Adonai Sant'Anna

Matemática e Sociedade

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quarta-feira, 29 de fevereiro de 2012Aplicando Matemática em Metafísica

Existem muitas acepções para o termo "metafísica". Usaremos aquela devida ao físico,filósofo e historiador da ciência Pierre Duhem (1861-1916), que se refere ao estudo dematéria não viva. Ou seja, não estamos interessados aqui em conceitos como a almahumana (apesar deste ser um tema de pesquisa que também emprega a matemática).

Segundo Duhem, a física é o estudo dos fenômenos, cuja fonte é a matéria bruta, e dasleis que os regem. Já a metafísica procura conhecer a natureza da matéria bruta,considerada como causa dos fenômenos e razão de ser das leis físicas. Neste sentido,teorias físicas podem ser diretamente testadas através de experimentos que envolvemprocessos de mensuração. Já teorias metafísicas contam apenas com evidênciasindiretas para sua verificação.

Provavelmente a mecânica quântica é a teoria física que mais rendeu interpretaçõesmetafísicas na literatura: a de de Broglie, a mecânica Bohmiana, a mecânica deNelson, a interpretação dos múltiplos universos etc. Patrick Suppes, Acacio de Barrose eu também desenvolvemos uma interpretação para a física quântica, apesar de seraplicável tanto em mecânica quântica quanto em eletrodinâmica quântica.

Usualmente a mecânica quântica, em sua formulação canônica, é matematicamentetratada a partir dos espaços de Hilbert, um tipo especial de espaço vetorial. Os vetoresdeste espaço correspondem a estados de sistemas físicos. E certos operadores, ditosHermitianos, são associados aos observáveis (posição, momento linear, spin etc).

Início

Esses operadores Hermitianos se aplicam sobre o espaço de Hilbert e admitem auto-valores que usualmente são interpretados como aquilo que o físico efetivamente medeem laboratório. No entanto, a matemática dos espaços de Hilbert (conhecida comoanálise funcional) não consegue responder a certas questões naturais e fundamentaissobre o que efetivamente ocorre em escalas atômicas. E como existem muitosfenômenos quânticos que desafiam a intuição (se compararmos com nossa visãoclássica de mundo), a partir disso surgiu uma miríade de interpretações para taisfenômenos, as quais são essencialmente teorias metafísicas.

Cito aqui um exemplo de matemática aplicada à metafísica do mundo quântico queprocurei adaptar para o ensino médio, principalmente entre alunos de clubes deciência ou de matemática que estão em busca de motivações para seus estudos.

Em mecânica quântica existe o conceito de spin. Toda partícula elementar (aquelasque constituem matéria e campos) é associada a um valor de spin, mesmo que sejanulo. O spin tem a mesma unidade de medida do momento magnético em físicaclássica. Mas não é momento magnético, pelo menos no sentido clássico daexpressão. O momento magnético de uma carga elétrica rotacionando em torno de umeixo imaginário é como um vetor no espaço tridimensional. E, no caso de partículasdescritas pela física clássica, o momento magnético pode assumir qualquer valorprojetado em uma dada direção do espaço. Já o spin admite uma distribuição discretade possíveis valores. Se medirmos, por exemplo, o spin de um elétron em uma dadadireção u do espaço, ele só pode assumir dois valores, os quais chamamos aqui de"para cima" e "para baixo". Além disso, se o vetor de momento magnético forrotacionado 360 graus, ele retorna ao mesmo ponto de partida. Já o spin é um vetorque precisa de uma rotação de 720 graus para voltar ao ponto inicial. É bizarro, mas écomo as coisas funcionam em mecânica quântica.

Além disso, a física clássica é realista. Ou seja, considera-se que o estado de umsistema físico independe do ato da observação. Se observamos que um dado objetofísico está parado em uma determinada posição do espaço (relativamente a umreferencial inercial), usualmente assumimos que ele continuaria naquela mesmaposição se não o tivéssemos observado. Já em mecânica quântica assume-seteoricamente que o estado de um sistema físico depende do ato da observação. Issoporque existem os chamados estados puros, que são matematicamente descritoscomo combinações lineares dos possíveis valores que uma medição pode detectar.Intuitivamente falando, um elétron pode estar em vários pontos do espaçosimultaneamente, antes do ato da observação. Mas, quando o observamos, elecolapsa para apenas uma dessas possíveis posições. E tudo o que podemos fazer éestimar a probabilidade de que colapse para um ponto específico do espaço. Esse tipode experimento não permite fazer previsões sem significativas margens para dúvida.

Finalmente, outra diferença fundamental entre mecânica clássica e mecânica quânticaé que a última é uma teoria não-local. Enquanto um sistema de partículas descrito pelafísica clássica invariavelmente pode ser dividido em vários subsistemas, no mundoquântico isso nem sempre é possível. Existem certos sistemas quânticos, de duas oumais partículas, que se encontram em um estado chamado de emaranhamento. Nemdo ponto de vista matemático e nem do ponto de vista físico podemos dividir estessistemas em subsistemas.

Consideramos a seguir um sistema de dois elétrons que se encontra neste estado deemaranhamento, onde contemplamos também o teste do fenômeno de não-localidadee da hipótese de não-realismo.

Romeu e Julieta repartiram dois elétrons entre si. O problema é que os dois elétrons seencontram em um estado de emaranhamento quântico.

Romeu não sabe se seu elétron tem spin para cima ou para baixo, em alguma direçãoque ele possa escolher para medir. E Julieta é igualmente ignorante sobre o estado despin de seu elétron.

Um dia o casal se afasta. Ele vai para a Macedônia e ela viaja para Curitiba, Paraná,Brasil.

O fato do sistema dos dois elétrons estar em estado de emaranhamento significa oseguinte: se Romeu medir o spin de seu elétron em estado puro na direção u doespaço, essa mensuração pode resultar em spin para cima ou para baixo (com amesma probabilidade de 50% para cada possível evento); mas isso necessariamenteimplicaria que o elétron de Julieta ficaria com seu spin na mesma direção u com valorpara baixo ou para cima, respectivamente e independentemente dela medir ou não ospin na direção u. Ou seja, se Romeu medir o spin de seu elétron na direção u eresultar em spin para cima, automaticamente o elétron de Julieta ficará com spin para

baixo na mesma direção u, ainda que ela não faça mensuração alguma nesta direção.Se ela o fizer, apenas confirmará com certeza o valor antecipado por Romeu. Issoporque o emaranhamento é como um caso de amor. Não é possível dividir o sistemade dois elétrons em dois subsistemas distintos. O sistema de dois elétrons secomporta como algo indivisível, como um todo, independente da distância entreRomeu e Julieta. Afinal, o mundo quântico é não-local. Ele parece desdenhardistâncias no espaço. E, assim, o par de elétrons opera como um totem do amor docasal.

Romeu aprendeu com Julieta que, antes de observar seu elétron, o spin na direção u éuma combinação linear de "para cima" com "para baixo". É como se estivesse nos doisestados ao mesmo tempo. Mas quando o observa, este estado puro colapsa paraapenas um dos dois possíveis resultados de medição. A probabilidade de colapsarpara cima é de 50%, e a probabilidade de colapsar para baixo é de 50%. Ou seja, ospin não está pré-determinado. O comportamento dele é imprevisível diante doprocesso de medição.

E mais bacana ainda é saber que a medição do spin na direção u não garante aantecipação sobre o resultado de outra medição, se o spin for medido, em seguida, emuma direção v diferente de u. Na verdade, de acordo com a mecânica quântica, se ospin na direção u for medido e resultar para cima, a probabilidade de obter spin paracima na direção v é o quadrado do seno da metade do ângulo entre u e v.

Mas, dada a distância entre os dois, Romeu se sente inseguro e questiona o amor deJulieta: "De duas, uma. Pode ser que tudo o que eu fizer com meu elétron se reflitainstantaneamente no elétron de minha amada Julieta, ultrapassando as barreiras doespaço clássico, mesmo diante da imprevisibilidade do resultado de uma medição.Mas pode ser também que Julieta tenha me enganado. Ela pode ter preparado os doiselétrons para estarem sempre com os spins trocados em qualquer direção, dando ailusão de que aquilo que faço com meu elétron se reflete no elétron dela. É como ahistória do cara que sempre vestia uma meia azul e outra rosa. Se, erguendo a calça,ele mostrava que a meia azul estava no pé direito, automaticamente qualquer umsaberia que a meia rosa estava no pé esquerdo. E nem por isso é sensato considerarque, antes de erguer a calça, cada pé tinha uma meia cuja cor era rosa e azul aomesmo tempo. Como saber se nossos elétrons estão realmente em um estado puro despin para cima e para baixo ao mesmo tempo, antes de fazer qualquer medição? Sefor assim, não há conexão alguma entre nossos elétrons. A não-localidade não passade um truque matemático. Logo, é possível tratar do mundo quântico de forma realistae local. Consequentemente ela não me ama."

E Romeu testa sua visão realista e local de mundo, assumindo que os spins já estão

pré-determinados, para estarem sempre com seus valores trocados em qualquerdireção. Ou seja, ele questiona se o spin está realmente em dois estados simultâneos.Afinal, se a observação do spin altera o estado (de puro para um único valormensurável bem definido), como saber se o tal do estado puro existe? Esta é a grandequestão metafísica que Romeu tenta responder. Ele quer saber como se comportaaquele sistema quântico sem observá-lo.

Romeu não consegue pensar em termos de todas as direções possíveis de medição despin, pois são infinitas. Então escolhe três direções quaisquer: u, v e w. Existem oitopossibilidades de valores de spin nestas três direções, conforme a tabela abaixo:

O sinal + significa spin para cima, e o sinal negativo denota spin para baixo. Uma vezque Romeu está desconfiando de Julieta, ele não sabe como a amada teria distribuídoos spins nas direções u, v e w. Então Romeu atribui probabilidades para encontrartodos os valores possíveis.

Por exemplo, a probabilidade de Romeu medir spin para cima em seu elétron nasdireções u e v e para baixo na direção w (consequentemente Julieta teria seu elétroncom spin para baixo nas direções u e v, e para cima na direção w) é P2.

O que Romeu certamente sabe é que a soma das probabilidades deve resultar 100%,ou seja,

P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7+P8 = 1

Ele também sabe que cada probabilidade é maior ou igual a zero.

Pois bem. A probabilidade de que Romeu obtenha spin para cima na direção u e queJulieta obtenha spin para cima na direção v é dada por

P(u+,v+) = P3 + P5

Analogamente,

P(u+,w+) = P2 + P5 e P(w+,v+) = P3 + P7

Como as probabilidades jamais são negativas, Romeu conclui, a partir dessas trêsequações, que

P(u+,v+) é menor ou igual a P(u+,w+) + P(w+,v+),

pois P3 + P5 é menor ou igual a P2 + P5 + P3 + P7.

Esta é uma das famosas desigualdades de Bell.

No entanto, Romeu lembra que cada probabilidade acima é calculada usando afórmula mencionada acima em termos do seno do ângulo entre as direções. Logo, elepercebe que se o ângulo entre u e v for reto e se w formar um ângulo de 45 graus comu e v, então a desigualdade de Bell é violada. Isso porque o quadrado do seno de 45graus é maior do que o dobro do quadrado do seno de 22,5 graus.

Portanto, a ideia de Romeu de que os spins estavam pré-determinados é inconsistentecom a mecânica quântica. Ou seja, não podemos interpretar a mecânica quântica deforma a considerar que os spins estão pré-determinados. Isso é ponto a favor da ideiado estado puro (a tal da "simultaneidade" de valores distintos).

Romeu ainda insiste na dúvida: "E se a mecânica quântica foi matematicamenteconstruída justamente para evitar a descrença na existência dos estados puros?"

É aí que entra a experimentação. Em experimentos reais de laboratório, nem todas aspartículas são detectadas. E as limitações tecnológicas para lidar com pares deelétrons são imensas. Existe alguma evidência experimental que suporte a conclusãode que não posso assumir localidade e realismo no mundo dos elétrons?

Adonai às 00:57

Como dissemos acima, a desigualdade que mostramos entre probabilidades é apenasuma das desigualdades de Bell. Optamos por ela por ser a mais acessível aosiniciantes. No entanto, há as desigualdades aplicáveis a experimentos óticos,envolvendo polarização da luz. Nestes experimentos, o fato de que nem todas aspartículas emitidas são detectadas não cria problema algum. E, neste contexto, aexperiência confirma perfeitamente bem a violação das desigualdades de Bell.

Portanto, temos evidências indiretas, mas muito convincentes, de que o mundoquântico é de fato não-local e que devemos abrir mão do realismo.

Consequentemente, Julieta ama Romeu. Fim da demonstração.

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8 comentários:

Susan Blum 29 de fevereiro de 2012 21:11Tudo bem.. até acredito quando vc diz que Julieta ama Romeu... mas Romeu ama Julieta? heheBrincadeiras à parte, fantático isso da não localidade!! "Intuitivamente falando, um elétron pode estarem vários pontos do espaço simultaneamente, antes do ato da observação. Mas, quando oobservamos, ele colapsa para apenas uma dessas possíveis posições." Isso dá asas à imaginação!Responder

Luis Augusto Trevisan 5 de março de 2012 15:00Que romântico! Qual seria a implicância metafísica de pensar que no Big Bang ( se houve) todas aspartículas geradas estariam emaranhadas?Responder

Adonai 7 de março de 2012 04:42Trevisan

Infelizmente não estou atualizado sobre abordagens quânticas para a cosmologia. Há várias propostas.Mas até onde lembro todas encontram grandes dificuldades teóricas.Responder

Leandro 9 de março de 2012 22:22Adonai

Já fui severamente castigado por muitos físicos por assumir que o conceito de spin está associado auma carga elétrica pontual rotacionando em torno de seu próprio eixo imaginário!!!!!!

As justificativas que recebi para isso foram as mais variadas como:

1) não se pode pensar num elétron como uma bolinha qualquer dotada de carga elétrica girando emtorno do seu próprio eixo, pois além de não ser possível atribuir uma propriedade macroscópica como"forma" ou "formato" para uma partícula microscópica, não faz sentido associar o comportamento doelétron a qualquer tipo de ideia ou conceito clássico;

2) A ideia de que o spin seria uma propriedade relacionada a algum movimento de rotação do elétronem torno de seu próprio eixo (imaginário) foi uma mera tentativa, sem sucesso, de físicos no fim dadécada de 1910 e começo da década de 1920 em tentar explicar o motivo pelo qual os valores demomento magnético associados aos elétrons de átomos de prata ionizados assumiam apenas valoresdiscretos quando submetidos a um campo magnético oscilante, de modo que o campo magnéticoproduzido por esses elétrons se manifestaria em apenas dois sentidos discretos.

A única explicação possível para isso, em termos clássicos, seria associar os valores discretos demomento a uma interpretação clássica de um elétron (uma carga pontual, no caso) girando em torno dopróprio eixo, criando campos magnéticos em sentidos opostos, de acordo com o sentido de rotação dacarga em questão.

3) Esta visão clássica do elétron girando em torno do próprio eixo teria "caído por terra" na década de40, quando foi possível atribuir um valor de spin igual a 1/2 para o nêutron.

Isto contradiz a ideia clássica que preconiza que o spin seria uma propriedade típica de partículas comcarga não-nula e capazes de produzir algum campo magnético em direções e sentidos diferentes eopostos.

Sendo assim, como explicar o spin do nêutron como sendo diferente de zero e possuir carga elétricanula?????

Isto seria um forte indicativo da falha ao se atribuir uma visão clássica para o mundo microscópico nonível quântico.Responder

Leandro 9 de março de 2012 22:244) A ideia de spin estaria relacionada a uma propriedade intrínseca do elétron sem nenhum equivalenteclássico possível de se imaginar.

5) O spin seria apenas um artifício matemático para fazer com que as equações e resultados finais"batam" com as teorias vigentes de MQ e possíveis resultados experimentais.

De todas essas explicações que recebi ao longo de anos, a única que parece estapafúrdia ao meu ver éa de número 5, dado seu caráter evasivo, simplista e superficial!!!!!!

No mais, me parece logicamente adequado assumir a ideia de que não se pode simplesmenteextrapolar conceitos, ideias e imagens de nosso mundo macroscópico para o mundo quântico, já que setratam de realidades bastante peculiares e relativamente diferentes entre si.

Com isto, não seria logicamente coerente simplesmente atribuir uma visão clássica direta sobre o

mundo quântico, sem que se possa ter o mínimo de garantia (experimental ou teórica) para que sejapossível assumir tal postura.

Sem os devidos cuidados, extrapolar características do mundo clássico para o mundo quântico podeser perigoso e problemático conceitualmente.

A ideia do spin neutrônico ser diferente de zero também parece ser um ponto contra a ideia clássica dospin como carga elétrica girando em torno do próprio eixo, visto que no caso do nêutron nenhum campoelétrico é gerado.

Só não dá para engolir a história de que o spin seria um artifício para que as contas "batam" no final,pois o spin é sempre tratado como uma propriedade de partículas elementares e não como meroartifício.

Bom, se for verdade que não se pode dar um tratamento clássico qualquer para a matéria ao nívelquântico, então ao meu ver seria igualmente incorreto ensinar os alunos de ensino médio a pensarclassicamente sobre o átomo e o mundo quântico!!!!!!

Até porque, pensar classicamente sobre o átomos e os elétrons, já é algo bastante ensinado epropagado por todo e qualquer livro de ensino médio de Física e de Química, não sendo pois, umanovidade neste sentido!!!!!!!

Novidade seria sim, ver algum livro de EM de Física ou Química ensinar sobre átomos e elétrons emtermos não-clássicos!!!!!!

Isto sim seria novo, interessante e, ao meu ver, correto do ponto de vista epistemológico e didáticotambém!!!!!!Responder

Adonai 10 de março de 2012 13:36Leandro

A visão de que elétron tem tamanho e forma depende da teoria. Não há incompatibilidade entremecânica quântica e um modelo de elétron que contemple essa partícula com tamanho e forma. Mas háincompatibilidade entre essa ideia e os fundamentos da eletrodinâmica quântica.

Com relação a spin, de fato a analogia com carga elétrica rotacionando carece de sentido, pelosmotivos já abordados na postagem. E já que você menciona o spin do neutron, foi exatamente ali queforam encontradas evidências experimentais de que uma rotação de 360 graus do spin muda o sinaldeste vetor.

Já a ideia da existência de conceitos puramente matemáticos em teorias físicas (sem interpretaçãofísica) é MUITO antiga. As discussões sobre isso são imensas. Posso citar um exemplo bastantesimples: comprimento de uma tábua de madeira. O usual é tratar comprimentos como números reais.No entanto, números reais admitem representações decimais que são expansões infinitas. Mas o fato éque nenhuma mensuração tem precisão infinita. Portanto, os números reais carregam em si umacontraparte matemática que carece de sentido físico. E até hoje os números reais são empregados emfísica.Responder

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Leandro 10 de março de 2012 17:57"[...] E já que você menciona o spin do neutron, foi exatamente ali que foram encontradas evidênciasexperimentais de que uma rotação de 360 graus do spin muda o sinal deste vetor. [...]"

Poderia, por gentileza, explicar isto ou indicar uma literatura confiável sobre??????

Fiquei realmente curioso!!!!!!

Ainda me soa estranho associar a ideia de rotação ou de qualquer coisa do mundo macroscópico a umarealidade microscópica.

As poucas vezes que me atrevi a fazer qualquer analogia, comparação, verificação ou abordagem deum sistema quântico usando uma extensão da abordagem clássica fui fortemente criticado e quase"rechaçado" pelos físicos a quem comentei algo sobre!!!!!!

Sendo assim, nunca mais me atrevi a sequer pensar em algo que relacionasse, mesmo queindiretamente, os mundos macroscópico e microscópico!!!!!

Acho que pior do que isso só foi uma outra invertida que recebi por pensar, na época da graduação, queentropia era uma medida de desordem de um sistema qualquer!!!!!!Responder

Adonai 11 de março de 2012 00:36Leandro

Um livro que discute de forma mais ou menos detalhada essa propriedade de spin é o Modern QuantumMechanics, de J. J. Sakurai. O livro está desatualizado. Mas este ponto é bastante claro no texto e areferência pode ser facilmente encontrada.Responder

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Adonai

Professor Associado do Departamento de Matemática da UFPR. Autor de dois livros sobre lógicapublicados no Brasil, e de dezenas de artigos publicados em periódicos especializados dematemática, física e filosofia, no Brasil e no exterior. Atualmente está trabalhando em dois projetos

cinematográficos, sendo que um deles visa uma crítica inédita às universidades federais brasileiras. Para maisdetalhes ver a página "Sobre o autor do blog".Visualizar meu perfil completo

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