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Apostila de aplicações dos números complexos na geometria, elaborada por Marcos Valle, aluno do IME e editor do blog http://dadosdedeus.blogspot.com
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5/7/2018 Apostila Complexos e Geometria (Parte I) - slidepdf.com
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Complexos e GeometriaIME/ITA
3/27/2011
http://dadosdedeus.blogspot.com
Marcos Valle (IME)
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2 Dados de Deus – Complexos e Geometria
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO...................................................................................................03
2 REVISÃO...........................................................................................................03
3 FORMA TRIGONOMÉTRICA E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA................04
4 EXEMPLOS.......................................................................................................05
5 EXERCÍCIOS (NÍVEL 1)....................................................................................07
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................09
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3 Dados de Deus – Complexos e Geometria
1 INTRODUÇÃO
Os números complexos surgiram por volta do século XVI, com o estudo deequações do 3º grau por Cardano e de Tartaglia . Este havia descoberto1 umafórmula para calcular as raízes de uma equação do tipo , asaber:
Cardano, após muito insistir, conseguiu que Tartaglia lhe passasse a fórmula,com a condição de não divulgá-la, o que não ocorreu. O resultado foi apublicação do método no Ars Magna de Cardano, em 1545 (e uma grandeinimizade entre os dois matemáticos).
Mas um problema inquietante era que, aplicando-se a fórmula acima, chegava-se a raízes quadradas de números negativos (algo desconhecido e incoerentepara a época) ainda que a equação possuisse todos seus zeros reais. Como
exemplo, tome . Era sabido que 4, e eramraízes, no entanto ao utilizar a fórmula conclui-se que:
O problema perdurou até a publicação do L'Algebra parte maggiore dell'Arithmetica em 1572 por Rafael Bombelli . O engenheiro teve a idéia de
supor que os números e deveriam ser da
forma a e , respectivamente. De fato, consegui provar que a =2 e b = 1.
No século XVIII, de Moivre e Euler começaram a formalizar a estutura algébrica
dessa nova classe de números e surgiu então a notação . Ainda nomesmo século os complexos (que somente receberam essa denominação noséculo XIX) passaram a ter uma interpretação geométrica, com o plano deArgand-Gauss e, para coroar a importância dessa nova ferramenta, Gaussprovou que os números complexos são necessários e suficientes para aálgebra, com o Teorema Fundamental da Álgebra .
1Scipione del Ferro também havia encontrado um método de resolução de equações desse tipo.
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4 Dados de Deus – Complexos e Geometria
Os números complexos são hoje utilizados nos mais diversos campos daciência, como eletromagnetismo, circuitos elétricos, física quântica, teoria docaos e, é claro, na geometria.
Nesta primeira apostila você encontra uma breve revisão de conceitos básicos,
a interpretação geométrica dos complexos, bem como alguns teoremasfundamentais que podem ser a diferença entre entrar ou não no IME ou no ITA.
2 REVISÃO
Os números complexos são da forma , em que .Denotamos por
a parte real de z e
a parte imaginária.
Confira agora algumas propriedades para e IGUALDADE: ADIÇÃO: MULTIPLICAÇÃO: CONJUGAÇÃO: , ,
DIVISÃO:
POTÊNCIAS DE i: Seja . .
PRODUTO COM CONJUGADO:
3 FORMA TRIGONOMÉTRICA2 E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
2Utilizando a expansão de Taylor, prova-se que .
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5 Dados de Deus – Complexos e Geometria
Fig. 01
O plano complexo (também conhecido como plano de Argand-Gauss) é geradopor dois eixos ortogonais, sendo as abscissas números reais e as ordenadasos imaginários. Desta forma, todo número complexo pode ser representado deuma forma trigonométrica (ou polar), conforme ilustra a Fig. 01.
Note ainda que o ponto z pode ser interpretado como uma das extremidadesdo vetor que o liga à origem. Dizemos que o ponto z é o afixo do complexo eOz (que a partir de agora chamaremos apenas de z) o vetor associado aoafixo.
Podemos escrever:
O ângulo é chamado de argumento e é chamado de módulo de z.
Sejam e . Confira 2 propriedades interessantes dessanotação:
MULTIPLICAÇÃO:
DIVISÃO:
Repare agora que multiplicar um complexo por é o mesmo que somar aoseu argumento, i.e. rotacioná-lo de um ângulo no sentido anti-horário
4 EXEMPLOS
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6 Dados de Deus – Complexos e Geometria
A seguir apresentaremos 3 exemplos de exercícios envolvendo númeroscomplexos e geometria.
Exemplo 1 Mostre que os pontos médios de um quadrilátero qualquer formamum paralelogramo.
Fig. 02
Devemos provar que e .
Verifique que: , , ,
Logo:
Exemplo 2 Prove que as diagonais de um losango são perpendiculares.
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7 Dados de Deus – Complexos e Geometria
Fig. 03
As diagonais de um losango podem ser escritas como:
Para que sejam perpendiculares (i.e. rotacionadas de 90º) devemos ter
Note que
Mas . Logo:
Assim:
Exemplo 3 (Teorema de Napoleão) Dado um triângulo qualquer, constroem-setriângulos equiláteros externamente a cada um de seus lados. Os centros dosnovos triângulos também formam um triângulo equilátero.
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8 Dados de Deus – Complexos e Geometria
Tome a origem sobre um dos vértices, conforme ilustra a Fig. 03. Temos que:
+b
Como são baricentros:
Com isso concluímos que
5 EXERCÍCIOS (NÍVEL 1)
Prove os teoremas abaixo:
1-)
2-)
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9 Dados de Deus – Complexos e Geometria
3-)
4-)
5-) Considere um círculo de raio unitário:
1. Para uma corda , temos
2. Se c pertence à corda , então
3. A intersecção entre as tangentes em a e b é o ponto
4. O pé da perpendicular de um ponto arbitrário c à corda é
5. A intersecção entre as cordas é o ponto
6-) Os pontos a,b,c,d pertencem a uma circunferência se e somente se
7-) Os triângulos são similares e de mesma orientação se e somente
se
8-) A área de um triângulo é
9-) O ponto c divide um segmento na razão se e somente se
10-) O ponto t é baricentro de um triângulo abc se e somente se
11-) Para o ortocentro h e o circuncentro o do triângulo abc, temos
12-) Para um triângulo positivamente orientado abc, as seguintes condições
são equivalentes:
1. Abc é equilátero2. |a - b| = |b - c| = |c - a|3. a² + b² + c² = ab + bc + ca4. (b - a)/(c - b) = (c - b)/(a - b)5. (z - a)-1 + (z - b)-1 + (z - c)-1 = 0, em que z = (a + b + c)/36. (a + eb + e²c)(a + ec + e²b) = 0, em que e = cos(2p/3) + i.sin(2p/3)
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10 Dados de Deus – Complexos e Geometria
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Hahn, Liang-shin Complex Numbers and Geometry, The MathematicalAssociation of America, 1994
Andreescu, Titu Complex Numbers From A to … Z, Birkhäuser, 1956
http://www.wildstrom.com/susan/COMPLEXNUMBERSPROP.pdf
http://www.ias.ac.in/resonance/January2008/p35-53.pdf
http://www.imomath.com/tekstkut/cnum_mr.pdf
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo
http://www.ime.usp.br/~martha/caem/complexos.pdf
http://fatosmatematicos.blogspot.com/2009/09/historia-das-equacoes-
algebricas-parte.html
Em breve a segunda parte da apostila com questões nível IME resolvidas!