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Controle de Sistemas Mecânicos
Solução de equações diferenciaisSolução de equações diferenciais
Solução da equação homogêneaEquações de primeira ordemEquações de segunda ordemExercícios MatLab
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução da equação diferencialSolução da equação diferencial
Solução Completa = SH+SP
Uma solução para entrada-nula
• Solução para a equação homogênea com condições iniciais não nulas
Uma solução para estado-nulo
• Solução forçada para condições iniciais nulas
Controle de Sistemas Mecânicos
Equação genérica SPO e SSOEquação genérica SPO e SSO
)()()(0 tuKty
dttdy
=+τ
As equações obtidas para os casos estudados, sistemas mecânicos, sistemas elétricos e sistemas fluídicos podem ser generalizadas de acordo com
SPO
)()()(2)( 20
22
2
tuKtydttdy
dttyd
nnn ωωζω =++ SSO
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução Completa SPO Solução Completa SPO
A Equação Diferencial
Sujeita a entrada degrau
Solução Completa = SH+SP
γ
)()()(0 tuKty
dttdy
=+τ
( ) ( )u t tγ=
0
0 / 0( )
/ 0p t
tp tγ
<= ≥
Degrau Degrau unitário 0 1γ =unitário
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução da homogênea Solução da homogênea
Equação Diferencial e C.I.
SH
)()()(0 tuKty
dttdy
=+τ 0)0( yy =
0)()(=+ ty
dttdyτ 0)()1( =+ typτ
01 =+pτPCPC
Controle de Sistemas Mecânicos
Raiz do PC de um SPORaiz do PC de um SPO
Dado o SPO na forma padronizada
O PC da equação geral de um SPO
A raiz do PC pode ser encontrada facilmente através da equação algébrica
1)( += ppPC τ
01 =+pττ
α 1−=
)()()(0 tqKth
dttdh
e=+τ
Raiz real
Controle de Sistemas Mecânicos
Posição geométrica da raizPosição geométrica da raiz
ℑ
ℜ
τ1
−
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução Homogênea Solução Homogênea
Como o SPO possui somente uma raiz real
01 =+pτPCPCτt
h Aey−
=
τ1
−=praizraiz
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução ParticularSolução Particular
Equação Diferencial
SP para podemos escrever
Substituindo na ED
Portanto a SP
Byp =( ) ( )u t tγ=
)()()(0 tuKty
dttdy
=+τ
00γKB =
00γKyp =
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução CompletaSolução Completa
000)0( yKAy =+= γ
Levando à solução
Aplicando a C.I.
00γτ KAeyyyt
ph +=+=−
0)0( yy =
000 γKyA −=
)1()( 000ττ γtt
eKeyty−−
−+=
Controle de Sistemas Mecânicos
Exercício:Exercício:
Obter a função da resposta de entrada-nula de um sistema de primeira ordem. Implementar no MatLab e obter a resposta.
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução de entradaSolução de entrada--nulanula
Corresponde à solução natural
( ) 0u t =
τt
h eyty−
= )0()(
Observar a influência da constante de
tempo
Controle de Sistemas Mecânicos
Exercício:Exercício:
Obter a função da resposta de estado-nula de um sistema de primeira ordem sujeita a entrada degrau. Implementar no MatLab e obter a resposta.
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução de estado nulo entrada degrauSolução de estado nulo entrada degrau
Chegando-se à solução
)1()( 00 τγt
f eKty−
−=
Controle de Sistemas Mecânicos
ExercícioExercício
0 2000 4000 6000 8000 100000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Obter a constante de tempo considerando apenas o gráfico abaixo da resposta de um SPO de entrada nula e condição inicial de 3.
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução:Solução:
u(t)=0
-
+ y(t)3
τ1
∫τ0K
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução Solução MatLabMatLab::
τt
ety−
= 9)(τt
eyty−
= )0(*3)(
t τ= 0.36781 =−e
1759.1τ =3102.33678.0*9)( ==ty
Controle de Sistemas Mecânicos
Exercício:Exercício:
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000
200
400
600
800
1000
1200
1400Step Res pons e
Ampl
itude
Obter a constante de tempo e o ganho estático da resposta abaixo obtida de um sistema de primeira ordem para uma entrada degrau de amplitude 10 e C.I. nulas
Time (s ec)
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução Completa SSOSolução Completa SSO
Dada a Equação Diferencial Geral
Sujeita a entrada degrau
A solução Completa = SH+SP
γ
)()()()(0012
2
tubtyadttdya
dttyd
=++
( ) ( )u t tγ=
0
0 / 0( )
/ 0p t
tp tγ
<= ≥
Degrau Degrau unitário 0 1γ =unitário
Controle de Sistemas Mecânicos
PC SSOPC SSO
Dada a EDG
Equação Homogênea
usando o operador derivativo
0)()2( 22 =++ typp nn ωζω
)()()(2)( 20
22
2
tuKtydttdy
dttyd
nnn ωωζω =++
PCPC
0)()(2)( 22
2
=++ tydttdy
dttyd
nn ωζω
02 22 =++ nn pp ωζω
Controle de Sistemas Mecânicos
Raízes do PC de um SSORaízes do PC de um SSO
02 22 =++ nn pp ωζω
O PC da equação geral de um SSO
As raízes do PC podem ser encontradas facilmente através da equação algébrica
As duas raízes podem ser:
22 2)( nn pppPC ωζω ++=
122,1 −±−= ζωζωα nn
–Reais diferentes–Reais iguais –Um par complexo conjugado
Controle de Sistemas Mecânicos
Variação do fator de amortecimentoVariação do fator de amortecimento
ζ > 1: as raízes são reais simples
ζ = 1: raízes reais duplas
ζ < 1: raízes complexas conjugadas
122,1 −±−= ζωζωα nn
122,1 −±−= ζωζωα nn
nωα −=2,1
22,1 1 ζωζωα −±−= nn j
Controle de Sistemas Mecânicos
Relações geométricas das raízesRelações geométricas das raízes
ζ = const . ℑ
ω ζn 1 2−
−ζω n
θα
ωσλ i+=
cosα ζ=ω n const= .
•
nω
ωσλ i−= 21 ζω −− n
ℜ
ω ω ζd n= −1 2
ζα =)cos(
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução Homogênea Solução Homogênea
tth teCeCty 21
21)( αα +=
Dependendo das raízes:• Reais diferentes
• Reais iguais
• Um par complexo conjugado
tth eCeCty 21
21)( αα +=21 αα ≠
21 αα =
nζωτ 1
=
•Constante de tempo (τ)
22,1 1 ζωζωα −±−= nn jjba +=1α
)cos()(sin)( 21 bteCbteCty atath +=jba −=2α
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução ParticularSolução Particular
Equação Diferencial
SP para podemos escrever
Substituindo na ED
Portanto a SP
Byp =( ) ( )u t tγ=
00γKB =
00γKyp =
)()()(2)( 20
22
2
tuKtydttdy
dttyd
nnn ωωζω =++
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução CompletaSolução Completa
Levando à solução
As constantes da solução completa são calculadas através das condições iniciais, considerando o instante t = 0
ph yyy +=
0
0
)0()0(yyyy&& =
=
Controle de Sistemas Mecânicos
Exercício:Exercício:
Obter a função da resposta de estado-nula de um sistema de segunda ordem com amortecimento
sujeita a entrada degrau unitária. Implementar no MatLab e obter a resposta.
Dados
1<ζ
512.0
1
0
==
==
τ
ζω
K
n
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução de estado nulo entrada degrauSolução de estado nulo entrada degrau
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
)cos()(sin)( 2100 bteCbteCKty atatf ++= γ
22,1 1 ζωζωα −±−= nn j
a b
Controle de Sistemas Mecânicos
ExercícioExercício
Obter a freqüência natural, fator de amortecimento, a constante de tempo e o ganho estático da resposta abaixo obtida de um sistema de segunda ordem para uma entrada degrau de amplitude 10.
0 5 10 15 20 25 300
20
40
60
80
Sys tem: PTime (s ec): 3.21Amplitude: 76.3
Sys tem: PTime (s ec): 16.2Amplitude: 52
Step Res pons e
Time (s ec)
Ampl
itude
+
=)(
)(ln1nTtyty
nδ
552.0
1
0
==
==
τ
ζω
K
n
Sol:Sol:
224 δπδζ
+=
)(ty
Controle de Sistemas Mecânicos
Exercício:Exercício:
Obter o diagrama de blocos de um sistema de primeira ordem usando K0=10 e τ = 2. Implementar no simulink o DB e obter a resposta do sistema sujeita a entrada degrau unitário.
Controle de Sistemas Mecânicos
Exercício:Exercício:
Obter o diagrama de blocos de um sistema de primeira ordem usando K0=10 e τ = 2. Implementar no simulink o DB e obter a função de transferência utilizando o comando linmod e ss2tf.
Controle de Sistemas Mecânicos
ReferênciaReferência
Solução homogênea SPOKreyszig pg 69-77
Solução homogênea SSOKreyszig pg 80-87