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Potncia EltricaDe grande interesse nos equipamentos eltricos. Ex.: Potncia de um transformador, de um alternador, de um transmissor de rdio, etc Se a tenso na figura ao lado for funo do tempo, a corrente resultante tambm o ser. O produto da tenso pela corrente, em qualquer instante, se chama Potencia Instantnea e dada por: p = vi A potncia p pode ter valores positivos e negativos. p positiva transferncia de energia da fonte para o circuito. p negativa transferncia de energia do circuito para a fonte. Consideremos o caso ideal em que o circuito passivo consta de um elemento indutivo e apliquemos a ele uma tenso senoidal da forma v = Vmax.sen t; a corrente resultante ter a forma i = Imax.sen( t- /2). Assim a potncia ser: p = vi = Vmax.Imax. sen t[sen( t- /2)] Como sen( t- /2) = -cos t p = Vmax.Imax.sen t[-cos( t)] Como senX.cosX = sen2Xp = 1 VmaxImax sen 2 t 2

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A potencia tem freqncia duas vezes maior que a corrente e tenso. Quando v e i so + p + energia Quando v e i so - p - energia

No caso de um circuito puramente capacitivo os resultados so anlogos.

Se aplicarmos, agora, uma tenso v = Vmax.sen t a uma estrutura que s contenha resistncia, a corrente ser

I = Imax.sen t e a potncia ser: p = Vmax.Imax.sen2 t como sen2x= (1-cos2x)p = 1 VmaxImax 1 cos 2 t) ( 2

Ento a potencia nesse tipo de circuito tem freqncia duas vezes mais que a tenso ou corrente. Alm disso, a potncia aqui sempre positiva e varia de zero ao valor mximo Vmax.Imax

O valor mdio da potncia nesse caso ser:p = 1 VmaxImax 2

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Consideremos finalmente o caso de um circuito passivo genrico em que aplicada v = Vmax.sen t teremos uma corrente

resultante I = Imax.sen( t+ ) ser positivo se o circuito for capacitivo ser negativo se o circuito for indutivo Ento p = vi = Vmax.Imax.sen t.sen( t+ ) como sen .sen = [cos( - )-cos( + )] e cos(- ) = cosp = 1 VmaxImax [(cos cos( t + )] 2 2

Ento a potencia em cada instante tem uma componente cossenoidal cujo valor mdio zero, e tambm um termo independente do tempo e constante igual a O valor mdio de p :p = 1 VmaxImax cos , 2 1 VmaxImax cos 2

como

Vmax 2 I I = max 2 V =

P = VIcos cos chamado de fator de potncia. O ngulo o ngulo de e

V e I e seu valor varia de +90 a 90. Portanto, cos

conseqentemente P so sempre positivos. Entretanto, para indicar o sinal de , diz-se que um circuito indutivo, que tem a corrente atrasada em relao tenso, tem um fator de potncia atrasado. Num circuito capacitivo a corrente est adiantada em relao tenso e diz-se que tem um fator de potncia adiantado.44

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Potncia Aparente (S): O produto VI chama-se potncia aparente e representa-se pelo smbolo S. A unidade o Volt-ampere (VA) e o seu mltiplo mais usado o Quilovolt-ampere (KVA) = 1000VA Potncia Reativa (Q): O produto VIsen chama-se potncia reativa e indica-se pelo

smbolo Q. A unidade o Volt-ampere-reativo (VAr) e o seu mltiplo mais empregado o Quilovolt-ampere-reativo (KVAr) = 1000Var. Tringulo de Potncias: Circuito Indutivo

Atrasado

cos =

Pot Mdia . Pot Aparente .

Circuito Capacitivo

Adiantado

|S|2 = |Q|2 + |P|2 |KVA|2 = |KVar|2 + |KW|2

S = P jQ

Potncia Mdia ou Real (P) Potncia Transformada em calor45

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Potncia Aparente (S) Potncia Total do circuito Potncia Reativa (Q) Potncia Gasta para haver a troca de energia entre o sistema e o capacitor/indutor Observemos que: Seja v = |V|ej e i = |I|ej( + ) + )

S = VI* = |V|ej .|I|e-j( S = VIcos - jVIsen

= VIe-j

S = P - jQ

Potncia Mdia ou Real (P) Potncia Reativa (Q) 2 VR P = V I c o s = I R = = R e[VI*] R 2 2 VR = I m[VI*] X

Q = V I s e = I2X = n

Potncia Aparente (S) S = VI = I2Z = V2/Z valor absoluto de [VI*] Fator de Potncia f p =c o s = R P = Z S

Exemplo 01)

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Dado um circuito de impedncia Z = 3 + j4 e uma tenso V=100 30 determine o tringulo de potencias.I = V 10030 = = 20 23, ) ( 1 Z 553, 1

Mtodo 1: P = I2R = (20)2x3 = 1200W Q = I2X = (20)2x4 = 1600Var S = I2Z = (20)2x5 = 2000VA cos = cos53,1 = 0,6 atrasado atrasada

Mtodo 2: S = VI = 100x20 = 2000VA P = VIcos Q = VIsen = 2000.cos53,1 = 1200W = 2000.sen53,1 = 1600Var

fp = cosMtodo 3:

= cos53,1 = 0,6 atrasado

S = VI* = 100 30x20 23,1 = 2000(cos53,1 + jsen53,1) S = 1200 + j1600 P = 1200W Q = 1600Var S = 2000VA

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Correo de fator de potncia Instalaes industriais cargas indutivas corrente atrasada em relao tenso aplicada No tringulo de potencias a hipotenusa S indica a potencia total requerida do sistema, e o cateto P indica a potencia til fornecida. , portanto, desejvel que S se aproxime o mximo e P, isto , que o ngulo se aproxime de zero, para que o fator de potncia (cos ) se aproxime da unidade. No caso de uma carga indutiva aumenta-se o fator de potncia colocando-se capacitores em paralelo com a carga. Como a tenso nos terminais da carga permanece a mesma, a potncia til P no varia. Como o fator de potncia aumentado, a corrente e a potncia aparente diminuem, obtendo-se assim uma utilizao mais eficiente da instalao industrial.

P = VI.cos S = VI* Exemplos:48

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1)

Corrigir o valor do o fator de potncia do exemplo anterior (Z=3+j4 e V = 100 30) para 0,9 atrasado, acrescentando capacitores em paralelo. Achar S aps a correo, e a potncia reativa dos capacitores. cos = 0,9 = arccos 0,9 = 26 cos = P/S S = 1200/0,9 = 1333VA sen = Q/S Q = S.sen26 = 1333sen26 Q = 585Var

S = 2000Va P = 1200w Q = 1600Var cos 2) = 0,6 atrasado

A

potncia reativa dos capacitores ser: Qcap = Q Q = 1600 585 Qcap = 1015Var adiantado

Dado um circuito em que, aplicada a tenso v = 150sen( t+10), a corrente resultante i = 5sen( t 50), determinar o tringulo das potncias.150 10 = 10610 2 5 50) = 3, 50) ( 54 ( 2

V = I =

S

=

VI*

=

(106 10)

(3,54 50) S = 375 60= 187,5 + j325 P = Re[VI*] = 187,5W Q = Im[VI*] = 325Var atrasadoS = VI * = 187 52 + 3252 ,

S = 375 VA fp = cos60 = 0,5 atrasado49

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3) Em um circuito srie de dois elementos a potncia 940 watts e o fator de potncia 0,707 adiantado. Sendo v = 99sen(6000t + 30) a tenso aplicada, determinar as constantes do circuito.V = 99 30 = 7030 2

P = VIcos 940 = 70I(0,707) I = 940 I = 19A 70x0, 707

Como o fator de potncia 0,707 adiantado, o fasor corrente est adiantado em relao tenso, do ngulo de = arccos0,707 = 45, ento: I = 19 (45+30) I = 19 75V 7030 = = 3, 45) = 2 6 j2, 68 ( , 6 I 1975

Z =

Como Z = R jXc = R j(1/ C) R = 2,6XC = 1 1 = 26 C = , = 64 1 F , C 6000 2, x 6

Outro Mtodo: I = 19A P = RI2 940 = R(19)2 R= 940 = 2, 6 192

Z = |Z| 45 = R jXc = 2,6 jXc Como = -45 Xc = 2,61 1 C = = = 64 1F , XC 60002 6) (,

4) Dado o circuito srie abaixo, determinar o tringulo das potncias.50

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Z =3+j6j2 = 3+j4 = 5 53,1I = 50 90 ) ( = 10 143, ) ( 1 553, 1

S

=

VI*

=

[50 (-90)]

(10 143,1) S = 500 53,1 S = 300 + j400 P = 300w Q = 400Var atrasado S = 500Va Outro mtodo I = 10A P = RI2 = 3.102 = 300w Qj6 = 6.102 = 600Var atrasado Q-j2 = 2.102 = 200Var adiantado Q = Qj6 - Q-j2 = 600 200 = 400Var atrasado 5) A corrente eficaz total no circuito abaixo 30A. Determine as potncias.Zeq = Zeq Zeq (5 j ) 34 (5 j ) + 4 3 (20 j )( + j ) 12 9 3 = (9 j )( + j ) 3 9 3 = 24 j , , 0 533

P = IT2R = 302x2,4 = 2160w Q = IT2X = 302x0,533 = 479,7Var adiantadoS = 21602 + 479, 2 = 2210Va 7

6) Determinar o tringulo das potncias de cada brao do circuito abaixo e soma-los para obter o tringulo do circuito todo.51

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Ramo 01:

I1 =

V 2060 = = 530 Z1 430

S1 = VI1* = (20 60)[5 (-30)] = 100 30 = 86,6 + j50 Logo: P1 = Re[VI1*] = 86,6w Q1 = Im[VI1*] = 50Var atrasado S1 = [VI1*] = 100Va fp1 = P1/S1 = 0,866 atrasado Ramo 02:I2 = V 2060 = = 40 Z2 560

S2 = VI2* = (20 60)(4 0) = 80 60 = 40 + j69,2 Logo: P2 = Re[VI2*] = 40w Q2 = Im[VI2*] = 69,2Var atrasado S2 = [VI2*] = 80Va Fp2 = P2/S2 = 0,5 atrasado Exemplo 06 (continuao) Total: PT = P1 + P2 = 68,6 + 40 = 126,6w52

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QT = Q1 + Q2 = 50 + 69,2 = 119,2Var ST = PT + jQT = 126,6 + j119,2 = 174 43,4 ST = |ST| = 174Vaf pT = PT 1 2 66 , = = 0, 2 (a t r as a do 7 7 ) ST 174

7) Um motor de induo cuja sada 2HP tem rendimento de 85%. Com essa carga o fator de potncia de 0,8 atrasado. Determinar as potncias de entrada. = Ns a d a x1 0 ( % ) 0 Ne n t r a d a

2HP = 1755w

S = 1755/0,85 = 2190Va = arcos 0,80 = 36,9

Q = 2190sen36,9 = 1315Var (atrasado) P = Scos = 2190 x 0,80 = 1752w

8) Determinar o tringulo das potncias totais do circuito paralelo abaixo, sendo de 20w a potncia dissipada no resistor de 2 .

53

Prof Jaime Mariz2 P = R I1 I1 =

Eletrotcnica Bsica20 = 3, 6A 1 2

Z1 = 2 j5 =

5 22 + 52 a r c t g 2

Z1 = 5,38 (-68,2) V = I1Z1 = 3,16 x 5,38 17v Tomando V = 17 0I1 = V 170 = = 3, 68 2 = 1, + j2 93 16 , 17 , Z1 5, 68 2 ) 38 ( ,

Z2 = 1 + j1 =I2 =

245

V 170 = = 12 45 ) = 8, j , ( 48 8 48 Z2 245

IT = I1 + I2 = (1,17 + j2,93) + (8,48 j8,48) IT = = 9,65 j5,55 = 11,1 (-29,9)

ST = V.IT* = 17 0 x 11,1 29,9 = 189 29,8 = 164 +j94 PT = 164w , QT = 94Var (atrasado) , ST = 189Va Cos = 164/189 = 0,868 (atrasado)

8) Determinar as potncias de uma associao de 3 cargas individuais, assim especificadas: Carga 1 - 250Va, fp = 0,5 atrasado; Carga 2 - 180w, fp = 0,8 adiantado; Carga 3 - 300Va, 100Var atrasado.54

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Carga 01: S = 250va cos = 0,5 atrasado Carga 02: S = 180va cos = 0,8 adiantado Carga 03: S = 300va Q = 100Var adiantado = arcsenQ/S = arcsen 100/300 = 19,5 P = Scos = 300cos19,5 = 283w S = P/cos P = S/cos = 250/0,5 = 125w = arccos 0,5 = 60 = 250sen60 = 216Var atrasado = 180/0,8 = 225w

Q = Ssen

= arccos 0,8 = 36,9 = 225sen36,9 = 135Var adiantado

Q = Ssen

Ento: PT = 125 + 180 + 283 = 588w QT = 216 135 + 100 = 181Var atrasado ST = PT + jQT = 588 +j181 = 616 17,1 ST = 616Va cos = P/S = 588/616 = 0,955 atrasado

9) Um transformador de 25Kva fornece 12Kw a uma carga com fator de potncia 0,6 atrasado. Determinar a percentagem de plena carga que o transformador alimenta. Desejando-se55

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alimentar cargas de fp unitrio com esse mesmo transformador, quantos Kw podem ser acrescidos, at que o transformador esteja a plena carga. P = 12 Kw S = P/cos = 0,6 = 12/0,6 = 20KVa

A percentagem de plena carga : (20/25)x100 = 80% cos = arccos 0,6 = 53,1

Q = Ssen

= 20sen53,1 = 16Kvar atrasado

Como as cargas adicionais tem fp=1, Q permanece inalterado Quando o trafo estiver a plena S = 25KVa = arcsen Q/S = arcsen 16/25 = 39,8 PT = Scos = 25cos39,8 = 19,2Kw Ento a carga adicional = PT P = 19,2 12 = 7,2Kw

10) Um transformador de 500KVa est operando a plena carga com fator de potncia total de 0,6 atrasado. O fator de potncia melhorado, acrescentando-se capacitores, para 0,9 atrasado.56

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Quantos KVar capacitivos so necessrios? Aps a correo do fator de potncia, que percentagem da plena carga o transformador estar alimentando?

Plena carga P = VIcos = 500 x 0,6 = 300Kw

= arccos0,6 = 53,1 Q = VIsen = 500sen53,1 = 400Kvar atrasado

Quando cos = 0,9 atrasado = arccos0,9 = 26 S = 300/0,9 = 333KVa Q = 333sen26 = 146KVar atrasado Ento carga capacitiva = Q Q = 400 146 = 254KVar adiantado % plena carga = (330/500)x100 = 66,7% 11) Considere o circuito abaixo, ao qual se aplica uma voltagem de freqncia igual a 50Hz. Determinar qual deve ser a capacitncia para que o fator de potncia do circuito seja 0,80,57

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e neste caso, dizer se a corrente estar em avano ou em atraso.

Se cos

= 0,80

= arccos 0,80 = 36,87

Ramo ab: Z1 = 5 Y1 = 1/5 Ramo cd: Z2 = 2 + j4 Y2 = 1 2 j4) ( 2 j4 2 j4 = 2 = 2 (2 + j4) ( j4) 2 + 4 2 20

Yfg = Y1 + Y2 1 2 j4 4 + 2 j4 6 j4 3 j2 + = = = 5 20 20 20 10

Zfg =

1 103 + j2) ( 30 + j20 30 + j20 = = 2 = Yfg (3 j2)( + j2) 3 13 3 + 22

Ramo ef: Zef = 2 -jXc

Impedncia Total: ZT = Zef + Zfg = ZT =ZT = 2 j XC + 3 0 + j2 0 2 6 j1 3XC + 3 0 + j2 0 = 13 13

5 6 + j 2 0 1 3XC) 5 6 ( 2 0 13XC = + j 13 13 13

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tg

= tg36,87 = 0,75 = X/R

20 - 13XC = 56 x 0,75 = 72XC = 42 20 = 1, 70 13

20 13XC 20 13XC 13 0, = 75 = 56 56 13

Ento

ZT =

56 20 13 1, ) ( 7 + j = 4, + j3, 3 24 13 13

XC =C =

1 1 = C 2fC1 1 = C = 1, x10 3F 87 2fXC 2x50x1, 70

Parte imaginria Positiva, ento corrente atrasada

Ressonncia em circuitos de corrente alternadaUm circuito est em ressonncia quando a tenso aplicada em fase com a corrente resultante, apesar do circuito ter reatncia capacitiva e indutiva. Portanto Z = R. V em fase com I fator de potncia = 1

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Ressonncia em Srie

1 Z = R + j L = R + jX C

em ressonncia X=02 = 1 = LC 1 = LC 1 LC

isto , como

L =

1 C

2LC = 1

L = 2 f f0 =

1 ciclos/seg 2 LC

0 na ressonncia: Z Com I= V a Z=2 R 2 + (XL XC) = R

XL = 2fL = L 1 1 XC = = 2fC C

corrente vai ser mxima

Se a freqncia do circuito for menor que 0 o circuito passa a ter a reatncia capacitiva maior do que a reatncia indutiva saindo ento da ressonncia. Se a freqncia do circuito for maior que Ressonncia Paralela R, L, C elementos puros1 Y = G + j C = G + jB L B = BC BL = C 1 L0

o circuito passa a

ser predominantemente indutivo. O circuito sai da ressonncia.

O circuito est em ressonncia quando B = 0, isto , quando:C = 1 = L 1 1 = 0 = 2 f f0 = LC 2 L C

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Na ressonncia Y = G +jB portanto Y mnimo, a corrente (I = VY) tambm ser Quando < Quando > 0 0

BL > BC predominantemente indutivo BL < BC predominantemente capacitivo

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