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8/3/2019 aplicacione fisicas

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE

SEGUNDO ORDEN

Aplicaciones a la fsica:

Movimiento Armnico Simple:

La Ley de Hooke:Supongamos que un cuerpo de masa M esta sujeto al extremo de unresorte flexible suspendido de un soporte rgido (por ejemplo un techo),como se muestra en la figura 5.1b. Cuando M se reemplaza por uncuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte ser, por supuesto,distinto.Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitucin

Fopuesta a la direccin del alargamiento y proporcional a su magnituds. Dicho en trminos simples, F = ks, en donde kes una constante de

proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso producen distintosalargamientos del resorte, tal elemento elstico esta esencialmentecaracterizado por l numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb.alarga el resorte en 1/2 pie, entonces,

10 = k(1/2) implica que k= 20 lb./pie.Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. alarga el mismo resorteen 2/5 pie.

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Segunda Ley de Newton:Despus que una masa Mse sujeta a un resorte, aquella lo alargara enuna magnituds y alcanzara la posicin de equilibrio en la cual su pesoWes equilibrado por la fuerza de restitucin ks. El peso es definido por:

W = m . g

En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geolibras(slugs) yg= 9.8 mt/s , p80 cm/s o 32pie/s, respectivamente. Tal comose indica la figura 5.2b,la condicin de equilibrio es m.g = ks o bienm.g ks = 0. Si ahora la masa se desplaza de su posicin de equilibrio

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en una magnitudx y despus se suelta, la fuerza neta Fcorrespondientea este caso dinmico est dada por la segunda ley del movimiento deNewton, F = ma, en donde a es la aceleracin dw/dt. Suponiendo quesobre el sistema no actan fuerzas exteriores (movimiento vibratoriolibre), entonces podemos igualarFa la resultante del peso y la fuerza derestitucin:

m dx/dt = k (s + x) + mg

= kx + mg ks = kxcero

Ecuacin Diferencial Del Movimiento Libre no Amortiguado:Dividiendo la ultima ecuacin planteada entre la masa m, se obtiene laecuacin diferencial de segundo orden:

dx/dt + k/m x = 0

o bien dx/dt + x = 0

En donde = k/m. Se dice que la ecuacin dx/dt + x = 0 describeel movimiento armnico simple o movimiento vibratorio noamortiguado. Hay dos condiciones iniciales obvias asociadas con dichaecuacin:

x(0) = , dx/dt = t = 0

Que representa la magnitud del desplazamiento inicial y la velocidad

inicial, respectivamente. Por ejemplo si > 0 y < 0, se trata de unamasa que parte de un punto abajo de la posicin de equilibrio y a la cualse ha comunicado una velocidad dirigida hacia arriba. Si < 0y > 0, se trata de una masa en reposo que se suelta desde un punto queest unidades arriba de la posicin de equilibrio. Los dems casosson anlogos.

Solucin y ecuacin de movimiento:Para resolver la ecuacin dx/dt + x = 0 observemos que lassoluciones de la ecuacin auxiliar M w = 0 son los nmeros

complejo M = i y Mi = i. De esta forma se obtiene una solucingeneral: x (t) = C1 cos t + C2 sen t.El periodo de las vibraciones libres descritas por la ultima ecuacingeneral planteada es T = 2/ y la frecuencia es = 1/T = /2. Porejemplo, para x (t) = 2 cos 3t 4 sen 3t el periodo es 2/3 y lafrecuencia es 3/2. El primer numero indica que hay 3 ciclos de lagrafica de cada 2 unidades; en otras palabras, la masa realiza 3/2

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oscilaciones completas por unidad de tiempo. Adems, se puededemostrar que el periodo 2/ es el intervalo de tiempo entre dosmximos sucesivos de x(t). Finalmente, una vez que hemos determinadolas constantes C1 y C2 en x (t) = C1 cos t + C2 sen t mediante lascondiciones iniciales

x(0) = , dx/dt = t = 0

, Decimos que la solucin particular resultante es la ecuacin demovimiento.

Ejemplo:Resolver e interpretar el problema de valor inicial:

dx/dt + 16 x = 0x(0) = 10, dx/dt = 0

t = 0

solucin:Una formulacin equivalente del problema es: se estira hacia abajo deun cuerpo que pende de un resorte hasta que est 10 unidades bajo la

posicin de equilibrio y luego se le retiene hasta t = 0; se le suelta acontinuacin de manera que parta de un estado de reposo. Aplicando lascondiciones iniciales a la solucin:

x (t) = C1 cos 4t + C2 sen 4t.

Resulta x (0) = 10 = C1 . 1 + C2 . 0

de modo que C1 = 10 y por lo tanto

x (t) = 10 cos 4t + C2 sen 4t.

dx/dt = 40 sen 4t + 4C2 cos 4t

dx/dt = 0 = 4C2 . 1

t = 0La ultima ecuacin implica que C = 0 y por lo tanto la ecuacin demovimiento es x (t) = 10 cos 4t.La solucin muestra claramente que una vez que el sistema se pone enmovimiento, permanece en tal estado, con la masa deslazndosealternadamente 10 unidades hacia cada lado de la posicin de equilibriox = 0. El periodo de oscilacin es 2/4 = /2 segundos.

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Ejemplo:

Un cuerpo que pesa 2lb. se estira un resorte 6plg. Dicho cuerpo se sueltaen t = 0 desde un punto que est 8plg bajo la posicin de equilibrio, conuna velocidad dirigida hacia arriba de 4/3 pie/seg. Determine la funcinx(t) que describe el movimiento libre resultante.

solucin:Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesasgravitatorias, las magnitudes dadas en pulgadas deben expresarse en

pies: 6plg = 6/12 = 1/2 pie, 8plg = 8/12 = 2/3 pie. Adems, debemosconvertir las unidades de peso en unidades de masa. M = W/gTenemos M = 2/32 = 1/16slug; Adems, por la Ley de Hooke se tiene:2 k (1/2) lo que implica que k = 4lb/pie.

Por consiguiente, se tiene: 1/16 dx/dt = 4x y dx/dt + 64x = 0.El desplazamiento y la velocidad iniciales estn dados por :

x(0) = 2/3, dx/dt = 4/3t = 0

En donde el signo negativo que aparece en la ultima condicin enconsecuencia de que a la masa se le da una velocidad inicial condireccin negativa, esto es, dirigida hacia arriba.Ahora bien, = 64, osea = 8, de modo que la solucin general de la

ecuacin diferencial es:x (t) = C1 cos 8t + C2 sen 8t.Aplicando las condiciones iniciales a esta ecuacin tenemos que:

x (0) = 2/3 = C1 . 1 + C2 . 0 (C1 = 2/3)

x (t) = 2/3 cos 8t + 8C2 cos 8t

x(t) = 16/3 sen 8t + 8C2 cos 8t

x(0) = 4/3 = 16/3 . 0 + 8C2 .1, (C = 1/6)

Luego C2 = 1/6. Por consiguiente, la ecuacin de movimiento es:x (t) = 2/3 cos 8t 1/6 sen 8t.

Movimiento Vibratorio Amortiguado:

El estudio del movimiento armnico libre es un tanto irreal puesto queel movimiento descrito por la ecuacin kx + mg ks = kx supone

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que no actan fuerzas retardados sobre la masa en movimiento. Amenos que la masa est suspendida en un vaco perfecto, por lo menoshabr una fuerza opuesta debida al medio que la rodea. Por ejemplo,como muestra la figura 5.8, la masa m podra estar suspendida en unmedio viscoso o conectada a un mecanismo de amortiguacin.

Ecuacin diferencial del movimiento con amortiguacin:

En los estudios de mecnica se supone que las fuerzas de amortiguacinque actan sobre un cuerpo son proporcionales a una potencia de lavelocidad instantnea. En particular, supondremos en el estudio quesigue que esta Fuerza est dad por un mltiplo constante de dx/dt.Cuando no actan otras fuerzas exteriores sobre el sistema, se tiene, porla segunda ley de Newton, que:

m dx/dt = kx dx/dt

En donde es una constante de amortiguacin positiva y el signonegativo se debe a que la fuerza amortiguadora acta en direccinopuesta al movimiento.Dividiendo m dx/dt = kx dx/dt entre la masa m se obtiene laecuacin diferencial del movimiento vibratorio amortiguado libre.

dx/dt + dx/ m dt +(k/m)x = 0

o bien dx/dt + 2 dx/dt + x =0

En la ecuacin dx/dt + dx/ m dt +(k/m)x = 0 identificamos 2 = /m, = k/m.El smbolo 2 se usa slo por conveniencia algebraica ya que laecuacin auxiliar es m + 2m + = 0 y por lo tanto lascorrespondientes races son:m1 = + ( ), m2 = ( ).Segn el signo algebraico de , podemos distinguir tres casos

posibles. Puesto que cada solucin contendr elfactor deamortiguacin e ,siendo > 0, los desplazamientos de la masasevolvern insignificantes para valores grandes del tiempo.

Caso I:

> 0. En esta situacin decimos que el sistema estsobreamortiguado,puesto que el coeficiente de amortiguacin esgrande comparado con la constante k del resorte. La correspondientesolucin de dx/dt + 2 dx/dt + x =0 es x(t) = C1e + C2eo bien:

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m1t m2t

t

t ( ) t( ) t


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x(t) = e (C1e + C2e ).

Caso II:

= 0. Decimos que el sistema est crticamente amortiguado

ya que una pequea disminucin de la fuerza de amortiguacinproducira un movimiento oscilatorio. La solucin general ser:

x(t) = e (C1 + C2t)

Caso III:

< 0.En este caso se dice que el sistema est subamortiguado,ya que el coeficiente de amortiguacin es pequeo comparado con laconstante del resorte. Las races m1 y m2 son ahora complejas.m = + ( )i m = ( )i

y por lo tanto la solucin general es:

x(t) = e [C1 cos ( )t + C2 sen ( )t]

Ejemplo:

Un cuerpo que pesa 8lb. estira un resorte 2 pie. Suponiendo que unafuerza de amortiguacin numricamente igual a dos veces la velocidadinstantnea acta sobre el sistema y que el peso se suelta desde la

posicin de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 3pie/s,determinar la ecuacin del movimiento.

solucin:Por la ley de Hooke tenemos:

8 = k (2), k = 4lb/piey porm = W/g

m = 8/32 = 1/4slug.

En consecuencia, la ecuacin diferencial del movimiento es:1/4 dx/dt = 4x 2 dx/dy bien dx/dt + 8 dx/dt + 16x = 0Las condiciones iniciales son:

x(0) = 0, dx/dt = 3t = 0

Ahora bien, la ecuacin auxiliar de dx/dt + 8 dx/dt + 16x = 0 es:m + 8m + 16 = (m + 4) = 0

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t

t


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De modo que m1 y m2 = 4. Por lo tanto, el sistema est crticamenteamortiguado y: x(t) = 3te es la ecuacin de movimiento.

Movimiento Vibratorio forzado con amortiguacin:

Supongamos que se considera una fuerza (t) que acta sobre una masaoscilante sujeta aun resorte. Por ejemplo, (t) podra representar unafuerza impulsora que causa un movimiento oscilatorio vertical delsoporte del resorte. Al incluir (t) en la formulacin de la segunda Leyde Newton resulta:

m dx/dt = kx dx/dt + (t).

[dx/dt + dx / m dt + (k / m) x = (t) / m] = dx/dt + 2 dx/dt + x = F(t)

En donde F(t) = (t)/m y, 2 = /m, = k/m. Para resolver la ultimaecuacin no homognea podemos usar indistintamente el mtodo devariacin de parmetros o el de los coeficientes indeterminados.

Ejemplo:

Interpretar y resolver el siguiente problema de valor inicial

1/5 dx/dt + 1.2 dx/dt + 2x = 5 cos 4tx(0) = 1/2, dx/dt = 0.

t = 0

solucion:

Podemos interpretar el problema como una representacin de un sistemaoscilatorio que consiste en una masa (m = 1/5 Kg) sujeta a un resorte(k = 2 N/m). La masa se suelta, a partir del reposo, desde un punto que

est 1/2 unidad (metro) bajo la posicin de equilibrio: El movimiento esamortiguado ( = 1.2) y es impulsado por una fuerza externaperidica(T = / 2 segundos) a partir del instante t = 0. Intuitivamente,esperamos que aun con amortiguacin el sistema se mantenga enmovimiento hasta que el instante en que la funcin forzante se corte,en cuyo caso las amplitudes disminuiran gradualmente. Sin embargo,

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4 t


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por la forma en que el problema est dado, se tiene (t) = 5 cos 4tpermanecer en accin indefinidamente.

Primero multiplicamos 1/5 dx/dt + 1.2 dx/dt + 2x = 5 cos 4t por 5 yresolvemos la ecuacin homognea dx/dt + 6 dx/dt + 10x = 0 Por losmtodos usuales.

Como m1 = 3 + i, m2 = 3 i se tiene que:xc(t) = e (C1 cos t + C2 sen t).

Usando el mtodo de los coeficientes indeterminados, postulamos unasolucin particular de la forma xp (t) = A cos 4t + B sen 4t. En tal caso:

xp = 4A sen 4t + 4B cos 4t.xp = 16A cos 4t 16B sen 4t.

De modo que xp + 6 xp + 10 xp = 16A cos 4t16B sen 4t 24 sen 4t= 24B cos 4t + 10A cos 4t + 10B sen 4t= ( 6 A + 24B) cos 4t + ( 24A 6B) sen 4t= 25 cos 4t

Del sistema de ecuaciones que resulta 6A +24B = 25 y 24A 6B = 0da A = 25/102 y B = 50/51. Se tiene pues:

x(t) = e ( C1

cos t + C2

sen t ) 25/102 cos 4t + 50/51 sen 4tSi en la ecuacin anterior hacemos t = 0 inmediatamente resultaC1 = 38/51. Derivando la expresin y haciendo t = 0 encontramos queC2 = 86/51. Por lo tanto, la ecuacin del movimiento es:

x(t) = e ( 38/51 cos t 86/51 sen t ) 25/102 cos 4t + 50/51 sen 4t

Trminos transitorios y estacionario:

Ntese que la funcin complementaria x(t) = e ( 38/51 cos t 86/51sen t) 25/102 cos 4t + 50/51 sen 4t del ejemplo precedente tiene la

propiedad de que lim xc(t) = 0.tPuesto que xc(t) se vuelve insignificante ( es decir tiende a 0) cuandot, se dice que es un termino transitorio o una solucin transitoria.As, para valores grandes del tiempo, los desplazamientos del cuerpo seaproximan estrechamente por la solucin particular x (t). A esta ultimafuncin tambin se la llama solucin estacionaria (o de estado

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3 t

3 t

3 t

3 t


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permanente). Cuando F es funcin peridica como F(t) = Fo sen t obien F(t) = Fo cos t. la solucin general consiste en:

x(t) = termino transitorio + termino estacionario.

Sin Amortiguacin:

En ausencia de una fuerza de amortiguacin, no habr terminotransitorio en la solucin de un problema. Adems veremos que laaplicacin de una fuerza peridica de frecuencia cercana, o igual, a lafrecuencia de las oscilaciones libres no amortiguadas puede causar un

problema serio en cualquier sistema mecnico oscilatorio.

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