AUTORES:ALEGRE, CLARAORTELLADO, YANINAZAMBÓN, NICOLÁS

INSTITUTO DE NIVEL TERCIARIO“PROF. EDUARDO A. FRACCHIA”

TALLER IAplicaciones de la Integral Definida

PROPUESTA DIDÁCTICA

Introducción

Esta propuesta didáctica se realiza con motivo del espacio correspondiente al Profesorado de Matemáticas, denominado TALLER I: Aplicaciones de la Integral Definida.

Comenzaremos utilizando la suma superior y la suma inferior de una función definida en un intervalo [a , b], asociadas a una partición del mismo. Estas sumas son aproximaciones al área que queremos calcular.

Luego, para el cálculo exacto del área utilizaremos el límite de la sumatoria de los n rectángulos de aproximación , considerando el extremo derecho, izquierdo y punto medio.

Finalmente , concluimos con la definición de Integral Definida, la cual se asocia al valor exacto del área que se pretende calcular.

Objetivos

Explicitar Norma de P. Explicar Sumas de Riemann: suma de áreas de rectángulos de

aproximación. Explicar concepto de Notación Sigma. Calcular el límite de la sumatoria de rectángulos de aproximación

considerando extremos derecho e izquierdo y punto medio, en distintos intervalos.

Conceptualizar Integral Definida a partir del límite de sumatoria. Utilizar gráficos construidos mediante el software GeoGebra como

método de contrastación con los cálculos analíticos.

Desarrollo

Función: x3 + 8Se analiza en los intervalos [0,2] y [-2,0]

Consideramos [0,2] :Se divide el intervalo en subintervalos mediante la partición P, el conjunto de partición es:

0; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2 Se define la norma de una partición P, como la longitud del intervalo más largo de la partición y se denota ll P ll .

La ll P ll varía cuando los intervalos son irregulares. En este caso, como los intervalos son regulares, la ll P ll coincide con Δx.

Δx 1 = x 1 - x 0 = o,5 – 0 = 0,5 Δx 2 = x 2 - x 1 = 1 – 0,5 = 0,5 Δx 3 = x 3 - x 2 = 1 ,5 – 1 = 0,5 Δx 4 = x 4 - x 3 = 2 – 1,5 = 0,5

En este caso: ll P ll = máx. 0,5 ; 0,5 ; 0,5 ; 0,5 Entonces: ll P ll = 0,5

P define n subintervalos. Si en cada subintervalo se selecciona un punto y se construye un rectángulo, con el intervalo (Δx) como base y

f(x) como altura, se tiene que el área del rectángulo es f(x).Δx.

Como se tienen n rectángulos, se suman todas las áreas. Esta suma que depende de P y de las selecciones de los puntos que pueden ser

extremos derechos, izquierdos o puntos medios, la denominamos Sumas de Riemann para f en [a , b].

Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas de los rectángulos se obtiene un margen de error muy grande

respecto del valor real del área bajo la curva en el intervalo dado.

CÁLCULO DE LA SUMA DE LAS ÁREAS DE LOS RECTÁNGULOS DE APROXIMACIÓN (Sumas de RIEMANN)

Por Extremo Derecho: (error por exceso)

Área = f (2).0,5 + f (1,5).0,5 + f (1).0,5 + f (0,5).0,5Área = (2 3 + 8).0,5 + (1,5 3 + 8).0,5 + (13 + 8).0,5 + (0,5 3 + 8).0,5

  

Área = 22,25

En este caso, la Norma de P (ll P ll) determina 4 subintervalos, en consecuencia, se calcula el área de 4 rectángulos de aproximación.Mientras más sean los subintervalos determinados por P, más nos aproximaremos al valor real del área que pretendemos calcular.

Por Extremo Izquierdo: (error por defecto)

Área = f (0).0,5 + f (0,5).0,5 + f (1).0,5 + f (1,5).0,5Área = (0 3 + 8).0,5 + (0,5 3 + 8).0,5 + (13 + 8).0,5 + (1,5 3 + 8).0,5

 

Área = 18,25

Por Punto Medio: Área = f (0,25).0,5 + f (0,75).0,5 + f (1,25).0,5 + f (1,75).0,5Área = (0,25 3 + 8).0,5 + (0,75 3 + 8).0,5 + (1,25 3 + 8).0,5 + (1,75 3 +8).0,5

Área = 19,87

EL GRÁFICO CORRESPONDE AL CÁLCULO POR EXTREMO IZQUIERDO

Al calcular el área sumando los rectángulos de aproximación, el error que se comete es menor si se considera el Punto Medio.

CÁLCULO DE ÁREA POR APROXIMACIÓN

Sumas de RiemannCálculo por extremo derecho (Suma Superior)

Para n= 8

Para n= 16

CÁLCULO DE ÁREA POR APROXIMACIÓN

Sumas de RiemannCálculo por extremo izquierdo (Suma Inferior)

Para n= 8

Para n= 16

NOTACIÓN SUMATORIA

Se denomina Notación Sumatoria o Sigma a la suma de n términos :a1, a2, a3, …., an se escribe:

i = índice de suma ai = i-ésimo término de la suma límite inferior = 1límite superior = n

Los límites inferior y superior de la suma han de ser constantes respecto del índice de suma. Sin embargo, para el límite inferior cualquier entero menor o igual que el límite superior es válido.

Propiedades de Sumatoria

Las siguientes propiedades se deducen usando las leyes asociativa y conmutativa de la suma y la distributiva de la suma respecto de la multiplicación .

I. En la primera propiedad, k es una constante :

II. En la segunda propiedad, se utiliza la distributiva de la suma:

FÓRMULAS DE SUMA

Estas fórmulas se utilizan para calcular, de forma rápida, la sumatoria de n términos. Seguidamente, mediante la aplicación del límite se calcula cuando

CÁLCULO DE ÁREA MEDIANTE APLICACIÓN DE LÍMITE DE SUMATORIA

Se emplea la siguiente ecuación:

Cuando

La Norma de P :

Siendo la función: x 3 + 8 y el intervalo [0,2]

Se considera xi : Entonces xi :

Se usan: xi como Extremo Derecho xi -1 como Extremo Izquierdo xi - 1/2 como Punto Medio

Como la cantidad de los rectángulos de aproximación tiende a infinito, en consecuencia, se obtiene el VALOR REAL DEL ÁREA.Se utilizan los distintos extremos y punto medio sólo a efectos de comparar el cálculo analítico, comprobándose de ese modo que en todos los casos el resultado es el mismo. .

La Integral Definida de una función en un intervalo [a, b] es el número A que satisface la condición:

Para cualquier elección de puntos de los intervalos: extremo derecho (xi )extremo izquierdo (xi -1) punto medio (xi – 1/2 )

El número A se representa por: Se lee “integral de f de x desde a hasta b”.

Entonces el cálculo del área bajo una curva considerando cualquier punto del intervalo [a, b] es exacto, si se realiza mediante el límite de sumatoria que es igual a la Integral Definida.

Leibniz creó este símbolo para la integral en la última parte del siglo XVII. El símbolo es una S alargada de summa (palabra latina para suma).

La notación de la integral definida ayuda a tener en cuenta el significado de la misma. El símbolo hace referencia al hecho de que una integral es el límite de una suma de términos de la forma "f(x) por una pequeña diferencia de x". La expresión dx no se considera por separado, no tiene significado por si mismo sino que forma parte de la expresión completa.

La expresión dx indica "una porción infinitesimalmente pequeña de x" que se multiplica por un valor de la función. Esta interpretación ayuda a entender el significado de la Integral Definida.

Recordemos que mediante las Sumas de Riemann se obtuvieron los siguientes cálculos de área:

Por Extremo Derecho:

22,25Por Extremo Izquierdo:

18,25Por Punto Medio: 19,87

Como se expresó anteriormente, considerando el Punto medio

se comete un error menor respecto del

valor real del área . Asimismo , el error disminuye cuando se

incrementa el número de los rectángulos de aproximación.

Función: x3 + 8

Consideramos [-2,0] :Se divide el intervalo en subintervalos mediante la partición P, el conjunto de partición es:

-2; - 1,5 ; -1 ; -0,5 ; 0

Análogamente se determina que:

ll P ll = máx. 0,5 ; 0,5 ; 0,5 ; 0,5

Entonces: ll P ll = 0,5

CÁLCULO DE LA SUMA DE LAS ÁREAS DE LOS RECTÁNGULOS DE APROXIMACIÓN (Sumas de RIEMANN)

Por Extremo Derecho: (error por exceso)

Área = f(0).0,5 + f(-0,5).0,5 + f(-1).0,5 + f(-1,5).0,5Área = (03+8).0,5 + [(-0,5) 3 + 8]. 0,5 + [(-1) 3 + 8].0,5 + [(-1,5) 3 + 8]. 0,5

Área = 13,75

En este caso, la Norma de P (ll P ll) determina 4 subintervalos, en consecuencia, se calcula el área de 4 rectángulos de aproximación.Mientras más sean los subintervalos determinados por P, más nos aproximaremos al valor real del área que pretendemos calcular.

Por Extremo Izquierdo: (error por defecto)

Área = f(-2).0,5 + f(-1,5).0,5 + f(-1).0,5 + f(-0,5).0,5Área = [(-2)3 + 8].0,5 + [(-1,5)3 + 8].0,5 + [(-1)3 + 8].0,5 + [(-0,5)3 + 8].0,5

Área = 9,75

EL GRÁFICO CORRESPONDE AL CÁLCULO POR EXTREMO IZQUIERDO

Por Punto Medio:

Área = f(-1,75).0,5 + f(-1,25).0,5 + f(-0,75).0,5 + f(-0,25).0,5Área = [(-1,75)3 + 8].0,5 + [(-1,25)3 + 8].0,5+ [(-0,75)3 + 8].0,5 + [(-0,25)3 + 8].0,5

Área = 12,125

Al calcular el área sumando los rectángulos de aproximación, el error que se comete es menor si se considera el Punto Medio.

CÁLCULO DE ÁREA POR APROXIMACIÓN

Sumas de RiemannCálculo por extremo izquierdo (Suma Inferior)

Para n= 16

Para n= 32

CÁLCULO DE ÁREA POR APROXIMACIÓN

Sumas de RiemannCálculo por extremo derecho (Suma Superior)

Para n= 16

Para n= 32

CÁLCULO DE ÁREA MEDIANTE APLICACIÓN DE LÍMITE DE SUMATORIA

Se emplea la siguiente ecuación:

Sea la función: x3 + 8 Se considera un intervalo [a , b] que no inicia en el origen: [-2,0]

En este caso se considera que xi =

Entonces : xi =

Se usa xi como Extremo Derecho, xi -1 como Extremo Izquierdo y xi - 1/2 como Punto Medio del i-ésimo subintervalo a efectos de comparar el

cálculo analítico .

Recordemos que mediante las Sumas de Riemann se obtuvieron los siguientes cálculos de área:

Por Extremo Derecho:

13,75Por Extremo Izquierdo:

9,75Por Punto Medio: 12,125

Como se expresó anteriormente, considerando el Punto medio

se comete un error menor respecto del

valor real del área . Asimismo , el error disminuye cuando se

incrementa el número de los rectángulos de aproximación.

Conclusión

Con la integral de Riemann hemos visto su importancia en cuanto a poder calcular áreas, supuso un gran avance para las matemáticas y se incorporó a las bases de la matemática actual.

La notación de integral creada por Leibniz es tan útil y significativa que su desarrollo puede considerarse una piedra angular en la historia de la matemática y la ciencia.

Gracias a los aportes de éstos y otros matemáticos es posible establecer que el valor del área debajo de la gráfica de una función se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una sumatoria, que no es otra cosa que lo que se denomina Integral Definida.

Bibliografía

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntegralDefinida.htm

http://calculointegral-itcm.infored.mx/811923_1-3-Suma-de-Riemann.html