Upload
engjun
View
586
Download
22
Embed Size (px)
Citation preview
Bahan ajar Kalkulus Integral 2009
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 1
APLIKASI INTEGRAL
1. LUAS DAERAH BIDANG
Misalkan f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h1,
h2, …, hn yang panjangnya ∆1x, ∆2x, …, ∆nx (anggap ∆1x = ∆2x = … = ∆nx), ambil sebarang
titik x = xi pada masing-masing hi dan bentuk persegi panjang yang alasnya hi (jadi
panjangnya ∆ix) dan tingginya f(xi).
Persegi panjang tersebut disebut sebagai persegi panjang pendekatan dengan luas = f(x.i) ∆ix.
Sehingga jumlah luas n persegi panjang adalah :
∆
Luasan tersebut merupakan pendekatan dari luas daerah yang dibatasi oleh f(x), sumbu X,
dan garis-garis x = a dan x = b. Jika ∆kx 0, maka banyaknya subinterval n ∞, sehingga
luas daerah tersebut adalah :
lim∞
∆
Misal : luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x, sumbu X, x = 1 dan x = 3 adalah :
Bahan ajar Kalkulus Integral 2009
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 2
12 |
12 9 1 4
Ada beberapa hal yang harus diketahui adalah :
A. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan f(x) ≥ 0 pada interval tersebut maka luas daerah yang
dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah
B. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan f(x) ≤ 0 pada interval tersebut maka luas daerah yang
dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah
Bahan ajar Kalkulus Integral 2009
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 3
C. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan bertukar tanda, maka luas daerah yang dibatasi oleh
f(x) ≤ 0, x = a, x = b, dan sumbu X sama dengan penjumlahan luas masing-masing
daerah. Misal pada gambar :
Maka Luas = Luas I + Luas II + Luas III
Jadi
Atau secara umum luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah
| |
D. Luas daerah yang dibatasi oleh grafik x = f(y), garis-garis y = a, y = b, dan sumbu Y
adalah :
| |
E. Kalau fungsi f(x) dan g(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b, secara umum berlaku bahwa luas
daerah yang dibatasi oleh f(x) dan g(x), garis x = a serta x = b adalah :
Bahan ajar Kalkulus Integral 2009
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 4
seperti tampak pada gambar berikut :
atau bila f(y) dan g(y) kontinu pada a ≤ y ≤ b, maka luas daerah yang dibatasi oleh f(y),
g(y), garis y = a, dan y = b, adalah :
seperti tampak pada gambar berikut :
∫ −==b
a
dxxgxfLLuas )()(
∫ −==b
a
dyygyfLLuas )()(
Bahan ajar Kalkulus Integral 2009
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 5
Catatan Penting :
Untuk menghitung luas suatu daerah bidang dengan integral, secara umum bisa dilakukan
langkah-langkah sebagai berikut :
1. Buat gambar daerah yang dimaksud, juga persegi panjang pendekatannya dengan tebal
∆x (bila persegi panjang tegak / vertikal) atau ∆y (bila persegi panjang mendatar /
horizontal).
2. Tentukan luas persegi panjang pendekatan, tentukan batas kiri / kanan (untuk yang tegak)
atau batas bawah / atas (untuk yang mendatar). Kemudian gunakan integral untuk
menghitung jumlah luas persegi panjang tersebut yang banyaknya dibuat menjadi ∞.
Contoh pemakaian integral untuk menghitung luas daerah :
1. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 4, garis x = 0, x = 3, dan sumbu X adalah :
Jadi luas daerah tersebut adalah :
( ) ( )∫ ∫ −+−−=2
0
3
2
22 44 dxxdxxLuas
Bahan ajar Kalkulus Integral 2009
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 6
32
320
3 4314
31
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−= xxxx
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−= 2.48.
313.427.
3102.48.
31
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −−= 8
3812
3278
38
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−=
316
39
316
37
316
+= 323
=
Jika dilakukan penghitungan nilai integral secara langsung, maka akan terjadi kesalahan
yaitu
( )∫ −=3
0
2 4 dxxLuas 30
3 431
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= xx 03.427.
31
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 3129 −=−=
(salah !!! tidak ada besar luasan yang bernilai negatif).
2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 4 dan garis y = 3x.
Titik potong parabola f(x) = y = x2 – 4 dan garis lurus g(x) = y = 3x adalah (4, 12) dan (-1, -
3)*
*) y = x2 – 4 dipotongkan dengan garis y = 3x maka x2 – 4 = 3x atau x2 - 4 - 3x = 0.
Dengan menggunakan pencarian akar kuadrat dari persamaan kuadrat x2 – 4 - 3x = 0,
diperoleh (x – 4)(x + 1) = 0, berarti x = 4 atau x = -1. Untuk x = 4, maka y = 12, dan
untuk x = -1, maka y = -3. Sehingga diperoleh pasangan titik potong kedua kurva yaitu
(4, 12) dan (-1, -3).
Bahan ajar Kalkulus Integral 2009
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 7
Grafik dari kurva seperti berikut :
Sesuai dengan kondisi (E), maka dapat dihitung luas daerah sbb :
( ) ( )∫−
−=4
1
dxxgxfLuas ∫−
−−=4
1
2 34 dxxx ∫−
−−=4
1
2 43 dxxx
selanjutnya perlu diselidiki tanda-tanda dari persamaan kuadrat tersebut yaitu :
x2 - 3x - 4 = (x – 4)(x + 1).
+ + + - - - + + + -1 4
Jadi pada interval -1 ≤ x ≤ 4, x2 - 3x – 4 ≤ 0 sehingga penghitungan luas dilakukan dengan
menegasikan nilai integrand-nya sbb :
Bahan ajar Kalkulus Integral 2009
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 8
( )∫−
−−−=4
1
2 43 dxxxLuas ∫−
++−=4
1
2 43 dxxx 41
23 423
31
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−= xxx
( ) ( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−+−−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−= 1.41.
231.
314.44.
234.
31 2323
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−= 4
23
3116
248
364 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
613
6112
6125
=
Sebagai catatan bahwa jika dilihat dari gambar, maka pada interval -1 ≤ x ≤ 4, kurva garis
terletak di atas kurva parabola yang berarti bahwa g(x) – f(x) bernilai positif atau 3x – (x2 –
4) positif, sehingga luas daerah yang dibatasi kedua kurva tersebut bisa langsung dihitung
menggunakan :
( )∫−
−=4
1
)()( dxxfxgLuas ( ){ }∫−
−−=4
1
2 43 dxxx ( )∫−
+−=4
1
2 43 dxxx ( )∫−
++−=4
1
2 43 dxxx
6125
=
3. Luas daerah satu ruas sikloida x = t – sin t, y = 1 – cos t seperti ditunjukkan pada gambar
berikut adalah :
Luas satu ruas dapat diambil misalnya untuk t = 0 sampai 2π. Karena x = t – sin t, maka
dx = dt – cos t dt = (1 – cos t) dt.
Bahan ajar Kalkulus Integral 2009
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 9
Sehingga
∫=
=π2
0t
dxyLuas
∫=
−−=π2
0
)cos1()cos1(t
dttt
∫=
−=π2
0
2)cos1(t
dtt
∫=
+−=π2
0
2 )coscos21(t
dttt
∫ ∫∫= ==
+−=π ππ 2
0
2
0
22
0
coscos21t tt
dttdttdt
∫=
+−=π
ππ2
0
220
20 cos|sin2|
t
dtttt
untuk menghitung nilai integral ∫=
π2
0
2cost
dtt gunakan kesamaan fungsi trigonometri cos2t = 1 -
sin2t, sehingga
∫=
π2
0
2cost
dtt ∫=
−=π2
0
2 )sin1(t
dtt
∫∫==
−=ππ 2
0
22
0
sin1(tt
dttdt
∫=
−=π
π2
0
220 sin|
t
dttt .
Bahan ajar Kalkulus Integral 2009
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 10
∫=
π2
0
2sint
dtt dihitung menggunakan kesamaan trigonometri xx 212sin2)cos1( =− , dengan
demikian sin2t = ½(1 - cos2t) sehingga
∫=
π2
0
2sint
dtt ∫=
−=π2
0
)2cos1(21
t
dtt
∫=
−=π2
0
)2cos1(21
t
dtt
∫ ∫= =
−=π π2
0
2
0
2cos211
21
t t
dttdt
∫=
−=π
π2
0
20 2cos
21|
21
t
dttt .
Dengan substitusi u = 2t, maka du = 2 dt, sehingga
∫=
π2
0
2cost
tdt ∫=
=π2
0 21cos
t
duu
∫=
=π2
0
cos21
t
duu
ππ 20
20 |2sin
21|sin
21 tu == .
Jadi ∫=
−π2
0
2)cos1(t
dtt πππππ 20
20
20
20
20 |2sin
21.
21|
21||sin2| ttttt +−+−=
πππππ 20
20
20
20
20 |2sin
21.
21|sin2|
21|| ttttt +−−+=
ππππ 20
20
20
20 |2sin
41|sin2|
21|2 tttt +−−=
Bahan ajar Kalkulus Integral 2009
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 11
πππ 20
20
20 |2sin
41|sin2|
23 ttt +−=
)0sin414sin
41()0sin22sin2(2.
23
−+−−= πππ
003 +−= π π3=
Latihan :
1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = 4x – x2 dan sumbu X.
Sebagai bantuan, grafik kurvanya adalah :
2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola y2 = 4x dan garis y = 2x – 4 dengan garfik
sebagai berikut :
Bahan ajar Kalkulus Integral 2009
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 12
3. Hitung luas daerah antara y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x. Grafik digambarkan seperti berikut :
4. Tentukan luas daerah yang di dalam y2 = x2 – x4 dengan grafik simetri terhadap sumbu X
dan simetri terhadap sumbu Y dan grafik ditunjukkan seperti berikut :
Bahan ajar Kalkulus Integral 2009
Writing by [email protected] ‐ UMP Page 13
Luas daerah bisa dihitung dengan menghitung 4 kali luas pada kuadran pertama. Luas
daerah di kuadran pertama adalah :
∫ −=1
0
421 dxxxLuas sehingga luas daerah keseluruhan adalah ∫ −=1
0
424 dxxxLuas