Sistemes lineals i equacions en difernciesen diferncies

Tema 5 15

Sistemes lineals i equacions en diferncies

Les equacions en diferncies apareixen en el context de la modelitzaci

matemtica dun sistema dinmic que canvia al llarg del temps.

Algunes caracterstiques que ens interessen del sistema es poden mesurar en

intervals de temps discrets, de manera que es produeix una seqncia de vectors

x0, x1, x2, ... Les entrades del vector xk proporcionen informaci sobre lestat del

sistema en el moment de la k-ssima mesura.

Si existeix una matriu A tal que

(1)

Al h (1) i li l dif i ( l i dAleshores (1) sanomena equaci lineal en diferncies (o relaci derecurrncia). Donada una equaci aix, si coneixem el vector x0 ,podem anarcalculant x1, x2, ...

Tema 5 16

Sistemes lineals i equacions en diferncies

Exemple 1. Moviment de poblacions.

Els estudis demogrfics duna ciutat demostren que, cada any, el 5% de la

poblaci de la ciutat es muda als suburbis (mentre que el 95% roman en la

ciutat). Per contra, el 3% de la poblaci suburbana es muda a la ciutat (i el 97%

restant roman en els suburbis).

Si en lany 2000 la poblaci era de 600.000 habitants en la ciutat i 400.000 en els

suburbis, calcula la poblaci de la zona en els anys 2001 i 2002

Tema 5 17

Sistemes lineals i equacions en diferncies

Exemple 1. Moviment de poblacions.

Anem a denotar c0 la poblaci deciutat i s la poblaci de suburbi enciutat i s0 la poblaci de suburbi enlany 2000:

Poblaci de ciutat 2000Poblaci de ciutat, 2000

Poblaci de suburbis, 2000

Aix, x0 s el vector de poblaci de tota la zona en lany 2000.

Tema 5 18

Sistemes lineals i equacions en diferncies

Exemple 1. Moviment de poblacions.

Amb les dades del nostre exemple tindrem que c0=600000 i s0=400000, demanera que el vector de poblaci inicial s:

Poblaci de ciutat, 2000

Poblaci de suburbis, 2000

Tema 5 19

Sistemes lineals i equacions en diferncies

Exemple 1. Moviment de poblacions.

Per a lany 2001, lequaci de la poblaci de ciutat ser c1= 0.95 c0 + 0.03 s0

Per a lany 2001, lequaci de la poblaci de suburbis ser s1= 0.97 s0 + 0.05 c0

Per tant tenim un sistema lineal de 2 equacions amb 2 incgnites que, matricialment,

quedar

Tema 5 20

Sistemes lineals i equacions en diferncies

Exemple 1. Moviment de poblacions.

Tenim doncs una equaci lineal en diferncies:q

Tema 5 21

Sistemes lineals i equacions en diferncies

Exemple 1. Moviment de poblacions.

Tema 5 22

Sistemes lineals i equacions en diferncies

Exemple 1. Moviment de poblacions.

De la mateixa manera, podem calcular la poblaci per a lany 2002 a partir de les

dades de 2001. Si anomenem x2 al vector de poblaci de 2002, tindrem:

Tema 5 23

Sistemes lineals i equacions en diferncies

Exercici 1. Al comenament de lany 1990, la poblaci de Califrnia era de

29.716.000 habitants i la dEstats Units fora de Califrnia era de 218.994.000

habitants. Durant eixe any, 509.500 persones es van mudar de Califrnia a

alguna altra part dEstats Units, mentre que 564.100 persones es mudaren a

Califrnia des dalgun altre lloc dEstats Units.

1. Estableix la matriu de migraci per a aquesta situaci.

2. Determina la poblaci projectada per a lany 2000 de Califrnia i de la

dE U i l d i i iresta dEstats Units, suposant que les taxes de migraci no canviaren

durant el perode de 10 anys.

Tema 5 24

Sistemes lineals i equacions en diferncies

Exercici 2. Una companyia de lloguer de cotxes t una flota d' aproximadament

450 autombils en tres sucursals. Un cotxe llogat en una sucursal pot ser tornat

en qualsevol dels tres locals. En la taula segent es mostren les distintes

proporcions dautombils tornats en cada sucursal.

Suposa que un dilluns hi ha 304 cotxes en laeroport (o llogats des dall), 48

cotxes en loficina de lest i 98 en la de loest. Quina seria aproximadament la

distribuci dautombils el dimecres?Cotxes llogats en:

A t Aeroport Est OestCotxes tornats a

Aeroportp Est Oest

Tema 5 25