Aplicaciones de la derivada

Aplicaciones de la derivada Prof. Benigna Fernández de Guardia

1

MÓDULO N°3 APLICACIONES DE LA DERIVADA

En el módulo 2 se ha estudiado que la derivada se utiliza para calcular pendientes. También

sirve para determinar la razón de cambio de una variable respecto a otra, lo que le confiere

utilidad en muchos campos de la vida diaria tales como: la economía, las finanzas, la

administración y el campo de la ingeniería, entre otras. Algunos ejemplos específicos son:

las tasas de crecimiento de poblaciones, las tasas de producción, las tasas de flujo de un

líquido, la velocidad y la aceleración, y en el trazo de la gráfica de una función.

APLICACIONES EN EL ANÁLISIS Y TRAZO DE GRÁFICA DE FUNCIONES

Otra de las aplicaciones importantes de las derivadas es en el análisis y trazo de la gráfica

de una función. Esto implica conocer algunos conceptos y elementos importantes tales

como:

Extremos de una función

Se denominan valores extremos o simplemente extremos de la función a los mínimos y

máximos de una función en un intervalo.

Sea f definida sobre un intervalo I que contiene a c.

1. )(cf es el máximo de f en I si )()( xfcf para toda x en I

2. )(cf es el mínimo de f en I si )()( xfcf para toda x en I

El mínimo y el máximo de una función en un intervalo también reciben el nombre de mínimo

absoluto y máximo absoluto en el intervalo.

Teorema del valor extremo:

Si f es continua en ba, entonces f tiene tanto un máximo como un mínimo en ba,

Este teorema establece que la continuidad de una función en un intervalo cerrado es una

condición suficiente para garantizar que la función tiene un máximo y un mínimo en el

intervalo. Sin embargo, no es una condición necesaria.


2

Extremos relativos

1. Si hay un intervalo abierto que contiene a c en el cual )(cf es un máximo, entonces

)(cf recibe el nombre de máximo relativo de f , o se podría afirmar que f tiene un

máximo relativo (o máximo local) en )(, cfc .

2. Si hay un intervalo abierto que contiene a c en el cual )(cf es un mínimo, entonces

)(cf recibe el nombre de mínimo relativo de f , o se podría afirmar que f tiene un

mínimo relativo (o mínimo local) en )(, cfc .

En la gráfica de la derecha se muestra una función en donde el mínimo absoluto ocurre en a, el máximo absoluto ocurre en b. En e la función tiene un máximo relativo, y en d un mínimo relativo.

Número crítico o Punto crítico

Sea f definida en c . Si 0)( cf o si f no es derivable en c (o sea que )(cf

no existe), entonces c es un punto crítico de f .

Los extremos relativos ocurren sólo en puntos críticos

Si f tiene un mínimo relativo o un máximo relativo en cx , entonces c es un punto

crítico de f .

El recíproco de este teorema no es válido, es decir los números críticos de una función no

necesitan producir extremos relativos.

Determinación de extremos en un intervalo cerrado

Dado que los extremos de una función sólo pueden ocurrir en los puntos críticos,

para determinarlos se calculan los valores de x para los cuales 0 (x) f o

(x) f no existe. También se evalúa la función en los extremos del intervalo.


3

El siguiente teorema se atribuye al matemático francés Michel Rolle (1652-1719). Este

teorema proporciona las condiciones que garantizan la existencia de un valor extremo en el

interior de un intervalo cerrado.

Teorema de Rolle

Sea f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b).

Si f (a) = f (b) entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que f '(c) = 0

El recíproco de este teorema no es válido

Interpretación geométrica del Teorema de Rolle

Se cumplen las condiciones que requiere el

Teorema: f es continua en [a, b] y derivable

en (a, b), y f (a) = f (b) = 0. También se

puede observar el punto (cuya abscisa es c)

donde la recta tangente a la gráfica de f tiene

m=0 es decir que se cumple que f '(c) = 0.

Teorema del Valor medio:

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b),

entonces existe un número c en (a, b) tal que ab

afbfcf

)()()(

Una forma alternativa útil del Teorema del Valor Medio es que Si f es continua en el

intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un número

c en (a, b) tal que )()()()( cfabafbf

El teorema del valor medio es una generalización del Teorema de Rolle, y se dice que el

teorema del Valor medio es un teorema de existencia, pues la existencia del número c es

garantizado por el teorema.

El término “medio” se refiere al ritmo de cambio medio (o promedio) de f en el intervalo

[a, b].


4

Interpretación geométrica del Teorema del Valor Medio

El teorema afirma que si la función es

continua en [a,b] y diferenciable en (a,b),

existe un punto C en la curva, entre A y B,

donde la recta tangente es paralela a la

recta que pasa por A y B. Esto es, existe

un número c (a, b) tal que

ab

afbfcf

)()()(

Funciones crecientes

Una función f que está definida en un intervalo es creciente en dicho intervalo si y solo si

)()( 21 xfxf siempre que 21 xx , donde 21 , xx son dos números cualesquiera

del intervalo.

Esto es, una función es creciente en un intervalo, si a medida que la abscisa “x” aumenta,

la ordenada “y” también aumenta.

Funciones decrecientes

Una función f que está definida en un intervalo es decreciente en dicho intervalo si y solo si

)()( 21 xfxf siempre que 21 xx , donde 21 , xx son dos números cualesquiera

del intervalo.

Esto es, una función es decreciente en un intervalo, si a medida que la abscisa “x” aumenta,

la ordenada “y” disminuye.

En la gráfica de la derecha se observa que

f es creciente en los intervalos 21, xx

y 43 , xx ; y es decreciente en el

intervalo 32 , xx


5

Una función que siempre es creciente o decreciente en un intervalo, se dice que es

monótona en ese intervalo.

Es importante localizar los intervalos en los que una función es creciente o decreciente, pues

ayuda en la descripción y trazo de su gráfica.

Teorema para identificar intervalos crecientes y decrecientes.

Sea f una función continua en ba, y diferenciable en ) , ( ba :

(i) Si 0 )( xf , para toda x en ) , ( ba , entonces f es creciente en ba,

(ii) Si 0 (x) f , para toda x en ) , ( ba , entonces f es decreciente en ba,

(iii) Si 0 (x) f , para toda x en ) , ( ba , entonces f es constante en ba,

Criterio de la primera derivada

Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que

contiene a c . Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c , entonces

)(cf puede clasificarse como sigue.

(i) Si (x) f cambia de negativa a positiva en c , entonces f tiene un mínimo relativo en

)( , cfc .

(ii) Si (x) f cambia de positiva a negativa en c , entonces f tiene un máximo relativo en

)( , cfc .

(iii) Si (x) f es positiva en ambos lados de c , o negativa en ambos lados de c , entonces

)(cf no es ni un mínimo relativo ni un máximo relativo.


6

La localización de los intervalos en donde la gráfica de f se curva hacia arriba o se curva

hacia abajo ayuda a describir la concavidad.

Concavidad hacia arriba

Sea f derivable en un número c , se dice que la gráfica

de f es cóncava hacia arriba en el punto ))(,( cfcP si

existe un intervalo abierto ),( ba que contenga a c , tal

que en ),( ba la gráfica de f está arriba de la recta

tangente en P.

Concavidad hacia abajo

Sea f derivable en un número c , se dice que la

gráfica de f es cóncava hacia abajo en el punto

))(,( cfcP si existe un intervalo abierto ),( ba que

contenga a c , tal que en ),( ba la gráfica de f está

debajo de la recta tangente en P.

Teorema: Criterio de concavidad

Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I entonces:

(i) Si 0 (c) f , para todo x en I , entonces la gráfica de f es cóncava hacia

arriba en I

(ii) Si 0 (c) f , para todo x en I , entonces la gráfica de f es cóncava

hacia abajo en I


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Punto de inflexión

Los puntos de inflexión son aquellos en donde

la gráfica cambia de cóncava hacia arriba a

cóncava hacia abajo y viceversa. En la gráfica P

es un punto de inflexión

Determinación de puntos de inflexión

Los posibles puntos de inflexión se pueden determinar calculando los valores de x

para los cuales 0 (x) f o (x) f no existe.

La segunda derivada, además de utilizarse en la concavidad y puntos de inflexión, se puede

utilizar para determinar extremos relativos.

Criterio de la segunda derivada para extremos relativos

Sea f una función tal que 0 (c) f y f existe en un intervalo abierto que

contiene a c :

(i) Si 0 (c) f , entonces f tiene un valor máximo relativo en )(, cfc

(ii) Si 0 (c) f , entonces f tiene un valor mínimo relativo en )(, cfc

Si 0 (c) f , entonces el criterio falla. Esto es, f quizá tenga un máximo

relativo, un mínimo relativo, o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el

criterio de la primera derivada.

TRAZO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Para trazar la gráfica de una función se hace necesario utilizar conocimientos estudiados en

el Módulo 1 y en el Módulo 2, así como los conceptos de las páginas anteriores de este

documento. Esta serie de conocimientos permite trazar con detalle la gráfica de una amplia

gama de funciones. Resulta conveniente atender el siguiente procedimiento:


8

1) Determine el dominio de f

2) Determine las intersecciones con los ejes x e y

3) Determine asíntotas horizontales, verticales u oblicuas, si hay.

4) Calcule )(x f y x f )(

5) Determine los números críticos para los extremos relativos y los posibles puntos de

inflexión. Esto es, los valores de x para los cuales )(x f y x f )( son cero o no

existen. Con los datos obtenidos determine los intervalos de prueba. Estos intervalos

ayudan a describir dos características de la gráfica: los intervalos crecientes y

decrecientes, y la concavidad.

6) Incorpore la información obtenida en una tabla que le guiará para trazar la gráfica de la

función.

Observación: Importante resolver adecuadamente las ecuaciones:

0)( xf ; 0)( x f y x f 0)(

Ejemplo 1

Trace la gráfica de la función x

xxf

1)(

2

Se seguirá los pasos recomendados:

1) El dominio de la función es 0 , x

2) Intersecciones con los ejes

Intersección con el eje y . Se hace 0x . Observe que para esta función no hay

intersección con el eje y puesto que 0 x

Intersección con el eje x . Se hace 0y .

x

xxf

1)(

2 0

12

x

x de donde 01 2 x y al resolver esta expresión resulta

solución imaginaria, por tanto no hay intersección con el eje x


9

3) Asíntotas

Asíntota vertical

0

limx x

x 12 =

0

limx x

x 12 =

Asíntota horizontal

limx x

x 12 =

lim

x x

x 12 =

Asíntota oblicua Si tiene porque es una función racional cuyo grado del numerador es uno más que el

grado del denominador. Se hace la división algebraica x

xx

x 1

12

luego la

Asíntota oblicua es xy

4) Calcule )(x f y x f )(

12

1

)(

xxx

xxf

5) Números críticos (extremos), posibles puntos de inflexión e intervalos. Primera derivada

01)( 2 xxf 01 2 x 12 x 12 x

2

2 111)(

xxxf NE si

Segunda derivada

02)( 3 xxf 02 No tiene sentido

3

3 22)(

xxxf NE si

Asíntota vertical es 0x

Asíntota horizontal no hay

21)( xxf 32)( xxf

1x

0x

0x


10

De aquí resultan los números 1x ; 0x ; 1x y en consecuencia cuatro intervalos

prueba: )1 , ( ; )0 , 1 ( ; )1 , 0 ( ; ) , 1 (

6) Tabla guía para trazar la gráfica de la función.

Intervalos Nº

prueba x

xxf

1)(

2

2

22 1

1)( x

xxxf

3

2)(

xxf Conclusión

)1 , ( 2 Crece.

Cóncava hacia abajo

1x 2y 0 Punto Máximo (-1, -2)

)0 , 1 ( 5.0 Decrece.


0x ND ND ND Asíntota Vertical

(en este caso justo el eje y)

)1 , 0 ( 5.0 Decrece.

Cóncava hacia arriba

1x 2y 0 Punto Mínimo (1, 2)

) , 1 ( 2 Crece.


Gráfica de x

xxf

1)(

2

No hay intersecciones con los ejes. A. vertical 0x A. oblicua xy


11

Ejemplo 2

Trace la gráfica de la función 196)( 23 xxxxf

El dominio de la función es .

La intersección con el eje y . Se hace 0x .

196)( 23 xxxxf

11)0(9)0(6)0( 23 y

No hay asíntotas

Calcule )(x f y x f )(

196)( 23 xxxxf

9123)( 2 xxxf

126)( xxf

Números críticos (extremos), posibles puntos de inflexión e intervalos.

Primera derivada

09123)( 2 xxxf 0342 xx 0)3)(1( xx 1x y 3x

9123)( 2 xxxf NE. No hay valores donde )( xf no exista

Segunda derivada

0126)( xxf 02 x 2x

126)( xxf NE. No hay valores donde )( xf no exista

De aquí resulta 1x ; 2x ; 3x y en consecuencia cuatro intervalos prueba.

Intersecta al eje y en el punto (0,1)


12

Tabla guía

Intervalos Nº

prueba 1 9 6)( 23 xxxxf 9 123)( 2 xxxf 126)( xxf Conclusión

)1 , ( 0 Crece.


1x 5y 0 Punto Máximo (1,5)

)2 , 1 ( 5.1 Decrece.


2x 3y 0 Punto de inflexión

(2,3)

)3 , 2 ( 5.2 Decrece.


3x 1y 0 Punto Mínimo (3,1)

) , 3 ( 4 Crece.


Gráfica de 196)( 23 xxxxf

x

y


13

Ejemplo 3

Trace la gráfica de la función 3

2

3

5

5)( xxxf

El dominio de la función es .


3

2

3

5

5)( xxxf

0y

La intersección con el eje x . Se hace 0y .

05)( 3

2

3

5

xxxf 053

2

xx 0x y 5x

No hay asíntotas


3

2

3

5

5 )( xxxf

3

1

3

2

3

10

3

5)(

xxxf 3

4

3

1

9

10

9

10)(

xxxf


Primera derivada

3

1

3

2

3

10

3

5)(

xxxf = 2

3

52

3

5

3

1

3

1

x

x

xx

0)( xf si 2x y )( xf NE si 0x

Segunda derivada

1

9

10 1

9

10

9

10

9

10)(

3

4

3

4

3

4

3

1

x

x

xxxxxf

0)( xf si 1x y )( xf NE si 0x

De aquí resulta 1x ; 0x ; 2x y en consecuencia cuatro intervalos prueba.

Pasa por el origen (0,0)

Pasa por

(0,0) y (5,0)


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Tabla guía

Intervalos Nº

prueba 3

2

3

5

5)( xxxf 2

3

5)(

3

1 x

x

xf 1

9

10 )(

3

4 x

x

xf

Conclusión

) 1 , ( 2 +

Decrece.

Cóncava hacia

arriba

1x 6 y 0 Punto de inflexión

(-1,6)

01 , 50.

Decrece.

Cóncava hacia

abajo

0x 0y ND ND Punto Mínimo

(0,0)

)2 , 0 ( 1 +

Crece.

Cóncava hacia

abajo

2x 8.4y 0 Punto Máximo

(2,4.8)

) , 2 ( 3

Decrece.

Cóncava hacia

abajo

Gráfica de 3

2

3

5

5)( xxxf


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Ejemplo 4

Trace la gráfica de la función xsenxxf cos)( en ,

El dominio de la función es , (Observe que lo da el problema)


xsenxxf cos)( = 0cos0 sen

1y

La intersección con el eje x . Se hace 0y .

0cos)( xsenxxf xsenx cos x

x

x

senx

cos

cos

cos 1tan x

)1(tan 1 x 4

3 ,

4

1x

No hay asíntotas


xsenxxf cos)(

senxxxf cos)(

xsenxxf cos)(


Primera derivada

0cos)( senxxxf senxx cos 1tan x 4

1 ,

4

3 x

Segunda derivada

xsenxxf cos)( xsenx cos 1tan x 1 3

, 4 4

x

De aquí resulta 4

3 x ,

4

1 x ,

4

1x ,

4

3 x y en consecuencia

cinco intervalos prueba.

Pasa por (0 , 1)

De acuerdo al intervalo pasa por

0 ,

4

3 ; 0 ,

4

1


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Tabla guía

xsenxxf cos)( ; senxxxf cos)( ; xsenxxf cos)(

Intervalos )(xf )( xf )( xf Conclusión

x 1 y + Extremo del intervalo dado , 1

) 4

3 , ( + Decrece. Cóncava hacia arriba

4

3 x 2 y 0 + Punto mínimo

3 , 1.44

4

1,

4

3 + + Crece. Cóncava hacia arriba

4

1 x 0y + 0 Punto de inflexión

1 , 04

4

1,

4

1 + Crece. Cóncava hacia abajo

4

1x 2 y 0 Punto Máximo

1, 1.4

4

4

3,

4

1

Decrece. Cóncava hacia abajo

4

3x 0 y 0 Punto de Inflexión

3, 0

4

,

4

3

+

Decrece. Cóncava hacia arriba

x 1 y + Extremo del intervalo dado , 1

Gráfica de ( ) cosf x sen x x en ,


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APLICACIONES AL MOVIMIENTO RECTILÍNEO

Una de las aplicaciones comunes de las derivadas ocurre en la descripción del movimiento a

través de una recta.

El movimiento es el cambio de la posición en función del tiempo, y el más sencillo es el

movimiento en línea recta. Es así como el movimiento rectilíneo es aquel que realiza un

móvil, partícula u objeto en línea recta, bien sea horizontal o vertical, con un origen marcado

en ella. A la recta se denomina recta de movimiento. Si se escoge un sentido arbitrariamente

como positivo, el sentido opuesto se escogerá como negativo.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO EN EL PLANO HORIZONTAL

Si se considera el movimiento rectilíneo en el plano horizontal, el móvil o partícula se

desplaza a la derecha o izquierda.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO EN EL PLANO VERTICAL

En el plano vertical, se considera que el móvil o partícula es arrojado verticalmente hacia

arriba, o hacia abajo.

El movimiento es denominado caída libre si se arroja el móvil hacia abajo desde una altura

determinada; y es denominado tiro libre si se arroja hacia arriba en trayectoria rectilínea.

Se considera positivo el desplazamiento a la derecha o hacia arriba, y negativo el

desplazamiento a la izquierda o abajo.

FUNCIONES DE POSICIÓN, VELOCIDAD, RAPIDEZ Y ACELERACIÓN

Para observar las aplicaciones a los movimientos rectilíneos las siguientes funciones son

importantes:

La función de posición

Sea un punto cualquiera de la recta denotado con 0 (origen), entonces:

Existe una función que da la posición, respecto del origen, denotada por )(tfS que

representa la distancia (si el plano es horizontal) o la altura (si el plano es vertical) de un

objeto en movimiento en función de tiempo t. La distancia es medida en centímetros, metros,

pies, millas u otra unidad de longitud; y el tiempo en horas, minutos o segundos.


18

La posición de un objeto en caída libre (despreciando la resistencia del aire) bajo la

influencia de la gravedad se obtiene mediante la ecuación:

00

2 2

1)( stvtgts Función de posición

Donde 0s es la altura inicial del objeto, 0v es la velocidad inicial y g la aceleración

de la gravedad.

En la superficie de la Tierra, y por convención universal, la aceleración originada por la

gravedad es 9,81 m/s2 aproximadamente o lo que es lo mismo 32 pie/s2 aproximadamente.

La velocidad

La razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo, es lo que se denomina

velocidad de un móvil o partícula. Esta razón de cambio proporciona la velocidad promedio.

Por ejemplo si un automóvil recorre una distancia de 180 km en el mismo sentido en 2 horas,

se dice que la velocidad promedio o velocidad media con que recorre esa distancia es de

90 km/h.

Velocidad media =

t

s

Si se analiza el ejemplo anterior es obvio que la velocidad promedio de la partícula no es

constante, y dicha velocidad media no proporciona una información específica acerca del

movimiento de la partícula en cualquier instante determinado. Sin embargo, se puede

determinar la velocidad en un momento específico, a través de lo que se denomina velocidad

instantánea o simplemente velocidad.

La velocidad (velocidad instantánea) se obtiene derivando la función de posición, es decir,

)()( tfdt

dStV

La velocidad indica dirección y sentido del movimiento, por tanto puede ser positiva o

negativa.

Si la velocidad es positiva en un intervalo de tiempo, la partícula se mueve en la dirección

positiva de la recta de movimiento, por convención, derecha o arriba.

Si la velocidad es negativa en un intervalo de tiempo, la partícula se mueve en la dirección

negativa de la recta de movimiento, por convención, izquierda o abajo.


19

Para conocer en qué momento la partícula cambia de dirección, se hace 0)( tV , porque

la velocidad es 0 en el instante en que el objeto está en reposo o cambia de dirección.

La rapidez

Se denomina rapidez al valor absoluto de la velocidad, e indica lo rápido que se mueve un

objeto y no en qué dirección. La rapidez siempre es positiva.

Rapidez = )( tV

La aceleración

Se denomina aceleración al cambio de velocidad. Es decir, la aceleración indica si la

velocidad disminuye o aumenta (según sea el signo) y se obtiene derivando la función

velocidad, o calculando la segunda derivada de la función de posición. Así:

)()()(2

2

tfdt

SdtVta

La aceleración positiva está indicando que la velocidad es creciente o sea que aumenta.

La aceleración negativa está indicando que la velocidad es decreciente o sea que

disminuye.

Como la rapidez de la partícula al tiempo t es Rapidez = )( tV se tienen los siguientes

resultados:

Si 0v y 0a , entonces la rapidez es creciente.

Si 0v y 0a , entonces la rapidez es decreciente.

Si 0v y 0a , entonces la rapidez es decreciente.

Si 0v y 0a , entonces la rapidez es creciente.

Cuando la aceleración es cero, la velocidad no está cambiando, es decir la velocidad se

mantiene estable.


20

Ejemplo 5

La función de posición S de una partícula P que se mueve sobre una recta horizontal está

dada por: 203612)( 23 ttttfS ; 0t ; en donde t se mide en segundos (seg) y

S en centímetros (cm). Describa la posición y movimiento de la partícula en una tabla que

incluya los intervalos de tiempo en los que la partícula se mueve a la izquierda, y en los que

se mueve a la derecha, los intervalos en los que la velocidad es creciente y en los que es

decreciente, los intervalos en los que la rapidez es creciente y en los que es decreciente, y la

posición de la partícula con respecto al origen durante estos intervalos de tiempo. Ilustre el

fenómeno con una recta de movimiento.

Solución:

En primer lugar se obtienen las funciones de velocidad y aceleración

203612)( 23 ttttfS Función de posición

36243)( 2 tttV se derivó la función de posición

246)( tta se derivó la función velocidad

En segundo lugar se determinan los valores de t cuando alguna de las cantidades V ó

a es cero.

La velocidad

36243)( 2 tttV

0)128(3 2 tt

0)2)(6(3 tt de donde resulta que 0v cuando 6t y 2t

La aceleración

246)( tta

)4(6)( tta de donde resulta que 0a cuando 4t

En tercer lugar se realiza una tabla que muestre lo que se pide en el problema.

La siguiente tabla muestra los valores de S , V y a cuando t es igual a 0, 2, 4

y 6. También se indica el signo de S , V y a en los intervalos de t sin incluir a 0,

2, 4 y 6. También se contempla una conclusión acerca de la posición y movimiento de la

partícula para los diferentes valores de t

203612)( 23 ttttfS ; 36243)( 2 tttV ; 246)( tta


21

203612)( 23 ttttfS ; 36243)( 2 tttV ; 246)( tta

Intervalo de

tiempo

)(tS

cm

)(tV

cm/seg

)(ta

cm/seg2

Conclusión

0t 20 36 24

La partícula está 20 cm a la izquierda del origen (por ser S negativo); y se mueve a la derecha (por ser V positivo) con

una velocidad de 36 cm/seg. La aceleración es de 24 cm/seg2 lo que indica que la velocidad es decreciente (por ser a negativa) o sea que disminuye a razón de 24 cm/seg en cada seg; y la rapidez también es decreciente (por ser V positivo y a negativo) o sea que la partícula reduce su marcha.

20 t + +

La partícula está a la derecha del origen y se mueve hacia la derecha. La velocidad es decreciente. La rapidez es decreciente.

2t 12 0 12

La partícula está 12 cm a la derecha del origen y cambia el sentido de su movimiento de derecha a izquierda (por ser V cero). La velocidad es decreciente. La rapidez es decreciente.

42 t +

La partícula está a la derecha del origen, y su movimiento es hacia la izquierda. La velocidad es decreciente. La rapidez es creciente.

4t 4 12 0 La partícula está 4 cm a la izquierda del origen y se mueve a la izquierda a 12 cm/seg. La velocidad no cambia (se mantiene estable) de modo que la rapidez tampoco.

64 t + La partícula está a la izquierda del origen, y su movimiento es hacia la izquierda. La velocidad es creciente. La rapidez es decreciente.

6t 20 0 12 La partícula está 20 cm a la izquierda del origen y cambia el sentido de su movimiento de izquierda a derecha. La velocidad es creciente. La rapidez es creciente.

6t + + La partícula está a la izquierda del origen, y su movimiento es hacia la derecha. La velocidad es creciente. La rapidez es creciente.

Por último, guiándose por la tabla anterior, se ilustra el movimiento de la partícula a lo largo

de una recta horizontal. Las flechas señalan el sentido del movimiento de la partícula sobre

el eje horizontal.

-20 12 -4 0

t >6

t =6

t =0

t =4 (a=0)

t =2

t =2 (v=0)


22

Ejemplo 6:

Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 120 m/seg.

Utilizar la función de posición 00

2 9.4)( stvtts para objetos en caída libre.

a) Determine las funciones que describen la posición, velocidad y aceleración del

proyectil.

b) Calcular la velocidad promedio en el intervalo 2 , 1

c) Hallar las velocidades instantáneas a los 1 seg y a los 2 seg.

d) Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo

e) Determinar su velocidad al caer en el suelo.

f) Determinar la altura máxima alcanzada por el proyectil

Solución:

a) Las funciones que describen la posición, velocidad y aceleración son:

tttfS 1209.4)( 2 Función de posición (altura)

1208.9)( tStV Velocidad

8.9)( ta m/seg2 Aceleración (constante debido a la gravedad)

b) La velocidad promedio en el intervalo 2 , 1 se obtiene:

1.115)1(120)1(9.4)1( 2 fS utilizando t=1

4.220)2(120)2(9.4)2( 2 fS utilizando t=2

Luego, Velocidad media = 3.1051

105.3

12

1.1154.220

t

sm/seg

c) Hallar las velocidades instantáneas a los 1 seg y a los 2 seg.

1208.9)( ttV

(1) 9.8(1) 120 110.2V m/seg es la velocidad a los 1 seg

(2) 9.8(2) 120 100.4V m/seg es la velocidad a los 2 seg

tttfS 1209.4)( 2 .


23

d) El tiempo que tarda en llegar al suelo.

El proyectil se mueve sobre una recta vertical con el origen al nivel del suelo y dirección

positiva. Dado que la función de posición )(tf indica altura, el proyectil se hallará en el

nivel del suelo cuando su altura sea 0 es decir, cuando 0)( tf

Así: tttfS 1209.4)( 2

0 1209.4 2 tt

0)49.24 ( 9.4 tt

0 9.4 t ó 049.24 t

0 t ó 49.24 t

Se descarta 0 t y es válido 5.24 t

Esto indica que a los 24.5 segundos aproximadamente el proyectil tocará el suelo al caer

de regreso.

e) La velocidad del proyectil al caer en el suelo.

Para conocer la velocidad al caer en el suelo, se conoce por d) que tocará el suelo a los

24.5 seg, luego la velocidad en ese momento es:

1208.9)( ttV

120)5.24(8.9)5.24( V

segmV / 120)5.24(

Es así como el proyectil tocará el suelo a los 24.5 segundos con una velocidad de

impacto de segm / 120 . Esta velocidad es negativa porque el proyectil se mueve

hacia abajo.

f) Para encontrar la altura máxima alcanzada por el proyectil se debe conocer en que

momento este cambia de dirección, para ello se hace 0)( tV puesto que en este

momento es en donde el proyectil alcanza la altura máxima.

1208.9)( ttV

01208.9 t

120 8.9 t

8.9

120

t

24.12 t

Esto indica que a los 12.24 segundos alcanzará el proyectil su máxima altura. Esto solo

indica el tiempo en que alcanza su máxima altura, y la función de posición se utiliza para

calcular esta máxima altura.

tttfS 1209.4)( 2

)24.12(120)24.12(9.4)24.12( 2 fS

7.734)24.12( fS metros

La altura máxima alcanzada por el proyectil es de 734.7 metros.


24

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES A LAS VARIACIONES RELACIONADAS EN EL TIEMPO O RAZONES

DE CAMBIO RELACIONADAS

Es una de las aplicaciones más importantes de las derivadas específicamente de las

derivadas implícitas, puesto que es el cálculo de razones de cambio de dos o más variables

que cambian con el tiempo.

Es así como la derivada también es considerada como medida de la razón entre los

cambios locales experimentados por dos variables que dependen una de la otra, por ejemplo

distancia-tiempo, velocidad-tiempo, volumen tiempo y otras.

En el análisis de este tipo de problemas se utiliza primordialmente la geometría básica:

teorema de Pitágoras, áreas, volumen, entre otras. El análisis implica además crear un

modelo matemático a partir de una descripción verbal.

La siguiente estrategia es útil para la solución de problemas de razones de cambio

relacionadas:

1. Identificar todas las cantidades dadas y por determinar. Hacer un esbozo y

clasificarlas.

2. Escribir una ecuación que incluya las variables cuyas razones de cambio se

encuentran en la información dada o deben calcularse.

3. Utilizar la regla de la cadena, derivar de manera implícita ambos lados de la ecuación

con respecto al tiempo t.

4. Sólo hasta que el paso 3 esté terminado, se procede a sustituir en la ecuación

resultante todos los valores conocidos de las variables y sus razones de cambio.

Luego se despeja la razón de cambio requerida.


25

,

EJEMPLO 7

Un avión vuela a 8 millas de altitud en línea recta hacia la posición de un radar.

Sea S la distancia en millas entre el avión y el radar. S está decreciendo a razón de 500

millas/h, cuando S es 17 millas, ¿Cuál es la velocidad del avión?.

Solución

S

Datos conocidos:

Cuando S = 17 millas , por Teorema de Pitágoras

152258178 2222 Sx

Razón de cambio: distancia entre avión y radar está decreciendo, luego

dt

dS = 500 mi/h cuando S=17 (esta razón de cambio es negativa porque decrece)

Datos desconocidos

Hallar la velocidad del avión cuando S=17 millas. Esto es hallar dt

dx

Ecuación que relaciona los datos conocidos y desconocidos.

Si observe el dibujo, por Teorema de Pitágoras 222 )8( xS

Derivado implícitamente ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo

222 )8( xS

6422 xS Es la función a derivar

(radar)

x

8

m

i

l

l

a

s

Las variables involucradas es este

problema son distancia y velocidad,

ambas relacionadas con el tiempo y al

hacer el esbozo del problema la fórmula

que las relaciona es el Teorema de

Pitágoras.

Sea x la distancia horizontal al radar.


26

6422 xS

dt

dxx

dt

dSS 22 Derivando con respecto al tiempo

dt

dx)15(2)500)(17(2 Reemplazando los datos conocidos

dt

dx

30

17000 de donde hmi

dt

dx/ 7.566

Respuesta: Cuando la distancia entre el avión y el radar es de 17 millas la velocidad es de

– 566.7 mi / h, esto es la rapidez es de 566.7 mi / h

EJEMPLO 8

Se inyecta aire a un globo esférico a razón de 20 pies3 por minuto. ¿A qué razón varía el

radio del globo cuando mide 3 pies?.

Solución

Dado que se trata de un globo esférico las variables involucradas son el volumen y radio, las

cuales se relacionan con el tiempo.

Para resolver el problema se debe buscar una fórmula que relacione el volumen y el radio.

Esta es el volumen de la esfera.

min/ 20 3 piedt

dV r = 3

pies

¿A que razón varia el radio? dt

dr

3r 3

4V

dt

dr

dt

dV 2r 4

dt

dr2(3) 420

dt

dr

36

20

dt

dr

)14.3(36

20

18.0dt

dr

Respuesta Cuando el radio es de 3 pies, este varía a

razón de 0.18 pies / min.

r

r


27

EJEMPLO 9

Una mujer que está ante un acantilado, con un telescopio observa cómo se aproxima un

bote de motor a la playa que está directamente debajo de ella. Si el telescopio está a 250

pies por arriba del nivel del agua y si el bote se aproxima a 20 pies por segundo, ¿a qué

velocidad está cambiando el ángulo del telescopio cuando el bote está a 250 pies de la

playa?

Solución:

Se hace un esbozo del problema. Como la

pregunta está relacionada con el ángulo, es

importante ubicar este ángulo en el dibujo que este

caso le denominamos . También llamamos x a

la distancia entre el bote y la playa. Observe que si

250x , 1250

250tan

4

1) (tan 1

1

Entre los datos que se dan se dice que el bote se aproxima 20 pie/seg, lo que significa que:

/ 20 segpiedt

dx (es negativo porque esta distancia disminuye con el tiempo).

Se debe hallar la velocidad a la que cambia el ángulo del telescopio, o sea dt

d cuando

piésx 250 .

Luego

tan250

x es la ecuación que relaciona los datos

dt

dx

dt

d )1(

250

1sec2

derivando implícitamente con respecto al tiempo

)20(250

1

4

1sec2

dt

d reemplazando los datos conocidos

25

2

4

1cos

1

2

dt

d

25

2

4

1cos

1

2

dt

d


28

25

22

dt

d

04.025

1

dt

d (el signo negativo muestra que está disminuyendo con el tiempo)

Resp: - 0.04 radianes/seg es la velocidad a la que cambia el ángulo del telescopio cuando la

distancia entre el bote y la playa es de 250 pies.

EJEMPLO 10

Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto invertido y la longitud de su altura es el

doble de la de su diámetro. Al recipiente le está entrando agua a una rapidez constante, por

lo que la profundidad del agua va en aumento. Cuando la profundidad es de 100 cm, la

superficie sube a razón de 1 cm por

minuto. ¿A qué rapidez le está entrando agua al recipiente?

Solución:

Se hace un esbozo del problema. Como

el recipiente es un cono invertido, se

debe ubicar los radios y las alturas tanto

del recipiente como del nivel del agua.

Llamamos R al radio del recipiente y r al

radio del nivel del agua, y a las alturas

H y h respectivamente.

Se pide encontrar la rapidez a la que

está entrando el agua al recipiente, es

decir lo que se pide es la razón de

cambio de volumen (agua), cuando la

altura (profundidad) es de 100 cm.

Se tiene que cuando h= 100 cm, 1 / mindh

cmdt

, calcular dt

dV

La longitud de la altura del cono es el doble que la de

su diámetro, H=2D , pero D=2R, luego H=2(2R)=4R


29

El radio r no lo informa el problema, sin embargo, se puede deducir por semejanza de

triángulos. Si observa los triángulos de la derecha, se cumple que:

H

R

h

r (Como H = 4R)

R

R

h

r

4

4

1

h

r

4

hr

El volumen de un cono circular recto de radio r y altura h es hrV 2

3

Reemplazando 4

hr en V (para que el volumen quede solo en términos de h), tenemos :

hrV 2

3

h

hV

2

43

3

48hV

La ecuación que relaciona los datos es 3

48hV

y se debe calcular

dt

dV

3

48hV

dt

dhh

dt

dV 2

16

derivando con respecto a t

)1()100(16

2

dt

dV reemplazando los datos conocidos

3 3625 cm /min 1963.5 cm /min 1.963 /mindV

dt (porque 1litro=1000cm3)

Resp. La rapidez con que entra el agua al recipiente es 1.963 /min


30

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Ó PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Los problemas de optimización involucran la búsqueda de los extremos de una función. Los

extremos de una función representan los máximos y los mínimos de dicha función y su

búsqueda implica optimizar la función.

Los procedimientos de optimización están basados en el cálculo y son aplicados para

resolver problemas del área económica, administrativa e ingeniería.

A menudo se hace referencia a términos como máximo beneficio, mínimo costo, mínimo

tiempo, voltaje máximo, área máxima, etc. Si al problema que se presenta podemos

asociarle una función, el problema se reduce a encontrar los máximos o mínimos de esta

función.

Dado que optimizar la función implica la búsqueda de máximos y mínimos, para buscar estos

se hace uso de los puntos críticos, lo que conduce a considerar puntos donde la primera

derivada es cero.

EJEMPLO 11

Para construir un recipiente de lata cilíndrico se emplean 100 pulg2 de hojalata. Esta

cantidad incluye la parte superior e inferir del recipiente ¿Cuál es el mayor volumen que

podría contener esta lata?

Solución

El problema pide maximizar el volumen, función a construir y que finalmente será utilizada

para derivar y así obtener el máximo. r


31

Datos conocidos: A = 100 pulg2

Datos que se extraen del problema

Volumen del cilindro V = r2 h

Área de la parte lateral del cilindro Alat = 2rh

Dado que la parte superior es un círculo Asup = r2

Dado que la parte inferior es un círculo Ainf = r2

Como se conoce que el área del cilindro es 100 pulg2 entonces:

AT = rh2 + 2 r +

2 r = 100

rh2 + 2 2 r = 100 De esta ecuación se despeja h (se necesita para el volumen)

rh2 = 100 2 2 r h =

r

r

2

2100 2 h =

r

r

2

)50(2 2

En el volumen, se puede reemplazar la “h” encontrada, luego:

hrV 2

r

rrV

2 502

3 50 rrV

Con esta función de volumen se buscan puntos críticos, luego hay que derivar:

3 50 rrV

2 3 50 rV Se hace primera derivada cero para hallar puntos críticos (para maximizar en este caso)

0 V si 0 3 50 2 r 2 3 50 r

2 3

50r

3

50

r 3.2r

AT = Alat + Asup + Ainf

AT = rh2 + 2 r +

2 r

AT = rh2 + 2 2 r

h = r

r

250


32

Luego de calcular el radio, se calcula h

h =)3.2(

)3.2(50 2

h = 4.62

Finalmente el volumen es

hrV 2

)62.4()3.2(14.3 2V

74. 76V pulg3

Resp. El mayor volumen que puede contener la lata es de 74. 76V pulg3

Observación: Al calcular r = 2.3 se ha calculado un número crítico candidato a máximo en este caso, y si se desea comprobar que r = 2.3 es realmente un máximo se busca la segunda derivada

2 3 50 rV

rV 6

)3.2( 6 V es negativo, por tanto es r = 2.3 es un máximo

EJEMPLO 12

Un minorista de bicicletas motorizadas ha analizado los datos referentes a los costos,

habiendo determinado una función de costo que expresa el costo anual de comprar, poseer

y mantener el inventario en función del tamaño (número de unidades) de cada pedido de

bicicletas que coloca.

La función de costo es 750000154860

)( qq

qC

donde C es el costo anual del inventario expresado en dólares y q denota la cantidad de

bicicletas pedidas cada vez que el minorista repone la oferta. Determine el tamaño de pedido

que minimice el costo anual de inventario. Cuál se espera que sea el costo mínimo anual

de inventario?.

Solución: Se debe minimizar el costo, por tanto es la función a derivar:

750000154860

)( qq

qC 750000154860)( 1 qqqC

154860)( 2 qqC


33

Haciendo la primera derivada 0

0154860 2 q 154860 2 q 154860

2

q

2154860 q

15

4860q

15

4860q = 18 (Se puede comprobar que es un mínimo)

El costo anual de inventario será: 750000154860

)( qq

qC

750000)18(1518

4860)( qC

540 750)( qC

Resp. B/ 750540.00 es el costo mínimo anual de inventario y un pedido de 18 bicicletas

minimiza el costo anual de inventario.

EJEMPLO 13

Una ventana de estilo normando, consiste de un rectángulo coronado por un semicírculo. Hallar las dimensiones de una ventana que tenga 10 pies de perímetro y que cubra el área más grande.

Solución

Se debe maximizar el área, y es la función que se debe modelar y derivar

Perímetro del semicírculo rP

Perímetro del rectángulo es yxP 2

Área del semicírculo es 2

2

1rA

Área del rectángulo es yxA

El perímetro de la ventana es de 10 pies, luego:

PV = ryx 2

102 ryx

x

y r =1/2 x

PV = ryx 2

yxrAV

2

2

1


34

Despejando y se obtiene:

2

10 xry

xry

2

1

2

15

Reemplazando r

xxy2

1

2

1

2

15

xxy

2

1

4

15

El área de la ventana será

yxrA 2

2

1

) 5()(21

41

21

21 2 xxxxA reemplazando r y y

222

2

1

4

15

8

1xxxxA

22

2

1

8

15 xxxA

Derivando

xxA 4

15

04

15 xx Haciendo la derivada 0

xx 4

15

1

4

15 x

8.2

14

1

5

x

Finalmente el valor de “y” se obtiene reemplazando el valor de x obtenido

xxy2

1

4

15

)8.2(2

1(2.8)

4

15 y

4.1y

Las dimensiones de la ventana será: 8.2x pies de ancho; y 4.1 y pies de alto

para que cubra el área más grande.

(Se puede comprobar que es un máximo)


35

Ejemplo 14

Hallar las dimensiones que hacen mínimo el costo de un contenedor que tiene forma de

paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m3 , su altura 1 m y el

coste de su construcción por m2 es de B/ 50 para la base; B/ 60 para la tapa y B/ 40 para

cada pared lateral. ¿Cuál es el costo mínimo?

Sea x y y las dimensiones de la base del paralelepípedo

y sea h la altura. El problema dice que la altura es 1 m.

Estos datos se asignan en la figura. Como se trata de un

paralelepípedo el volumen es

hxV y yxV porque h=1

Como hay un costo por m2 con costos diferentes para cada área se necesita conocer el

área de la base, el área de la tapa, y el área para las paredes laterales, para obtener los

costos, luego:

yxAb área de la base y50xC

b costo de la base

yxAt área de la tapa y60xC

b costo de la tapa

xxAp

)1( área de pared lateral frontal

xxAp

)1( área de pared lateral del fondo

yyAp

)1( área de pared lateral de un lado

yyAp

)1( área de pared lateral del otro lado

yxApl

22

)22( 40 yxCpl


36

El costo total es:

)22( 406050 yxxyxyCtotal

)( 80110 yxxyCtotal

Del problema se conoce que el volumen es 9 m3 . Resulta conveniente despejar “y” que se reemplazará en la ecuación de costo, luego resulta:

yxV y9 x

xy

9

)( 80110 yxxyCtotal

xxxC

xtotal

9 80110

9

xxC

total

72080990

172080990 xx

272080 xCtotal

072080 2 x 272080 x

2

72080

x

80

7202 x

92 x 3x (se puede comprobar que es un mínimo)

El valor de “y” se obtiene reemplazando la x obtenida

xy

9

3

9y 3y

Costo total

xxC

total

72080990

14703

720)3(80990

totalC

Las dimensiones que hacen que el costo del contenedor sea mínimo son: x= 3 metros de ancho; y=3 metros de largo y 1 metro de altura. El costo de contenedor es de B/.1470.00

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Aplicaciones de la derivada