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Apostila Completa de Álgebra Cederj
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lgebra II
Volume nicoHernando BedoyaRicardo Camelier
Apoio:
Hernando Bedoya
Ricardo Camelier
Volume nico
lgebra II
Material Didtico
2010/1Referncias Bibliogrfi cas e catalogao na fonte, de acordo com as normas da ABNT.
Copyright 2005, Fundao Cecierj / Consrcio Cederj
Nenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrnico, mecnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao, por escrito, da Fundao.
ELABORAO DE CONTEDOHernando BedoyaRicardo Camelier
COORDENAO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONALCristine Costa Barreto
DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL E REVISO Zulmira SperidioMarcelo Bastos Matos
COORDENAO DE LINGUAGEM Cyana Leahy-DiosMaria Anglica Alves
COORDENAO DE AVALIAO DO MATERIAL DIDTICODbora Barreiros
AVALIAO DO MATERIAL DIDTICOLetcia Calhau
B412a Bedoya, Hernando.
lgebra II. v. nico / Hernando Bedoya; Ricardo Camelier. Rio de Janeiro: Fundao CECIERJ, 2010.
264p.; 19 x 26,5 cm.
ISBN: 85-7648-314-9
1. lgebra. 2. Anis quocientes. 3. Teorema de homomorfi smo. 4. Polinmios. I. Camelier, Ricardo. II. Ttulo.
CDD: 512
EDITORATereza Queiroz
COPIDESQUEJos Meyohas
REVISO TIPOGRFICAElaine BaymaMarcus Knupp
COORDENAO DE PRODUOJorge Moura
PROGRAMAO VISUALMrcia Valria de AlmeidaRenata BorgesSanny Reis
ILUSTRAOEquipe Cederj
CAPAEquipe Cederj
PRODUO GRFICAOsias FerrazPatricia Seabra
Departamento de Produo
Fundao Cecierj / Consrcio CederjRua Visconde de Niteri, 1364 Mangueira Rio de Janeiro, RJ CEP 20943-001
Tel.: (21) 2334-1569 Fax: (21) 2568-0725
PresidenteMasako Oya Masuda
Vice-presidenteMirian Crapez
Coordenao do Curso de MatemticaUFF - Regina Moreth
UNIRIO - Luiz Pedro San Gil Jutuca
Universidades Consorciadas
Governo do Estado do Rio de Janeiro
Secretrio de Estado de Cincia e Tecnologia
Governador
Alexandre Cardoso
Srgio Cabral Filho
UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIROReitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho
UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Vieiralves
UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitora: Malvina Tania Tuttman
UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Motta Miranda
UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROReitor: Alosio Teixeira
UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEReitor: Roberto de Souza Salles
lgebra II Volume nico
SUMRIO Aula 1 Anis quocientes ______________________________________ 7 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 2 Homomorfi smos _____________________________________ 15 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 3 Teorema do homomorfi smo _____________________________ 29 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 4 Divisibilidade em anis ________________________________ 39 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 5 Introduo aos polinmios ______________________________ 51 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 6 Operaes com polinmios _____________________________ 65 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 7 Anis de polinmios ___________________________________ 75 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 8 Diviso de polinmios _________________________________ 89 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 9 Propriedades da diviso de polinmios ____________________ 103 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 10 Sobre razes de polinmios ___________________________ 121 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 11 Polinmios irredutveis ______________________________ 137 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 12 Introduo aos grupos _______________________________ 153 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 13 Mais exemplos de grupos ____________________________ 165 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 14 Subgrupos e grupos cclicos ___________________________ 185 Ricardo Camelier
Aula 15 O Teorema de Lagrange ______________________________ 199 Ricardo Camelier
Aula 16 Classes laterais e o grupo quociente ____________________ 213 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 17 Subgrupos normais _________________________________ 231 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Aula 18 Homomorfi smos de grupos ___________________________ 247 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier
Referncias _____________________________________________ 263
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Podemos, agora, completar nossa construo. Segue que (A/I, +, )
um anel, chamado de anel quociente, ou anel das classes residuais mdulo I,
cujo zero dado por 0 e cuja unidade dada por 1.
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Sejam (Z, +, ) o anel dos inteiros e I o ideal de Z dado por
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Homomor smos 2ob
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AU
LA
Meta da aula
Ao nal desta aula, voc dever ser capaz de:
Reconhecer um homomor smo entre anis.
Apresentar e demonstrar as primeiras propriedades dos homomor smos.
Apresentar o conceito de homomor smo de anel e suas propriedades bsicas.
Pr-requisitos
Voc vai precisar dos conhecimentos sobre anis e ideais, desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 do curso de lgebra I.
16 C E D E R J
lgebra II | Homomor smos
INTRODUO As funes consideradas naturais entre duas estruturas algbricas do mesmo
tipo, como os anis, so aquelas que preservam as operaes, ou seja,
transformam uma soma de elementos no anel domnio na soma de suas
imagens e transformam um produto de elementos no anel domnio no produto
de suas imagens. Essas funes, chamadas de homomor smos, sero o objeto
do nosso interesse nesta aula.
HOMOMORFISMO DE ANIS
De nio 1
Dados dois anis A e B, uma funo AB chamada de um
homomor smo (de anis) se para todo a, b A , vale:
H1. (a + b) = (a) + (b);
H2. (a . b) = (a) . (b);
H3. (1A) = 1B (ou, simplesmente, (1) = 1).
De nio 2
Um homomor smo AB chamado de um isomor smo se
for, tambm, uma bijeo. Nesse caso, dizemos que A e B so isomorfos
e denotamos A B.
Lembre que dois conjuntos A e B tm o mesmo nmero de
elementos, ou seja, eles tm a mesma cardinalidade, se existe uma bijeo
entre A e B. Assim, se A e B so isomorfos, ento eles tm exatamente o
mesmo nmero de elementos. Isso acontece porque se AB um
isomor smo, ento, em particular, uma bijeo entre A e B.
De nio 3
O ncleo de um homomor smo de anis AB o conjunto
N() = {x A (x) = 0B},
onde 0B o elemento neutro do anel B.
Apesar de o conceito de homomor smo ser muito natural, ele surgiu de forma muito gradual. O con-ceito de homomorfismo de grupos surgiu, pela primeira vez, em torno de 1830, o de homomor smo de corpos em torno de 1870 e o de homomor smo de anel somente em 1920.
C E D E R J 17
AU
LA 2Vejamos agora dois dos exemplos mais simples de homomor smo
de anis.
Exemplo 1
O exemplo mais simples de todos o homomor smo identidade.
Dado um anel A, o homomor smo identidade de nido pela funo
identidade em A, ou seja, id : A A, id(a) = a. Vamos veri car que a
identidade , de fato, um homomor smo de anis. Para isso, precisamos
veri car os trs axiomas de homomor smos. Sejam a, b A, ento
H1. id(a + b) = a + b = id(a) + id(b);
H2. id(a . b) = a . b = id(a) . id(b);
H3. id(1A) = 1A.
Assim, id um homomor smo. Mais ainda, o homomor smo
identidade bijetor, portanto, ele tambm um exemplo de um
isomor smo. Vamos calcular seu ncleo. Nesse caso, N(id) = {x A id(x) = 0A}. Ou seja, queremos resolver a equao id(x) = 0A. Como id(x)
= x, a equao se transforma em x = 0A, ou seja, sua nica soluo
x = 0A, portanto, N(id) = {0A}.
Exemplo 2
Seja n Z, n > 1. Considere a funo : Z Zn de nida por (a) = a , onde a classe residual mdulo n do inteiro a. Vamos veri car
que um homomor smo de anis. De fato, dados a, b Z, ento
H1. (a + b) = a + b = > + b = (a) + (b);
H2. (a . b) = a . b = > . b = (a) . (b);
H3. (1) = 1 = 1Zn.
Assim, um homomor smo. Mais ainda, o homomor smo
sobrejetor, pois, dado k Zn , ento (k) = . No entanto, no injetor, pois (0) = 0 e (n) = n = 0, ou seja, (0) = (n) com n 0. Portanto,
no um isomor smo.
Vamos calcular, agora, o ncleo de . Nesse caso, N( = {x Z
(x) = 0}. Ou seja, queremos resolver a equao (x) = 0. Como (x) = x , a
equao se transforma em x = 0, e suas solues so os inteiros mltiplos
de n, portanto, N( = nZ = {kn k Z}.
Vamos, agora estudar uma srie de propriedades fundamentais
sobre os homomor smos.
k
18 C E D E R J
lgebra II | Homomor smos
Proposio 1
Seja AB um homomor smo de anis. Temos:
1. (0A) = 0B (ou, simplesmente, (0) = 0).
2. ( a) = (a) para todo a A.3. (a b) = (a) (b), para todo a, b A. 4. (A) um subanel de B, onde o conjunto imagem de A, (A),
de nido por (A) = {(a) a A}.5. Se A' um subanel de A, ento (A') um subanel de (A).6. Se B' um subanel de B, ento (B') um subanel de A,
onde o conjunto imagem inversa de B, (B') de nido por (B') = {a A (a) B'} .
7. Se I um ideal de A, ento (I) um ideal de (A).
8. Se J um ideal de B, ento (J) um ideal de A.
9. N() um ideal de A.
10. Se um isomor smo (ou seja, uma funo bijetora),
ento BA um homomor smo de anis e, portanto, tambm
um isomor smo.
Demonstrao
Algumas das demonstraes deixaremos como atividade para
voc. Demonstraremos algumas delas.
1. Temos
0 + (0) = (0)
= (0 + 0)
= (0) + (0),
e, cancelando (0) nos dois lados (lembre da lei do cancelamento),
segue que
(0) = 0.
2. Aplicando, inicialmente, a propriedade anterior, temos
0 = (0)
= (a)+ ( a))
= (a) + ( a),
para todo a A. Logo, pela unicidade do elemento simtrico, segue que ( a) = (a).
C E D E R J 19
AU
LA 2
ATIVIDADE
3. Temos
(a b) = (a + ( b))
= (a)+ ( b),
= (a)+ ((b)), pela propriedade 2
= (a) (b).
4. Como A , segue que (A) . Agora, dados (a), (b)
(A) e aplicando a propriedade 3, temos que
(a) (b) = (a b) (A),
e, tambm,
(a) . (b) = (a . b) (A).
Assim, pela Proposio 1 da Aula 5, segue que (A) um
subanel de B.
Tente voc, agora, provar a prxima propriedade.
1. Demonstre a propriedade 5, ou seja, prove que se A' um subanel de A, ento (A') um subanel de (A).______________________________________________________________
______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
20 C E D E R J
lgebra II | Homomor smos
ATIVIDADE
6. Como (0A) = 0B e 0B B', ento 0A (B')e, portanto, (B') . Agora, dados a, b (B'), ento (a), (b) B'e segue que
(a b) = (a) (b) B',
pois B' subanel de B. Portanto, a b (B'). Tambm temos
(a . b) = (a) . (b) B',
pois B' subanel de B. Portanto, a . b (B'). Assim, provamos que (B') um subanel de A.
sua vez de praticar novamente.
2. Demonstre a propriedade 7, ou seja, prove que se I um ideal de A, ento
(I) um ideal de (A).
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
8. Como 0B J e (0A) = 0B , ento 0A (J), e, portanto, (J) . Agora, dados a, b (J) , ento (a), (b) J e, assim, segue que
(a + b) = (a) + (b) J,
pois J um ideal de B. Portanto, a + b (J). Por outro lado, sejam a A e b (J), ento vale que (a) (A) e (b) J, e, como J ideal de B e (A) B, temos (a) . (b) J. Portanto,
C E D E R J 21
AU
LA 2(a . b) = (a) . (b) J,
ou seja, a . b (J). Assim, conclumos que (J) um ideal de A.
9. Para mostrar que o ncleo um ideal, usamos a propriedade
anterior. De fato,
N() {x A (x) = 0B} ({0B }),
e, como {0B } um ideal de B, segue, pela propriedade 8, que N() um
ideal de A.
Assim, conclumos a demonstrao da Proposio 1. Veja que
deixamos as propriedades 5, 7 e 10 como atividades a serem desenvolvidas
por voc.
ATIVIDADE
3. Demonstre a propriedade 10 da Proposio 1, ou seja, prove que se um isomor smo (ou seja, um homomor smo bijetor), ento BA um homomor smo de anis.
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
______________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
22 C E D E R J
lgebra II | Homomor smos
Os homomor smos so ricos em propriedades, e agora vamos
ver algumas dessas propriedades relacionadas ao ncleo. As primeiras
duas propriedades que seguem devem trazer lembrana as proprieda-
des equivalentes para o ncleo de uma transformao linear e para um
homomor smo de grupos.
Proposio 2
Seja AB um homomor smo de anis e N() o ncleo de .
Ento,
1. (a) = (b) se e somente se b a N().2. injetora se e somente se N() = {0}.
3. Se A um corpo, ento injetora.
Demonstrao
1. () Suponhamos que (b) = (a) e vamos mostrar que b a
N().De fato, (a) = (b) implica que (b) (a) = 0. Assim, (b a)
= (b) (a) = 0, ou seja, b a N().() Reciprocamente, suponhamos que b a N() e vamos
mostrar que (a) = (b).
De fato, se b a N(), ento (b a) = 0. Assim, (b) (a) = (b a) = 0, ou seja, (a) = (b).
2. () Suponhamos, primeiramente, que injetora. Vamos
mostrar que N() = {0}.
De fato, se injetora, considere a N(). Ento (a) = 0, e como (0) = 0, segue que (a) = (0). Como injetora, temos a = 0.
Assim, N() = {0}.
() Reciprocamente, suponha que N() = {0}. Vamos mostrar
que injetora.
Se (a) = (b), ento, pela propriedade anterior, temos que
b a N(). Como estamos supondo que N() = {0}, segue que b a = 0, ou seja, a =b , o que prova que injetora.
3. Suponhamos que A corpo e seja a A com a 0. Ento existe a, o inverso multiplicativo de a, que satisfaz a . a = 1A. Assim,
C E D E R J 23
AU
LA 2
Portanto, conclumos que (a) invertvel e, em particular, (a) 0.
Logo, a N() para todo a A com (a) 0, o que nos leva a concluir que
N() = {0}. Pela propriedade anterior, segue que injetora.
Exemplo 3
Vamos descrever um homomor smo muito importante, chamado
homomor smo cannico (ou homomor smo projetor). Seja A um anel
e I um ideal de A. Seja A A/I, de nida por (a) = > , onde > = a + I A/I a classe residual de a A mdulo I. Vamos veri car, agora,
que um homomor smo de anis. De fato, sejam a, b A, ento
H1. (a + b) = a + b = > + b = (a) + (b);H2. (a . b) = a . b = > . b = (a) . (b);H3. (1A) = 1A = 1A/I .
Assim, um homomor smo. Mais ainda, o homomor smo sobrejetor, pois para qualquer > A/I temos que (a) = > . Chamamos A A/I de homomor smo cannico.
Vejamos, agora, como se comportam os homomor smos sob a
operao de composio de funes.
Proposio 3
Sejam g : A B e B C dois homomor smos de anis.
Ento:
a) A composio g : A C um homomor smo de anis;
b) Se A B e B C, ento A C , isto , se A isomorfo a B e B
isomorfo a C, ento A isomorfo a C.
A demonstrao desta proposio faz parte das Atividades
Finais da aula.
(a) . (a1) = (a . a 1), pois homomor smo
=(1A)
=1B , pois homomor smo.
24 C E D E R J
lgebra II | Homomor smos
Para terminar esta aula, queremos enfatizar para voc que os
anis isomorfos tm propriedades idnticas, e eles diferem apenas na
apresentao de seus elementos. O que importa que o isomor smo
preserva todas as propriedades entre tais anis.
A Atividade Final um desa o para voc. Lembre-se de consultar
os resultados apresentados. Leia vrias vezes as demonstraes das
propriedades e tente imit-las. Tenha sempre papel e lpis mo e, se
for preciso, apague e reescreva quantas vezes for necessrio. Achamos
que se voc entendeu bem esta aula, ento ter capacidade de sobra para
resolver essas atividades. Vamos l!
ATIVIDADES FINAIS
1. Sejam A um anel e a A {0}. De na a funo aA A por a (x) = a . x.
a. Mostre que a sobrejetora se e somente se a invertvel.
___________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
b. Mostre que se A um domnio de integridade, ento a injetora.
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
c. a um homomor smo?
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
2. Prove a Proposio 3.
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
C E D E R J 25
AU
LA 2
Atividade 1
Como A' , segue que (A') . Agora, dados (a), (b) (A'), temos,
aplicando a propriedade 3,
(a) (b) = (a b) (A'),
e, tambm,
(a) . (b) = (a . b) (A').
Assim, pela Proposio 1 da Aula 5, segue que (A') um subanel de (A).
R E S U M O
Nesta aula, foram apresentados os seguintes resultados:
i. O conceito de homomor smo entre dois anis A e B, ou seja, uma funo A
B que para todo a, b A,
satisfaz:
H1. (a + b) = (a) + (b);
H2. (a . b) = (a) . (b);
H3. (1A) = 1B (ou, simplesmente, (1) = 1).
ii. O conceito de isomor smo, ou seja, um homomor smo que tambm uma
bijeo.
iii. As propriedades apresentadas e demonstradas servem para veri car que os
homomor smos preservam algumas estruturas dos anis.
iv. O conceito de ncleo de um homomor smo, ou seja, o ncleo do homomor smo
AB o conjunto N() {x A (x) = 0B}. Algumas propriedades importantes dos homomor smos so veri cadas pelo comportamento do seu ncleo.
v. O homomor smo projetor, ou seja, dado o anel A e I um ideal de A, de nido
por A A/I, (a) = > (lembre que > = a + I A/I).
RESPOSTAS
26 C E D E R J
lgebra II | Homomor smos
Atividade 2
Como 0A I e 0B = (0A), ento 0B (I), e, portanto, (I) . Agora, dados (a), (b) (I) ento segue que
(a) + (b) = (a + b) (I),
ou seja, (a) + (b) (I) . Vamos considerar, agora, (a) (A) e (b) (I), ento, como a A, b I I ideal, temos a . b I. Portanto,
(a) . (b) = (a . b) (I),
ou seja, (a) . (b) (I). Assim, conclumos que (I) um ideal de (A).
Atividade 3
Dados x, y B, sejam a = 1(x) e b = 1(y), ou seja, (a) = x e (b) = y. Como um homomor smo, sabemos que
(a + b) = (a) + (b) e (a . b) = (a) . (b).
Temos, ento, que
1(x + y) = 1 ((a) + (b)), pela escolha de x e y
= 1 ((a + b)), pois homomor smo
= a + b, pois 1 id
= 1(x) + 1(y).
Lembre que id representa a funo identidade. Temos, tambm,
1(x . y) = 1 ((a) . (b)), pela escolha de x e y
= 1 ((a . b)), pois homomor smo
= a . b, pois 1 id
= 1(x) . 1(y).
Finalmente, como (1A) = 1B e bijetora, segue que 1 (1B) = 1A. Conclumos,
assim, que 1 : B A um homomor smo.
C E D E R J 27
AU
LA 2Atividade Final 1
a. () Suponha que a sobrejetora. Vamos mostrar que a invertvel.
De fato, como a sobrejetora, existe a' A tal que a (a') = 1A, isto , a . a' = 1A. Logo, a' o elemento inverso de a, isto , a invertvel.
() Reciprocamente, suponha que a invertvel. Vamos mostrar que a
sobrejetora.
Seja b A um elemento qualquer. Temos que
a (a. b) = a . (a. b), pela de nio de a
= (a . a) . b
= 1A . b, pois a invertvel
= b.
Mostramos, assim, que para qualquer que seja b A, existe x = a-1 . b tal que a (x) = a. Portanto, conclumos que a sobrejetora.
b. Vamos mostrar que injetora. Suponhamos que a (x) = a(y), isto ,
a . x = a . y. Logo, a . x a . y = 0 e, portanto, a . (x y ) = 0. Como A domnio de
integridade e a 0, segue que x y = 0, isto , x = y, o que prova que a injetora.
c. a homomor smo somente no caso em que a = 1A , pois
a(x . y) = a . (x . y )
e
a(x) . a(y) = a2 . (x . y ).
Para serem iguais, necessrio que a = a2, isto , a = 1A.
28 C E D E R J
lgebra II | Homomor smos
Atividade Final 2
Vamos veri car os axiomas de homomor smo para a composio g. Dados
a, b A, temos
H1.
( g)( a + b) = (g ( a + b)), pela de nio de composio
= (g (a) + g (b)), pois g homomor smo;
= (g (a)) + (g (b)), pois homomor smo;
H2.
( g)( a . b) = (g ( a . b)), pela de nio de composio
= (g (a) . g (b)), pois g homomor smo;
= (g (a)) . (g (b)), pois homomor smo;
H3.
( g)(1A) = (g (1A)), pela de nio de composio
= (1B), pois g homomor smo;
= 1C , pois homomor smo.
Assim, provamos que a composio g um homomor smo de anis.
b. Suponhamos que A isomorfo a B e B isomorfo a C. Queremos provar que
A isomorfo a C. Como A B e B C, ento existem isomor smos g A B
e B C. Como e g so homomor smos, ento, pelo item a), g A C
tambm um homomor smo. Agora, voc sabe que se e g so funes bijetoras,
ento a composio g tambm bijetora. Portanto, conclumos que g A
C um homomor smo bijetor, ou seja, g A C um isomor smo de anis.
Assim, conclumos que A C .
Teorema do homomor smo 3ob
jetivo
s
AU
LA
Metas da aula
Pr-requisitos
Apresentar o teorema do homomor smo de anis e sua demonstrao. Realizar outra demonstrao
do teorema do resto chins.
Ao nal desta aula, voc dever ser capaz de:
Demonstrar o teorema do homomor smo.
Demonstrar que os anis Zn e Z /nZ so isomorfos.
Voc vai precisar dos conhecimentos sobre anis e ideais, desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 de
lgebra I, e Aulas 1 e 2 deste curso.
30 C E D E R J
lgebra II | Teorema do homomor smo
Todo homomor smo gera um isomor smo entre um anel quociente e o anel
imagem do homomor smo. Esse importante resultado ser o tema desta aula.
Como aplicao, vamos rever o teorema do resto chins, visto no seu curso de
lgebra I, obtendo, agora, uma nova demonstrao.
Vamos comear revendo a de nio de isomor smo de anis, apresentada
na aula anterior.
DEFINIO 1
Um homomor smo AB chamado de um isomor smo se
for, tambm, uma bijeo. Nesse caso, dizemos que A e B so isomorfos
e denotamos A B.
O resultado principal desta aula, o teorema do homomor smo,
similar a um resultado correspondente sobre os homomor smos de
grupos, apresentado no curso de lgebra I.
Lembre, da aula anterior, que dado o homomor smo de anis
AB, ento o conjunto imagem de A, (A), um subanel de B e o
ncleo de , N(), um ideal de A.
TEOREMA DO HOMOMORFISMO DE ANIS
Dado um homomor smo A B entre os anis A e B,
ento existe um isomor smo de anis : A/N () Aque satisfaz , onde AA/N () o homomor smo cannico.
Representamos esse resultado pelo seguinte esquema.
de suma importncia que voc acompanhe passo a passo todas
as etapas desta demonstrao. Ela longa e ser dividida em vrias
etapas para facilitar a sua compreenso. Para que voc no se perca
na argumentao, leia e releia com ateno cada uma de suas etapas.
Certi que-se de que voc entendeu cada passagem e faa suas prprias
anotaes, justi cando as passagens que voc considera mais difceis.
Vamos l ento!
INTRODUO
A/N () A
A AB
A/N ()
C E D E R J 31
AU
LA 3
Demonstrao
Vamos dividir a demonstrao em alguns passos.
1o Passo: Vamos de nir uma funo : A/N() A! segundo o diagrama anterior.
Para isso, de nimos (a) (a) para todo a a + N() A/N(). Ento, precisamos provar que , de fato, uma funo bem de nida, o que signi ca mostrar que se a b, ento (a) (b), ou seja, se a b, ento (a) (b). Suponhamos, ento, que a b. Da aula anterior, sabemos que N() um ideal de A, logo, a b N() e, portanto,
(a b) 0B. Assim,
(a) (b) (a b) 0B,ou seja,
(a) (b),ou, equivalentemente, pela de nio de , que (a) (b). Conclumos, assim, que , de fato, uma funo de A/N () em (A).
2o Passo: Vamos mostrar que um homomor smo. Para isso, basta veri car que satisfaz os axiomas de homomor smo vistos na Aula 2.
Se a, b A/N (), temos:
H1.
(a + b) (a + b) (a + b) pela de nio de (a) + (b) pois homomor smo (a) + bpela de nio " H2.
(a . b) (a . b) (a . b) pela de nio de (a) . (b) pois homomor smo (a) . (b)pela de nio " H3.
(1A) (1A) pela de nio de 1A pois homomor smo.
Conclumos, assim, que a funo um homomor smo entre os anis A/N () em (A).
32 C E D E R J
lgebra II | Teorema do homomor smo
3o Passo: Vamos provar, agora, que uma funo bijetora. Vamos comear provando que ela injetora. Pela Proposio 2, item 2,
da Aula 7, basta mostrar que N () #0A$. Seja a N(), ento, pela de nio de , (a) (a) 0B, ou seja, a N(). Portanto, a a % N() 0A. Isso prova que N () #0A$.
Caso voc ache essa argumentao muito abstrata, vamos
apresentar a demonstrao clssica de injetividade, que consiste em
provar que se (a) b, ento a b. De fato, se (a) b , temos que (a) b, pela de nio de , logo (a) b 0. Da,
(a b) (a) (b) 0,
e isso signi ca que a b N(), ou seja, a b. Pois, lembre que a A/N().
Finalmente, uma funo sobrejetora, pois dado y (A) arbitrrio, ento existe a A tal que y (a) e, como (a) a, segue que y (a).
Conclumos, assim, que a funo A/N () A, de nida por (a) a, um homomor smo bijetor, ou seja, um isomor smo e, portanto, temos A/N () A.
Esperamos que voc tenha apreciado a demonstrao desse belo
teorema. Uma conseqncia imediata do Teorema do Homomor smo :
Corolrio 1
Se AB um homomor smo sobrejetor, ento A/N () e B so anis isomorfos, isto , A/N () B.
Demonstrao
Como sobrejetora, temos (A) B e, pelo teorema do homomor smo, temos A/N () A. Portanto, conclumos que
A/N () B.
C E D E R J 33
AU
LA 3
ATIVIDADE
Corolrio 2
Seja n Z, n & 0. Ento os anis Z/nZ e Zn so isomorfos, isto , Z/nZ Zn .
A demonstrao deste corolrio voc vai realizar, agora, como
sua primeira atividade desta aula.
1. Nesta atividade, voc vai demonstrar o Corolrio 2. Para isso, seja Z Zn
a funo dada por aa, onde a a classe residual de a mdulo n. Mostre que:
a) um homomor smo sobrejetor;
b) N() nZ;
c) Z/nZ Zn.
Agora, vamos utilizar o corolrio anterior para provar o teorema
do resto chins.
TEOREMA DO RESTO CHINS
Sejam m, n Z, m, n & 0, tais que mdc(m, n) = 1. Ento os anis Zmn e Zm X Zn so isomorfos.
Lembre que Zmn #[a]mn a Z } e Zm X Zn #[a]m , [a]n) [a]mn Zm e [a]n Zn }. Lembre, tambm, que dois inteiros m e n com mdc(m, n) = 1 so chamados de primos relativos (ou, primos entre si), o que
signi ca que m e n no tm divisor primo comum.
Demonstrao
Consideremos a funo Z Zm X Zn de nida por a [a]m , [a]n), onde [a]m e [a]n denotam as classes residuais de a Z, mdulo m e mdulo n, respectivamente.
34 C E D E R J
lgebra II | Teorema do homomor smo
ATIVIDADE
1o Passo: provar que f um homomor smo de anis.
A demonstrao desse fato mais uma atividade proposta
para voc.
2o Passo: vamos mostrar que N() mnZ, onde N() o ncleo de .
Vamos comear pela primeira incluso: N() ' mnZ. Se a mnZ, ento a mltiplo de mn, isto , mn a (lembre que esse smbolo significa mn divide a). Como m mn e n mn, temos
que m a e n a , ou seja, [a]m [0]m e [a]n [0]n. Assim, a [a]m , [a]n) [0]m , [0]n) 0Zm x Zn . Isso signi ca que a N().
Vamos provar, agora, a segunda incluso: N() mnZ. Seja a N(), ento a [a]m , [a]n) 0Zm x Zn [0]m , [0]n). Da, segue que [a]m [0]m e [a]n [0]n. Logo, m a e n a . Como m a, n a e mdc(m,n) ento, por propriedade conhecida do seu curso de lgebra I, segue que m a, ou seja, a mltiplo de mn. Portanto, a mnZ.
Conclumos assim, que N() mnZ.
3o Passo: vamos provar que Zmn (Z).
Nos passos anteriores mostramos que : Z Zm X Zn
um homomorfismo com ncleo N() mnZ. Pelo Teorema do Homomor smo, segue que Z/mnZ (Z). Agora, pelo Corolrio 2, segue que Zmn Z/mnZ. Logo, pela Proposio 3 da Aula 7, segue que Zmn (Z).
2. Prove que funo ZZm X Zn, de nida por a [a]m , [a]n), um homomor smo de anis.
Veja que propriedades voc deve provar e tente adaptar as provas parecidas que j zemos.
C E D E R J 35
AU
LA 3
4o Passo: para nalizar, vamos mostrar que Z)Zm X Zn.
Como Zmn e f(Z) so isomorfos, ento Zmn e Z) tm o mesmo
nmero de elementos. Sabemos que Zmn tem m . n elemento, portanto,
Z) tambm tem m.n elementos. Mas, Z) Zm X Zn. Como
Zm X Zn tambm tem m.n elementos, conclumos que Z)Zm X Zn.
Dos passos anteriores, conclumos que Zmn Zm X Zn sempre
que mdc(m,n) 1.
ATIVIDADE FINAL
Sejam n, K Z, n, K & 0. Seja ZKnZn de nida por [a]Kn ) [a]n, onde [a]Kn e [a]n so as classes residuais de a, mdulo kn e mdulo n, respectivamente.
a) Mostre que um homomor smo de anis.
b) Mostre que N() nZKm #n . [x]Kn [x]Kn ZKn }.
c) Mostre que sobrejetora e conclua que os anis ZKn / nZKn e Zn so isomorfos,
isto , ZKn /nZKm Zn.
R E S U M O
Nesta aula, voc viu o importante teorema do homomor smo, muitas vezes
tambm chamado de teorema do isomor smo. Esse teorema a rma que dado um
homomor smo de anis AB, ento os anis A/N () eA so isomorfos. Ele um mecanismo de criao de isomor smos e, assim, uma importantssima
ferramenta de comparao de anis. Fizemos uma bela aplicao desse teorema
quando provamos o teorema do resto chins, que a rma que os anis Zmn e Zm
X Zn so isomorfos sempre que mdc(m,n) = 1.
36 C E D E R J
lgebra II | Teorema do homomor smo
Atividade 1
a) Para mostrar que homomor smo, sejam a, b Z, ento
H1. (a + b) a + b a + b (a) %(b);
H2. (a . b) a . b a . b (a) "(b);
H3. () Zn ,
ou seja, um homomor smo. Mais ainda, um homomor smo sobrejetor, pois,
dado a Zn , temos (a) a com a Z.
b) Para provar que os dois conjuntos so iguais, seja
a N(((a) 0
(a 0
(a )0 (mod n)
(n a
(a nZ.
Assim, conclumos que N( nZ.
c) Sabendo que : Z Zn um homomor smo sobrejetor, segue, agora,
diretamente do corolrio 1, que Z /N( Zn. E, como N( nZ, ento, conclumos que Z /nZ Zn.
Atividade 2
Precisamos veri car que : Z Zm x Zn, de nida por a [a]m , [a]n), satisfaz os trs axiomas de homomor smo.
H1.
(a + b) = ([a + b]m , [a + b]n), para todo a, b Z
([a]m + [b]m , [a]n + [b]n)
([a]m + [a]n ) + [b]m + [b]n)
a+ b*
RESPOSTAS
C E D E R J 37
AU
LA 3
H2.
(a . b) = ([a . b]m , [a . b]n), para todo a, b Z
([a]m . [b]m , [a]n . [b]n)
([a]m , [a]n ) + ([b]m , [b]n)
a. b*
H3. (1) = ([1]m , [1]n) Zm X Zm .
Assim, conclumos que um homomor smo de anis.
Atividade Final
a) Vamos veri car que f satisfaz os axiomas de homomor smo. Sejam a, b Z, ento
H1.
([a]Kn . [b]Kn) ([a + b]m ), para todo a, b Z
[a + b]n , pela de nio de
[a]n + [b]n a+ b*
H2.
([a]Kn . [b]Kn) ([a . b]Kn ) para todo a, b Z
[a . b]n , pela de nio de
[a]n . [b]n a. b*
H3.
(1ZKn) ([1]Kn )
[1]n !pela de nio de
1Zn .
Assim, conclumos que um homomor smo de anis.
38 C E D E R J
lgebra II | Teorema do homomor smo
b) Vamos calcular o ncleo de . Sabemos que N() {[a]Kn ZKn ([a]Kn ) 0Zn [0]n }. Temos
([a]Kn ) [0]n ( [a]n [0]n ( a nt, t Z
( [a]Kn n. [t]Kn ( [a]Kn nZKn.
Portanto, conclumos que N( nZKn #n . [x]Kn [x]Kn ZKn }.
c) Para mostrar que : ZKn Zn sobrejetora, basta observar que dado [a]n
Zn, ento ([a]n ) [a]n . Agora, pelo Teorema do Homomor smo, conclumos que ZKn/ N( Zn e, como N( nZKn , temos ZKn / nZKn Zn.
4ob
jetiv
os
AU
LA
Meta da aula
Divisibilidade em anis
Ao nal desta aula, voc dever ser capaz de:
Operar com as propriedades bsicas de divisibilidade.
Operar com o conceito de mximo divisor comum.
Demonstrar propriedades do mximo divisor comum.
Apresentar a teoria bsica de divisibilidade em anis e o conceito de mximo divisor comum.
Pr-requisito
Voc vai precisar dos conhecimentos sobre anis e ideais, desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 do curso de lgebra I,
e das Aulas 1 e 2 deste curso.
40 C E D E R J
lgebra II | Divisibilidade em anis
INTRODUO Nesta aula, vamos imitar a teoria de divisibilidade desenvolvida para os nmeros
inteiros, agora, no contexto dos anis. A sensao que voc deve ter a de
uma repetio da construo dos conceitos de divisibilidade desenvolvidos no
curso de lgebra I.
Vamos comear apresentando a noo de divisor em um anel.
De nio 1
Sejam A um anel e a, b A . Dizemos que a divide b, e denotamos a b, se existe um elemento c A tal que b = c . a. Nesse caso, dizemos tambm que a um divisor de b, ou que a um fator de b, ou que b
um mltiplo de a, ou, ainda, que b divisvel por a.
Se no existe um elemento c tal que b = c . a, diremos que a no
divide b, o que denotamos por a , b.
Exemplo 1
No anel dos inteiros Z, temos:
i. 4 12, pois 12 = 3.4;
ii. (5) 35, pois 35 = 7. (5);
iii. 4 11, pois no existe c Z tal que 11 = c . 4.
Exemplo 2
No anel Q dos nmeros racionais, temos 4 7, pois 7 = . 4
e -/
Q.
Exemplo 3
No anel Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dos inteiros mdulo 8,
temos:
i. 2 6, pois 6= 3 . 2;
ii. 5 2, pois 2 = 2 . 5.
iii. 4 7, pois voc pode facilmente veri car que no existe c Z8 tal que 7 = c . 4.
Veremos, agora, uma seqncia de propriedades de divisibilidade
num anel A. Observe que elas so semelhantes s propriedades sobre
divisibilidade dos nmeros inteiros.
-/
C E D E R J 41
AU
LA 4Proposio 1
Sejam a, b, c, d,... elementos de um anel A. Ento:
1. a a e a 0A, onde 0A o elemento neutro da adio de A.
2. Se u um elemento invertvel em A, ento u a. Em particular,
1A a, onde 1A o elemento neutro da multiplicao de A.
3. Se a b e b c, ento a c.
4. Se a b, ento a b . c.
5. Se a b e a c, ento a (b + c) e a (b c).
6. Se a b e a c, ento a (x . b + y . c), para todo x, y A.7. Se a b e c d, ento a . c b . d.
8. Se a (b + c) e a c, ento a c.
Demonstrao
Lembre que costumamos denotar 0A por 0 e 1A por 1, sempre
que no houver risco de confuso.
1. Como 0 = 0 . a para todo a, ento, da de nio de divisibilidade,
conclumos que a 0 . E, tambm, como a = 1 . a, conclumos que a a.
2. Temos que
a = a . 1
= a. (u1. u), pois u invertvel
= (a . u1) . u.
Como a . u1 A, conclumos que a mltiplo de u, o que signi ca que u a. Em particular, como 1 um elemento invertvel de A, ento
1 a. Essa ltima a rmao tambm pode ser facilmente veri cada de
modo direto, pois a = a . 1.
3. Supondo que a b e b c, ento existem elementos s, t A tais que b = s . a e c = t . d. Logo,
c = t . b
= t . (s . a), pois b = s . a
= (t . s) . a.
Como t . s A, conclumos que c mltiplo de a, o que prova que a c.
Observe que nas provas das propriedades usamos somente a
de nio de divisibilidade e as propriedades de anel j conhecidas. Tente,
agora, montar argumentos semelhantes para demonstrar a propriedade 4.
Esta ser a sua primeira atividade desta aula.
42 C E D E R J
lgebra II | Divisibilidade em anis
Continuaremos, agora, com as demonstraes das outras
propriedades. Observe, primeiramente, que a propriedade 5
um caso particular da propriedade 6. Portanto, vamos primeiro
provar a propriedade 6 e, depois, tirar como conseqncia a validade
da propriedade 5. Observe que este tipo de argumento, ou seja, provar
uma propriedade mais geral e tirar um caso particular como conseqncia,
muito comum na matemtica.
6. Supondo que a b e a c, ento existem elementos s, t A tais que b = s . a e c = t . a. Assim, para todo x, y A, temos que
x . b + y . c = x . (s . a) + y . (t . a), pois b = s . a e c = t . a
= (x . s) . a + (y . t) . a
= (x . s + y . t) . a.
Como x, y, s, t A e A um anel, ento x . s + y . t A. Portanto, temos que x . b + y . c mltiplo de a, o que prova que a (x . b + y . c).
Vamos concluir a prova da propriedade 5.
5. Observe que, na propriedade 6, tomando x = y = 1, obtemos
que a (b + c). Agora, tomando x = 1 e y = 1, obtemos a (b c).
A prxima propriedade (a 7a) ser mais uma atividade para voc.
Tente imitar os argumentos usados anteriormente.
1. Prove que se a b, ento a b . c.
2. Prove que se a b e c d, ento a . c b . d.
ATIVIDADE
ATIVIDADE
C E D E R J 43
AU
LA 4Vamos, agora, demonstrar a ltima propriedade.
8. Supondo que a (b + c) e a b, ento existem elementos s, t A tais que b + c = s . a e b = t . a. Logo,
c = (b + c) b
= s . a t . a, pois b + c = s . a e b = t . a
= (s t) . a
Como s t A, conclumos que c mltiplo de a, o que prova que a c.
Lembre que no anel Z dos nmeros inteiros vale uma propriedade
que diz que se a b e b a, ento b = a ou b = a. Agora, observe que 1
e 1 so os nicos elementos invertveis de Z e que Z um domnio de
integridade. Lembre, tambm, que um domnio de integridade um anel
que no tem divisores de zero, isto , no existem elementos no-nulos a e b
tais que a . b = 0. Isso nos d a motivao para a prxima propriedade.
Proposio 2
Sejam a e b dois elementos de um domnio de integridade A.
Ento, a b e b a se, e somente se, existir um elemento invertvel
u A , tal que b = u . a.
Demonstrao
() Supondo que a b e b a, vamos mostrar que existe um
elemento invertvel u A, tal que b = u . a.Como a b e b a, ento existem elementos u e t em A, tais que
b = u . a e a = t . b.
1o caso: b = 0. Nesse caso, temos a = t . b = t . 0 = 0, o que prova
que b = a = 1 . a. Veja que, nesse caso, podemos escolher u = 1, concluindo
que b = 1 . a, sendo 1 um elemento invertvel.
2o caso: b 0. Nesse caso, temos
b = u . a
= u . (t . b), pois a = t . b
= (u . t) . b.
44 C E D E R J
lgebra II | Divisibilidade em anis
Como A um domnio de integridade e b 0, vale a lei do
cancelamento em A (veja a Proposio 2 da Aula 4) para o elemento
b, ou seja,
(u . t) . b = 1 . b e b 0 u . t = 1.
Como u . t = 1 e t A, conclumos que o elemento u invertvel. Da, segue que b = u . a com u invertvel em A.
() Agora, supondo que b = u . a, com u invertvel em A, vamos
provar que a b e b a.
Como b = u . a, temos que b mltiplo de a, ou seja, a b. Agora,
sendo u um elemento invertvel de A, temos que
b = u . a a = u1 . b.
Como u1 A, j que u invertvel, conclumos que a mltiplo de b, ou seja, b a.
Em particular, voc pode obter outra demonstrao para a
propriedade dos nmeros inteiros mencionada anteriormente. Esta ser
sua prxima atividade.
3. Use a Proposio 2 para provar que se a e b so dois nmeros inteiros,
tais que a b e b a, ento b = a ou b = a.
De nio 2
Dois elementos, a e b, de um anel A so chamados de elementos
associados se existir um elemento invertvel u A tal que b = u . a.
Assim, podemos reescrever a Proposio 2 nessa nova linguagem.
ATIVIDADE
C E D E R J 45
AU
LA 4Proposio 3
Em um domnio de integridade A, dois elementos a e b so
associados se, e somente se, a b e b a.
Vamos, agora, estender para um anel qualquer o conceito de mximo
divisor comum, j conhecido do seu estudo do anel dos inteiros Z. Daremos
inicialmente a de nio para dois elementos de um anel.
De nio 3
Sejam dois elementos, a e b, de um anel A; dizemos que um
elemento, d A, um mximo divisor comum de a e b se: MDC1. d um divisor comum de a e b, isto , d a e d b;
MDC2. todo divisor comum q de a e b tambm divisor de d,
isto , se q a e q b, ento q d.
Nesse caso, dizemos, simplesmente, que d um mdc de a e b e
denotamos d = mdc(a, b).
A relao imediata que temos para dois mximos divisores
comuns de a e b est contida na prxima propriedade.
Proposio 4
Sejam dois elementos, a e b, de um anel A com mximo divisor
comum d. Um elemento d1 A um mximo divisor comum de a e b se, e somente se, d1 d e d d1.
Demonstrao
() Estamos supondo que d1 um mdc de a e b. Ento, em
particular, d1 a e d1 b, isto , d1 um divisor comum de a e b. Como
d um mdc de a e b, ento temos que, por MDC2, d1 d.
Por outro lado, como d um mdc de a e b, ento, por MDC1
compreendemos que d a e d b. E, agora, como d1 um mdc de a e
b, ento, por MDC2, temos d d1.
() Estamos supondo, agora, que d1 d e d d1. Queremos
concluir que d1 um mdc de a e b.
46 C E D E R J
lgebra II | Divisibilidade em anis
Como d um mdc de a e b, ento d a e d b. Agora, como
d1 d, temos, pela Proposio 1.3, que d1 a e d1 b, ou seja,
d1 d e d a d1 a e
d1 d e d1 b d1 b,
portanto d1 um divisor comum de a e b. Agora, dado qualquer
divisor q de a e b temos, por MDC2, que q d. Da hiptese, temos que
d d1. Assim, temos:
q d e d d1 q d1,
ou seja, todo divisor q de a e b tambm divisor de d1. E, com
isso, conclumos que d1 tambm um mdc de a e b.
Num anel, elementos que se comportam do mesmo modo quanto
divisibilidade so chamados de elementos associados. A seguir veremos
sua de nio formal.
Veja, agora, como ca a relao entre dois mximos divisores
comuns de dois elementos num domnio de integridade.
Proposio 5
Sejam dois elementos, a e b, de um domnio de integridade A com
mximo divisor comum d. Um elemento, d1 A, um mximo divisor comum de a e b se, e somente se, d1 associado a d.
Demonstrao
() Estamos supondo que d1 A um mximo divisor comum de a e b e queremos provar que d1 associado a d. Pela Proposio 3, temos
que d1 d e d d1, agora, pela Proposio 4, j que A um domnio de
integridade, segue que d1 e d so elementos associados.
()Supondo, agora, que d1 associado a d, ento, pela Proposio
4, j que A um domnio de integridade, temos d1 d e d d1. Depois,
pela Proposio 3, segue que d1 um mximo divisor comum de a e b.
C E D E R J 47
AU
LA 4ATIVIDADE FINAL
Mostre que a relao binria no anel A, de nida por a ~ b ( a associado a b,
uma relao de equivalncia.
R E S U M O
Nesta aula, vimos o conceito de divisibilidade num anel A, em que dizemos que
a divide b quando existe um elemento c A, tal que b = c . a. Em seguida, vimos muitas propriedades de divisibilidade, todas elas generalizaes de propriedades
semelhantes aos nmeros inteiros. Depois, vimos o conceito de mximo divisor
comum, que um divisor comum que mltiplo de todos os demais divisores
comuns, e de elementos associados, onde a e b so associados se existir elemento
invertvel u A, tal que b u . a.
48 C E D E R J
lgebra II | Divisibilidade em anis
Atividade 1
Se a b, ento existe S A, tal que b = s . a. Assim,
b . c = (s . a) . c, pois b = s . a
= s . (a . c)
= s . (c . a)
= (s . c) . a, mltiplo de a,
o que prova que a b . c.
Atividade 2
Se a b e c d, ento existem elementos s e t no anel A, tais que b = s . a e d = t . c.
Logo,
b . d = (s . a) . (t . c), pois b = s . a e d = t . c.
= (s . t) . (a . c), mltiplo de a . c,
o que prova que a . c b . d.
Atividade 3
Pela Proposio 2, como a b, b a e Z um domnio de integridade, ento b = u . a
com u invertvel em Z . Como os nicos elementos invertveis em Z so 1 e 1, segue
que b = a ou b = a.
Atividade Final
A relao re exiva, isto , a ~ a , pois a = 1A . a e o elemento 1A invertvel.
A relao simtrica, isto , a ~ b b ~ a, pois
RESPOSTAS
C E D E R J 49
AU
LA 4a ~ b existe elemento invertvel u A, tal que b u . a.
a u1 . b e u1 um elemento invertvel
b ~ a.
A relao transitiva, isto , a ~ b e b ~ c a ~ c, pois
a ~ b e b ~ c b u . a e c v . b com u e v elementos invertveis
c v . b = (v . u) . a com v . u um elemento invertvel
a ~ c.
Assim, a relao ~ sendo re exiva, simtrica e transitiva, faz dela uma relao
de equivalncia.
5ob
jetiv
os
AU
LA
Meta da aula
Introduo aos polinmios
Apresentar o conceito de um polinmio com coe cientes num anel A.
Ao nal desta aula, voc dever ser capaz de:
Reconhecer um polinmio sobre um anel A.
Determinar o grau de um polinmio.
Determinar se um escalar uma raiz de um polinmio.
Pr-requisitos
Voc vai precisar dos conhecimentos sobre anis e ideais, desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 do curso
de lgebra I, e da Aula 1 deste curso.
52 C E D E R J
lgebra II | Introduo aos polinmios
INTRODUO Como todo estudante, voc j deve ter visto expresses como
x + x2, 5 + x3, 17 + x2 + 2x3.
Essas expresses so conhecidas como polinmios, mais exatamente, polinmios
de uma varivel. Nesses exemplos, os coe cientes que aparecem pertencem
ao corpo dos nmeros reais.
Nesta aula, comearemos a estudar essas expresses num contexto mais geral,
o que permitir considerar os coe cientes dos polinmios pertencendo a um
anel qualquer. Assim, nosso estudo abranger expresses tais como
x + x2 com , Z4 , por exemplo.
Para estudarmos essas expresses, de niremos as operaes de soma e produto
de polinmios e veremos, nesse contexto, que o conjunto dos polinmios forma
um anel, chamado um anel de polinmios.
Considere (A, +, .) um anel. Lembre que isso signi ca um anel comutativo e com unidade (1A A). No que se segue, a letra x denotar uma varivel ou um smbolo.
DEFINIO 1
Um polinmio na varivel x com coe cientes no anel A uma
soma da forma
a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ...
onde cada ai A e ai = 0 para todo i su cientemente grande (e isso signi ca que existe n N tal que ai = 0 para todo i > n).
Os escalares ai so chamados de coe cientes do polinmio. Assim,
a0 o coe ciente constante;
a1 o coe ciente do termo linear x;
a2 o coe ciente do termo quadrtico x2;
a3 o coe ciente do termo cbico x3.
Como temos os coeficientes a1 = 0 para todo i > n,
podemos denotar o polinmio a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... por
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn.
3 5 53
C E D E R J 53
AU
LA 5Exemplo 1
Isso signi ca que o polinmio 1 + 2x + 3x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 +
0x6 + ... ser denotado por
1 + 2x + 3x2 + x3 ou f(x) = 1 + 2x + 3x2 + x3.
O polinmio cujos coe cientes so todos iguais a zero,
0 + 0x + 0x2 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + ...,
chamado polinmio nulo, ser denotado simplesmente por 0.
Observe, tambm, no caso a seguir, que a falta do termo x2 em
f(x) = 4 + 2x x3
signi ca que o coe ciente de x2 igual a zero, isto , a2 = 0.
DEFINIO 2
Denotamos o conjunto dos polinmios sobre o anel A por
A[x] = {Polinmios na varivel x com coe cientes em A}
= {a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn ai A e n N}.
Exemplo 2
Temos
Z [x] = {a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn ai Z e n N};
Q [x] = {a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn ai Q e n N};
R [x] = {a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn ai R e n N};
C [x] = {a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn ai C e n N};
Zm [x] = { + x + x2 + x3 + ... + x
n Zm e n N} .
73
a0 a1 a2 a3 aian
54 C E D E R J
lgebra II | Introduo aos polinmios
ATIVIDADE
Assim, temos tambm
p(x) = 1 + 2x + 3x2 + x3 Z[x];
f(x) = 4 + 2x x3 Q[x], mas f(x) Z[x], pois Z;
g(x) = (3 + 2) (1 + 2) x3 R[x], mas g(x) Q[x], pois 3 + 2 Q;
h(x) = (2 i)x + (4 + 1)x4 C[x], mas h(x) R[x], pois 2 i R.
Lembre que C representa o corpo dos nmeros complexos, ou
seja,
C = {a + bi a, b C e i = 1}.
Algumas observaes so muito importantes:
1. A A[x]. Os elementos do anel A, em A[x], fazem o papel dos
polinmios constantes, f(x) = a0 (com a1 = 0 para todo i > 0).
2. Se A e B so anis e A B, ento A[x] B[x].
Esta ltima observao consiste na sua primeira atividade.
1. Prove que se A e B so anis e A B, ento A[x] B[x].
Na teoria dos polinmios, o ltimo termo no-nulo exerce um papel importante. esse termo que vamos estabelecer na prxima de nio.
73
73
0 00
0
C E D E R J 55
AU
LA 5DEFINIO 3
Seja A um anel e f(x) um polinmio em A[x] tal que
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn com an 0 e n 1 0.
Neste caso, dizemos que o polinmio f(x) tem grau n e denotamos
gr( f ) = n. O coe ciente an chamado de coe ciente lder. Em particular,
quando o coe ciente lder for igual a 1,
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + xn, an = 1,
dizemos que f(x) um polinmio mnico. Observe, tambm, que
no estamos de nindo o grau do polinmio nulo.
Exemplo 3
a) O polinmio
f(x) = 1 + 2x + 3x2 + x3 Z[x]
tem grau 3, gr( f ) = 3. Observe que f(x) um polinmio mnico
b) O polinmio
p(x) = 3 + 4x2 + 5x4 Z7[x]
tem grau 4, gr(p) = 4. Observe que p(x) no um polinmio
mnico.
c) O polinmio
g(x) = (1 i)x + 2ix3 + x5 C[x]
tem grau 5, gr(g) = 5. Observe que g(x) um polinmio mnico.
Vamos estudar, agora, a igualdade de dois polinmios.
56 C E D E R J
lgebra II | Introduo aos polinmios
DEFINIO 4
Sejam f(x) e g(x) dois polinmios em A[x], digamos,
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn.
e
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + b3x
3 + ... + bmxm.
Dizemos que os polinmios f(x) e g(x) so iguais, e denotamos
f(x) = g(x), se
ai = bi para todos os valores de i.
Em particular, observe que se gr (f) = n e gr(g) = m, ento
n = m. Assim, dois polinmios so iguais, se eles tiverem o mesmo grau
e se seus coe cientes correspondentes forem iguais.
Exemplo 4
Os polinmios
f(x) = 1 + 2x + 3x2 + x3 Z[x]e
g(x) = 1 + 2x 3x2 + x3 Z[x]
no so iguais, pois a2 = 3 3 = b2. J os polinmios
p(x) = 1 + 3x2 + x3 Z[x] e
q(x) = 1 + 0x + 3x2 + x3 Z[x]
so iguais, pois todos os seus coe cientes correspondentes so iguais.
Voc provavelmente j conhece os conceitos de valor de um
polinmio e raiz ou zero de um polinmio. Vamos, ento, relembr-los.
C E D E R J 57
AU
LA 5DEFINIO 5
Dados um polinmio f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn
A[x] e um escalar 2 A, dizemos que
f(2) = a0 + a12 + a222 + a32
3 + ... + an2n
o valor de f em 2. Como A um anel e, portanto, fechado sob
as operaes de adio e multiplicao, ento temos
f(2) = a0 + a12 + a222 + a32
3 + ... + an2n A.
No caso em que f(2) = 0, dizemos que 2 uma raiz de f ou um
zero de f em A.
Exemplo 5
Seja f(x) = 3 + 2x 5x3 Z[x]. O valor de f(x) em 2 = 2
f(2) = 3 + 2 . 2 5 . 23
= 3 + 4 40
= 33.
Ento, temos f(2) = 33 e, em particular, 2 = 2 no uma raiz
de f(x). Agora, para 2 = 1 temos o valor
f(1) = 3 + 2 . 1 5 . 13
= 3 + 2 5
= 0.
Portanto, j que 1 Z, 2 = 1 uma raiz de f(x) em Z.
Exemplo 6
Seja g(x) = 1 + 2x + 2x2 Z3 [x], onde Z3 = { 0, 1, 2} o anel das classes residuais mdulo 3. Os valores que g(x) assume em Z3 so:
g(0) = 1 + 2 . 0 + 2 . 02
= 1 + 0 + 0
= 1 Z3 ;
58 C E D E R J
lgebra II | Introduo aos polinmios
g(1) = 1 + 2 . 1 + 2 . 12
= 1 + 2 + 2
= 5
= 2 Z3 ;
g(2) = 1 + 2 . 2 + 2 . 22
= 1 + 4 + 8
= 13
= 1 Z3 ;
Como g( ) 0, g(1) 0 e g(2) 0, ento o polinmio g(x) = 1
+ 2x + 2x2 Z3 [x] no tem raiz em Z3. Observe que 3 = 0, 1, 2 so as nicas possibilidades de raiz em Z3 e, uma vez descartadas estas, podemos
concluir que o polinmio no tem razes em Z3.
Exemplo 7
Seja h(x) = 1 + x2 R[x]. O valor de h(x) no escalar 2 R dado pela expresso
h(2) = 1 + 22
= 22 + 1 R.
Sabemos que, dado 2 R , ento 22 1 0. Assim,
22 + 1 > 0,
isto , a expresso 22 + 1 ter sempre um valor positivo e, portanto,
nunca ser igual a zero para qualquer que seja o valor de 2 R. Assim, conclumos que h(2) 0 para todo 2 R e isso signi ca que o polinmio h(2) = 1 + x2 R[x] no possui raiz em R. Dizemos que h(x) R[x] no tem razes reais.
Por outro lado, temos
R C
e, portanto,
R[x] C[x].
0
C E D E R J 59
AU
LA 5Agora, dado i C, i = 1, temos
h(i) = 1 + i2
= 1 + (1)
= 0,
ou seja, 2= i uma raiz de h(x) = 1 + x2 em C. Dizemos que i uma raiz complexa de h(x). Veja, tambm, que 2= i outra raiz complexa de h(x) = 1 + x2, j que
h(i) = 1 + (i)2
= 1 + (1)
= 0.
Observe que o exemplo anterior teve o propsito de ressaltar o
fato de quando falamos em raiz de um polinmio, devemos especi car
o anel com o qual estamos trabalhando. Mais especi camente, dizer,
simplesmente, o polinmio h(x) = 1 + x2 no tem raiz, consiste numa
a rmao incompleta, pois vimos que este polinmio no tem razes
reais, mas tem razes complexas.
Vamos ver, agora, uma propriedade muito simples, porm muito
importante sobre razes nulas de um polinmio.
Proposio 1
Seja o polinmio f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn
A[x] com raiz nula, isto , com f(0) = 0. Ento o coe ciente constante
igual a zero, ou seja, a0 = 0, e f(x) da forma
f(x) = a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn .
Demonstrao
De f(0) = 0 segue que
a0 + a1 . 0 + a2 . 02 + a3 . 0
3 + ... + an . 0n = 0,
o que nos d
a0 = 0.
Portanto, (x) = a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn .
0
60 C E D E R J
lgebra II | Introduo aos polinmios
ATIVIDADES FINAIS
1. Seja f(x) = x2 2 Q[x]. Use o fato de 2 Q para mostrar que f(x) no tem razes racionais. Veri que que f(x) possui razes reais e encontre essas razes.
2. Determine o polinmio f(x) R[x] , de 3o grau, que apresenta uma raiz nula e satisfaz a condio f(x 1) = f(x) + (2x)2 para todo x real.
3. Com o auxlio do polinmio obtido no exerccio anterior, calcule a soma 22 +
42 + ... + (2n)2, onde n 1 1 um nmero natural.
R E S U M O
O conceito de polinmio em uma varivel dado por:
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn ,
com coe cientes a0 , a1 , a2 , ... , an num anel A. O grau de um polinmio o
maior valor de n tal que an 0. O conceito de raiz de um polinmio um escalar
2Atal que f(2) = 0.
0
C E D E R J 61
AU
LA 5
Atividade 1
Dado o polinmio
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn A[x],
ento os coe cientes a1 A para i = 0, 1, ... , n. Como A B, ento cada a1 B, e isto signi ca que
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn B[x].
Portanto, provamos que A[x] B[x].
Atividade Final 1
Veja que
f(x) = 0 ( x2 2 = 0
( x2 = 2
( x = 42
Assim, as nica razes de f(x) so os nmeros reais 2 e 2. Como 2 Q, ento f(x) no tem razes racionais. Mas f(x) tem duas razes reais, a saber, e.
Atividade Final 2
Como o polinmio f(x) de grau 3, ento podemos escrever
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d com a, b, c, d R e a 0.
Como f(0) = 0, temos, pela Proposio 1, que d 0 e, assim,
f(x) = ax3 + bx2 + cx.
0
0 0 0
RESPOSTAS
62 C E D E R J
lgebra II | Introduo aos polinmios
Agora, substituindo x 0 em f(x 1) = f(x) + f(2x)2, obtemos
f(1) = f(0) + (2 . 0)2
= 0 + 0
= 0,
isto , f() = 0 . Portanto, 1 tambm uma raiz de f(x).
Substituindo x = 1 em f(x ) = f(x) + (2x)2 , obtemos
f(0) = f(1) + (2 . 1)2,
o que nos d
f(1) = f(0) 22
= 0 4
= 4,
isto , f(1) = 4. Finalmente, substituindo x 5 em f(x ) = f(x) + (2x)2, obtemos
f(2 ) = f(2) + (2 . 2)2 ,
o que nos d
f(2) = f(1) + 42
= 4 16
= 20,
isto , f(2) = 20. Agora, substituindo f(1) = 0, f(1) = 4 e f(2) = 20 em f(x) =
ax3 + bx2 + cx, obtemos o sistema linear
a + b c = 0
a + b + c = 4
8a + 4b + 2c = 20,
cuja soluo, usando as tcnicas j aprendidas no curso de lgebra Linear II,
a = 43
, b = 2 e c = 23
.
C E D E R J 63
AU
LA 5Portanto, temos
f(x) = x3 2x2 x.
Atividade Final 3
De f(x ) = f(x) + (2x)2 temos a expresso (2x)2 = f(x ) f(x) que usaremos na soma 22 + 42 + ... + (2n)2. Temos:
22 + 42 + ... + (2n)2 = (2 . 1)2 + (2 . 2)2 + ... + (2 . n)2
= (f(0) f(1)) + (f(1) f(2)) + ... + (f(n 1) f(n))
= f(0) f(n).
Agora, usando a expresso f(x) = 43
x3 2x2 x obtida na atividade anterior,
temos:
22 + 42 + ... + (2n)2 = f(0) f(n)
= 0 ( n3 2n2 n)
= n3 + 2n2 + n.
23
43
23
43
23
43
23
Operaes com polinmios
objet
ivos
6AULAPr-requisitos
Meta da aula
Apresentar as operaes de adio e multiplicao de polinmios com coe cientes num anel A.
Ao nal desta aula, voc dever ser capaz de:
Calcular a soma de dois polinmios sobre um anel A.
Calcular o produto de dois polinmios sobre um anel A.
Determinar o grau do polinmio soma.
Determinar o grau do polinmio produto.
Voc vai precisar dos conhecimentos sobre anis e ideais, desenvolvidos em lgebra I, e da introduo aos
polinmios, na Aula 5.
66 C E D E R J
lgebra II | Operaes com polinmios
INTRODUO Lembra-se da aula passada? Vimos que se A um anel, e isso signi ca um
anel comutativo e com unidade (1A A), ento denotamos o conjunto dos
polinmios sobre o anel A por A[x], isto ,
Nesta aula, vamos de nir as operaes de adio e multiplicao em A[x], ou
seja, a soma e o produto de polinmios. Depois, veremos como o grau de um
polinmio se comporta perante estas operaes.
DEFINIO 1
Sejam f(x) e g(x) dois polinmios em A[x], digamos,
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn
e
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + b3x
3 + ... + bmxm.
Podemos supor, sem perda de generalidade, que m 6 n. De nimos
as operaes de adio e multiplicao de polinmios como segue.
1. Adio de polinmios. O polinmio soma f(x) + g(x)
de nido por
f(x) + g(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 + ... + (am + bm)x
m + am +1 xm + n
... + anxn
= c0 + c1x + c2x2 + c3x
3 + ... + cnx n,
onde os novos coe cientes so dados por cK = aK + bK para cada
k = 1, 2, ..., n. Observe que bK = 0 para todo k > m.
Assim, para somarmos dois polinmios, simplesmente somamos
os seus coe cientes correspondentes.
2. Multiplicao de polinmios. O polinmio produto f(x) . g(x)
de nido por
f(x) . g(x) = c0 + c1x + c2x2 + c3x
3 + ... + cm +1 xm + n,
A[x] = {polinmios na varivel x com coe cientes em A}
= { a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn ai A e n N}.
C E D E R J 67
AU
LA 6
onde os coe cientes cK so de nidos por c0 = a0b0;
c1 = a0b1 + a1b0;
c2 = a0b2 + a1b1 + a2b0;
c3 = a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0;
cK = a0bK + a1bK 1 + a2bK 2 + ... + aKb0, para todo
k 6 m + n,
e onde estamos considerando que bK = 0 para todo k > m e aK = 0
para todo k > n. Esta regra diz, simplesmente, que para formarmos o produto
f(x) . g(x), fazemos o produto de cada termo de f(x) por cada termos de g(x),
usando a regra
(aixi) . (bix
i) = aibj xi + j, para todo i, j 1 0
e, depois, agrupamos todos os termos que tm a mesma potncia
em x. Observe que a formao dos coe cientes cK segue, simplesmente,
a aplicao da lei distributiva.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1
Sejam f(x) = 3 + 2x x2 e g(x) = 1 + 2x2 dois polinmios em
R[x]. O polinmio soma f(x) + g(x) dado por
f(x) + g(x) = (3 + 2x x2) + (1 + 2x2)
= (3 + 1) + (2 + 0)x + (1 + 2)x2
= 4 + 2x + x2.
J o polinmio produto f(x) . g(x) obtido como segue:
f(x) . g(x) = (3 + 2x x2)(1 + 2x2)
= (3 + 2x x2) . 1 + (3 + 2x x2) . 2x2 ; aplicando a lei
distributiva
= (3 + 2x x2) + (6x2 + 4x3 2x4) . 2x2 ; aplicando a lei
distributiva
= 3 + 2x 5x2 + 4x3 2x4 ; aplicando a soma de
polinmios.
...
68 C E D E R J
lgebra II | Operaes com polinmios
Vamos observar, no caso geral, que os polinmios f(x) + g(x) e
f(x) . g(x) so, de fato, polinmios em A[x]. Como A um anel e aK , bK
A, ento os coe cientes cK = aK + bK do polinmio soma f(x) + g(x)
pertencem a A, garantindo que f(x) + g(x) A[x]. Da mesma forma,
cada coe ciente
cK = a0bK + a1bK 1 + a2bK 2 + ... + aKb0
do polinmio produto f(x) . g(x) pertence a A, mais uma vez,
garantindo que f(x) . g(x) A[x].
1. Calcule a soma e o produto dos polinmios f(x) = 2 + 2x2 + x3
e g(x) = 1 + 2x, em Z3[x].
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Concluiremos esta aula estudando o comportamento do grau dos
polinmios soma e produto. Para isso, vamos considerar que no anel
A no ocorra que o produto de dois elementos no-nulos seja nulo,
ou seja, que A um domnio de integridade. Isso signi ca que dados
a, b A com a 0 e b 0, ento a . b 0, o que, em outras palavras,
signi ca que o anel A no tem divisores de zero. Lembre, tambm, que
o grau do polinmio
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn, com a0 0 e n 1 1,
igual a n, o que denotamos por gr ( f ) = n. Observe, no Exemplo
1, que o grau do polinmio soma f(x) + g(x) igual a 2 e que o grau do
polinmio produto f(x) . g(x) igual a 4.
ATIVIDADE
1
e
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C E D E R J 69
AU
LA 6
Proposio 1
Seja A um domnio de integridade e sejam os polinmios f(x), g(x)
A[x], cujos graus so gr(f) = n e gr(g) = m, com m 6 n. Ento
1. gr(f + g) 6 n = max {gr(f), gr(g)};
2. gr(f . g) = n + m = gr(f), gr(g).
Demonstrao
Sejam os polinmios f(x) e g(x) dados por
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn, com an 0,
e
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + b3x
3 + ... + bmxm, com bm 0.
1. Assim, o polinmio soma dado por
f(x) + g(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 + ... + (am + bm)x
m
+ am + 1 xm + 1... + anx
n
= c0 + c1x + c2x2 + c3x
3 + ... + cnxn,
onde os novos coe cientes so dados por cK = aK + bK para cada
k = 1, 2, ... , n. Observe que bK = 0 para todo k > m.
Como m 6 n, ento bK = 0 e aK = 0 para todo k > n, o que
nos leva a cK = aK + bK = 0 para todo k > n, e isto mostra que
gr(f + g) 6 n = max {gr(f), gr(g)}.
Observe que no caso de m < n, temos ento bn = 0, o que nos d
cn = an + bn = an 0,
ou seja, conclumos que, neste caso, gr(f + g) = n, ou seja, vale a
igualdade.
70 C E D E R J
lgebra II | Operaes com polinmios
2. Agora, o polinmio produto dado por
f(x) . g(x) = c0 + c1x + c2x2 + c3x
3 + ... + cm +nxm + n
onde os coe cientes so dados por cK = a0bK + a1bK 1 + a2bK 2 +
... + aKb0. Em particular, temos
cm + n = a0bm + n + a1bm + n 1 + ... + an 1bm + 1 + an bm + an + 1bm 1 +...
+ am + nb0 = a0 . 0 + a1 . 0 + ... + an 1 . 0 + an bm + 0 . bm 1 ... + 0 . b0 = an bm 0,
pois bK 0 para todo k > m, aK = 0 para todo k > n e an bm 0
porque an 0, bm 0 e A um domnio de integridade. Assim, conclumos
que gr(f . g) = n + m.
Observe que na prova de gr(f + g) 6 max{gr(f), gr(g)}, na Propo-sio 1, no usamos a hiptese de A ser um domnio de integridade. Assim,
esta propriedade vale para um anel A qualquer. J no o caso da segunda
parte, gr(f . g) = gr( f ) + gr( g ), em que usamos explicitamente a hiptese de
A ser um domnio de integridade. Portanto, esta propriedade no vlida
quando A no for um domnio de integridade. Veja a Atividade Final 2.
Exemplo 2
Sejam os polinmios f(x) = 1 + x e g(x) = x em Z2[x]. Vamos
calcular a soma e o produto destes polinmios e, tambm, seus graus.
Para o polinmio soma, temos
f(x) + g(x) = (1 + x) + x
= (1 + 0) + (1 + 1)x
= 1 + 2x
= 1 + 0x; pois 2 = 0 em Z2 = 1 Z2[x]
Veja que gr(f + g) = 0 < 1 = max{gr(f), gr(g)}.
C E D E R J 71
AU
LA 6
Para o polinmio produto, temos
f(x) . g(x) = (1 + x) . x
= 1 . x + x . x; aplicando a lei distributiva
= x + x2 Z2[x]
Observe que gr(f . g) = 2 = 1 + 1 = gr(f) + gr(g). Com isso,
conclumos o Exemplo 2.
ATIVIDADES FINAIS
1. Calcule a soma e o produto, e seus respectivos graus, dos polinmios f(x) = 3x
+ 2x2 e g(x) = 1 + x, em Z[x].
2. Encontre um exemplo de um anel A e de polinmios f(x), g(x) A[x], para os quais no vale a igualdade gr(f . g) = gr(f) + gr(g). Observe que A no pode ser
um domnio de integridade.
72 C E D E R J
lgebra II | Operaes com polinmios
R E S U M O
A soma e o produto dos polinmios
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + ... + anxn
e
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + b3x
3 + ... + bmxm,
supondo m 6 n, so dados por
f(x) + g(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 + ... + (am + bm)x
m + am + 1xm + 1... + anx
n
= c0 + c1x + c2x2 + c3x
3 + ... + cnxn
e
f(x) . g(x) = c0 + c1x + c2x2 + c3x
3 + ... + cm + nxm + n,
onde os coe cientes cK so de nidos por
c0 = a0b0 ;
c1 = a0b1 + a1b0 ;
c2 = a0b2 + a1b1 + a2b0;
c3 = a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0 ;
cK = a0bK + a1bK 1 + a2bK 2 + ... + aKb0 , para todo k 6 m + n.
Valem as propriedades gr(f + g) 6 max{gr(f), gr(g)} e gr(f . g) = gr(f) + gr(g), sendo
que esta ltima apenas quando o anel A um domnio de integridade.
Atividade 1
Para o polinmio soma, temos
f(x) + g(x) = (2 + 2x2 + x3) + (1 + 2x)
= (2 + 1) + (0 + 2)x + (2 + 0)x2 + (1 + 0)x3
= 3 + 2x + 2x2 + x3
= 0 + 2x + 2x2 + x3; pois 3 = 0 em Z3 = 2x + 2x2 + x3 Z3[x].
RESPOSTAS COMENTADAS
...
C E D E R J 73
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LA 6
Calculando o polinmio produto, temos
f(x) . g(x) = (2 + 2x2 + x3) + (1 + 2x)
= (2 + 2x2 + x3) . 1 + (2 + 2x2 + x3) . 2x; aplicando a lei distributiva
= (2 + 2x2 + x3) + (4x + 4x3 + 2x4); aplicando a lei distributiva
= (2 + 0) + (0 + 4)x + (2 + 0)x2 + (1 + 4)x3 + (0 + 2)x4 ; aplicando a soma
de polinmios
= 2 + 4x + 2x2 + 5x3 + 2x4
= 2 + 1x + 2x2 + 2x3 + 2x4; pois 4 = 1 e 5 = 2 em Z3 = 2 + x + 2x2 + 2x3 + 2x4 Z3[x].
Atividade Final 1
Para o polinmio soma, temos
f(x) + g(x) = (3x + 2x2) + (1 + x)
= (0 + 1) + (3 + 1)x + (2 + 0)x2
= 1 + 4x + 2x2 Z[x].
Veja que gr(f + g) = 2 = max {gr(f), gr(g)}.
Calculando o polinmio produto, temos
f(x) . g(x) = (3x + 2x2)(1 + x)
= (3x + 2x2). 1 + (3x + 2x2) . x; aplicando a lei distributiva
= (3x + 2x2) + (3x2 + 2x3); aplicando a lei distributiva
= (3 + 0)x + (2 + 3)x2 + (0 + 2)x3; aplicando a soma de
polinmios
= 3x + 5x2 + 2x3 Z[x].
Observe que gr(f . g) = 3 = 2 + 1 = gr(f) + gr(g).
Atividade Final 2
Sejam os polinmios f(x) = 1 + 2x e g(x) = 2x em Z4[x]. Calculando o polinmio
produto, temos
f(x) . g(x) = (1 + 2x) . 2x
= 1 . 2x + 2x . 2x; aplicando a lei distributiva
= 2x + 4x2
= 2x + 0x2; pois 4 = 0 em Z4 = 2x Z4[x].
74 C E D E R J
lgebra II | Operaes com polinmios
Veja que gr(f . g) = 1 < 2 = 1 + 1 = gr(f) + gr(g). Observe que Z4 no um domnio
de integridade, pois contm divisores de zero (2 . 2 = 0).
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