APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARA CABLES

CATENARIAEs la función

matemática que permite determinar la ecuación de la curva y fuerza de tensión en cualquier punto del cable . Esta curva se da por el peso propio del cable o por fuerzas externas que cuelgan de este.

APLICACIONESDETERMINACION DE FUERZAS EN CABLES «catenaria»

DETERMIANAR LA ECUACION DE LA CURVA DESCRITA POR UN CABLE «Catenaria»

Se tiene una curva con dos puntos.

Los ejes se toman en el punto centro de la curva.

Se analizan fuerzas internas y externas del cable. «sumatoria de fuerzas».

Dividiendo, y usando el hecho que tangente es igual a la derivada de Y con respecto a X (dy/dx), y eso es igual a la pendiente de la tangente en P2, tenemos:

Como s es la longitud de arco y esta se obtiene de

Remplazando obtenemos

Derivando por segunda vez la expresión anterior

Obtenemos una ecuación diferencial de segundo orden no lineal

Utilizando reducción de orden obtenemos

Sustituyendo en la ecuación

Como

sustituimos y obtenemos

Ecuación de variables separables e integrando

Por condiciones de frontera cuando Y=0: x=0

Como

Ecuación diferencial de variables separables

Separando variables

Por sustitución trigonométrica e integrando

Por condiciones de frontera Y=a; x=0

Remplazando obtenemos la ecuación de la curva.

Ejercicio 1Un cable flexible de peso despreciable

soporta un puente uniforme, como se muestra en la figura. Las dimensiones son como se indican: P el punto mínimo de la curva APB. Usando un conjunto apropiado de ejes, determine una ecuación para la curva APB.

SoluciónAsumiendo que el peso del cable es constante.

Q = ws

Como el peso del cable es constante.

Como

Por variables separables se obtiene que

Integrando

Por condiciones iniciales

Como

Separando variables

Integrando

Por condición de frontera

La ecuación de la curva esta dada por:

Ejercicio 2

Un cable con peso despreciable. Las dimensiones son: P(0,50) el punto mínimo de la curva APB, A(-150,100) y B(150,100). Usando un conjunto apropiado de ejes, determine una ecuación para la curva APB.

SoluciónAsumiendo que el peso del cable es constante.

Q = ws

Como el peso del cable es constante.

Como

Por variables separables se obtiene que

integrando

Por condiciones iniciales

Como

Separando variables

Integrando

Por condición de frontera

La ecuación de la curva esta dada por:

GRACIAS