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Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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75
3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES
En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como
geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles y
para las integrales triples.
3.1 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES
Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las
aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se
encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de
volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas
están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas,
centros de masa y momentos de inercia para una región
bidimensional.
3.1.1. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
En el capítulo 1 de este trabajo, se explicó el significado intrínseco
de la integral doble de una función f positiva en una región
bidimensional D, ( )D
f x, y dA∫∫ , como el volumen del sólido S
definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f . Ahora,
si se considera que ( ), 1f x y = , entonces la integral anterior queda
como:
( )D D
f x, y dA dA=∫∫ ∫∫ (III.1)
Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene
que:
0 1 1
n m
ijD P i jdA Lim A
→ = =
= ∆∑∑∫∫ (III.2)
Recuerde que la integral doble ( )
Df x, y dA∫∫ ,
también puede escribirse como
( )0 1 1
n m* *
i j ijP i jLim f x , y A
→ = =
∆∑∑
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donde ijA∆ es el área del rectángulo genérico denotado ijD , el
cual puede observarse en la figura 3.1
D
a = x0
y
xxi xn= bxi-1
c = y0
d = ym
yj-1
yjyj
xi (xi*,yj
*)
Dij
Figura 3.1
Región D dividida en subrectángulos ijD
En otras palabras, la integral D
dA∫∫ representa el volumen de un
sólido de sección transversal constante, cuya base es la región D
y cuya altura es igual a la unidad. Para un sólido con estas
características, el volumen se obtiene como el producto del área
de la base y la altura del mismo.
A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una
región plana.
ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
Sea D una región bidimensional D , tal que 2D ⊆ . Sea A el
área de la región D , entonces:
DA dxdy= ∫∫ (III.3)
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Observe que si la región D es de tipo 1, la ecuación anterior
queda como:
( )
( ) [ ] ( )( )b g x b g x
f xa f x aA dydx y dx= =∫ ∫ ∫ (III.3)
( ) ( )b
aA g x f x dx= − ∫ (III.4)
Donde la última integral, representa el área comprendida entre las
gráficas de ( )y f x= y ( )y g x= en el intervalo cerrado [ ]a,b . Esta
integral se estudia en la asignatura Análisis Matemático II, dentro
de las aplicaciones de la integral definida.
Dibuje la región D y calcule su área, empleando las integrales
dobles: D
dxdy∫∫ y D
dydx∫∫ , ( ){ }2 22 4D x, y x y y x y= ≥ − ∧ ≤ −
Solución:
La región D se encuentra acotada por las gráficas de las
parábolas horizontales 2 2x y y= − y 24x y= − , tal como se puede
observar en la siguiente figura.
Figura 3.2
Región D del ejemplo 3.2
EJEMPLO 3.1
Recuerde que la gráfica de la ecuación:
2x ay by c= + +
Es una parábola horizontal
Recuerde que una región D es de tipo 1 si se cumple:
( )( ) ( )
x, y a x bD
f x y g x
≤ ≤ ∧ = ≤ ≤
24x y= −
2 2x y y= −
D
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a) Para calcular el área de la región por medio de la integral doble
Ddxdy∫∫ , es necesario definir los límites de integración, que se
ilustran en la figura 3.3
Figura 3.3
Región D del ejemplo 3.1 como una región tipo 2
Por tanto el área se obtiene como:
2
2
2 4 2 2
1 2 14 2 2 9
y
y yA dxdy y y dy
−
− − − = = − + = ∫ ∫ ∫
9D
A dxdy= =∫∫
b) Cuando se desea calcular el área D con el orden de integración
inverso, esto es D
A dydx= ∫∫ , entonces, se necesita conocer las
ecuaciones de las curvas en función de la variable x y además
identificar los límites de integración, que a continuación se
muestran en la figura 3.4
Observe que la región D es una región tipo 2, por lo cual el área se obtiene empleando una sola integral doble de la forma
Ddxdy∫∫ .
Para la primera curva: 2 2x y y= −
Se tiene que: 1 1y x= ± +
Para la segunda curva:
24x y= − entonces:
4y x= ± −
Valor de x a la salida de D
24x y= −
D
Valor de x a la entrada de D
2 2x y y= −
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Figura 3.4
Región D del ejemplo 3.1 como tres regiones tipo 1
Entonces 1 2 3D D D D= ∪ ∪ , donde:
( ){ }( ){ }( ){ }
1
2
3
1 0 1 1 1 1
0 3 1 1 4
3 4 4 4
D x, y x x y x
D x, y x x y x
D x, y x x y x
= − ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ + +
= ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ −
= ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ −
Así: 1 2 3D D D
A dydx dydx dydx= + +∫∫ ∫∫ ∫∫
0 1 1 3 4 4 4
1 1 1 0 1 1 3 4
x x x
x x xA dydx dydx dydx
+ + − −
− − + − + − −= + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )0 3 4
1 0 32 1 4 1 1 2 4A xdx x x dx xdx
−= + + − − + + + −∫ ∫ ∫
4 19 4 93 3 3
A = + + =
9D
A dydx= =∫∫
En este caso, la región D queda dividida en tres regiones tipo 1, identificadas como: D1, D2 y D3..
Al comparar los dos cálculos de área de la región D del ejemplo 3.1, resulta mucho más sencillo emplear la integral
Ddxdy∫∫ que
con el orden inverso.
Valor de y a la salida de D1
1 1y x= + +
D2
Valor de y a la entrada de D1
1 1y x= − +
D3
D1
Valor de y a la salida de D2
4y x= −
Valor de y a la salida de D
3
4y x= −
Valor de y a la entrada de D2
1 1y x= − +
Valor de y a la entrada de D3
4y x= − −
3x =
0x =
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Dada la región D , determine las ecuaciones de las curvas que la
limitan y calcule su área empleando las integrales dobles: D
dxdy∫∫
y D
dydx∫∫ .
Figura 3.5
Región D del ejemplo 3.2
Solución:
Las ecuaciones de las curvas que limitan a la región D son:
1 16 20C : y x= +
2 2 20C : y x= − + y
23 4C : y x=
a) Para el cálculo del área de la región D por medio de la integral
doble D
dxdy∫∫ , se necesita saber que valor toma la variable x a la
entrada y salida de la región. En la figura 3.6 se pueden observar
estos valores.
EJEMPLO 3.2
Las ecuaciones de las curvas en función de la variable y son:
120
16yC : x −
=
220
2yC : x −
=
1 2y
C : x = ±
C1
D
C3
C2
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Figura 3.6
Región D del ejemplo 3.2 como tres regiones tipo 2
Como 1 2 3D D D D= ∪ ∪ , entonces: 1 2 3D D D
A dxdy dxdy dxdy= + +∫∫ ∫∫ ∫∫
donde:
( )
( )
( )
1
2
3
0 42 2
20 4 1616 2
20 20 16 2016 2
y yD x, y x y
yyD x, y x y
y yD x, y x y
= − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ − = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
− − = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
204 16 202 2 2
20 200 4 1616 162
y y y
y yyA dxdy dxdy dxdy−
− −−
= + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
4 16 20
0 4 16
20 45 92 16 4 16y y yA ydy dy dy
− = + − + − ∫ ∫ ∫
16 157 9 363 6 2
A = + + =
La región D no es una región tipo 2, sin embargo se puede dividir en tres regiones: D1, D2 y D3., que sí lo son. Por esta razón, para resolver la integral doble
Ddxdy∫∫ se debe
emplear la propiedad aditiva respecto a la región de integración.
Valor de x a la salida de D3
202
yx −= D3
Valor de x a la entrada de D3
2016
yx −=
Valor de x a la salida de D2
2y
x =
D2
Valor de x a la entrada de D2
2016
yx −=
Valor de x a la salida de D1
2y
x = D1
Valor de x a la entrada de D1
2y
x = −
4y =
16y =
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36D
A dxdy= =∫∫
b) En la figura 3.7 se muestran los límites de integración para la
integral interna de D
A dydx= ∫∫ .
Figura 3.7
Región D del ejemplo 3.2 como dos regiones tipo 1
Luego: 1 2D D
A dydx dydx= +∫∫ ∫∫ , donde:
( ){ }( ){ }
21
22
1 0 4 16 20
0 2 4 2 20
D x, y x x y x
D x, y x x y x
= − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ +
= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ − +
2 2
0 16 20 2 2 20
1 4 0 4
x x
x xA dydx dydx
+ − +
−= +∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )0 22 2
1 0
32 7616 20 4 2 20 4 363 3
A x x dx x x dx−
= + − + − + − = + =∫ ∫
36D
A dydx= =∫∫
La región D puede dividirse en dos regiones tipo 1, identificadas como: D1 y D2 ; es decir:
1 2D D D= ∪
D2
D1
Valor de y a la salida de D1
16 20y x= +
Valor de y a la salida de D2
2 20y x= − +
Valor de y a la entrada de D1
24y x=
Valor de y a la entrada de D2
24y x=
0x =
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Calcule, empleando integrales dobles, el área comprendida entre
dos círculos concéntricos de radios 2 y 4.
Solución:
Considere una corona circular con centro en el origen del sistema
de coordenadas tal como se observa a continuación.
Figura 3.8
Región D del ejemplo 3.3
Como D
A dydx= ∫∫ y la región D es simétrica respecto al origen,
entonces para simplificar el cálculo de área, sólo se evaluará
11 D
A dydx= ∫∫ , donde 1A es el área de la región D que se encuentra
en el primer cuadrante, denotada como 1D , de manera que:
14A A=
La región denotada como D1, se muestra en la figura 3.9.
La región D planteada en el ejemplo 3.3 recibe el nombre de corona circular, y su área es:
( )2 2A R rπ= −
donde R: Radio externo r: radio interno
EJEMPLO 3.3
D 2 2 16x y+ =
2 2 4x y+ =
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Figura 3.9
Región 1D del ejemplo 3.3
Luego: 1. 1.
1A BD D
A dydx dydx= +∫∫ ∫∫ , donde:
( ){ }( ){ }
2 21
21
0 2 4 16
2 4 0 16
.A
.B
D x, y x x y x
D x, y x y x
= ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ −
= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −
2 2
2
2 16 4 16
1 0 4 2 0
x x
xA dydx dydx
− −
−= +∫ ∫ ∫ ∫
( )2 42 2 21 0 2
16 4 16A x x dx x dx= − − − + −∫ ∫
182 3 2 3 3
3 3A π π π = + + − + =
12D
A dydx π= =∫∫
Valor de y a la salida de D1.A
216y x= −
Valor de y a la entrada de D1.A
24y x= −
D1.A
2x =
D1.B
Valor de y a la salida de D1.B
216y x= −
Valor de y a la entrada de D1.B
0y =
Para calcular el área de la región D1, se puede dividirla en dos regiones tipo 1:
1 1 1.A .BD D D= ∪
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3.1.2. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
En el capítulo 1 de este trabajo, se determinó que la integral
( )D
f x, y dA∫∫ representa el volumen del sólido S definido sobre la
región D y bajo la gráfica de la función f ; sin embargo, la integral
doble también puede emplearse para determinar el volumen de un
sólido más general.
Dibuje el sólido S acotado por las superficies: 2 22z x y= + y
2 220z x y= − − y plantear su volumen empleando integrales
dobles.
Solución:
En la figura 3.10 se muestra el sólido S de este ejemplo, donde la
superficie superior es 2 220z x y= − − y la superficie inferior viene
dada por la ecuación 2 22z x y= + .
VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Sean 2:f → y 2:g → dos funciones reales, continuas
en una región bidimensional D , tales que ( ) ( ), ,f x y g x y≤
( ),x y D∀ ∈ . Sea V el volumen del sólido acotado
superiormente por la gráfica de la función g y acotado
inferiormente por la gráfica de la función f, entonces:
( ) ( ), ,D
V g x y f x y dA= − ∫∫ (III.5)
EJEMPLO 3.4
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Figura 3.10
Sólido S del ejemplo 3.4
El volumen del sólido S, mostrado en la figura anterior, se obtiene
mediante la integral doble:
2 2 2 220 2D
V x y x y dA = − − − + ∫∫
donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta
proyección, para este ejemplo, resulta ser un círculo con centro en
el origen, al que se obtiene en la intersección de las dos
superficies:
2 22 2 2 2
2 2
22 20
20
z x yx y x y
z x y
= + ⇒ + = − −= − −
( )2 2 2 2 2 24 20 4x y x y x y+ = − − ⇒ + =
Entonces:
( ){ }2 2, 4D x y x y= + ≤
La superficie definida por la ecuación:
2 220z x y= − − Es una semiesfera (parte superior).
La superficie definida por la ecuación:
2 22z x y= + Es un cono .
S
Valor de z a la salida de S
2 220z x y= − −
Valor de z a la entrada de S
2 22z x y= +
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Figura 3.11
Región D del ejemplo 3.4
Es decir, ( ){ }2 2, 2 2 4 4D x y x x y x= − ≤ ≤ − − ≤ ≤ −
Volviendo a la integral de volumen, se tiene que:
2
2
2 4 2 2 2 2
2 420 2
x
xV x y x y dydx
−
− − − = − − − + ∫ ∫
Ahora, para resolver esta integral se requiere un procedimiento
muy riguroso y largo, por lo cual a continuación sólo se presenta el
resultado de esta integral, el cual fue obtenido con software
matemático:
2 2 2 220 2 19,77678464D
V x y x y dA = − − − + = ∫∫
Valor de y a la salida de D
24y x= −
Valor de y a la entrada de D
24y x= − −
D
Donde D es una región tipo 1 y también tipo 2, pero en este ejemplo se trabaja como una región tipo 1.
En el siguiente capítulo, se mostrará como resolver una integral de este tipo, empleando un cambio de variable apropiado.
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Dibuje el sólido S acotado por las superficies: 4z xy= + y 1z = y
dentro del cilindro 2 2 1x y+ ≤ , calcule su volumen empleando
integrales dobles.
Solución:
En la figura siguiente se aprecia el sólido S, acotado por las
superficies 4z xy= + y 1z = y dentro del cilindro 2 2 1x y+ ≤ .
Figura 3.12
Sólido S del ejemplo 3.5
El volumen del sólido S, se obtiene mediante la integral doble:
[ ] [ ]4 1 3D D
V xy dA xy dA= + − = +∫∫ ∫∫
donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta
proyección, se observa en la figura 3.13
EJEMPLO 3.5
S 2 2 1x y+ =
Valor de z a la salida de S
4z xy= +
Valor de z a la entrada de S
1z =
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Figura 3.13
Región D del ejemplo 3.5
En este caso, la región D se define como:
( ){ }2 2, 1 1 1 1D x y y x y y= − − ≤ ≤ − − ≤ ≤
Por lo tanto la integral de volumen queda como:
[ ]2
2
1 1 1 2
1 1 13 6 1 3
y
yV xy dxdy y dy π
−
− − − −= + = − =∫ ∫ ∫
[ ]3 3D
V xy dA π= + =∫∫
Dibuje el sólido S acotado por 3 31z x y xy= + + , 0z = , 3y x x= − y 2y x x= + y calcule su volumen empleando integrales dobles.
Solución:
En la figura 3.14 se observa el sólido S, acotado superiormente por 3 31z x y xy= + + e inferiormente por 0z = ; mientras que las
superficies 3y x x= − y 2y x x= + definen las paredes de dicho
cuerpo tridimensional.
EJEMPLO 3.6
Valor de x a la salida de D
21x y= −
Valor de x a la entrada de D
21x y= − −
D En este ejemplo, la región D es de tipo 1 y también tipo 2, pero se trabaja como una región tipo 2.
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Figura 3.14
Sólido S del ejemplo 3.6
Donde, el volumen del sólido S, se obtiene como:
3 3 3 31 0 1D D
V x y xy dA x y xy dA = + + − = + + ∫∫ ∫∫
Al proyectar el sólido anterior en el plano xy, se obtiene la región
bidimensional D, la cual se aprecia en la figura 3.15
Figura 3.15
Región D del ejemplo 3.6
Valor de y a la salida de D
3y x x= −
Valor de y a la entrada de D
2y x x= +
D
En la figura 3.15, se observa que la región D del ejemplo 3.6 es una región de tipo 1.
S
Valor de z a la salida de S
3 31z x y xy= + +
Valor de z a la entrada de S
0z =
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Por lo tanto, la región D se define como:
( ){ }2 3, 1 0D x y x x x y x x= − ≤ ≤ + ≤ ≤ −
La integral de volumen queda como:
3
2
0 3 3
11
x x
x xV x y xy dydx
−
+− = + + ∫ ∫
13 90 11 8 7 6 3 2
1
7 5174 2 24 4 1260
x xV x x x x x x x dx−
= − + − − − + − − =
∫
3 3 51711260D
V x y xy dA = + + = ∫∫
3.1.3. MASA DE UNA FIGURA PLANA
A continuación, se explica como determinar la masa de una figura
plana no homogénea, de área D , como la región mostrada en la
figura 3.16; es decir para regiones donde la densidad varía en
cada punto ( )x, y D∈ .
Figura 3.16
Región D no homogénea
La densidad tiene unidades de masa por área unitaria. Para esta aplicación, considere que la función densidad ρ es continua en la región D .
En la figura 3.16 la región D es no homogénea, por lo cual su sombreado no es uniforme. Adicionalmente: ( ) ( )0x, y x, y Dρ = ∀ ∉
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Si se escoge un punto arbitrario ( )* *i j ijx , y D∈ , entonces la masa
de este subrectángulo, denotada como ijm , se obtiene como:
( )* *,ij i j ijm x y Aρ= ∆ (III.6)
Por lo tanto la masa de la placa plana de área A , se puede
estimar mediante la doble suma de Riemann:
( )* *
1 1,
n m
i j iji j
m x y Aρ= =
≈ ∆∑∑ (III.7)
Si se aumenta el número de subintervalos, de manera que la
norma de la partición P tienda a cero, se tiene:
( )* *
0 1 1,
n m
i j ijP i jm Lim x y Aρ
→= =
= ∆∑∑ (III.8)
( ) ( )* *
0 1 1, ,
n m
i j ij DP i jm Lim x y A x y dAρ ρ
→ = =
= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.9)
Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene
mediante:
MASA DE UNA FIGURA PLANA
Considere una lámina plana de densidad variable ( )x, yρ ,
que ocupa una región D en el plano xy, entonces su masa,
denotada m , se obtiene como:
( ),D
m x y dAρ= ∫∫ (III.10)
El cálculo de masa de una región D , también puede emplearse para calcular la carga eléctrica, Q, distribuida sobre una región D .
( ),D
Q x y dAσ= ∫∫
Donde σ es la función densidad de carga.
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93
Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas 2 1x y= − y 22 2x y= − , cuya densidad es igual a la unidad.
Solución:
Recuerde que la densidad se calcula como ( ),D
m x y dAρ= ∫∫ , por
lo tanto para esta placa se tiene:
Dm dA= ∫∫
Ahora, se debe identificar la región D para definir los límites de
integración.
Figura 3.17
Región D del ejemplo 3.7
Entonces la región D está definida como:
( ){ }2 22 2 1 1 1D x, y y x y y= − ≤ ≤ − ∧ − ≤ ≤
Por lo tanto:
( )2
2
1 1 1 2
1 2 2 1
413
y
ym dxdy y dy
−
− − −= = − =∫ ∫ ∫
2
2
1 1
1 2 2
43
y
ym dxdy
−
− −= =∫ ∫
EJEMPLO 3.7
Valor de x a la salida de D
2 1x y= −
Valor de x a la entrada de D
22 2x y= −
D
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94
Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas
23 6 42
y x x= − + y 2 2y x= − , cuya densidad varía de acuerdo a la
función ( ) 1 2x, y xρ = + .
Solución:
El cálculo de la masa se obtiene de la integral doble
( ),D
m x y dAρ= ∫∫ , por lo tanto:
( )1 2D
m x dA= +∫∫
A continuación se muestra la región D.
Figura 3.18
Región D del ejemplo 3.8
Entonces:
( ) ( ) ( )1 2
1 2 1 2 1 2D D D
m x dA x dA x dA= + = + + +∫∫ ∫∫ ∫∫
Donde
( )
( )
21
22
30 2 6 4 2 4232 4 6 4 2 42
D x, y x x x y x
D x, y x x x y x
= ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ − + = ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ −
Según la definición del valor absoluto
2 2 02
2 2 0
x si xx
x si x
− − ≥− = − − <
entonces
2 4 2
4 2 2
x si xy
x si x
− ≥= − <
EJEMPLO 3.8
La región D debe dividirse en dos regiones tipo 1, tal que:
1 2D D D= ∪ D
2 4y x= −
23 6 42
y x x= − +
2 4y x= − +
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95
En la figura 3.19 se muestra el orden de integración para obtener
la masa de la placa con la forma de la región D.
Figura 3.19
Región D del ejemplo 3.8 como dos regiones tipo 1
Entonces:
( ) ( )2 2
2 4 2 4 2 43 30 6 4 2 6 42 2
1 2 1 2x x
x x x xm x dydx x dydx
− −
− + − += + + +∫ ∫ ∫ ∫
2 43 2 3 2
0 2
13 293 4 8 3 82 2
m x x x dx x x x dx = − + + + − − + − ∫ ∫
40 80 403 3
m = + =
( )1 2 40D
m x dA= + =∫∫
D1
D2
Valor de y a la salida de D1
4 2y x= −
Valor de y a la salida de D
2 2 4y x= −
Valor de y a la entrada de D1
23 6 42
y x x= − +
Valor de y a la entrada de D2
23 6 42
y x x= − +
2x =
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96
3.1.4. MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS
El momento estático de una partícula alrededor de un eje se
define como el producto de su masa y la distancia que la separa
de ese eje. A continuación, se trata específicamente, los
momentos estáticos de una figura plana D alrededor de los ejes
coordenados.
Considere una lámina o placa plana D , dividida en
subrectángulos ijD , tal como se muestra en la siguiente figura:
Figura 3.20
Región general D no homogénea
Entonces, el momento estático alrededor del eje x, para cada
subrectángulo ijD , denotado como ijxM , viene dado por:
( )* * *,ijx j i j ijM y x y Aρ= ∆ (III.11)
Sumando el momento estático alrededor del eje x para cada
subrectángulo, se tiene que:
( )* * *
1 1,
n m
x j i j iji j
M y x y Aρ= =
≈ ∆∑∑ (III.13)
Los momentos estáticos son momentos de “equilibrio”.
xM es una medida de la tendencia a girar en torno al eje x, análogamente,
yM es una medida de la
tendencia a girar alrededor del eje y.
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97
Tomando el límite cuando el número de subrectángulos aumenta
en la expresión anterior:
( )* * *
0 1 1,
n m
x j i j ijP i jM Lim y x y Aρ
→ = =
= ∆∑∑ (III.14)
( ) ( )* * *
0 1 1, ,
n m
x j i j ij DP i jM Lim y x y A y x y dAρ ρ
→ = =
= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.15)
Análogamente, el momento estático alrededor del eje y, que se
denota yM , se obtiene como:
( ) ( )* * *
0 1 1, ,
n m
y i i j ij DP i jM Lim x x y A x x y dAρ ρ
→ = =
= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.16)
MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS
Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene
dada por la función 2:ρ → , la cual es continua
( )x, y D∀ ∈ , entonces el momento estático alrededor del eje x,
denotado xM , se obtiene como:
( ),x DM y x y dAρ= ∫∫ (III.17)
Mientras que el momento estático alrededor del eje y,
denotado yM , se calcula como:
( ),y DM x x y dAρ= ∫∫ (III.18)
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98
Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el
ejemplo 3.7.
Solución:
Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera:
( ),x DM y x y dAρ= ∫∫ y ( ),y D
M x x y dAρ= ∫∫ .
Entonces:
( )2
2
1 1 1 2
1 2 2 11 0
y
x yM ydxdy y y dy
−
− − −= = − =∫ ∫ ∫
2
2
1 1 1 4 2
1 2 2 1
3 3 832 2 5
y
y yM xdxdy y y dy
−
− − −
= = − − + = − ∫ ∫ ∫
Por lo tanto, los momentos estáticos para una lámina con la forma
de la región D del ejemplo 3.7 son:
0
85
x D
y D
M ydA
M xdA
= =
= = −
∫∫
∫∫
Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el
ejemplo 3.8.
Solución:
Los momentos estáticos se calculan como: ( ),x DM y x y dAρ= ∫∫ y
( ),y DM x x y dAρ= ∫∫ .
( ) ( )2 2
2 4 2 4 2 43 30 6 4 2 6 42 2
1 2 1 2x x
x x x x xM y x dydx y x dydx
− −
− + − += + + +∫ ∫ ∫ ∫
2 5 4 3 2
0
4 5 4 3 2
2
9 135 35 10 164 89 135 35 10 164 8
xM x x x x x dx
x x x x x dx
= − + − + + + + − + − + +
∫
∫
EJEMPLO 3.9
EJEMPLO 3.10
La región del ejemplo 3.7 se muestra a continuación
Y se encuentra acotada por las curvas 2 1x y= − y 22 2x y= − . La densidad es :
( ) 1x, yρ =
( ) 2 22 2 1
1 1
x, y y x yD
y
− ≤ ≤ − ∧ = − ≤ ≤
La región del ejemplo 3.8 se muestra a continuación
La densidad:
( ) 1 2x, y xρ = +
Donde 1 2D D D= ∪
( )
( )
1 2
2 2
0 2
3 6 4 2 42
2 4
3 6 4 2 42
x, y xD
x x y x
x, y xD
x x y x
≤ ≤ ∧ =
− + ≤ ≤ − + ≤ ≤ ∧ =
− + ≤ ≤ −
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99
8 56 643 3 3xM = + =
Calculando el momento estático respecto al eje y se tiene:
( ) ( )2 2
2 4 2 4 2 43 30 6 4 2 6 42 2
1 2 1 2x x
y x x x xM x x dydx x x dydx
− −
− + − += + + +∫ ∫ ∫ ∫
262 1162 142415 15 15yM = + =
Finalmente, para la región del ejemplo 3.8 se tiene que:
( )
( )
641 23
14241 215
x D
y D
M y x dA
M x x dA
= + =
= + =
∫∫
∫∫
3.1.5. CENTRO DE MASA
El centro de gravedad de una figura plana D, es un punto P de
coordenadas ( )x , y D∈ , en el cual la región se equilibra
horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de
las ecuaciones:
yMx
m= (III.19)
xMym
= (III.20)
Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos
estáticos se calculan por medio de integrales dobles.
El centro de gravedad también es llamado centro de masa.
El significado físico del centro de gravedad, es que la lámina se comporta como si su masa estuviera concentrada en ese punto.
El centro de gravedad recibe el nombre de centroide cuando la densidad es constante.
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100
Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el
ejemplo 3.7.
Solución:
El centro de masa es un punto ( )P x , y D∈ , tal que sus
coordenadas se obtienen empleando las ecuaciones III.21 y
III.22. Como ya se calculó la masa y los momentos estáticos para
esta región, entonces sólo queda sustituir en las ecuaciones III.19
y III.20
865
4 53
yMx
m= = − = −
0 043
xMym
= = =
CENTRO DE MASA
Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene
dada por la función 2:ρ → , la cual es continua
( )x, y D∀ ∈ , entonces el centro de gravedad viene dado por:
( )1 ,D
x x x y dAm
ρ= ∫∫ (III.21)
( )1 ,D
y y x y dAm
ρ= ∫∫ (III.22)
Donde m es la masa de la placa D , que se obtiene como
( ),D
x y dAρ∫∫ .
La región del ejemplo 3.7 está acotada por las curvas 2 1x y= − y
22 2x y= − . Su densidad es :
( ) 1x, yρ =
Y adicionalmente se obtuvo:
2
2
1 1
1 2 2
43
y
ym dxdy
−
− −= =∫ ∫
0
85
x D
y D
M ydA
M xdA
= =
= = −
∫∫
∫∫
EJEMPLO 3.11
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101
Entonces:
( ) 6, ,05
P x y = −
En la siguiente figura se observa el centro de masa o de gravedad
de la placa D descrita en el ejemplo 3.7
Figura 3.21
Centro de masa de la región D del ejemplo 3.7
Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el
ejemplo 3.8.
Solución:
Sustituyendo el valor de la masa y los momentos estáticos en las
ecuaciones que permiten calcular las coordenadas del centro de
masa, se tiene:
142417815
40 75yM
xm
= = =
EJEMPLO 3.12
La región D del ejemplo 3.8, tiene una densidad que varía según:
( ) 1 2x, y xρ = +
En los ejemplos 3.8 y 3.10, se obtuvo:
( )1 2 40D
m x dA= + =∫∫
( )
( )
641 23
14241 215
x D
y D
M y x dA
M x x dA
= + =
= + =
∫∫
∫∫
6 05
, −
D
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102
6483
40 15xMy
m= = =
Luego:
( ) 178 8, ,75 15
P x y =
En la figura 3.22 se aprecia la región D y su centro de masa:
Figura 3.22
Centro de masa de la región D del ejemplo 3.8
3.1.6. MOMENTO DE INERCIA
El momento de inercia de una partícula alrededor de un eje se
define como el producto de su masa y el cuadrado de la distancia
que la separa de ese eje y se considera como una medida de la
oposición a girar del cuerpo cuando actúa sobre él una fuerza de
rotación. Los segundos momentos más importantes son los
momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados y del
origen.
Los momentos de inercia también son llamados segundos momentos.
Los momentos de inercia son momentos de “giro”.
178 875 15
,
D
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103
El procedimiento para obtener estos momentos como integrales
dobles es similar al que se ilustró para los momentos estáticos,
por lo tanto, el momento de inercia de una placa D, respecto al eje
x, denotado xI , se calcula como:
( ) ( ) ( )2* * * 2
0 1 1, ,
n m
x j i j ij DP i jI Lim y x y A y x y dAρ ρ
→ = =
= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.23)
Análogamente, el momento de inercia alrededor del eje y se
denota como yI y se obtiene como:
( ) ( ) ( )2* * * 2
0 1 1, ,
n m
y i i j ij DP i jI Lim x x y A x x y dAρ ρ
→ = =
= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.24)
La suma de estos dos momentos se conoce como momento de
inercia alrededor del origen, 0I , donde:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2* * * * 2 20 0 1 1
, ,n m
i j i j ij DP i jI Lim x y x y A x y x y dAρ ρ
→= =
= + ∆ = + ∑∑ ∫∫ (III.25)
MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS
Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene
dada por la función 2:ρ → , la cual es continua
( )x, y D∀ ∈ , entonces los momentos de inercia alrededor de
los ejes x y y, denotados xI e yI , se obtienen como:
( )2 ,x DI y x y dAρ= ∫∫ (III.26)
( )2 ,y DI x x y dAρ= ∫∫ (III.27)
El momento polar de inercia, 0I , es:
( ) ( )2 20 ,
DI x y x y dAρ= +∫∫ (III.28)
El momento de inercia alrededor del origen también es conocido como momento polar de inercia.
0 x yI I I= +
En las ecuaciones III.23 y III.24, el cuadrado de x o de y recibe el nombre de brazo de palanca.
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104
Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en
el ejemplo 3.7.
Solución:
Los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados se
calculan de la siguiente manera: ( )2 ,x DI y x y dAρ= ∫∫ ,
( )2 ,y DI x x y dAρ= ∫∫ y ( ) ( )2 2
0 ,D
I x y x y dAρ= +∫∫ .
( )2
2
1 1 12 2 2
1 2 2 1
4115
y
x yI y dxdy y y dy
−
− − −= = − =∫ ∫ ∫
2
2
1 1 12 6 4 2
1 2 2 1
7 7 327 23 3 15
y
y yI x dxdy y y y dy
−
− − −
= = − + − = ∫ ∫ ∫
( )2
2
1 1 12 2 6 4 20 1 2 2 1
7 7 126 63 3 5
y
yI x y dxdy y y y dy
−
− − −
= + = − + − = ∫ ∫ ∫
Nótese que el momento polar de inercia puede calcularse como se
acaba de ilustrar, sin embargo, también puede obtenerse a partir
de:
04 32 36 12
15 15 15 5x yI I I= + = + = =
Entonces los momentos de inercia para la placa plana descrita en
el ejemplo3.7 son:
( )
2
2
2 20
4153215
125
x D
y D
D
I y dA
I x dA
I x y dA
= =
= =
= + =
∫∫
∫∫
∫∫
La gráfica de la región D del ejemplo 3.7 se muestra a continuación:
Cuya densidad es :
( ) 1x, yρ =
( ) 2 22 2 1
1 1
x, y y x yD
y
− ≤ ≤ − ∧ = − ≤ ≤
EJEMPLO 3.13
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105
Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en
el ejemplo 3.8.
Solución:
Calculando el momento de inercia respecto al eje x, se tiene:
( ) ( )2 2
2 4 2 4 2 42 23 30 6 4 2 6 42 2
1 2 1 2x x
x x x x xI y x dydx y x dydx
− −
− + − += + + +∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
32 3 2
0
34 3 2
2
1 2 34 2 6 43 2
1 2 32 4 6 43 2
x
xI x x x dx
xx x x dx
+ = − − − + +
+ + − − − +
∫
∫
712 2168 57635 35 7xI = + =
Calculando el momento inercia respecto al eje y se tiene:
( ) ( )2 2
2 4 2 4 2 42 23 30 6 4 2 6 42 2
1 2 1 2x x
y x x x xI x x dydx x x dydx
− −
− + − += + + +∫ ∫ ∫ ∫
2 45 4 3 5 4 3 2
0 2
13 293 4 3 8 82 2yI x x x dx x x x x dx = − + + + − + − −
∫ ∫
128 3472 38565 15 15yI = + =
El momento polar de inercia puede obtenerse como:
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 4 2 4 2 42 2 2 23 30 0 6 4 2 6 42 2
1 2 1 2x x
x x x xI x y x dydx x y x dydx
− −
− + − += + + + + +∫ ∫ ∫ ∫
O también como: 0576 3856 35632
7 15 105x yI I I= + = + =
( )
( )
( )( )
2
2
2 20
5761 27
38561 215
356321 2105
x D
y D
D
I y x dA
I x x dA
I x y x dA
= + =
= + =
= + + =
∫∫
∫∫
∫∫
EJEMPLO 3.14
La gráfica de la región D del ejemplo 3.8 se observa a continuación:
Cuya densidad vienen dada por:
( ) 1 2x, y xρ = +
Donde 1 2D D D= ∪
( )
( )
1 2
2 2
0 2
3 6 4 2 42
2 4
3 6 4 2 42
x, y xD
x x y x
x, y xD
x x y x
≤ ≤ ∧ =
− + ≤ ≤ − + ≤ ≤ ∧ =
− + ≤ ≤ −
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106
3.2 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES
Las aplicaciones de las integrales triples, son similares a las
aplicaciones de las dobles. Sus definiciones se obtienen a partir
de la triple suma de Riemann; sin embargo a continuación se
presentan de una vez con la integral triple correspondiente para
cada una de ellas. Las aplicaciones que se mencionan a
continuación son: volúmenes de sólidos en el espacio, masa,
momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia de
cuerpos en el espacio.
3.2.1. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
En el capítulo 2 se definió la integral triple de una función f sobre
una región tridimensional B , ( )B
f x, y,z dV∫∫∫ , como el límite de
una triple suma de Riemann , ( )0 1 1 1
n m l* * *
i j k ijkP i j kL im f x , y ,z V
→ = = =
∆∑∑∑ . Si la
función f es igual a la unidad; es decir, ( ) 1f x, y,z = , entonces, la
integral triple representa el volumen V del sólido B , resultando la
siguiente integral:
BV dV= ∫∫∫ (III.29)
VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Sea B una región tridimensional, entonces su volumen,
denotado como V , se obtiene como
BV dV= ∫∫∫ (III.30)
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107
Determine el volumen del sólido B acotado por las superficies:
0x = , y x= , 2y x= − , 1z = y 2 25z x y= − − .
Solución:
Para calcular el volumen del sólido B, se emplea la integral triple
BdV∫∫∫ . En la siguiente gráfica se ilustra el sólido B acotado por
las superficies mencionadas en el ejemplo 3.15 y adicionalmente
se señalan los valores que toma la variable z a la entrada y la
salida del recinto B.
Figura 3.23
Sólido B del ejemplo 3.15
Por lo tanto el volumen se obtiene como:
2 25
1
x y
DV dzdA
− −= ∫∫ ∫
Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Dicha
proyección se muestra en la figura 3.24.
EJEMPLO 3.15
B
2y x= −
y x=
Valor de z a la salida de B
2 25z x y= − −
Valor de z a la entrada de B
1z =
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108
Figura 3.24
Proyección del sólido B del ejemplo 3.15 en el plano xy
Entonces la región D, está definida como:
( ){ }0 1 2D x, y x x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −
Luego:
( )2 21 2 5 1 2 2 2
0 1 04
x x y x
x xV dzdydx x y dydx
− − − −= = − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 3 2
0
16 8 84 43 3 3
V x x x dx = + − − = ∫
83B
V dV= =∫∫∫
Determine el volumen del sólido B acotado por las superficies:
4y = , 2y x= , 0z = y 4z y= − .
Solución:
El cálculo de volumen del sólido B, se realiza por medio de la
integral triple B
dV∫∫∫ . En la figura 3.25 se ilustra el sólido B de
este ejemplo. Adicionalmente se muestran los valores de la
variable z a la entrada y la salida del recinto B.
La región D del ejemplo 3.15 es una región tipo 1 D
Valor de y a la salida de D
2y x= −
Valor de y a la entrada de D
y x=
EJEMPLO 3.16
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109
Figura 3.25
Sólido B del ejemplo 3.16
Por lo tanto el volumen se obtiene como:
4
0
y
DV dzdA
−= ∫∫ ∫
Donde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Esta
proyección se observa en la figura 3.26.
Figura 3.26
Proyección del sólido B del ejemplo 3.16 en el plano xy
B
Valor de z a la salida de B
4z y= −
Valor de z a la entrada de B
0z =
La región D del ejemplo 3.16 es una región tipo 1
D
Valor de y a la salida de D
4y =
Valor de y a la entrada de D
2y x=
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110
La región D, del ejemplo 3.16 está definida como:
( ){ }22 2 4D x, y x x y= − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
Luego:
( )2 2
42 4 4 2 4 2 2
2 0 2 2
2564 8 42 15
y
x x
xV dzdydx y dydx x dx−
− − −
= = − = − + =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
25615B
V dV= =∫∫∫
Plantear mediante integrales triples el volumen comprendido entre
dos esferas concéntricas de radios 1 y 4.
Solución:
Sea B el sólido mencionado en el ejemplo 3.17. En la figura 3.27
se ilustran las dos esferas concéntricas de radios 1 y 4.
Figura 3.27
Sólido B del ejemplo 3.17
EJEMPLO 3.17
B
2 2 2 16x y z+ + =
2 2 2 1x y z+ + =
La región tridimensional comprendida entre las dos esferas concéntricas es simétrica respecto al origen, razón por la cual, dicha región se divide en 8 partes correspondientes a cada cuadrante.
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111
A continuación se muestra la porción del sólido B que se
encuentra en el primer octante, el cual se denomina como B1.
También se muestran los valores de la variable z a la entrada y la
salida del recinto B1.
Figura 3.28
Sólido 1B del ejemplo 3.17
Entonces:
1
8B B
V dV dV= =∫∫∫ ∫∫∫
Como el valor de la variable z cambia a la entrada del sólido B1,
entonces se debe emplear la propiedad aditiva respecto a la
región de integración, por lo cual:
2 2 2 2
2 21 1 2
16 16
0 18 8
x y x y
B D D x yV dV dzdA dzdA
− − − −
− −
= = + ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫
Donde D1 y D2 son las regiones bidimensionales que se obtienen
al proyectar el sólido B1 sobre el plano xy. En la figura 3.29 se
aprecia dicha proyección.
Valor de z a la salida de B1
2 216z x y= − −
Valor de z a la entrada de B1
0z =
B1
Valor de z a la salida de B1
2 216z x y= − −
Valor de z a la entrada de B1
2 21z x y= − −
Figura 3.29
Proyección del sólido B1 sobre el plano xy
D1
D2
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112
Figura 3.30
Región 1D del ejemplo 3.17
Entonces, la región D1 viene dada por la unión de las regiones:
( ){ }( ){ }
2 21 1
21 2
0 1 1 16
1 4 0 16
.
.
D x, y x x y x
D x, y x y x
= ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ −
= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −
Figura 3.31
Región 2D del ejemplo 3.17
La región bidimensional D1 se divide en dos regiones tipo 1; es decir:
1 1.1 1.2D D D= ∪
D1.1
D1.2
Valor de y a la salida de D1.1
216y x= −
Valor de y a la salida de D1.2
216y x= −
Valor de y a la entrada de D1.1
21y x= −
Valor de y a la entrada de D1.2
0y =
1x =
D2
Valor de y a la salida de D2
21y x= −
Valor de y a la entrada de D2
0y =
La región bidimensional D2 es una región tipo 1.
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113
Con base a la figura 3.31, se tiene que:
( ){ }22 0 1 0 1D x, y x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −
Por lo tanto, las integrales triples que permiten calcular el volumen
comprendido entre dos esferas concéntricas de radios 1 y 4 son:
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 2
1 16 16 4 16 16
0 1 0 1 0 0
1 1 16
0 0 1
8 8
8
x x y x x y
x
x x y
x y
V dzdydx dzdydx
dzdydx
− − − − − −
−
− − −
− −
= + +
+
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
3.2.2. MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Considere una región tridimesional B , no homogénea, esto es que
su densidad ρ varía en cada punto ( )x, y,z B∈ , donde la función
densidad está expresada en unidades de masa por unidad de
volumen, entonces la masa se obtiene como la integral triple de la
función densidad sobre la región B, tal como se define a
continuación:
MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Considere un cuerpo tridimensional B de densidad variable
( )x, y,zρ , entonces su masa, denotada m , se obtiene como:
( ), ,B
m x y z dVρ= ∫∫∫ (III.31)
Resolver estas integrales es un proceso bastante laborioso; sin embargo con un software matemático se puede obtener que el volumen planteado en el ejemplo 3.17 es:
( )8 32.98672287V =
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114
Calcular la masa del sólido comprendido entre los planos: 0z = y
1z y= − y dentro de la superficie definida por la ecuación 2 24 4x y+ = , cuya densidad viene dada por ( ), , 2x y z zρ =
Solución:
El sólido B del ejemplo 3.18 se muestra en la figura 3.32, también
se muestran los valores que toma la variable z a la entrada y salida
de la región B.
Figura 3.32
Sólido B del ejemplo 3.17
Para calcular la masa del sólido mostrado en la figura anterior, se
emplea la ecuación III.31, donde al sustituir el primer orden de
integración y la función densidad, se obtiene:
1
02
y
Dm zdzdA
−= ∫∫ ∫
donde D es la proyección del sólido B en el plano xy. Esta
proyección, junto con el segundo orden de integración se ilustra en
la figura 3.33
EJEMPLO 3.18
B
Valor de z a la salida de B
1z y= −
Valor de z a la entrada de B
0z =
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115
Figura 3.33
Región D del ejemplo 3.18
La región D está definida como:
( )2 24 42 2
2 2x xD x, y x y
− − = − ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤
Volviendo al cálculo de la masa:
( )2 2
2 2
4 42 1 2 22 24 42 0 2
2 2
2 1x xy
x xm zdzdydx y dydx
− −−
− −− −− −= = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
3 32 22
2
1 4 4 51 13 2 2 2
x xm dx π−
− − = + − − = ∫
522B
m zdV π= =∫∫∫
Calcular la masa del sólido comprendido entre los paraboloides 2 24 4z x y= + y 2 28 4 4z x y= − − , cuya densidad viene dada por
( ), , 1x y z x y zρ = + + + .
EJEMPLO 3.19
D
Valor de y a la salida de D
242
xy −=
Valor de y a la entrada de D
24
2xy −
= −
La gráfica de la ecuación: 2 24 4x y+ =
Es una elipse horizontal.
La región bidimensional D del ejemplo 3.18 es una región tipo 1 y también una región tipo 2.
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116
Solución:
En la figura 3.34, se muestra el sólido B del ejemplo 3.19 y también
los valores que toma la variable z a la entrada y salida de la región
B, los cuales permiten establecer los límites para la primera
integración parcial.
Figura 3.34
Sólido B del ejemplo 3.19
Por lo tanto, la masa se obtiene como:
( )2 2
2 2
8 4 4
4 41
x y
D x ym x y z dzdA
− −
+= + + +∫∫ ∫
siendo D la proyección del sólido B en el plano xy. Para determinar
la ecuación de la curva que delimita a esta región D, es necesario
resolver el siguiente sistema:
2 2
2 2
4 48 4 4
z x yz x y
= +
= − −
Sumando ambas ecuaciones se tiene que 4z =
B
Valor de z a la salida de B
2 28 4 4z x y= − −
Valor de z a la entrada de B 2 24 4z x y= +
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117
Sustituyendo el valor de z en la primera ecuación del sistema, se
obtiene la ecuación 2 2 1x y+ = .
Figura 3.35
Región D del ejemplo 3.19
La región D queda definida como:
( ){ }2 21 1 1 1D x, y x x y x= − ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ −
Luego, la masa se obtiene mediante la integral triple
( )2 2 2
2 2 2
1 1 8 4 4
1 1 4 41
x x y
x x ym x y z dzdydx
− − −
− − − += + + +∫ ∫ ∫
( )2
2
1 1 3 2 2 2 2 3
1 140 8 40 8 8 8 8 40 8
x
xm x x x xy x y y y y dydx
−
− − −= − − + − − + − −∫ ∫
1 2 2 2 2 3 2
1
160 32 160 321 1 1 1 203 3 3 3
m x x x x x x x dx π−
= − + − − − − − = ∫
( )1 20B
m x y z dV π= + + + =∫∫∫
Recuerde que la gráfica de la ecuación:
2 2 1x y+ =
Es una circunferencia.
La región D del ejemplo 3.19 puede clasificarse como una región tipo 1 y también como una región tipo 2. D
Valor de y a la salida de D
21y x= −
Valor de y a la entrada de D 21y x= − −
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118
3.2.3. MOMENTOS ESTÁTICOS
El momento estático de una región B tridimensional respecto a los
planos coordenados xy, yz y xz, se definen de la siguiente manera:
Calcular los momentos estáticos alrededor de los planos
coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.18.
Solución:
El sólido B del ejemplo 3.18 se definió como:
( )2 24 42 2 0 1
2 2x xB x, y,z x y z y
− − = − ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −
Calculando los momentos estáticos por medio de las ecuaciones:
III.32, III.33 y III.34, se tiene:
MOMENTOS ESTÁTICOS DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada
por la función 3:ρ → , la cual es continua ( )x, y,z B∀ ∈ ,
entonces los momentos estáticos alrededor de los planos xy,
yz y xz, denotados xyM , yzM y xzM , respectivamente, se
obtienen a partir de las siguientes expresiones:
( ), ,xy BM z x y z dVρ= ∫∫∫ (III.32)
( ), ,yz BM x x y z dVρ= ∫∫∫ (III.33)
( ), ,xz BM y x y z dVρ= ∫∫∫ (III.34)
EJEMPLO 3.20
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119
( ) ( )2 2
2 2
34 42 1 22 24 42 0 2
2 2
2 12
3
x xy
xy x x
yM z z dzdydx dydx
− −−
− −− −− −
−= =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )32 2 2 2
2
2 1 74 43 6 3xyM x x dx π
−
= − + − = ∫
Respecto al plano yz:
( ) ( )2 2
2 2
4 42 1 2 22 24 42 0 2
2 2
2 1x xy
yz x xM x z dzdydx x y dydx
− −−
− −− −− −= = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )32 2 2 2
2
14 4 012yzM x x x x dx
−
= − + − = ∫
Y finalmente, respecto al plano xz:
( ) ( )2 2
2 2
4 42 1 2 22 24 42 0 2
2 2
2 1x xy
xz x xM y z dzdydx y y dydx
− −−
− −− −− −= = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )32 2 2
2
1 46xzM x dx π
−
= − − = − ∫
( )
( )
( )
723
2 0
2
xy B
yz B
xz B
M z z dV
M x z dV
M y z dV
π
π
= =
= =
= = −
∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
Calcular los momentos estáticos alrededor de los planos
coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.19.
Solución:
El sólido B del ejemplo 3.19 está definido como:
( ){ }2 2 2 2 2 21 1 1 1 4 4 8 4 4B x, y,z x x y x x y z x y= − ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ − ∧ + ≤ ≤ − −
EJEMPLO 3.21
Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
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120
Calculando el momento estático respecto al plano xy:
( )2 2 2
2 2 2
1 1 8 4 4
1 1 4 41
x x y
xy x x yM z x y z dzdydx
− − −
− − − += + + +∫ ∫ ∫
( )( )2
2
1 1 4 2 2 2 2 4 2 2
1 1
32 4 8 8 3 8 3 4 19 13
x
xy xM x x x y x y y y x y dx
−
− − −= − − + + − + + + + −∫ ∫
1 2 2 3 4 6
1
8832 128 34688 128 4096 4096 272135 3 105 3 35 105 3xyM x x x x x x π
−
= − + − − + − = ∫
Respecto al plano yz:
( )2 2 2
2 2 2
1 1 8 4 4
1 1 4 41
x x y
yz x x yM x x y z dzdydx
− − −
− − − += + + +∫ ∫ ∫
( )( )2
2
1 1 2 2
1 18 5 1
x
yz xM x x y x y dx
−
− − −= − + + + −∫ ∫
1 2 2 3 4
1
160 32 160 32 213 3 3 3 3yzM x x x x x π
−
= − + − − = ∫
Respecto al plano xz:
( )2 2 2
2 2 2
1 1 8 4 4
1 1 4 41
x x y
xz x x yM y x y z dzdydx
− − −
− − − += + + +∫ ∫ ∫
( )( )2
2
1 1 2 2
1 18 5 1
x
xz xM y x y x y dx
−
− − −= − + + + −∫ ∫
( )21 2 4
1
32 1 21 215 3xz
xM x x π−
−= − + =∫
Entonces, para el sólido del ejemplo 3.19 se tiene:
( )
( )
( )
27213
213
213
xy B
yz B
xz B
M z x y z dV
M x x y z dV
M y x y z dV
π
π
π
= + + + =
= + + + =
= + + + =
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
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121
3.2.4. CENTRO DE MASA
A continuación se define el centro de masa para un sólido
tridimensional como un punto ( )P x, y,z , donde las coordenadas
de este punto se obtienen de las ecuaciones:
yzMx
m= (III.35)
xzMym
= (III.36)
xyMz
m= (III.37)
Entonces:
CENTRO DE MASA DE UN SÓLIDO DEL ESPACIO
Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada
por la función 3:ρ → , la cual es continua ( )x, y,z B∀ ∈ ,
entonces el centro de masa es un punto ( )P x , y ,z , donde sus
coordenadas son:
( )1 , ,B
x x x y z dVm
ρ= ∫∫∫ (III.38)
( )1 , ,B
y y x y z dVm
ρ= ∫∫∫ (III.39)
( )1 , ,B
z z x y z dVm
ρ= ∫∫∫ (III.40)
Donde m es la masa del sólido B , que se obtiene como
( ), ,B
m x y z dVρ= ∫∫∫ .
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122
Determine las coordenadas del centro de masa del sólido B
descrito en el ejemplo 3.18.
Solución:
Las coordenadas del centro de masa del sólido B se obtienen
empleando las ecuaciones III.38, III.39 y III.40; sin embargo,
como en el ejemplo 3.20 se calcularon los momentos estáticos
alrededor de los planos coordenados, a continuación se utilizan las
ecuaciones III.35, III.36 y III.37:
0 052
yzMx
m π= = =
25 52
xzMym
ππ−
= = = −
7143
5 152
xyMz
m
π
π= = =
Entonces:
( ) 2 1405 15
P x , y ,z , , = −
Figura 3.36
Centro de gravedad del sólido B del ejemplo 3.18
EJEMPLO 3.22
2 1405 15
, , −
B
Para el ejemplo 3.18 se obtuvo:
522B
m zdV π= =∫∫∫
( )
( )
( )
723
2 0
2
xy B
yz B
xz B
M z z dV
M x z dV
M y z dV
π
π
= =
= =
= = −
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
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123
Determine las coordenadas del centro de gravedad del sólido
descrito en el ejemplo 3.19.
Solución:
Las coordenadas del centro de masa del sólido B, igual que en el
ejemplo anterior, se obtienen a partir de las ecuaciones III.35,
III.36 y III.37:
2 1320 30
yzMx
m
π
π= = =
2 1320 30
xzMym
π
π= = =
272 68320 15
xyMz
m
π
π= = =
Entonces:
( ) 1 1 6830 30 15
P x , y ,z , , =
En la siguiente figura, se aprecia el centro de masa del sólido B.
Figura 3.37
Centro de gravedad del sólido B del ejemplo 3.19
EJEMPLO 3.23
1 1 6830 30 15
, ,
B
Para el ejemplo 3.19 se obtuvo:
( )1 20B
m x y z dV π= + + + =∫∫∫
2723
23
23
xy
yz
xz
M
M
M
π
π
π
=
=
=
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124
3.2.5. MOMENTOS DE INERCIA
Los momentos de inercia del sólido B respecto a los planos
coordenados, se obtienen como sigue:
Calcular los momentos de inercia alrededor de los ejes
coordenados y respecto al origen para el sólido descrito en el
ejemplo 3.18.
Solución:
El sólido B mencionado está definido como:
( )2 24 42 2 0 1
2 2x xB x, y,z x y z y
− − = − ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −
Calculando los momentos estáticos por medio de las ecuaciones:
III.41, III.42 y III.43, se tiene:
MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS
Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada
por la función 3:ρ → , la cual es continua ( )x, y,z B∀ ∈ ,
entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes
coordenados, denotados xI , yI e zI se obtienen a partir de:
( ) ( )2 2 , ,x BI y z x y z dVρ= +∫∫∫ (III.41)
( ) ( )2 2 , ,y BI x z x y z dVρ= +∫∫∫ (III.42)
( ) ( )2 2 , ,z BI x y x y z dVρ= +∫∫∫ (III.43)
El momento polar de inercia, 0I , es:
( ) ( )2 2 20 , ,
BI x y z x y z dVρ= + +∫∫∫ (III.44)
EJEMPLO 3.24
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125
( )( )2
2
42 1 2 2242 0
2
2x y
x xI y z z dzdydx
−−
−− −= +∫ ∫ ∫
( ) ( )2
2
42 4 22242
2
1 1 12
x
x xI y y y dydx
−
−− −
= − + − ∫ ∫
( ) ( )5 32 2 2 22 2
2
1 3 1 274 4 42 160 3 8xI x x x dx π
−
= − + − + − = ∫
Respecto al eje y:
( )( )2
2
42 1 2 2242 0
2
2x y
y xI x z z dzdydx
−−
−− −= +∫ ∫ ∫
( ) ( )2
2
42 4 22242
2
1 1 12
x
y xI y x y dydx
−
−− −
= − + − ∫ ∫
( ) ( ) ( )5
2 2232 2 2 22
2
4 3 1 1194 4160 12 2 24y
x xI x x x dx π
−
− + = + − + − + = ∫
Respecto al eje z:
( )( ) ( )( )2 2
2 2
4 42 1 2 22 2 2 22 24 42 0 2
2 2
2 1x xy
z x xI x y z dzdydx y x y dydx
− −−
− −− −− −= + = + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )( )5 32 2 2 2 2 22 2
2
1 1 374 1 4 480 12 12zI x x x x x dx π
−
= − + + − + − = ∫
Finalmente, el momento polar de inercia:
( )( )2
2
42 1 2 2 220 42 0
2
2x y
xI x y z z dzdydx
−−
−− −= + +∫ ∫ ∫
( ) ( )( )2
2
42 4 22 220 42
2
1 1 12
x
xI y y x y dydx
−
−− −
= − + + − ∫ ∫
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126
( ) ( ) ( )5
2 22 232 2 2 220 2
3 4 4 4 1374 4160 12 2 24
x x xI x x x dx π−
− + − = + − + + − =
∫
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2 20
2728
119224
37212
137224
x B
y B
z B
B
I y z z dV
I x z z dV
I x y z z dV
I x y z z dV
π
π
π
π
= + =
= + =
= + + =
= + + =
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
Calcular los momentos de inercia alrededor de los ejes
coordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.19.
Solución:
El sólido B del ejemplo 3.19 está definido como:
( ){ }2 2 2 2 2 21 1 1 1 4 4 8 4 4B x, y,z x x y x x y z x y= − ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ − ∧ + ≤ ≤ − −
Calculando los momentos de inercia:
( )( )2 2 2
2 2 2
1 1 8 4 4 2 2
1 1 4 41
x x y
x x x yI y z x y z dzdydx
− − −
− − − += + + + +∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ]
2
2
1 1 2 2 5 5 4
1 1
3 2 2 2 3 4
2 3 2
8 1 16 16 13332 1 32 13 13 16 3
29 401 64 208 29 448
x
x xI x y x y x y
x y x y y y x y
y x y y y dydx
−
− − −= − + − + + + +
+ − + + − − + + +
+ − − + + − +
∫ ∫
EJEMPLO 3.25
Para resolver las integrales que permiten calcular los momentos de inercia pedidos en el ejemplo 3.25 se ilustra sólo el segundo momento respecto al eje x. Los demás resultados fueron calculados con un software matemático.
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127
(
)
21 2 3
1
4 5 6 7
1 143968 22240 251584 30656105
160864 12512 53248 4096
xxI x x x
x x x x dx
−
−= + − − +
+ + − −
∫
462xI π=
Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados y al
origen para el sólido del ejemplo 3.19, se muestran a continuación:
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2 20
1 462
1 462
2013
139613
x B
y B
z B
B
I y z x y z dV
I x z x y z dV
I x y z x y z dV
I x y z x y z dV
π
π
π
π
= + + + + =
= + + + + =
= + + + + + =
= + + + + + =
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