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Matematica
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1
onsidere un alambre de longitud . La densidad lineal de
masa se define como la cantidad de masa por unidad de lon-
gitud. Si es constante, por definicin:
= (1)
Por ejemplo, si =20 cm y = 5 g/cm, entonces la masa total del alam-
bre es = 20 5 = 100 g.
Considere ahora un alambre delgado que se extiende sobre el eje
desde = hasta = , como se muestra en la figura siguiente, y
cuya densidad de masa () es una funcin continua de .
Para calcular la masa total ,
dividimos el alambre en pe-
queos segmentos de longi-
tud = ( )/ , y sea =
1 . Si escogemos de
manera que < < 1, en-
tonces en la masa est dada
por (). Como es con-
tinua, podemos aproximar la
masa de este pequeo seg-
mento por el incremento
= ()
Entonces, la masa total est dada por:
=1
= ()
=1
Donde es la masa del i-simo segmento.
No podemos usar la ecuacin (1) porque () no es constante, pero si
es lo suficientemente pequeo, entonces () es aproximadamente
constante a lo largo del i-simo segmento.
C
Otras Aplicaciones de la Integral Definida Universidad de El Salvador Facultad de Ingeniera
y Arquitectura Matemtica II Por Oscar Daz.
Densidad
En ingeniera es comn tra-
bajar con algunas propieda-
des fsicas que se distribu-
yen espacialmente. Por
ejemplo, al considerar un
objeto cuya masa se encuen-
tra distribuida en una sola
dimensin principal, como
el caso de una varilla larga,
hablamos de una densidad
lineal de masa.
Si consideramos una placa
delgada y grande que ha
sido cargada elctrica-
mente, la carga se distri-
buir principalmente en la
superficie de la placa. En
este caso hablamos de una
densidad superficial de
carga.
En general, podemos decir
que la densidad es una me-
dida de cunto material
se encuentra comprimido
en un espacio determinado.
El ejemplo ms comn es la
cantidad de masa por uni-
dad de volumen.
()
2
Si la exactitud de la aproximacin mejora y podemos calcular la masa total como
= lim0
()
=1
= ()
Ejemplo 1: Encuentre la masa total de un alambre de 2 m que tiene una densidad lineal de masa dada
por () = (1 + (2 )) kg/m donde es la distancia desde uno de los extremos del alambre..
Ejemplo 2: Una carga se distribuye en un alambre de longitud =10 cm con una densidad lineal de carga
uniforme () = (2 + 1)2 104 coulombs por centmetro, para para 0 10. Calcule la carga to-
tal .
Respuesta:
Solucin:
Respuesta: 10/3 kg
Solucin:
3
Ejemplo 3: Para calcular la fuerza ejercida por el fluido sobre la pa-
red lateral de la caja mostrada en la figura, procedemos de la si-
guiente manera (las unidades estn en metros):
Como la presin varia con la profundidad, dividimos la caja en
rectngulos horizontales delga-
dos. Sea la fuerza en el j-simo
elemento. La fuerza total es la
suma de las fuerzas sobre cada
uno de estos elementos diferen-
ciales:
= 1 + 2 + +
Sea la profundidad, donde = 0
se mide en la superficie del fluido
y es positiva a medida que aumenta la profundidad.
Cada rectngulo tiene un ancho = 5/ y una longitud de 2, y
por tanto su rea es 2. El borde inferior del j-simo rectngulo
est a una profundidad = 3 + .
Si es muy pequeo, la presin sobre este rectngulo es aproxi-
madamente constante (ya que todos los puntos sobre este borde es-
tn aproximadamente a la misma profundidad) y est dada por
. Por tanto, podemos aproximar la fuerza que acta sobre este
rectngulo por medio de
2 = (2)
La fuerza total la podemos aproximar por
= 1 + 2 + + 2
=1
= lim||||0
2
=1
= 2 8
3
con =103/3, = 28
3= 2|3
8 =539,000 N.
Ejemplo 4: Calcular la fuerza que el fluido ejerce sobre un lado de
la placa en forma de tringulo equiltero de 2 m de lado, sumergida
verticalmente en un depsito con aceite con densidad de masa
=900 /3, como se muestra en la siguiente figura. Cul sera
una expresin general para calcular la fuerza cuando la longitud del
rectngulo horizontal varia con la profundidad? (en el ejemplo an-
terior esta longitud, de 2 m, es constante).
Presin de un
Fluido y Fuerza
Cuando se sumerge un cuerpo
en un fluido como el agua, el
fluido ejerce una fuerza per-
pendicular a la superficie del
cuerpo en cada punto de la su-
perficie. Esta fuerza por uni-
dad de rea se denomina pre-
sin del fluido:
=
Esta presin est determinada
por dos principios:
La presin es proporcional
a la profundidad.
El fluido ejerce una pre-
sin en cada superficie del
objeto en una direccin
perpendicular a sta.
A una profundidad h, un
fluido con densidad (masa
por unidad de volumen)
ejerce una presin = .
En este caso, la fuerza total ac-
tuando sobre una superficie de
rea A es
=
=
A la magnitud , se le llama
densidad de peso del fluido; es
el peso por unidad de volumen
de fluido. En el agua la densi-
dad de peso es 9800 /3 =
62.4 lb/3.
Las unidades SI para la presin
es el pascal (Pa).
(1Pa=1 N/m2)
4
Ejemplo 5: La presa de las tres gargantas en el rio Yangtze, China tiene una altura de 185 m. Calcule la
fuerza sobre la presa, asumiendo que sta es un trapezoide de base 2000 m y borde superior de 3000 m,
inclinado a un ngulo de 55 con respecto a la horizontal como muestra el siguiente esquema.
Solucin:
Respuesta: 17,640 N
Solucin:
Respuesta: aproximadamente 5.46 x 1011 N.
5
Estamos interesados en el caso donde la fuerza aplicada () vara
cuando el objeto se mueve desde hasta a lo largo del eje . En
este caso la ecuacin (1) no se puede aplicar directamente, pero po-
demos dividir el trabajo en pequeos diferenciales de trabajo, para
los cuales la ecuacin (1) da una buena aproximacin.
Dividamos el intervalo [a, b] en N subintervalos de longitud
= ( )/ como en la figura anterior. Sea el trabajo nece-
sario para mover el objeto desde 1 hasta . Si es lo suficiente-
mente pequeo, entonces la fuerza () es aproximadamente cons-
tante en el intervalo [1, ] con valor (). Entonces
()
Sumando todas las contribuciones obtenemos
=
=1
()
=1
Si hacemos que los intervalos sean cada vez ms pequeos
= lim||||0
()
=1
= ()
Trabajo y Energa
Toda actividad fsica, desde
caminar hasta encender una
computadora, requiere del
gasto de energa. Cuando
una fuerza se aplica a un ob-
jeto para moverlo, la ener-
ga gastada se conoce como
trabajo. Si la fuerza aplicada
F es constante y el objeto se
desplaza una distancia d en
la direccin de la fuerza, el
trabajo W se define como
= (1)
Las unidades SI para el tra-
bajo y energa es el joule (J)
igual a 1
6
Ejemplo 6: Un tanque esfrico de radio R se llena con agua. Calcular el trabajo efectuado (contra la gra-
vedad) para bombear el agua fuera del tanque por un pequeo agujero en la parte superior. La densidad
del agua es de 1000 /3.
Solucin:
En la siguiente figura se muestra un esquema del tanque
dividido en muchas capas delgadas de agua con ancho
. Escogemos el centro de la esfera como el origen del
sistema de coordenadas.
El primer paso es calcular el trabajo realizado, contra la
gravedad, sobre una capa delgada de agua. A una altura y
la seccin transversal es un crculo con radio = 2 2
como se indica en el siguiente esquema.
= 9.8 1000 (2
2) = 9800(2
2)
La capa delgada de agua tiene que ser desplazada una distancia , por tanto el trabajo sobre ella es
= 9800(2
2) ( ) = 9800(3 2
2 + 3)
Finalmente, sumando las contribuciones de cada una de las N capas, el trabajo es aproximadamente
9800 (3 2 2 +
3)
=1
Cuando (es decir cuando 0) esta suma se aproxima a la integral
= 9800 (3 2 2 + 3) =
39200
34
Nota: un litro de gasolina proporciona, al arder, aproximadamente 3.4 107 J. Si el tanque tiene 5 metros de radio, el trabajo es
aproximadamente 2.6 107, para lo cual se requiere, aproximadamente, tres cuartos de un litro de gasolina.
El rea de la capa delgada de agua es
() = 2 = (2
2).
El volumen de la capa es () y
para bombearla una distancia verti-
cal hacia arriba debemos ejercer una
fuerza contra la gravedad igual a
= ()
masa
7
Ejemplo 7: Un tanque esfrico de radio 8 pies est medio lleno de un aceite que pesa 50 /3.
Calcular el trabajo requerido para extraer el aceite a travs de un orificio en la parte superior del tanque.
Respuesta: Aproximadamente 589782 lbpie
8
Ejercicios Propuestos.
1. Calculando la Poblacin total. En algunas situaciones, la densidad es una funcin de la distancia
al origen. Por ejemplo, en el estudio de poblaciones
urbanas, podemos asumir que la densidad de poblacin
(r) [en personas por kilmetro cuadrado] depende solamente de la distancia r desde el centro de la ciu-dad.
La poblacin en cierta ciudad tiene una funcin
de densidad radial dada por () = 15(1 +2)1/2 Donde es la distancia desde el centro de la
ciudad (en kilmetros) y tiene unidades de
miles de personas por kilmetro cuadrado.
Cunta gente vive en un radio comprendido
entre los 10 y 30 kilmetros desde el centro de
la ciudad? Respuesta: aproximadamente 1.9 millo-nes de personas.
2. Fuerza sobre una presa. Una presa esta incli-
nada un ngulo de 45 y su base tiene un ancho
de 1500 pies y una altura de 700 pies como se
muestra en la siguiente figura.
Si la presa se llena completamente, muestre
que la fuerza sobre ella est dada por
= 15002 3.24 1010700
0
donde = 62.4 /3 es la densidad de peso
del agua.
3. Trabajo para mover una cadena. Considere
una cadena de 15 pies de largo que pesa 3 libras
por pie y que cuelga de un mecanismo capaz
de subirla y que se encuentra a 15 pies sobre el
nivel del suelo. Calcular el trabajo realizado
por el mecanismo para:
a) Subir toda la cadena. Respuesta: 337.5 lbpie
b) Subir la cadena hasta que el extremo infe-
rior est a 10 pies del suelo. Respuesta: 300 lbpie
4. Vaciado de Tanques. Calcular el trabajo (en
joules) requerido para bombear toda el agua
fuera del tanque. Las distancias estn en me-
tros y la densidad del agua es 1000 /3.
5. Valor promedio de una funcin. El valor pro-
medio (o media) de una funcin continua en
un intervalo es
(
[, ]) =
1
()
La poblacin de Estados Unidos se puede mo-
delar por la ecuacin () = 3090.0087 (millo-
nes de personas) donde es el nmero de aos
desde 2010. Cul ser la poblacin promedio
entre los aos 2020 y 2030? Respuesta: aproximada-mente 352 millones de personas.
Se
sub
ir
tod
a la
cad
ena
Respuesta: 3.92 x 106 J
Respuesta: 1.18 x 108 J
Respuesta: 98003 J