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Áreas entre curvas
Nós já definimos e calculamos áreas de regiões que estão sob os gráficos de funções. Aqui nós estamos usando integrais para encontrar áreas de regiões entre os gráficos de duas funções. Considere a região S que está entre duas curvas y=f(x) e y=g(x) e entre as retas verticais x=a e x=b, onde f e g são funções contínuas e f(x)≥g(x) para todo x em [a,b].
( , ) / , ( ) ( )S x y a x b g x y f x
Assim como fizemos em aula passada, dividimos S em n faixas de larguras iguais e então aproximamos a i-ésima faixa por um retângulo com base Δx e . A soma de Riemann é portanto uma aproximação que nós intuitivamente pensamos da área de S. Esta aproximação parece melhorar quando . Portanto nós definimos a área A de S como o valor do limite da soma das áreas destes retângulos aproximadores:
* *
1
n
i i
i
f x g x x
* *
i if x g x
* *
1
limn
i in
i
A f x g x x
n
A área A da região limitada pelas curvas é então: Notamos que se g(x)=0, S é a região sob o gráfico de f, e nossa definição acima é reduzida à definição anteriormente estudada. Se f e g forem positivas:
b
aA f x g x dx
[ ( )] [ ( )]
=
b b
a a
b
a
A área sob y f x área sob y g x
f x dx g x dx
f x g x dx
EXEMPLO 1: Encontre a área da região limitada por cima Por y=ex e por baixo por y=x, e limitada pelos lados por x=0 e x=1. RESOLUÇÃO:
1 1 1
0 0 0
12 2 2
11 0
00
( )
1 0
2 2 2
1 31 . .
2 2
x x
x
A e x dx e dx xdx
xe e e
e e u a
EXEMPLO 2: Encontre a área da região entre as parábolas y=x2 e y=2x-x2 . RESOLUÇÃO: Nós primeiro encontramos os pontos de intersecção das parábolas resolvendo suas equações simultaneamente.
2 2
2
2
1
2
2
2 2
0
( 1) 0 0 1
0 0 I (0,0)
1 1 I (1,1)
x x x
x x
x x
x x x e x
x y
x y
1 12 2 2
0 0
1 1 12 2
0 0 0
1 12 3 2 2 3 3
0 0
(2 ) 2 2
2 2 2
1 0 1 02 2 2
2 3 2 2 3 3
2 11 . .
3 3
A x x x dx x x dx
x x dx xdx x dx
x x
u a
Algumas regiões são mais bem tratadas considerando x como uma função de y. Se uma região é limitada por curvas com equações x=f(y), x=g(y), y=c e y=d, onde f e g são contínuas e f(y)≥g(y) para c≤y≤d, então sua área é:
d
cA f y g y dy
EXEMPLO 3: Encontre a área limitada pela reta y=x-1 e pela parábola y2=2x+6. RESOLUÇÃO: Colocando x como função de y nas duas equações:
2 2
2
2
1 1
2 6 6 2
6
2
32
y x x y
y x y x
yx
yx
Depois encontramos os pontos de intersecção da parábola e da reta resolvendo suas equações simultaneamente.
2
2
2
2
2
2
1
2
1 32
61
2
2( 1) 6
2 2 6
2 8 0
( 2) ( 2) 4.1.( 8)
2.1
2 64 y 2
2
2 1 2 1 1 I (-1,-2)
4 1 4 1 5 I (5,4)
yy
yy
y y
y y
y y
y
y y e
y x y
y x y
24 4
2
2 2
4 4 42
2 2 2
4 43 2
4
2
2 2
3 23 2
1( 1) 3 4
2 2
14
2
14
2 3 2
2 21 4 44 4 ( 2)
2 3 3 2 2
81 64 16 44 6
2 3 3 2 2
yA y dy y y dy
y dy ydy dy
y yy
1 72 1224 12 6 24 18 . .
2 3 2u a
Volumes
Na tentativa de encontrar o volume de um sólido nós nos deparamos com o mesmo tipo de problema para calcular áreas. Começando com um sólido simples chamado cilindro, que é limitado por uma região plana B1, chamada base, e a região B2 congruente em um plano paralelo. O cilindro consiste em todos os pontos nos segmentos de retas perpendiculares à base que unem B1 e B2. Se á área da base é A e a altura (distância entre B1 e B2) é h, então o volume é:
V Ah
Para um sólido S que não é um cilindro, nós primeiro “cortamos” S em pedaços e aproximamos cada pedaço por um cilindro. Chegamos ao volume exato de S através de um processo de limite quando o número de partes se torna grande. Pense em fatiar S com uma faca através de x e calcular a área dessa fatia. A área A(x) varia quando x aumenta de a a b. seção transversal
Vamos dividir S em n fatias de larguras iguais Δx usando os planos Px1, Px2,...Se escolhermos pontos de amostragem x*
i em [xi-1, xi], podemos aproximar a i-ésima fatia Si por um cilindro com área de base A(x*
i ) com “altura” Δx . Adicionando os volumes destas fatias, nós obtemos uma aproximação para o volume total:
*( )i iV S A x x
*
1
( )n
i
i
V A x x
Esta aproximação parece melhorar quando . Pense em tornar as fatias cada vez mais finas. Portanto, definimos o volume como o limite destas somas quando . Mas reconhecemos o limite da soma de Riemann como a integral definida, e assim temos o seguinte definição.
n
*
1
lim ( ) ( )n b
ian
i
V A x x A x dx
n
DEFINIÇÃO DE VOLUME Seja S um sólido que está entre x=a e x=b. Se a área da seção transversal de S no plano Px, passando por x e perpendicular ao eixo x, é A(x), onde A é uma função contínua, então o volume de S é:
EXEMPLO 1: Mostre que o volume de uma esfera de raio r é: RESOLUÇÃO: Se colocarmos a esfera de tal maneira que o seu centro esteja na origem, então o plano Px intercepta a esfera em um círculo cujo raio (pelo teorema de Pitágoras) é . Então a área da seção transversal é: Usando a definição de volume com a=-r e b=r, nós temos:
2 2y r x
34
3V r
2
2 2 2 2 2( )A x y r x r x
2 2( )r r
r rV A x dx r x dx
2 2 2 2r r r
r r rV r x dx r dx x dx
33 32 2
32 3 3 3
( )3 3 3
2 42 2 2 . .
3 3 3
r
r
r
r
rx rr x r r r
rr r r r r u v
Pela soma de Riemann: com 5 discos com 10 discos com 20 discos
EXEMPLO 2: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo x da região sob a curva de 0 a 1. RESOLUÇÃO: Se fizermos a rotação ao redor do eixo x, obteremos o sólido mostrado acima e se fatiarmos através do ponto x, obtemos um disco com raio . A área desta seção transversal é:
y x
2
( )A x x x
x
O sólido está entre x=0 e x=1; assim, o seu volume é:
12 2
1 1
0 00
1( )
2 2 2
xV A x dx xdx
EXEMPLO 3: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por ao redor de y.
3, y=8 e x=0y x
RESOLUÇÃO: Como a região é girada ao redor do eixo y, faz sentido fatiar o sólido perpendicularmente ao eixo y e portanto Integrar em relação a y. Se nós fatiarmos a uma altura y, obteremos um disco circular com raio x onde : Então a área da seção transversal é: Como o sólido está entre y=0 e y=8, seu volume é:
3x y
2 2
2 33( )A y x y y
85
38 8 23
0 0
0
3.585 5
53 3 3
0
( )5
3
3 3 3 3 3 96 = 8 2 2 32 . .
5 5 5 5 5 5
yV A y dy y dy
y u v
13 5 3 5
1 12 4
0 00
1 1 2( ) ( ) . .
3 5 3 5 15
x xV A x dx x x dx u v
EXEMPLO 4: A região ℜ limitada pelas curvas y=x e y=x2 é girada ao redor do eixo x. Encontre o volume do sólido resultante: arruela (anel) Portanto temos:
22 2 2 4( ) ( )A x x x x x
Os sólidos dos exemplos 1-4 são chamados de sólidos de revolução, porque são obtidos pela rotação de uma região ao redor de um eixo. Então em geral, calculamos o volume de um sólido de revolução usando a fórmula básica da definição: ou e encontramos a A(x) ou A(y) por uma das seguintes maneiras: Se a seção transversal for um disco (exemplo 1 a 3), nós encontramos o raio do disco (em termos de x ou y) e usamos: Se a seção for uma arruela (exemplo 4), encontramos o raio interno rint e o raio externo rext e calculamos a área da arruela subtraindo a área do disco interno da área do disco externo:
( )b
aV A x dx ( )
d
cV A y dy
2( )A raio
2 2( externo) ( interno)A raio raio