APLICACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARA CABLES
APLICACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARA
CABLESAPLICACIONESDETERMINACION DE FUERZAS EN CABLES catenaria
DETERMIANAR LA ECUACION DE LA CURVA DESCRITA POR UN CABLE
CatenariaCATENARIAEs la funcin matemtica que permite determinar la
ecuacin de la curva y fuerza de tensin en cualquier punto del cable
. Esta curva se da por el peso propio del cable o por fuerzas
externas que cuelgan de este.
Dividiendo, y usando el hecho que tangente es igual a la
derivada de Y con respecto a X (dy/dx), y eso es igual a la
pendiente de la tangente en P2, tenemos:
Como s es la longitud de arco y esta se obtiene de
Remplazando obtenemos
Derivando por segunda vez la expresin anterior
Obtenemos una ecuacin diferencial de segundo orden no lineal
Utilizando reduccin de orden obtenemos
Sustituyendo en la ecuacin
Como
sustituimos y obtenemos
Ecuacin de variables separables e integrando
Por condiciones de frontera cuando Y=0: x=0
Como
Ecuacin diferencial de variables separablesSeparando
variables
Por sustitucin trigonomtrica e integrando
Por condiciones de frontera Y=a; x=0
Remplazando obtenemos la ecuacin de la curva.
Ejercicio 1Un cable flexible de peso despreciable soporta un
puente uniforme, como se muestra en la figura. Las dimensiones son
como se indican: P el punto mnimo de la curva APB. Usando un
conjunto apropiado de ejes, determine una ecuacin para la curva
APB.
Solucin
Como el peso del cable es constante.
Como
Por variables separables se obtiene que
Integrando
Por condiciones iniciales
Como
Separando variables
Integrando
Por condicin de frontera
La ecuacin de la curva esta dada por:
