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Sergio Yansen Núñez
Sergio Yansen Núñez
Aplicaciones de Integrales dobles y triples
Actividad 1
Plantee la(s) integral(es) para calcular la masa de un cuerpo cuya densidad es de su"%
distancia al eje y su volumen está encerrado por las superficies:D
B � C � ÐD � "!Ñ œ "!# # # #
con 9B � C œ D D Ÿ# # #
con B � C œ "!D D !# # #
D œ * ß D œ !
En coordenadas cilíndricas en orden , .D.<. .<.D.) )
Actividad 2
Plantee la(s) integral(es) para calcular la masa del cuerpo limitado por:
B � C � D œ *# # #
D œ B � C# #
D œ B � C# # #
D œ $ÐB � C Ñ# # #
con .C !
Sabiendo que la densidad en cada punto es proporcional a la distancia delT œ ÐBß Cß DÑpunto al origen.T
Use coordenadas esféricas.
Actividad 3
Plantee en coordenadas cilíndricas, la(s) integral(es) para calcular la masa de la región Vencerrada por las superficies , ; si la densidad en cada punto esD œ + � C D œ #B � C# # # #
proporcional a la distancia al eje .D
Sergio Yansen Núñez
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Actividad 4
Calcule el momento polar de inercia de la región del plano limitada por ,BC B � C œ "# #
B � C œ * BC œ # BC œ %# # , , suponiendo la densidad unitaria.
Actividad 5
Determine el centro de masa de la región limitada por la superficie , y losV D œ % � B#
planos , , , , suponiendo que la densidad es constante igual a .B œ ! C œ ! C œ ' D œ ! 5
Actividad 6
a) Determine el centro de masa de la región homogénea limitada por dosVsuperficies dadas en coordenadas esféricas: superiormente por e3 œ +inferiormente por , donde y son constantes. Suponga que la densidad es9 ! !œ +5.
b) Mediante coordenadas esféricas, plantee la(s) integrale(s) que permita(n) calcularla masa de suponiendo que la densidad del casquete esférico, que correponde aVla parte superior de , es , y en la parte limitada por el cono, que corresponde aV 5"la parte inferior de , es con . Considere 2 y .V 5 5 Á 5 + œ œ# " # 9 1
%
Actividad 7
Consideremos el sólido de densidad uniforme acotado por y los planos5 B � C œ '# #
D œ ! D œ * y . Calcule el momento de inercia respecto del eje .B
Actividad 8
Determine el centroide de un sólido de densidad constante igual a , el cual está limitado5por , , y .B œ C B œ D D œ ! B œ "#
Sergio Yansen Núñez
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Actividad 9
Una bola unitaria consiste en dos semibolas pegadas. Una semibola tiene la densidadconstante y la otra bola tiene una densidad constante $ $" #Þ
a) Determine las coordenadas del centro de masa.
b) Escriba la integral que permite calcular el momento de inercia de la bola unitaria,cuando rota en torno al eje .^
c) Sea , paralelo al eje , el eje de rotación perpendicular al plano de unión de lasP ^dos semibolas, tal que .P � F96+ Á F
De acuerdo a la expresión obtenida en (b), ¿qué distancia de al eje ,P ^
corresponde al momento de inercia minimal y qué distancia de al eje ,P ^corresponde al momento de inercia maximal?
Actividad 10
Consideremos un sólido que contiene un cubo de arista igual a 1 y de densidad igual a 1,y un cilindro de radio , de longitud 2 y de densidad 2, que atraviesaV � "
#perpendicularmente el cubo y cuyo eje pasa por dos caras opuestas y por su centro. Este sistema gira alrededor del eje del cilindro con velocidad angular .A Si la Eergía Cinética está dada por la fórmula , donde es la velocidad angularI œ AMA#
#
e es el momento de Inercia, se pide:M Plantear la(s) integral(es) que permitan calcular la Energía Cinética del sistema. Debeusar coordenadas cilíndricas en el orden ..D.<.)
Actividad 11
Sergio Yansen Núñez
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Resolución
1.
$ÐBß Cß DÑ œ B � C œ <" "% %È # #
Intersecciones:
œB � C œ D Ê D œ ! ” D œ "!
B � C � ÐD � "!Ñ œ "!
# # #
# # # #
�B � C œ "!D Ê D œ ! ” D œ
B � C � ÐD � "!Ñ œ "!
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#
Sergio Yansen Núñez
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2.
, donde es una constante.$ 3ÐBß Cß DÑ œ 5 B � C � D œ 5 5È # # #
Intersecciones:
�B � C � D œ * Ê D œ
D œ $ÐB � C Ñ
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È#(#
�B � C � D œ * Ê D œ
D œ B � C
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D œ B � C
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D œ $ÐB � C Ñ
# #
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�B � C � D œ * Ê D œ
D œ B � C
# # #
# #
�"� $(#
È
D œ $ÐB � C Ñ Ê œ# # # 9
1'
con 9# œ - œ+<--9=Ð Ñ-$ #�"� $(È
7 œ 5 =/8 . . .' ' '! !
+<--9=Ð Ñ11'
-$ $ $3 9 3 9 )
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3.
, donde es una constante.$ÐBß Cß DÑ œ 5 B � C œ 5< 5È # #
D œ + � C œ + � < =/8 Ð Ñ# # # # # )
D œ #B � C œ #< -9= Ð Ñ � < =/8 Ð Ñ œ < Ð-9= Ð Ñ � "Ñ# # # # # # # #) ) )
Sea la masa del sólido.7
Mediante simetría:
7 œ % 5< .D.<.' ' '! < Ð-9= Ð Ñ�"Ñ
Ð Ñ1#
+
#
!È
# # )
)+ �< =/8 ## # #
)
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4. M œ ÐB � C Ñ.E9 V# #' '
Considerando la siguiente transformación:
? œ B � C# #
@ œ BC
`Ð?ß@Ñ`ÐBßCÑ œ œ #ÐB � C Ñ
#B � #CC Bº º # #
¹ ¹ ¹ ¹`ÐBßCÑ `ÐBßCÑ`Ð?ß@Ñ #ÐB �C Ñ `Ð?ß@Ñ #
" "œ Ê ÐB � C Ñ œ# ## #
M œ ÐB � C Ñ.E œ .@.? œ )9 V# #' ' ' '
" # #* % "
El momento polar es .)
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5.
Sea la masa total.Q
Q œ 5.D.C.B œ $#5' ' '! ! !
# ' %�B#
B œ œ' ' '! ! !
# ' %�B#
5B.D.C.B $%Q
C œ œ $' ' '! ! !
# ' %�B#
5C.D.C.BQ
D œ œ' ' '! ! !
# ' %�B#
5D.D.C.B )&Q
Las coordenadas del centro de masa son: Š ‹$ )% &ß $ß
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6. a)
Sea la masa de .Q V
Q œ 5 =/8Ð Ñ . . . œ Ð" � -9=Ð ÑÑ' ' '! ! ! $# + # + 51 ! 1
3 9 3 9 ) !#$
Por simetría, B œ C œ !
+D œ œ +Ð" -9=Ð ÑÑ' ' '! ! !# + $ #1 !
5 -9=Ð Ñ=/8Ð Ñ . . . =/8 Ð Ñ
Ð"�-9=Ð ÑÑ
3 9 9 3 9 ) !
!Q
1
1
+ 5%
%
# + 5$
$
œ $) !
Las coordenadas del centro de masa son: +Š ‹!ß !ß +Ð" -9=Ð ÑÑ$) !
b) Intersección: � ÈÈB � C � D œ % Ê D œ #
D œ B � C
# # #
# #
D œ # Ê -9=Ð Ñ œ # Ê œÈ È3 9 3È#
-9=Ð Ñ9
Q œ 5 =/8Ð Ñ . . . � 5 =/8Ð Ñ . . .' ' ' ' ' '! !# #
! ! !1 1
1 1
9
9% %#
-9=Ð Ñ
#-9=Ð Ñ
È
È2
" ## #3 9 3 9 ) 3 9 3 9 )
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7.
M œ ÐC � D Ñ .ZB V# #' ' ' 5
.œ Ð< =/8 Ð Ñ � D Ñ<.D.<. œ "&$*5 ) ) 51' ' '! ! !# ' *1 È
# # #
El momento de inercia respecto del eje es .B "&$*51
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8.
Sea la masa del sólido7
7 œ 5.D.B.C œ' ' '�" C ! &" " B %5
#
Por simetría, C œ !
B œ œ' ' '�" C !" " B
# 5B.D.B.C
7&(
B œ œ' ' '�" C !" " B
# 5D.D.B.C
7&"%
Por tanto, el centroide es Š ‹& &( "%ß !ß
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9. a)
Sea la masa del cuerpo , Q Q œ Ð � Ñ#$1
$ $" #
Por simetría, se tiene que el centro de masa es ÐBß Cß DÑ œ !ß !ߊ ‹QQBC
Q œ D .Z � D .ZBC "V V' ' ' ' ' '
" ##
$ $
Q œ DÐ � Ñ.ZBC "V' ' '
"#
$ $
Q œ Ð � Ñ -9=Ð Ñ=/8Ð Ñ. . . œ Ð � ÑBC " "! !
# "
!$$ $ 3 9 9 3 9 ) $ $
# #' ' '1
1
# 1%
D œQQ )Ð � Ñ
$Ð � ÑBC " #
" #œ
$ $
$ $
Por tanto, ÐBß Cß DÑ œ !ß !ߌ �$Ð � Ñ
)Ð � Ñ
$ $
$ $
" #
" #
b) M œ < .<.D. � < .<.D.D " #! ! ! ! �" !
# " "�D # ! "�D# #' ' ' ' ' '1 1È È# #
$ ) $ )
c) Teorema de los ejes paralelosSea una recta que pasa por el centro de masa de un cuerpo de masa , y seaP 7-Þ7
P P 2 una recta paralela a y a unidades de ella. El teorema de los ejes paralelos-Þ7
dice que los momentos de inercia e del cuerpo respecto a y M M P P-Þ7 P -Þ7 satisfacen la ecuación: M œ M �72P -Þ7
#
En este caso: M œ M �Q2P D#
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El momento de inercia minimal se obtiene para (ver figura)2 œ !
El momento de inercia maximal se obtiene para (ver figura)2 œ "
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10.
Sea la parte que queda del cubo al ser extraido el cilindro (ver figura)V"
Sea la región determinada por el cilindro.V#
M œ B � C .Z � # B � C .Z œ M � #MD #V V# # # #' ' ' ' ' 'a b a b
" #1
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Sea la región del plano como muestra la figura sombreada:V$
M œ B � C .B.C œ ) B � C .B.C" V V# # # #' ' ' 'a b a b
$ %
donde es la región del plano como muestra la figura sombreada:V%
M œ ) < .<." ! V$' '1 )%
"
#-9=a b)
M œ B � C œ # B � C .B.C# V V# # # #' ' ' ' 'a b a b
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donde es es la región del plano como muestra la figura sombreada:V&
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M œ # < .<.# ! !
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donde M œ ) < .<. � < .<.D ! V$ $
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Sergio Yansen Núñez
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