Aplicaciones de la Derivada

Valores Mximos y mnimos de una funcin

Sea f: R R una funcin donde D = Df y x0 D.

Definicin.- Diremos que una funcin y=f(x) presenta un Mximo Absoluto en

x = xo si: f(x)f(xo), x D ; f(xo) se denomina mximo absoluto de f.

Anlogamente diremos que:

Definicin.- Diremos que una funcin y=f(x) presenta un Mnimo Absoluto en xo si:

f(x)f(xo) , x D ; f(xo) se denomina mnimo absoluto de f.

Mximos y mnimos relativos

Una funcin puede tener, en un determinado intervalo, mximos y mnimos. En el

mximo la funcin alcanza el mayor valor, y en el mnimo, el menor.

Definicin.- Diremos que una funcin y=f(x) presenta un Mximo relativo o local en

x = xo si:

0 0o fV( x ) tal que f x f x , x V( x ) D

Definicin.- Diremos que una funcin y=f(x) presenta un Mnimo relativo o local en

x = xo si:

0 0o fV( x ) tal que f x f x , x V( x ) D Nota:

1. Si f(x) es un valor mximo mnimo, recibe el nombre de extremo de f valor

extremo de f; as de hablar de extremos relativos extremos absolutos.

2. Una funcin f(x) tiene en x = a un mximo cuando a su izquierda la funcin es

creciente y a su derecha decreciente. Y tiene un mnimo, si a su izquierda la

funcin es decreciente y a su derecha creciente.

Funciones Creciente y Decreciente

Funciones Crecientes.- Una funcin f es creciente en el conjunto I, si 1 2x ,x I , se

tiene: 1 2 1 2x x f ( x ) f ( x ) .

Nota: Su grfica de f va subiendo sin mantenerse constante ni mucho menos bajar.

Funciones No Decrecientes.- Una funcin f es no decreciente en el conjunto I, si

2x ,x I , se tiene: 1 2 1 2x x f ( x ) f ( x ) .

Funciones Decrecientes.- Una funcin f es decreciente en el conjunto I, si

2x ,x I , se tiene: 1 2 1 2x x f ( x ) f ( x ) .

Nota:

Su grfica de f va bajando sin mantenerse constante ni mucho menos subir.

Funciones No Crecientes.- Una funcin f es no creciente en el conjunto I, si

1 2x ,x I , se tiene: 1 2 1 2x x f ( x ) f ( x ) .

Teorema.- Sea f continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), entonces:

i) Si f > 0, x a,b f es crecienteen a,b

ii) Si f< 0, x a,b f es decrecienteen a,b

Observacin:

Si una funcin es derivable y alcanza en xo un mximo o un mnimo, entonces

f'(xo)0, esto es:

Ejemplo

Sea la funcin definida por:

en el intervalo [-2,4] su representacin grfica en este intervalo es la siguiente:

Como 1f ( x ) f ( ) para todo 2 4x , entonces el mximo absoluto de la funcin es 1 2f ( )

Como 3 2 4f ( x ) f ( ), x , ,entonces el mnimo absoluto de la funcin es f(3) = -2

Ejemplo

Consideremos la funcin f definida por:

Su representacin grfica es la siguiente:

En este caso 4 4 0f ( x ) f ( ), x , , por lo que f(- 4) = -1/4 es el mximo

absoluto de f. Sin embargo, esta funcin no posee un mnimo absoluto.

Teorema de Rolle.- El teorema de Rolle dice lo siguiente:

Si:

es una funcin continua definida en un intervalo cerrado a,b

es derivable sobre el intervalo abierto(a,b)

f(a)=f(b) = 0

Entonces: existe al menos un nmero c perteneciente al intervalo (a,b) tal que

.

Interpretacin Geomtrica

Nota

Si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algn punto tendr tangente

horizontal. Veamos tres casos distintos. Si la funcin empieza subiendo, tendr

luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un

punto donde la funcin alcanza un mximo, y en ste, f ' se anula. Lo mismo

sucede si la funcin empieza bajando, y f ' es nula en el mnimo de f. El tercer

ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.

Teorema de Valor Medio, de Lagrange o de Incrementos Finitos

Sea una funcin f, tal que:

f es una funcin continua definida en un intervalo [a, b]

f es derivable sobre el intervalo (a, b)

Entonces: existe al menos un nmero c en el intervalo (a, b) tal que:

Es decir que existe un punto en donde la tangente es paralela a la cuerda AB.

Su prueba es sencilla, pues utiliza el teorema precedente.

Sea p la pendiente de la cuerda: p = (f(b) - f(a)) / (b - a), y se define la funcin

g(x) = f(x) - px.

Entonces: g(b) - g(a) = f(b) - pb - (f(a) - pa)

= f(b) - f(a) - p(b - a)

= f(b) - f(a) -(f(b) - f(a)) = 0,

y g como f, es continua sobre [a, b] y derivable en su interior.

Segn el teorema anterior, existe un c en (a, b) tal que g '(c) = 0; pero esto se

escribe f ' (c) = p.

Este teorema se escribe tambin, con las mismas hiptesis: f(b) = f(a) + f '(c)(b-

a)esto es f(b) = f(a) + (b-a)f '(a) + ... + (b-a)n/n! f(n)(c), con f n veces derivable sobre

(a, b).

Para una funcin que cumpla la hiptesis de ser definida y continua [a, b] y

derivable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algn punto c en el

intervalo (a, b) en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de

la curva en el intervalo cerrado [a, b].

En esencia el teorema dice que dada cualquier funcin fcontina en el intervalo

[a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algn

punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la

recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

Este teorema lo formul Lagrange.

El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalizacin del

teorema de Rolle que dice que si una funcin es definida y continua [ a , b ],

diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos

del intervalo en otras palabras, f ( a ) = f ( b ) entonces existe al menos algn punto

c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir

f '( c)=0.

Demostracin

El conocimiento del significado de la derivada de una funcin en un punto, y de la

ecuacin punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuacin de la

recta tangente en un punto de la curva es:

Donde los pares de puntos y son una pareja cualquiera de

puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de

puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el

intervalo (a,b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los

puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una funcin:

Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir

de g. Adems g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:

Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a)=g(b), existe un c

perteneciente (a, b) tal que g '(c) = 0, y por tanto:

y as

como queramos demostrar.

Ejemplo

Estud iar s i se ver if ica e l teorema de Rolle en e l in terva lo [0 , 3 ] de la

Func in:

En pr imer lugar comprobamos que la funcin es cont inua en x=1.

1 2f ( )

En segundo lugar comprobamos si la funcin es der ivable en x = 1.

Como las der ivadas laterales no coinciden, la funcin no es

der ivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema

de Rol le

PUNTOS CRITICOS DE UNA FUNCIN EN UN INTERVALO

Definicin.- Sea f una funcin definida en un intervalo I, llamamos puntos crticos de

f, a aquellos puntos c I tal que:

i) f (c) = 0 ii) f (c) no existe

iii) c es uno de los extremos, si estos pertenecen a I.

Observacin

1. Los valores mximos y mnimos de una funcin f continua en I, pueden

presentarse solamente en los puntos crticos de f en I (por ser valores

extremos).

2. Para hallar los mximos y mnimos globales de una funcin f sobre I, se calculan

los valores de f en cada punto crtico y si existe (un nmero finito de puntos

crticos de f en I ), entonces el mayor de estos valores es el mximo de f sobre y

el menor de todos los mnimos es el mnimo de f sobre I.

3. Deducimos si se trata de un mximo o mnimo, estudiando el crecimiento y

decrecimiento.

Mximo: pasa de creciente a decreciente, en ese valor de x, donde f (x) = 0 es

un mximo.

Mnimo: pasa de decreciente a creciente, en ese valor de x, donde f (x) = 0 es

un mnimo.

TEOREMA DEL VALOR EXTREMO Si la funcin f es continua en [a, b], entonces f tiene

un valor mximo y un valor mnimo absoluto en [a, b]. Procedimiento para determinar los

extremos absolutos de una funcin en el intervalo cerrado [a, b]:

1. Se obtienen los nmeros crticos de la funcin en (a, b), y se calculan los valores

correspondientes de f para dichos nmeros.

2. Se hallan f (a) y f (b)

3. El mayor de los valores encontrados en los pasos 1 y 2 es el valor mximo absoluto, y el

menor es el valor mnimo absoluto.

METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

Para conocer las coordenadas de los puntos crticos mximos y mnimos relativos

en una funcin, analizaremos dos mecanismos:

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA (para extremos relativos)

Sea f una funcin continua en a,b y el punto crtico c a,b y su primera

derivada est definida para todos los puntos , excepto posiblemente en c,

entonces:

1. Si,0

0

f ( x ) , x a,c

f ( x ) , x c,b

entonces f(c) es un mximo relativo de f.

2. Si, 0

0

f ( x ) , x a,c

f ( x ) , x c,b

entonces f(c) es un mnimo relativo de f.

3. Si 0

0

f ( x ) , x a,c

f ( x ) , x c,b

0

0

f ( x ) , x a,c

f ( x ) , x c,b

Entonces no es ni mximo ni mnimo relativo.

Procedimiento para hallar los valores mximo y mnimos de una Funcin:

1. obtener la primera derivada.

2. igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuacin.

El valor o valores obtenidos para la variable, son los puntos crticos donde

pudiera haber mximos o mnimos en la funcin.

3. se asignan valores prximos (menores y mayores respectivamente) a la

variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los

resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un

punto mximo; si pasa de negativo a positivo el punto crtico es mnimo.

Cuando existen dos o ms resultados para la variable independiente, debe

tener la precaucin de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez

distante de los dems, a fin de evitar errores al interpretar los resultados.

4. sustituir en la funcin original (Y) el o los valores de la variable

independiente (x) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las

parejas de datos as obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto

crtico.

5. La primera derivada no slo es til en el trazado de curvas para determinar

los extremos relativos, sino, tambin, para determinar los intervalos donde

crece y decrece la curva.

Ejemplos:

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Supongamos que existe f en algn intervalo abierto que contiene a c a,b

yf (c) = 0, entonces:

1. 0f ( c ) f ( c ) es un minimo relativo

2. 0f ( c ) f ( c ) es un ma ximo relativo

Este procedimiento consiste en:

1. calcular la primera y segunda derivadas

2. igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuacin.

3. sustituir las races (el valor o valores de x) de la primera derivada en la

segunda derivada.

Si el resultado es positivo, hay mnimo. Si la segunda derivada resulta

negativa, hay un mximo.

Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un mximo o

mnimo.

4. sustituir los valores de las races de la primera derivada en la funcin

original, para conocer las coordenadas de los puntos mximo y mnimo.

Este mtodo es ms utilizado que el anterior, aunque no siempre es ms sencillo.

Se basa en que en un mximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo

y en consecuencia, su derivada ser negativa; mientras que en un punto mnimo

relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.

APLICACIN DE MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS EN LA SOLUCION DE

PROBLEMAS

Existen muchos campos del conocimiento (aritmtica, geometra, economa, fsica,

biologa, industria, etc.) donde se presentan problemas que se resuelven aplicando

los conceptos de mximos y mnimos del clculo diferencial.

Para resolver los problemas a partir de los datos existentes, es importante en

primer lugar, encontrar la expresin matemtica de la funcin que represente el

problema y cuyos valores mximos o mnimos se desean obtener.

Si la expresin matemtica contiene varias variables, deber plantearse en funcin

de una sola; las condiciones del problema deben aportar suficientes relaciones

entre las variables, para poderse expresar a todas ellas en funcin de una sola

variable independiente.

Una vez que se tenga la funcin en la forma Y=f(x), se aplican las normas ya

estudiadas.

En muchos problemas prcticos resulta muy sencillo identificar cuales valores

crticos dan mximos o mnimos; y en consecuencia, ya no ser necesario aplicar

el procedimiento completo.

Es conveniente construir la grafica que represente la funcin en cuestin, a fin de

verificar los resultados obtenidos.

Ejemplos

1. Encontrar dos nmeros positivos cuya suma sea 144 y su producto sea mximo.

Solucin

Sean P y Q los nmeros buscados,

Siendo la funcin Y = PQ

como esta funcin depende de dos variables, ponemos una de ellas en funcin

de la otra:

Como P +Q = 144, entonces P = 144 Q entonces:

Y = (144 Q)Q = 144 Q Q2

Obtenemos el mximo de la funcin:

Y = 144 2Q, entonces 144 2Q = 0

Q = 72

Y = - 2 por ser negativa la segunda derivada, hay un mximo en Q = 72

Sustituyendo Q = 72 en la funcin Y = 144 Q - Q2

Y = 144 (72) (72) 2 = 5184

P = 144 Q = 144 72 = 72

Los nmeros buscados son P = 72 y Q = 72 y su producto PQ = Y = 5184

2. Con una malla de 380 m. se desea cercar un terreno rectangular.

Cules deben ser las medidas del terreno para que su rea sea mxima?

Solucin

Suponiendo A = rea del terreno, b = longitud y h = ancho

Sea la funcin: A = b h...(1)

Permetro de rectngulo = 2b +2h = 380b = 190 - h

Siendo una funcin de dos variables, ponemos una en funcin de la otra:

la funcin con una variable es: A = (190 - h) h = 190 h - h2

Calculando el mximo de la funcin:

A = 190 - 2 h, A = 0

h = 95

A = - 2 al ser negativa la segunda derivada, hay un mximo en h = 95

El rea A = 190 h - h 2 = 190 (95) - (952) = 9025

b = 190 h = 95

Por lo tanto, el terreno es un cuadrado que mide 95 m por lado y su rea es de

9025 m2

3. Se lanza una pelota hacia arriba, desde una altura de 60 m. a una velocidad

inicial de 34.3 m/seg. Considerando la gravedad = 9.81 m/seg2. calcular:

La altura mxima que alcanza la pelota respecto al piso.

El tiempo que tarda subiendo, bajando y durante todo el recorrido.

La velocidad al chocar con el piso.

La altura y velocidad por cada segundo que transcurre, hasta caer al

piso.

Solucin

La ecuacin que representa el movimiento de la pelota es:

e = 60 +34.3 t - g t2 = 60 + 34.3 t 4.9 t2

Obtenemos el mximos de la funcin e = 60 + 34.3 t 4.9 t2

e = 34.3 9.8 t = V la velocidad es la derivada del espacio respecto al tiempo.

34.3 9.8 t = 0 En la parte mas alta, V = 0

t = 3.5

e = - 9.8 la segunda derivada del espacio respecto al tiempo es la derivada de la

velocidad y es tambin la aceleracin.

Al ser negativa la segunda derivada, hay un mximo en t = 3.5

Esto significa que la pelota tarda 3.5 segundos en llegar a la parte mas alta, que

es:

e = 60 + 34.3 (3.5) 4.9 (3.5)2 = 120.025

La altura mxima de la pelota con respecto al piso es de 120.025 m.

Para calcular el tiempo que tarda bajando, consideramos la ecuacin a partir del

punto mas alto

e = 120.025 = 4.9 t 2 de donde sustituimos t:

t = 120.025 = 4.95 seg.

4.9

Todo el trayecto se recorre en 3.5 seg. + 4.95 seg. = 8.45 seg.

La velocidad al caer al piso se puede obtener:

A partir del momento que se lanza:

e = V = 34.3 9.8 t = 34.3 9.8 (8.45) = - 48.5 m/seg.

El signo negativo seala que la pelota va hacia abajo.

A partir del punto ms alto:

e = 4.9 t2

e = V = 9.8 t = 9.8 (4.95) = 48.5 m/seg.

Concavidad y Puntos de Inflexin

Consideremos la funcin f cuya grfica aparece en la fig. Note en primer lugar que

la curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos.

Se observa que en los puntos "cercanos" a x1, pero diferentes de x1, la curva se

encuentra por "debajo" de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es

cncava hacia abajo en el punto x1.

Igualmente se observa que en los puntos "cercanos" a x2, pero diferentes de x2, la

curva se encuentra por "encima" de la recta tangente. Se dice en este caso que la

curva es cncava hacia arriba en el punto x2.

El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad "cambia" se conoce con el

nombre de punto de inflexin de la curva.

Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones:

Definicin.- La grfica de una funcin diferenciable y= f(x) es cncava hacia arriba

enel intervalo (a,b) cuando la primera derivada es una funcin creciente de x en x=

c

Observacin

1. Cuando una curva es cncava hacia arriba, se puede observar que la

primera derivada de la funcin o la pendiente de la tangente a la curva

aumenta de izquierda a derecha.

2. Una curva es cncava hacia arriba si y' es una funcin creciente en el

intervalo (a,b) por lo tanto la segunda derivada es positiva.

3. Se usar el smbolo: , para denotar que una curva es cncava hacia

arriba o cncava positiva.

Definicin.- La grfica de una funcin diferenciable y = f(x) es cncava hacia

abajo en el intervalo (a,b) cuando la primera derivada es una funcin

decreciente de x en x = c.

Observacin

1. Cuando una curva es cncava hacia abajo, las tangentes a la curva estn

por arriba de ellas y la derivada decrece y, por lo tanto, la segunda derivada

es negativa.

2. Una curva es cncava hacia abajo si y' es una funcin decreciente en el

intervalo (a,b) por lo tanto la segunda derivada es negativa.

3. Se emplea el smbolo , para denotar que una curva es cncava hacia

abajo o cncava negativa.

Proposicin.- f es cncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada

punto de I.

El siguiente teorema, que se enuncia establece una condicin suficiente para

determinar la concavidad de una curva en un intervalo.

TEOREMA 7 (CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA CONCAVIDAD)

Sea f una funcin dos veces derivable en todos los puntos de un intervalo abierto I.

Entonces:

i. Si para todo x I, entonces, f es cncava hacia arriba en I.

ii. Si para todo x I, entonces, f es cncava hacia abajo en I.

Punto de Inflexin

As como los puntos mximos y mnimos de una curva se caracterizan por ser

puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los

llamados puntos de inflexin de una curva (cuando existen), se caracterizan por

determinar un cambio en la concavidad de la curva esto es que la funcin cambia

de cncava hacia arriba a cncava hacia abajo viceversa.

Definicin.- P(c, f(c)) es punto de inflexin de la funcin f si f(c) existe, entonces

f (c) = 0.

Ejemplo

1. Hallar los puntos de inflexin en la funcin f(x) = 2x2 +1

Solucin

- Para hallar mximos y mnimos (puntos crticos), hacemos:

1) y' = 4x, y' = 0 ------ > x = 0

2) Para saber si los puntos encontrados son mximos o mnimos, se reemplaza

en la segunda derivada. Derivemos otra vez:

y'' = 4

y'' (0) = 4 > 0

Por lo tanto el punto x = 0 es un mnimo.

3) Para encontrar puntos de inflexin: y = 0

y'' = 4 ---> 4 = 0 es una contradiccin. No existen puntos de inflexin.

2. f(x) = 2x - 5x + 4

Solucin

Para saber qu "x=a" es un punto critico, f '(a) = 0

f '(x) = 4x - 5

f '(a) = 4a - 5 = 0 =======> a = 5/4

f(a) = 2(a) - 5(a) + 4

f(5/4) = 50/16 - 25/4 + 4 = (50-100+64)/16 = 14/16 = 7/8

El punto critico es: (5/4 ; 7/8)

Para saber si es mximo o mnimo, derivamos por segunda vez y se evala en el

punto x=a:

f ''(x) = 4

f ''(a) = 4 . . . . Como es +4, entonces x = 5/4 es un MINIMO.

Hallamos la imagen:

Rpta: El punto (5/4;7/8) es un MINIMO.

3.f(x) = senx

Solucin

Para saber qu "x=a" es un punto crtico, debemos asegurar que:

f '(a) = 0, entonces:

f '(x) = cosx

f '(a) = cos(a) = 0 =======> a = {90 + 180n / n e Z}

: a = {90 ; 270 ; 450 ; ...}

Hallamos la imagen:

f(a) = sen(a)

1) Sin n es PAR:

f(90+180n) = sen(90+360n) = sen(90) = 1

2) Sin n es IMPAR:

f(90+180n) = sen(90+180(2n-1)) = sen(270) = -1

Los puntos criticos son:

a1 = (90+180(2n-1) ; -1)

a2 = (90+180(2n) ; 1)

Para saber si es mximo o minimo, debemos derivar por segunda vez y

evaluarlo en los puntos x=a1,a2:

f ''(x) = -senx

f ''(a1) = 1 . . . . Como es +1, entonces x = a1 es un MINIMO.

f ''(x) = -senx

f ''(a2) = -1 . . . . Como es -1, entonces x = a2 es un MXIMO

Nota.- La familia de puntos:

a1 = (90+180(2n-1) ; -1) son MINIMOS RELATIVOS

a2 = (90+180(2n) ; 1) son MXIMOS RELATIVOS

Trazado de Curvas

Para el trazado de las curvas se siguen los siguientes pasos:

1 Hallar f(x) y f(x)

2 Hallar los puntos crticos y posibles puntos de inflexin.

3 Interceptos con los ejes coordenados.

4 Anlisis en el siguiente cuadro.

Intervalos f(x) f(x) f(x) Conclusin para f(x) (creciente o

decreciente,P de Inflex., concavidad)

Ejemplo

Trazar la curva correspondiente a la funcin:

Solucin

a) Hallando los puntos crticos: f(x) = 0 ===>

b) Hallar los intervalos de concavidad y posibles puntos de inflexin

Para ello se analiza el signo de la segunda derivada f (x).

El signo de f (x) solo depende del signo del factor (x + 1), puesto que 24 y son siempre positivos. El signo de f (x) indica:

f(x) es cncava hacia abajo en

f(x) es cncava hacia arriba en .

El punto corresponde a un punto de inflexin, es decir en la

curva cambia de concavidad.

Se traza la curva con todos los elementos obtenidos

Observacin

En resumen, la primera derivada representa la pendiente o el crecimiento de una

funcin, entonces si la encuentras puedes saber cundo la funcin crece, decrece

o es un punto crtico. Por otro lado, la segunda derivada te habla sobre la

concavidad de la funcin, es por eso que al buscar el punto de inflexin tomas la

segunda derivada y la igualas a 0, buscas el punto en que se cambia de

concavidad.

REGLA DE LHOPITAL

Definicin.- Dadas f y g funciones diferenciables en un intervalo I, excepto posiblemente en a I.

Supongamos x a en I 0g x , entonces si el 0 0x a x alm f x lmg x

y si

entonces. x a

f xlm L

g x

se concluye que x a

f xlm L

g x

La regla de L`Hopital se aplica directamente en las indeterminaciones de la forma 0

0

.

Nota:

El resto de indeterminaciones 0 1 0 0 0 las trasformamos en 0 / 0 o en / y las resolvemos tambin por LHpital.

Sabemos que f y g son diferenciables en a, por lo tanto, utilizando la definicin de derivada:

x a

x a

x a

f x f almf x f xx alm

g x g ag x g xlm

x a

Ejemplos:

1) Determinar el 2

x

x

elm

x x forma indeterminada

Solucin:

Nota: la regla de LHpital permite que el resultado final sea un lmite infinito.

2) Determine el x

ln xlm

x

3) Determinar 0

1 1

xlm

x senx

forma 0/0

(todava 0/0)

4) Evaluar el lmite, si existe

Solucin:

y

aplicacin de la regla de LHpital

ya que =

y

5) Determinar el lmite, si existe

Ejercicios

Indeterminacin /

Indeterminacin

Indeterminacin 0

Indeterminaciones de tipo exponencial 1 0 0 0

Para resolver estas indeterminaciones tomamos logaritmos neperianos.

El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base ln ab = b ln a

Conseguimos bajar el exponente y resolver el lmite

Indeterminacin 1

Indeterminacin 0 0

Indeterminacin 0

Ejemplos

Si comparamos infinitos observamos que el numerador es un infinito de orden infer ior al

denominador, por tanto el lmite es 0.

Indeterminacin infinito menos infinito

En la indeterminacin infinito menos infinito, s i son fracciones, se ponen a comn

denominador.

Indeterminacin cero por infinito

La indeterminacin cero por infinito, se transforma del siguiente modo:

Indeterminaciones

En las sin determinaciones cero elevado cero, inf inito elevado a cero y uno elevado a infinito;

se realiza en pr imer lugar las siguientes operaciones:

Ejemplos

Ejercicios

Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro tenemos:

Ejercicios de la regla de L'Hpital

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

LA DERIVADA COMO RAZN DE CAMBIO

Los fenmenos que ocurren en la naturaleza estn relacionados entre si; por ejemplo la

aceleracin con que se desplaza un mvil depende de la magnitud de la fuerza que se le

aplica; la distancia que recorre dicho mvil depende del tiempo.

Lo que generalmente interesa es la rapidez con que cambia el valor de la variable

dependiente de una funcin cuando el valor de la variable independientemente cambia. En

concreto lo que nos interesa es el cambio instantneo.

La variable de una razn es precisamente la razn de cambio instantnea de una funcin o

simplemente su razn de cambio.

ejemplo:

La poblacin de cierta ciudad, en miles de habitantes dentro de t aos, se calcula por la

expresin:8P (t)= 40- ------t+2

calcula la rapidez con la que estar creciendo la poblacin durante 2 aos

SOLUCION:

La rapidez con la que crece la poblacin en t aos es la razn de cambio instantneo de

P(t) con respecto a t; por consiguiente, debemos calcular primero P(t) y luego debemos

evaluarla t=2

8

P(t)=40- ----- miles

t+2

rescribamos la funcin anterior de manera que P(t) se pueda derivar mediante la regla de

la cadena

-1

P(t)=40-8(t+2)

-2

P(t)= 8 (t+2)

8

P(t)=----------

2

(t+2)

Por lo tanto la rapidez con que crece la poblacin dentro de 2 aos es P(2)

8

P(2)= -----

2

(2+2)

8

P(2)=-----= .5 miles por ao

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Dentro de 2 aos. lapoblacin de esta ciudad crecer a razn de 500 habitantes por ao.

4. se tiene una lmina circular que tiene de radio 70 cm. De la que se desea

cortar un rectngulo de la mayor rea posible.

Qu medidas debe tener el rectngulo?

Cul debe ser el rea mxima?

En qu formas se debe recortar los rectngulos en el crculo?

representamos la longitud del rectngulo con L y el ancho con A.

siendo el dimetro D = 2 r = 140 cm. Puesto que el dimetro del

crculo es la recta transversal del rectngulo, que lo divide en

dos tringulos rectngulos:

Por el teorema de Pitgoras: L2 + A2 = D2 (140 cm.)2

L 2 + A2 = 19600

A =19600 - L2

El rea del rectngulo ser Y = L A = L 19600 - L2 obteniendo el mximo

de la funcin:

Y = L 19600 - L2

L2

Y = 19600 - L2 - 19600 - L2 se iguala la derivada a

cero

L2

19600 - L2 - 19600 - L2 = 0 despejando L en la

derivada

L = 9800 Al sustituir en la funcin:

Y = L 19600 - L 2 = 9800 19600 9800 =

9800

Para encontrar la anchura del cuadrado

A = 19600 - L = 19600 - 9800 = 9800

El rectngulo solucin, resulto el cuadrado que mide por lado 9800 99

cm. Correspondindole un rea de 9800 cm2

5. a las 3:00 PM la persona A se encuentra a 150 Km. Al oriente de la

persona B.

La persona A se dirige al poniente a razn de 10 Km./h y la persona B

hacia el sur a 20 Km./h. Si ambos mantienen sus rumbos y velocidades

Cundo estarn mas prximos entre si?

Cul es la distancia mnima a la que se acercaran?

Consideremos A o y B o las

posiciones de las personas a

las 3:00 PM y A 1 y B1 sus

posiciones X horas despus.

La distancia recorrida en X

horas es 10X y 20X

respectivamente.

La distancia entre las dos

personas (Y) se puede

representar en la ecuacin:

Y2 = (20X) 2 + (150 10X) 2 de donde:

Y = (20X) 2 + (150 -10X) 2 = 500X 2 - 3000X +22500

Calculando el mnimo de la funcin Y = 500X2 3000X + 22500

500X - 1500

Y = 500X2 3000X + 22500

500X - 1500

= 0 despejando X:

500X - 3000X + 22500

X = 3

Para X = 3 existe un mnimo en la funcin, por lo tanto despus de tres

horas se encuentran mas prximos entre si, es decir, a las 6:00 PM

La distancia que las separa en ese memento es:

Y= 500X2 3000X + 22500 = 500(3) 2 - 3000(3) + 22500 = 134.

164 Km.

OBV

Como f (x) = x4, f (x) = 4x3, f (x) =12 x2

Para c = 0, se tiene: sin embargo el punto P (0, f (0)) = P(0, 0)

no corresponde a un punto de inflexin, puesto que para valores de x anteriores y

posteriores a x = 0, y no cambia la concavidad de la curva.

La escena muestra la funcin y=2x/(x2+1) y su derivada y=f'(x)

Cambia el valor de x y observars que se dibuja otra grfica, corresponde

a f''(x)

Calcula la derivada:f'(x)

Resuelve la ecuacin: f'(x)=0

Comprueba que las soluciones son: x=1, x=-1

Qu signo presentan f''(1) y f''(-1)?

x=-1, f'(x)0, f''(x)>0 mnimo en (-1,1)

x=1, f'(x)0, f''(x)

La imagen por una funcin continua de un conjunto compacto es un conjunto

compacto, y por lo tanto el intervalo imagen es cerrado y de longitud finita:

es de la forma [m, M], con m el valor mnimo de f y M su valor mximo.

Si m = M , la funcin es constante, y cualquier punto c de (a, b) conviene.

Descartado este caso, m M significa que uno de los dos no es igual a f(a) =

f(b). Supongamos que sea M. Entonces M > f(a) = f(b), y por lo tanto el

mximo M est alcanzado en el interior del intervalo (corresponde al primer

ejemplo).

Sea c en (a, b) tal que f(c) = M. Por definicin del mximo, M = f(c) f(x)

para todo x de [a, b]. Entoces el cociente (f(c) - f(x)) / (c - x) es no negativo

cuando x < c (porque su numerador es siempre no negativo y su

denominador es positivo no nulo), y es no positivo cuando x > c (el

denominador se vuelve negativo no nulo). Pero f '(c) es por definicin el

lmite de este cociente cuando x tiende hacia c. El lmite por la izquierda, f

'(c-)positivo, tiene que ser igual al lmite por la derecha, f '(c+). Por lo tanto

este lmite comn es nulo, o sea f '(c) = 0.

La prueba es muy parecida si es el mnimo que est alcanzado en (a, b).

Otra forma

De manera similar se puede considerar la siguiente prueba. Se sabe que existen

tres posibilidades: o bien la funcin que consideramos es la continua, o bien la

funcin tiene algn punto x en donde el valor de la funcin es mayor que los

extremos, o bien la funcin toma algn valor menor a la funcin en los extremos.

Para el primer caso es trivial que en la funcin tiene derivada

nula.

Para el segundo caso se puede probar lo siguiente:

Consideramos A como el conjunto imagen de f. Sabemos que, como A es un

conjunto acotado por ser el conjunto imagen un cerrado por lo demostrado en la

prueba anterior, haciendo uso del axioma de completitud, tenemos que existe el

mximo de este conjunto. Como el mximo existe, y es finito, la funcin alcanza

este valor en un punto x0. Por ser la funcin derivable en (a,b), la funcin es

derivable tambin en x0.

Aproximamos entonces a la funcin en un entorno del punto x0 considerando la

derivada de f, f'(x). Entonces tenemos que si la derivada es positiva, entonces hay

un entorno a la derecha de x0 en donde los valores de f(x) son mayores a f(x0), lo

cual es absurdo por ser f(x0) = M el mximo del conjunto imagen.

De manera anloga, si la derivada fuera negativa tendramos un entorno a la

izquierda de x0 en donde los valores de f(x) son mayores a f(x0), lo cual es absurdo

por ser f(x0) = M el mximo del conjunto imagen.

La nica posibilidad que resta es que la derivada sea nula, lo cual demuestra el

teorema de Rolle.

Basta tomar g(x) = -f(x) y repetir la prueba para verificar que la prueba se verifica

cuando la funcin toma algn valor por debajo de los valores funcionales de los

extremos.

EJEMPLO

Demuestra que la ecuacin 4x3 - x2 + 4x - 1 = 0 no puede tener dos races reales y

calcula la raz real en [0,1]. Debes usar el Teorema de Bolzano y el Teorema de

Rolle.

Consideremos f(x) = 4x3 - x2 + 4x - 1 funcin continua y derivable en R por ser

polinmica.

Supongamos que existen a , b cR tales que f(a) = f(b) = 0, y pongamos que a < b.

f:[0,1] >R cumple las hiptesis del teorema de Rolle, por tanto existe x0 c (a,b) tal

que f(x0) = 0.

Intentemos localizarlo. Es

Luego si es f(x0) = 0, llegamos a un absurdo, por tanto no existen tales a y b

races.

Por otro lado, f:[0,1] >R es continua, adems f(0) = -1 < 0 y f(1) = 6 > 0;

aplicando el teorema de Bolzano,

Observamos que ; aplicando Bolzano a ,

existe

Tomamos

Al fin:

Estud iar s i se ver if ica e l teorema de Rolle en e l in terva lo [0 , 3 ]

de la func in:

En pr imer lugar comprobamos que la func in es cont inua

en x = 1.

En segundo lugar comprobamos s i la func in es der ivab le en x = 1.

Como las der ivadas la te ra les no co inc iden, la func in no es der ivable

en e l i nte rvalo (0, 3) y por tanto no se cumple e l teorema de Ro l le.

2.Es ap l i cab le e l teorema de Rol le a la funcin f(x) = ln (5 x 2) en

e l in te rva lo [2, 2]?

En pr imer lugar ca l culamos e l domin io de l a func in.

La func in es cont inua en e l i n te rva lo [2, 2] y der ivable en (2, 2) ,

porque los in te rva los estn conten idos en .

Adems se cumple que f(2) = f(2) , por tanto es ap l i cab le e l teorema

de Ro l l e.

3.Comprobar que l a ecuac in x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una n i ca

so luc in rea l .

La func in f (x) = x 7 + 3x + 3 es cont inua y der ivable en

Teorema de Bo lzano .

f (1) = 1

f (0) = 3

Por tanto l a ecuac in t i ene a l m enos una so luc in en e l i nte rvalo (1,

0) .

Teorema de Rol le .

f ' ( x) = 7x6 + 3

Como la derivada no se anu la en ningn va lor est en cont rad i cc in

con e l teorema de Rol le , por tanto s lo t iene una ra z rea l .

4.Se puede apl i ca r e l teorema de Lagrange a f(x) = x3 en [1, 2]?

f ( x) es cont inua en [1, 2] y der ivab le en (1, 2) por tanto se puede

ap l i car e l teorema del va lor medio :

5.Comprobar si se cumplen l as hiptes i s del teorema de Cauchy

para l as funciones f (x) = x 3 y g(x) = x + 3 en e l i n te rva l o [0, 2].

Las func iones f (x) y g(x) son cont inuas en e l i nte rva lo [0, 2] y

der ivables en (0, 2), por se r func iones pol inmicas.

Y adems g(0) g(2) .

Como g' (0) = 0 no se puede ap l i ca r e l teorema de Cauchy .

Aplicaciones: clculo de mximos y

mnimos