Aplicaciones de laAplicaciones de laIntegral definidaIntegral definida

Cálculo de áreasCálculo de áreas

YY

VolúmenesVolúmenes

CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES

     A.  Cálculo de la longitud de una curva plana. B. Cálculo del área de una figura plana.      C. Cálculo del volumen de un cuerpo de revolución.       D. Cálculo del área de una superficie de revolución

A) Longitud de una curva - en el Plano -

A1.  Curvas expresadas en forma explícita (Coordenadas Cartesianas)

Para la curva y=f(x) entre x=a, x=b.

22 2( ) ( ) 1

b b

a a

dyL dx dy dx

dx

Para la curva x=f(y) entre y=a, y=b.

2

2 2( ) ( ) 1b b

a a

dxL dx dy dy

dy

Ejemplo:

Calcular la longitud del arco de curva entre x=0 y x=2 2y x x

Solución:

Utilizamos la fórmula:2

2 2( ) ( ) 1b b

a a

dyL dx dy dx

dx

hallaremos y’:

21/ 23' 3 9

xy x y x

x

2 23/ 2

00

3

1 21 9 . 1 9

9 3

219 1

27

L x dx x

B) Área de una figura plana

B1.  Área de curvas expresadas en forma explícita (Coordenadas Cartesianas)

A) El área por debajo de la curva y=f(x) entre x=a, x=b.

B) En el caso de que la curva corte al eje OX en varios puntos:

( )b

a

S f x dx

1 2

1 2

( ) ( ) ( )x x b

a x x

S f x dx f x dx f x dx

C) Área comprendida entre dos curvas y = f(x), y = g(x).

( ) ( )

( ) ( )

b b

a a

b

a

S f x dx g x dx

f x g x dx

B2.  Área de curvas expresadas en forma explícita (Coordenadas Polares)

Supongamos el área en polares ρ = f(φ) entre φ = φ1, φ = φ2.

2 2

1 1

2 21 1( )

2 2S d f d

B3  Área de curvas expresadas en ecuaciones paramétricas.

Una curva puede ser expresada en función de un parámetro t:

1

2

( )

( )

x f t

y f t

Para hallar el área de esta curva comprendida entre x=a, x=b, primero calcularemos t1 y t2 :

1 1

1 2

( )

( )

a f t t

b f t t

2

1

2 1( ). ( )t

t

S f t f t dt

Ejemplos de

Cálculo de áreas (de curvas planas)

Mediante integrales definidas

Ejemplo 1: Hallar el área limitada por la curva y = x3 – 6 x2+ 8 x y el eje OX.

Solución:

Hallamos los puntos de corte con OX:

Hacemos y=0 → x3 – 6 x2+ 8 x = 0

Las raíces son x=0, x=2, x=4.

2 43 2 3 2 2

0 2

( 6 8 ) ( 6 8 ) 8S x x x dx x x x dx u

Ejemplo 2: Hallar el área de la figura limitada por las curvas y = ex, y = e-x , y por la recta x = 1.

Solución:

El área pedida está remarcada en la gráfica

1

1

00

1 0 0( ) ( )

1( 2)

x x x xS e e dx e e

e e e e

ee

Ejemplo 3: Hallar el área encerrada en el interior del cardioide :

ρ = a (1 + cos θ)

Solución:

El área pedida es el doble de la remarcada en la gráfica

2 2

0

12 (1 cos )

2S a d

2 2

0

22

(1 2cos cos )

1 1 32sin sin cos

2 2 2

a d

aa

C) Cálculo del volumen de un cuerpo de revolución.

C1.  Volumen del cuerpo engendrado por la revolución de la curva (Coordenadas Cartesianas) y = f(x) entre x=a y x=b.

I) Alrededor del eje OX.

Caso particular: Al rotar la superficie comprendida entre y=f(x) e y = g(x)

22 ( )b b

a a

V y dx f x dx

2 2( ) ( )b

a

V f x g x

II) Alrededor del eje OY.

2 . 2 . ( )b b

a a

V x y dx x f x dx

C) Volumen de un cuerpo de revolución (II)

C2.  Volumen del cuerpo engendrado por la revolución de la curva (Coordenadas paramétricas) y = f(x) entre x=a y x=b.

I) Alrededor del eje OX.

II) Alrededor del eje OY.

( )

( )

x f t

y g t

2

22

1

( ) '( )b t

a t

V y dx g t f t dt

2

1

2 . 2 ( ). ( ). '( )b t

a t

V x y dx f t g t f t dt

Ejemplos de

Cálculo del Volumen deCuerpos de revolución

Ejemplo 1: Hallar el volumen engendrado por la curva y = sin x . A) Al girar alrededor del eje OX. B) Al girar alrededor del eje OY. En ambos casos considerar una semionda (el intervalo de x entre 0 y π).

Solución:

A)

2

0

2

sin

sin cos

2 2 2

V x dx

x x x

B) Al hacer un giro respecto al eje OY:

00 0

2

0

2 .sin 2 .cos 2 cos

2 2 sin 2

V x x dx x x x dx

x

D1.  Calculo del Área de la figura formada por la revolución de la curva y = f(x) entre x=a y x=b.

I) Alrededor del eje OX (C. cartesianas) :

2

2

2 . 1 ( ') .

2 ( ). 1 '( ) .

b

a

b

a

S y y dx

f x f x dx

(C. paramétricas) :

( )

( )

x f t

y g t

2

1

2 222 . 1 ( ') . 2 ( ). '( ) '( ) .tb

a t

S y y dx g t f t g t dt

D) Cálculo del área de una figura de revolución.

D1.  Calculo del Área de la figura formada por la revolución de la curva x = g(y) entre y=m y y=n.

Alrededor del eje OY :

2

2

2 . 1 ( ') .

2 ( ). 1 '( ) .

n

m

n

m

S x x dy

g y g y dy

Ejemplos de

Cálculos de áreas

de figuras de revolución

Ejemplo 1: Hallar el área de la superficie engendrada por la revolución alrededor del eje OX del lazo de la curva:

9y2 = x (3 – x)2 .

Solución: Ptos de corte eje X…0, 3

1(3 )

3y x x P. positiva (+)

2

2 3 1'

36

xy x

x

23 32

0 0

3

0

1 32 1 ( ') 2 (3 ) 1

3 36

(3 ) 12 . 3

3 2

x xS y y dx x x dx

x

x x xdx

x

Ejemplo 2: Hallar el área de la superficie engendrada por la revolución alrededor del eje OX del astroide:

3

3

.cos

.sin

x a t

y a t

Solución:

Los límites para t son:

x=a → a=a cos3t → t=0.

x=-a → -a=a cos3t → t=π.

El área del astroide indicado es:

2 22

0

2 . 1 ( ') . 2 ( ). '( ) '( ) .a

a

S y y dx g t f t g t dt

2

2

'( ) .3( sin ).cos

'( ) .3.cos .sin

dxf t a t t

dtdy

g t a t tdt

2 2 2 2 2 2 2' ' 9 sin .cos (cos sin )f g a t t t t

23 2 4

0 0

122 sin .3 sin cos 6 sin cos

5

aS a t a t t dt a t t dt