Si una fuerza constante F acta sobre un objeto desplazndolo una distancia x, a lo largo de una lnea recta, y la direccin de la

fuerza coincide con la del movimiento, entonces el trabajo

realizado W se expresa como el producto de la fuerza F por el

camino recorrido.

Es decir: W = F . X

La ecuacin para encontrar el trabajo es:

siendo f(x) la fuerza aplicada a la partcula cuando esta se encuentra en el punto cuya coordenada es x

La unidad de medida del trabajo es el JOULE (J).

EJEMPLO: Un resorte tiene una longitud natural de 8

pulgadas. Si una fuerza de 20 libras estira el resorte 1/2 pulgada,

determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas

a 11 pulgadas.

SOLUCION: Consideremos el resorte ubicado a lo largo del eje

x, con su extremo fijo en el origen:

Por la ley de Hooke se sabe que F = k.x

Como x = 0;5 pulgadas cuando F = 20 libras, entonces

20 = k(0;5) de donde

k = 40.

Luego, F = 40x. Se desea calcular el trabajo realizado

por esta fuerza si aumenta la extensin de 8 a 11

pulgadas. Luego:

= 0

340 dx

= 180

EJEMPLO: Encontrar el trabajo requerido para comprimir un

resorte desde su longitud natural de 1 a una longitud de 75 pies,

si la constante de fuerza es k=16 lb/ft

W= 0.5 ft-lb

W= 00.2516

APLICACIN A BOMBEO DE LIQUIDOS

Un deposito en forma de cono circular que tiene 10 pies de

altura, se llena hasta unos 2 pies de alto, con aceite de oliva de

densidad de

Cunto trabajo se necesita para bombear el aceite hasta el borde

del tanque?

Hallamos primeramente:

f(y)=densidad

3 3

Luego, la distancia a travs del cual F(y) debe actuar para bombear el aceite a

nivel del borde del cono es de unos (10-y)ft , por lo que el trabajo realizado para

bombear a el liquido, es aproximadamente:

w = 0

857

410 2

=57

4 0

8

102 3

= 30,561

W= 103100 100 2

W=100/3(91)^3/2 = 1,805 libras-pie

Encuentre el trabajo realizado al bombear agua hasta el borde

superior de un deposito, que es de 50 pies de largo y tiene

extremos semicirculares de radio 10 pies, si el deposito esta lleno

hasta una profundidad de 7 pies .

1. Mediante un grfico explicativo, use diferenciales para formular una integral que

represente el trabajo (U), para extraer por bombeo la mitad del agua (62.5lb/pie3) del

recipiente, que tiene la forma de paraboloide de revolucin, la boquilla donde se

extrae el agua est ubicada en la parte superior de dicho recipiente, todas las unidades

estn en pies. (Observacin: Sacar la ecuacin de la PARBOLAGENERATRIZ).

x

y

2. Un recipiente con agua se eleva verticalmente con una velocidad de 1,5 pies/s,mediante una cuerda de peso despreciable. Mientras se eleva, se le va saliendo el agua a

razn de 0,25 lb/s. Si el recipiente pesa 4 lb cuando est vaco, y tena 20 lb de aguacuando se empez a elevar. Calcule el trabajo realizado al elevar el recipiente 12 pies.

3. Un elevador de 1200 lb est suspendido de un cable de 100 ft que pesa 10 lb/pies.

Mediante la ayuda de un grfico y diferenciales elabore una integral que calcule el trabajo

de subir el elevador desde el stano hasta el cuarto piso, que es una distancia de 40 pies?.

Halle su valor.

Supongamos que una lmina de rea A est sumergida en posicin horizontal en un lquido de densidad r (Kg/m3) a

una profundidad de x mts. bajo la superficie del lquido.

A

x

La columna de lquido por encima de la lmina tiene un volmen V=Ax

Su masa est dada por: m=rV=rAx

La fuerza que ejerce sobre la lmina es: F=mg=rgAx

A

x

Por otra parte, la presin ejercida por la columna de lquido es:

Utilizando la frmula de la fuerza obtenida anteriormente:

Simplificando:

Esto quiere decir que la presin sobre la lmina depende slo de la profundidad (es proporcional a la profundidad).

A

FP

A

gAxP

gxP

Este resultado est relacionado con el Principio de Pascal que adems de establecer lo anterior, afirma que la fuerza ejercida por la columna del lquido sobre la lmina es perpendicular a sta y se propaga en todas las direcciones con la misma intensidad a la misma profundidad.

F F

FF

F

El principio de Pascal ayudar a determinar la fuerza debida a la presin sobre una pared vertical de un recipiente que contiene a un lquido.

Para ello, consideraremos una seccin de rea A que se encuentra en una de las caras del recipiente.

A F