izar la* car6a* per-i*ile* para que

la e*tructura no colap*e o *u"ra la -enor de"or-acin

po*ile7 por tanto nece*itan re"orzar adecuada-ente la

e*tructura y para ello nece*itan *aer la de"le5in de la

)i6a cuando x= L

27 la )i6a *e encuentra e-potrada

en *u e5tre-o izquierdo y apoyada *i-ple-ente en *u

e5tre-o derecho7 cuya lon6itud e* 97 y e*ta co-pue*ta

por una car6a uni"or-e-ente di*triuida + w0¿ a lo

lar6o de *u lon6itud0 n )irtud de lo ante* *e<alado *e

"or-ula el *i6uiente interro6ante>

?Cu8l e* la de"le5in que pre*enta la )i6a cuando

x= L

2@ Cuando *e e*talece que la )i6a tiene una

lon6itud de L=20m 7 una car6a di*triuida de

w0=2

Tonelada

m7 y que el -aterial de la )i6a e* el

acero con un -odulo de ela*ticidad de

2.4×106 T

m2

7 y cuyo -o-ento de inercia

re*pecto a la 6eo-etr%a del -aterial corre*ponde a

I =21.3×10

−3

m4 0

3. REFERENTES TEORICOS

Mucha* e*tructura* *e con*tituyen u*ando trae* o )i6a*

y e*ta* )i6a* *e "le5ionan o de"or-an ao *u propio

pe*o o por la in"luencia de al6una e*"uerza e5terna10 9a*)i6a* *on -ie-ro* e*tructurale* *o-etido* a car6a*

laterale*; e* decir a "uerza* o -o-ento* que tienen *u*

)ectore* perpendiculare* al ee de la arra0 9a* )i6a* *on

la* encar6ada* de reciir la* car6a* de la* lo*a* o lo*

ele-ento* plano* que *e encuentren *ore ella y al

-i*-o tie-po tran*-itir :*ta* car6a* a la* colu-na* de

la e*tructura0 9a* car6a* que actBan *ore una )i6aoca*ionan que e*te *e "le5ione7 con lo que *u ee *e

de"or-a en una cur)a7 dicha "le5ion o de"le5ion e* una

re*pue*ta e*tructural a una de"or-acin que *e da en la*

)i6a* 20 9a de"le5in de una )i6a e*ta 6oernada por una

ecuacin di"erencial de cuarto orden0

n la "i6ura 27 *e aprecia una )i6a ho-o6:nea de

lon6itud 97 y tiene una *eccin tran*)er*al uni"or-e a lolar6o de *u lon6itud0 n au*encia de car6a en la )i6a7

una cur)a que une lo* centroide* de toda* *u* *eccione*

tran*)er*ale* e* una recta conocida co-o ee de *i-etr%a0

Si *e le aplica una car6a a la )i6a en un plano )erticalque contiene al ee de *i-etr%a7 la )i6a e5peri-enta una

di*tor*in +er fig. () /, y la cur)a que conecta lo*

centroide* de toda* *u* *eccione* tra*)er*ale* *e lla-acurva d d!"#$%& o curva "'()$ca1.

Figura N° %: Viga $ &uente! 0ill "ennis 12334+. #omado del texto, Ecuaciones "iferenciales! con problemas con valores

en la frontera+

Figura N° &: De'e(i)* de u*a +iga $ &uente! 0ill "ennis

12334+. #omado del texto, Ecuaciones "iferenciales! con

problemas con valores en la frontera+

Si el ee x coincide con el ee de *i-etr%a y que la

de"le5in y ( x) 7 -edida de*de e*te ee7 e* po*iti)a

*i e* hacia aao0 l -o-ento de "le5in M ( x) e*

un punto x a lo lar6o de la )i6a *e relaciona con la

car6a por unidad de lon6itud w ( x) -ediante la

ecuacin>

2



d2 M

d x2 =w ( x )(1)

Ade-8* el -o-ento de "le5in M ( x) e*

proporcional a la cur)atura k de la cur)a el8*tica0

M ( x )= EIk (2)

Donde y E *on con*tante*>

E=¿ Modulo de ela*ticidad del -aterial

I =¿ Mo-ento de inercia de la *eccin tran*)er*al

de la )i6a

l producto E7 *e conoce co-o ri6idez "le5ional de la

)i6a7 que e* una -edida de la re*i*tencia de la )i6a a la

"le5in; e* decir entre -ayor e* la ri6idez por "le5in7

-enor e* la cur)atura para un -o-ento dado0

l calculo de la cur)atura e*ta dada por

k = y ´ ´ / [1+( y ´ )2 ]3

2 0 Cuando la de"le5in

y ( x) e* peque<a la pendiente y ´ ≈ 0 7 y por

tanto [1+( y ´ )2 ]3

2≈1

0 Si *e per-ite que

k ≈ y ´ ´ 7 la ecuacin 2 *e con)ierte en

M = EI y ´ ´ 0 9a *e6unda deri)ada de e*ta Blti-a

e5pre*in e*>

d2

M dx

2 = EI d

2

dx2 y ´ ´ = EI d

4

ydx

4 (3)

Si *e utiliza en la ecuacin 17 para ree-plazar

d2 M /dx

2 7 en la ecuacin 37 *e )e que la

de"le5in y ( x) *ati*"ace la ecuacin di"erencial de

cuarto orden>

EI d

4

y

dx4 =w ( x )(4)

C*&d$c$*&( d !r*&)ra+

9a* condicione* de "rontera* a*ociada* en la ecuacin

47 dependen de c-o e*t:n apoyado* lo* e5tre-o* de

la )i6a0 (na )i6a en )oladizo e*ta e-potrada o "ia en une5tre-o lire en el otro0 =ara una )i6a en )oladizo la

de"le5in y ( x) dee *ati*"acer la* *i6uiente* do*

condicione* en el e5tre-o "io x=0 >

• y (0 )=0 porque no hay "le5in y

• y ´ (0 )=0 porque la cur)a de de"le5in e*

tan6ente al ee 50

n x= L la* condicione* de e5tre-o lire *on>

• y ´ ´ ( L )=0 porque el -o-ento de "le5in e*

cero y

• y ´ ´ ´ ( L )=0 porque la "uerza de corte e* cero0

9a "uncin F ( x )=dM

d x = EI d

3

y /dx3

*e lla-a

"uerza de corte0 Si un e5tre-o de la )i6a e*ta apoyado*i-ple-ente o ai*a6rado7 entonce* de dee tener

y=0 y y ´ ´ =0 en e*e e5tre-o7 en la tala

17 *e e*talecen cada una de la* condicione* de

"rontera1>

Ta,a N° 1: C-*di#i-*e! de 'r-*"era $ &uente! 0ill "ennis

12334+. #omado del texto, Ecuaciones "iferenciales! con

problemas con valores en la frontera+

5tre-o* de la )i6a Condicione* de "rontera

E,-*)rad*( y=0 ; y ´ =0

L$r( y ´ ´ =0 ; y ´ ´ ´ =0

A-*/ad*( ($,-",&) y=0 ; y ´ ´ =0

3



Figura N° .: Viga! #-* +aria! #-*di#i-*e! de e("rem-

$ &uente! 0ill "ennis 12334+. #omado del texto, Ecuaciones

"iferenciales! con problemas con valores en la frontera+

D!"#$%&+ 9a de"le5in de una )i6a en cualquier punto

a lo lar6o de *u ee e* el de*plaza-iento de e*e punto

de*de *u po*icin ori6inal7 -edido en la direccin de la*coordenada* en y 20

Curva d d!"#$%& * curva "'()$ca+

Se deno-ina por cur)a el8*tica7 la cur)a que repre*enta

la de"or-ada del ele-ento en *u l%nea centroidal o ee

lon6itudinal de una )i6a recta7 la cual *e dee a la

aplicacin de car6a* tran*)er*ale* en el plano 5y *ore la)i6a0 9a cur)atura e* una -edida de cuan a6uada-ente

e*ta dolada una )i6a0 9a con)encin de *i6no* para-o-ento* "le5ionante* con la de la cur)atura *e

e*talece que un -o-ento "le5ionante po*iti)o producecur)atura po*iti)a y un -o-ento "le5ionante ne6ati)o

produce cur)atura ne6ati)a20

Figura N° /: Rea#i-*e! e*"re -! !ig*-! de -! m-me*"-! 'e(i-*a*"e! 0 -! !ig*-! de a! #ur+a"ura! $ &uente!

http!55estructuras.eia.edu.co5estructuras65deflexiones5teoria

723deflexion5deflexiones.htm+

C"a($!$cac$%& d "a( v$0a( d acurd* a "*( (*-*r)(+

9a cla*i"icacin -8* co-Bn de la* )i6a* *e a*a en la*

condicione* de *oporte co-o *e -ue*tra ta-i:n en la"i6ura 3>

•n )oladizo> (n e5tre-o de la )i6a e* "io y el otroe*t8 lire0

• *i-ple-ente apoyada*> a-o* e5tre-o* del re*to

del haz e*t8n *ore *oporte*0

• *ore*aliendo> (no o a-o* e5tre-o* de la )i6a *e

e5tienden *ore lo* *oporte*

• n )oladizo apoyado> uno de lo* e5tre-o* e* "io y

el otro e5tre-o *oportado

• Fio o e-potra-iento> a-o* e5tre-o* de la )i6a

e*t8n "iado* r%6ida-ente de -odo que no hay

-o)i-iento0

• Continuo> lo* do* e5tre-o* e*t8n *oportado* y hay

*oporte* inter-edio* a lo lar6o de *u lon6itud 30

Fura( rac)$va( * racc$*&( & "a( ()ruc)ura(

Son la* que *e ori6inan en deter-inado* punto* del

*i*te-a deido a la* li6adura* o coaccione* y que *ur6en

cuando actBan "uerza* acti)a*0 9a* li6adura* coaccione**on di*po*iti)o* -ateriale* que i-piden total o

parcial-ente el lire -o)i-iento de la *eccin de un

*lido0

Al con*iderar la pieza 6en:rica de una e*tructura7 e*t8e*tar8 *o-etida a una o )aria* li6adura* que unen al

re*to de la -i*-a o al *uelo0 n cada li6adura e5i*te una

reaccin que7 en 6eneral7 e*tar8 "or-ada por una "uerza

y por un -o-ento0 * condicin nece*aria para que la pieza e*t: en equilirio que el *i*te-a de "uerza*

con*tituido por la* "uerza* directa-ente aplicada* y la*

reaccione* )eri"iquen la* condicione* 6enerale* 30

* e)idente que la reaccin depender8 de la *olicitacine5terior y del tipo de )%nculo0 (na *eccin no *o-etida a

li6adura al6una tiene7 *e6Bn *ae-o*7 *ei* 6rado* de

liertad> tre* po*ile* de*plaza-iento* en la* direccione*

de lo* ee* coordenado* 57 y7 z y lo* po*ile* 6iro*alrededor de lo* -i*-o* ee*0

4



A cada 6rado de liertad i-pedido por la li6adura

corre*ponde una co-ponente de la reaccin; *i e*t8

i-pedido el -o)i-iento de la *eccin en la direccin de

uno de lo* ee*7 la reaccin de la li6adura co-prendeuna "uerza que tiene una co-ponente en la direccin de

e*e ee0 Si ade-8* e*t8 i-pedido el 6iro de la *eccin

alrededor de al6uno de lo* ee* coordenado* -ediante

un e-potra-iento7 por ee-plo7 la reaccin co-prendeun -o-ento que tiene una co-ponente en la direccin

de e*e ee7 e* decir7 *i e*t8 i-pedido el 6iro en al6uno de

lo* plano* coordenado*7 "or-a parte de la reaccin de la

li6adura un -o-ento en direccin perpendicular a e*e plano 30

M%du"* d "a()$c$dad E+ * una con*tate el8*tica que

caracteriza a lo* -ateriale* y depende de la con*titucinde e*te0 *tudiado por Tho-a* Youn6 en 1G.'7 e*

de"inido co-o el e*"uerzo nece*ario para producir una

de"or-acin unitaria7 la cual e* una -edida de la ri6idez

de lo* -ateriale* 30

M*,&)* d $&rc$a I+ l -o-ento de inercia e* una

-edida de la inercia rotacional de un cuerpo0 Cuando uncuerpo 6ira en torno a uno de lo* ee* principale* de

inercia7 la inercia rotacional puede *er repre*entada

co-o una -a6nitud e*calar lla-ada -o-ento de

inercia0 Sin e-ar6o7 en el ca*o -8* 6eneral po*ile lainercia rotacional dee repre*entar*e por -edio de un

conunto de -o-ento* de inercia y co-ponente* que

"or-an el lla-ado ten*or de inercia0 9a de*cripcin

ten*orial e* nece*aria para el an8li*i* de *i*te-a*co-pleo*7 co-o por ee-plo en -o)i-iento*

6iro*cpico* 30

l -o-ento de inercia re"lea la di*triucin de -a*a deun cuerpo o de un *i*te-a de part%cula* en rotacin7re*pecto a un ee de 6iro0 l -o-ento de inercia *lo

depende de la 6eo-etr%a del cuerpo y de la po*icin del

ee de 6iro; pero no depende de la* "uerza* que

inter)ienen en el -o)i-iento40

T$-*( d car0a( & v$0a(+

n la Tala 27 *e pre*entan )ario* tipo* de car6a*que actBan *ore )i6a*0 Cuando la car6a *e aplica *ore

una car6a -uy peque<a7 puede idealizar*e co-o una

car6a concentrada que e* una "uerza Bnica0 Cuando una

car6a *e reparte *ore el ee de una )i6a7 *e repre*entaco-o una car6a di*triuida7 e* decir que tiene una

inten*idad que ca-ia con la di*tancia a lo lar6o del

ee40

Ta,a N° %: Ti-! de #arga! e* +iga! $ &uente!

http!55es.%i8ipedia.org5%i8i5-nexo!Pendientes9y9deformacion

es9en9vigas+

O-rad*r a&u"ad*r+ l operador anulador e* un

operador di"erencial lineal0 l operador anulador de una

*u-a de "uncione*7 e* la co-po*icin de lo* operadore*anuladore*0la co-po*icin de operadore* di"erenciale*

opera co-o *i e*tu)ieran -ultiplicando polino-io en D0

9a "or-a que dee tener e*ta e* >

an Dn

y+an−1 Dn−1+…+a1 Dy+a0 y=g ( x ) (5 )

Si y=g( x ) una "uncin que tiene n deri)ada y

L( y ) e* un operador di"erencial lineal con

coe"iciente* con*tante*7 tal que>

L [ y ] ( x )=g ( x )=0 (6 )

ntonce* *e dice que el operador L ( y ) 7 e* el

anulador de y=g ( x ) .

Donde>

L [ y ]=an yn+an−1 y

n−1+…+a0 y (7 )

Si A e* el anulador de 67 di6a-o*7 entonce* al aplicar

a a-o* lado* de la ecuacin '7 tene-o*>

A [ L [ y ] ] ( x )= A [ g ] ( x )=0(8)

=or tanto la ecuacin ' *er8>

AL [ y ] ( x )=0(9)



Ta,a N° &: Oerad-re! a*uad-re! $ &uente!http!55%%%.slideshare.net5Pablillo3/5ecuaciones'diferenciales'

por'operador'anulador+

M4)*d* d c*!$c$&)( $&d)r,$&ad*(+

* un -:todo para hallar una *olucin particular de la

ecuacin lineal co-pleta7 que con*i*te

"unda-ental-ente en intuir la "or-a de una *olucin

particular0 *te -:todo *e utiliza a ecuacione*di"erenciale* lineale*7 con coe"iciente* con*tante* no

ho-o6:neo*0

Sea L( D) y= F ( x ) una ecuacin di"erencial

lineal7 no ho-o6:nea7 de coe"iciente* con*tante* y de

orden n 0

Si "+5, tiene una de la* *i6uiente* "or-a* >

• F ( x )=k ; con*tante

• F ( x )=¿ polino-io en 5

• F ( x )=¿ e5ponencial de la "or-a

e∝ x

• F ( x )=cos βx , F ( x )=sin βx• F ( x )=¿ a *u-a* "inita* de producto*

"inito* de la* e5pre*ione* anteriore*

* po*ile encontrar un operador L1( D ) que anule

a F ( x ) y *i e*to *ucede7 entonce* aplica-o*

L1( D ) a la ecuacin di"erencial ori6inal7 e* decir>

¿

L1( D ) L ( D ) y= L1

( D ) F ( x )=0¿ 1.,

=or lo tanto la e5pre*in anterior e* una ecuacin

di"erencial lineal7 ho-o6:nea de coe"iciente* con*tante*>

10 Se le aplica a e*ta ecuacin el -:todo de la*

ho-o6:nea* y *e halla la *olucin 6eneral + y= yh+ y p ,0

20 De e*ta *olucin 6eneral *e de*carta la parte

corre*pondiente a la ho-o6:nea a*ociada a la

D ori6inal + yh ¿ 0

30 De la parte re*tante corre*ponde a la *olucin

particular ( y p) 7 que *e u*ca0

40 Se ree-plaza la *olucin particular en la

ecuacin no ho-o6:nea y por i6ualacin de

coe"iciente* *e hallan lo* coe"iciente* de

( y p) 0

5. CALCULOS 6 ANALISIS DE RESULTADOS

9a realizacin de lo* c8lculo* *e a*a pri-era-ente en

e*talecer la* condicione* del prole-a7 de la* que

tene-o* que la )i6a e* de lon6itud L 7 que *e

encuentra e-potrada en *u e5tre-o izquierdo y apoyado*i-ple-ente en *u e5tre-o derecho7 donde

w ( x )=w0

, cuando 0< x< L 7 por tanto el

prole-a *ati*"ace la c0 4 +er marco teórico,0

EI

d4

y

dx4 =w0

Teniendo en cuenta que la )i6a e*ta e-potrada en *u

e5tre-o izquierdo ( x=0) y que *e encuentra

*i-ple-ente apoyada en *u e5tre-o derecho

( L=0) ; aplica-o* la* condicione* de "rontera

e*talecida* en la tala 1 +er :arco teórico,>

Figura N° 2: C-*di#i-*e! de 'r-*"era de a +iga 1&uente! os

-utores+

Re*ol)e-o* la ecuacin di"erencial no ho-o6:nea decoe"iciente* con*tante*7 por el -:todo del anulador0

De*pea-o* de la c0 4d

4 y

dx4

>

d4

y

dx4 =

w0

EI (11

)

Soluciona-o* la ecuacin ho-o6:nea a*ociada>

y4=0

m4=0

o* quedar%a por tanto>

m=0 ; m=0; m=0 ; m=0

9a *olucin de la ecuacin ho-o6:nea a*ociada e*>

#



yh=C 1+C 2 x+C 3 x2+C 4 x

3(12)

=o*terior-ente e*crii-o* la ecuacin no ho-o6:neautilizando operadore* di"erenciale*>

D4

y= w0

EI

Se6uida-ente -ultiplica-o* la ecuacin anterior por el

operador que anule la ecuacin de entrada;

D ( D4 y )=0

m ( m4 )=0

m=0 ; m=0; m=0 ; m=0 ; m=0

=or tanto la *olucin 6eneral e*>

Halla-o* el coe"iciente C 5 de y p 7 deri)8ndolo

cuatro )ece*>

y p=C 5 x4

y ´ p=4C 5 x3

y ´ ´ p=12C 5 x2

y ´ ´ ´ p=24C 5 x y ´ ´ ´ ´ p=24C

5

Ree-plaza-o* a y p en la c0 11>

24C 5=

w0

EI

E6ualando lo* coe"iciente* de la ecuacin anterior

tene-o* que>

24C 5=

w0

EI

De*peando a C 5 no* quedar%a que>

C 5=

w0

24 EI

Ree-plazando el )alor de C 5 en la c0 13>

y=C 1+C

2 x+C

3 x

2+C 4 x

3+ w

0

24 EI x

4(14)

Teniendo re*uelta la *olucin 6eneral de una ecuacin

ho-o6:nea aplica-o* la* condicione* de "rontera0 De lac0 37 deri)a-o* do* )ece* para aplicar la*

condicione*>

y ´ =C 2+2C

3 x+3C

4 x

2+ w

0

6 EI x

3(15)

y ´ ´ =2C 3+6C

4 x+

w0

2 EI x

2(16)

=ri-era condicin> y (0 )=0 y ´ (0 )=0 en la c0

14>

0=C 1+C

2(0)+C

3(0)2+C

4(0)3+

w0

24 EI

(0)4

Re*ol)iendo no* quedar%a que> C 1=0

Aplica-o* y ´ (0 )=0 en la c0 1>

0=C 2+2C

3(0)+3C

4(0)2+

w0

6 EI (0)3

Re*ol)iendo no* queda que> C 2=0

=ara aplicar la *e6unda condicin

[ y ( L )=0 ; y ´ ´ ( L )=0 ] 7 tene-o* en cuenta que

C 1 y C

2 *on i6ual a cero0

Aplica-o* y ( L )=0 en la c0 +14,>

0=C 3 L

2+C 4 L

3+ w

0

24 EI L

4

Aplica-o* y ´ ´ ( L )=0 en la c0 +1#,>

0=2C 3+6C

4 L+

w0

2 EI L

2

Tene-o* por tanto un *i*te-a de ecuacione* lineale*7 y

aplica-o* el -:todo de *u*titucin>

C 3 L

2+C 4 L

3= −w

0

24 EI L

4(17)

2C 3+6C

4 L=

−w0

2 EI L

2(18)

De*pea-o* C 3 de la c0 1G>

'



C 3=

−w0

2 EI

2−6

2C

4 L

C 3=−w0 L

2

4 EI −3C 4 L (19)

Ree-plaza-o* la c0 17 en la c0 1'>

(−w0 L2

4 EI −3C

4 L) L2+C

4 L

3= −w0

24 EI L

4

−w0 L4

4 EI −3C

4 L

3+C 4 L

3= −w0

24 EI L

4

−3C 4 L

3+C 4 L

3= −w0

24 EI L

4+w0 L

4

4 EI

−2C 4 L

3=5 w0 L

4

24 EI

C 4=

5 w0 L4

24 EI

−2 L3 =

−5w0 L4

48 EI L3

C 4=−5 w0 L

48 EI (10)

Ree-plaza-o* la c0 1. en la c0 1>

C 3=−w0 L

2

4 EI −3(−5w0 L

48 EI ) L

C 3=−w0 L

2

4 EI +

5w0 L2

16 EI

C 3=

w0 L2

16 EI x

2

Ree-plaza-o* lo* )alore* C 1, C

2, C 3 y

C 4 en la c0 14>

y= w0 L

2

16 EI x

2−5w0 L

48 EI x

3+ w0

24 EI x

4

P*r )a&)* "a d!"#$%& d "a v$0a (+

y ( x )= w0 L

2

16 EI x

2−5w0 L

48 EI x

3+ w0

24 EI x

4 y ( x )=

w0

48 EI

To-ando a w0=48 EI y a L=1 7 otene-o* la

cur)a de de"le5in7 que ree-plazando en la ecuacin

anterior no* queda que>

y ( x )=3 x2−5 x

3+2 x4

3ra'i#a N° 1: Cur+a de de'e(i)* e* %D 1&uente! os

-utores+

3ra'i#a N° %: Cur+a de de'e(i)* e* &D 1&uente! os -utores+

G



3ra'i#a N° &: Cur+a de de'e(i)* e* &D 1&uente! os

-utores+

3ra'i#a N° .: Cur+a de de'e(i)* e* &D 1&uente! os -utores+

=ode-o* o*er)ar en la* 6ra"ica* que la cur)a de

de"le5in otenida7 e* una cur)a po*iti)a porque e*cnca)a hacia arria o ta-i:n con)e5a hacia aao7 y

cuyo -o-ento "le5ionante e* po*iti)o0

Ahora *e requiere hallar el interro6ante del prole-a

cuanto )ale la de"le5in cuando x= L/2 y para ello

plantea-o* nue)a-ente el dia6ra-a pero con lo*

)alore* e*pec%"ico* para la* di-en*ione* de la )i6a y la*con*tante* corre*pondiente*0

Figura N° 4: Diagrama de a! e!"ru#"ura #-* +a-re!

e!e#5'i#-! 1&uente! os -utores+

Ree-plazando en la ecuacin de de"le5in otenida en

la ecuacin 2.7 lo* *i6uiente* )alore* de la )i6a>

L=20m

w0=2

Tonelada

m

2.4×10

6 T

m2

I =21.3×10−3

m4

=ara hallar la de"le5in de la )i6a cuando x= L

2>

y ( L

2 ); Sin e-ar6o 9 2.7 por tanto>

y ( 202 )= y (10)

20

¿¿0

1¿¿10

¿¿10

¿¿3

¿ y (10 )=

2

(48 ) (2.4×106 )(21.3×10

−3)¿

y (10 )=0.032m

Final-ente *e otiene la de"le5in de la )i6a cuando

x= L/2 7 que corre*ponde a un )alor de .0.32-7 a

tra):* de todo* e*to* procedi-iento* en lo* que *e



aplicaron la* ecuacione* di"erenciale* *e puede otener

la de"le5in requerida7 la cual *e otu)o -ediante una

"or-ula otenida a tra):* del -:todo de anulador para

coe"iciente* con*tante*7 y a tra):* de e*a "or-ula en la

y ( x) 7 hace re"erencia a la de"le5in de la )i6a7 *e

ree-plazaron lo* dato* que proporcionaa el prole-a0

Haciendo re"erencia al )alor de la de"le5in7 la cual e*-uy peque<a7 y por tanto la )i6a e*ta en la capacidad

de *oportar la car6a a la que e*ta *o-etida7 y lo*in6eniero* pueden per"ecta-ente hacer una uena

opti-izacin de la* car6a* y e*talecer una -enor

cantidad de re"uerzo* +)arilla*, porque la )i6a no

pre*enta -ucha de"le5in7 ade-8* -ediante el re*ultadootenido de la de"le5in *e co-pruea que la )i6a *i

re*i*te a la* car6a* a la* que e*ta *o-etida7 y por tanto

6arantiza una uena e*tailidad y *e6uridad a la

e*tructura del e*tadio0

Figura N° 6: De'e(i)* de a +iga #ua*d- x= L/21&uente! os -utores+

7. CONCLUSIONES9a ecuacin di"erencial de cuarto orden que *ati*"ace la

de"le5in de una )i6a7 y la aplicacin del -:todo del

anulador de ecuacione* no ho-o6:nea* con coe"iciente*con*tante* para la *olucin de dicha ecuacin di"erencial

con*tituyo para el de*arrollo de e*te traao un -:todo

pr8ctico que per-iti otener la de"le5in de una )i6a

que e*taa e-potrada en *u e5tre-o izquierdo7 apoyada*i-ple-ente en *u e5tre-o derecho7 con una car6a

di*triuida a lo lar6o de *u lon6itud7 a tra):* de la

de"le5in otenida *e pudo conocer el )alor de la

de"le5in cuando x= L/2 a tra):* de )alore*

conocido* de lo* dato*7 y a*% ayudar a lo* in6eniero* a

re*ol)er *u interro6ante con re*pecto a la con*truccindel e*tadio de "utol0 ncontrar la de"le5in de una )i6a

en cualquier di*tancia e*peci"ica de la lon6itud de la

)i6a a tra):* de la* ecuacione* di"erenciale* e* un

-:todo -uy )iale a la hora de conocer cualquier

di*tancia de de"le5in de la )i6a7 ya que e*te ahorrar%a el

procedi-iento de lo* dia6ra-a* de cortante y -o-ento

"le5ioanante*7 ade-8* co-o "uturo* in6eniero* ci)ile* e*

-uy i-portante conocer la aplicacin de la*-ate-8tica* en prole-a* relacionado* con de"le5in

de )i6a*7 y que no *ola-ente e*to* prole-a* *on

re*uelto* por "or-ula*7 procedi-iento -:todo*

corre*pondiente* de re*i*tencia de -ateriale* de lain6enier%a ci)il7 ahora *ae-o* que ta-i:n la*

-ate-8tica* de al6una u otra "or-a a tra):* de *u*

-:todo* ta-i:n contriuye a dar *olucin a -ucho*

prole-a* de nue*tra )ida cotidiana y pro"e*ional7 porque *e pudo co-proar la ecuacin otenida en lo*

c8lculo* y a*i6n8ndole )alore*7 e*to hizo -8* real el

de*arrollo del proyecto0

Ta-i:n la aplicacin de pro6ra-a* co-putarizado*co-o Matla pudi-o* realizar la cur)a de de"le5in7 en

la cual *e )i*ualiza el co-porta-iento de la )i6a que *e

"le5iona por e"ecto* de la car6a di*triuida que *oporta

a lo lar6o de *u lon6itud7 la* 6ra"ica* "ueron hecha* en2D y 3D para -ayor )i*ualizacin de dicho

co-porta-iento0

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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di"erenciale*> con prole-a* con )alore* en la

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I3J0 Courn7 0Re*i*tencia de Materiale*0

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IJ0 C0 Henry dPardo7 Da)id 0 =enney0

cuacione* di"erenciale*0 ditorial =ear*onducacin7 2..10 =860 23G0

1.

Documents

Aplicacion de Las Ecuaciones Diferenciales en Problemas de Deflexion en Vigas