APLICAÇÃO DE UM CONTROLADOR PID FUZZY ADAPTATIVO

OTIMIZADO VIA ALGORITMO GENÉTICO À UM MOTOR DE CORRENTE

CONTÍNUA DIDÁTICO

APPLICATION OF ADAPTIVE PID FUZZY CONTROLLER OPTIMIZED VIA

GENETIC ALGORITHM TO A CONTINUOUS CURRENT MOTOR

Diego Solak Castanho (1); Lenon Diniz Seixas (2); Hugo Valadares Siqueira (3);

Fernanda Cristina Corrêa (4)

(1) Engenheiro Eletrônico, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Ponta Grossa - PR, Brasil.

(2) Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Ponta Grossa - PR, Brasil.

(3) Dr. Prof., Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Ponta Grossa - PR, Brasil.

(4) Dra. Profa., Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Ponta Grossa - PR, Brasil.

Email para Correspondência: diegoscastanho@gmail.com; (P) Apresentador

Resumo: Motores elétricos estão se tornando cada vez mais importantes e a sua aplicação está

cada vez mais diversificada, o que demonstra a sua versatilidade às diferentes necessidades do

usuário. Isto está diretamente relacionado ao elevado rendimento, alto torque, baixo volume e

ao menor impacto ambiental gerado na sua utilização. Este menor impacto refere-se a fonte de

alimentação empregada, pois a energia elétrica pode ser obtida através de fontes renováveis,

ao contrário dos combustíveis fósseis, utilizados em outros tipos de motores, como por

exemplo, os motores à combustão. O motor de Corrente Contínua (CC) vem sendo amplamente

utilizado para aplicações onde são necessários o controle preciso de velocidade e/ou posição.

Desta forma, o emprego de controladores em motores CC pode viabilizar a compreensão do

controlador, inclusive, em motores de Corrente Alternada (CA), bem como o entendimento do

controlador utilizado em outros tipos de sistemas. O objetivo deste trabalho é desenvolver e

implementar um controlador para ser utilizado em um módulo de ensino e aprendizagem de

controle digital que compreende um motor CC com escovas, didático, e de baixo custo. O

controlador atuará na malha fechada de velocidade do motor CC conectado no modo série. Em

virtude da natureza não linear do motor CC que é proveniente do desgaste das escovas será

utilizado um controlador Proporcional Integral Derivativo (PID) adaptativo por fuzzy sintonizado

utilizando-se Algoritmo Genético (AG). A Lógica fuzzy permite que estados não precisos possam

ser tratados por dispositivos de controle, e assim avaliar conceitos não-quantificáveis. Quando

aplicado à um motor CC, o desempenho de um controlador fuzzy PID pode demonstrar melhor

resposta tanto em relação ao regime transitório quanto ao regime estacionário quando

comparado à um controlador PID convencional. Assim como no controlador PID, é necessário

realizar o ajuste adequado dos parâmetros do fuzzy PID, para isso utiliza-se o AG, com o intuito

de otimizar as funções de pertinência e regras da lógica fuzzy. O AG é uma heurística evolutiva

baseada no princípio evolutivo de Charles Darwin que com a evolução de processamento dos

computadores vem sendo muito utilizado. Além dos objetivos já mencionados, este trabalho

ainda apresenta as características construtivas do motor CC didático utilizado, a modelagem

matemática, e a implementação do controlador fuzzy PID otimizado via Algoritmo Genético. Por

fim, tem-se um comparativo entre os resultados obtidos a partir do controlador fuzzy PID com

os alcançados por meio de um controlador Proporcional-Integral (PI) largamente aplicado a

inúmeros processos industriais.

Palavras chaves: Motor elétrico; Controladores; PID; Fuzzy; Algoritmo Genético.

Abstract: Electric motors are becoming increasingly important and their application is

increasingly diverse, which demonstrates their versatility to the different needs of the user.

This is directly related to the high performance, high torque, low volume and the lower

environmental impact generated in its use. This lower impact refers to the power source used,

since electricity can be obtained through renewable sources, unlike fossil fuels, used in other

types of engines, such as combustion engines. The DC Motor has been widely used for

applications where accurate speed and/or position control is required. In this way, the use of

controllers in DC motors can enable the understanding of the controller, including in

Alternating Current (AC) motors, as well as the understanding of the controller used in other

types of systems. The objective of this work is to develop and implement a controller to be

used in a teaching and learning module of digital control that comprises a DC motor with

brushes, didactic, and low cost. The controller will act on the closing speed motor of the DC

motor connected in serial mode. Due to the non-linear nature of the DC motor that comes

from brush wear, a fuzzy adaptive Integral Derivative Proportional (PID) controller tuned using

Genetic Algorithm (GA) will be used. The fuzzy Logic allows non-precise states to be treated

by control devices, and thus evaluate non-quantifiable concepts. When applied to a DC motor,

the performance of a fuzzy PID controller can demonstrate better response both to the

transient regime and to the steady state when compared to a conventional PID controller. As

in the PID controller, it is necessary to perform the proper adjustment of the fuzzy PID

parameters, for this, the AG is used, in order to optimize the fuzzy logic rules and pertinence

functions. The AG is an evolutionary heuristic based on the evolutionary principle of Charles

Darwin that with the evolution of computer processing has been widely used. In addition to

the previously mentioned objectives, this work also presents the constructive characteristics

of the didactic DC motor used, the mathematical modeling, and the implementation of the

fuzzy PID controller optimized through Genetic Algorithm. Finally, a comparison between the

results obtained from the Genetic fuzzy PID controller and those achieved by means of a

Proportional-Integral (PI) controller is widely applied to many industrial processes.

Keywords: Electric motor; Controllers; PID; Fuzzy; Genetic Algorithm.

1 INTRODUÇÃO

Conforme Rodríguez et al. (2017), os motores de Corrente Contínua são utilizados

em grande parte das aplicações onde se tem movimento. Dentre as vantagens apontadas,

destacam-se a facilidade de utilização aliado ao custo, considerado relativamente baixo.

Quanto às desvantagens, os autores destacam a necessidade de constante manutenção,

devido ao desgaste das escovas e a alteração paramétrica causada por este desgaste.

Em seu estudo, Sadiq et al. (2013) indicam que os motores de corrente contínua

possuem diversas aplicações, que se estendem desde o meio industrial, com máquinas de

alta potência, ao uso em veículos elétricos, bem como os mais variados sistemas de baixa

potência.

Conforme Alagoz et al. (2013), controladores PID clássicos são amplamente

utilizados na indústria, o que justifica o estudo de técnicas para realizar o ajuste dos

controladores, onde inúmeros métodos têm sido desenvolvidos para alcançar os melhores

valores práticos das constantes dos controladores PID.

A estratégia Fuzzy adaptativa pode ser empregada no ajuste dos ganhos dos

controladores PID, melhorando a resposta dinâmica do sistema, conforme o estudo

apresentando por Costa et al. (2018).

Gizi et al. (2014) afirmam que o Algoritmo Genético (AG) é considerado uma técnica

capaz de solucionar diversos problemas de otimização, tendo a capacidade de evitar

mínimos locais quando comparado a outras técnicas, como a busca randômica. Assim, o

AG pode ser utilizado como técnica para realizar o ajuste do controlador Fuzzy PID.

Coelho et al. (2016) relatam em seu estudo que no meio acadêmico das universidades

brasileiras, existe uma falta de conexão entre os conteúdos ensinados e a realidade, além

do elevado custo para construção e manutenção dos laboratórios práticos nos cursos de

engenharia. Desta forma, uma das contribuições deste trabalho é uma demonstração

evidente de uma aplicação voltada à teoria do controle, que pode ser facilmente replicada

nas universidades para ensino nos cursos de engenharia, mediante a necessidade de baixo

investimento, além de permitir uma demonstração real da eficácia de um controlador

adaptativo, bem como um método de validação de simulações largamente aplicadas no

desenvolvimento de inúmeras técnicas de controle.

Neste sentido, o presente estudo implementou uma bancada didática que tem por

objetivo alinhar teoria, simulação e prática, sendo um método eficiente para

desenvolvimento, teste e aperfeiçoamento de diversos algoritmos de controle e

otimização. O Fuzzy PID sintonizado via Algoritmo Genético é uma delas, podendo vir

a tornar-se uma solução factível para inúmeros sistemas complexos ao qual se faz

necessário a aplicação de algum tipo de controle.

2 ESTRUTURA BIBLIOGRÁFICA

Nesta seção foi discutida a concepção do referencial teórico, por meio de uma

sequência de atividades, que foram determinadas para selecionar um conjunto de artigos

a serem estudados para fundamentação teórica deste trabalho. A Figura 1 apresenta a

ordem das ações empregadas para a construção da estrutura bibliográfica.

Figura 1. Estrutura Bibliográfica

As bases de dados empregues neste estudo foram: Web of Science (2018), Scopus

(2018) e Science Direct (2018). Para busca dos artigos foram utilizadas as mesmas

combinações de palavras-chaves, em conjunto com os operadores booleanos e símbolos

de truncamento.

A busca dos artigos foi realizada no dia 05 de agosto de 2018, de modo que foram

selecionados artigos completos e de revisão, com publicação entre 2008 e 2018. Os

artigos encontrados foram exportados para um software de gerenciamento de artigos, no

qual foram realizadas duas filtragens. A primeira teve por objetivo excluir os artigos

repetidos enquanto a segunda consistiu na análise dos títulos, palavras-chave e resumos,

excluindo os artigos que não tinham relação com o estudo em questão.

Ao todo foram encontrados 53 artigos, após esta seleção obtiveram-se um total de 38

artigos estudados. Foram incluídos a este montante mais 1 artigo de revisão que foi obtido

através de citações de artigos estudados, 2 trabalhos tidos como referência no estudo de

heurísticas evolutivas e 1 livro tido como referência para realização da parte prática do

presente estudo.

3 REVISÃO DE LITERATURA

3.1 Controle PID clássico

Attia (2009) contextualiza o cenário tecnológico e as transformações ocasionadas

pela microeletrônica com os microprocessadores via circuitos digitais, no qual os

controladores PID clássicos passaram por uma grande evolução tecnológica.

Conforme quantificação realizada por Jin et al. (2017), os controladores do tipo PID

representam cerca de 90% dos sistemas de controle de processo. Bagis (2011) afirma que

o controle PID é o mais conhecido na indústria graças ao seu formato simples, porém

funcional, em que o projeto do controlador resume-se a definição dos ganhos

proporcional, integral e derivativo. Hassan et al. (2012) contextualizam que a grande

aplicação industrial do controlador PID deve-se ao seu baixo custo de manutenção, assim

como sua simplicidade de projeto e operação.

Os processos realizados pelas plantas modernas exigem alto padrão de excelência.

Segundo Gizi et al. (2015) os principais desafios do controle moderno são compostos pela

difícil modelagem de sistemas não lineares e a crescente interação entre as malhas de

controle. De acordo com Alagoz et al. (2013), os modelos em que se baseiam o

desenvolvimento dos controladores contêm incertezas devido as mais diversas variações

paramétricas ao qual os sistemas reais são submetidos.

Costa et al. (2018) relatam as dificuldades de ajuste dos parâmetros dos controladores

PID quando não se tem disponíveis informações explícitas do sistema ao qual se deseja

controlar. Hassan et al. (2012) justificam que os ganhos dos controladores PID são difíceis

de otimizar em plantas reais que apresentem atrasos, ordem superiores e não linearidades.

Os controladores PID convencionais são limitados conforme apresentando por Attia

(2009), não oferecendo resposta satisfatória para sistemas complexos e aqueles nos quais

não se conheça o modelo matemático preciso. Desta forma, justifica-se o estudo e

aplicação de técnicas adaptativas, como o Fuzzy PID, que venham a acompanhar a

evolução dos processos industrias assim como permitir o controle de sistemas que

apresentem não linearidades.

3.2 Controle Fuzzy

Um sistema Fuzzy segundo Shafiekhani et al. (2015) é composto basicamente por

uma unidade de fuzzificação, que traduz as entradas reais para conjuntos difusos, um

conjunto de regras difusas, que por meio de instruções linguísticas relacionam entrada e

saída do sistema, um mecanismo de inferência e por fim uma unidade de defuzzificação,

correspondente ao processo inverso da fuzzificação, em que as variáveis de saída difusas

são traduzidas para as variáveis de saída reais.

Öztürk e Çelik (2012) justificam que a lógica Fuzzy modela a capacidade humana de

tomada de decisão racional mesmo em situações imprecisas e com incertezas. Juang et al.

(2008) afirmam que a lógica Fuzzy é inspirada na lógica imprecisa do pensamento

humano, permitindo às máquinas operar de maneira mais inteligente no controle sistemas

dinâmicos complexos.

Segundo Bouallègue et al. (2012), em sistemas de complexa modelagem analítica a

aplicação da lógica Fuzzy tem apresentado aplicações industriais bem-sucedidas,

demonstrando efetividade e robustez. Mendes et al. (2011) contextualizam que a lógica

Fuzzy tem sido aplicada para o controle de sistemas não lineares e de difícil modelagem.

3.3 Controle Fuzzy PID

Devido às limitações do PID convencional, Attia (2009) relata que foram criados

inúmeros algoritmos que tem por objetivo realizar o auto ajuste das constantes PID, além

de técnicas não convencionais de controladores PID que empregam a lógica Fuzzy.

Segundo Bouallègue et al. (2012) o controlador Fuzzy do tipo PID tem características

semelhantes ao controlador PID convencional, que tem como propósito melhorar as

respostas em regime permanente, assim como em regime estacionário.

Conforme apresentando por Gowthaman et al. (2017), com a implementação do

Fuzzy PID através da variação do erro, pode-se realizar o auto ajuste das constantes do

PID tradicional de forma on-line para se obter desempenho dinâmico e estático

satisfatórios. A Figura 2 apresenta o fluxograma de operação do sistema de controle

Fuzzy PID para controle de velocidade.

Figura 2. Sistema de controle Fuzzy PID.

Como discutido por Rodríguez et al. (2017), o controle adaptativo é uma alternativa

para se tratar as não linearidades dos sistemas ao qual se deve aplicar o controle. Goswami

e Joshi (2018) colocam que a metodologia de ajuste da estrutura PI difusa pode ser

considerada uma tarefa complexa e depende de inúmeras variáveis de entrada. A principal

desvantagem do controlador Fuzzy PID de acordo com Bouallègue et al. (2012) é a difícil

escolha dos fatores de escala relativos, de forma que o processo de sintonização na

maioria dos casos depende do conhecimento empírico do operador.

Segundo Gizi et al. (2014), as técnicas computacionais como o Fuzzy e o Algoritmo

Genético são empregadas em soluções analíticas que acarretam em um campo de controle

para a realização da alteração em tempo real.

Dideková et al. (2017) afirmam que algoritmos de controle inteligentes baseados na

lógica Fuzzy e em Algoritmos Genéticos são em sua maioria mais simples de se

implementar e fornecem melhor resposta do que os algoritmos de controle que tem

equações diferencias como base.

3.4 O Algoritmo Genético

A inspiração biológica dos Algoritmos Genéticos tem como base os fenômenos que

ocorrem na evolução das espécies, sobretudo a seleção natural dos indivíduos melhores

adaptados ao meio em que vivem, conforme discutido por Holland, J. H. (1992).

Equitativamente Michalewicz, Z. (1996) contextualiza que os Algoritmos Genéticos se

fundamentam no mecanismo de seleção natural onde o mais adaptado sobrevive e produz

resultados através da troca de informação com o intuito de obter a melhor solução.

Hassan et al. (2012) argumentam que os valores de aptidão são atribuídos conforme

a adequação dos indivíduos, de modo que quanto maior o valor da aptidão do indivíduo

mais chances ele tem de sobreviver as próximas gerações. Isto é Corroborado por Gizi et

al. (2015).

Öztürk e Çelik (2012) dividem o Algoritmo Genético em três etapas principais:

cruzamento, seleção e mutação. Através delas é possível alcançar os indivíduos que

caracterizam a solução ideal. Segundo Hassan et al. (2012) o tamanho da população,

número de gerações, taxa de crossover e taxa de mutação são os quatro parâmetros

principais que definem o desempenho do Algoritmo Genético.

3.5 Fuzzy PID otimizado pelo Algoritmo Genético

Gizi et al. (2014) afirmam que métodos bio-inspirados, como o Algoritmo Genético,

são largamente empregados para alcançar os melhores valores de ganhos do controlador

PID. Juang et al. (2008) alegam que o Algoritmo Genético pode ser combinado de

maneira simples a teoria do controle, solucionando problemas na área de controle

clássico.

Alagoz et al. (2013) atestam que em situações ao qual se tem sistemas de controle

reais, os métodos de ajuste heurístico são promissores, pois têm a capacidade de utilizar

experiências passadas para realizar uma melhora progressiva em suas respostas futuras.

Conforme Bagis (2011), o objetivo principal do auto ajuste do controlador é obter a

resposta almejada do sistema em malha fechada. Öztürk e Çelik (2012) contextualizam

que sem uma técnica de otimização o projeto de um controlador Fuzzy demanda muito

tempo e ao final do projeto não se tem a certeza que o controle ideal foi atingido.

4 MATERIAIS E MÉTODOS

4.1 A Planta

Desenvolveu-se um motor CC a partir de dois transformadores compostos de

pequenas chapas laminadas fabricadas a partir de aço-silício, isoladas eletricamente umas

das outras, de forma que exista uma redução das correntes parasitas circulantes dentro do

rotor e estator. A Figura 3 apresenta bancada didática desenvolvida.

Figura 3. Bancada didática desenvolvida.

Para que se possa realizar o controle em malha fechada do motor CC empregado no

presente estudo, faz-se necessário a utilização de um sensor de velocidade, atuador,

microcontrolador e sistema de isolamento do sistema microcontrolado, fontes para

alimentação do motor, circuito microcontrolado e sistema de isolamento.

4.2 Aproximação da Função Transferência e Controlador PI

Realizaram-se alguns ensaios para obtenção da função de transferência do motor,

onde a resposta ao degrau pode gerar resultados aceitáveis do modelo matemático da

planta conforme estudo apresentando por Nise e Silva (2002). Foram levantados os

valores da velocidade máxima experimentalmente e da constante de tempo graficamente,

de forma a obter a função transferência.

A Figura 4 apresenta a planta obtida por meio de ensaios a partir de um período de

amostragem de 50ms, em que a curva em azul é a levantada e a curva em vermelho

representa a aproximação matemática da planta.

Figura 4. Curvas matemática e amostrada da velocidade do motor (Ts=50ms)

Através do equacionamento matemático pode-se observar o comportamento da

planta. Desta forma optou-se pelo projeto do controlador PI, devido a presença de erro

estacionário. Para projeto do controlador a escolha foi pelo método analítico do lugar das

raízes, no qual foram definidos como requisitos percentual de sobressinal de 5% e tempo

de estabilização de 6 segundos. Desta forma obteve-se a Eq. (1), embarcada no

microcontrolador:

1 10,03942 0,03774k k k ku = u e e− −+ + . (1)

onde a variável u representa o esforço de controle e a variável e representa o erro.

4.3 O controlador Fuzzy PID otimizado

Para o projeto do sistema Fuzzy foram consideradas duas variáveis de entrada, o erro

e a derivada do erro, sendo o erro a diferença da referência pela velocidade medida na

saída do motor. Para a primeira variável foram consideradas 7 funções de pertinência, na

segunda variável utilizou-se 5 funções de pertinência. As saídas do sistema são ajustes

dos valores dos ganhos do controlador PI, sendo que ambas possuem 6 funções de

pertinência. Optou-se por funções triangulares para todas as funções de pertinência

devido a possibilidade de entrelaçamento dos seus parâmetros. Utilizou-se com

mecanismo de inferência Mamdani e por fim, realizou-se o processo de defuzzificação

pelo método da centroide.

Os parâmetros das funções de pertinência são tidos como variáveis a serem

otimizadas pelo Algoritmo Genético, com um total de 18 variáveis. Dessa forma, as

funções possuem liberdade para moverem seu centro ou ponto de zero dentro de um

limite, podendo-se aproximar ou afastar umas das outras, sendo então otimizadas. Para

obter as regras de inferência, realiza-se uma combinação das variáveis linguísticas de

entrada, obtendo-se um total de 35 regras.

Como definido anteriormente, os sistemas Fuzzy exigem um conhecimento por parte

do operador do sistema que se deseja controlar. Para isso faz-se necessário conhecer bem

o seu funcionamento, principalmente de como se geram os sinais de atuação e

realimentação. Para se obter o vetor com os parâmetros das funções de pertinência ótimas

é preciso definir uma região factível na qual esses parâmetros podem atuar. Desta forma,

o Algoritmo Genético fornece os valores ótimos dos parâmetros, assim como orienta a

definição da região factível para cada função de pertinência. A Figura 5 apresenta um

fluxograma de como o Algoritmo Genético funciona.

Figura 5. Fluxograma de operação do Algoritmo Genético

As 35 regras de inferência são baseadas em lógica “se-então”, possuindo duas

entradas “se” e duas saídas “então”. No intuito de otimizá-las, o Algoritmo Genético

trabalha com 70 variáveis, sendo 35 definidas para a primeira saída e 35 para a segunda

saída.

Para construção do AG, utilizou-se representação cromossômica por números

inteiros e reais, seleção pelo método do torneio, recombinação por crossover de três

pontos e mutação simples. Para avaliação de desempenho definiu-se como função custo

à avaliação da integral do erro absoluto, descrita na Eq. (2).

2

( ) ( 1)(k) (tempo(k) tempo(k 1))

2

z

k

erro k erro kI =

=

+ − − − . (2)

4.4 Resultados e discussões

A Figura 6 apresenta as variáveis de entrada, erro e derivada do erro e as saídas

proporcional e integral do sistema Fuzzy depois da otimização realizada pelo Algoritmo

Genético.

Figura 6. Funções de pertinência otimizadas pelo Algoritmo Genético

A Figura 7 apresenta a superfície de disposição numérica das regras em relação as

saídas kp e ki no eixo das ordenadas, e das abscissas tem-se os sinais de entrada: derivada

do erro e o erro.

Figura 7. Superfície de disposição das regras de inferência Fuzzy

A Figura 8 apresenta a resposta do controlador PI em azul e do controlador Fuzzy PI

em vermelho. Com a referência do sistema configurada em 1500 pás/ 50ms, ambos os

controladores apresentaram valores próximos aos 18% de percentual de sobressinal, com

um tempo de estabilização de aproximadamente 7 segundos. Porém após alterar a

referência para 800 pás/50 ms percebe-se a variação no comportamento, de forma que o

controlador Fuzzy PI apresentou resposta superior, com percentual de sobressinal de 37%

contra 61% do controlador PI, em que o controlador adaptativo estabilizou com

aproximadamente 2 segundos mais rápido que o controlador PI.

Figura 8. Resposta experimental dos controladores PI e Fuzzy PI obtidas (Ts=50ms)

Dessa maneira, é possível afirmar que a utilização do Fuzzy-PI otimizado pelo AG

conseguiu alcançar melhor resposta ao problema proposto.

4.5 Conclusão

Conseguiu-se melhorar a resposta do controlador PI aplicado à um motor de corrente

contínua didático conectado no modo série por meio da implementação de um controlador

adaptativo, que tem seus parâmetros otimizados por um algoritmo genético, que altera os

ganhos proporcional e integral com base na variação dos valores do erro e da derivada do

erro.

Como citado anteriormente, umas das maiores dificuldades do projeto de sistema

Fuzzy é a necessidade do grande conhecimento do sistema ao qual se deseja controlador

aliado ao número relativamente grande de regras e funções de inferência que tem de ser

escritas, uma mudança pequena de parâmetros gera uma grande variação nas regras e

variáveis.

Alcançou-se uma simulação que apresentou comportamento similar ao sistema

construído, entretanto são muitas variáveis a serem tratadas e se tem uma grande

quantidade de aproximações e tolerâncias presentes nos componentes eletrônicos e

mecânicos de difícil representação. Como exemplo, se pode citar o sensor de velocidade,

que gera um erro de mais ou menos 5% em seu valor de leitura. Outro exemplo de não

linearidade é a pressão exercida pelas escovas no motor, que dependendo do desgaste

variam muito a resposta do sistema, característica difícil de ser representada.

Como trabalhos futuros, pretende-se realizar o experimento utilizando-se o ramo

derivativo do controlador PID, além de testar novos algoritmos de otimização, onde se

pretende melhorar mais ainda a resposta do sistema e criar ferramentas que facilitem o

projeto do controlador fuzzy PID adaptativo, possibilitando a aplicação da técnica de

controle em sistemas de alta complexidade, bem como realizar comparativos com outras

técnicas de controle adaptativas.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem a CAPES, CNPQ e UTFPR pelo auxílio financeiro para

realização deste trabalho.

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