Aplicaciones de Vectores en La Física e Ingeniería

7/21/2019 Aplicaciones de Vectores en La Física e Ingeniería

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Aplicaciones de vectores en la física e ingeniería

RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN MARCO TEÓRICO

MOVIMIENTO EN EL ESPACIO VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

En esta sección se !estra de "!# anera se p!eden !sar las ideas de vectores tangentes $

norales $ la c!rvat!ra en la física para est!diar el oviiento de !n o%&eto' incl!$endo s!

velocidad $ aceleración' a lo largo de !na c!rva en el espacio( En partic!lar' seg!ios los

pasos de Ne)ton !sando estos #todos para ded!cir la priera le$ de *epler del

oviiento de los planetas(

+!ponga "!e !na partíc!la se despla,a por el espacio de odo "!e s! vector de posición en

el tiepo t es r-t.( +eg/n la fig!ra 0' note "!e' en el caso de valores pe"!e1os de 2' el

vector

(1)

r (t +h )−r (t )h

Es !na apro3iación de la dirección de la partíc!la "!e se !eve a lo largo de la c!rva r(t).

+! agnit!d ide el taa1o del vector de despla,aiento por !nidad de tiepo( El vector

-0. da la velocidad proedio so%re !n intervalo de longit!d h $ s! líite es el vector

velocidad v(t) en el tiepo t:

(2)

v (t ) limh→ 0

r (t +h )−r (t )h

=r, (t )

Así el vector velocidad es ta%i#n el vector tangente $ ap!nta en la dirección de la recta

tangente( La rapide, de la partíc!la en el tiepo t es la agnit!d del vector velocidad' es

decir' 4 v(t) 4( Esto es apropiado por"!e' seg/n -5. $ la ec!ación' teneos



|v (t )|=|r, (t )|=ds

dt =¿ Razón de cambi de !a di"#ancia $e"%ec# a! #iem%

Coo en el caso del oviiento !nidiensional' la aceleración de la partíc!la se define

coo la derivada de la velocidad

a (t )=v, (t )=r

,, (t )

E&ERCICIO 1'

El vector de posición de !n o%&eto "!e se !eve en el plano est6 definido por

r (t )=t 3

i+ t 2

j ( Calc!le la velocidad' la rapide, $ la aceleración c!ando t =1 ' e il!stre

el pro%lea geo#tricaente(

La velocidad $ la aceleración en el tiepo t son

v (t )=r, (t )=3 t

2i+2 t j



a (t )=r, , (t )=6 t i+2 j

7 la rapide,

[ v (t ) ]=√ (3t 2

)

2

+(2 t )2

=√ 9 t 4

+4 t 2

C!ando t =1 teneos

v (1 )=3 i+2 j

v (1)=6 i+2 j

|v (1 )|=√ 13



E&ERCICIO 2'

Enc!entre la velocidad' aceleración $ rapide, de !na partíc!la c!$o vector de posición

es r (t )=⟨t 2

.et . te

t ⟩

SOLCIÓN

v (t )=r, (t )= ⟨2 t 2 . et . (1+t )e t ⟩

a (t )=v, (t )= ⟨2.e

t . (2+ t ) e

t ⟩

|v (t )|=√ 4 t 2

+e2 t +(1+t )

2

e2 t

E&ERCICIO '



8n o%&eto de asa "!e se despla,a en !na tra$ectoria circ!lar con rapide, ang!lar

constante v tiene !n vector de posición r (t )=acoswt i+a sinwt j ( Calc!le la f!er,a "!e

act/a so%re el o%&eto $ de!estre "!e se dirige 2acia el origen(

+OL8CIÓN

9ara encontrar la f!er,a' priero necesitaos conocer la aceleración:

v (t )=r, (t )=−aw sinwt i+awcoswt j

a (t )=v, (t )=−aw

2coswt i−aw

2sinwt j

9or tanto' la seg!nda le$ de Ne)ton se1ala "!e la f!er,a es

F (t )=ma ( t )=−mw2 (acos wti+a sinwt j )

O%serve "!e F ( t )=mw2

r (t ) . Esto de!estra "!e la f!er,a act/a en la dirección op!esta

el radio vector $-t . $' por tanto' se1ala al origen ( Esta f!er,a se llaa f!er,a centrípeta

-dirigida al centro.(

REPRESENTACIÓN DE LA *ER+A COMO VECTOR



El efecto "!e prod!ce !na f!er,a so%re !n c!erpo depende de la agnit!d' dirección

$ sentido en "!e se aplica; por tanto' de%e reconocerse "!e la f!er,a' lo iso "!e el

despla,aiento $ la velocidad' es !na agnit!d física vectorial( Esto se representa

por edio de flec2as' c!$o taa1o es proporcional a la agnit!d de la f!er,a' $ s!orientación se1ala la dirección $ el sentido(

Las f!er,as se representan di%!&ando flec2as so%re el c!erpo en el "!e act/an' por

e&eplo' la f!er,a "!e se aplica al ep!&ar !n %arril(

9ara siplificar la representación de las f!er,as' es conveniente di%!&ar !n sisteade coordenadas c!$o origen se localice en el centro del o%&eto "!e reci%e la acción' $

di%!&ar las f!er,as "!e act/an so%re #l desde ese p!nto:

El 6ng!lo de inclinación -<. de cada flec2a con respecto al e&e de las a%scisas indica

claraente la dirección $ el sentido de las f!er,as aplicadas(

C!ando varias f!er,as act/an al iso tiepo so%re !n c!erpo' la acción de todas

ellas es e"!ivalente a la de !na sola f!er,a res!ltante o f!er,a total( 9or e&eplo' si

dos personas ep!&an !n %a/l con f!er,as id#nticas' la f!er,a res!ltante tendr6 la

isa dirección $ sentido' pero el do%le de agnit!d:



+i las f!er,as "!e se aplican tienen sentidos contrarios' la f!er,a total es cero' $

a!n"!e el %a/l p!ede deforarse' no se despla,ar6(

9ara o%tener la f!er,a res!ltante' p!ede aprovec2arse la representación gr6fica

ediante flec2as( El prier paso es identificar todas las f!er,as "!e act/an so%re el

o%&eto $ representarlas en agnit!d' dirección $ sentido a partir del origen(



Desp!#s' se elige !na flec2a coo referencia $ se traslada !na seg!nda flec2a al final

de la de referencia conservando s! agnit!d' s! dirección $ s! sentido(

Esta operación se repite con las de6s flec2as' coloc6ndolas siepre al final de la

/ltia flec2a elegida( La f!er,a res!ltante est6 representada por la flec2a "!e se tra,a



desde el origen 2asta la p!nta de la /ltia flec2a di%!&ada(

E&ercicios =

Los ca%les e&ercen !na

f!er,a F AB=1 00 N $ F AC =120

N en el anillo' so%re el p!nto A coo !estra la

fig!ra( Deterine la agnit!d de la f!er,a res!ltante "!e act/a en el p!nto A(



Coordenadas: A->' >' =.?-=' >' >.

C-=' 5' >.

E3presión vectorial de F AB:

r AB=(4−0 ) i+ (0−0 ) j+ (0−4 ) k ={4 i−4k }m

r AB=√ (4 )2

+(−4 )2

=5.66m

F AB=100( r AB

r AB)=100 ( 4 i−4k

5.66 ) F AB={70.67 i−70.67k } N

E3presión vectorial de F AC :

r AC =(4−0 ) i+(2−0 ) j+(0−4 ) k = {4 i+2 j−4 k } m

r AC =√ (4 )2

+(2 )2

+(−4 )2

=6m

F AC =120( r AC

r AC )=120( 4 i+2 j−4 k

6 ) F AC = {80i+40 j−80k } N

F!er,a res!lt ante:

F R= Σ F = F AB+ F AC =(70.7 i−70.7k )+ (80i+40 j−80k )

F R= {150.7 i+40 j−150.7k } N

F R=√ (150.7 )2

+(40)2

+(−150.7 )2

=217 N Resp.

Ejercicio 5

Deterine la agnit!d $ los 6ng!los directores coordenados de la f!er,a res!ltante"!e act/a en el p!nto A -repres#ntelo gr6ficaente.



Coordenadas: A-=' @' 05.

?->' @' >.

C-B' @' =.


r AB=(0−4 ) i+ (8−8 ) j+ (0−(−12 ) ) k = {−4 i+12k } pies

r AB=√ (−4 )2+ (12 )2=12.65 pies

F AB=12( r AB

r AB)=12(−4 i+12k

12.65 ) F AB={−3.79 i+11.38k }lb


r AC =(−5−4 )i+(−8−8 ) j+ (4−(−12 ) ) k = {−9 i−16 j+16 k } pies

r AC =√ (−9 )2

+(−16 )2

+(16 )2

=24.35 pies

F AC =18( r AC

r AC )=18(−9 i−16 j+16k

24.35 ) F AC = {−6.65 i−11.83 j+11.83k } lb

F!er,a res!lt ante:

F R= Σ F = F AB+ F AC =(−3.79i+11.38 k )+(−6.65 i−11.83 j+11.83k )

F R= {−10.44 i−11.83 j+23.21 k }lb



34.2°

111.8°

114.9°

z

x

27.69 lb

F R=√ (−10.44 )2

+(−11.83 )2

+(23.21 )2

=28.07 lb Resp.

Dirección:

α =cos−1

(−10.44

28.07

)=111 .8°

Resp.

β=cos−1(−11.83

28.07 )=114 .9° Resp.

=cos−1( 23.2128.07 )=34.2° Resp'

Representación gr6fica:

E&ercicio

Deterine la agnit!d $ los 6ng!los directores coordenados de la f!er,a res!ltante

"!e act/a en el p!nto A -repres#ntelo gr6ficaente.



Coordenadas: A->' 0(B' =.

?- cos >' sen >' >. ; ?-0(B' 5(' >.

C-' 5' >.


r AB=(1.5−0 ) i+ (2.6− (−1.5 ) ) j+(0−4 ) k = {1.5 i+4.1 j−4 k } m

r AB=√

(1.5

)

2

+

(4.1

)

2

+

(−4

)

2

=5.92m

F AB=150( r AB

r AB)=150(1.5 i+4.1 j−4 k

5.92 ) F AB={38.0i+103.89 j−101.36k } N


r AC =(3−0 ) i+ (−2−(−1.5 ) ) j+ (0−4 ) k ={3 i−0.5 j−4k }m

r AC =√ (3 )2+(−0.5 )2+ (−4 )2=5.02m

F AC =200( r AC

r AC )=200( 3 i−0.5 j−4 k

5.02 ) F AC = {119.52i−19.92 j−159.36k } N

F!er,a res!ltante:

F R= Σ F = F AB+ F AC =(38.0 i+103.89 j−101.36k )+(119.52 i−19.92 j−159.36 k )

F R= {157.52 i+83.97 j−260.72k } N

F R=√ (157.52 )2+(83.97 )2+(−260.72 )2=316 N Resp.

Dirección:



z

x

α =cos−1( 157.52316 )=60.1° Resp.

β=cos−1( 83.97316 )=74.6 ° Resp.

=cos−1(−260.72

316 )=145.6° Resp'

Representación gr6fica:

Tensión:

La #en"ión' por s! parte' es el estado de !n c!erpo soetido a la acción de f!er,as op!estas

"!e lo atraen(

+e conoce coo f!er,a de tensión a la f!er,a "!e' aplicada a !n c!erpo el6stico' tiende a

prod!cirle !na tensión; este /ltio concepto posee diversas definiciones' "!e dependen de

la raa del conociiento desde la c!al se analice(



Las c!erdas' por e&eplo' periten transitir f!er,as de !n c!erpo a otro( C!ando en los

e3treos de !na c!erda se aplican dos f!er,as ig!ales $ contrarias' la c!erda se pone tensa(

Las f!er,as de tensión son' en definitiva' cada !na de estas f!er,as "!e soporta la c!erda sin

roperse(

La física $ la ingeniería 2a%lan de tensión ec6nica para referirse a la f!er,a por !nidad de

6rea en el entorno de !n p!nto aterial so%re la s!perficie de !n c!erpo( La tensión

ec6nica p!ede e3presarse en !nidades de f!er,a divididas por !nidades de 6rea(

La tensión ta%i#n es !na agnit!d física "!e ip!lsa a los electrones a trav#s de !n

cond!ctor en !n circ!ito el#ctrico cerrado' lo "!e provoca el fl!&o de !na corriente el#ctrica(

En este caso' la tensión p!ede reci%ir el no%re de volta&e o diferencia de potencial(

La tensión s!perficial de !n lí"!ido' por otra parte' es la cantidad de energía "!e se necesita

para disin!ir s! s!perficie por !nidad de 6rea( El lí"!ido' por lo tanto' e&erce !na

resistencia para a!entar s! s!perficie(

Cóo 2allar la f!er,a de tensión

F!er,a de tensión sa%iendo "!e la f!er,a de tensión es a"!ella con la "!e tira !na línea o

!na c!erda' es posi%le encontrar la tensión en !na sit!ación de tipo est6tico si se conocen

los 6ng!los de las líneas( 9or e&eplo' si !na carga se posa so%re !na pendiente $ !na línea

paralela a esta /ltia ipide "!e la carga se !eva 2acia a%a&o' la tensión se res!elve

sa%iendo "!e la s!a de los coponentes 2ori,ontal $ vertical de las f!er,as invol!cradas

de%e dar cero(

El prier paso para reali,ar este c6lc!lo consiste en di%!&ar la pendiente $ !%icar so%re la

isa !n %lo"!e de asa M( acia la derec2a a!enta la pendiente $ en !n p!nto se topa

con !n !ro' desde el c!al se e3tiende !na línea paralela a la priera $ aarra el %lo"!e'

anteni#ndolo en s! sitio $ generando !na tensión T( +eg!idaente' se de%e identificar el

6ng!lo de la pendiente con !na letra griega' "!e p!ede ser GalfaH' $ la f!er,a "!e #sta e&erce

so%re el %lo"!e con la letra N' dado "!e se trata de la f!er,a noral(



Desde el %lo"!e' se de%e tra,ar !n vector perpendic!lar a la pendiente $ 2acia arri%a para

representar la f!er,a noral' $ !no 2acia a%a&o -paralelo al e&e $. para graficar la f!er,a de

gravedad( L!ego' se coien,a con las fór!las(

9ara 2allar !na f!er,a' se eplea F M(J siendo g s! aceleración constante -en el caso de

la gravedad' el valor es 9.8m /s2

.( La !nidad !tili,ada para el res!ltado es Ne)tons' "!e

se e3presa con la letra N( En el caso de la f!er,a noral' se de%e descoponer en s!s

vectores vertical $ 2ori,ontal' vali#ndose del 6ng!lo "!e fore con el e&e 3: para el c6lc!lo

del vector 2acia arri%a' g e"!ivale al coseno del 6ng!lo' ientras "!e para el vector 2acia la

i,"!ierda' al seno del iso(

9or /ltio' se de%e e"!iparar el coponente i,"!ierdo de la f!er,a noral con el derec2o

de la tensión T' resolviendo finalente la tensión(

A%!icacine" de !" Vec#$e" en !a In,enie$ia

Tres raas de la Ingeniería:

A%!icación de -ec#$e" en In,enie$.a De Si"#ema"

Los vectores -llaados atrices en Ingeniería sisteas. se !tili,an en el c6lc!lo n!#rico'En la resol!ción de sisteas de ec!aciones lineales' De las ec!aciones diferenciales $ de las

derivadas parciales( Ade6s de s! !tilidad para el est!dio de sisteas de ec!aciones

Lineales' las atrices aparecen de fora nat!ral en geoetría' estadística' Econoía'

infor6tica' física' etc(((

Los vectores de Radar de navegación a#rea para evitar sit!aciones de eergencia'

C!rso' derrota' R!%o $ arcación definido por vectores Aplicación de vectores en

la Ingeniería de sisteas(



Coo veos en la iagen' el radar sirve detecta la posición de las personas $ da

s! !%icación a trav#s de vectores(

A%!icación de Vec#$e" en !a In,enie$.a Ind/"#$ia!

Los vectores en la ingeniería ind!strial sirven para resolver pro%leas de est6tica -de

coposición de f!er,as' por e&eplo las f!er,as "!e act/an so%re !n p!ente o !n edificio o

las f!er,as "!e act/an so%re los pi1ones de !na r!eda dentada' etc (((.



M!estra de !n diagraa de %lo"!es $ vectores del la,o iterativo general de !n circ!ito

T#rico e"!ivalente(

A%!icación de Vec#$e" en !a In,enie$.a Ci-i!

Los vectores dentro de la Ingeniería Civil se aplican

por e&eplo si 2aces dise1ar !n tec2o de arad!ra' La %ase de !na col!na( Necesitas la

descoposición para conocer el oento Falta encionar c6lc!lo anti sísico $ !na

variedad de aplicaciones( +in descoposición de vectores no 2a$ est6tica $ sin ella no 2a$

ingeniería civil(



La o%tención de esta atri, es f!ndaental siepre "!e se apli"!e el M#todo de la rigide,con enfo"!e atricial( +!stit!$en en la ec!ación -0. la atri, rigide, -*. $ el vector de los

t#rinos independientes -9. se o%tienen los despla,aientos lineales $ ang!lares en cada

nivel del edificio(

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