Espacio afín 2º Bachillerato Tema 5 : apartado 5.1

Espacio afín

2º Bachillerato

Tema 5 : apartado 5.1

Coordenadas en el espacio

Un punto O y una base B = {i ,

j ,

k } de los vectores libres del

espacio constituyen un sistema de referencia en el espacio.

Se escribe R = {O;i ,

j ,

k }.

En lo que sigue, por comodidad, trabajaremos en la base ortonormal.

[OP] = x .

i + y .

j + z .

k

(x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de referencia R.

Vector de posición de P

Origen de coordenadas

Ejes coordenados. Planos coordenados

• Los tres vectores de la base B determinan con el origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ.

• Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos coordenados del sistema de referencia.

Coordenadas de un vector libre cualquiera

PQ =

OQ –

OP

[

PQ] =

OQ –

OP =

= (b – a, b' – a' , b" – a")

Los puntos P y Q determinan el

vector fijo PQ

OP +

PQ =

OQ

Las coordenadas de un vector libre u = [PQ] respecto de la base B =

{i , j , k } se obtienen restando las coordenadas del punto P de las

correspondientes de Q en el sistema de referencia R = {O;i , j , k }.

m =

a +

AM =

a +

12

AB =

= a +

12 (

b –

a ) =

12 (

a +

b )

Coordenadas del punto medio de un segmento

Elementos geométricos

Los objetos o elementos geométricos elementales del espacio tridimensional son los puntos, las rectas, los planos, las curvas y las superficies.

Estos elementos geométricos pueden determinarse mediante ecuaciones paramétricas. La dimensión del elemento coincide con el número de parámetros.

Dimensión

Rectas y curvas(dimensión 1)

Planos y superficies(dimensión 2)

Rectas en el espacio: ecuación vectorial

Una recta viene determinada por un punto y una dirección. La dirección está

marcada por un vector libre u llamado

vector director.

Un punto X está en la recta si y sólo si PX

y u son proporcionales: [

PX] = t ·

u

Si p es el vector de posición de P,

x es

el vector de posición de X, quedará: x –

p = t ·

u es decir:

x =

p + t ·

u

La expresión x =

p + t ·

u con t R es la ecuación vectorial de la recta que

pasa por P y tal que u es un vector director de la misma.

Rectas en el espacio: ecuaciones paramétricas

La recta que pasa por P de vector directorv (v1, v2, v3) se puede poner así:

(x, y, z) = (xo, yo, zo) + t (v1, v2, v3) Al igualar coordenadas obtenemos:

Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene

por vector director v (v1, v2, v3) son

x = xo + t.v1

y = yo + t.v2

z = zo + t.v3

x = xo + t.v1

y = yo + t.v2

z = zo + t.v3

Rectas en el espacio: ecuación en forma continua

Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto P (x0,y0,z0) y tienen por vector director (v1,v2,v3) son:

30

20

10

tvzz

tvyy

tvxx

Las ecuaciones en forma continua de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que

tiene por vector director (v1, v2, v3) son:

Despejando t en cada una de ellas e igualando, obtenemos las ecuaciones de la recta que no dependen de ningún parámetro

Rectas en el espacio: ecuaciones reducidas o implícitas

Las ecuaciones en forma contínua de la recta r que pasa por P(x1, y1, z1) y que

tiene por vector director v (v1, v2, v3) son

3

1

2

1

1

1

v

zz

v

yy

v

xx

1 1

1 2

x x y y

v v

1 1

3 1

z z x x

v v

1 1

2 3

y y z z

v v

De aquí obtenemos tres ecuaciones:

Como la tercera ecuación es combinación lineal de la otras dos, suprimiendo una ellas, la tercera por ejemplo, y operando obtenemos:

2 1 1 1 1 2

3 2 1 2 1 3

0

0

v x v y y v x v

v y v z z v y v

Este par de ecuaciones son las ecuaciones reducidas o implícitas de la recta . En general :

0D'zC'yB'xA'

0D Cz By Ax

Ecuaciones de los ejes coordenados

Vectorial Paramétrica

Eje OX x = t

i

x = t

y = 0z = 0

Eje OY x = t

j

x = 0

y = tz = 0

Eje OZ x = t

k

x = 0

y = 0z = t

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

(a1, a2, a3)

(b1, b2, b3)

Por tanto la ecuación de la recta será:(x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (b1–a1, b2–a2, b3–a3 )

La recta r queda determinada por la siguiente

determinación lineal: r(A, ) o por(B, )AB

AB

Planos: ecuación vectorial

Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente independientes. Se dice que a (A, v, w ) es una determinación lineal del plano alfa.

Por tanto x – a = λ v + μ w

Se observa además que X rango (AX, v, w) = 2 det (AX, v, w) = 0

Planos: ecuaciones paramétricas

Partiendo de la ecuación vectorial del plano: (x, y, z) = (x1, y1, x1) + λ (a, b, c) + μ (a', b', c')

obtenemos las ecuaciones paramétricas utilizando las operaciones con ternas de números de R3 e igualando después. Por tanto las ecuaciones paramétricas del plano son las siguientes:

Planos: ecuaciones de los planos coordenados

Vectorial Paramétrica Implícia

Plano OXY x = t

i + s

j

x = t

y = sz = 0

z = 0

Plano OXZ x = t

i + s

k

x = t

y = 0z = s

y = 0

Plano OYZ x = t

j + s

k

x = 0

y = tz = s

x = 0

Ecuación del plano que pasa por tres puntos

La determinación lineal de dicho plano será:

Como los tres vectores están en el mismo plano, son dependientes y por lo tanto su ecuación se obtendrá desarrollando el siguiente determinante:

Sean A, B y C tres puntos no alineados. Por tanto los vectores AB y AC no son paralelos.

(A, AB,

AC)

det(AX,

AB,

AC) = 0

(a, b, c)

(a", b", c")(a

', b'

, c')X

(x, y, z)

Posiciones relativas de dos planos

Sean dos planos α: Ax + By + Cz + D = 0 y β: A'x+ B'y + C'z + D' = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean M y M* las matrices asociadas a dicho sistema.

Sistema compatible indeterminado de rango 2 Sistema incompatible Sistema compatible

indeterminado de rango 1

rango(M) = rango(M*) = 2 rango(M) = 1; rango(M*) = 2 rango(M)= rango(M*) = 1

1 2 3

Posiciones relativas: tres planos (I)

Sean π: Ax + By + Cz +D = 0 ; π ': A'x + B'y + C'z + D' = 0 ; π": A"x + B"y + C"z + D" = 0. Estudiar las posiciones relativas de estos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean M y M* las matrices asociadas a dicho sistema.

Los tres planos tienenun punto en común

Sistema compatibledeterminado

Triedro

1 2a

2b

Prisma

Los tres planos no tienenpuntos en común

Sistema incompatible

rango(M) = 2; rango(M*) = 3

Dos planos paralelosy un tercero secante a ellos



rango(M) = rango(M*)=3 rango(M)=2;rango(M*)=3

Sean π: Ax + By + Cz + D = 0 ; π': A'x + B'y + C'z + D' = 0 ; π": A"x + B"y + C"z + D" = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

Posiciones relativas: tres planos (II)

Los tres planos tieneninfinitos puntos

en común

Sistema compatibleindeterminado

de rango 1

rango(M) = rango(M*) = 1

Tres planos coincidentes

3a 53b

Tres planos distintos

Los tres planos tienenuna recta en común


de rango 2


Dos planos coincidentesy un tercero secante a ellos

Los tres planos tienenuna recta en común


de rango 2








Tres planos paralelosDos planos coincidentes

y un tercero paralelo a ellos

4a

Sean π: Ax + By + Cz + D = 0 , π': A'x + B'y + C'z + D' = 0 , π": A"x + B"y + C"z + D" = 0.Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean M y M* las matrices asociadas a dicho sistema.

4b

Posiciones relativas: tres planos (III)

Posiciones relativas: recta y plano

Sea la recta r dada como intersección de dos planos ( ecuaciones implícitas de r):α: Ax + By + Cz + D = 0 y β : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0 y el plano π: A’’x + B’’y + C’’z + D’’ = 0 . Estudiar las posiciones relativas de recta y plano equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las tres ecuaciones anteriores. Sean M y M* las matrices asociadas a dicho sistema.

Sistema compatible determinado

Sistema compatibleindeterminado de rango 2 Sistema incompatible

rango(M) = rango (M*) = 3 Rango(M) = 2; rango (M*) = 2rango(M) = 2; rango (M*) = 3

Recta y planosecantes

Recta contenidaen el plano

Recta y planoparalelos

1 2 3

Posiciones relativas: dos rectas (I)Sea r dada como intersección de los planos Ax + By + Cz + D = 0 y A’x + B’y + C’z + D’ = 0. Sea s dada como intersección de A’’x + B’’y + C’’z + D’’ = 0 y A’’’x +B’’’y + C’’’z +D’’’ = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean M y M* las matrices asociadas a dicho sistema.

Las rectas tienen todossus puntos comunes

Sistema compatibleindeterminado de rango 2


Rectas coincidentes

1 2

Rectas paralelas

Las rectas no tienenpuntos en común



Sea r dada como intersección de los planos Ax + By + Cz + D = 0 y A’x + B’y + C’z + D’ = 0. Sea s dada como intersección de A’’x +B’’y + C’’z +D’’ = 0 y A’’’x + B’’’y + C’’’z + D’’’ = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean M y M* las matrices asociadas a dicho sistema.

rango(M= 3; rango(M*) = 4

43

Rectas que se cruzan


Las rectas no tienenpuntos en común

Posiciones relativas: dos rectas (II)

Rectas secantes

Las dos rectas tienenun punto en común

Sistema compatibledeterminado


Haces de planos

Dado π≡Ax+By+Cz+D=0

1 Haz de planos paralelos 2 Haz de planos secantes

Los haces de planos se pueden expresar

como Ax+By+Cz+=0 con є R.

Dados ≡Ax+By+Cz+D=0

≡ Ax+By+Cz+D =0

Los haces de planos se pueden expresar

como Ax+By+Cz+D+(Ax+By+Cz+D )=0

Para que el haz quede completo hay que

añadir: Ax+By+Cz+D =0

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