Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
APOSTILA
Aulas deNivelamento
O Programa de Educação Tutorial da Engenharia Civil da UFSCar, PET Civil,
visa propiciar ao curso o desenvolvimento de atividades complementares, com
enfoque inovador e sistêmico das diversas áreas da Engenharia Civil,
considerando impactos ambientais e sociais decorrentes, preparando prossionais
para os desaos da vida contemporânea. Busca-se uma formação multidisciplinar,
ampla e diversicada ao extrapolar os conteúdos formais do curso.
O PET Civil iniciou suas atividades em março de 2013, tornando-se um dos
primeiros no estado de São Paulo na área da Engenharia Civil, tendo como
losoa e objetivos o tripé Pesquisa, Ensino e Extensão. O programa em geral
busca oferecer uma melhoria do ensino de graduação, a formação acadêmica
ampla do aluno, uma diversicação das atividades acadêmicas, a
interdisciplinaridade e a atuação coletiva e em grupo.
Com isso, seguindo a área de ensino do tripé do programa, o grupo
oferece este curso de Word avançado para aperfeiçoar os novos membros da
graduação ou pessoas que desejam aprender a utilizar o software. Essa apostila
foi escrita de forma a auxiliar as aulas do curso e servir como um material de
consulta durante o curso e quando o aluno precisar.
PET Civil UFSCar
Os temas abordados por essa apostila são:
1. Funções
2. Inequações
3.Matriz
4. Fatoração
5. Módulo
6. Logaritmo
7.Limite
8. Derivada
9. Integral
Temas Abordados
Bons estudos!
1. Funções
Denição: Equações representam igualdade enquanto inequações repre-
sentam desigualdades (lado esquerdo do sinal de maior ou menor é diferente do
lado direito).
Observação: Toda vez que multiplicamos a desigualdade por (–1) temos que
inverter o sinal da desigualdade.
a) 3x-5>4
3x>9
Exemplos:
x>3
S={x /x>3}
x1=-2 e x2=4
Primeiro, são necessárias as raízes da equação do segundo grau, para depois
estudar o sinal. Nesse caso o x² é positivo (multiplicado por +1), portanto o gráco vai
ter a concavidade voltada para cima.
f(x)=x²-2x-8
∆=(-2)²-4.1.(-8)=36
S={x /-2<x<4}
b) x²-2x-8<0
x=[-(-2)±√36]/2
As raízes não pertencem aos números
Como o ∆ resultou num número negativo podemos dizer que x1 e x2 não per-
tencem aos números reais).
c) 2x²-2x+5<0
∆=(-2)²-4.2.5=-36
reais, porém, pelo gráco percebemos que S=
Primeiramente, as raízes da função:
f(x)=2x²-2x+5
2. Inequações
Inequações simultâneas: acontecem quando é necessário satisfazer mais de
uma inequação.
Nomeando as equações:
Juntando as duas equações obteremos a interseção de ambas.
3x-4>0
x>4/3
a) 3x-4>0 e -x+4≥0
f(x)=3x-4 e g(x)=-x+4
Exemplos:
Para f(x):
3x>4
Para g(x):
-x+4≥0
x≤4
Sendo a primeira linha as solu-
ções de f(x); a segunda de g(x)
e a terceira de intersecção.
Com isso, temos que:
S={x /-4/3<x≤4}
3x-2>4x+1
Para saber a solução geral é preciso fazer a interseção das respostas.
-x>3(-1)
b) 3x–2>4x+1 e 5x+1≤ 2x–5
A primeira parte desenvolvida resulta:
x<-3 x≤-6/3
A segunda parte:
5x+1≤2x-5
5x-2x≤-5-1
x≤-2
S={x /x<-3}
Com isso, temos que:
c) -3<x+2≤5
-5<x≤3
Para resolver esse exercício é subtraído 2 dos dois lados da inequação.
S={x /-5<x≤3}
d) -2x+3≤x+6<2x
x≥-1
A primeira parte desenvolvida resulta:
-2x+3≤x+6
-3x≤3(-1) x>6
A segunda parte:
2x-x>6
Para saber a solução geral é preciso fazer a interseção das respostas:
S={x /x>6}
e) -8≤x²-2x-8≤0
A primeira parte desenvolvida resulta:
x²-2x-8+8≥0
x²-2x≥0
x(x-2)≥0
A seguir estão os grácos de f(x) e g(x).
f(x): g(x):
O caso desse exercício é um caso de inequação produto, próximo item
dessa apostila. Para introdução vamos resolvê-lo pensando em analisar duas
funções de modo separado (primeiramente f(x)=x e, em seguida, g(x)=x-2).
x²-2x-8≤0
x1=-2 e x2=4
Para saber a solução geral é preciso fazer a interseção das respostas:
A segunda parte desenvolvida resulta:
Raízes da função:
∆=(-2)²-4.1.(-8)=36
x=(2±6)/2
Com isso, temos que:
S={x /-2<x<0 ou 2<x<4}
Inequação produto: Nesse caso é necessário avaliar produtos de funções
junto com desigualdades; o sinal, nesse caso, é um fator muito importante.
Considerando f(x) a função x+2 e g(x) de 2x-1, temos que:
Exemplos:
a) (x+2)(2x-1)>0
x+2=0 → x=-2 (coeciente angular positivo → função crescente)
Raiz de g(x):
2x-1=0 → x=1/2 (coeciente angular positivo → função crescente).
Raiz de f(x):
Análise de sinal para f(x) e g(x) em cada intervalo:
Com isso, temos que:
S={x /x<-2 ou x>1/2}
Raiz de f(x):
1-2x=0→ x=1/2 (coeciente angular negativo → função decrescente).
b) [(1-2x)(3+4x)]/(4-x)>0
Considerando 1-2x como f(x), 3+4x como g(x) e 4-x de h(x), temos que:
Condição de existência:
4-x deve ser diferente de zero. Dessa forma, x≠4.
4-x=0 → x=4 (coeciente angular negativo → função decrescente).
3+4x=0 → x=-3/4 (coeciente angular positivo → função crescente).
Raiz de g(x):
Raiz de h(x):
Análise de sinal para f(x), g(x) e h(x) em cada intervalo:
S={x /-3/4<x<1/2 ou x>4}
Com isso, temos que:
Portanto, x deve ser ≠ de -1 e 5
x=(4±√36)/2
Considerando -x+2 como f(x) e x²-4x-5 como g(x), temos que:
-x+2=0 → x=2
x1=-1 e x2=5
x²-4x-5 deve ser diferente de zero.
Raiz de f(x):
Condição de existência:
c) (-x+2)/(x²-4x-5)>0
∆=(-4)²-4.1.(-5)=36
Como já foi calculado na condição de existência as raízes da função g(x)
são -1 e 5.
Raiz de g(x):
Análise de sinal para f(x) e g(x) em cada intervalo:
Com isso, temos que:
S={x / x<-1 ou 2<x<5}
Lista de Exercícios
4. A função tem como domínio qual conjunto solução?
a) (3x+4)/(1-x)≥2
b) (x²-8x+12)/(x²-16)≤0
a) (x-2)(1-2x)≤0
a) 3x+2≥5x-2; 4x-1>3x-4 e 3-2x<x-6
2. Resolva os exercícios a seguir usando os conceitos de inequação produto.
3. Resolva os exercícios a seguir usando os conceitos de inequação quociente
1. Resolva os exercícios a seguir, sabendo que as inequações são simultâneas.
c) x²-2x+8≤8 e x²-2x+8>3
b) x-3≥0 e x²-5x-6<0
c) (-x+1)(x²-x+5)(x²-4)≤0
b) (3x-2)(x+1)(3-x)<0
Respostas no nal da
apostila
4. Fatoração
Denição: Fatoração é um processo utilizado na matemática que consiste
em representar um número ou uma expressão como produto de fatores. Esta tem
como objetivo a simplicação de equações e expressões algébricas.
Fator Comum: Esta é a forma de fatoração em que se isola o termo em
comum da soma algébrica transformando-a em um produto. Conforme esquema-
tizado abaixo:
Neste caso, temos “ ” como o fator comum da expressão ‘‘ ’’,
que foi colocado em evidência. Sendo “ ” e os fatores e a expressão
.
a) 4x+4y=4(x+y)
Exemplos:
Neste caso o fator comum é o 4 e no segundo termo ele está em evidência.
Podemos decompor os valores 36 e 48 em relação ao seu máximo divisor
comum, que é o 12, cando:
(12.3)x²y²-(12,4)x³y
Para construir o segundo fator dividimos cada um dos termos da subtração
b) Fatore a expressão 36x²y²-48x³y
Em relação ao x, como aparece nos dois termos, pegamos sua potência com
menor expoente, nesse caso o x². Fazendo o mesmo em relação ao y, pegamos o
y². Com isso temos o primeiro fator, o fator comum, como sendo: 12x²y².
Cabe lembrar que ao realizar divisão de potência de mesma base, mantemos
a base e subtraímos o expoente. Sendo assim, a fatoração ca:
.
36x²y²-48x³y =12x²y²(3-4xy²)
pelo fator comum 12x²y².
Fatoração por agrupamento: Essa forma de fatoração é utilizada quando não
temos um termo em comum na expressão toda. Geralmente, este processo deverá
ser utilizado quando há um número par de termos na expressão original. A ideia é
fazer a fatoração por fator comum em grupos separados e vericar se aparecem
termos iguais para continuar o processo (conforme esquematizado abaixo):
Nesse caso não conseguimos achar um fator pelo qual possamos dividir todos
os termos. Então vamos tentar agrupar os termos de dois em dois e procurar fatores
comuns:
Para xy-3x, vemos que o fator comum é x, já para 2y-6, o fator comum é o 2.
Colocando esses fatores em evidência, temos: x(y-3)+2(y-3). Com isso, vemos que o
(y-3) aparece como um novo fator comum, então colocamos ele em evidência.
Ficamos então com: (x+2)(y-3).
a) xy-3x+2y-6
Exemplos:
Como não conseguimos achar um fator pelo qual possamos dividir todos os
termos vamos tentar agrupar os termos de dois em dois e procurar fatores comuns:
No primeiro grupo temos o 2 como M.D.C. (Máximo Divisor Comum) entre 6 e 4
e o x como fator comum; devemos então colocar o 2x em evidência. Para construir
o segundo fator, dividimos os termos originais pelo fator comum.
No segundo grupo temos o 3 como M.D.C. e o “b” como fator comum. Bus-
cando o segundo termo:
b) Fatore a expressão: 6x²-4ax-9bx+6ab
Sendo assim a expressão ca: 6x²-4ax+9bx+6ab=2x(3x-2a)-3b(3x-2a).
Como (3x-2a) aparece como um novo fatos comum, podemos colocá-lo em
evidência, de forma que: (2x-3b)(3x-2a).
Diferença de quadrados: Este tipo de fatoração utiliza o seguinte conceito: “A
diferença entre dois quadrados equivale ao produto da somo pela diferença des-
tes dois termos”, ou seja:
Exemplos:
a) a²-16
Extraindo a raiz de cada um dos termos, temos:
a²-16=(a+4)(a-4)
Com as raízes podemos indicar a expressão como o produto da soma pela
diferença destas raízes:
Como os dois termos se encontram ao quadrado, facilmente identicamos
que a expressão é uma diferença de quadrados. Em que 123456 age como “a” e
123455 como “b”. Sendo assim, temos:
b)Simplique a seguinte expressão numérica: 123456²-123455².
Resolvendo as operações em cada termo camos com:
Logo:
Este exemplo mostra como a fatoração pode simplicar uma expressão, pois
antes da fatoração a mesma parecia complicada de resolver sem o auxílio de uma
calculadora. Porém, após a fatoração, vimos que apenas uma soma resolvia o pro-
blema.
Trinômio Quadrado Perfeito (TPQ): Uma expressão algébrica (que não pode
ser reduzida) formada por três parcelas é denominada trinômio.
Dois exemplos de trinômios são:
x²+2x-24 e 9a²-12ab+4b²
Se precisamos fatorar um trinômio, o primeiro passo é vericar se ele é um
trinômio quadrado perfeito (TPQ), isto é, se ele provém do produto notável quadra-
do da soma ou quadrado da diferença. Ou seja, deve obedecer a um dos seguin-
tes formatos:
Para avaliar se um polinômio é um trinômio quadrado perfeito devemos
observar se ele satisfaz duas condições:
I) Dois termos do trinômio são quadrados perfeitos e precedidos do +;
II) O outro termo, precedido do sinal + ou do sinal -, é igual ao dobro do
produto das raízes dos termos quadrados.
Exemplos:
a) x²+8x+16
Avaliando a primeira condição:
Temos a primeira condição satisfeita. Avaliando a segunda condição:
Como a segunda condição também está satisfeita, temos um trinômio do
quadrado perfeito e podemos fatorar:
b) Fatore a seguinte expressão: 9x²-30xy+25y².
Avaliando a primeira condição:
Avaliando a segunda condição:
Temos as duas condições satisfeitas, podemos fatorar.
Observe que como o 30xy é um termo negativo temos o quadrado da dife-
rença de dois termos.
c) Fatore a seguinte expressão: 16x²+10xy+y².
Avaliando a primeira condição:
Avaliando a segunda condição:
Logo, este não é um caso de trinômio do quadrado perfeito e não podemos
utilizar essa técnica de fatoração.
Trinômio do tipo x²-Sx+P: Esta técnica de fatoração é muito útil para resolver
problemas envolvendo funções polinomiais do 2° grau, sendo uma alternativa para
o tradicional Bhaskara.
S: Indica a soma das raízes;
No trinômio x²-Sx+P, os termos indicam:
P: Indica o produto das raízes.
Para realizar essa fatoração precisamos encontrar dois números tais que a
soma equivale a S e o produto a P. Estes números são as raízes de um polinômio do
segundo grau e são chamados: x’ e x’’.
Com estes valores podemos realizar a fatoração da seguinte forma:
Ao observar as condições exigidas para ser um trinômio do quadrado perfei-
to observa-se que este não é o caso e sendo optamos por este tipo de fatoração.
Exemplo: x²-12x+20
S=12 e P=20.
Precisamos encontrais dois números, tais que:
Como o produto é positivo, ambas as raízes devem ter sinais iguais. E como a
soma é positiva, concluímos que buscamos números positivos. Decompondo o
número 20 e fazendo as alternativas possíveis para soma concluímos que as raízes
são os números 10 e 2.
S= + =1210 2
P= . =20102
Ficamos então com a seguinte fatoração:
Soma ou diferença entre cubos: Esta forma de fatoração, utiliza os seguintes
produtos notáveis:
Exemplo: 27x³+1
Tirando raiz cúbica de ambos os termos, temos:
Com isso temos 3x agindo como “a” e 1 como “b”. E a fatoração, ca:
20
10
5
1
2
2
5
1
Lista de Exercícios
Respostas no nal da
apostila
1. Fatore as seguintes expressões:
a) 5ab²+10a²b²-15a³b
c) 4x -16x³y+16x²y²
d) 5x³-5y³
b) 2ac-2ad+bc-bd
2. Se a e b são números reais inteiros positivos tais que a-b=7 e a²b-ab²=210
qual o valor de ab?
3. Simplique a seguinte expressão:
4. Simplique a seguinte expressão:
Observação: x≠2 e x≠4.
5. Módulo
|x| = -x, se x < 0
Módulo de um número real: O módulo ou valor absoluto de um número real
x, que representamos por |x|, é denido a partir da seguinte relação:
Podemos exemplicar com um caso: a distância entre a cidade A e B é 100
km; o contrário também é verdade, de B para A a distância continua sendo 100 km
(e não –100 km). O módulo sempre resulta num número positivo.
|x| = x, se x ≥ 0
a)|5-x|, com x>5
|5-x|=-(5-x)=x-5
Exemplos:
Nesse caso o número dentro do módulo é negativo, já que x é maior que 5, e
se torna necessário trocar o sinal, portanto:
Para x > 5:
|5-x|=-(5-x)=x-5
Repare que o 5 é o ponto crítico em que o sinal muda, isso acontece porque
ele é a raiz (ponto que corta o eixo x) da equação f(x)=5-x, podendo ser visto na
seguinte imagem:
b)|5-x|, com x
Nesse caso tenho duas possibilidades, para x maior e menor que 5.
Para x < 5:
|5-x|=5-x
c) |x-5|+|x-2|, com x<2
-(x-5)-(x-2)=-x+5-x+2=-2x+7
Nesse caso como x<2 para ambos os módulos o valor é negativo. Assim,
para resolvermos esse problema, precisamos inverter os sinais nos dois casos.
Para encontrarmos a raiz da função, igualamos f(x)=0
d) |x-5|+|x-2|, com x
Como não é dado um intervalo especíco para avaliar, é necessário fazer
um estudo de sinal. Para isso, tem-se uma f(x) a equação x – 5 e uma g(x) a equa-
ção x – 2.
f(x)=x-5
x-5=0
x=5
x-2=0
x=2
Para encontrarmos a raiz da função, igualamos g(x)=0
g(x)=x-2
Para fazer a soma de f(x) e g(x) utilizaremos um meio visual, onde é tracejado
os valores 2 e 5, visto que são as raízes das duas equações.
Portanto a solução será dada da seguinte maneira:
-(x-5)-(x-2)=-x+5-x+2=-2x+7
Nesse caso como x<2 para ambos os módulos o valor é negativo. Assim,
para resolvermos esse problema, precisamos inverter os sinais nos dois casos.
Propriedades do módulo:
II)
III)
IV)
I)
FUNÇÃO MODULAR: GRÁFICO
f(x)=x, para x>0;
f(x)=-x, para x<0.
Denomina-se função modular a função f: tal que f(x)=|x|, ou seja,
Gracamente:
Observação nesse : Contradomínio e imagem
caso são coisas diferentes. Quando é
colocado a função f: o contradomínio
são os reais (onde a seta está chegando).
Porém, analisando o gráco é possível armar
que a imagem são
Construção do gráco utilizando translação: Antes de começar vale lem-
brar que um valor somado fora do módulo é responsável por transladar o gráco
verticalmente; já um valor somado dentro do módulo é responsável por transladar
o gráco horizontalmente.
Exemplos:
a) f(x)=|x|+3
b) f(x)=|x|-2b) f(x)=|x|-2 c) f(x)=|x-1| d) f(x)=|x+2|
e) f(x)=|x-2|+1
Contradomínio =
Imagem = [1, +∞)
Nesse último caso, vamos analisar o domínio, con-
tradomínio e imagem.
Domínio =
Equações Modulares: Aquelas em que a incógnita aparece dentro do módulo.
a) |x-3|=5
Exemplos:
Nesse caso, isso só será verdade se:
x=8 x=-2
x-3=5 ou x-3=-5
S={-2,8}
b) |2x+1|=-4
Nesse caso não existe nenhuma solução que satisfaça essa equação, uma
vez que não existe módulo que resulta num número negativo.
c) para x ≠ 3;
Nesse caso, isso só será verdade se:
2x-x=-1+6
x-1=2x-6
x=5
(x-1)/(x-3)=2
x=7/3
x-1=-2x+6
2x+x=1+6
(x-1)/(x-3)=-2
S={7/3;5}
e
y1=5 e y2=-2 →
Pela segunda propriedade do módulo, temos que |x²|=|x|². Considerando
|x| por y:
y=[-(-3)±√49]/2
y²-3y-10=0
d) |x²|-3|x|-10=0
∆=(-3)²-4.1.(-10)=49
Não existe módulo que resulte em número negativo, por-
tanto o y2 não é considerado (solução vazia).
S={-5,5}
x=5 ou x=-5
Com isso temos que y=5=|x|, e nesse caso:
Nesse caso, duas opções são possíveis:
e) |x²-x-1|=1
x²-x-1=1
x1=2 e x2=-1
∆=(-1)²-4.1.(-2)=9
x²-x-2=0
x=[-(-1)±√9]/2
x²-x-1=-1
x²-x=0
x(x-1)=0
Com isso ou x=0 ou x-1=0, e portanto x=1.
S={-1,0,1,2}
Inequação Modular: São aquelas que envolvem a incógnita em módulo.
Exemplos:
a) |x|>a com a>0
|x|<a → -a<x<a
|x|>a → x<-a ou x>a
-7<x<3
-5<x+2<5
b) |x+2|<5
Subtraindo -2 de todos os lados da inequação:
-5-2<x<5-2
S={x /-7<x<3}
c) 4<|x+1|<6
Separando em dois e analisando separadamente:
Para 4<|x+1|:
-4<x+1<4
-4-1<x<4-1
-5<x<3
Juntando as duas soluções chegamos na solução geral do problema:
Para |x+1|<6:
-6-1<x<6-1
-6<x+1<6
-7<x<5
S={x /-7<x<-5 ou 3<x<5}
Lista de Exercícios
Respostas no nal da
apostila
1. Resolva as equações
c) |x+1|=2x-6
b) |2x-7|=|x+4|
a) x²+3|x|-18=0
2. Como ca o gráco da equação f(x)=|-x+1|?
3. A gura a seguir mostra o gráco f(x).
a) b) c) d) 6 5 4 3
O número de elementos do conjunto solução da equação |f(x)|=1,
resolvida em é igual a:
4. Faça um esboço do gráco da equação f(x)=||x+2 |-2|.
5. A soma das raízes distintas da equação x²-5x+6=|x-3| é?
6. Qual é a soma das raízes distintas da equação ||x-2|-2|=2?
7. Resolva a seguinte inequação |x-1|+|x-3|<|4x|.
6. Logaritmo
A equação a seguir pode ser resolvidas com facilidade a partir da
fatoração de ambos os membros por um fator comum, no caso o dois.
O que nos possibilita terminar de resolver este problema é a propriedade do
exponencial que permite que em caso de bases iguais possamos igualar os
expoentes e assim resolver uma equação comum.
Porém ao tentarmos resolver equações mais complicadas, como a
equação abaixo, por não ser possível fatorar 7 e 2 em um fator comum, não
podemos resolver como no primeiro exemplo.
Uma técnica utilizada é analisar as aproximações, por 7 estar entre 4 e 8
podemos concluir que x está entre 2 e 3.
Para resolvermos este e outros problemas precisamos de uma outra
ferramenta, e é justamente para resolver isto que temos o LOGARITMO.
Sejam a e b números reais e positivos, com a ≠ 1, então: Denição:
Sendo:
a – BASE do logaritmo (mesma base da potência)
b – LOGARITMANDO (resultado da potência)
c – LOGARITMO (expoente)
Para essa função, existem condições de existência, são elas:
a > 0;
a ≠ 1;
b > 0.
o logaritmo (c) não apresenta restrições.
Quando a base é igual a 10 é comum que Sistema de logaritmos decimais:
esta seja omitida da representação.
Exemplo:
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
Exemplo: Calcular o valor da expressão:
PROPRIEDADES
I. Propriedade do produto: Numa mesma base a (a > 0 e a ≠ 1), o logaritmo
do produto de dois números reais e positivos é igual à soma dos logaritmos desses
números. Em símbolos:
II. Logaritmo do quociente: Numa mesma base a (a > 0 e a ≠ 1), o logaritmo
do quociente de dois números reais e positivos é igual à diferença dos logaritmos
desses números. Em símbolos:
III. Logaritmo da potência no logaritmando: Numa mesma base a
(a > 0 e a ≠ 1), o logaritmo da potência do logaritmando é igual ao produto do
expoente pelo logaritmo da base da potência. Em símbolos:
IV. Logaritmo da potência na base: Numa mesma base a (a > 0 e a ≠ 1), o
logaritmo da potência da base é igual ao produto do inverso do expoente pelo
logaritmo da base da potência. Em símbolos:
MUDANÇA DE BASE
Há situações em que logaritmos em bases diferentes precisam ser
convertidos para uma única base conveniente, para que possamos aplicar as
propriedades operatórias.
Se a, b e c são números reais positivos e a e c diferentes de 1, então:
SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOS (LOGARITMOS NATURAIS)
Sendo , a chamada constante de Euler está é um número irracional que
equivale a aproximadamente:
Quando a base do logaritmo está constante este é chamado de logaritmo
natural e a indicação é equivalente a lnx.
A importância deste tipo de logaritmo e a razão de ser chamado de
logaritmo natural se relaciona ao fato de vários fenômenos da natureza poderem
ser descritos por esse tipo de logaritmo.
Lista de Exercícios
Respostas no nal da
apostila
7. Limite
.
O limite estuda o comportamento de uma função f(x) quando xDenição:
tende a p.
Notação: , que é lido como limite de f(x), com x
tendendo à p.
Se a função for contínua, o limite no ponto estudado será a
própria função aplicada ao ponto.
Exemplo:
a)
Nota-se que (x-1) é uma função polinomial e, portanto,
continua. Então:
qual o limite de f(x) com x tendendo b) Se ,
a 0?
Se zermos o gráco dessa função, notamos que ela não
é contínua. Podemos observar isso também ao resolver o limite:
c)
Nota-se que f(x) é uma função racional e, portanto,
contínua, entretanto, se apenas substituirmos o valor de x,
teremos 0/0, o que não é possível, então é necessário manipular
a função antes:
Portanto:
Se e , então:
I)
II)
III)
LIMITES LATERAIS
Utilizamos os limites laterais para vericar a existência ou não do
limite em um certo ponto da função.
Constata-se a existência do limite se:
Se o limite de f(x) de x tendendo à esquerda (a-) for diferente do limite de
f(x) de x tendendo à direita (a+), não existe limite no ponto a.
Exemplo: , qual o limite de f(x) com x tendendo a 0?
A esquerda:
A direita:
Portanto, como os limites laterais são diferentes, não existe limite no ponto 0,
o que também faz a função ser descontínua nesse ponto.
A função f(x) será contínua em um determinado ponto se, e somente OBS.:
se, os limites laterais de f(x) no ponto p forem iguais e tiverem o mesmo valor da
função aplicada ao ponto .
NOÇÕES DE LIMITES INFINITOS
Temos que e para qualquer valor de a , ou seja,
quando x tende ao innito (positivo ou negativo) e está no denominador a fração
PROPRIEDADES ARITMÉTICAS DO LIMITE
terá valor zero por estarmos dividindo um número por algo muito grande.
Exemplos:
a)
Sabemos que , então podemos colocar x² em evidência para
que a fração apareça:
Temos também que e .
Para os próximos exemplos temos que f,g: A
b) Se , então:
c) Se , então:
d) Se , então:
e) Se , então:
+∞+ (+∞) = +∞; +∞·(+∞) = +∞; −∞+ (−∞) = −∞; −∞·(−∞) = +∞;
+∞+ L = +∞; −∞+ L = −∞; +∞·L=
RESUMO
1. Resolva os limites abaixo:
Lista de Exercícios
Respostas no nal da
apostila
2. Sendo
, calcule, caso exista, o
3. Sendo
, calcule, caso exista, o
4. Sendo
, calcule, caso exista, o
5. Sendo
, calcule, caso exista, o
6. Resolva os limites abaixo, caso existam.
7. Resolva os limites laterais abaixo:
8. Verique a existência dos limites apresentados usando limites laterais:
9. Calcule os limites abaixo:
10.
8. Derivada
.
A derivada de uma função em um ponto representa a Denição:
inclinação (ou coeciente angular) da reta tangente à curva da função no
ponto em questão. De forma mais simplicada, sendo uma função y=f(x),
a derivada no ponto A é dada através do coeciente angular da reta tangente.
Suponhamos que desejamos conhecer a derivada no ponto p.
Para calcular o coeciente angular (m)
da reta r, basta utilizarmos o conceito
de tangente geométrica. Sendo assim:
Conforme o valor de ∆x se aproxima de 0,
ou seja, quanto mais próximo o ponto x se
aproxima do ponto p, mais próxima a reta
se torna a tangente no ponto em questão.
Dessa forma, a inclinação da reta tangente
à curva no ponto p, ou f'(p), pode ser dada
pela seguinte equação:
Exemplos:
Calcule f'(x) pela denição, dada f(x)=x²+x no ponto x=1. a)
Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x²-6x+8 no ponto b)
(x1,y1).
A inclinação da reta tangente no ponto (x1,y1) é a derivada da função y
em relação a x no ponto x1. Logo, temos que:
PRINCIPAIS DERIVADAS
Apesar da derivação por denição apresentar uma certa complexidade,
existem derivadas já conhecidas, e são elas:
Exemplos:
a)
b)
UTILIZAÇÃO DA DERIVADA
Na engenharia, as derivadas são muito utilizadas, principalmente quando
se deseja conhecer máximos e mínimos de funções. Isso porque é possível
encontrar pontos críticos da função igualando sua derivada a 0, já que a
inclinação da reta tangente nesses pontos deve ser 0.
Vale ressaltar que para determinar os pontos máximos e mínimos absolutos
de uma função, não basta igualar a derivada da função a 0, pois existem outras
vericações que devem ser feitas.
De modo geral, nem todo ponto que
a derivada se iguala a 0 é ponto
máximo ou mínimo absoluto, mas
todo ponto máximo, tanto relativos
quanto absolutos, possuem derivada
igual a 0 ou inexistente, como o caso
da função y=|x|, que pode ser vista ao
lado.
Além disso, as derivadas são utilizadas nos mais diversos âmbitos. Na física,
por exemplo, a função da aceleração instantânea de uma partícula é a
derivada da função velocidade, que por usa vez, é a derivada da função
espaço.
No cálculo de alguns limites, é frequente nos depararmos com
indeterminações do tipo 0/0 ou / . Para o cálculo de limites que se
enquadram nesse tipo de indeterminação, podemos usar a regra de L' Hospital,
que utiliza o conceito de derivação.
As regras de L'Hospital não serão reconhecidas como respostas de ATENÇÃO:
limite nas provas iniciais da disciplina de Cálculo 1. Apesar disso, essas regras nos
ajudam a conferir respostas de limites que tenhamos chegado através de outros
métodos.
A regra de L'Hospital diz:
Sendo f(x) e g(x) funções deriváveis, se OU
, então:
REGRA DE L'HOSPITAL
Exemplos:
a) Calcule
Como podemos observar, o limite apresenta uma indeterminação do tipo
/ , possibilitando a utilização de L'Hospital. Portanto:
b) Calcule
Como podemos observar, o limite apresenta uma indeterminação do tipo
0/0, possibilitando a utilização de L'Hospital. Portanto:
Lista de Exercícios
Respostas no nal da
apostila
1. Se a posição de uma partícula é dada por (onde t
está em segundos e x em metros), qual a velocidade da partícula em t = 1s?
Escreva a equação da aceleração instantânea da partícula.
2. Determine as coordenadas do ponto máximo ou mínimo da função
utilizando derivada.
3. Calcule
4. Projetar um jardim retangular de área máxima protegido por uma cerca
sabendo que temos 100 m de cerca. Determinar os lados do jardim em metros
e a área máxima.
y
x
9. Integral
O melhor jeito de visualizar o conceito de integral é pensando Denição:
em um problema que tem ela como solução, o problema da área.
Como encontrar a área da região S que está sob a curva y= f(x) de a até
b ?.
Isso signica que S, ilustrado acima, está limitado pelo gráco de uma
função contínua f (onde f(x) ≥ 0), pelas retas verticais x = a, x = b.
As formulas decoradas no ensino médio não abrangem esse tipo de área e
decorar uma fórmula para cada tipo de função é impossível. Para resolver este
tipo de problema, usa-se a ideia de preencher toda a área embaixo da curva
com retângulos, que é uma gura mais simples de calcular a área (base × altura),
conforme ilustrado abaixo.
No caso acima, a área almejada foi dividida em oito retângulos de mesma
largura, neste caso 1/8. Neste caso, tem-se:
Para se obter um valor mais próximo do real de S diminui-se cada vez mais
a largura dos retângulos e assim aumenta-se o número de retângulos necessários
para preencher a área. Como mostrado acima, com n=10, n=30 e n=50.
Para maior exatidão, usamos o conceito de limite dividindo a região em
cada vez mais retângulos, de modo que n tenda a innito.
Generalizando teremos que a área A de qualquer região S sob o gráco de
uma função contínua f é o limite da soma das áreas dos retângulos.
Sendo ∆x a largura dos retângulos, ou seja,
Se este limite existir e der o mesmo resultado para todas as possíveis escolhas
de pontos amostrais (ponto da função que se utiliza como altura do retângulo),
dizemos que f é integrável em [a, b]. Então a integral de f de a a b é:
Notação:
f(x) é chamado integrando
a e b são chamados limites de integração, sendo a o limite inferior e b
o limite superior;
dx indica que a variável dependente é x.
Quando a integral apresenta os limites de integração para ser calculada,
esta é chamada integral denida e seu resultado é um valor.
Já quando não se apresenta os limites de integração, esta é uma integral
indenida e resulta em uma função. Cabe destacar que nesse caso sempre é
necessário adicionar uma constante a cada integração.
PRINCÍPIO DO TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Chamado assim, pois estabelece uma conexão entre os dois ramos do
cálculo: o cálculo diferencial e o cálculo integral. Ramos estes que surgiram de
problemas aparentemente não relacionados, o problema da tangente e o
problema da área, respectivamente. Mas na verdade, estão estreitamente
relacionados, pois assim como a subtração e soma, a integração e a derivação
são processos inversos.
Não convém em um material de nivelamento explicar todas as
particularidades deste teorema, porém para o cálculo efetivo de algumas
integrais mais básicas faz sentido ter isso em mente. O que é importante ter em
mente agora é basicamente o seguinte:
De modo que F(x) é chamada de primitiva, logo:
PROPRIEDADE DAS INTEGRAIS
A seguir, têm-se as propriedades das integrais que devem ser utilizadas para
facilitar contas
Pensando na relação entre integral e derivada Integrar funções polinomiais:
apresentada anteriormente e lembrando que toda vez que você deriva um
polinômio através da regra do tombo, você diminui o grau do polinômio, faz
sentido armar que toda vez que você integra um polinômio você aumenta o
grau deste.
Na prática, é basicamente:
Exemplos:
a)
No primeiro passo desse exemplo, foi utilizada a forma para integral
indenida da propriedade II. Em seguida, foi utilizada a regra para se integrar
polinômios e cabe destacar que ao nal, pode-se juntar as constantes em uma
só.
b)
Neste caso, primeiramente resolveu-se a integral pela regra e depois se
aplicou os limites de integração. Cabe destacar que como é uma integral
denida, a constante não é necessária.
Lista-se, a seguir, outras integrais básicas Outras integrais importantes:
importantes de se ter na cabeça, pois elas sempre aparecem, lembrando que é
possível vericar estas a partir da derivação.
Exemplo:
No primeiro passo desse exemplo, foi utilizada a forma para integral
indenida da propriedade II e da propriedade IV. Em seguida, foi utilizada a
regra para se integrar polinômios e integrais da exponencial e do logaritmo
apresentadas nessa seção.
Exponencial e Logaritmo:
Integrais Trigonométricas:
Integre as seguintes funções:
Lista de Exercícios
Respostas no nal da
apostila
2. Inequações
Gabarito
3.Matriz
1.a) (3,-1)
Sistema Possível e Indeterminadob)
Sistema Impossívelc)
O número de incógnitas é diferente do número de equaçõesd)
(-1,0,1)e)
Sistema Impossívelf)
(5,-3,1)g)
O número de incógnitas é diferente do número de equaçõesh)
O número de incógnitas é diferente do número de equaçõesi)
4. Fatoração
5. Módulo
6. Logaritmo
1.
7.Limite
8. Derivada
9. Integral
ll Fa s o' lt ka shT